李雅普诺夫稳定性的基本定理

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第5章李雅普诺夫稳定性分析

第5章李雅普诺夫稳定性分析
3
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
第五章 李雅普诺夫稳定性分析
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性 5.2 李雅普诺夫第一法(间接法) 5.3 李雅普诺夫第二法(直接法) 5.4 线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析
4
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性
1.自治系统
没有外输入作用时的系统称为自治系统,可 用如下系统状态方程来描述:
如果时变函数V(x,t)有一个正定函数作为下限, 也就是说,存在一个正定函数W(x) ,使得
V ( x ,t) W ( x), V (0,t) 0, t t0
则称时变函数V(x,t)在域S(域S包含状态空间的 原点)内是正定的。
24
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
3. 负定函数:如果-V(x)是正定函数,则标量函数 V(x)为负定函数。
则称平衡状态xe在李雅普诺夫意义下是稳定的。
在上述稳定的定义中,实数δ通常与ε和初始时
刻t0都有关,如果δ只依赖于ε ,而和t0的选取无关,
则称平衡状态是一致稳定的。
9
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
5. 渐近稳定性
若系统的平衡状态xe不仅具有李雅普诺夫意 义下的稳定性,且有
lim
t
||
x(t;
x0 ,
(s)
则 m(s) 为矩阵A的最小多项式。
注:换言之,矩阵A的最小多项式就是(sI-A)-1
中所有元素的最小公分母。
17
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
例5-1(补充):判断下述线性定常系统的稳定性
0 0 0
x 0 0
0
x
0 0 1
解:1)系统矩阵A为奇异矩阵,故系统存在无穷

李雅普诺夫Lyapunov稳定性理论李雅普诺夫

李雅普诺夫Lyapunov稳定性理论李雅普诺夫

表示向量 x 到x e的距离 n2 x xe ( x1 x1e ) 2 ( x2 x2e ) 2 c
表示状态空间中,以 x e为圆心,半径为c的圆
n3
x xe ( x1 x1e ) 2 ( x2 x2e ) 2 ( x3 x3e ) 2 c
0
方程的解(运动或状态轨线)为: x(t; x 初始状态向量
, t0 )
初始时刻
x(t0 ; x 0 , t0 ) x 0
f (x, t ) x
平衡状态:各分量相对于时间不再发生变化
e f (x e , t ) 0 x
所有状态的变化速度为零,即是静止状态 线性定常系统:
x2
S ( )
xe
S ( )
x1
近,直至到达平衡状态后
停止运动。
3、大范围渐近稳定 当初始条件扩展到整个状态空间,且平衡状态均具 有渐近稳定性时,称此平衡状态是大范围渐近稳定的。 几何意义:
系统不管在什么样的初始状态下,经过足够长的时间总
能回到平衡状态附近并且向平衡状态靠拢。 大范围渐近稳定的必要条件是状态空间中只能有一个平 衡状态。
1
1
极点位于s左半平面,s=2的极点被对消掉了。系统是有 界输入有界输出稳定的。
(2)求系统的特征方程:
6 det(I A) ( 2)( 3) 0 1 1
求得:1 2,2 3
系统不是渐近稳定的。
例 : 用间接法判断下列系统的稳定性 x1 x2 x1 x1 x2 x1 x1 x2 1 ) , 2) , 3) x2 x1 x2 x1 x2 x2 x1 x2

李雅普诺夫稳定性

李雅普诺夫稳定性

x bx5
这时线性化方法不能用来判断它的稳定性。
李雅普诺夫理论基础
例:证明下面单摆的平衡状态 ( , 0) 是不稳定的。
MR2 b MgR sin 0
式中 R 为单摆长度,M 为单摆质量, b 为铰链的摩擦系数,
g 是重力常数。(系统的平衡点是什么?)
在 的邻域内
sin sin cos ( ) h.o.t. ( ) h.o.t. 设 ~ ,那么系统在平衡点附近的线性化结果是
以速度 1 指数收敛于 x 0 。
例2:系统 x x2 , x(0) 1它的解为 x 1/(1 t),是个慢于任 何指数函数 et ( 0) 的函数。
3、局部与全部稳定性
定义:如果渐近(或指数)稳定对于任何初始状态都能 保持,那么就说平衡点是大范围渐近(或指数)稳定的, 也称为全局渐近(或指数)稳定的。
李雅普诺夫理论基础
§2.2 线性化和局部稳定性
李雅普诺夫线性化方法与非线性系统的局部稳定性有关。
Lyapunou线性化方法说明:在实际中使用线性控制方法基
本上是合理的。
对于自治非线性系统 x f (x) ,如果 f (x) 是连续可微的,那
么系统的动态特性可以写成( f (0) 0 ):
x
f x
李雅普诺夫理论基础
第二章 Lyapunov理论基础
稳定性是控制系统关心的首要问题。
稳定性的定性描述:如果一个系统在靠近其期望工作点的某 处开始运动,且该系统以后将永远保持在此点附近运动, 那么就把该系统描述为稳定的。
例如:单摆,飞行器 李雅普诺夫的著作《动态稳定性的一般问题》,并于1892
年首次发表。 1. 线性化方法:从非线性系统的线性逼近的稳定性质得出非

