从现代数学发展趋势看中学数学教学改革

从现代数学发展趋势看中学数学教学改革

一、现代数学的发展趋势

1.更高的抽象性

在纯粹数学领域中，集合论观点的渗透和公理化方法的运用极大地推动了纯粹数学向更高的抽象化发展。

2.更深入的基础探讨

随着集合论在数学各领域中的渗透和应用，它逐渐成为数学理论的坚实基础，但随后罗素悖论的出现打破了人们对集合论作为数学基础的信任，引起了关于数学基础的一系列问题。例如：(1)如何解决已发现的悖论并进一步保证在公理系统中不出现悖论。(2)如何理解“数学的存在”。(3)有无实无限，如何理解实无限。(4)数学的基础是什么。

3.更强的统一性

20世纪以来，不同学科之间的相互渗透、结合更为广泛．不同分支领域的数学思想与数学方法相互融合，导致了一系列重大发现以及数学内部新的综合交叉学科的不断兴起，数学已经渗入各个领域。特别是20世纪40年代以后，数学以空前的广度和深度向其他科学技术和人类知识领域渗透，加上电子计算机的推助，应用数学的蓬勃发展已成为当代数学的一股强大潮流。

二、顺应发展趋势的中学数学改革

（一）从现代数学的更高的抽象性看中学数学课堂的改革

现代数学越来越抽象，因此锻炼学生的抽象思维是非常关键。那么，在具体数学教学中我们又是如何改革教学，以便更好地锻炼学生的抽象思维呢？

（1）现代中学数学教育注重发展学生的观察力

注重发展学生的观察力，是培养学生抽象思维的前提

正如心理学家鲁宾斯指出的那样，“任何思维，不论它是多么抽象的和多么理论的，都是从观察分析经验材料开始”。观察是智力的门户，是思维的前哨，是启动思维的按钮。观察的深刻与否，决定着创造性思维的形成。因此，引导学生明白对一个问题不要急于按想的套路求解，而要深刻地观察，去伪存真。这不但为最终解决问题奠定基础，而且也可能有创见性的寻找到解决问题的契机。（2）现代中学数学教育注重提高学生的猜想能力

提高学生的猜想能力，是培养学生抽象思维的关键

猜想是由已知原理、事实，对未知现象及其规律做出的一种假设性的命题。在我们的数学教学中，培养学生进行猜想是激发学习兴趣，发展学生思维，掌握探求知识方法的必要手段。我们要善于启发、积极指导、热情鼓励学生进行猜想，以真正达到启迪思维、传授知识的目的。

启发学生进行猜想，作为教师，首先要点燃学生主动探索之火，我们决不能急于把自己全部的秘密都吐露出来。而要“引在前”，“引”学生观察分析；“引”学生大胆设问；“引”学生各抒己见；“引”学生充分活动。让学生去想，猜想问题的结论，猜想解题的方向，猜想知识间的有机联系，让学生把各种各样的想法都讲出来，让学生成为学习的主人，推动其思维的主动性。其次，引导学生采用

归纳、类比的方法大胆猜想。归纳法是通过对一些个别的、特殊的情况加以观察、分析，从而导出一个一般性结论的方法，是一种从特殊到一般的推理方法。人们常常运用归纳法，得出对某一类现象的某种一般性认识的推测性判断，即猜想，这种思想方法称为猜想。

例如：在高中代数中学习组合数性质时，先让学生经过计算考察下列组合数：

15C 与45C ，28C 与68C ，311C 与811C 从而归纳猜想出组合性质：m n C =m n n C -，最后在对该性质加以证明。

所谓类比，是指由一类事物所具有的某种属性，可以推测与其类似的事物也应具有这种属性的一种推理方法。它常称为类比法，也称类比推理。伯利亚认为，类比就是一种相似，类比法是一种从特殊到特殊的推理方法，其结论具有或然性。由类比得到的猜想成为类比猜想。如：在直角三角形ABC 中有勾股定理：222b a c +=,其a,b 为直角边,c 为斜边，类比到空间：在三个面两两垂直的四面体中，这三个面面积分别为A 、B 、C ，如果将地四个面面积为D ，于是可猜测有类似于勾股定理的形式：2222C B A D ++=。可以证明，这个结论是正确的。

(3)现代中学教育重视直觉思维能力的培养

重视直觉思维能力的培养，是培养学生抽象思维的基础

直觉思维是指人们不受逻辑规则约束，直接领悟事物本质的一种思维方式。直觉思维与逻辑思维一样，都是人类思维的基本方式。美国心理学家布鲁纳认为，应该做更多的工作区发展学生的直觉思维。笛卡尔也曾认为在数学推理中的每一步，直觉思维是不可缺少的。就好像我们平时踢足球要球感一样，在快速运动中来不及去逻辑判断，动作只是下意识的，而下意识的动作正是在平时训练产生的一种直觉。

