2021年九年级数学中考一轮复习高频考点《轴对称确定最短路线》小专题突破训练

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2021年九年级数学中考一轮复习高频考点《轴对称确定最短路线》小专题突破训练答案

2021年九年级数学中考高频考点《轴对称确定最短路线》小专题突破训练答案1．解：作点E关于DC的对称点E'，设AB的中点为点O，连接OE'，交DC于点P，连接PE，如图：∵动点M在边长为2的正方形ABCD内，且AM⊥BM，∴点M在以AB为直径的圆上，OM＝AB＝1，∵正方形ABCD的边长为2，∴AD＝AB＝2，∠DAB＝90°，∵E是AD的中点，∴DE＝AD＝×2＝1，∵点E与点E'关于DC对称，∴DE'＝DE＝1，PE＝PE'，∴AE'＝AD+DE'＝2+1＝3，在Rt△AOE'中，OE'＝＝＝，∴线段PE+PM的最小值为：PE+PM＝PE'+PM＝ME'＝OE'﹣OM＝﹣1．故选：A．2．解：如图，连接ED交AC于一点F，连接BF，∵四边形ABCD是正方形，∴点B与点D关于AC对称，∴BF＝DF，∴△BFE的周长＝BF+EF+BE＝DE+BE，此时△BEF的周长最小，∵正方形ABCD的边长为4，∴AD＝AB＝4，∠DAB＝90°，∵点E在AB上且BE＝1，∴AE＝3，∴DE＝，∴△BFE的周长＝5+1＝6，故选：B．3．解：如图，延长CO交⊙O于点E，连接ED，交AO于点P，此时PC+PD的值最小．∵CD⊥OB，∴∠DCB＝90°，又∠AOB＝90°，∴∠DCB＝∠AOB，∴CD∥AO∴∵OC＝2，OB＝4，∴BC＝2，∴，解得，CD＝；∵CD∥AO，∴＝，即＝，解得，PO＝故选：B．4．解：设△ABP中AB边上的高是h．∵S△P AB＝S矩形ABCD，∴AB•h＝AB•AD，∴h＝AD＝2，∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，BE，则BE的长就是所求的最短距离．在Rt△ABE中，∵AB＝6，AE＝2+2＝4，∴BE＝＝＝2，即P A+PB的最小值为2．故选：A．5．解：∵在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），∴AB＝OB＝4，∠AOB＝45°，∵＝，点D为OB的中点，∴BC＝3，OD＝BD＝2，∴D（2，0），C（4，3），作D关于直线OA的对称点E，连接EC交OA于P，则此时，四边形PDBC周长最小，E（0，2），∵直线OA的解析式为y＝x，设直线EC的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线EC的解析式为y＝x+2，解得，，∴P（，），故选：C．6．解：如图，连接CP，由AD＝CD，∠ADP＝∠CDP＝45°，DP＝DP，可得△ADP≌△CDP，∴AP＝CP，∴AP+PE＝CP+PE，∴当点E，P，C在同一直线上时，AP+PE的最小值为CE长，此时，由AB＝CD，∠ABF＝∠CDE，BF＝DE，可得△ABF≌△CDE，∴AF＝CE，∴AP+EP最小值等于线段AF的长，故选：D．7．解：设△ABP中AB边上的高是h．∵S△P AB＝S矩形ABCD，∴AB•h＝AB•AD，∴h＝AD＝2，∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．在Rt△ABE中，∵AB＝5，AE＝2+2＝4，∴BE＝＝＝，即P A+PB的最小值为．故选：D．8．解：由题可得，点C关于直线x＝1的对称点E的坐标为（2，﹣1），设直线AE的解析式为y＝kx+b，则，解得，∴y＝﹣x﹣，将D（1，m）代入，得m＝﹣﹣＝﹣，即点D的坐标为（1，﹣），∴当△ACD的周长最小时，△ABD的面积＝×AB×|﹣|＝×4×＝．故选：C．9．解：∵点A（﹣1，0）在抛物线y＝x2+bx﹣2上，∴×（﹣1）2+b×（﹣1）﹣2＝0，∴b＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2，∴顶点D的坐标为（，﹣），作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′＝2连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD的值最小．设抛物线的对称轴交x轴于点E．∵ED∥y轴，∴∠OC′M＝∠EDM，∠C′OM＝∠DEM∴△C′OM∽△DEM．∴＝，即＝，∴m＝．故选：B．10．解：连接CD，交OB于P．则CD就是PD+P A和的最小值．∵在直角△OCD中，∠COD＝90°，OD＝2，OC＝6，∴CD＝＝2，∴PD+P A＝PD+PC＝CD＝2．∴PD+P A和的最小值是2．故选：A．11．解：设BE与AC交于点F（P′），连接BD，∵点B与D关于AC对称，∴P′D＝P′B，∴P′D+P′E＝P′B+P′E＝BE最小．即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，为BE的长度；∵正方形ABCD的面积为12，∴AB＝2．又∵△ABE是等边三角形，∴BE＝AB＝2．故所求最小值为2．故选：A．12．解：A、PQ+QM＝8+2＝10km；B、∵QM+PM＝P′Q，P′Q2＝82﹣（5﹣2）2+（5+2）2＝104，∴P′Q＝2km＞10km；C、QM+PR＝5+＞10；D、PM+QM＝5+＞10．综上所述，A选项铺设的管道最短．故选：A．13．解：延长CB到C′，使C′B＝CB＝2，连接DC′交AB于P．则DC′就是PC+PD 的和的最小值．∵AD∥BC，∴∠A＝∠PBC′，∠ADP＝∠C′，∴△ADP∽△BC′P，∴AP：BP＝AD：BC′＝3：2，′∴PB＝AP，∵AP+BP＝AB＝5，∴AP＝3，BP＝2，∴PD＝＝＝3，PC′＝＝＝2，∴DC′＝PD+PC′＝3+2＝5，∴PC+PD的最小值是5，故答案为5．14．解：作点A关于BD的对称点A′，连接MA′，BA′，过点A′作A′H⊥AB于H．∵BA＝BA′，∠ABD＝∠DBA′＝30°，∴∠ABA′＝60°，∴△ABA′是等边三角形，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝10，在Rt△ABD中，AB＝＝10，∵A′H⊥AB，∴AH＝HB＝5，∴A′H＝AH＝15，∵AM+MN＝A′M+MN≥A′H，∴AM+MN≥15，∴AM+MN的最小值为15．故答案为15．15．解：∵点A（1，1），点C的纵坐标为1，∴AC∥x轴，∴∠BAC＝45°，∵CA＝CB，∴∠ABC＝∠BAC＝45°，∴∠C＝90°，∵B（3，3）∴C（3，1），∴AC＝BC＝2，作B关于y轴的对称点E，连接AE交y轴于D，则此时，四边形ACBD的周长最小，这个最小周长的值＝AC+BC+AE，过E作EF⊥AC交CA的延长线于F，则EF＝BC＝2，AF＝6﹣2＝4，∴AE＝＝＝2，∴最小周长的值＝AC+BC+AE＝4+2，故答案为：4+2．16．解：把A（3，6）向左平移1得A′（2，6），作点B关于x轴的对称点B′，连接B′A′交x轴于C，在x轴上取点D（点C在点D 左侧），使CD＝1，连接AD，则AD+BC的值最小，∵B（﹣2，2），∴B′（﹣2，﹣2），设直线B′A′的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线B′A′的解析式为y＝2x+2，当y＝0时，x＝﹣1，∴C（﹣1，0），故答案为：（﹣1，0）．17．解：如图，连接CE交BD于点P，连接AP，∵四边形ABCD是正方形，∴点A与点C关于BD对称，∴AP＝CP，∴AP+EP＝CP+EP＝CE，此时AP+PE的最小值等于CE的长，∵正方形ABCD的边长为4，点E是边AB的中点，∴BC＝4，BE＝2，∠ABC＝90°，∴CE＝＝，∴AP+PE的最小值是，故答案为：．18．解：∵在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴AB＝CD＝1，∠ABD＝30°，∵将△ABD沿射线BD的方向平移得到△EGF，∴EG＝AB＝1，EG∥AB，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAD＝120°，∴EG＝CD，EG∥CD，连接ED∴四边形EGCD是平行四边形，∴ED＝GC，∴EC+GC的最小值＝EC+ED的最小值，∵点E在过点A且平行于BD的定直线上，∴作点D关于定直线的对称点M，连接CM交定直线于E，则CM的长度即为EC+DE的最小值，∵∠EAD＝∠ADB＝30°，AD＝1，∴∠ADM＝60°，DH＝MH＝AD＝，∴DM＝1，∴DM＝CD，∵∠CDM＝∠MDG+∠CDB＝90°+30°＝120°，∴∠M＝∠DCM＝30°，∴CM＝2×CD＝．