李雅普诺夫稳定性的基本定理

李雅普诺夫稳定性的基本定理
下面先给出n维向量x的标量实函数V(x)的正定性定义。
定义3-5 设xRn,是Rn中包含原点的一个区域,若实函数V(x) 对任意n维非零向量x都有V(x)>0;当且仅当x=0时,才有
V(x)=0,
则称函数V(x)为区域上的正定函数。

实函数的正定性(2/4)—函数定号性定义

K2
x1

K1, K2 0
试确定系统在原点处的稳定性。
解 1: 由状态方程知,原点为该系统的平衡态。
将系统在原点处线性化,则系统矩阵为
f (x)
0
A x xxe K2
因此,系统的特征方程为
1

K1

|I-A|=2+K1+K2=0
李雅普诺夫第一法(8/7)
李雅普诺夫第一法(2/7)
下面将讨论李雅普诺夫第一法的结论以及在判定系统的状态稳 定性中的应用。
设所讨论的非线性动态系统的状态方程为 x’=f(x)
其中f(x)为与状态向量x同维的关于x的非线性向量函数,其各元 素对x有连续的偏导数。
参看课本P167
李雅普诺夫第一法(5/7)
李雅普诺夫第一法的基本结论是: 1. 若线性化系统的状态方程的系统矩阵A的所有特征值都 具有负实部,则原非线性系统的平衡态xe渐近稳定,而且系 统的稳定性与高阶项R(x)无关。 2. 若线性化系统的系统矩阵A的特征值中至少有一个具有 正实部,则原非线性系统的平衡态xe不稳定,而且该平衡态 的稳定性与高阶项R(x)无关。 3. 若线性化系统的系统矩阵A除有实部为零的特征值外,其 余特征值都具有负实部,则原非线性系统的平衡态xe的稳 定性由高阶项R(x)决定。
=-mgx’(cos-fsin)+mgx’cos =mgx’fsin

李雅普诺夫第二法

李雅普诺夫第二法

李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法又称直接法,它是从能量观点进行稳定性分析的,它的基本思想是建立在这样一个物理事实基础之上,即:由经典力学理论可知,对于一个振动系统,如果系统的总能量随时间增长而连续减少,直到平衡状态为止,那么振动系统是稳定的。

1)渐进稳定的判据定理1设系统的状态方程为(,)x f x t =其中平衡状态为0e x =,满足(0,)0f t =,如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数(,)v x t ,且满足以下条件:(1)(,)v x t 是正定的;(2)(,)vx t 是负定的。

则系统在原点处的平衡状态是一致渐进稳定的。

此外,如果当||||x →∞,有(,)v x t →∞,则在原点处的平衡状态是大范围一致渐进稳定的。

2)渐进稳定的判据定理1设系统的状态方程为(,)x f x t =其中平衡状态为(0,)0f t =,如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数(,)v x t ,且满足以下条件:(1)(,)v x t 是正定的;(2)(,)vx t 是负定的。

(3)(,)v x t 在0x ≠时不恒等于零,则系统在原点处的平衡状态是大范围渐进稳定的。

3)李雅普诺夫意义下稳定的判别定理设系统的状态方程为=x f x t(,)其中平衡状态为(0,)0f t=,如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数v x t,且满足以下条件:(,)(1)(,)v x t是正定的;(2)(,)是负定的。

v x t(3)则系统在原点处的平衡状态在李雅普诺夫意义下是一致稳定的。

4)不稳定的判别定理设系统的状态方程为=x f x t(,)其中平衡状态为(0,)0f t=,如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数v x t,且满足以下条件:(,)(1)(,)v x t是正定的;(2)(,)是正定的。

