第一节 轴对称与轴对称图形-学而思培优
三年级下册数学课件-第2单元 第1课时 轴对称(一) 北师大版(共34张PPT)
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图形 长方形 正方形
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3. 找一找下列哪些数字、汉字、字母是轴对称图形。
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折一折，看一看。
对称轴
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轴对称图形
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看一看，这些图形有什么共同的特点？
请你想一想：将上图中的每一个图形沿某条直 线折叠，直线两旁的部分能完全重合吗？
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学而思七年级数学培优讲义全年级章节培优绝对经典
第1讲 与有理数有关的概念考点·方法·破译1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量.2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想.3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数.经典·考题·赏析【例1】写出下列各语句的实际意义⑴向前－7米⑵收人－50元⑶体重增加－3千克【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等”解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克.【变式题组】01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（ ）A ． －18%B ． －8%C ． ＋2%D ． ＋8%02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( )A ． －5吨B ． ＋5吨C ． －3吨D ． ＋3吨03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京时间l5：00，纽约时问是____【例２】在－227，π，0.033.3这四个数中有理数的个数（ ) A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个 【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数；按整数、分数分类，有理数⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数0负整数正分数分数负分数；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝3.1415926…是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－227是分数0.033.3是无限循环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C ．【变式题组】01．在7，0．1 5，－12，－301.31.25，－18，100.l ，－3 001中，负分数为 ，整数为 ，正整数 .02．（河北秦皇岛）请把下列各数填入图中适当位置15，－19，215，－138，0.1．－5.32，123, 2.333 【例３】（宁夏）有一列数为－1，12，－13，14．－15，16，…，找规律到第2007个数是 . 【解法指导】从一系列的数中发现规律，首先找出不变量和变量，再依变量去发现规律．击归纳去猜想，然后进行验证.解本题会有这样的规律：⑴各数的分子部是1；⑵各数的分母依次为1，2，3，4，5，6，…⑶处于奇数位置的数是负数，处于偶数位置的数是正数，所以第2007个数的分子也是1．分母是2007，并且是一个负数，故答案为－12007. 【变式题组】01．（湖北宜宾）数学解密：第一个数是3＝2 ＋1，第二个数是5＝3 ＋2，第三个数是9＝5＋4，第四十数是17＝9＋8…观察并精想第六个数是 .02．（毕节）毕选哥拉斯学派发明了一种“馨折形”填数法，如图则填____.03．（茂名）有一组数l ，2，5，10，17，26…请观察规律，则第8个数为____.【例４】（2008年河北张家口）若l ＋m 2的相反数是－3，则m 的相反数是____. 【解法指导】理解相反数的代数意义和几何意义，代数意义只有符号不同的两个数叫互为相反数.几何意义：在数轴上原点的两旁且离原点的距离相等的两个点所表示的数叫互为相反数，本题m 2＝－4,m ＝－8 【变式题组】01．（四川宜宾）－5的相反数是( )A ．5B ． 15C ． －5D ． －1502．已知a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，则a ＋b ＋cd ＝______03．如图为一个正方体纸盒的展开图，若在其中的三个正方形A 、B 、C 内分别填人适当的数，使得它们折成正方体.若相对的面上的两个数互为相反数，则填人正方形A 、B 、C 内的三个数依次为( )A ． － 1 ,2，0B ． 0，－2，1C ． －2，0，1D ． 2，1，0【例５】（湖北）a 、b 为有理数，且a ＞0，b ＜0，|b|＞a ，则a,b 、－a,－b 的大小顺序是( )A ． b ＜－a ＜a ＜－bB ． –a ＜b ＜a ＜－bC ． –b ＜a ＜－a ＜bD ． –a ＜a ＜－b ＜b【解法指导】理解绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示a 的点到原点的距离,即|a|,用式子表示为|a|＝0)0(0)(0)a a a a a >⎧⎪=⎨⎪-<⎩(.本题注意数形结合思想，画一条数轴标出a 、b,依相反数的意义标出－b,－a,故选A ．【变式题组】01．推理①若a ＝b ，则|a|＝|b|；②若|a|＝|b|，则a ＝b ；③若a ≠b ，则|a |≠|b|；④若|a |≠|b|，则a ≠b ，其中正确的个数为（ ）A ． 4个B ． 3个C ． 2个D ． 1个02．a 、b 、c 三个数在数轴上的位置如图，则|a|a ＋|b|b ＋|c|c ＝ . 03．a 、b 、c 为不等于O 的有理散，则a |a|＋b |b|＋c |c|的值可能是____. 【例６】（江西课改）已知|a －4|＋|b －8|＝0，则a+b ab的值. 【解法指导】本题主要考查绝对值概念的运用，因为任何有理数a 的绝对值都是非负数，即|a|≥0．所以|a －4|≥0，|b －8|≥0.而两个非负数之和为0，则两数均为0.解：因为|a －4|≥0，|b －8|≥0，又|a －4|＋|b －8|＝0，∴|a －4|＝0，|b －8|＝0即a－4＝0，b －8＝0，a ＝4，b ＝8.故a+b ab ＝1232＝38【变式题组】01．已知|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，且a ＞b ＞c ，求a ＋b ＋C ．02．（毕节）若|m －3|＋|n ＋2|＝0，则m ＋2n 的值为( )A ． －4B ． －1C ． 0D ． 403．已知|a|＝8，|b|＝2，且|a －b|＝b －a ，求a 和b 的值【例７】（第l8届迎春杯）已知(m ＋n)2＋|m|＝m ，且|2m －n －2|＝0．求mn 的值．【解法指导】本例关键是通过分析(m ＋n)2＋|m|的符号，挖掘出m 的符号特征,从而把问题转化为(m ＋n)2＝0，|2m －n －2|＝0，找到解题途径.解：∵(m ＋n)2≥0，|m|≥O∴(m ＋n)2＋|m|≥0，而(m ＋n)2＋|m|＝m∴ m ≥0,∴(m ＋n)2＋m ＝m ，即(m ＋n)2＝0∴m ＋n ＝O ①又∵|2m －n －2|＝0∴2m －n －2＝0 ②由①②得m ＝23，n ＝－23，∴ mn ＝－49【变式题组】01．已知(a ＋b)2＋|b ＋5|＝b ＋5且|2a －b –l|＝0，求a －B ．02．（第16届迎春杯）已知y ＝|x －a|＋|x ＋19|＋|x －a －96|，如果19＜a ＜96．a ≤x ≤96,求y 的最大值.演练巩固·反馈提高01．观察下列有规律的数12,16,112,120,130,142…根据其规律可知第9个数是( ) A ． 156 B ． 172 C ． 190 D ． 111002．（芜湖）－6的绝对值是( )A ． 6B ． －6C ． 16D ． －1603．在－227,π,8..0.3四个数中，有理数的个数为( )A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个04．若一个数的相反数为a ＋b ，则这个数是( )A ． a －bB ． b －aC ． –a ＋bD ． –a －b05．数轴上表示互为相反数的两点之间距离是6，这两个数是( )A ． 0和6B ． 0和－6C ． 3和－3D ． 0和306．若－a 不是负数，则a( )A ． 是正数B ． 不是负数C ． 是负数D ． 不是正数07．下列结论中，正确的是( )①若a ＝b,则|a|＝|b| ②若a ＝－b,则|a|＝|b|③若|a|＝|b|，则a ＝－b ④若|a|＝|b|,则a ＝bA ． ①②B ． ③④C ． ①④D ． ②③08．有理数a 、b 在数轴上的对应点的位置如图所示,则a 、b ，－a ，|b|的大小关系正确 的是( )A ． |b|＞a ＞－a ＞bB ． |b| ＞b ＞a ＞－aC ． a ＞|b|＞b ＞－aD ． a ＞|b|＞－a ＞b09．一个数在数轴上所对应的点向右移动5个单位后，得到它的相反数的对应点，则这个数是____.10．已知|x ＋2|＋|y ＋2|＝0，则xy ＝____.11．a 、b 、c 三个数在数轴上的位置如图，求|a|a ＋|b|b ＋|abc|abc ＋|c|c12．若三个不相等的有理数可以表示为1、a 、a ＋b 也可以表示成0、b 、b a的形式，试求a 、b 的值.13．已知|a|＝4，|b|＝5，|c|＝6，且a ＞b ＞c ，求a ＋b －C ．14．|a|具有非负性，也有最小值为0，试讨论：当x 为有理数时，|x －l|＋|x －3|有没有最小值，如果有，求出最小值；如果没有，说明理由.15．点A 、B 在数轴上分别表示实数a 、b ，A 、B 两点之间的距离表示为|AB|．当A 、B 两点中有一点在原点时，不妨设点A 在原点，如图1，|AB|＝|OB|＝|b|＝|a －b|??当A 、B 两点都不在原点时有以下三种情况:①如图2，点A 、B 都在原点的右边|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝b －a ＝|a －b|；②如图3，点A 、B 都在原点的左边，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝－b －(－a)＝|a －b|； ③如图4，点A 、B 在原点的两边，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝－b －（－a ）＝|a －b|； 综上，数轴上A 、B 两点之间的距离|AB|＝|a －b|．回答下列问题:⑴数轴上表示2和5的两点之间的距离是 , 数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是 , 3，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是 4；⑵数轴上表示x 和－1的两点分别是点A 和B ，则A 、B 之间的距离是 |x+1| ，如果|AB|＝2，那么x ＝ 1或3；⑶当代数式|x ＋1|＋|x －2|取最小值时，相应的x 的取值范围是 7．培优升级·奥赛检测01．（重庆市竞赛题）在数轴上任取一条长度为199919的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数是( )A ． 