故答案为：．19．解：过C作CF⊥AB交AD于E，则此时，CE+EF的值最小，且CE+EF的最小值＝CF，∵△ABC为等边三角形，边长为6，∴BF＝AB＝6＝3，∴CF＝＝＝3，∴CE+EF的最小值为3，故答案为：3．20．解：∵在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴AB＝CD＝1，∠ABD＝30°，∵将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，∴A′B′＝AB＝1，A′B′∥AB，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAD＝120°，∴A′B′＝CD，A′B′∥CD，∴四边形A′B′CD是平行四边形，∴A′D＝B′C，∴A'C+B'C的最小值＝A′C+A′D的最小值，∵点A′在过点A且平行于BD的定直线上，∴作点D关于定直线的对称点E，连接CE交定直线于A′，则CE的长度即为A'C+B'C的最小值，∵∠A′AD＝∠ADB＝30°，AD＝1，∴∠ADE＝60°，DH＝EH＝AD＝，∴DE＝1，∴DE＝CD，∵∠CDE＝∠EDB′+∠CDB＝90°+30°＝120°，∴∠E＝∠DCE＝30°，∴CE＝2×CD＝．故答案为：．21．解：设△ABP中AB边上的高是h．∵S△P AB＝S矩形ABCD，∴AB•h＝AB•AD，∴h＝AD＝2，∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．在Rt△ABE中，∵AB＝4，AE＝2+2＝4，∴BE＝＝＝4，即P A+PB的最小值为4．故答案为：4．22．解：取点B关于x轴的对称点B′，则直线AB′交x轴于点M．点M即为所求．设直线AB′解析式为：y＝kx+b把点A（﹣1，﹣1）B′（2，﹣7）代入解得∴直线AB′为：y＝﹣2x﹣3，当y＝0时，x＝﹣∴M坐标为（﹣，0）故答案为：（﹣，0）23．（1）证明：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，DF⊥CB，∴∠C＝∠DFB＝90°．∵四边形ABDE是正方形，∴BD＝AB，∠DBA＝90°，∵∠DBF+∠ABC＝90°，∠CAB+∠ABC＝90°，∴∠DBF＝∠CAB，∴△ABC≌△BDF（AAS）；（2）解：∵△ABC≌△BDF，∴DF＝BC＝5，BF＝AC＝9，∴FC＝BF+BC＝9+5＝14．如图，连接DN，∵BE是正方形顶点A与顶点D的对称轴，∴AN＝DN．如使得AN+PN最小，只需D、N、P在一条直线上，由于点P、N分别是AC和BE上的动点，作DP1⊥AC，交BE于点N1，垂足为P1，所以，AN+PN的最小值等于DP1＝FC＝14．24．解：（1）四边形ABCE是菱形，理由如下：∵点E是AD的中点，∴AE＝AD．∵BC＝AD，∴AE＝BC．∵BC∥AD，即BC∥AE．∴四边形ABCE是平行四边形∵AC⊥CD，点E是AD的中点，∴CE＝AE＝DE，∴四边形ABCE是菱形（2）由（I）得，四边形ABCE是菱形．∴AE＝EC＝AB＝4，且点A、C关于BE对称∵点F是AE的中点，AF＝AE＝2∴当P A+PF最小时，△P AF的周长最小即点P为CF与BE的交点时，△P AF的周长最小，此时△P AF的周长＝P A+PF+AF＝CF+AF，在Rt△ACD中，点E是AD的中点，则CE＝DE，．∠ECD＝∠D＝30°，∠ACE＝90°﹣30°＝60°．∴△ACE是等边三角形．∴AC＝AE＝CE＝4．∵AF＝EF，CF⊥AE∴CF＝＝2△P AF的周长最小＝CF+AF＝2．25．（1）证明：在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，E为AB边的中点，∴BC＝EA，∠ABC＝60°．∵△DEB为等边三角形，∴DB＝DE，∠DEB＝∠DBE＝60°，∴∠DEA＝120°，∠DBC＝120°，∴∠DEA＝∠DBC∴△ADE≌△CDB．（2）解：如图，作点E关于直线AC对称点E'，连接BE'交AC于点H．则点H即为符合条件的点．由作图可知：EH＝HE'，AE'＝AE，∠E'AC＝∠BAC＝30°．∴∠EAE'＝60°，∴△EAE'为等边三角形，∴，∴∠AE'B＝90°，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，，∴，，∴，∴BH+EH的最小值为3．26．解：（1）作点B关于CD的对称点E，连接AE交CD于点P，此时P A+PB最小，且等于AE．作直径AC′，连接C′E．根据垂径定理得＝．∵∠ACD＝30°，∴∠AOD＝60°，∠DOE＝30°，∴∠AOE＝90°，∴∠C′AE＝45°，又AC′为圆的直径，∴∠AEC′＝90°，∴∠C′＝∠C′AE＝45°，∴C′E＝AE＝AC′＝2，即AP+BP的最小值是2．故答案为：2；（2）如图，在斜边AC上截取AB′＝AB，连结BB′．∵AD平分∠BAC，∴∠B′AM＝∠BAM，在△B′AM和△BAM中，∴△B′AM≌△BAM（SAS），∴BM＝B′M，∠BMA＝∠B′MA＝90°，∴点B与点B′关于直线AD对称．过点B′作B′F⊥AB，垂足为F，交AD于E，连结BE，则线段B′F的长即为所求．（点到直线的距离最短）在Rt△AFB′中，∵∠BAC＝45°，AB′＝AB＝10，∴B′F＝AB′•sin45°＝AB•sin45°＝10×＝5，∴BE+EF的最小值为．27．（1）解：①W1＝3x+7y，W2＝2x+8y，故答案为：3x+7y，2x+8y．②解：W1﹣W2＝（3x+7y）﹣（2x+8y）＝x﹣y，∵x＞y，∴x﹣y＞0，∴W1﹣W2＞0，得W1＞W2，所以张丽同学用纸的总面积大．（2）①解：a1＝AB+AP＝x+3，故答案为：x+3．②解：过B作BM⊥AC于M，则AM＝4﹣3＝1，在△ABM中，由勾股定理得：BM2＝AB2﹣12＝x2﹣1，在△A′MB中，由勾股定理得：AP+BP＝A′B＝＝，故答案为：．③解：＝（x+3）2﹣（）2＝x2+6x+9﹣（x2+48）＝6x﹣39，当＞0（即a1﹣a2＞0，a1＞a2）时，6x﹣39＞0，解得x＞6.5，当＝0（即a1﹣a2＝0，a1＝a2）时，6x﹣39＝0，解得x＝6.5，当＜0（即a1﹣a2＜0，a1＜a2）时，6x﹣39＜0，解得x＜6.5，综上所述当x＞6.5时，选择方案二，输气管道较短，当x＝6.5时，两种方案一样，当0＜x＜6.5时，选择方案一，输气管道较短．28．解：（1）作D点关于BC的对称点D′，连接D′E，与BC交于点P，P点即为所求；（2）∵点D、E分别是AB、AC边的中点，∴DE为△ABC中位线，∵BC＝6，BC边上的高为4，∴DE＝3，DD′＝4，∴D′E＝＝＝5，∴△PDE周长的最小值为：DE+D′E＝3+5＝8，故答案为：8．29．解：（1）作点B关于x轴的对称点E，连接AE，则点E为（12，﹣7）设直线AE的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），则解得，当y＝0时，x＝5．所以，水泵站建在距离大桥5千米的地方，可使所用输水管道最短．（2）作线段AB的垂直平分线GF，交AB于点F，交x轴于点G设点G的坐标为（x，0）在Rt△AGD中，AG2＝AD2+DG2＝32+（x﹣2）2在Rt△BCG中，BG2＝BC2+GC2＝72+（12﹣x）2∵AG＝BG，∴32+（x﹣2）2＝72+（12﹣x）2解得x＝9．所以，水泵站建在距离大桥9千米的地方，可使它到张村、李村的距离相等．30．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AC垂直平分BD，∴PB＝PD，由题意易得：PB+PE＝PD+PE＝DE，在△ADE中，根据勾股定理得，DE＝；（2）作A关于OB的对称点A′，连接A′C，交OB于P，P A+PC的最小值即为A′C的长，∵∠AOC＝60°∴∠A′OC＝120°，∵AO＝CO，AO＝A′O∴∠OA'C＝∠OCA'＝30°，作OD⊥A′C于D，则∠A′OD＝60°∵OA′＝OA＝2∴A′D＝∴；（3）分别作点P关于OA、OB的对称点M、N，连接OM、ON、MN，MN交OA、OB 于点Q、R，连接PR、PQ，此时△PQR周长的最小值等于MN．由轴对称性质可得，OM＝ON＝OP＝10，∠MOA＝∠POA，∠NOB＝∠POB，∴∠MON＝2∠AOB＝2×45°＝90°，在Rt△MON中，MN＝＝＝10．即△PQR周长的最小值等于10．。