v x t则系统在原点处的平衡状态是不稳定。

5李雅普诺夫稳定性分析.ppt

5李雅普诺夫稳定性分析.ppt
➢ 由于导数表示的状态的运动变化 方向,因此平衡态即指能够保持 平衡、维持现状不运动的状态, 如上图所示.
平衡态(2/4) —定义1
平衡态
平衡态 平衡态
李雅普诺夫稳定性研究的平衡
x2
态附近(邻域)的运动变化问题.
➢ 若平衡态附近某充分小邻
xe
域内所有状态的运动最后
都趋于该平衡态,则称该
平衡态是渐近稳定的;
李雅普诺夫意义下的稳定性—范数(1/2)
1) 范数
范数在数学上定义为度量n维空间中的点之间的距离. ➢ 对n维空间中任意两点x1和x2,它们之间距离的范数记为 ||x1-x2||. ➢ 由于所需要度量的空间和度量的意义的不同,相应有各种 具体范数的定义. ➢ 在工程中常用的是2-范数,即欧几里德范数,其定义式为
对于定常系统来说,上述定义中的实数(,t0)与初始时刻t0必定 无关,故其稳定性与一致稳定性两者等价. ➢ 但对于时变系统来说,则这两者的意义很可能不同.
李雅普诺夫意义下的稳定性—稳定性定义(4/4)
概述(8/5)
李雅普诺夫稳定性理论不仅可用来分析线性定常系统,而且 也能用来研究 ➢ 时变系统、 ➢ 非线性系统,甚至 ➢ 离散时间系统、 ➢ 离散事件动态系统、 ➢ 逻辑动力学系统
等复杂系统的稳定性,这正是其优势所在.
概述(9/5)
可是在相当长的一段时间里,李雅普诺夫第二法并没有引起 研究动态系统稳定性的人们的重视,这是因为当时讨论系统 输入输出间关系的经典控制理论占有绝对地位.
t
式中,x(t)为系统被调量偏离其平衡位置的变化量; 为任意小的规定量。 ✓ 如果系统在受到外扰后偏差量越来越大,显然它不 可能是一个稳定系统。
概述(3/5)
分析一个控制系统的稳定性,一直是控制理论中所关注的最 重要问题.

李雅普诺夫稳定性理论

 李雅普诺夫稳定性理论

定义三 对所有的状态(状态空间的所有点),如 果由这些状态出发的轨迹都具有渐近稳定性,则 称平衡状态xe为大范围渐近稳定。
定义四 :如果从球域 S( )出发的轨迹,无论球
域选得多么小,只要其中有一条轨迹脱离球域, 则称平衡状态xe为不稳定。
❖线性系统:如果它是渐近稳定的,必是有大 范围渐近稳定性(线性系统稳定性与初始条件的 大小无关)。
❖非线性系统:稳定性与初始条件大小密切 相关,系统渐近稳定不一定是大范围渐近稳定。
三. 李雅普诺夫第一法(间接法)
利用状态方程解的特性来判断系统稳定性。
1. 线性定常系统稳定性的特征值判据:
xAx x(0)x0 t 0
李氏稳定的充要条件:
Re(i ) 0 i1,2,n
即系统矩阵A的全部特征值位于复平面左半部。
2) 选取不当,会导V致( x , t ) 不定的结果。
2) 这仅仅是充分条件。
3)
例4:试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。
x 1 x 2 x 2 x 1 x 2
解: x 1x 2 0 x1x2 0 即 xe 0
.
设 V(x)x12x2 2 则 V(x) 2x22
.
可见V
( x )与 x1 .
结论:
1) 若 Re(i) 0 i1,2,,n ,则非线
性系统在 x e 处是渐近稳定的,与 g ( x)
2) 无关。
2) 若 Re(i) 0 Re(j ) 0 ij1,,n
3) 则不稳定。
3) 若 Re(i ) 0,稳定性与 g (x)有关,
4)
g(x)50) 则是李雅普诺夫意义下的稳定性。
4.4 线性系统的李雅普诺夫稳定性分析
1.线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析

