李雅普诺夫稳定性的基本定理

p11 p21
p12 p22
0
... Δn | P | 0
其中pij为实对称矩阵P的第 i 行第 j 列元素。
(2) 实对称矩阵P为负定的充要条件是P 的各阶顺序主子式满足
0 i为偶数 i 0 i为奇数
i 1,2,...,n
定理11-2 实对称矩阵P为正定、负定、非负定与非正定的充 分必要条件是P的所有特征值分别大于零、小于零、大于等 于零与小于等于零; 实对称矩阵P为不定的充分必要条件是 P 的特征值有正 有负。 定理11-3 实对称矩阵P必定可经合同变换转化成对角矩阵, 则P为正定、负定、非负定与非正定的充分必要条件是的所 有对角线元素分别大于零、小于零、大于等于零与小于等
定义11-5 设xRn， 是 Rn 中包含原点的一个区域，若实函 数V(x) 对任意 n 维非零向量 x 都有V(x)>0；当且仅当 x=0 时，才有V(x)=0, 则称函数V(x)为区域上的正定函数。Positive definite function
从定义可知，所谓正定函数，即指除零点外恒为正值的标量 函数。由正定函数的定义，相应地可定义
Lyapunov稳定性的基本定理
主要研究Lyapunov意义下各种稳定性的判定定理和判定方法。 讨论的主要问题有:
基本概念: 矩阵和函数的定号性 (正定性、负定性等)
基本方法: 非线性系统线性化方法
Lyapunov第一法 Lyapunov's first method 矩阵符号(正定性、负定性等)检验方法 Lyapunov第二法 Lyapunov's second method 重点、难点!
欲讨论系统在平衡态xe的稳定性，先必须将非线性向量函数 f(x)在平衡态附近展开成Taylor级数，即有
f ( x ) x f ( xe ) x τ
( x -xe ) R( x -xe )
x xe
A( x -xe ) R( x -xe ) x xe
其中A为nn维的向量函数f(x)与x间的雅可比矩阵; R(x-xe)为Taylor展开式中包含x-xe的二次及二次以上的余项。
若系统平衡态渐近稳定，则系统经激励后，其储存 的能量将随着时间推移而衰减。当趋于平衡态时， 其能量达到最小值。
反之，若平衡态不稳定，则系统将不断地从外界吸 收能量，其储存的能量将越来越大。 基于这样的观点，只要能找出一个能合理描述动态系统 的n维状态的某种形式的能量正性函数，通过考察该函 数随时间推移是否衰减，就可判断系统平衡态的稳定性。
通过线性化，将讨论非线性系统平衡态稳定性问题转换 到讨论线性系统 x’=Ax 的稳定性问题。
Lyapunov第一法的基本结论是:
1. 若线性化系统的状态方程的系统矩阵A的所有特征值都 具有负实部，则原非线性系统的平衡态xe渐近稳定，而 且系统的稳定性与高阶项R(x)无关。 2. 若线性化系统的系统矩阵A的特征值中至少有一个具有
雅可比矩阵(Jacobian matrix) A 定义为
f ( x ) A x τ
x xe
f1/x1 ... f1/xn ... ... ... f n /x1 ... f n /xn x xe
上述线性化方程的右边第一项A(x-xe)代表原非线性状态方程
于零;
P为不定的充分必要条件是的对角线元素有正有负。
定理11-3中的合同变换 (congruence transformation) 是指对 对称矩阵的同样序号的行和列同时作同样的初等变换。 上述三种判别实对称矩阵P的定号性的方法, 各有千秋。但 总的说来, 基于Sylvester定理的方法计算量较大，若将该方法推广
定义11-6 设xRn, 是Rn中包含原点的一个区域，若实函数
V(x)对任意n维非零向量x，都有V(x)<0; 当且仅当x=0时, 才有V(x)=0，则称函数V(x)为区域上的负定函数。
若对任意 n 维非零向量 x，都有 V(x)≥0, 且V(0)=0,
则称函数V(x) 为区域 上的非负定函数。
二次型函数和对称矩阵的正定性 quadratic
function and symmetric matrix 矩阵正定性的判别方法
(1) 实函数的正定性
实函数正定性问题亦称为函数定号性问题。 它主要讨论该函数的值在什么条件下恒为正，什么条件 下恒为负的。 下面先给出n维向量x的标量实函数V(x)的正定性定义。
其次，解出线性化状态方程组或线性状态方程组的特征 值，然后根据全部特征值在复平面上的分布情况来判定 系统在零输入情况下的稳定性。
下面将讨论Lyapunov第一法的结论以及在判定系统的状态稳 定性中的应用。
设所讨论的非线性动态系统的状态方程为
x’=f(x) 其中 f(x) 为与状态向量 x 同维的关于 x 的非线性向量函数, 其各元素对x有连续的偏导数。
合同变换法 congruence transformation
下面分别进行介绍。
定理11-1(Sylvester定理) (1) 实对称矩阵P为正定的充要条件
是P 的各阶顺序主子式 (order principal minor determinant) 均大于零，即
Δ1 p11 0
Δ2
由Lyapunov第一法的结论可知，该方法能解决部分 弱非线性系统的稳定性判定问题，但对强非线性系 统的稳定性判定则无能为力，而且该方法不易推广 到时变系统。
下面我们讨论对所有动态系统的状态方程的稳
定性分析都适用的Lyapunov第二法。 Lyapunov's second method
Lyapunov第二法又称为直接法(direct method) 。 它是在用能量观点分析稳定性的基础上建立起来的。
因此，由上述定义就可将判别二次型函数的正定性 转换成为判别对称矩阵的正定性。
对称矩阵P为正定、负定、非负定与非正定时,
并可分别记为
P>0, P<0, P≥0, P≤0。
(3) 矩阵正定性的判别方法 判别矩阵的正定性(定号性)的方法主要有 Sylvester（西尔维斯特）判别法 矩阵特征值判别法
负定函数 negative definite function
非负定(又称半正定或正半定)函数 non-negative definite function; positive semi-definite function 非正定函数(又称半负定或负半定) non-positive definite function; negative semi-definite function 不定函数。 indefinite function
0 f (x) A x x xe K 2 1 K1
因此，系统的特征方程为 |I-A|=2+K1+K2=0 2. 由Lyapunov第一法知，原非线性系统的原点为渐近稳定 的充分条件为:
K1>0 和 K2>0.