2021年九年级中考数学几何教学重难点专题：轴对称之线段最短问题(五)

2021年九年级中考数学几何教学重难点专题：轴对称之线段最短问题（五）1．在平面直角坐标系中，P点坐标为（2，6），Q点坐标为（2，2），点M为y轴上的动点．（1）在平面直角坐标系内画出当△PMQ的周长取最小值时点M的位置．（保留作图痕迹）（2）写出点M的坐标．2．如图，在锐角三角形ABC中，BC＝4，∠ABC＝45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，试求CM+MN的最小值．3．已知：矩形ABCD中，AD＝2AB，AB＝6，E为AD中点，M为CD上一点，PE⊥EM交CB于点P，EN平分∠PEM交BC于点N．（1）求证：PE＝EM；（2）用等式表示BP2、PN2、NC2三者的数量关系，并加以证明；（3）过点P作PG⊥EN于点G，K为EM中点，连接DK、KG，求DK+KG+PG的最小值．4．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M．（1）若∠B＝80°，则∠NMA的度数是．（2）连接MB，若AB＝9cm，△MBC的周长是16cm．①求BC的长；②在直线MN上是否存在点P，使由P，B，C构成的△PBC的周长值最小？若存在，标出点P的位置并证明；若不存在，说明理由．5．在平面直角坐标系中有一点A，其坐标为A（3，2）回答下列问题：（1）点A关于x轴的对称点B的坐标点为点A关于y轴的对称点C的坐标点为（2）若在x轴上找一点D，使DA+DC之和最短，则点D的坐标为（3）若在x轴上找一点E，使△OAE为等腰三角形，则有个这样的E点．6．如图，∠AOB＝30°，点P是∠AOB内一点，PO＝8，在∠AOB的两边分别有点R、Q （均不同于O），求△PQR周长的最小值．7．如图，BD是△ABC的角平分线，它的垂直平分线分别交AB，BD，BC于点E，F，G，连接ED，DG．（1）请判断四边形EBGD的形状，并说明理由．（2）若∠ABC＝30°，∠C＝45°，ED＝，点H是BD上的一个动点，求HG+HC 的最小值．8．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M．（1）若∠B＝70°，则∠NMA的度数是．（2）连接MB，若AB＝8cm，△MBC的周长是14cm．①求BC的长；②在直线MN上是否存在点P，使由P，B，C构成的△PBC的周长值最小？若存在，标出点P的位置并求△PBC的周长最小值；若不存在，说明理由．9．如图，草地边缘OM与小河河岸ON在点O处形成30°的夹角，牧马人从A地出发，先让马到草地吃草，然后再去河边饮水，最后回到A地．已知OA＝2km，请在图中设计一条路线，使所走的路径最短，并求出整个过程所行的路程．10．将军在B处放马，晚上回营，需要将马赶到河CD去饮水一次，再回到营地A，已知A 到河岸的距离AE＝2公里，B到河岸的距离BF＝3公里，EF＝12公里，求将军最短需要走多远．参考答案1．解：（1）如图所示：（2）设直线Q′P的解析式为y＝kx+b，将点Q′、点P的坐标代入得：．解得：b＝4．故点M的坐标为（0，4）．2．解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC于N′，则CE即为CM+MN的最小值，∵BC＝4，∠ABC＝45°，BD平分∠ABC，∴△BCE是等腰直角三角形，∴CE＝BC•cos45°＝4×＝4．故CM+MN的最小值为4．3．（1）证明：过P作PQ⊥AD于Q，则PQ＝AB，∵AD＝2AB，E为AD中点，∴AD＝2DE，∴PQ＝DE，∵PE⊥EM，∴∠PQE＝∠D＝∠PEM＝90°，∴∠QPE+∠PEQ＝∠PEQ+∠DEM＝90°，∴∠QPE＝∠DEM，∴△PQE≌△EDM（ASA），∴PE＝EM；（2）解：三者的数量关系是：BP2+NC2＝PN2．①点N与点C重合时，P为BC的中点，显然BP2+NC2＝PN2成立；②点P与点B重合时，N为BC的中点，显然BP2+NC2＝PN2成立；③证明：如图2，连接BE、CE，∵四边形ABCD为矩形，AD＝2AB，E为AD中点，∴∠A＝∠ABC＝90°，AB＝CD＝AE＝DE，∴∠AEB＝45°，∠DEC＝45°，在△ABE和△DCE中，，∴△ABE≌△DCE（SAS），∠BEC＝90°，∴BE＝CE，∴∠EBC＝∠ECB＝45°，∴∠EBC＝∠ECD，又∵∠BEC＝∠PEM＝90°，∴∠BEP＝∠MEC，在△BEP和△CEM中，，∴△BEP≌△CEM（ASA），∴BP＝MC，PE＝ME，∵EN平分∠PEM，∴∠PEN＝∠MEN＝＝45°，在△EPN和△EMN中，，∴△EPN≌△EMN（SAS），∴PN＝MN，在Rt△MNC中有：MC2+NC2＝MN2，∴BP2+NC2＝PN2；（3）解：如图3，连接PM，由（2），可得PN＝MN，PE＝ME，∴EN垂直平分PM，PG⊥EN，∴P、G、M三点共线，且G为PM的中点，∵K为EM中点，∴GK＝ME，又∵∠D＝90°，∴DK＝ME，由（2），可得△PEM为等腰直角三角形，根据勾股定理，可得PG＝GM＝ME，∴DK+GK+PG＝＝（1+）ME，∴当ME取得最小值时，DK+GK+PG取得最小值，即当ME＝DE＝6时，DK+GK+PG有最小值，最小值为：（1+）×6＝6+3．4．解：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠A＝180°﹣2∠B，又∵MN垂直平分AB，∴∠NMA＝90°﹣∠A＝90°﹣（180°﹣2∠B）＝2∠B﹣90°＝70°，故答案为：70°；（2）如图：①∵MN垂直平分AB．∴MB＝MA，又∵△MBC的周长是16cm，∴AC+BC＝16cm，∴BC＝7cm．②当点P与点M重合时，PB+CP的值最小，最小值是9cm．5．解：（1）点A关于x轴的对称点B的坐标点为（3，﹣2）点A关于y轴的对称点C的坐标（﹣3，2）故答案为（3，﹣2），（﹣3，2）；（2）如图1中，作点A关于x轴的对称点A′，连接A′C与x轴交于点D（与O重合），此时AD+CD最小．∴D（0，0），故答案为（0，0）．（3）如图2中，满足条件的点E有4个，故答案为4．6．解：分别作P关于OA、OB的对称点M、N．连接MN交OA、OB交于Q、R，则△PQR符合条件．连接OM、ON，由轴对称的性质可知，OM＝ON＝OP＝8，∠MON＝∠MOP+∠NOP＝2∠AOB＝2×30°＝60°，则△MON为等边三角形，∴MN＝8，∵QP＝QM，RN＝RP，∴△PQR周长＝MN＝8，7．解：四边形EBGD是菱形．理由：∵EG垂直平分BD，∴EB＝ED，GB＝GD，∴∠EBD＝∠EDB，∵∠EBD＝∠DBC，∴∠EDF＝∠GBF，在△EFD和△GFB中，，∴△EFD≌△GFB，∴ED＝BG，∴BE＝ED＝DG＝GB，∴四边形EBGD是菱形；（2）作EM⊥BC于M，DN⊥BC于N，连接EC交BD于点H，此时HG+HC最小，在Rt△EBM中，∵∠EMB＝90°，∠EBM＝30°，EB＝ED＝4，∴EM＝BE＝2，∵DE∥BC，EM⊥BC，DN⊥BC，∴EM∥DN，EM＝DN＝2，MN＝DE＝4，在Rt△DNC中，∵∠DNC＝90°，∠DCN＝45°，∴∠NDC＝∠NCD＝45°，∴DN＝NC＝2，∴MC＝4+2＝6，在Rt△EMC中，∵∠EMC＝90°，EM＝2．MC＝6，∴EC＝＝4∵HG+HC＝EH+HC＝EC，∴HG+HC的最小值为4．8．解：（1）若∠B＝70°，则∠NMA的度数是50°，故答案为：50°；（2）如图：①∵MN垂直平分AB．∴MB＝MA，又∵△MBC的周长是14cm，∴AC+BC＝14cm，∴BC＝6cm．②当点P与点M重合时，PB+CP的值最小，最小值是8+6＝14cm．9．解：分别画出点A关于OM、ON的对称点B、C，连接BC交OM、ON于点D、E，连接AD、AE，则线段AD、DE、EA即为所示路径；由题意得，OB＝OA＝2，三角形OBC为等边三角形，∴BC＝2，故其总路程为2km．10．解：作A点关于河岸的对称点A′，连接BA′交河岸与P，连接A′B′，则BB′＝2+3＝5，则PB+P A＝PB+P A′＝BA′最短，故将军应将马赶到河边的P地点．作FB′＝EA′，且FB′⊥CD，∵FB′＝EA′，FB′⊥CD，BB′∥A′A，∴四边形A′B′BA是矩形，∴B'A'＝EF，在Rt△BB′A′中，BA′＝＝13，答：将军最短需要走13公里．。