第四章李雅普诺夫稳定性理论

第四章李雅普诺夫稳定性理论

对概念的几点说明:
(5)线性系统渐近稳定等价于大范围渐近稳定。对非线 性系统,一般只考虑吸引区为有限定范围的渐近稳定。
第二节 李雅普诺夫间接法
思想:李氏间接法利用系统矩阵A的特征值 或者说系统极点来判断系统稳定性。
一、线性定常系统的稳定性
线性定常系统的稳定性判别定理:
(1)李氏稳定 A的约当标准形J中,实部为0的特征 值所对应的约当块的维数是一维的,其余特征值均 有负实部。 (2)渐近稳定 A的特征值均具有负实部。
,其中P为实对
称方阵,它的元素可以是定常的,可以是时变的,但
V(x)并不一定都是简单的二次型。
(4) V(x)函数只表示系统在平衡状态附近某邻域内局部运动的 稳定情况,但丝毫不能提供邻域外运动的任何信息。
(5) 由于V(x)构造需要技巧,因此Lyapunov第二法主要用 于那些使用别的方法无效或难以判断其稳定性的问题,如 高阶非线性系统或时变系统。
A奇异:
b. 非线性系统 例:

2. 孤立的平衡状态:在某一平衡状态的充分小的 邻域内不存在别的平衡状态。
说明: (1) 系统不一定都存在平衡点; (2) 但系统也可能有多个平衡点; (3) 平衡点多数在状态空间的原点,可通过适当
的坐标变换移到原点(针对孤立平衡点); (4) 稳定性问题都是相对于某个状态而言的,对
(3)不稳定 A的特征值中至少有一个有正实部。
说明:
(1)劳斯判据依然适用。 (2)状态稳定(内部的稳定)与BIBO稳定(输出稳定性)。
解释: 例1:
李氏稳定 不稳定 李氏稳定
李氏稳定 不稳定
例2:
求A的特征值: 得A特征值:
不稳定
二、非线性系统的稳定性 非线性系统的稳定性一般是局部的。用间接法判

《现代控制理论》李雅普诺夫稳定性分析

《现代控制理论》李雅普诺夫稳定性分析
向量和矩阵的范数
1、向量空间上的欧几里德范数(即向量长度)
其欧几里德范数定义为:
一般
一、向量和矩阵的范数
预备知识
矩阵范数
矩阵 的范数定义为:
【例】
Hale Waihona Puke , 则即:矩阵每个元素平方和开根号
预备知识
2、矩阵范数
1.二次型函数:由n个变量
组成的二次齐次多项式,称(n元)二次型函数
2.二次型函数的矩阵表示
则系统在原点处的平衡状态是不稳定的。
为唯一的平衡状态。
定理4:设系统状态方程为
李雅普诺夫主要的稳定性定理
例题
[例] 设系统状态方程为
试确定系统的稳定性。
解 xe=0
,
是该系统惟一的平衡状态。
由于当

,所以系统在原点处的平衡状态是
大范围渐近稳定的。
选取
李雅普诺夫主要的稳定性定理
例题
[例] 已知定常系统状态方程为
定义:若所有有界输入引起的零状态响应输出有界,则称系统为有界输入输出稳定。
李雅普诺夫第一方法—间接法
定理3:连续定常系统 传递函数为: 系统 BIBO 稳定的充要条件为:传递函数的所有极点均位于S左半平面。
【例】试分析系统渐近稳定和BIBO稳定。
李雅普诺夫主要的稳定性定理
讨论续
这是一个矛盾的结果,表明
也不是系统的
受扰运动解。综合以上分析可知,

时,显然有
根据定理9-12可判定系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。
李雅普诺夫主要的稳定性定理
线性系统稳定性分析
一.线性定常系统李雅普诺夫稳定性分析
线性定常连续系统
系统状态方程为

第四章 李雅普诺夫稳定性PPT课件

第四章 李雅普诺夫稳定性PPT课件
第五章 李雅普诺夫稳定性分析
5.1 几个稳定性概念 5.2李雅普诺夫稳定性定理 5.3线性系统中李雅普诺夫稳定性分析 5.4非线性系统中李雅普诺夫稳定性分析
1
稳定性定义
稳定性与能控性,能测性一样,均是系统的结构性 质。一个动态系统的稳定性,通常指系统的平衡状 态是否稳定。简单的说,稳定性是指系统在扰动消 失后,由初始偏差状态恢复到原平衡状态的性能, 其是系统的一个自身动态属性。
系统的平衡状态是一致渐近稳定的。
10
李雅普诺夫稳定性定理
定理5-1(李雅普诺夫稳定性的基本定理) 并称 V ( x , t ) 是系统的一个李雅普诺夫函数。 进一步,若 V ( x , t ) 还满足: (3) limV(x,t) ,则系统的平衡状态是大
x
范围一致渐近稳定的。
11
李雅普诺夫稳定性定理
2
平衡状态
对于系统自由运动,令输入 u 0 ,系统的齐次状态方程

