2021年九年级数学中考一轮复习高频考点《轴对称确定最短路线》小专题突破训练
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2021年九年级数学中考高频考点《轴对称确定最短路线》小专题突破训练
1.如图,动点M在边长为2的正方形ABCD内,且AM⊥BM,P是CD边上的一个动点,E是AD边的中点,则线段PE+PM的最小值为()
A.﹣1B.+1C.D.+1
2.如图,正方形ABCD的边长为4,点E在AB上且BE=1,F为对角线AC上一动点,则△BFE周长的最小值为()
A.5B.6C.7D.8
3.如图,在Rt△AOB中,∠AOB=90°,OA=3,OB=4,以点O为圆心,2为半径的圆与OB交于点C,过点C作CD⊥OB交AB于点D,点P是边OA上的动点.当PC+PD 最小时,OP的长为()
A.B.C.1D.
4.如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=3,动点P满足S△P AB=S矩形ABCD,则点P到A、B两点距离之和P A+PB的最小值为()
A.2B.2C.3D.
5.如图,在Rt△ABO中,∠OBA=90°,A(4,4),点C在边AB上,且=,点D 为OB的中点,点P为边OA上的动点,当点P在OA上移动时,使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为()
A.(2,2)B.(,)C.(,)D.(3,3)
6.如图,在正方形ABCD中,E,F分别为AD,BC的中点,P为对角线BD上的一个动点,则下列线段的长等于AP+EP最小值的是()
A.AB B.DE C.BD D.AF
7.如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=3,动点P满足S△P AB=S矩形ABCD,则点P到A、B两点距离之和P A+PB的最小值为()
A.B.C.5D.
8.平面直角坐标系xOy中,已知A(﹣1,0)、B(3,0)、C(0,﹣1)三点,D(1,m)是一个动点,当△ACD的周长最小时,△ABD的面积为()
A.B.C.D.
9.如图,抛物线y=x2+bx﹣2与x轴交于A、B两点,与y交于C点,且A(﹣1,0),点M(m,0)是x轴上的一个动点,当MC+MD的值最小时,m的值是()
A.B.C.D.
10.如图所示,四边形OABC为正方形,边长为6,点A,C分别在x轴,y轴的正半轴上,点D在OA上,且D的坐标为(2,0),P是OB上的一动点,试求PD+P A和的最小值是()
A.2B.C.4D.6
11.如图所示,正方形ABCD的面积为12,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小,则这个最小值为()
A.2B.2C.3D.
12.如图,直线l是一条河,P,Q两地相距8千米,P,Q两地到l的距离分别为2千米,5千米,欲在l上的某点M处修建一个水泵站,向P,Q两地供水.现有如下四种铺设方案,图中实线表示铺设的管道,则铺设的管道最短的是()
A.B.C.D.
13.如图,四边形ABCD中,DA⊥AB,CB⊥AB,AD=3,AB=5,BC=2,P是边AB上的动点,则PC+PD的最小值是.
14.如图,在矩形ABCD中,BC=10,∠ABD=30°,若点M、N分别是线段DB、AB上的两个动点,则AM+MN的最小值为.
15.如图,在直角坐标系中,点A(1,1),B(3,3)是第一象限角平分线上的两点,点C 的纵坐标为1,且CA=CB,在y轴上取一点D,连接AC,BC,AD,BD,使得四边形ACBD的周长最小,这个最小周长的值为.
16.如图,在平面直角坐标系中,已知A(3,6),B(﹣2,2),在x轴上取两点C,D(点C在点D左侧),且始终保持CD=1,线段CD在x轴上平移,当AD+BC的值最小时,点C的坐标为.
17.如图,已知正方形ABCD的边长为4,点E是边AB的中点,点P是对角线BD上的动点,则AP+PE的最小值是.
18.如图,在边长为1的菱形ABCD中,∠ABC=60°,将△ABD沿射线BD方向平移,得到△EFG,连接EC、GC.求EC+GC的最小值为.
19.如图,△ABC为等边三角形,边长为6,AD⊥BC,垂足为点D,点E和点F分别是线段AD和AB上的两个动点,连接CE,EF,则CE+EF的最小值为.
20.如图,在边长为1的菱形ABCD中,∠ABC=60°,将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D',分别连接A'C,A'D,B'C,则A'C+B'C的最小值为.
21.如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,矩形内部有一动点P满足S△P AB=S矩形ABCD,则点P到A、B两点的距离之和P A+PB的最小值为.
22.在平面直角坐标系内有两点A、B,其坐标为A(﹣1,﹣1),B(2,7),点M为x轴上的一个动点,若要使MB﹣MA的值最大,则点M的坐标为.
23.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,以AB为边在AB上方作正方形ABDE,过点D作DF ⊥CB,交CB的延长线于点F,连接BE.
(1)求证:△ABC≌△BDF;
(2)P,N分别为AC,BE上的动点,连接AN,PN,若DF=5,AC=9,求AN+PN的最小值.
24.如图,在四边形ABCD中,BC∥AD,BC=AD,点E为AD的中点,点F为AE的中点,AC⊥CD,连接BE、CE、CF.