1998B ． 1999C ． 2000D ． 200102．（第l8届希望杯邀请赛试题）在数轴上和有理数a 、b 、c 对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：①abc ＜0;②|a －b|＋|b －c|＝|a －c|；③（a －b ）(b －c)(c －a)＞0；④|a|＜1－bc ．其中正确的结论有( )A ． 4个B ． 3个C ． 2个D ． 1个03．如果a 、b 、c 是非零有理数，且a ＋b ＋c ＝0．那么a |a|＋b |b|＋c |c|＋abc |abc|的所有可能的值为（ ）A ． －1B ． 1或－1C ． 2或－2D ． 0或－204．已知|m|＝－m ，化简|m －l|－|m －2|所得结果( )A ． －1B ． 1C ． 2m －3D ． 3－ 2m05．如果0＜p ＜15，那么代数式|x －p|＋|x －15|＋|x －p －15|在p ≤x ≤15的最小值( )A ． 30B ． 0C ． 15D ． 一个与p 有关的代数式06．|x ＋1|＋|x －2|＋|x －3|的最小值为 .07．若a ＞0，b ＜0，使|x －a|＋|x －b|＝a －b 成立的x 取值范围 .08．（武汉市选拔赛试题）非零整数m 、n 满足|m|＋|n|－5＝0所有这样的整数组(m ，n)共有 组09．若非零有理数m 、n 、p 满足|m|m ＋|n|n ＋|p|p ＝1．则2mnp |3mnp|＝ . 10．（19届希望杯试题）试求|x －1|＋|x －2|＋|x －3|＋…＋|x －1997|的最小值.11．已知(|x ＋l|＋|x －2|)（|y －2|＋|y ＋1|）（|z －3|＋|z ＋l|）＝36，求x ＋2y ＋3的最大值和最小值.12．电子跳蚤落在数轴上的某点k0，第一步从k0向左跳1个单位得k1，第二步由k1向右跳2个单位到k2，第三步由k2向左跳3个单位到k3，第四步由k3向右跳4个单位到k4…按以上规律跳100步时，电子跳蚤落在数轴上的点k100新表示的数恰好19.94，试求k0所表示的数.13．某城镇，沿环形路上依次排列有五所小学，它们顺扶有电脑15台、7台、1l 台、3台，14台，为使各学校里电脑数相同，允许一些小学向相邻小学调出电脑，问怎样调配才能使调出的电脑总台数最小并求出调出电脑的最少总台数.第02讲 有理数的加减法考点·方法·破译1．理解有理数加法法则，了解有理数加法的实际意义.2．准确运用有理数加法法则进行运算，能将实际问题转化为有理数的加法运算.3．理解有理数减法与加法的转换关系，会用有理数减法解决生活中的实际问题.4．会把加减混合运算统一成加法运算，并能准确求和.经典·考题·赏析【例１】（河北唐山）某天股票A 开盘价18元，上午11:30跌了1.5元，下午收盘时又涨了0.3元，则股票A 这天的收盘价为（ ）A ．0.3元B ．16.2元C ．16.8元D ．18元【解法指导】将实际问题转化为有理数的加法运算时，首先将具有相反意义的量确定一个为正，另一个为负，其次在计算时正确选择加法法则，是同号相加，取相同符号并用绝对值相加，是异号相加，取绝对值较大符号，并用较大绝对值减去较小绝对值.解：18＋（－1.5）＋（0.3）＝16.8，故选C．【变式题组】01．今年陕西省元月份某一天的天气预报中，延安市最低气温为－6℃，西安市最低气温2℃，这一天延安市的最低气温比西安低（）A．8℃B．－8℃C．6℃D．2℃02．（河南）飞机的高度为2400米，上升250米，又下降了327米，这是飞机的高度为__________03．（浙江）珠穆朗玛峰海拔8848m，吐鲁番海拔高度为－155 m，则它们的平均海拔高度为__________【例２】计算（－83）＋（＋26）＋（－17）＋（－26）＋（＋15）【解法指导】应用加法运算简化运算，－83与－17相加可得整百的数，＋26与－26互为相反数，相加为0，有理数加法常见技巧有：⑴互为相反数结合一起；⑵相加得整数结合一起；⑶同分母的分数或容易通分的分数结合一起；⑷相同符号的数结合一起.解：（－83）＋（＋26）＋（－17）＋（－26）＋（＋15）＝[（－83）＋（－17）]＋[（＋26）＋（－26）]＋15＝（－100）＋15＝－85【变式题组】01．（－2.5）＋（－312）＋（－134）＋（－114）02．（－13.6）＋0.26＋（－2.7）＋（－1.06）03．0.125＋314＋（－318）＋1123＋（－0.25）【例３】计算1111 12233420082009 ++++⨯⨯⨯⨯L【解法指导】依111(1)1n n n n=-++进行裂项，然后邻项相消进行化简求和.解：原式＝1111111 (1)()()()2233420082009 -+-+-++-L＝1111111 12233420082009 -+-+-++-L＝112009-＝20082009【变式题组】01．计算1＋（－2）＋3＋（－4）＋…＋99＋（－100）02．如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为12的长方形，接着把面积为12的长方形等分成两个面积为14的正方形，再把面积为14的正方形等分成两个面积为18的长方形，如此进行下去，试利用图形揭示的规律计算11111111248163264128256+++++++＝__________.【例４】如果a ＜0，b ＞0，a ＋b ＜0，那么下列关系中正确的是（ ）A ．a ＞b ＞－b ＞－aB ．a ＞－a ＞b ＞－bC ．b ＞a ＞－b ＞－aD ．－a ＞b ＞－b ＞a【解法指导】紧扣有理数加法法则，由两加数及其和的符号，确定两加数的绝对值的大小，然后根据相反数的关系将它们在同一数轴上表示出来，即可得出结论.解：∵a ＜0，b ＞0，∴a ＋b 是异号两数之和又a ＋b ＜0，∴a 、b 中负数的绝对值较大，∴| a |＞| b |将a 、b 、－a 、－b 表示在同一数轴上，如图，则它们的大小关系是－a ＞b ＞－b ＞a【变式题组】01．若m ＞0，n ＜0，且| m |＞n |，则m ＋n ________ 0.（填＞、＜号）02．若m ＜0，n ＞0，且| m |＞| n |，则m ＋n ________ 0.（填＞、＜号）03．已知a ＜0，b ＞0，c ＜0，且| c |＞| b |＞| a |，试比较a 、b 、c 、a ＋b 、a ＋c 的大小【例５】425－（－33311）－（－1.6）－（－21811）【解法指导】有理数减法的运算步骤：⑴依有理数的减法法则，把减号变为加号，并把减数变为它的相反数；⑵利用有理数的加法法则进行运算.解：425－（－33311）－（－1.6）－（－21811）＝425＋33311＋1.6＋21811＝4.4＋1.6＋（33311＋21811）＝6＋55＝61【变式题组】01．21511()()()()(1)32632--+---+-+ 02．434－（＋3.85）－（－314）＋（－3.15）03．178－87.21－（－43221）＋1531921－12.79【例６】试看下面一列数：25、23、21、19…⑴观察这列数，猜想第10个数是多少第n个数是多少⑵这列数中有多少个数是正数从第几个数开始是负数⑶求这列数中所有正数的和.【解法指导】寻找一系列数的规律，应该从特殊到一般，找到前面几个数的规律，通过观察推理、猜想出第n个数的规律，再用其它的数来验证.解：⑴第10个数为7，第n个数为25－2(n－1)⑵∵n＝13时，25－2(13－1)＝1，n＝14时，25－2(14－1)＝－1故这列数有13个数为正数，从第14个数开始就是负数.⑶这列数中的正数为25,23,21,19,17,15,13,11,9,7,5,3,1，其和＝（25＋1）＋（23＋3）＋…＋（15＋11）＋13＝26×6＋13＝169【变式题组】01．(杭州)观察下列等式1－12＝12，2－25＝85，3－310＝2710，4－417＝6417…依你发现的规律，解答下列问题.⑴写出第5个等式；⑵第10个等式右边的分数的分子与分母的和是多少02．观察下列等式的规律9－1＝8,16－4＝12,25－9＝16,36－16＝20⑴用关于n（n≥1的自然数）的等式表示这个规律；⑵当这个等式的右边等于2008时求n.【例７】（第十届希望杯竞赛试题）求12＋（13＋23）＋（14＋24＋34）＋（15＋25＋35＋45）＋…＋（150＋250＋…＋4850＋4950）【解法指导】观察式中数的特点发现：若括号内在加上相同的数均可合并成1，由此我们采取将原式倒序后与原式相加，这样极大简化计算了.解：设S＝12＋（13＋23）＋（14＋24＋34）＋…＋（150＋250＋…＋4850＋4950）则有S＝12＋（23＋13）＋（34＋24＋14）＋…＋（4950＋4850＋…＋250＋150）将原式和倒序再相加得2S＝12＋12＋（13＋23＋23＋13）＋（14＋24＋34＋34＋24＋14）＋…＋（150＋250＋…＋4850＋4950＋4950＋4850＋…＋250＋150）即2S＝1＋2＋3＋4＋…＋49＝49(491)2⨯+＝1225∴S＝1225 2【变式题组】01．计算2－22－23－24－25－26－27－28－29＋21002．（第8届希望杯试题）计算（1－12－13－…－12003）（12＋13＋14＋…＋12003＋12004）－（1－12－13－…－12004）（12＋13＋14＋…＋12003）演练巩固·反馈提高01．m是有理数，则m＋|m|（）A．可能是负数B．不可能是负数C．比是正数D．可能是正数，也可能是负数02．如果|a|＝3，|b|＝2，那么|a＋b|为（）A． 5 B．1 C．1或5 D．±1或±503．在1，－1，－2这三个数中，任意两数之和的最大值是（）A． 1 B．0 C．－1 D．－304．两个有理数的和是正数，下面说法中正确的是（）A．两数一定都是正数B．两数都不为0C．至少有一个为负数D．至少有一个为正数05．下列等式一定成立的是（）A．|x|－ x ＝0 B．－x－x ＝0 C．|x|＋|－x| ＝0 D．|x|－|x|＝0 06．一天早晨的气温是－6℃，中午又上升了10℃，午间又下降了8℃，则午夜气温是（）A．－4℃B．4℃C．－3℃D．－5℃07．若a＜0，则|a－(－a)|等于（）A．－a B．0 C．2a D．－2a08．设x是不等于0的有理数，则||||2x xx-值为（）A．0或1 B．0或2 C．0或－1 D．0或－2 09．（济南）2＋(－2)的值为__________10．用含绝对值的式子表示下列各式：⑴若a＜0，b＞0,则b－a＝__________，a－b＝__________⑵若a＞b＞0，则|a－b|＝__________⑶若a＜b＜0，则a－b＝__________11．计算下列各题：⑴23＋（－27）＋9＋5 ⑵－5.4＋0.2－0.6＋0.35－0.25⑶－0.5－314＋2.75－712⑷33.1－10.7－（－22.9）－|－2310|12．计算1－3＋5－7＋9－11＋…＋97－9913．某检修小组乘汽车沿公路检修线路，规定前进为正，后退为负，某天从A地出发到收工时所走的路线（单位：千米）为：＋10，－3，＋4，－2，－8，＋13，－7，＋12，＋7，＋5⑴问收工时距离A地多远⑵若每千米耗油0.2千克，问从A地出发到收工时共耗油多少千克14．将1997减去它的12，再减去余下的13，再减去余下的14，再减去余下的15……以此类推，直到最后减去余下的11997，最后的得数是多少15．独特的埃及分数：埃及同中国一样，也是世界着名的文明古国，古代埃及人处理分数与众不同，他们一般只使用分子为1的分数，例如13＋115来表示25，用14＋17＋128表示37等等.现有90个埃及分数：12，13，14，15，…190，191，你能从中挑出10个，加上正、负号，使它们的和等于－1吗培优升级·奥赛检测01．（第16届希望杯邀请赛试题）1234141524682830-+-+-+-+-+-+-LL等于（）A．14B．14-C．12D．12-02．自然数a、b、c、d满足21a＋21b＋21c＋21d＝1，则31a＋41b＋51c＋61d等于（）A．18B．316C．732D．156403．（第17届希望杯邀请赛试题）a、b、c、d是互不相等的正整数，且abcd＝441，则a＋b＋c＋d值是（）A．30 B．32 C．34 D．3604．