为 xf(x,t) (5-1)式(5-1)的解为 x(t) (t;x0,t0) (5-2)
式(5-2)描述了系统(5-1)在n维状态空间的运动轨线。
在式(5-1)所描述的系统中,存在状态点 x e ,当系统运动
到该点时,系统状态各分量维持平衡,不在随时间变化,即
发的状态轨迹都收敛于x e 。
8
李雅普诺夫稳定性定理
李雅普稳定性理论提出了判断系统稳定性的两 种方法。
1.第一方法:利用状态方程解的性质来判断系 统的稳定性。
2.第二方法:无须求解状态方程而是借助于象 征广义能量的李雅普诺夫函数 V ( x , t ) 及其对 时间的偏导数V• ( x , t ) 的符号特征直接判定平 衡状态的稳定性。
存在(,t0) 0,使得当 x0xe (,t0)时,系统(5-1) 从任意初始状态 x(t0) x0出发的解满足

李雅普诺夫稳定性理论

李雅普诺夫稳定性理论

几点说明: 1) V ( x, t ) 选取不唯一,但没有通用办法, V ( x, t ) . 选取不当,会导致 V ( x, t ) 不定的结果。 2) 这仅仅是充分条件。 . V ( x, t )--单调衰减(实际上是衰减振荡)
李氏第二法的步骤: 1) 构造一个 V ( x, t ) 二次型; . 2) 求 V ( ,并代入状态方程; . x, t ) 3) 判断 V ( x, t ) 的定号性; . V [ x(t ; x0 , t ), t ] 是否为零。 4) 判断非零情况下, 渐进稳定 李氏稳定 不稳定

上式为向量函数的雅可比矩阵。
f f1

f2 fn
T
x x1 x2 xn
T
x f ( xe ) x
f A T x
x xe
x x xe
则线性化系统方程为:
Ax x
结论: 1) 若 Re(i ) 0 i 1,2,, n ,则非线 性系统在 xe 处是渐进稳定的,与 g ( x) 无关。 2) 若 Re(i ) 0 Re( j ) 0 i j 1,, n 则不稳定。 3) 若 Re(i ) 0,稳定性与 g ( x)有关,
.
说明: x 0 V ( x, t ) 0 系统维持等 能量水平运动,使 x(t; x0 , t0 ) 维持在非零 状态而不运行至原点。 定理4:若(1) V . ( x, t ) 正定; (2) V ( x, t ) 正定 . 则原点是不稳定的。 说明:V ( x, t ) 正定 能量函数随时间增 大,x(t; x0 , t0 ) 在xe 处发散。
g ( x) 0 则是李雅普诺夫意义下的稳定性。
3.3 李雅普诺夫第二法(直接法)

李雅普诺夫稳定性的基本定理

李雅普诺夫稳定性的基本定理

试确定系统在原点处的稳定性。 试确定系统在原点处的稳定性。 解 1: 由状态方程知 原点为该系统的平衡态。 原点为该系统的平衡态。 : 由状态方程知,原点为该系统的平衡态 将系统在原点处线性化,则系统矩阵为 将系统在原点处线性化 则系统矩阵为 0 ∂f (x) A= = τ ∂x x =xe − K 2 1 − K1
因此,系统的特征方程为 因此 系统的特征方程为 |λI-A|=λ2+K1λ+K2=0
李雅普诺夫第一法(8/7)
2. 由李雅普诺夫第一法知 原非线性系统的原点为渐近稳定的充 由李雅普诺夫第一法知,原非线性系统的原点为渐近稳定的充 分条件为: 分条件为 K1>0 和 K2>0.
参看课本P168 参看课本
李雅普诺夫第二法(2/3)
李雅普诺夫第二法又称为直接法。 李雅普诺夫第二法又称为直接法。 它是在用能量观点分析稳定性的基础上建立起来的。 它是在用能量观点分析稳定性的基础上建立起来的。 若系统平衡态渐近稳定,则系统经激励后 其储存的能 若系统平衡态渐近稳定 则系统经激励后,其储存的能 则系统经激励后 量将随着时间推移而衰减。当趋于平衡态时,其能量 量将随着时间推移而衰减。当趋于平衡态时 其能量 达到最小值。 达到最小值。 反之,若平衡态不稳定 则系统将不断地从外界吸收能 反之 若平衡态不稳定,则系统将不断地从外界吸收能 若平衡态不稳定 其储存的能量将越来越大。 量,其储存的能量将越来越大。 其储存的能量将越来越大 基于这样的观点,只要能找出一个能合理描述动态系统的 基于这样的观点 只要能找出一个能合理描述动态系统的 n维状态的某种形式的能量正性函数 通过考察该函数随 维状态的某种形式的能量正性函数,通过考察该函数随 维状态的某种形式的能量正性函数 时间推移是否衰减,就可判断系统平衡态的稳定性。 时间推移是否衰减 就可判断系统平衡态的稳定性。 就可判断系统平衡态的稳定性