(1)判断四边形ABCE的形状,并说明理由;
(2)如果AB=4,∠D=30°,点P为BE上的动点,求△P AF的周长的最小值.
25.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,E为AB边的中点,以BE为边作等边△BDE,连接AD,CD.
(1)求证:△ADE≌△CDB;
(2)若BC=,在AC边上找一点H,使得BH+EH最小,并求出这个最小值.
26.问题背景:
如图(a),点A、B在直线l的同侧,要在直线l上找一点C,使AC与BC的距离之和最小,我们可以作出点B关于l的对称点B′,连接AB′与直线l交于点C,则点C即为所求.
(1)实践运用:
如图(b),已知,⊙O的直径CD为4,点A在⊙O上,∠ACD=30°,B为弧AD的中点,P为直径CD上一动点,则BP+AP的最小值为.
(2)知识拓展:
如图(c),在Rt△ABC中,AB=10,∠BAC=45°,∠BAC的平分线交BC于点D,E、F分别是线段AD和AB上的动点,求BE+EF的最小值,并写出解答过程.
27.阅读材料:
(1)对于任意两个数a、b的大小比较,有下面的方法:
当a﹣b>0时,一定有a>b;
当a﹣b=0时,一定有a=b;
当a﹣b<0时,一定有a<b.
反过来也成立.因此,我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”.
(2)对于比较两个正数a、b的大小时,我们还可以用它们的平方进行比较:
∵a2﹣b2=(a+b)(a﹣b),a+b>0
∴(a2﹣b2)与(a﹣b)的符号相同
当a2﹣b2>0时,a﹣b>0,得a>b
当a2﹣b2=0时,a﹣b=0,得a=b
当a2﹣b2<0时,a﹣b<0,得a<b
解决下列实际问题:
(1)课堂上,老师让同学们制作几种几何体,张丽同学用了3张A4纸,7张B5纸;李明同学用了2张A4纸,8张B5纸.设每张A4纸的面积为x,每张B5纸的面积为y,且x>y,张丽同学的用纸总面积为W1,李明同学的用纸总面积为W2.回答下列问题:
①W1=(用x、y的式子表示)
W2=(用x、y的式子表示)
②请你分析谁用的纸面积最大.
(2)如图1所示,要在燃气管道l上修建一个泵站,分别向A、B两镇供气,已知A、B 到l的距离分别是3km、4km(即AC=3km,BE=4km),AB=xkm,现设计两种方案:
方案一:如图2所示,AP⊥l于点P,泵站修建在点P处,该方案中管道长度a1=AB+AP.方案二:如图3所示,点A′与点A关于l对称,A′B与l相交于点P,泵站修建在点P 处,该方案中管道长度a2=AP+BP.
①在方案一中,a1=km(用含x的式子表示);
②在方案二中,a2=km(用含x的式子表示);
③请你分析要使铺设的输气管道较短,应选择方案一还是方案二.
28.在学习轴对称的时候,老师让同学们思考课本中的探究题.
如图(1),要在燃气管道l上修建一个泵站,分别向A、B两镇供气.泵站修在管道的什
么地方,可使所用的输气管线最短?
你可以在l上找几个点试一试,能发现什么规律?
聪明的小华通过独立思考,很快得出了解决这个问题的正确办法.他把管道l看成一条直线(图(2)),问题就转化为,要在直线l上找一点P,使AP与BP的和最小.他的做法是这样的:
①作点B关于直线l的对称点B′.
②连接AB′交直线l于点P,则点P为所求.
请你参考小华的做法解决下列问题.如图在△ABC中,点D、E分别是AB、AC边的中点,BC=6,BC边上的高为4,请你在BC边上确定一点P,使△PDE得周长最小.(1)在图中作出点P(保留作图痕迹,不写作法).
(2)请直接写出△PDE周长的最小值:.
29.去冬今春,济宁市遭遇了200年不遇的大旱,某乡镇为了解决抗旱问题,要在某河道建一座水泵站,分别向河的同一侧张村A和李村B送水.经实地勘查后,工程人员设计图纸时,以河道上的大桥O为坐标原点,以河道所在的直线为x轴建立直角坐标系(如图).两村的坐标分别为A(2,3),B(12,7).
(1)若从节约经费考虑,水泵站建在距离大桥多远的地方可使所用输水管道最短?
(2)水泵站建在距离大桥多远的地方,可使它到张村、李村的距离相等?
30.几何模型:
条件:如下图,A、B是直线l同旁的两个定点.
问题:在直线l上确定一点P,使P A+PB的值最小.
方法:作点A关于直线l的对称点A′,连接A′B交l于点P,则P A+PB=A′B的值最小(不必证明).
模型应用:
(1)如图1,正方形ABCD的边长为2,E为AB的中点,P是AC上一动点.连接BD,由正方形对称性可知,B与D关于直线AC对称.连接ED交AC于P,则PB+PE的最小值是;
(2)如图2,⊙O的半径为2,点A、B、C在⊙O上,OA⊥OB,∠AOC=60°,P是OB上一动点,求P A+PC的最小值;
(3)如图3,∠AOB=45°,P是∠AOB内一点,PO=10,Q、R分别是OA、OB上的动点,求△PQR周长的最小值.