2021年九年级数学中考一轮复习高频考点《轴对称确定最短路线》小专题突破训练

2021年九年级数学中考高频考点《轴对称确定最短路线》小专题突破训练1．如图，动点M在边长为2的正方形ABCD内，且AM⊥BM，P是CD边上的一个动点，E是AD边的中点，则线段PE+PM的最小值为（）A．﹣1B．+1C．D．+12．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在AB上且BE＝1，F为对角线AC上一动点，则△BFE周长的最小值为（）A．5B．6C．7D．83．如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4，以点O为圆心，2为半径的圆与OB交于点C，过点C作CD⊥OB交AB于点D，点P是边OA上的动点．当PC+PD 最小时，OP的长为（）A．B．C．1D．4．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝3，动点P满足S△P AB＝S矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和P A+PB的最小值为（）A．2B．2C．3D．5．如图，在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），点C在边AB上，且＝，点D 为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为（）A．（2，2）B．（，）C．（，）D．（3，3）6．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，P为对角线BD上的一个动点，则下列线段的长等于AP+EP最小值的是（）A．AB B．DE C．BD D．AF7．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，动点P满足S△P AB＝S矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和P A+PB的最小值为（）A．B．C．5D．8．平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣1）三点，D（1，m）是一个动点，当△ACD的周长最小时，△ABD的面积为（）A．B．C．D．9．如图，抛物线y＝x2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y交于C点，且A（﹣1，0），点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，m的值是（）A．B．C．D．10．如图所示，四边形OABC为正方形，边长为6，点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D在OA上，且D的坐标为（2，0），P是OB上的一动点，试求PD+P A和的最小值是（）A．2B．C．4D．611．如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A．2B．2C．3D．12．如图，直线l是一条河，P，Q两地相距8千米，P，Q两地到l的距离分别为2千米，5千米，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向P，Q两地供水．现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（）A．B．C．D．13．如图，四边形ABCD中，DA⊥AB，CB⊥AB，AD＝3，AB＝5，BC＝2，P是边AB上的动点，则PC+PD的最小值是．14．如图，在矩形ABCD中，BC＝10，∠ABD＝30°，若点M、N分别是线段DB、AB上的两个动点，则AM+MN的最小值为．15．如图，在直角坐标系中，点A（1，1），B（3，3）是第一象限角平分线上的两点，点C 的纵坐标为1，且CA＝CB，在y轴上取一点D，连接AC，BC，AD，BD，使得四边形ACBD的周长最小，这个最小周长的值为．16．如图，在平面直角坐标系中，已知A（3，6），B（﹣2，2），在x轴上取两点C，D（点C在点D左侧），且始终保持CD＝1，线段CD在x轴上平移，当AD+BC的值最小时，点C的坐标为．17．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E是边AB的中点，点P是对角线BD上的动点，则AP+PE的最小值是．18．如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD方向平移，得到△EFG，连接EC、GC．求EC+GC的最小值为．19．如图，△ABC为等边三角形，边长为6，AD⊥BC，垂足为点D，点E和点F分别是线段AD和AB上的两个动点，连接CE，EF，则CE+EF的最小值为．20．如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，分别连接A'C，A'D，B'C，则A'C+B'C的最小值为．21．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，矩形内部有一动点P满足S△P AB＝S矩形ABCD，则点P到A、B两点的距离之和P A+PB的最小值为．22．在平面直角坐标系内有两点A、B，其坐标为A（﹣1，﹣1），B（2，7），点M为x轴上的一个动点，若要使MB﹣MA的值最大，则点M的坐标为．23．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，以AB为边在AB上方作正方形ABDE，过点D作DF ⊥CB，交CB的延长线于点F，连接BE．（1）求证：△ABC≌△BDF；（2）P，N分别为AC，BE上的动点，连接AN，PN，若DF＝5，AC＝9，求AN+PN的最小值．24．如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，BC＝AD，点E为AD的中点，点F为AE的中点，AC⊥CD，连接BE、CE、CF．（1）判断四边形ABCE的形状，并说明理由；（2）如果AB＝4，∠D＝30°，点P为BE上的动点，求△P AF的周长的最小值．25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，E为AB边的中点，以BE为边作等边△BDE，连接AD，CD．（1）求证：△ADE≌△CDB；（2）若BC＝，在AC边上找一点H，使得BH+EH最小，并求出这个最小值．26．问题背景：如图（a），点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，则点C即为所求．（1）实践运用：如图（b），已知，⊙O的直径CD为4，点A在⊙O上，∠ACD＝30°，B为弧AD的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为．（2）知识拓展：如图（c），在Rt△ABC中，AB＝10，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程．27．阅读材料：（1）对于任意两个数a、b的大小比较，有下面的方法：当a﹣b＞0时，一定有a＞b；当a﹣b＝0时，一定有a＝b；当a﹣b＜0时，一定有a＜b．反过来也成立．因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”．（2）对于比较两个正数a、b的大小时，我们还可以用它们的平方进行比较：∵a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），a+b＞0∴（a2﹣b2）与（a﹣b）的符号相同当a2﹣b2＞0时，a﹣b＞0，得a＞b当a2﹣b2＝0时，a﹣b＝0，得a＝b当a2﹣b2＜0时，a﹣b＜0，得a＜b解决下列实际问题：（1）课堂上，老师让同学们制作几种几何体，张丽同学用了3张A4纸，7张B5纸；李明同学用了2张A4纸，8张B5纸．设每张A4纸的面积为x，每张B5纸的面积为y，且x＞y，张丽同学的用纸总面积为W1，李明同学的用纸总面积为W2．回答下列问题：①W1＝（用x、y的式子表示）W2＝（用x、y的式子表示）②请你分析谁用的纸面积最大．（2）如图1所示，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，已知A、B 到l的距离分别是3km、4km（即AC＝3km，BE＝4km），AB＝xkm，现设计两种方案：方案一：如图2所示，AP⊥l于点P，泵站修建在点P处，该方案中管道长度a1＝AB+AP．方案二：如图3所示，点A′与点A关于l对称，A′B与l相交于点P，泵站修建在点P 处，该方案中管道长度a2＝AP+BP．①在方案一中，a1＝km（用含x的式子表示）；②在方案二中，a2＝km（用含x的式子表示）；③请你分析要使铺设的输气管道较短，应选择方案一还是方案二．28．在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题．如图（1），要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法．他把管道l看成一条直线（图（2）），问题就转化为，要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小．他的做法是这样的：①作点B关于直线l的对称点B′．②连接AB′交直线l于点P，则点P为所求．请你参考小华的做法解决下列问题．如图在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC＝6，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使△PDE得周长最小．（1）在图中作出点P（保留作图痕迹，不写作法）．（2）请直接写出△PDE周长的最小值：．29．去冬今春，济宁市遭遇了200年不遇的大旱，某乡镇为了解决抗旱问题，要在某河道建一座水泵站，分别向河的同一侧张村A和李村B送水．经实地勘查后，工程人员设计图纸时，以河道上的大桥O为坐标原点，以河道所在的直线为x轴建立直角坐标系（如图）．两村的坐标分别为A（2，3），B（12，7）．（1）若从节约经费考虑，水泵站建在距离大桥多远的地方可使所用输水管道最短？（2）水泵站建在距离大桥多远的地方，可使它到张村、李村的距离相等？30．几何模型：条件：如下图，A、B是直线l同旁的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使P A+PB的值最小．方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则P A+PB＝A′B的值最小（不必证明）．模型应用：（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连接ED交AC于P，则PB+PE的最小值是；（2）如图2，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC＝60°，P是OB上一动点，求P A+PC的最小值；（3）如图3，∠AOB＝45°，P是∠AOB内一点，PO＝10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．。

2021年中考数学总复习突破-轴对称(原卷版)

2021年数学中考一轮单元总复习达标精准突破（原卷版）轴对称单元知识点呈现知识点1：轴对称1.对称轴：如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；这条直线叫做对称轴。

2.对称点：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。

3.线段的垂直平分线定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。

线段的垂直平分线的性质（1）轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

（2）角平分线上的点到角两边距离相等。

（3）线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等。

（4）与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

（5）轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。

知识点2：画轴对称图形的方法几何图形都可以看作由点组成，对于某些图形，只要画出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形。

知识点3：等腰三角形与等边三角形1.等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，（等边对等角）2.等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，简称为“三线合一”。

3.等腰三角形的判定：等角对等边。

4.等边三角形角的特点：三个内角相等，等于60°，5.等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等腰三角形。

有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形有两个角是60°的三角形是等边三角形。

6.直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

7．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

重点及方法解读一、学习线段的垂直平分线要求1.掌握线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理，能够利用尺规作已知线段的垂直平分线．2.会证明三角形的三条中垂线必交于一点.掌握三角形的外心性质定理.3.已知底边和底边上的高，求作等腰三角形.4.能运用线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理解决简单的几何问题及实际问题．二、线段的垂直平分线要点梳理要点一、线段的垂直平分线1. 线段的垂直平分线定义。

2021年中考数学复习《中考压轴题：轴对称之线段最短问题》经典题型靶向提升练习(三)