李雅普诺夫稳定性理论PPT课件

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b.非线性系统
f ( xe , t ) 0 可能有多个 xe x
eg. x 1 x1
2 x1 x2 x x

3 2
1 0 x
xe 1 0

2 0 x
0 xe3 1

0 xe2 1
=f(x,t)的解为 x(t , x0 , t0 ) 2.初态 x
x(t0 , x0 , t0 ) x0 初态
3.平衡状态:

xe 系统的平衡状态 e f ( xe , t ) 0 x n Ax xR x a.线性系统
A非奇异: A奇异:
Axe 0 xe 0 Axe 0 有无穷多个 xe
4)判
正负半定 ( x, t ) 0 ? V x0 V
( x, t ) 0 反设 V 0 李氏意义下的稳定 若x 0,V 0, 渐近稳定 若 x 0 , V
1 x2 x1 ( x1 x2 ) 试用李氏第二法判稳 eg1.x 2 x1 x2 ( x1 x2 ) x
1 2 2
且 lim x(t , x0 , t0 ) xe
t 0
t t0
则称 xe 是李氏意义下的稳定。
与t0无关 一致稳定
2.渐近稳定 1)是李氏意义下的稳定
x(t , x0 , t0 ) xe 0 2) lim t
与t0无关 一致渐进稳定
3.大范围内渐进稳定性
0
5.2李雅普诺夫意义下的稳定
1.李氏意义下的稳定
如果对每个实数 0 都对应存在另一个 实数 ( , t0 ) 0 满足 x0 xe ( , t0 )