（第7届希望杯试题）若a＝1995199519961996，b＝1996199619971997，c＝1997199719981998，则a、b、c大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．a＜c＜b05．11111(1)(1)(1)(1)(1)1324351998200019992001+++++⨯⨯⨯⨯⨯L的值得整数部分为5343332313（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 06．(－2)2004＋3×(－2)2003的值为（ ）A ．－22003B ．22003C ．－22004D ．2200407．（希望杯邀请赛试题）若|m|＝m ＋1，则(4m ＋1)2004＝__________08．12＋（13＋23）＋（14＋24＋34）＋ … ＋（160＋260＋…＋5960）＝__________ 09．19191976767676761919-＝__________ 10．1＋2－22－23－24－25－26－27－28－29＋210＝__________ 11．求32001×72002×132003所得数的末位数字为__________ 12．已知(a ＋b)2＋|b ＋5|＝b ＋5，且|2a －b －1|＝0，求aB ．13．计算(11998－1)(11997－1) (11996－1) … (11001－1) (11000－1)14．请你从下表归纳出13＋23＋33＋43＋…＋n3的公式并计算出13＋23＋33＋43＋…＋1003的值.第03讲 有理数的乘除、乘方考点·方法·破译1．理解有理数的乘法法则以及运算律，能运用乘法法则准确地进行有理数的乘法运算，会利用运算律简化乘法运算.2．掌握倒数的概念，会运用倒数的性质简化运算.3．了解有理数除法的意义，掌握有理数的除法法则，熟练进行有理数的除法运算.4．掌握有理数乘除法混合运算的顺序，以及四则混合运算的步骤，熟练进行有理数的混合运算.5．理解有理数乘方的意义，掌握有理数乘方运算的符号法则，进一步掌握有理数的混合运算.经典·考题·赏析 【例１】计算⑴11()24⨯- ⑵1124⨯ ⑶11()()24-⨯- ⑷25000⨯ ⑸3713()()(1)()5697-⨯-⨯⨯- 【解法指导】掌握有理数乘法法则，正确运用法则，一是要体会并掌握乘法的符号规律，二是细心、稳妥、层次清楚，即先确定积的符号，后计算绝对值的积.解：⑴11111()()24248⨯-=-⨯=-⑵11111()24248⨯=⨯=⑶11111 ()()() 24248 -⨯-=+⨯=⑷250000⨯=⑸3713371031 ()()(1)()() 569756973 -⨯-⨯⨯-=-⨯⨯⨯=-【变式题组】01．⑴(5)(6)-⨯-⑵11()124-⨯⑶(8)(3.76)(0.125)-⨯⨯-⑷(3)(1)2(6)0(2)-⨯-⨯⨯-⨯⨯-⑸111112(2111)42612-⨯-+-02．24(9)5025-⨯3．1111(2345)()2345⨯⨯⨯⨯---04．111 (5)323(6)3333 -⨯+⨯+-⨯【例２】已知两个有理数a、b，如果ab＜0，且a＋b＜0，那么（）A．a＞0，b＜0 B．a＜0，b＞0C．a、b异号 D．a、b异号且负数的绝对值较大【解法指导】依有理数乘法法则，异号为负，故a、b异号，又依加法法则，异号相加取绝对值较大数的符号，可得出判断.解：由ab＜0知a、b异号，又由a＋b＜0，可知异号两数之和为负，依加法法则得负数的绝对值较大，选D．【变式题组】01．若a＋b＋c＝0，且b＜c＜0，则下列各式中，错误的是（）A．a＋b＞0 B．b＋c＜0 C．ab＋ac＞0 D．a＋bc＞002．已知a＋b＞0，a－b＜0，ab＜0，则a___________0，b___________0，|a|___________|b|.03．(山东烟台)如果a＋b＜0，ba>，则下列结论成立的是（）A．a＞0，b＞0 B．a＜0，b＜0 C．a＞0，b＜0 D．a＜0，b＞0 04．(广州)下列命题正确的是（）A．若ab＞0，则a＞0，b＞0 B．若ab＜0，则a＜0，b＜0C．若ab＝0，则a＝0或b＝0 D．若ab＝0，则a＝0且b＝0 【例３】计算⑴(72)(18)-÷-⑵11(2)3÷-⑶13()()1025-÷⑷0(7)÷-【解法指导】进行有理数除法运算时，若不能整除，应用法则1，先把除法转化成乘法，再确定符号，然后把绝对值相乘，要注意除法与乘法互为逆运算.若能整除，应用法则2，可直接确定符号，再把绝对值相除.解：⑴(72)(18)72184 -÷-=÷=⑵1733 1(2)1()1()3377÷-=÷-=⨯-=-⑶131255 ()()()() 10251036 -÷=-⨯=-⑷0(7)0÷-=【变式题组】01．⑴(32)(8)-÷-⑵112(1)36÷-⑶10(2)3÷-⑷13()(1)78÷-02．⑴12933÷⨯⑵311()(3)(1)3524-⨯-÷-÷⑶530()35÷-⨯03．113()(10.2)(3) 245÷-+-÷⨯-【例４】（茂名）若实数a、b满足a ba b+=，则abab＝___________.【解法指导】依绝对值意义进行分类讨论，得出a、b的取值范围，进一步代入结论得出结果.解：当ab＞0，2(0,0)2(0,0)a ba ba ba b>>⎧+=⎨-<<⎩；当ab＜0，a ba b+=，∴ab＜0，从而abab＝－1.【变式题组】01．若k是有理数，则(|k|＋k)÷k的结果是（）A．正数 B．0 C．负数 D．非负数02．若A．b都是非零有理数，那么aba ba b ab++的值是多少03．如果x yx y+=，试比较xy-与xy的大小.【例５】已知223(2),1 x y=-=-⑴求2008xy的值；⑵求32008xy的值.【解法指导】na表示n个a相乘，根据乘方的符号法则，如果a为正数，正数的任何次幂都是正数，如果a是负数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.解：∵223(2),1 x y=-=-⑴当2,1x y==-时，200820082(1)2xy=-=当2,1x y=-=-时，20082008(2)(1)2xy=-⨯-=-⑵当2,1x y==-时，332008200828(1)xy==-当2,1x y=-=-时，3320082008(2)8(1)xy-==--【变式题组】01．（北京）若2(2)0m n m-+-=，则nm的值是___________.02．已知x、y互为倒数，且绝对值相等，求()n nx y--的值，这里n是正整数.【例６】（安徽）2007年我省为135万名农村中小学生免费提供教科书，减轻了农民的负担，135万用科学记数法表示为（）A．0.135×106 B．1.35×106 C．0.135×107 D．1.35×107【解法指导】将一个数表示为科学记数法的a×10n的形式，其中a的整数位数是1位.故答案选B．【变式题组】01．（武汉）武汉市今年约有103000名学生参加中考，103000用科学记数法表示为（）A．1.03×105 B．0.103×105 C．10.3×104 D．103×10302．（沈阳）沈阳市计划从2008年到2012年新增林地面积253万亩，253万亩用科学记数法表示正确的是（）A．25.3×105亩 B．2.53×106亩 C．253×104亩 D．2.53×107亩【例７】（上海竞赛）【解法指导】找出21005000k k-+的通项公式＝22(50)50k-+原式＝222222222222 1299 (150)50(250)50(50)50(9950)50kk++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+-+-+-+-+＝222222222222199298[][] (150)50(9950)50(250)50(9850)50++++⋅⋅⋅+ -+-+-+-+＝49222+1++⋅⋅⋅+1442443个＝99【变式题组】A ．31003B ．31004C ．1334D ．1100002．（第10届希望杯试题）已知11111111 1.2581120411101640+++++++= 求111111112581120411101640---+--++的值.演练巩固·反馈提高01．三个有理数相乘，积为负数，则负因数的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．1个或3个 02．两个有理数的和是负数，积也是负数，那么这两个数（ ）A ．互为相反数B ．其中绝对值大的数是正数，另一个是负数C ．都是负数D ．其中绝对值大的数是负数，另一个是正数 03．已知abc ＞0，a ＞0，ac ＜0，则下列结论正确的是（ ）A ．b ＜0，c ＞0B ．b ＞0，c ＜0C ．b ＜0，c ＜0D ．b ＞0，c ＞0 04．若|ab|＝ab ，则（ ）A ．ab ＞0B ．ab ≥0C ．a ＜0，b ＜0D ．ab ＜005．若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的绝对值为2，则代数式a bm cd m +-+的值为（ ）A ．－3B ．1C ．±3D ．－3或106．若a ＞1a ，则a 的取值范围（ ）A ．a ＞1B ．0＜a ＜1C ．a ＞－1D ．－1＜a ＜0或a ＞107．已知a 、b 为有理数，给出下列条件：①a ＋b ＝0；②a －b ＝0；③ab ＜0；④1ab =-，其中能判断a 、b 互为相反数的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个08．若ab≠0，则a b a b+的取值不可能为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．－209．1110(2)(2)-+-的值为（ ）A ．－2B ．(－2)21C ．0D ．－21010．(安徽)2010年一季度，全国城镇新增就业人数289万人，用科学记数法表示289万正确的是（ ）A ．2.89×107B ．2.89×106C ．2.89×105D ．2.89×10411．已知4个不相等的整数a 、b 、c 、d ，它们的积abcd ＝9，则a ＋b ＋c ＋d ＝___________.12．21221(1)(1)(1)n n n +--+-+-（n 为自然数）＝___________.13．如果2xy xy+=，试比较xy -与xy 的大小.14．若a 、b 、c 为有理数且1a b ca b c++=-，求abc abc的值.15．若a 、b 、c 均为整数，且321a b c a -+-=.求a c cb b a-+-+-的值.培优升级·奥赛检测01．已知有理数x 、y 、z 两两不相等，则,,x y y z z xy z z x x y ------中负数的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个或2个02．计算12345211,213,217,2115,2131-=-=-=-=-=⋅⋅⋅归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测201021-的个位数字是（ ）A ．1B ．3C ．7D ．5 03．已知23450ab c d e ＜，下列判断正确的是（ ）A ．abcde ＜0B ．ab2cd4e ＜0C ．ab2cde ＜0D ．abcd4e ＜004．若有理数x 、y 使得,,,xx y x y xy y +-这四个数中的三个数相等，则|y|－|x|的值是（ ）A ．12-B ．0C ．12D ．3205．若A ＝248163264(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)+++++++，则A －1996的末位数字是（ ）A ．0B ．1C ．7D ．906．如果20012002()1,()1a b a b +=--=，则20032003a b +的值是（ ） A ．2 B ．1 C ．0 D ．－107．已知5544332222,33,55,66a b c d ====，则a 、b 、c 、d 大小关系是（ ）A ．a ＞b ＞c ＞dB ．a ＞b ＞d ＞cC ．b ＞a ＞c ＞dD ．a ＞d ＞b ＞c08．已知a、b、c都不等于0，且a b c abca b c abc+++的最大值为m，最小值为n，则2005()m n+＝___________.09．