2021年中考数学复习《中考压轴题：轴对称之线段最短问题》经典题型靶向提升练习（三）1．如图，点P是∠AOB内部一点，现有一只蚂蚁要从P点出发，先到OA，再到OB，最后返回到点P．请作出蚂蚁爬行的最短路径（要求：保留作图痕迹，不写作法．）2．在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD 的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．（1）如图①，若∠ADE＝60°，AB＝AC＝2，点D在线段BC上，①∠BCE和∠BAC之间是有怎样的数量关系？不必说明理由；②当四边形ADCE的周长取最小值时，直接写出BD的长；（2）若∠BAC≠60°，当点D在射线BC上移动，如图②，则∠BCE和∠BAC之间有怎样的数量关系？并说明理由．3．如图，在矩形ABCD中，E是对角线BD上一点（不与点B、D重合），过点E作EF∥AB，且EF＝AB，连接AE、BF、CF．（1）若DE＝DC，求证：四边形CDEF是菱形；（2）若AB＝，BC＝3，当四边形ABFE周长最小时，四边形CDEF的周长为．4．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ACB＝30°，AC＝10，CD是角平分线．（1）如图1，若E是AC边上的一个定点，在CD上找一点P，使P A+PE的值最小；（2）如图2，若E是AC边上的一个动点，在CD上找一点P，使P A+PE的值最小，并直接写出其最小值．5．如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A，B两城镇供气，泵站修在管道的什么位置可使所用的输气管线最短？6．如图，在7×7网格中，每个小正方形边长都为1．建立适当的平面直角坐标系，使点A （3，4）、C（4，2）．（1）判断△ABC的形状，并求图中格点△ABC的面积；（2）在x轴上有一点P，使得P A+PC最小，则P A+PC的最小值为．7．如图，平面直角坐标系内，A（﹣5，4），B（3，0），C（2，3）按下列要求解答．（1）如图1，在x轴上标出点D的位置，使AD＝BD，直接写出点D的坐标．（2）如图2，在x轴上标出点E的位置，使AE+CE最短，直接写出点E的坐标．8．如图，一牧童的家在点A处，他和哥哥一起在点C处放马，点A，C到河岸的距离分别是AB＝500m，CD＝700m，且B，D两地间的距离为600m．夕阳西下，弟兄俩准备从C 点将马牵到河边去饮水，再赶回家，为了使所走的路程最短．（1）他们应该将马赶到河边的什么地点？请在图中画出来．（2）请求出他们至少要走的路程．9．如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC 边上一点，若AE＝2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为多少？10．如图，在▱ABCD中，AD的垂直平分线经过点B，与CD的延长线交于点E，AD与BE 相交于点O，连接AE，BD．（1）求证：四边形ABDE为菱形；（2）若AD＝8，问在BC上是否存在点P，使得PE+PD最小？若存在，求线段BP的长；若不存在，请说明理由．参考答案1．解：如图，作点P关于OA、OB的对称点P′、P″，连接P′P″与OA、OB交于点M、N，则蚂蚁爬行的最短路径为：PM+MN+PN＝P′M+MN+P″N＝P′P″．2．解：（1）①∠BCE+∠BAC＝180°；②如图1∵△ABD≌△ACE，∴BD＝EC，∵四边形ADCE的周长＝AD+DC+CE+AE＝AD+DC+BD+AE＝BC+2AD，∴当AD最短时，四边形ADCE的周长最小，即AD⊥BC时，周长最小；∵AB＝AC，∴BD＝BC＝1；（2）∠BCE+∠BAC＝180°；理由如下：如图2，AD与CE交于F点，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE，∴∠ADB＝∠AEC，∵∠AFE＝∠CFD，∴∠EAF＝∠ECD，∵∠BAC＝∠F AE，∠BCE+∠ECD＝180°，∴∠BCE+∠BAC＝180°；3．解：（1）∵矩形ABCD中，∴AB∥CD，AB＝CD，∵EF∥AB，EF＝AB，∴EF∥CD，EF＝CD，∴四边形CDEF是平行四边形，∵DE＝DC，∴四边形CDEF是菱形；（2 ）∵AB＝CD，AB∥CD∥EF，EF＝AB，∴AB∥EF，AB＝EF，∴四边形ABFE是平行四边形，∵四边形ABFE周长＝2（BF+EF）＝2（AB+BF），∴当BF⊥BD时，四边形ABFE周长最小；∵AB＝，BC＝3，∴∠CBD＝∠ADB＝30°，∵∠AEB＝∠FBE＝90°，∴∠DAE＝60°，∴∠BAE＝30°，∴AE＝，∴BF＝，∵AE＝，AD＝3，∠ADE＝30°，∴DE＝，∴四边形CDEF的周长＝2（CD+DE）＝2（+）＝5．故答案为：5．4．解：（1）如图，作点E关于CD的对称点F连接AF交CD于点P，则此时，P A+PE的值最小；点P即为所求；（2）如图，过D作DF⊥BC于F，过F作EF⊥AC交CD于P，则此时，P A+PE的值最小；P A+PE的最小值＝EF，∵CD是角平分线，∠BAC＝90°，∴DA＝DF，即点A与点F关于CD对称，∴CF＝AC＝10，∵∠ACB＝30°，∴EF＝CF＝5．5．解：作A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于P，连接AP，则泵站修在管道的P点处，可使所用的输气管线AP+BP最短．理由如下：在直线l上任取一点E，连接AE、BE、A′E，∵A、A′关于直线l对称，∴AP＝A′P，同理AE＝A′E，∵AP+BP＝A′P+BP＝A′B，AE+BE＝A′E+BE＞A′B，∴AP+BP＜A′E+BE，∵E是任意取的一点，∴AP+BP最短．6．解：（1）△ABC是直角三角形，理由：∵AC2+BC2＝25，AB2＝25，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形；△ABC的面积＝××＝5；（2）如图所示，作点C关于x轴的对称点C'，连接AC'交x轴于P，连接CP，则CP＝C'P，∴P A+PC的最小值为AC'的长，∵AC'＝＝，∴P A+PC的最小值为，故答案为：．7．解：（1）如图1所示，点D即为所求，D（﹣2，0）；（2）如图2所示，点E即为所求，E（﹣1，0）．故答案为：（﹣2，0）；（﹣1，0）．8．解：（1）作A点关于河岸的对称点A′，连接CA′交河岸与P，则PC+P A＝PC+P A′＝CA′最短，故牧童应将马牵到河边的P地点．（2）作DB′＝BA′，且DB′⊥BD，∵DB′＝BA′，DB′⊥BD，CB′∥A′A，∴四边形A′B′CA是矩形，∴B'A'＝BD，在Rt△CB′A′中，连接A′B′，则CB′＝CD+DB′＝1200（m），∴CA′＝＝600（m）．9．解：过E作EM∥BC，交AD于N，∵AC＝4，AE＝2，∴EC＝2＝AE，∴AM＝BM＝2，∴AM＝AE，∵AD是BC边上的中线，△ABC是等边三角形，∴AD⊥BC，∵EM∥BC，∴AD⊥EM，∵AM＝AE，∴E和M关于AD对称，连接CM交AD于F，连接EF，则此时EF+CF的值最小，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，AC＝BC，∵AM＝BM，∴∠ECF＝∠ACB＝30°．10．（1）证明：∵BE垂直平分AD，.∴AO＝DO，AD⊥BE．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．∴∠ABE＝∠BED．∵∠AOB＝∠DOE，又AO＝DO，∴△AOB≌△DOE（AAS），∴BO＝EO．又AO＝DO，∴四边形ABDE是平行四边形．∵AD⊥BE，∴四边形ABDE是菱形；（2）解：如图所示：作点D关于BC的对称点D'，DD′交BC于点G，延长EB，过D'作DM⊥BE于点M，连接ED'交BC于点P，此时PD+PE最小；∵∠B0D＝∠OBC＝∠BGD＝90°，∴四边形ODGB是矩形．∴BO＝DG．同理BM＝GD．∴MD'＝DO＝AD＝4．又BO＝EO，∴BO＝EO＝BM．∵∠EBP＝∠M＝90°，∠BEP＝∠MED'，∴△BEP∽△MED′，∴＝＝，∴＝，即BP＝．。

2021年中考数学复习《中考压轴题：轴对称之线段最短问题》经典题型靶向提升练习(二)

