2021年九年级数学中考一轮复习高频考点《轴对称确定最短路线》小专题突破训练

2021年九年级数学中考高频考点《轴对称确定最短路线》小专题突破训练

1．如图，动点M在边长为2的正方形ABCD内，且AM⊥BM，P是CD边上的一个动点，E是AD边的中点，则线段PE+PM的最小值为（）

A．﹣1B．+1C．D．+1

2．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在AB上且BE＝1，F为对角线AC上一动点，则△BFE周长的最小值为（）

A．5B．6C．7D．8

3．如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4，以点O为圆心，2为半径的圆与OB交于点C，过点C作CD⊥OB交AB于点D，点P是边OA上的动点．当PC+PD 最小时，OP的长为（）

A．B．C．1D．

4．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝3，动点P满足S△P AB＝S矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和P A+PB的最小值为（）

A．2B．2C．3D．

5．如图，在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），点C在边AB上，且＝，点D 为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为（）

A．（2，2）B．（，）C．（，）D．（3，3）

6．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，P为对角线BD上的一个动点，则下列线段的长等于AP+EP最小值的是（）

A．AB B．DE C．BD D．AF

7．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，动点P满足S△P AB＝S矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和P A+PB的最小值为（）

A．B．C．5D．

8．平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣1）三点，D（1，m）是一个动点，当△ACD的周长最小时，△ABD的面积为（）

A．B．C．D．

9．如图，抛物线y＝x2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y交于C点，且A（﹣1，0），点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，m的值是（）

A．B．C．D．

10．如图所示，四边形OABC为正方形，边长为6，点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D在OA上，且D的坐标为（2，0），P是OB上的一动点，试求PD+P A和的最小值是（）

A．2B．C．4D．6

11．如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）

A．2B．2C．3D．

12．如图，直线l是一条河，P，Q两地相距8千米，P，Q两地到l的距离分别为2千米，5千米，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向P，Q两地供水．现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（）

A．B．C．D．

13．如图，四边形ABCD中，DA⊥AB，CB⊥AB，AD＝3，AB＝5，BC＝2，P是边AB上的动点，则PC+PD的最小值是．

14．如图，在矩形ABCD中，BC＝10，∠ABD＝30°，若点M、N分别是线段DB、AB上的两个动点，则AM+MN的最小值为．

15．如图，在直角坐标系中，点A（1，1），B（3，3）是第一象限角平分线上的两点，点C 的纵坐标为1，且CA＝CB，在y轴上取一点D，连接AC，BC，AD，BD，使得四边形ACBD的周长最小，这个最小周长的值为．

16．如图，在平面直角坐标系中，已知A（3，6），B（﹣2，2），在x轴上取两点C，D（点C在点D左侧），且始终保持CD＝1，线段CD在x轴上平移，当AD+BC的值最小时，点C的坐标为．

17．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E是边AB的中点，点P是对角线BD上的动点，则AP+PE的最小值是．

18．如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD方向平移，得到△EFG，连接EC、GC．求EC+GC的最小值为．

19．如图，△ABC为等边三角形，边长为6，AD⊥BC，垂足为点D，点E和点F分别是线段AD和AB上的两个动点，连接CE，EF，则CE+EF的最小值为．

20．如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，分别连接A'C，A'D，B'C，则A'C+B'C的最小值为．

21．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，矩形内部有一动点P满足S△P AB＝S矩形ABCD，则点P到A、B两点的距离之和P A+PB的最小值为．

22．在平面直角坐标系内有两点A、B，其坐标为A（﹣1，﹣1），B（2，7），点M为x轴上的一个动点，若要使MB﹣MA的值最大，则点M的坐标为．

23．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，以AB为边在AB上方作正方形ABDE，过点D作DF ⊥CB，交CB的延长线于点F，连接BE．

（1）求证：△ABC≌△BDF；

（2）P，N分别为AC，BE上的动点，连接AN，PN，若DF＝5，AC＝9，求AN+PN的最小值．

24．如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，BC＝AD，点E为AD的中点，点F为AE的中点，AC⊥CD，连接BE、CE、CF．