（第13届“华杯赛”试题）从下面每组数中各取一个数将它们相乘，那么所有这样的乘积的总和是___________.第一组：15,3,4.25,5.753-第二组：11 2,315 -第三组：5 2.25,,412-10．一本书的页码从1记到n，把所有这些页码加起来，其中有一页码被错加了两次，结果得出了不正确的和2002，这个被加错了两次的页码是多少11．（湖北省竞赛试题）观察按下列规律排成一列数：11，12，21，13，22，31，14，23，3 2，41，15，24，23，42，51，16，…(＊)，在(＊)中左起第m个数记为F(m)，当F(m)＝12001时，求m的值和这m个数的积.12．图中显示的填数“魔方”只填了一部分，将下列9个数：11,,1,2,4,8,16,32,6442填入方格中，使得所有行列及对角线上各数相乘的积相等，求x的值.13．(第12届“华杯赛”试题)已知m、n都是正整数，并且证明：⑴11,;22m nA Bm n++ ==⑵126A B-=，求m、n的值.第04讲整式考点·方法·破译1．掌握单项式及单项式的系数、次数的概念.2．掌握多项式及多项式的项、常数项及次数等概念.3．掌握整式的概念，会判断一个代数式是否为整式.4．了解整式读、写的约定俗成的一般方法，会根据给出的字母的值求多项式的值. 经典·考题·赏析【例1】判断下列各代数式是否是单项式，如果不是请简要说明理由，如果是请指出它的系数与次数.【解法指导】 理解单项式的概念:由数与字母的积组成的代数式，单独一个数或一个字母也是单项式，数字的次数为0，是常数，单项式中所有字母指数和叫单项式次数. 解：⑴不是，因为代数式中出现了加法运算； ⑵不是，因为代数式是与x 的商； ⑶是，它的系数为π，次数为2；⑷是，它的系数为32，次数为3.【变式题组】01．判断下列代数式是否是单项式02．说出下列单项式的系数与次数【例２】 如果与都是关于x 、y 的六次单项式，且系数相等，求m 、n 的值.【解法指导】 单项式的次数要弄清针对什么字母而言，是针对x 或y 或x 、y 等是有区别的，该题是针对x 与y 而言的，因此单项式的次数指x 、y 的指数之和，与字母m 无关，此时将m 看成一个要求的已知数. 解：由题意得【变式题组】01．一个含有x 、y 的五次单项式，x 的指数为3.且当x ＝2,y ＝－1时，这个单项式的值为32，求这个单项式. 02．（毕节）写出含有字母x 、y 的五次单项式______________________. 【例３】 已知多项式 ⑴这个多项式是几次几项式⑵这个多项式最高次项是多少二次项系数是什么常数项是什么【解法指导】 n 个单项式的和叫多项式，每个单项式叫多项式的项，多项式里次数最高项的次数叫多项式的次数.解：⑴这个多项式是七次四项式； (2)最高次项是,二次项系数为－1，常数项是1.【变式题组】01．指出下列多项式的项和次数⑴ (2)02．指出下列多项式的二次项、二次项系数和常数项⑴ (2)【例４】多项式是关于x的三次三项式，并且一次项系数为－7.求m+n－k的值【解法指导】多项式的次数是单项式中次数最高的次数，单项式的系数是数字与字母乘积中的数字因数.解：因为是关于x的三次三项式，依三次知m＝3，而一次项系数为－7，即－（3n+1）＝－7，故n＝2.已有三次项为,一次项为－7x，常数项为5，又原多项式为三次三项式，故二次项的系数k＝0，故m+n－k＝3+2－0＝5.【变式题组】01．多项式是四次三项式，则m的值为（）A．2 B．－2 C．±2 D．±102．已知关于x、y的多项式不含二次项，求5a－8b的值.03．已知多项式是六次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同，求n的值.【例５】已知代数式的值是8,求的值.【解法指导】由，现阶段还不能求出x的具体值，所以联想到整体代入法. 解：由得由（3【变式题组】01．(贵州)如果代数式－2a+3b+8的值为18，那么代数式9b－6a+2的值等于（）A．28 B．－28 C．32 D．－3202．（同山）若,则的值为_______________.03．（潍坊）代数式的值为9,则的值为______________.【例６】证明代数式的值与m的取值无关.【解法指导】欲证代数式的值与m的取值无关，只需证明代数式的化简结果不出现字母即可.证明：原式＝∴无论m的值为何，原式值都为4.∴原式的值与m的取值无关.【变式题组】01．已知,且的值与x无关，求a的值.02．若代数式的值与字母x的取值无关，求a、b 的值.【例７】（北京市选拔赛）同时都含有a、b、c，且系数为1的七次单项式共有（）个A．4 B．12 C．15 D．25【解法指导】首先写出符合题意的单项式,x、y、z都是正整数，再依x+y+z＝7来确定x、y、z的值.解：为所求的单项式，则x、y、z都是正整数，且x+y+z＝7.当x＝1时，y＝1,2,3,4,5,z＝5,4,3,2,1.当x＝2时，y＝1,2,3,4,z＝4,3,2,1. 当x＝3时，y＝1,2,3,z＝3,2,1.当 x ＝4时，y＝1,2,z＝2,1.当 x＝5时，y＝z＝1.所以所求的单项式的个数为5+4+3+2+1＝15，故选C．【变式题组】01．已知m、n是自然数，是八次三项式，求m、n值.02．整数n＝___________时，多项式是三次三项式.演练巩固·反馈提高01．下列说法正确的是（）A．是单项式 B．的次数为5 C．单项式系数为0 D．是四次二项式02．a表示一个两位数，b表示一个一位数，如果把b放在a的右边组成一个三位数.则这个三位数是（）A．100b+a B．10a+b C．a+b D．100a+b03．若多项式的值为1，则多项式的值是（）A．2 B．17 C．－7 D．704．随着计算机技术的迅猛发展，电脑价格不断降低，某品牌电脑原售价为n元，降低m 元后，又降低20%，那么该电脑的现售价为（）A． B． C． D．05．若多项式是关于x的一次多项式，则k的值是（）A．0 B．1 C．0或1 D．不能确定06．若是关于x、y的五次单项式，则它的系数是____________.07．电影院里第1排有a个座位，后面每排都比前排多3个座位，则第10排有_______个座位.08．若,则代数式xy+mn值为________.09．一项工作，甲单独做需a天完成，乙单独做需b天完成，如果甲、乙合做7天完成工作量是____________.10．(河北)有一串单项式(1)请你写出第100个单项式；⑵请你写出第n个单项式.11．（安徽）一个含有x、y的五次单项式，x的指数为3,且当x＝2，y＝－1时，这个单项式值为32，求这个单项式.12．（天津）已知x＝3时多项式的值为－1，则当x＝－3时这个多项式的值为多少13．若关于x、y的多项式与多项式的系数相同，并且最高次项的系数也相同，求a－b的值.14．某地电话拨号入网有两种方式，用户可任取其一.A：计时制：0.05元/分B：包月制：50元/月（只限一部宅电上网）.此外，每种上网方式都得加收通行费0.02元/分.⑴某用户某月上网时间为x小时，请你写出两种收费方式下该用户应该支付的费用；(2)若某用户估计一个月内上网时间为20小时，你认为采用哪种方式更合算.培优升级·奥赛检测01．（扬州）有一列数,从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差.若,则为（）A．2007 B．2 C． D．－102．（华师一附高招生）设记号*表示求a、b算术平均数的运算，即,则下列等式中对于任意实数a、b、c都成立的是（）①②③④A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②④03．已知,那么在代数式中，对任意的a、b，对应的代数式的值最大的是（）A． B． C． D．04．在一个地球仪的赤道上用铁丝箍半径增大1米，需增加m 米长的铁丝，假设地球的赤道上一个铁丝箍，同样半径增大1米，需增加n 米长的铁丝，则m 与n 大小关系（ ） A ．m ＞n B ．m ＜n C ．m ＝n D ．不能确定 05．（广安）已知_____________.06．某书店出售图书的同时，推出一项租书业务，每租看一本书，租期不超过3天，每天租金a 元，租期超过3天，从第4天开始每天另加收b 元，如果租看1本书7天归还，那么租金为____________元.07．已知＝_____________.08．有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简后的结果是______________. 09．已知＝______________.10．（全国初中数学竞赛）设a 、b 、c 的平均数为M,a 、b 的平均数为N,又N 、c 的平均数为P ，若a ＞b ＞c ，则M 与P 大小关系______________.11．(资阳)如图，对面积为1的△ABC 逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB ，BC ，CA 至点A1，B1，C1，使得A1B ＝2AB ，B1C ＝2BC ，C1A ＝2CA ，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1，记其面积为S1；第二次操作，分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使得A2B1＝2A1B1，B2C1＝2B1C1，C2A1＝2C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，记其面积为S2；…；按此规律继续下去，可得到△A5B5C5，则其面积S5＝________________195 ． 12．（安徽）探索n ×n 的正方形钉子板上(n 是钉子板每边上的钉子数)，连接任意两个钉子所得到的不同长度值的线段种数：当n ＝2时，钉子板上所连不同线段的长度值只有122种，若用S 表示不同长度值的线段种数，则S ＝2；当n ＝3时，钉子板上所连不同线段的长度值只有12，252五种，比n ＝2时增加了3种，即S ＝2+3＝5. 观察图形，填写下表：写出(n －1)×(n－1)和n×n 的两个钉子板上，不同长度值的线段种数之间的关系；(用式子或语言表述均可)(3)对n ×n 的钉子板，写出用n 表示S 的代数式. 13．（青岛）提出问题：如图①，在四边形ABCD 中，P 是AD 边上任意一点，△PBC 与△ABC 和△DBC 的面积之间有什么关系探究发现：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手：钉子数(n ×n) S 值 2×2 2 3×3 2+34×42＋3＋( ) 5×5( )n =2n =3n =4n =5。
初二上册数学直升班培优讲义学生版第11讲几何变换之轴对称(一)
轴对称图形两个图形成轴对称直观认识：4■直观认识：111定义：定义：如果一个平面图形沿一条直线把一个图形沿着某一条直线折叠，如折叠，直线两旁的部分能够互相重果它能够与另一个图形完全重合，那么就合，这个图形就叫做轴对称图形，说这两个图形关于这条直线（成轴）对称。
这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称.注意：轴对称图形指的是一个图形是轴对称图形，而两个图形成轴对称指的是两个图形。
因此，轴对称图形的对称轴可能只有一条，也可能有多条，但是两个图形成轴对称只有一条对称轴。
模块二“将军饮马”问题“将军饮马”问题比较经典，在考试中出现的频率特别的高，但是在考试中往往不是单一出现，而是“将军饮马”问题和一次函数、勾股定理、特殊的四边形结合在一起考试或者是考查比较难得“将军饮马”问题，考试的方法通常都是“将军饮马”的做法，综合考察。
模型I :最小问题第11讲几何变换之轴对称（一）模块一对轴对称的初步认识模块三常见轴对称的模型线的方法有以下三种。
但是在这三种中，同学们在运用的过程中， 往往第二种辅助线方式同 学们最容易出错，因为在出现第二种情况时，同学们往往看不出来；第三种做法最能体现轴翻折模型：其实可以这样说，翻折就是轴对称，轴对称就是翻折，而涉及到翻折往往不是单一考察，会和特殊四边形、一次函数中的图形结合考察，考察比较全面。
通常情况下， 和四边形结合，会考察求边倒角，而和一次函数结合，让你求点坐标，考察比较综合。
【教师备课提示】模块三是为了让孩子们复习回忆以前学过的知识， 所以老师可以略讲,重点是让孩子们练习。