现代社会需要创造性的人才，我国的教材由于长期以来借鉴国外的经验，过多的注重培养逻辑思维，培养的大多是按部就班、墨守成规，缺乏创造性能力和开拓精神。直觉思维是基于研究对象整体上的把握，不专意于细节的推敲，是思维的大手笔。正是由于思维的无意识性，他的想象才是丰富的，发散的，是人的认知结构向外无限扩展，因而具有反常规律的独创性。

伊恩·斯图加特说：“直觉是真正的数学家赖以生存的东西”，许多重大的发现都是基于直觉。欧几里德几何学的五个公式都是基于直觉；阿基米德在浴室里找到了辨别王冠真假的方法；凯庫勒发现苯分子环状结构更是一个直觉思维的成功典范。

直觉思维能力可以通过多方联想，学会从整体考虑问题，注意挖掘问题内部的本质联系，借助对称、和谐等数学美感。养成解题后进行反思的习惯等途径加以培养。例如：如图，有一边长为3的立方体，它有27个边长为1 的小立方体组成，其中19 个看得见，8个看不见，问在 边长为n 的立方体中，看不见的边长为1的小立方体有多少个？看得见的小立方体有多少个？

从大立方体的顶面、剩下部分恰好就是看不见立方体，于是边长为n 的立方体，看不见的小立方体有3)1(-n ，

立方体有133)1(233+-=--n n n n 个，十分简明了。

（4）现代中学教育注重发散思维的训练

注重发散思维的训练，是培养学生抽象思维的重要环节

发散思维就是对熟悉的事物，能够采用新的方法或新的角度加以研究，从而在相同或相似之处看出不同的思维形式，见人所未见。它具有流畅性、变通性和创造性的特征。根据现代心理学的观点，一个人创造能力的大小，一般来说与他的发散能力是成正比的。在数学教学中，不断采用一题多解、一题多变、一题多思等传统方法，并且引导学生评价各种不同解法的特点及优劣，不但能提高学生的学习兴趣，而且对于提高解题能力、优化解题思路、增强发散思维能力都大有好处。

（5）现代中学教育注重引入数学开放题，是培养抽象思维的良好载体

引入数学开放题，是培养抽象思维的良好载体

数学开放题是在20世纪70年代开始出现的一种新题型，开放题是相对于传统封闭题而言，其主要特征是条件不完备，结论不确定，解题策略多样化。由于它具有与传统封闭题不同的特点，因此在数学教学中有其特定功能。数学开放题以其新颖的问题内容、生动的问题形式和问题解决的发散性，给解题的创造能力提供了良好的载体；同时它为学生提供了更多的交流和合作的机会，为充分发挥学生的主题作用创造了条件；数学开放题的教学过程是学生主动构建，积极参与的过程，有利于培养学生数学意识，发展学生的数感，真正学会思维。

数学命题根据思维形式一般可分为“假设”、“推理”、“判断”三个要素。一个数学开放题，可视其未知要素作如下分类：①若未知要素是假设，则为条件开放题；②若未知要素是推理，则为策略开放题；③若未知要素为判断，则为结论开放题；④若问题只给出一定的情境，其条件、解题策略与结论都要求解题者根据给出情境自己寻求与设定，则可称为综合开放题，开放题也按其标准进行分类。

例如：如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，当地面四边形满足＿ 条件时，有（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形）这是1998年全国高考数学卷中的第18题，也是全国高考中第一次出现的开放题，这是一道条件开放题，可以填写AC ⊥BD,ABCD 为菱形，ABCD 为正方形等。

（6）现代中学教育注重利用计算机辅助教学

利用计算机辅助教学，是培养抽象思维的重要手段。

目前供数学教师使用的教学软件有Powerpoint, AutoCAD, Authorware,《几何画板》和《数学实验室》等。在数学教学过程中，使用计算机辅助教学，可以突破传统教学的限制，进行一系列有关图形、计算等演示；能有效突破难点，突破重点；能培养学生的探索精神，激发学生学习兴趣。在动态的教学中培养学生的空间想象力、发现问题的能力，在推理演算中培养逻辑思维能力。

例如：在学习正弦型曲线时，教师在黑板上或学生在练习本上都只能通过优先的几个函数去描点绘图，绘出的图也不太准确，不利于学生研究问题的本质。如果能够让学生亲自在计算机上输入数据，通过图像的不断变化，能在短时间内让学生发现图像特点，有利于加深对正弦型曲线的理解和掌握。当然，在教学中要正确处理计算机辅助教学与传统教学手段之间的关系，要根据教学实际，编制并采用适合课堂教学的计算机课件，才有利于培养学生的探索精神，锻炼学生创新思维，从而达到创新教育的目的。

总之，在教学中培养创造性思维能力符合我国的国情。另外，开展创新教育