2021年中考数学复习《中考压轴题：轴对称之线段最短问题》经典题型靶向提升练习（二）1．在等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，E为AC的中点，P为AD上一动点，若AD ＝12，试求PC+PE的最小值．2．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，3），B（﹣1，﹣1）在y轴上画出一个点P，使P A+PB最小，并写出点P的坐标．3．如图，在直角坐标系中，先描点A（1，1），点B（4，3）．（1）点C是x轴上的一个动点，当AC+BC最小时，画出点C的位置；（2）在本题中你认为有用到如下那些数学道理，请把它挑选出来并填在横线上．A：两点之间线段最短；B：线段垂直平分线的点到线段两个端点的距离相等；C：角平分线上的点到角两边的距离相等；D：三角形两边之和大于第三边．4．先阅读下列文字，再回答问题：已知在平面内有两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），其两点间的距离公式为：P1P2＝．（1）已知点P（2，4），Q（﹣3，﹣8），试求P，Q两点间的距离．（2）已知A（0，6），B（﹣3，2），C（3，2），判断线段AB，BC，AC大小关系．（3）已知点M（m，5），N（0，2）且MN＝5，求m的值．（4）求代数式的最小值．5．尺规作图：用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．如图，已知点A，点B和直线l，（1）在直线上求作一点P，使P A+PB最短；（2）请在直线l上任取一点Q（点Q与点P不重合），连接QA和QB，试说明P A+PB ≤QA+QB．6．在一平直的河岸l同侧有A、B两村．A村位于河流l正南4km，B村位于A村东8km南7km处．现要在河岸边建一水厂C为两村供水，要求管道长度最少，请你确定选址方案，并求出所需最短管道长度．7．尺规作图用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．如图，已知点A，点B和直线l．（1）在直线l上求作一点P，使P A+PB最短；（2）请在直线l上任取一点Q（点Q与点P不重合），连接QA和QB，试说明P A+PB ＜QA+QB．8．如图1和图2，P是直线m上一动点，A、B两点在直线m的同侧，且点A、B所在直线与m不平行．（1）当P点运动到P1位置时，距离A点最近，在图1中的直线m上画出点P1的位置；（2）当P点运动到P2位置时，与A点的距离和与B点距两相等，请在图2中作出P2位置；（3）在直线m上是否存在这样一点P3，使得到A点的距离与到B点的距离之和最小？若存在请在图3中作出这点，若不存在清说明理由．（要求：不写作法，请保留作图痕迹）9．如图1：P是∠AOB内任意一点，OP＝5cm，M和N分别是射线OA和射线OB上的动点．（1）请你在图2中利用作图确定M点和N点的位置，使得△PMN的周长最小（保留作图痕迹）；（2）在图2中若△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是多少？10．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠BCD＝15°，P为CD上的动点，则|P A﹣PB|的最大值为．参考答案1．解：如图，连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小，∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴PC＝PB，∴PE+PC＝PB+PE＝BE，即BE就是PE+PC的最小值，∵AD＝12，点E是边AC的中点，∴AD＝BE＝12，∴PE+PC的最小值是12．2．解：∵A（﹣3，3），∴点A关于y轴对称的点C（3，3），连接BC交y轴于P，则P A+PB最小，设直线BC的解析式为：y＝kx+b，∴，解得：，∴直线BC的解析式为：y＝x，∴点P的坐标（0，0）．3．解：（1）如图，A′（1，﹣1）；点C为所作；（2）故选A，B，D．4．解：（1）根据两点的距离公式得，PQ＝；（2）AB＝，BC＝，AC＝，∴AB＝AC＜BC；（3）根据题意得，，∴m2+9＝25，∴m＝±4；（4）∵可以看成点（x，y）到两点（﹣3，1）和（0，﹣4）的距离之和，∴的最小值为点点（x，y）到两点（﹣3，1）和（0，﹣4）的距离之和的最小值，∵当点（x，y）在以两点（﹣3，1）和（0，﹣4）为端点的线段上时，点（x，y）到两点（﹣3，1）和（0，﹣4）的距离之和的最小值，其最小值为以两点（﹣3，1）和（0，﹣4）为端点的线段长度，∴的最小值为．5．解：（1）作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于P，则点P即为所求；（2）在直线l上任取另一点Q，连接P A、QA、QB．∵点A与A′关于直线l成轴对称，点P、Q在直线l上∴P A＝P A′，QA＝QA′．∵QA′+QB≥A′B，∴QA+QB≥A′B即QA+QB≥A′P+BP，∴P A+PB≤QA+QB．6．解：方案一：如图1，连接AB，过A作AC1⊥l于C1则C1即为水厂地址，过B作BD⊥AC1交C1A的延长线于D，则AD＝7km，BD＝8km，AC1＝4km，∴AB＝＝km，∴所需管道长度＝AC1+AB＝（4+）km；方案二：作A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于C2，则C2即为水厂地址，如图2，过B作BD⊥AA′交A′A的延长线于D，则A′D＝15km，BD＝8km，∴所需管道长度＝A′B＝＝17km，综上所述：所需最短管道长度＝（4+）km．7．解：（1）作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于P，则点P即为所求；（2）在直线l上任取另一点Q，连接P A、QA、QB．∵点A与A′关于直线l成轴对称，点P、Q在直线l上∴P A＝P A′，QA＝QA′．∵QA′+QB＞A′B，∴QA+QB＞A′B即QA+QB＞A′P+BP，∴QA+QB＞AP+BP．∴P A+PB最小．8．解：（1）过点A作直线m的垂线，垂足为P1，则P1即为所求；（2）作线段AB的垂直平分线交直线m于P2，则P2即为所求；（3）作点A关于直线m对称点A′，连接BA′交直线m于P3，则P3即为所求．9．解：（1）分别作点P关于OA、OB的对称点D，C，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接PM、PN、MN，则△PMN的周长最小；（2）连接OC、OD，如图所示：∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，∴PM＝DM，OP＝OD，∠DOA＝∠POA；∵点P关于OB的对称点为C，∴PN＝CN，OP＝OC，∠COB＝∠POB，∴OC＝OP＝OD，∠AOB＝∠COD，∵PN+PM+MN的最小值是5cm，∴PM+PN+MN＝5，∴DM+CN+MN＝5，即CD＝5＝OP，∴OC＝OD＝CD，即△OCD是等边三角形，∴∠COD＝60°，∴∠AOB＝30°．10．解：作A关于CD的对称点A′，连接A′B交CD于P，则点P就是使|P A﹣PB|的值最大的点，|P A﹣PB|＝A′B，连接A′C，∵△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∴∠CAB＝∠ABC＝45°，∠ACB＝90°，∵∠BCD＝15°，∴∠ACD＝75°，∴∠CAA′＝15°，∵AC＝A′C，∴A′C＝BC，∠CA′A＝∠CAA′＝15°，∴∠ACA′＝150°，∵∠ACB＝90°，∴∠A′CB＝60°，∴△A′BC是等边三角形，∴A′B＝BC＝4．故答案为：4．百度文库精品文档。