角平分线模型：角平分线的中心思想应该是对称, 关于角平分线对称，因此常见做辅助模型II :最大问题BBAB模块一对轴对称的初步认识(1)如图1-1,直线I是四边形ABCD的对称轴，若AB CD，有下面的结论: ①AB II CD :②ACBD :③AO OC :④AB BC，其中正确的结论有_(2)(成外)如图1-2, △ABE和厶ACD是厶ABC分别沿着AB , AC边翻折180形成的, 若BAC 130，贝U EFC的度数是__________________________ .在正△ ABC内取一点BE BA，求BED .D，使DA DB，在△ ABC外取一点E,使BDE DBC，且L 121如图，已知 ABD ACD 60 ,且 ADB 90BDC .求证：△ ABC 是等腰三角形.2（1）如图4-1，在△ ABC 中， ACB 90，以AC 为一边在 △ ABC 外侧作等边 △ ACD ， 过点D作DE AC ，垂足为F , DE 与AB 相交于点E ,连接CE ，AB 15cm ，BC 9cm ， P 是射线DE 上的一点.连接 PC 、PB ,若△ PBC 的周长最小，则最小值为（ ）.A 21cmB 22cmC 24cmD 27cm（2）已知如图4-2，正方形 ABCD 的边长为3, E 在BC 边上，且 EC 1 , P 是BD 上一动“将军饮马”问题A A C点，贝V PE PC 的最小值（ ）. A . 5B .11E(1)(四川竞赛改编) 如图5-1所示，在等腰 Rt △ ABC 中，CA CB 3 , E 是BC 上一点， 满足BE 2，点P 是斜边AB 上任意一点，PC PE 的最大值和最小值分别记作 s 和t ,求 s 2t 2的值.(1) (2013-2014武侯区统考) 在锐角三角形 ABC 中，BC 3「2 ,ABC , M 、N 分别是BD 、BC 上的动点，贝U CM MN 最小值是 __________________(2)如图， AOB 30 , OC 2，在OA 上找一点M ,在OB 上找一点N ,使得CM MN 最小，求出此最小值.(2)(全国初中联赛) 如图5-2，设正△ ABC 的边长为 2, M 是AB 边上的中点, P 是BC边上的任意一点，PA PM 的最大值和最小值分别记为ABC 45 , BD 平分例5图5-1 s 和t .求s 2 t 2的值. 图5-2I!A(1)如图7-1, Z AOB 30，点P位于/ AOB内，OP 3，点M、N分别是射线OA、OB 上的动点，求△ PMN的最小周长.I!例10如图，在矩形 ABCD 中，E 是BC 边上的点，连接 C 恰好落在线段 AE 上的点F 处.P'(2)若/AOB 60，其它条件不变，则 △ PMN 的最小周长是多少.在△ ABC 中，Z A 45 , 求△ DEF 的最小周长.AAB 7 , AC 4.2，点 D 、E 、F 分别为BC 、AB 、AC 上的动点,C-N模块三常见轴对称的模型么」例9 .〉 -------------------------- i如图，I 是厶ABC 的内心(三角形三条角平分线的交点) 求ABC 和 AIB 的大小.，且 CA AI BC .若 BAC 80 ,ADDM3I!(1)求证：BE AF ;DE、AE, 将△ DEC沿线段DE翻折，点E(2)如果AB 9 , EC: BE 1:4，求线段DE 的长.― ■JI - j三点 A(3,1)、B(4,1)、C(6, 0)，点 P 为 x 轴上一动点.当△ OAP 与△ CBP 周长的和取得最小值时，求点 求证： AOC BCO 45 ;当 APB模块一对轴对称的初步认识(2) —个汽车车牌在水中的倒影如图，该车的车牌照号码是()如图2-1,矩形MNPQ中，点E,F,G,H分别在NP, PQ, QM , MN 上，若12 3 4 ,则称四边形 EFGH 为矩形MNPQ 的反射四边形.图 2-2，图2-3，图2-4中，四边形 ABCD 为矩形，且AB 4 , BC 8 .(1)(2) (3)(1)下列图案中，有且只有三条对称轴的是(A . WJ0103922 C . WJ0103625B . 2593010WJ D . WJ0103925例11已知: P 的坐标; 演练1)(1) 在图2-2、图2-3中，点E , F 分别在BC , CD 边上，试利用正方形网格在图上作出矩 形ABCD 的反射四边形 EFGH .(2) 求图2-2，图2-3中反射四边形(3) 如图2-4,请你猜想矩形 ABCD • |-半-卜命-E图2-2图2EFGH 的周长. 的反射四边形的周长是否为定值？并给出证明. G r图图-1模块二“将军饮马”问题(1)如图，正方形ABCD的边长是4, DAC的平分线交DC于点E,若点P、Q分别是AD和AE上的动点，贝U DQ PQ的最小值是(2)已知AOB 30°，点P在AOB内部，P与P关于0B对称,及与P关于0A对称，则R、0、及三点确定的三角形是( ).B .等腰直角三角形D.等边三角形图E图2-「In—|InIn演练3(1)如图3-1，已知A、B两村分别距公路l 的距离AA' 10km , BB' 40km，且A' B' 50km .在公路l上建一中转站P使AP BP的最小，贝U APA. 100kmB. 80kmC. 60kmBP的最小值为(D . 50 2 km(2)如图3-2,正方形ABCD中，AB8 , M是DC上的一点，且DM 2 , N是AC上的一动点，求DN MN的最小值与最大值.图3-2A .直角三角形C .腰底不等的等腰三角形C如图所示，已知CA上的点，则12A .5Rt△ ABC 中，B 90 , AB 3 , BC 4, D, E, F 分别是三边AB, BC, DE EF FD的最小值为(24B .).BAC 90°, AB AC , BE 平分ABC , CE BE .求证: CE51 BD .2如图，在△ ABC中,。
八上全等三角形经典培优习题汇集-学而思
全等三角形经典习题汇集第一讲全等三角形的性质及判定【例1】 如图，AC DE ∥，BC EF ∥，AC DE =．求证：AF BD =．【补充】如图所示：AB CD ∥，AB CD =．求证：AD BC ∥．【例2】 已知：如图，B 、E 、F 、C 四点在同一条直线上，AB DC =，BE CF =，B C ∠=∠．求证：OA OD =．【补充】已知：如图，AD BC =，AC BD =，求证：C D ∠=∠．【补充】如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 为CD 中点，连结AE 并延长AE 交BC 的延长线于点F ．求证：FC AD =．FEDCBA【例3】 如图，AB CD ，相交于点O ，OA OB =，E 、F 为CD 上两点，AE BF ∥，CE DF =．求证：FEDCBADCBA F E O D CB AO D CBAAC BD ∥．OF E DCBA【补充】已知，如图，AB AC =，CE AB ⊥，BF AC ⊥，求证：BF CE =．F E CBA【例4】 如图，90DCE CD CE AD AC BE AC ∠=︒=⊥⊥，，，，垂足分别为A B ，，试说明AD AB BE +=EDCBA【例10】 如图所示， 已知AB DC =，AE DF =，CE BF =，证明：AF DE =．【例11】 E 、F 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 边上的点，且BE CF =．求证：AE BF ⊥．PFEDCBAF DC BA【补充】E 、F 、G 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 、AB 边上的点，GE EF ⊥，GE EF =．求证：BG CF BC +=．GA BC DEF【例12】 在凸五边形中，B E ∠=∠，C D ∠=∠，BC DE =，M 为CD 中点．求证：AM CD ⊥．【补充】如图所示：AF CD =，BC EF =，AB DE =，A D ∠=∠．求证：BC EF ∥．A BCD EF【例13】 （1）如图，△ABC 的边AB 、AC 为边分别向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，连结EG ，试判断△ABC 与△AEG 面积之间的关系，并说明理由.（2）园林小路，曲径通幽，如图所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成.已知中间的所有正方形的面积之和是a 平方米，内圈的所有三角形的面积之和是b 平方米，这条小路一共占地多少平方米？GFEDCB AMEDC BA【例14】 如图，ABC ∆中，AB BC =，90ABC ∠=︒，D 是AC 上一点，且CD CB AB ==，DE AC ⊥交AB于E 点．求证：AD DE EB ==．CB DEA【例15】 ABC ∆中，90B ∠=︒，M 为AB 上一点，使得AM BC =，N 为BC 上一点，使得CN BM =，连AN 、CM 交于P 点．试求APM ∠的度数，并写出你的推理证明的过程．图3P DM N B C A【例16】 如图，I 是ABC △的内心，且CA AI BC +=．若80BAC ∠=︒，求ABC ∠和AIB ∠的大小．AB CI【例17】 已知：BD CE 、是ABC ∆的高，点P 在BD 的延长线上，BP AC =，点Q 在CE 上，CQ AB =，求证：⑴AP AQ =；⑵AP AQ ⊥．PDQCBEA【例18】 ⑴ 如左下图，在矩形ABCD 中，E 为CB 延长线上一点且AC CE =，F 为AE 的中点．求证：BF FD ⊥．⑵ 如右下图，在ABC ∆中，BE 、CF 分别为边AC 、AB 的高，D 为BC 的中点，DM EF ⊥于M ．求证：FM EM =．F EDCBAMFED CB A18.补充：如图，已知60ABD ACD ∠=∠=︒，且1902ADB BDC ∠=︒-∠．求证：ABC ∆是等腰三角形．【例19】 如图，ABC ∆为边长是1的等边三角形，BDC ∆为顶角()BDC ∠是120︒的等腰三角形，以D 为顶点作一个60︒角，角的两边分别交AB 于M ，AC于N ，连接MN ，形成一个AMN ∆．求AMN ∆的周长．AM NBCD【习题1】 已知：如图，AB DE ∥，AC DF ∥，BE CF =． 求证：AB DE =．FEDC B A【习题2】 已知：△DEF ≌△MNP ，且EF ＝NP ，∠F ＝∠P ，∠D ＝48°，∠E ＝52°，MN ＝12cm ，求：∠P 的度数及DE 的长.【习题3】如图，矩形ABCD 中，E 是AD 上一点，CE EF ⊥交AB 于F 点，若2DE =，矩形周长为16，且CE EF =，求AE 的长．EDCBF A【习题4】在四边形ABCD 中，AD BC ∥，A ∠的平分线AE 交DC 于E ．求证：当BE 是B ∠的角平分线时，有AD BC AB +=．【备选1】 如图所示：AB AC =，AD AE =，CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DAE ∠．月测备选家庭作业CE O【备选2】 如图所示，在ABC △中，AD BC ⊥于点D ，2B C ∠=∠．求证：AB BD CD +=．【备选3】 如图，△ABC 中，D 是BC 的中点，过D 点的直线GF 交AC 于F ，交AC 的平行线BG 于G 点，DE ⊥DF ，交AB 于点E ，连结EG 、EF . （1）求证：BG ＝CF .（2）请你判断BE +CF 与EF 的大小关系，并说明理由.FE DCBAG第二讲 全等三角形与中点问题版块一 倍长中线【例1】 在△ABC 中，9,5==AC AB ，则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是什么？【补充】已知：ABC ∆中，AD 是中线．求证：1()2AD AB AC <+．C D B ABBC【例2】 已知：如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，点E 是CD 的中点，BE 的延长线与AD 的延长线相交于点F ．求证：BCE FDE ∆∆≌．DFECBA【例3】 如图，在ABC ∆中，D 是BC 边的中点，F ，E 分别是AD 及其延长线上的点，CF BE ∥．求证：BDE CDF ∆∆≌．【例4】 如图，ABC ∆中，<AB AC ，AD 是中线．求证：<DAC DAB ∠∠．