第3章 李雅普诺夫稳定性

第3章 李雅普诺夫稳定性

x2
ε
δ
x0
x1
x0 − xe ≤ δ (ε )
Lyapunov渐近稳定 线性系统平衡状态不稳定 →系统不稳定 非线性系统平衡状态不稳定 →系统不稳定 →或进入另一个稳定平衡状态
则称该平衡状态是大范围一致渐近稳定的
不稳定性
不论任意给定的 δ , ε 有多小,只要从 S (δ ) 出发 的轨迹,都将超出 S (ε ) 以外,则称此平衡状态是 不稳定的
第3章 李雅普诺夫稳定性理论
x2
ε
δ
x0
x1
线性定常系统的稳定性判定: ¾ 劳斯(1877)-霍尔维斯判据(1895) ¾ Nyquist判据(1932) 但对非线性或时变系统,难以判定
1892年苏联学者Lyapunov提出了两种方法: 第一法:通过解系统的微分方程,然后根据解的性质判定。非 线性系统在工作点附近线性化,判断特征根 第二法(直接法):不求解微分方程直接判定,重点内容
& = Ax 的渐近稳定的充要条件 为:给定一正定实对称 矩阵 Q(t ) 定理:系统 x ,有 & (t ) = −Q (t ) 成立。 惟一正定实对称矩阵 P (t ) ,使 AT (t )P (t ) + P (t )A(t ) + P
• 定常离散系统 设系统 x(k + 1) = Ax(k ) x ∈ R n 线性系统的平衡状态 xe = 0 选取 Lyapunov函数 V ( x ) = xT (k )Px(k ) P为实对称矩阵 & ( x ) → ∆V ( x(k )) 用差分代替微分 V ∆V ( x(k )) = V ( x(k + 1)) − V ( x(k )) = xT (k + 1)Px(k + 1) − xT (k )Px(k ) = xT (k )[AT PA − P ]x(k ) 令 − Q = AT PA − P ⇒ ∆V ( x(k )) = − xT (k )Qx(k )
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( x1 2x2 )2 ( x1 2x2 )2
函数的定号性是一个相对概念, 与其函数定义域有关。
2 对 x 与 x 组成的 2 维空间为非负定的, 但是 如, 函数 2 x2 1 2
对于 1 维空间 x2 则为正定的。
(2) 二次型函数和对称矩阵的正定性
二次型函数 (quadratic function) 是一类特殊形式函数。 设V(x)为关于 n 维变量向量 x 的实二次型函数, 则其可以 表示为
欲讨论系统在平衡态xe的稳定性,先必须将非线性向量函数 f(x)在平衡态附近展开成Taylor级数,即有
f ( x ) x f ( xe ) x τ
( x -xe ) R( x -xe )
x xe
A( x -xe ) R( x -xe ) x xe
其中A为nn维的向量函数f(x)与x间的雅可比矩阵; R(x-xe)为Taylor展开式中包含x-xe的二次及二次以上的余项。
1) 正定函数
2 2 x1 2x2 2 ( x1 2x2 )2 x2
2) 负定函数
2 2 x1 2x2 2 ( x1 2x2 )2 5x1
3) 非负定函数
2 2x2
( x1 2x2 )2
( x1 2x2 )2
4) 非正定函数
2 3x1
5) 不定函数
2 2 3x1 2x2
于零;
P为不定的充分必要条件是的对角线元素有正有负。
定理11-3中的合同变换 (congruence transformation) 是指对 对称矩阵的同样序号的行和列同时作同样的初等变换。 上述三种判别实对称矩阵P的定号性的方法, 各有千秋。但 总的说来, 基于Sylvester定理的方法计算量较大,若将该方法推广
态方程的特征值, 根据特征值在复平面的分布来分析稳定性。
值得指出的区别是: 经典控制理论讨论在有界输入下的输出稳定性问题, 而Lyapunov方法讨论状态稳定性问题。 由于Lyapunov第一法需要求解线性化后系统的特征值, 因此该方法也仅能适用于非线性定常系统或线性定常系 统,但是不能推广用于时变系统。
若对任意 n 维非零向量 x,都有 V(x)≤0, 且V(0)=0, 则称函数V(x) 为区域 上的非正定函数。
若无论取多么小的原点的某个邻域, V(x)可为正值也可 为负值, 则称函数V(x)为不定函数。
下面是几个在由变量x1和x2组成的2维线性空间中的正定函数、
负定函数等的例子。
定义11-6 设xRn, 是Rn中包含原点的一个区域,若实函数
V(x)对任意n维非零向量x,都有V(x)<0; 当且仅当x=0时, 才有V(x)=0,则称函数V(x)为区域上的负定函数。
若对任意 n 维非零向量 x,都有 V(x)≥0, 且V(0)=0,
则称函数V(x) 为区域 上的非负定函数。
二次型函数和对称矩阵的正定性 quadratic
function and symmetric matrix 矩阵正定性的判别方法
(1) 实函数的正定性
实函数正定性问题亦称为函数定号性问题。 它主要讨论该函数的值在什么条件下恒为正,什么条件 下恒为负的。 下面先给出n维向量x的标量实函数V(x)的正定性定义。
正实部,则原非线性系统的平衡态xe不稳定,而且该平 衡态的稳定性与高阶项R(x)无关。
3. 若线性化系统的系统矩阵A除有实部为零的特征值外,
其余特征值都具有负实部,则原非线性系统的平衡态xe 的稳定性由高阶项R(x)决定。
由上述Lyapunov第一法的结论可知, 该方法与经典控制理论 中稳定性判据的思路一致, 需求解线性化状态方程或线性状
其中 P 称为二次型函数 V(x) 权矩阵, 它为如下 nn 维实对称 矩阵:
a11 a12 / 2 a / 2 a 22 P 12 ... ... a / 2 a / 2 2n 1n