11.3 Lyapunov第二方法
V ( x ) a11 x12 a12 x1 x2 ... a1n x1 xn
2 a22 x2 ... a2 n x2 xn
...
2 ann xn
aij x i x j
i 1 j i
n
n
其中aij(i=1,2,…,n,j=i,…,n)为实常数。
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由线性代数知识知, 实二次型函数V(x)又可表示为 V(x)=xTPx
其中 P 称为二次型函数 V(x) 权矩阵, 它为如下 nn 维实对称 矩阵:
a11 a12 / 2 a / 2 a 22 P 12 ... ... a / 2 a / 2 2n 1n
... a1n / 2 ... a2 n / 2 ... ... ... a nn
例11-1 某装置的动力学特性用下列常微分方程组来描述:
x2 x1 x K ( x 2 1) x K x 2 2 1 2 1 1
试确定系统在原点处的稳定性。
K1 , K 2 0
解 1： 由状态方程知，原点为该系统的平衡态。 将系统在原点处线性化，则系统矩阵为
在给出Lyapunov稳定性定理之前，下面先介绍 数学预备知识 然后介绍 Lyapunov稳定性定理的直观意义 最后给出 Lyapunov稳定性定理
1. 数学预备知识 preliminary knowledge 下面介绍在Lyapunov稳定性分析中需应用到的如下 数学预备知识: 函数的正定性 positive definiteness
二次型函数与一般函数一样，具有正定、负定、非负定、非 正定和不定等定号性概念。
二次型函数V(x)和它的对称权矩阵P是一一对应的。
因此，由二次型函数的正定性同样可定义对称矩阵 P 的 正定性。
定义11-8 设对称矩阵P为二次型函数V(x)的权矩阵，当V(x) 分别为正定、负定、非负定、非正定与不定时，则称对称矩 阵P相应为正定、负定、非负定、非正定与不定。 □
的一次近似式，如果用该一次近似式来表达原非线性方程的 近似动态方程，即可得如下线性化的状态方程:
x’=A(x-xe)
由于对如上式所示的状态方程总可以通过n维状态空间 中的坐标平移，将平衡态xe移到原点。
因此, 上式又可转换成如下原点平衡态的线性状态方程: x’=Ax 判别非线性系统平衡态xe稳定性的Lyapunov第一法的思想为:
正实部，则原非线性系统的平衡态xe不稳定，而且该平 衡态的稳定性与高阶项R(x)无关。
3. 若线性化系统的系统矩阵A除有实部为零的特征值外，
其余特征值都具有负实部，则原非线性系统的平衡态xe 的稳定性由高阶项R(x)决定。
由上述Lyapunov第一法的结论可知, 该方法与经典控制理论 中稳定性判据的思路一致, 需求解线性化状态方程或线性状
若对任意 n 维非零向量 x，都有 V(x)≤0, 且V(0)=0, 则称函数V(x) 为区域 上的非正定函数。
若无论取多么小的原点的某个邻域, V(x)可为正值也可 为负值, 则称函数V(x)为不定函数。
下面是几个在由变量x1和x2组成的2维线性空间中的正定函数、
负定函数等的例子。
11.2 Lyapunov第一方法
Lyapunov第一法又称间接法（indirect method）, 它是研究 动态系统的一次近似数学模型(线性化模型)稳定性的方法。 它的基本思路是: 首先，对于非线性系统，可先将非线性状态方程在平衡 态附近进行线性化,
即在平衡态求其一次Taylor展开式 (Taylor expansion) 然后，利用这一次展开式表示的线性化方程去分析 系统稳定性。
( x1 2x2 )2 ( x1 2x2 )2
函数的定号性是一个相对概念, 与其函数定义域有关。
2 对 x 与 x 组成的 2 维空间为非负定的, 但是 如, 函数 2 x2 1 2
对于 1 维空间 x2 则为正定的。
(2) 二次型函数和对称矩阵的正定性
二次型函数 (quadratic function) 是一类特殊形式函数。 设V(x)为关于 n 维变量向量 x 的实二次型函数, 则其可以 表示为
态方程的特征值, 根据特征值在复平面的分布来分析稳定性。
值得指出的区别是: 经典控制理论讨论在有界输入下的输出稳定性问题, 而Lyapunov方法讨论状态稳定性问题。 由于Lyapunov第一法需要求解线性化后系统的特征值, 因此该方法也仅能适用于非线性定常系统或线性定常系 统，但是不能推广用于时变系统。
1) 正定函数
2 2 x1 2x2 2 ( x1 2x2 )2 x2
2) 负定函数
2 2 x1 2x2 2 ( x1 2x2 )2 5x1
3) 非负定函数
2 2x2
( x1 2x2 )2
( x1 2x2 )2
4) 非正定函数
2 3x1
5) 不定函数
2 2 3x1 2x2