【例5】 如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF EF =，求证：AC BE =．F E D C BAB C FED CBA【例6】 如图所示，在ABC ∆和A B C '''∆中，AD 、A D ''分别是BC 、B C ''上的中线，且AB A B ''=，AC A C ''=，AD A D ''=，求证ABC A B C '''∆∆≌．【例7】 如图，在ABC ∆中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交EF于点G ，若BG CF =，求证：AD 为ABC ∆的角平分线．【例8】 已知AD 为ABC ∆的中线，ADB ∠，ADC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ．求证：BE CF EF +>．【例9】 在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，点D 为BC 的中点，点E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且ED FD ⊥．以线段BE 、EF 、FC 为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？B F G E DC B AF E A B D CA【例10】 已知△ABC ，∠B =∠C ，D ，E 分别是AB 及AC 延长线上的一点，且BD =CE ，连接DE 交底BC 于G ，求证GD =GE ．GEDCBA【例11】 如图所示，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，DM 垂直于DN ，如果2222BM CN DM DN +=+，求证()22214AD AB AC =+．(勾股定理的内容，选做)NMDCBA【例10】 在Rt ABC ∆中，F 是斜边AB 的中点，D 、E 分别在边CA 、CB 上，满足90DFE ∠=︒．若3AD =，4BE =，则线段DE 的长度为_________．【习题1】 如图，在等腰ABC ∆中，AB AC =，D 是BC 的中点，过A 作AE DE ⊥，AF DF ⊥，且AE AF =．求证：EDB FDC ∠=∠．【习题2】 如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F ，AF 与EF 相等吗？为什么？【习题3】 如右下图，在ABC ∆中，若2B C ∠=∠，AD BC ⊥，E 为BC 边的中点．求证：2AB DE =．A家庭作业图 6G EF D B C A F ED C BAD FE C B A【备选1】如图，已知AB=DC，AD=BC，O是BD中点，过O点的直线分别交DA、BC的延长线于E，F．求证：∠E=∠F【备选2】如图，ABC∆中，AB AC=，90BAC∠=︒，D是BC中点，ED FD⊥，ED与AB交于E，FD 与AC交于F．求证：BE AF=，AE CF=．第三讲全等三角形与角平分线问题【例1】在ABC∆中，D为BC边上的点，已知BAD CAD∠=∠，BD CD=，求证：AB AC=．D CBA【例2】已知ABC∆中，AB AC=，BE、CD分别是ABC∠及ACB∠平分线．求证：CD BE=．EDCBA【例3】如图，在ABC∆中，60B∠=︒，AD、CE分别平分BAC∠、BCA∠，且AD与CE的交点为F．求证：FE FD=．AB CDEFFBEDCA【例4】 如图，已知ABC ∆的周长是21，OB ，OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠，OD BC ⊥于D ，且3OD =，求ABC ∆的面积．【补充】如图所示：AB AC =，AD AE =，CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DAE ∠．【例5】 已知ABC ∆中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．OED CBA【例6】 如图，已知E 是AC 上的一点，又12∠=∠，34∠=∠．求证：ED EB =．E DC B A4321AOCB A B CD E O【例7】 如图所示，OP 是AOC ∠和BOD ∠的平分线，OA OC =，OB OD =．求证：AB CD =．PDBOCA【例8】 如图所示，已知ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，E 、F 分别在BD 、AD 上．DE CD =，EF AC =．求证：EF ∥ABFA CD E B【例10】 如图，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，过C 作CE AB E ⊥于，并且1()2AE AB AD =+，则ABC ADC ∠+∠等于多少？EDCBA【补充】长方形ABCD 中，AB =4，BC =7，∠BAD 的角平分线交BC 于点E ，EF ⊥ED 交AB 于F ，则EF =__________．FEDCBA【补充】在ABC ∆中，AB AC >，AD 是BAC ∠的平分线．P 是AD 上任意一点．求证：AB AC PB PC ->-．CD B PA【例11】 如图，在ABC ∆中，2B C ∠=∠，BAC ∠的平分线AD 交BC 与D ．求证：AB BD AC +=．DC B A【例12】 如图，ABC ∆中，AB AC =，108A ∠=︒，BD 平分ABC ∠交AC 于D 点．求证：BC AC CD =+．AB CD【巩固】已知等腰ABC ∆，100A ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于D ，则BD AD BC +=．【例13】 如图所示，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，AD AB =，CM AD ⊥于M ，求证2AB AC AM +=．MD CBACB【例14】 如图，ABC ∆中，AB AC =，BD 、CE 分别为两底角的外角平分线，AD BD ⊥于D ，AE CE⊥于E ．求证：AD AE =．HG D AB C E【例15】 如图，180A D ∠+∠=︒，BE 平分ABC ∠，CE 平分BCD ∠，点E 在AD 上．① 探讨线段AB 、CD 和BC 之间的等量关系． ② 探讨线段BE 与CE 之间的位置关系．EDCB A【习题2】如图，在ABC ∆中，AB BD AC +=，BAC ∠的平分线AD 交BC 与D ．求证：2B C ∠=∠．DC B A家庭作业【习题3】AD是ABC∆的角平分线，BE AD⊥交AD的延长线于E，EF AC∥交AB于F．求证：AF FB=．DECFBA【习题4】如图所示，AD平行于BC，DAE=EAB∠∠，ABE=EBC∠∠，AD=4，BC=2，那么AB=________．【习题5】ABC∆中，D为BC中点，DE BC⊥交BAC∠的平分线于点E，EF AB⊥于F EG AC⊥于G．求证：BF CG=．EGFDCBA【备选1】在ABC∆中，AD平分BAC∠，AB BD AC+=．求:B C∠∠的值．CDBA月测备选【备选2】如图，已知在ABC ∆中，3ABC C ∠=∠，12∠=∠，BE AE ⊥．求证：2AC AB BE -=．21ECBA【备选3】如图所示，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，A ∠的平分线AE 交DC 于E ，求证：当BE 是B∠的平分线时，有AD BC AB +=．EBCDA第四讲 全等三角形与旋转问题【例1】 已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形．（1）求证：AN BM =．A C（2）求证：CD=CE(3) 求证：CF 平分∠MCN（4） 求证：DE ∥AB【例2】 如图，四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG ．求证：AE CG ．AAC BA CG FEDCBA【例3】 如图，等边三角形ABC ∆与等边DEC ∆共顶点于C 点．求证：AE BD =．DECBA【例4】 如图，D 是等边ABC ∆内的一点，且BD AD =，BP AB =，DBP DBC ∠=∠，问BPD ∠的度数是否一定，若一定，求它的度数；若不一定，说明理由．PDC BA【例5】 如图，等腰直角三角形ABC 中，90B =︒∠，AB a =，O 为AC 中点，EO OF ⊥．求证：BE BF+为定值．OB ECF A【补充】如图，正方形OGHK 绕正方形ABCD 中点O 旋转，其交点为E 、F ，求证：AE CF AB +=．54321OHBE DKG CF A【例6】 (2004河北)如图，已知点E 是正方形ABCD 的边CD 上一点，点F 是CB 的延长线上一点，且EA AF ⊥． 求证：DE BF =．FED CBA【补充】如图所示，在四边形ABCD 中，90ADC ABC ∠=∠=︒，AD CD =，DP AB ⊥于P ，若四边形ABCD的面积是16，求DP 的长．PDCBA【例7】 E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，且45EAF =︒∠，AH EF ⊥，H 为垂足，求证：AH AB =．【巩固】如图，正方形ABCD 的边长为1，点F 在线段CD 上运动，AE 平分BAF ∠交BC 边于点E ．⑴求证：AF DF BE =+．⑵设DF x =(01x ≤≤)，ADF ∆与ABE ∆的面积和S 是否存在最大值？若存在，求出此时x 的值及S ．若不存在，请说明理由．FEDC BA【补充】(1)如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝90︒，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF=12∠BAD ．求证：EF ＝BE +FD ;FED CBAC HF E D BA(2) 如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B+∠D ＝180︒，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF=12∠BAD ， (1)中的结论是否仍然成立？不用证明．FEDCB A【习题1】 如图，已知ABC ∆和ADE ∆都是等边三角形，B 、C 、D 在一条直线上，试说明CE 与AC CD+相等的理由．EDCBA【习题2】 (湖北省黄冈市2008年初中毕业生升学考试)已知：如图，点E 是正方形ABCD 的边AB 上任意一点，过点D 作DF DE ⊥交BC 的延长线于点F ．求证：DE DF =．FEDCBA【习题3】 在梯形ABCD 中，AB CD ∥，90A ∠=︒，2AB =，3BC =，1CD =，E 是AD中点，试判断EC 与EB 的位置关系，并写出推理过程．家庭作业CD【习题4】 已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形．CG 、CH 分别是ACN ∆、MCB ∆ 的高．求证：CG CH =．HG NM CBA【备选1】 在等腰直角ABC ∆中，90ACB ∠=，AC BC =，M 是AB 的中点，点P 从B 出发向C 运动，MQ MP ⊥ 交AC 于点Q ，试说明MPQ ∆的形状和面积将如何变化．【备选2】 如图，正方形ABCD 中，FAD FAE ∠=∠．求证：BE DF AE +=．FEDCBA月测备选APMCQ B【备选3】 等边ABD ∆和等边CBD ∆的边长均为1，E 是BE AD ⊥上异于A D 、的任意一点，F 是CD 上一点，满足1AE CF +=，当E F 、移动时，试判断BEF ∆的形状．DFE CBA第五讲 轴对称和等腰三角形【例1】 在ABC ∆中，AB AC =，BC BD ED EA ===．求A ∠．【补充】在ABC ∆中，AB AC =，BC BD =，AD ED EB ==．求A ∠．EDCB A【例2】 ABC ∆的两边AB 和AC 的垂直平分线分别交BC 于D 、E ，若150BAC DAE ∠+∠=︒，求BAC ∠．