（1）判断四边形ABCE的形状，并说明理由；

（2）如果AB＝4，∠D＝30°，点P为BE上的动点，求△P AF的周长的最小值．

25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，E为AB边的中点，以BE为边作等边△BDE，连接AD，CD．

（1）求证：△ADE≌△CDB；

（2）若BC＝，在AC边上找一点H，使得BH+EH最小，并求出这个最小值．

26．问题背景：

如图（a），点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，则点C即为所求．

（1）实践运用：

如图（b），已知，⊙O的直径CD为4，点A在⊙O上，∠ACD＝30°，B为弧AD的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为．

（2）知识拓展：

如图（c），在Rt△ABC中，AB＝10，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程．

27．阅读材料：

（1）对于任意两个数a、b的大小比较，有下面的方法：

当a﹣b＞0时，一定有a＞b；

当a﹣b＝0时，一定有a＝b；

当a﹣b＜0时，一定有a＜b．

反过来也成立．因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”．

（2）对于比较两个正数a、b的大小时，我们还可以用它们的平方进行比较：

∵a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），a+b＞0

∴（a2﹣b2）与（a﹣b）的符号相同

当a2﹣b2＞0时，a﹣b＞0，得a＞b

当a2﹣b2＝0时，a﹣b＝0，得a＝b

当a2﹣b2＜0时，a﹣b＜0，得a＜b

解决下列实际问题：

（1）课堂上，老师让同学们制作几种几何体，张丽同学用了3张A4纸，7张B5纸；李明同学用了2张A4纸，8张B5纸．设每张A4纸的面积为x，每张B5纸的面积为y，且x＞y，张丽同学的用纸总面积为W1，李明同学的用纸总面积为W2．回答下列问题：

①W1＝（用x、y的式子表示）

W2＝（用x、y的式子表示）

②请你分析谁用的纸面积最大．

（2）如图1所示，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，已知A、B 到l的距离分别是3km、4km（即AC＝3km，BE＝4km），AB＝xkm，现设计两种方案：

方案一：如图2所示，AP⊥l于点P，泵站修建在点P处，该方案中管道长度a1＝AB+AP．方案二：如图3所示，点A′与点A关于l对称，A′B与l相交于点P，泵站修建在点P 处，该方案中管道长度a2＝AP+BP．

①在方案一中，a1＝km（用含x的式子表示）；

②在方案二中，a2＝km（用含x的式子表示）；

③请你分析要使铺设的输气管道较短，应选择方案一还是方案二．

28．在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题．

如图（1），要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什

么地方，可使所用的输气管线最短？

你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？

聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法．他把管道l看成一条直线（图（2）），问题就转化为，要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小．他的做法是这样的：

①作点B关于直线l的对称点B′．

②连接AB′交直线l于点P，则点P为所求．

请你参考小华的做法解决下列问题．如图在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC＝6，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使△PDE得周长最小．（1）在图中作出点P（保留作图痕迹，不写作法）．

（2）请直接写出△PDE周长的最小值：．

29．去冬今春，济宁市遭遇了200年不遇的大旱，某乡镇为了解决抗旱问题，要在某河道建一座水泵站，分别向河的同一侧张村A和李村B送水．经实地勘查后，工程人员设计图纸时，以河道上的大桥O为坐标原点，以河道所在的直线为x轴建立直角坐标系（如图）．两村的坐标分别为A（2，3），B（12，7）．

（1）若从节约经费考虑，水泵站建在距离大桥多远的地方可使所用输水管道最短？

（2）水泵站建在距离大桥多远的地方，可使它到张村、李村的距离相等？

30．几何模型：

条件：如下图，A、B是直线l同旁的两个定点．

问题：在直线l上确定一点P，使P A+PB的值最小．

方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则P A+PB＝A′B的值最小（不必证明）．

模型应用：

（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连接ED交AC于P，则PB+PE的最小值是；

（2）如图2，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC＝60°，P是OB上一动点，求P A+PC的最小值；

（3）如图3，∠AOB＝45°，P是∠AOB内一点，PO＝10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．