2021年九年级中考数学几何教学重难点专题：轴对称之线段最短问题一

2021年九年级中考数学几何教学重难点专题：轴对称之线段最短问题一1．如图，∠AOB＝45°，∠AOB内有一定点P，且OP＝8．在OA上有一动点Q，OB上有一动点R．若△PQR周长最小，则最小周长是（）A．8B．C．16D．2．如图，点M，N在直线l的同侧，小东同学想通过作图在直线l上确定一点Q，使MQ 与QN的和最小，那么下面的操作正确的是（）A．B．C．D．3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，AB的中点为D．以C为原点，射线CB为x轴的正方向，射线CA为y轴的正方向建立平面直角坐标系．P是BC上的一个动点，连接AP、DP，则AP+DP最小时，点P的坐标为（）A．（，0）B．（，0）C．（，0）D．（，0）4．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，AD是BC边上的中线且AD＝6，F是AD上的动点，E是AC边上的动点，则CF+EF的最小值是（）A．B．16C．6D．105．如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，3）和（2，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的纵坐标是（）A．0B．1C．2D．36．如图，在Rt△ABO中，∠OAB＝90°，B（6，6），点D在边AB上，AD＝5BD，点C 为OA的中点，点P为边OB上的动点，则使四边形PCAD周长最小的点P的坐标为（）A．（3，3）B．（，）C．（，）D．（5，5）7．如图，在△ABC中，点A、B、C的坐标分别为（m，0）、（0，1）和（3，2），则当△ABC 的周长最小时，m的值为（）A．0B．1C．2D．38．如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离3，试在直线a上找一点C，直线b上找一点D，满足CD⊥a，AC+CD+DB 的长度和最短，且AC+DB＝8．则AB长（）A．3B．3C．2D．29．如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝6，射线CD⊥BC于点C，点P是射线CD 上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+PF的值最小时，BF＝7，则AC为（）A．14B．13C．12D．1010．已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A（10，0），OB＝8，点P 是对角线OB上的一个动点，D（0，1），当CP+DP最短时，点P的坐标为（）A．（0，0）B．（，）C．（，）D．（，）11．如图，菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，点P是边AD的中点，点Q是对角线AC上一动点，则△DPQ周长的最小值是（）A．B．C．D．12．如图，在平面直角坐标系中，A（0，1），B（3，2），点C是x上任意一点，当CA+CB 有最小值时，C点的坐标为（）A．C．13．如图，在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（8，8），点C在边AB上，且，点D 为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为（）A．（2，2）B．C．D．14．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，对角线BD＝8．点P、点Q分别是AB、BD上动点，则AQ+PQ的最小值为（）A．B．C．5D．15．如图，在四边形ABCD中，∠C＝70°，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．70°16．如图，正三角形ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是（）A．4B．5C．6D．717．如图，等腰△ABC中AB＝AC，AD⊥BC，EF平分AB，交AB于点E，交BC于点F，点G是线段EF上的一动点，若△ABC的面积是6cm2，BC＝6cm，则△ADG的周长最小值是（）A．4.5cm B．5cm C．5.5cm D．6cm18．如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，△ABC的面积为8，BD平分∠ABC．若M、N 分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是（）A．2B．4C．6D．819．如图，∠AOB＝α，点P是∠AOB内的一定点，点M、N分别在OA、OB上移动，当△PMN的周长最小时，∠MPN的值为（）A．90°+αB．90°C．180°﹣αD．180°﹣2α20．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD∥BC，AB＝4，点P是线段AD上的动点，连接BP，CP，若△BPC周长的最小值为16，则BC的长为（）A．5B．6C．8D．10参考答案1．解：如图，作点P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD与OA、OB分别相交于点Q、R，所以PQ＝CQ，PR＝DR，所以△PQR的周长＝PQ+QR+PR＝CQ+QR+DR＝CD，由两点之间线段最短得，此时△PQR周长最小，连接CO、DO，则∠AOP＝∠AOC，OC＝OP，∠BOP＝∠BOD，OD＝OP，所以OC＝OD＝OP＝8，∠COD＝2∠AOB＝2×45°＝90°，所以△COD为等腰直角三角，所以CD＝OC＝8，即△PQR最小周长是8．故选：B．2．解：先作点M关于直线l的对称点M′，再连接M′N交l于点Q，则MQ+NQ＝M′Q+NQ＝M′N，由“两点之间，线段最短”可知，点Q即为所求的点，故选：D．3．解：如图所示，作点A关于x轴的对称点A'，连接A'P，则AP＝A'P，∴AP+DP＝A'P+DP，当A'，P，D在同一直线上时，AP+DP的最小值等于A'D的长，∵AC＝BC＝2，AB的中点为D，∴A（0，2），B（2，0），D（1，1），A'（0，﹣2），设直线A'D的解析式为y＝kx+b（k≠0），则，解得，∴y＝3x﹣2，当y＝0时，x＝，∴点P的坐标为（，0），故选：A．4．解：如图，作BM⊥AC交AD于点F，连接EF，∵AB＝AC＝10，BC＝16，AD是BC边上的中线且AD＝6，∴BD＝DC＝8，AD⊥BC，AD平分∠BAC，∴B、C关于AD对称，∴BF＝CF，根据垂线段最短得出：CF+EF＝BF+EF≥BF+FM＝BM，即CF+EF≥BM，＝×BCAD＝ACBM∵S△ABC∴16×6＝10BM∴BM＝．即CF+EF的最小值为．故选：A．5．解：∵B（2，0），∴B′（﹣2，0），∵点A的坐标为（1，3），设直线AB′的解析式为y＝kx+b，∴，解得，所以，直线AB′的解析式为y＝x+2，令x＝0，则y＝2，所以，点C的坐标为（0，2）．故选：C．6．解：∵在Rt△ABO中，∠OAB＝90°，B（6，6），∴AB＝OA＝6，∠AOB＝45°，∵AD＝5BD，点C为OA的中点，∴AD＝5，OC＝AC＝3，∴C（3，0），D（6，5），作C关于直线OB的对称点E，连接ED交OB于P′，连接CP′则此时，四边形P′DAC周长最小，E（0，3），∵直线OB的解析式为y＝x，设直线ED的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线ED的解析式为y＝x+3，解得，，∴C（，），故选：C．7．解：如图所示，做出B关于x轴对称点为B′，连接B′C，交x轴于点A'，此时△ABC 周长最小过点C作CH⊥x轴，过点B'作B'H⊥y轴，交CH于H，∵B（0，1），∴B′（0，﹣1），∵C（3，2），∴CH＝BH＝3，∴∠CB'H＝45°，∴∠BB'A＝45°，∴∠OB'A'＝∠OA'B'＝45°，∴OB'＝OA'＝1，则此时A'坐标为（1，0）．m的值为1．故选：B．8．解：如图，作AE⊥a，使得线段AE＝4，连接EB交直线b于点D，作DC⊥b交直线a 于点C，连接AC，作BF⊥AE交AE的延长线于点F．∵CD＝AE＝4，CD∥AE，∴四边形AEDC是平行四边形，∴AC＝ED，∴AC+CD+BD＝ED+BD+CD，此时AC+CD+DB的值最小，由题意EF＝2+4+3﹣4＝5，BE＝AC+BD＝8，∴BF＝＝＝，∴AB＝＝＝2，故选：D．9．解：∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠B＝60°，作点E关于直线CD的对称点G，过G作GF⊥AB于F，交CD于P，则此时，EP+PF的值最小，∵∠B＝60°，∠BFG＝90°，∴∠G＝30°，∵BF＝7，∴BG＝2BF＝14，∴EG＝8，∴CE＝CG＝4，∴AC＝BC＝10，故选：D．10．解：如图连接AC，AD，分别交OB于G、P，作BK⊥OA于K．∵四边形OABC是菱形，∴AC⊥OB，GC＝AG，OG＝BG＝4，A、C关于直线OB对称，∴PC+PD＝P A+PD＝DA，∴此时PC+PD最短，在RT△AOG中，AG＝＝＝2，∴AC＝4，∵OABK＝ACOB，∴BK＝16，AK＝＝6，∴点B坐标（16，8），∴直线OB解析式为y＝x，直线AD解析式为y＝﹣x+1，由解得，∴点P坐标（，）．故选：B．11．解：如图所示，连接BQ，BD，∵点Q是菱形对角线AC上一动点，∴BQ＝DQ，∴DQ+PQ＝BQ+PQ，当P，Q，B在同一直线上时，BQ+PQ的最小值等于线段BP的长，∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，∴△BAD是等边三角形，又∵P是AD的中点，∴BP⊥AD，AP＝DP＝1，∴Rt△ABP中，∠ABP＝30°，∴AP＝AB＝1，∴BP＝＝＝，∴DQ+PQ最小值为，又∵DP＝1，∴△DPQ周长的最小值是，故选：D．12．解：作点A（1，0）关于x轴的对称点D，连接BD交x轴于C，则D（0，﹣1），此时CA+CB有最小值，设直线BD的解析式为：y＝kx+b，∴，解得：，∴直线BD的解析式为：y＝x﹣1，当y＝0时，x＝1，∴C（1，0），故选：B．13．解：∵在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（8，8），∴AB＝OB＝8，∠AOB＝45°，∵，点D为OB的中点，∴BC＝6，OD＝BD＝4，∴D（4，0），C（8，6），作D关于直线OA的对称点E，连接EC交OA于P，则此时，四边形PDBC周长最小，E（0，4），∵直线OA的解析式为y＝x，设直线EC的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线EC的解析式为y＝x+4，解得，，∴P（，），故选：D．14．解：连接AC交BD于O，过C作CP⊥AB于P，则此时，AQ+PQ的值最小，且最小值为CP的长度，∵在菱形ABCD中，AB＝5，对角线BD＝8，∴AC⊥BD，BO＝BD＝4，∴AO＝＝3，∴AC＝6，＝ACBD＝ABCP，∵S菱形ABCD∴CP＝＝，∴AQ+PQ的最小值为，故选：B．15．解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．作DA延长线AH，∵∠C＝70°，∴∠DAB＝110°，∴∠HAA′＝70°，∴∠AA′E+∠A″＝∠HAA′＝70°，∵∠EA′A＝∠EAA′，∠F AD＝∠A″，∴∠EAA′+∠A″AF＝70°，∴∠EAF＝110°﹣70°＝40°，故选：B．16．解：连接CC′，如图所示．∵△ABC、△A′BC′均为正三角形，∴∠ABC＝∠A′＝60°，A′B＝BC＝A′C′，∴A′C′∥BC，∴四边形A′BCC′为菱形，∴点C关于BC'对称的点是A'，∴当点D与点B重合时，AD+CD取最小值，此时AD+CD＝2+2＝4．故选：A．17．解：如图，连接GB．∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝DC＝3，＝BCAD＝6，∵S△ABC∴AD＝2，∵EF垂直平分AB，∴GB＝GA，∴AG+GD＝BG+GD，∵BG+GD≥BD，∴GB+GD≥3，∴GB+GD的最小值为3，∴△ADG的最小值为2+3＝5，故选：B．18．解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M作MN′⊥BC于N′，∵BD平分∠ABC，M′E⊥AB于点E，M′N′⊥BC于N∴M′N′＝M′E，∴CE＝CM′+M′E∴当点M与M′重合，点N与N′重合时，CM+MN的最小值．∵三角形ABC的面积为8，AB＝4，∴×4CE＝8，∴CE＝4．即CM+MN的最小值为4．故选：B．19．解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1、P2，交OA于M，交OB于N，则OP1＝OP＝OP2，∠OP1M＝∠MPO，∠NPO＝∠NP2O，根据轴对称的性质可得MP＝P1M，PN＝P2N，∴△PMN的周长的最小值＝P1P2，由轴对称的性质可得∠P1OP2＝2∠AOB＝2α，∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝180°﹣2α，∴∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N＝∠OP1P2+∠OP2P1＝180°﹣2α，故选：D．20．解：如图所示，作点B关于AD的对称点E，连接CE交AD于P，则AE＝AB＝4，EP＝BP，设BC＝x，则CP+BP＝16﹣x＝CE，∵∠BAD＝90°，AD∥BC，∴∠ABC＝90°，∴Rt△BCE中，EB2+BC2＝CE2，∴82+x2＝（16﹣x）2，解得x＝6，∴BC＝6，故选：B．。

2021-2022学年人教版九年级数学中考一轮复习《轴对称》知识点分类训练(附答案)