【例3】 如图，点O 是等边AO AD =内一点，110AOB ∠=，BOC α∠=．将BOC △绕点C 按顺时针方向旋转19060αα-=-∴°°得ADC △，连接OD ，则COD △是等边三角形；当α为多少度时，AOD △是等腰三角形？【例4】 如图，在ABC ∆中，B C ∠=∠，D 在BC 上，50BAD ∠=，在AC 上取一点E ，使得ADE AED ∠=∠，求EDC ∠的度数．【例5】 如图，ABC ∆为等边三角形，延长BC 到D ，又延长BA 到E ，使AE BD =，连接,CE DE ，求证：CDE ∆为等腰三角形．E D C B A O D C B AAB CD EE【例6】 如图，在ABC ∆中，B ∠，C ∠为锐角，,,M N D 分别为边AB 、AC 、BC 上的点，满足AM AN =，BD DC =，且BDM CDN ∠=∠．求证：AB AC =．板块三、轴对称在几何最值问题中的应用【例7】 已知点A 在直线l 外，点P 为直线l 上的一个动点，探究是否存在一个定点B ，当点P 在直线l 上运动时，点P 与A 、B 两点的距离总相等，如果存在，请作出定点B ；若不存在，请说明理由．【例8】 如图，在公路a 的同旁有两个仓库A 、B ，现需要建一货物中转站，要求到A 、B 两仓库的距离和最短，这个中转站M 应建在公路旁的哪个位置比较合理？aBA【例9】 如图，45AOB ∠=︒，角内有点P ，在角的两边有两点Q 、R (均不同于O 点)，求作Q 、R ，使得PQR ∆的周长的最小．ABCD MNPl【补充】如图，M 、N 为ABC ∆的边AC 、BC 上的两个定点，在AB 上求一点P ，使PMN ∆的周长最短．【例10】 已知如图，点M 在锐角AOB ∠的内部，在OB 边上求作一点P ，使点P 到点M 的距离与点P 到OA 的边的距离和最小．【补充】已知：A 、B 两点在直线l 的同侧， 在l 上求作一点M ，使得||AM BM -最小．【补充】已知：A 、B 两点在直线l 的同侧，在l 上求作一点M ，使得||BM AM -最大．【例11】 如图，正方形ABCD 中，8AB =，M 是DC 上的一点，且2DM =，N 是AC 上的一动点，求DN MN +的最小值与最大值．M BO A lBA NM D A【补充】例题中的条件不变，求DN MN -的最小值与最大值．【补充】如图，已知正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且2DM =，N 是AC 上的一个动点，则DN MN +的最小值是MD CBA【习题1】 (2007双柏中考)等腰三角形的两边长分别为4和9，则第三边长为 ． 【习题2】 等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm 和21cm 两部分，则这个等腰三角形的底边的长为( )A ．17cmB ．5cmC ．17cm 或5cmD ．无法确定【习题3】 已知等腰三角形的周长为20，腰长为x ，求x 的取值范围．【习题4】 (2004天津)在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )【习题5】 判断下列图形(图)是否为轴对称图形？如果是，说出它有几条对称轴．⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ ⑺ ⑻ ⑼家庭作业【备选1】 ABC ∆的一个内角的大小是040，且A B ∠=∠，那么C ∠的外角的大小是( )A ．140︒B ．80︒或100︒C ． 100︒或140︒D ． 80︒或140︒【备选2】 已知等腰三角形一腰上的中线将它们的周长分为12和15两部分，求腰长和底长． 【备选3】 (四川省竞赛题)如图，在等腰Rt ABC ∆中，3CA CB ==，E 的BC 上一点，满足2BE =，在斜边AB 上求作一点P 使得PC PE +长度之和最小．PECBA【备选4】 在正方形ABCD 中，E 在BC 上，2BE =，1CE =，P 在BD 上，求PE 和PC 的长度之和的最小值．E PDCB AE‘E PDCB A月测备选第六讲 全等三角形中的截长补短板块一、截长补短【例1】 已知ABC ∆中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．【例2】 如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作60DMN ∠=︒，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系?【例3】 AD ⊥AB ，CB ⊥AB ，DM =CM =a ，AD =h ，CB =k ，∠AMD =75°，∠BMC =45°，则AB 的长为 ( )A . aB . kC .2k h+ D . h MDCBA【例4】 已知：如图，ABCD 是正方形，∠FAD =∠FAE . 求证：BE +DF =AE .D OECB ANEB M A DF DA【例5】 以ABC ∆的AB 、AC 为边向三角形外作等边ABD ∆、ACE ∆，连结CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DOE ∠．FABCDEOOEDCBA【例6】 (北京市数学竞赛试题，天津市数学竞赛试题)如图所示，ABC ∆是边长为1的正三角形，BDC ∆是顶角为120︒的等腰三角形，以D 为顶点作一个60︒的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ∆的周长．【例7】 五边形ABCDE 中，AB =AE ，BC +DE =CD ，∠ABC +∠AED =180°，求证：AD 平分∠CDEN MDCB A板块二、全等与角度【例10】 如图，在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，且AC AB BD =+，求ABC ∠的度数.【例11】 在正ABC ∆内取一点D ，使DA DB =，在ABC ∆外取一点E ，使DBE DBC ∠=∠，且BE BA =，求BED ∠.CEDB AD CBAD E CBA。
学而思初二数学秋季班第1讲.构造轴对称图形.提高班.教师版
1初二秋季·第1讲·提高班·教师版对称的世界图形变换3级中考新题型之折纸与拼图图形变换2级 构造轴对称图形图形变换1级 轴对称初步 满分晋级漫画释义1构造轴对称图形2初二秋季·第1讲·提高班·教师版1 角平分线+垂线，等腰三角形必呈现当题设有角平分线及与角平分线垂直的线段，可延长这条线段与角的另一边相交，构成等腰三角形，可利用等腰三角形的三线合一性质证题；2 角分线，分两边；对称全等要记全当题设有角平分线及角平分线一侧的三角形时，可截长补短，利用角平分线，构造轴对称的全等三角形．例题精讲思路导航知识互联网题型一：角平分线的常见辅助线模型（二）3初二秋季·第1讲·提高班·教师版图2N M O B CP A 图1A P CO MN【引例】 如图，在ABC △中，BE 是角平分线，AD BE ⊥，垂足为D ．求证：21C ∠=∠+∠．ABCED12F21DECBA【解析】如图，延长AD 交BC 于F 点．∵ABD FBD ∠=∠，BD BD =，90ADB FDB ∠=∠=︒， ∴Rt Rt ABD FBD △≌△． ∴2DFB ∠=∠． ∵1DFB C ∠=∠+∠， ∴21C ∠=∠+∠．【例1】 如图1所示： OP 平分MON ∠，A 为OM 上一点，AC OP ⊥于C 点．则延长AC 与ON交于B 点（如图2所示），易证AC BC OA OB ==，．进而可知点C 是线段AB 的中点.请根据上面的学习材料，解答下列各题：如图，在ABC △中，90BAC ∠=°，AB AC =，BE 平分ABC ∠，CE BE ⊥．求证：12CE BD =．ABCD E123321FED CBA【解析】 延长CE 、BA 相交于F ，典题精练4初二秋季·第1讲·提高班·教师版在BEC △和BEF △中12BE BE BEF BEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴BEC BEF △≌△（ASA ）∴12CE EF CF ==∵BE CE ⊥，∴190F ∠=-∠° 同理390F ∠=-∠°，∴13∠=∠在ABD △和ACF △中，13AB AC BAD CAF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ABD ACF △≌△（ASA ） ∴BD CF =∴12CE BD =【例2】 阅读下面学习材料：如图1所示：ABC △中，取AB AC 、中点D E 、，连接DE ，则DE 叫ABC △的中位线（如图2所示）．易证DE BC ∥且12DE BC =．图2图1BCAED C BA我们来一起证明一下：证明：过点C 作CF AB ∥交DE 的延长线于F . ∴ADE CFE △≌△∴DE EF =,FC AD DB ==. ∵,FC BD ∥FC BD =∴四边形DBCF 是平行四边形. ∴1122DE BC DF ==,DF BC ∥.若在ABC △中，MB 、NC 分别是三角形的外角ABP ∠、ACQ ∠的角平分线，AM BM ⊥， AN CN ⊥垂足分别是M 、N ．求证：MN BC ∥，()12MN AB AC BC =++AB CMNPQFEQPNMCBA【解析】延长AM 、CB 相交于点E ，延长AN 、BC 相交于点F ，易证()()ASA ASA AMB EMB ANC FNC △≌△，△≌△， FED C BA5初二秋季·第1讲·提高班·教师版∴AM EM =，AN FN =，AB EB =，AC FC =∴MN BC ∥，且()()1122MN EB BC CF AB BC AC =++=++．【例3】 阅读下列学习材料：如图1 所示，OP 平分MON ∠，A 为OM 上一点，C 为OP 上一点.连接AC ,在射线ON 上截取OB OA =，连接BC （如图2），易证AOC BOC △≌△．图1N M OPA C图2CA PBOM N请根据上面的学习材料，解答下列各题： 如图，在四边形ABCD 中，AD BC A ∠∥，的角平分线AE 交DC 于E ，BE 是B ∠的角平分线．求证：⑴AD BC AB +=；⑵AE BE ⊥EDCB AFEDCBA【解析】⑴ 在AB 上截取AF ，使AF AD =，连接EF ，∵在ADE △和AFE △中，DA FA DAE BAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴(SAS)ADE AFE △≌△ ∴ADE AFE ∠=∠ ∵AD BC ∥∴180ADE C ∠+∠=︒ ∵180EFB AFE ∠+∠=︒ ∴EFB C ∠=∠∵在EFB △和ECB △中，EBF EBC EFB C BE BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴(AAS)EFB ECB △≌△ ∴BF BC =∴AD BC AF BF AB +=+= ⑵ ∵AD BC ∥,∴22180EAB EBA ∠+∠=︒ ∴90EAB EBA ∠+∠=︒ ∴AE BE ⊥.【例4】 已知：如图，在四边形ABCD 中，BC AB >，AD CD =，BD 平 A B CD6初二秋季·第1讲·提高班·教师版分ABC ∠．求证：180A C ∠+∠=°．【分析】 证两个角的和等于180°，使我们联想到证这两角和等于一个平角．由于两个角比较分散，因此根据角的平分线的条件，添加辅助线，把两个角拼成一个平角．【解析】 证法一：（这个模型我们暑期班进行过详细讲解）如图，过点D 作BA 、BC 的垂线，垂足分别为E 、F ．则DE DF =． 在Rt ADE △和Rt CDF △中，AD DC DE DF =⎧⎨=⎩，∴()Rt Rt HL ADE CDF △≌△，∴EAD C ∠=∠． ∵180BAD EAD ∠+∠=°,∴180A C ∠+∠=°．FEDCBAA BCDEEDCBA证法二：如图，在BC 上截取BE AB =，连结DE ， 在ABD △和EBD △中AB EB ABD EBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()SAS ABD EBD △≌△，∴A BED ∠=∠，AD ED =． ∵AD CD =，∴ED CD =．