... a1n / 2 ... a2 n / 2 ... ... ... a nn
由Lyapunov第一法的结论可知,该方法能解决部分 弱非线性系统的稳定性判定问题,但对强非线性系 统的稳定性判定则无能为力,而且该方法不易推广 到时变系统。
下面我们讨论对所有动态系统的状态方程的稳
定性分析都适用的Lyapunov第二法。 Lyapunov's second method
Lyapunov第二法又称为直接法(direct method) 。 它是在用能量观点分析稳定性的基础上建立起来的。
合同变换法 congruence transformation
下面分别进行介绍。
定理11-1(Sylvester定理) (1) 实对称矩阵P为正定的充要条件
是P 的各阶顺序主子式 (order principal minor determinant) 均大于零,即
Δ1 p11 0
Δ2
的一次近似式,如果用该一次近似式来表达原非线性方程的 近似动态方程,即可得如下线性化的状态方程:
x’=A(x-xe)
由于对如上式所示的状态方程总可以通过n维状态空间 中的坐标平移,将平衡态xe移到原点。
因此, 上式又可转换成如下原点平衡态的线性状态方程: x’=Ax 判别非线性系统平衡态xe稳定性的Lyapunov第一法的思想为:
11.2 Lyapunov第一方法
Lyapunov第一法又称间接法(indirect method), 它是研究 动态系统的一次近似数学模型(线性化模型)稳定性的方法。 它的基本思路是: 首先,对于非线性系统,可先将非线性状态方程在平衡 态附近进行线性化,
即在平衡态求其一次Taylor展开式 (Taylor expansion) 然后,利用这一次展开式表示的线性化方程去分析 系统稳定性。
若系统平衡态渐近稳定,则系统经激励后,其储存 的能量将随着时间推移而衰减。当趋于平衡态时, 其能量达到最小值。
反之,若平衡态不稳定,则系统将不断地从外界吸 收能量,其储存的能量将越来越大。 基于这样的观点,只要能找出一个能合理描述动态系统 的n维状态的某种形式的能量正性函数,通过考察该函 数随时间推移是否衰减,就可判断系统平衡态的稳定性。
例11-1 某装置的动力学特性用下列常微分方程组来描述:
x2 x1 x K ( x 2 1) x K x 2 2 1 2 1 1
试确定系统在原点处的稳定性。
K1 , K 2 0
解 1: 由状态方程知,原点为该系统的平衡态。 将系统在原点处线性化,则系统矩阵为
二次型函数与一般函数一样,具有正定、负定、非负定、非 正定和不定等定号性概念。
二次型函数V(x)和它的对称权矩阵P是一一对应的。
因此,由二次型函数的正定性同样可定义对称矩阵 P 的 正定性。
定义11-8 设对称矩阵P为二次型函数V(x)的权矩阵,当V(x) 分别为正定、负定、非负定、非正定与不定时,则称对称矩 阵P相应为正定、负定、非负定、非正定与不定。 □
其次,解出线性化状态方程组或线性状态方程组的特征 值,然后根据全部特征值在复平面上的分布情况来判定 系统在零输入情况下的稳定性。
下面将讨论Lyapunov第一法的结论以及在判定系统的状态稳 定性中的应用。
设所讨论的非线性动态系统的状态方程为
x’=f(x) 其中 f(x) 为与状态向量 x 同维的关于 x 的非线性向量函数, 其各元素对x有连续的偏导数。
p11 p21
p12 p22
0
... Δn | P | 0
其中pij为实对称矩阵P的第 i 行第 j 列元素。
(2) 实对称矩阵P为负定的充要条件是P 的各阶顺序主子式满足
0 i为偶数 i 0 i为奇数
i 1,2,...,n
定理11-2 实对称矩阵P为正定、负定、非负定与非正定的充 分必要条件是P的所有特征值分别大于零、小于零、大于等 于零与小于等于零; 实对称矩阵P为不定的充分必要条件是 P 的特征值有正 有负。 定理11-3 实对称矩阵P必定可经合同变换转化成对角矩阵, 则P为正定、负定、非负定与非正定的充分必要条件是的所 有对角线元素分别大于零、小于零、大于等于零与小于等
0 f (x) A x x xe K 2 1 K1
因此,系统的特征方程为 |I-A|=2+K1+K2=0 2. 由Lyapunov第一法知,原非线性系统的原点为渐近稳定 的充分条件为:
K1>0 和 K2>0.
11.3 Lyapunov第二方法
负定函数 negative definite function
非负定(又称半正定或正半定)函数 non-negative definite function; positive semi-definite function 非正定函数(又称半负定或负半定) non-positive definite function; negative semi-definite function 不定函数。 indefinite function
在给出Lyapunov稳定性定理之前,下面先介绍 数学预备知识 然后介绍 Lyapunov稳定性定理的直观意义 最后给出 Lyapunov稳定性定理
1. 数学预备知识 preliminary knowledge 下面介绍在Lyapunov稳定性分析中需应用到的如下 数学预备知识: 函数的正定性 positive definiteness
定义11-5 设xRn, 是 Rn 中包含原点的一个区域,若实函 数V(x) 对任意 n 维非零向量 x 都有V(x)>0;当且仅当 x=0 时,才有V(x)=0, 则称函数V(x)为区域上的正定函数。Positive definite function
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