2021-2022学年人教版九年级数学中考一轮复习《轴对称》知识点分类训练（附答案）一．轴对称图形1．下列图形只具有两条对称轴的是（）A．等边三角形B．平行四边形C．矩形D．正方形二．关于x轴、y轴对称的点的坐标2．在平面直角坐标系中，点（2，3）关于y轴对称的点的坐标是（）A．（﹣2，﹣3）B．（2，﹣3）C．（﹣2，3）D．（2，3）3．若点A（x+y，1）与B（﹣3，x﹣y）关于x轴对称，则（）A．x＝﹣2，y＝1B．x＝﹣2，y＝﹣1C．x＝2，y＝﹣1D．x＝2，y＝1三．作图-轴对称变换4．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．（1）请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；（2）请画出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2；（3）请求出△ABC的面积；（4）请在y轴上找一点P，使得P A+PC最小．四．翻折变换（折叠问题）5．如图，将四边形纸片ABCD沿AE向上折叠，使点B落在DC边上的点F处．若△AFD的周长为18，△ECF的周长为6，四边形纸片ABCD的周长为（）A．20B．24C．32D．486．如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处，点C落在点Q处，折痕为FH，则线段AF的长是（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm7．如图，三角形纸片ABC，AB＝10cm，BC＝7cm，AC＝6cm，沿过点B的直线折叠这个三角形，使顶点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为（）A．9cm B．13cm C．16cm D．10cm8．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝5，BC＝3，先按图（2）操作：将矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落在边AB上的点E处，折痕为AF；再按图（3）操作，沿过点F的直线折叠，使点C落在EF上的点H处，折痕为FG，则A、H两点间的距离为．9．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFD＝60°．若将四边形EBCF沿EF折叠，点B′恰好落在AD边上，则BE的长度为（）A．1B．C．D．210．如图，将长方形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，EC交AD于点F．（1）试说明：△AEF≌△CDF；（2）若AB＝4，BC＝8，EF＝3，求图中阴影部分的面积．11．把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB＝3cm，BC＝5cm．（1）求证：DE＝DF；（2）求重叠部分△DEF的面积．五．平移的性质12．下面的每组图形中，左面的图形平移后可以得到右面图形的是（）A．B．C．D．13．如图，将△ABC沿BC方向平移至△DEF处．若EC＝2BE＝2，则CF的长为．14．如图，将周长为8的△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长是（）A．8B．10C．12D．14六．坐标与图形变化-平移15．将A（2，﹣3）向上平移2个单位，再向左平移3个单位，得到点B，则点B的坐标为（）A．（4，﹣6）B．（5，﹣1）C．（﹣1，﹣1）D．（4，0）七．旋转的性质16．如图，点P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕着B沿顺时针方向旋转到与△CBP′重合，若PB＝3，则PP′的长为（）A．2B．3C．3D．无法确定17．如图，△ABC为钝角三角形，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转120°得到△AB′C′，连接BB′，若AC′∥BB′，则∠CAB′的度数为（）A．45°B．60°C．70°D．90°18．如图，将等腰Rt△ABC绕点A顺时针旋转15°得到△AB′C′，若AC＝1，则图中阴影部分面积为（）A．B．C．D．319．将边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到FECG的位置（如图），使得点D落在对角线CF上，EF与AD相交于点H，则HD＝．（结果保留根号）20．如图，在△ABC中，以C为中心，将△ABC顺时针旋转34°得到△DEC，边ED，AC 相交于点F，若∠A＝30°，则∠EFC的度数为（）A．60°B．64°C．66°D．68°21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连接CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连接DE交BC 于点F，连接BE．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）当AD＝BF时，求∠BEF的度数．22．如图，已知正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D按逆时针方向旋转90°得到△DCM．（1）求证：EF＝MF；（2）当AE＝1时，求EF的长．八．旋转对称图形23．如图，把图形绕着它的中心旋转后可以与原来的图形重合，则至少要旋转（）度．A．60B．120C．180D．270九．中心对称24．如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（）A．点A与点A′是对称点B．BO＝B′OC．AB∥A′B′D．∠ACB＝∠C′A′B′十．中心对称图形25．下列所给图形是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．26．下列所述图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．圆B．菱形C．平行四边形D．等腰三角形27．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．十一．关于原点对称的点的坐标28．在平面直角坐标系中，点（1，﹣2）关于原点对称的点的坐标是（）A．（1，2）B．（﹣1，2）C．（2，﹣1）D．（2，1）十二．坐标与图形变化-旋转29．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．（1）若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为（4，0），写出顶点A1，B1的坐标；（2）若△ABC和△A2B2C2关于原点O成中心对称图形，写出△A2B2C2的各顶点的坐标；（3）将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A3B3C3，写出△A3B3C3的各顶点的坐标．参考答案一．轴对称图形1．解：A、等边三角形由3条对称轴，故本选项错误；B、平行四边形无对称轴，故本选项错误；C、矩形有2条对称轴，故本选项正确；D、正方形有4条对称轴，故本选项错误；故选：C．二．关于x轴、y轴对称的点的坐标2．解：点（2，3）关于y轴对称的点的坐标是（﹣2，3）．故选：C．3．解：∵点A（x+y，1）与B（﹣3，x﹣y）关于x轴对称，∴，解得：．故选：B．三．作图-轴对称变换4．解：（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）如图，△A2B2C2为所作；（3）△ABC的面积＝3×3﹣×2×1﹣×3×1﹣×2×3＝3.5；（4）如图，点P为所作．四．翻折变换（折叠问题）5．解：由折叠的性质知，AF＝AB，EF＝BE．所以矩形的周长等于△AFD和△CFE的周长的和为18+6＝24．故矩形ABCD的周长为24．故选：B．6．解：由折叠可得DF＝EF，设AF＝x，则EF＝8﹣x，∵AF2+AE2＝EF2，∴x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3．故选：A．7．解：∵△BDE由△BDC翻折而成，∴BE＝BC＝7cm，DE＝CD，∴AE＝AB﹣BE＝10﹣7＝3cm，∴△AED的周长＝AE+（AD+DE）＝AE+AC＝3+6＝9cm．故选：A．8．解：如图3中，连接AH．由题意可知在Rt△AEH中，AE＝AD＝3，EH＝EF﹣HF＝3﹣2＝1，∴AH＝＝＝，故答案为．9．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∠A＝90°，∴∠EFD＝∠BEF＝60°，∵将四边形EBCF沿EF折叠，点B'恰好落在AD边上，∴∠BEF＝∠FEB'＝60°，BE＝B'E，∴∠AEB'＝180°﹣∠BEF﹣∠FEB'＝60°，∴B'E＝2AE，设BE＝x，则B'E＝x，AE＝3﹣x，∴2（3﹣x）＝x，解得x＝2．故选：D．10．证明：（1）∵ABCD是长方形，∴AB＝CD，∠D＝∠B＝90°，由折叠可知：AB＝AE，∠BCA＝∠ACE，∠B＝∠E，∴AE＝CD，∠D＝∠E，又∵∠AFE＝∠CFD，∴△AFE≌△CFD（AAS）（2）在Rt△AEF中，由勾股定理得：AF＝，∴S阴影部分＝＝＝10．（也可以根据S阴＝S△AEC﹣S△AEF计算）因此，阴影部分的面积为：10．11．（1）证明：由折叠的意义知：∠BFE＝∠DFE，又∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠DFE，∴∠BFE＝∠DEF，∴DE＝DF，（2）解：∵AB＝3cm，BC＝5cm，∴A′D＝AB＝3cm，假设AE＝x，则A′E＝xcm，DE＝5﹣x（cm），∴A′E2+A′D2＝ED2，∴x2+9＝（5﹣x）2，解得：x＝1.6，∴DE＝5﹣1.6＝3.4（cm），∴△DEF的面积是：×3.4×3＝5.1（cm2）．五．平移的性质12．解：A、两图形不全等，故本选项错误；B、两图形不全等，故本选项错误；C、通过平移得不到右边的图形，只能通过旋转得到，故本选项错误；D、左面的图形平移后可以得到右面图形，故本选项正确．故选：D．13．解：∵△ABC沿BC方向平移至△DEF处．∴BE＝CF，∵EC＝2BE＝2，∴BE＝1，∴CF＝1．故答案为1．14．解：根据题意，将周长为8个单位的△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF，∴AD＝1，BF＝BC+CF＝BC+1，DF＝AC；又∵AB+BC+AC＝8，∴四边形ABFD的周长＝AD+AB+BF+DF＝1+AB+BC+1+AC＝10．故选：B．六．坐标与图形变化-平移15．解：将点A（2，﹣3）先向上平移2个单位，再向左平移3个单位，得到点B的坐标为（2﹣3，﹣3+2），即：（﹣1，﹣1）．故选：C．七．旋转的性质16．解：由旋转的性质，得BP′＝BP＝3，∠PBP′＝∠ABC＝90°．在Rt△PBP′中，由勾股定理，得PP′＝＝＝3，故选：B．17．解：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转120°得到△AB′C′，∴∠BAB′＝∠CAC′＝120°，AB＝AB′，∴∠AB′B＝×（180°﹣120°）＝30°，∵AC′∥BB′，∴∠C′AB′＝∠AB′B＝30°，∴∠CAB′＝∠CAC′﹣∠C′AB′＝120°﹣30°＝90°．故选：D．18．解：如图，设B′C′与AB交点为D，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC＝45°，∵△AB′C′是△ABC绕点A逆时针旋转15°后得到，∴∠CAC′＝15°，AC′＝AC＝1，∴∠C′AD＝∠BAC﹣∠CAC′＝45°﹣15°＝30°，∵AD＝2C′D，∴AD2＝AC′2+C′D2，即（2C′D）2＝12+C′D2，解得C′D＝，故阴影部分的面积＝×1×＝．故选：B．19．解：∵四边形ABCD为正方形，∴CD＝1，∠CDA＝90°，∵边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到FECG的位置，使得点D落在对角线CF上，∴CF＝，∠CFE＝45°，∴△DFH为等腰直角三角形，∴DH＝DF＝CF﹣CD＝﹣1．故答案为﹣1．20．解：由旋转的性质得：∠D＝∠A＝30°，∠DCF＝34°，∴∠EFC＝∠A+∠DCF＝30°+34°＝64°；故选：B．21．解：（1）由题意可知：CD＝CE，∠DCE＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB，∠BCE＝∠DCE﹣∠DCB，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD与△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS）（2）∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝45°，由（1）可知：∠A＝∠CBE＝45°，∵AD＝BF，∴BE＝BF，∴∠BEF＝67.5°22．（1）证明：∵△DAE绕点D逆时针旋转90°得到△DCM，∴DE＝DM，∠EDM＝90°，F，C，M三点共线，∵∠EDF＝45°，∴∠FDM＝45°，∴∠EDF＝∠FDM．又∵DF＝DF，DE＝DM，∴△DEF≌△DMF，∴EF＝MF；（2）解：设EF＝MF＝x，∵AE＝CM＝1，AB＝BC＝3，∴EB＝AB﹣AE＝3﹣1＝2，BM＝BC+CM＝3+1＝4，∴BF＝BM﹣MF＝4﹣x．在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2＝EF2，即22+（4﹣x）2＝x2，解得：x＝，则EF的长为．八．旋转对称图形23．解：∵360°÷3＝120°，∴该图形绕中心至少旋转120度后能和原来的图案互相重合．故选：B．九．中心对称24．解：观察图形可知，A、点A与点A′是对称点，故本选项正确；B、BO＝B′O，故本选项正确；C、AB∥A′B′，故本选项正确；D、∠ACB＝∠A′C′B′，故本选项错误．故选：D．十．中心对称图形25．解：A、此图形不是中心对称图形，不是轴对称图形，故A选项错误；B、此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故B选项错误；C、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故C选项正确；D、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故D选项错误．故选：C．26．解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确．故选：D．27．解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：C．十一．关于原点对称的点的坐标28．解：点（1，﹣2）关于原点对称的点的坐标是（﹣1，2），故选：B．十二．坐标与图形变化-旋转29．解：（1）如图，△A1B1C1为所作，因为点C（﹣1，3）平移后的对应点C1的坐标为（4，0），所以△ABC先向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到△A1B1C1，所以点A1的坐标为（2，2），B1点的坐标为（3，﹣2）；（2）因为△ABC和△A2B2C2关于原点O成中心对称图形，所以A2（3，﹣5），B2（2，﹣1），C2（1，﹣3）；（3）如图，△A2B3C3为所作，A3（5，3），B3（1，2），C3（3，1）；。

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