∴C DEC ∠=∠． ∴180A C BED DEC ∠+∠=∠+∠=°．证法三：如图，延长BA 到E ，BE BC =，连结ED ．在BDE △和BDC △中，BD BD EBD CBD BE BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS BDE BDC △≌△∴E C ∠=∠，ED CD =．∵AD CD =，∴AD ED =∴E DAE ∠=∠，C DAE ∠=∠．∴BAD C ∠+∠180BAD DAE =∠+∠=°．7初二秋季·第1讲·提高班·教师版探索1：如图，在l 上找一点P ，使PA PB +最小.lBAP′PlBA【解析】直线AB 与l 的交点即为所求点P ，PA PB +最小值为AB .探索2：如图，在l 上找一点P ，使PA PB +最小.ABlPlB'BA【解析】做点B 关于直线l 的对称点'B ,直线'AB 与l 的交点即为所求点P ，PA PB +最小值为'AB .【备选1】模型应用：⑴ 如图1，在等边三角形ABC 中，AB =2，点E 是AB 的中点，AD 是高，在AD 上找一点P ，使BP +PE 的值最小； ⑵ 如图2，正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，在AC 上找一点P ，使PB +PE 的值最小； ⑶ 如图3，⊙O 的半径为2，点A 、B 、C 在⊙O 上，OA ⊥OB ，∠AOC =60°，P 是OB 上一动点，求P A +PC 的最小值；⑷ 如图4，在四边形ABCD 的对角线AC 上找一点P ，使∠APB =∠APD ．保留作图痕迹，不必写出作法．思路导航题型二：将军饮马问题探索8初二秋季·第1讲·提高班·教师版图4图3图2图1P DCAOPCBAP E D CB AP E D CBA【解析】 ⑴作点B 关于AD 的对称点，恰好与点C 重合，连接CE 交AD 于一点，则这点就是所求的点P ，故BP +PE 的最小值为223BC BE -=；⑵连接BD ，由正方形对称性可知，B 与D 关于直线AC 对称．连接ED 交AC 于P ，则PB +PE 的最小值是225AD AE +=；⑶作A 关于OB 的对称点A ′，连接A ′C ，交OB 于P ，P A +PC 的最小值即为A ′C 的长，∵∠AOC =60°，∴∠A ′OC =120°，作OD ⊥A ′C 于D ，则∠A ′OD =60°，∵OA ′=OA =2，A ′D =3，∴A ′C =23⑶如图4，首先过点B 作BB ′⊥AC 于O ，且OB =OB ′，连接DB ′并延长交AC 于P ，由AC 是BB ′的垂直平分线，可得∠APB =∠APD ．B'DA'图4图3图2图1P DCB AO P C B AP E DCB AP E D CBA【备注】此题涉及部分勾股定理内容，程度好的班级教师可适当进行拓展，程度一般的班级可跳过计算，会画图即可．探索3：如图，在l 上找一点P ，使PA PB -最大.ABlAPB P′l【解析】直线AB 与l 的交点即为所求点P ，PA PB -最大值为AB .．探索4：如图，在l 上找一点P ，使PA PB -最大.9初二秋季·第1讲·提高班·教师版ABllB'PBA【解析】做点B 关于直线l 的对称点'B ,直线'AB 与l 的交点即为所求点P ，PA PB -最大值为AB '.探索5：如图，在l 上找一点P ，使PA PB -最小.All【解析】直线AB 的中垂线与l 的交点即为所求点P ，PA PB -最小值为0.探索6：如图，点P 在锐角AOB ∠的内部，在OB 边上求作一点D ，在OA 边上求作一点C ，使PCD△的周长最小.BOB【分析】做点P 关于直线OA 、OB 的对称点1P 、2P ，12P P 与直线OA 、OB 的交点为所求点C 、D .△PCD 的周长最小值为P 1P 2的长度．【备选2】 已知如图所示，40MON ∠=︒，P 为MON ∠内一点，A 为OM 上一点，B 为ON 上一点，则当PAB △的周长取最小值时，APB ∠的度数为 ．(东城期末)【解析】 分别作点P 关于ON 、OM 的对称点P '、P ''，连接OP '、OP ''、P P '''，显然PAB △的周长PA AB PB P B AB P A '''++=++， 由两点间线段最短，故PAB △的最小周长为P P '''，N PB M O AP''P'P B A N OM10 初二秋季·第1讲·提高班·教师版∵40MON =︒∠，OP OP OP '''==，∴P OP '''△是等腰三角形， 此时∠O P 'P ''=∠O P ''P '=50°∴角∠APB =∠O P 'P ''+∠O P ''P '=100°．探索7：如图，点P 在锐角AOB ∠的内部，在OB 边上求作一点D ，在OA 边上求作一点C ，使PD CD +最小.ABPP′PDC OBA【解析】做点P 关于直线OB 的对称点'P 、过'P 向直线OA 作垂线、与OB 的交点为所求点D ，垂足即为点C ．PD +CD 的最小值为P ’C 的长度．【备选3】如图，在锐角三角形ABC 中，BC =42，∠ABC =45°，BD 平分∠ABC ，M 、N 分别是BD 、BC 上的动点，试求CM +MN 的最小值．【解析】 过点C 作CE ⊥AB 于点E ，交BD 于点M ′，过点M ′作M ′N ′⊥BC 于N ′，则CE 即为CM +MN的最小值，∵BC =42，∠ABC =45°，BD 平分∠ABC ，∴△BCE 是等腰直角三角形，∴CE =4，故CM +MN 的最小值为4．EN'M'ABCD NMMNDCBA探索8：如图，点C 、D 在锐角AOB ∠的内部，在OB 边上求作一点F ，在OA 边上求作一点E ，使四边形CEFD 周长最小.ODC BAC′D′FEODC BA111【解析】如图所示，作C 、D 两点分别关于直线OA 、OB 的对称点C D ''、，连接C D ''、分别交OA 、OB 于E F 、，点E 、F 即为所求．【备选4】在∠MON 的两边上分别找两点P 、Q ，使得AP +PQ +QB 最小．（保留画图痕迹，不要求写作法）A'N NO探索9：如图，直线l 外有两点A 、B ，有一定长线段a ，在直线上找到点M 、N ,使得MN 间的距离等于定长a ，使得四边形AMNB 的周长最小.B'A'aNMBAl【解析】 如图所示，将点A 向右平移a 个长度到点'A ,做点B 关于直线l 的对称点'B ,连接''A B 后交直线l 于点N ,过点A 作''AM A B ∥,交直线l 于点M ，四边形AMNB 即为所求.【备选5】⑴如图1，在△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 边的中点，BC =6，BC 边上的高为4，请你在BC 边上确定一点P ，使得△PDE 的周长最小． ①在图1中作出点P ．（三角板、刻度尺作图，保留作图痕迹，不写作法） ②请直接写出△PDE 周长的最小值．⑵如图2在矩形ABCD 中，AB =4，BC =6，G 为边AD 的中点，若E 、F 为边AB 上的两个动点，点E 在点F 左侧，且EF =1，当四边形CGEF 的周长最小时，请你在图2中确定点E 、F 的位置．（三角板、刻度尺作图，保留作图痕迹，不写作法），并求出四边形CGEF 周长的最小值．aBAl图1图2图1BGCB12 初二秋季·第1讲·提高班·教师版【解析】⑴ ①如图1所示：②8；⑵ 如图2，作G 关于AB 的对称点M ，在CD 上截取CH =1，然后连接HM 交AB 于E ， 接着在EB 上截取EF =1，那么E 、F 两点即可满足使四边形CGEF 的周长最小． C CGEF GE EF FC GC MH CG EF =+++=++四边形 ∵AB =4，BC =6，G 为边AD 的中点， ∴DG =AG =AM =3，∴MH=2239310+=，CG=22345+= ∴C 6310CGEF =+四边形．探索10：如图，在一组平行线l 1、l 2两侧各有两点A 、B ，在l 1、l 2间找一条线段MN ,使MN ⊥l 1并且使得AM +MN +NB 之和最短．N'M'A'l 2BN MAl 1N MBA l 2l 1【备选6】如图，荆州古城河在CC ′处直角转弯，河宽均为5米，从A 处到达B 处，须经两座桥：DD ′，EE ′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，A 、B 在东西方向上相距65米，南北方向上相距85米，恰当地架桥可使ADD ′E ′EB 的路程最短，这个最短路程是多少米？CABD D'C'E E'FGE'E C'D'D BA C【解析】 作AF ⊥CD ，且AF =河宽，作BG ⊥CE ，且BG =河宽，连接GF ，与河岸相交于E ′、D ′．作DD ′、EE ′即为桥．13初二秋季·第1讲·提高班·教师版证明：由作图法可知，AF ∥DD ′，AF =DD ′， 则四边形AFD ′D 为平行四边形， 于是AD =FD ′， 同理，BE =GE ′，由两点之间线段最短可知，GF 最小； 即当桥建于如图所示位置时，ADD ′E ′EB 最短． 距离为()()2265-5+85-552110+⨯=米．【例5】 如图，30AOB =︒∠，点P 位于AOB ∠内，3OP =，点M 、N 分别是射线OA 、OB 上的动点，求PMN △的最小周长．NMPBAOP''P'OAB PMN【解析】 分别作点P 关于OA 、OB 的对称点P '、P ''，连接OP '、OP ''、P P '''，显然PMN △的周长PM MN PN P M MN P N '''++=++，由两点间线段最短，P M MN P N P P ''''''++≥，故PMN △的最小周长等于P P '''的长， ∵30AOB =︒∠，∴'"60P OP ∠=︒，又∵3OP OP OP '''===， ∴P OP '''△是等边三角形，∴3P P '''=，即PMN △的最小周长为3．【例6】 如图1，OP 是MON ∠的角平分线，请利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考构造全等三角形的方法，解答下列问题：⑴ 如图2，在ABC △中，ACB ∠是直角，60B ∠=︒，AD CE 、分别是BAC BCA ∠∠、的角平分线，AD CE 、相交于点F ．请你判断写出FE 与FD 之间的数量关系；⑵ 如图3，在ABC △中，如果ACB ∠不是直角，而⑴中的其他条件不变，请问，你在⑴中所得结论是否依然成立?若成立请证明；若不成立，请说明理由．（北京中考）典题精练图3图2图1P NMOABCDEFFEDC BA14 初二秋季·第1讲·提高班·教师版4321图4G FE D CBA图5HGABCD E F【解析】 图略．⑴ FE 与FD 之间的数量关系为FE FD = ⑵ ⑴中的结论FE FD =仍然成立．证法一：如图4，在AC 上截取AG AE =，连接FG ． ∵12∠=∠，AF 为公共边，∴AEF AGF △≌△， ∴AFE AFG FE FG ∠=∠=，．∵60B ∠=︒，AD 、CE 分别是BAC BCA ∠∠、的平分线，∴2360∠+∠=︒，∴60AFE CFD AFG ∠=∠=∠=︒，∴60CFG ∠=︒． ∵34∠=∠，且FC 为公共边，可得CFG CFD △≌△， ∴FG FD =，∴FE FD =．证法二：若C A ∠>∠，如图5，过点F 分别作FG AB ⊥于点G ，FH BC ⊥于点H ∵60B ∠=︒，且AD CE 、分别是BAC BCA ∠∠、的平分线， ∴2360∠+∠=︒，FG FH =， ∴601GEF ∠=︒+∠．∵1HDF B ∠=∠+∠，∴GEF HDF ∠=∠，123 4∴EGF DHF．△≌△，∴FE FD初二秋季·第1讲·提高班·教师版1516 初二秋季·第1讲·提高班·教师版训练1. 如图，已知在ABC △中，3ABC C ∠=∠，12∠=∠，BE AE ⊥．求证：2AC AB BE -=．21ECBA 543MABCE12【解析】延长BE 交AC 于M ．∵AE BE ⊥，12∠=∠∴34∠=∠，AB AM =，BE EM = ∴AC AB AC AM MC -=-=，2BM BE = 又∵345C ∠=∠=∠+∠，353ABC C ∠=∠+∠=∠∴553C C ∠+∠+∠=∠ ∴5C ∠=∠ ∴MB MC = ∴2AC AB BE -=．训练2. 在ABC △中，MB 、NC 分别是三角形的内角ABC ∠、ACB ∠的角平分线，AM BM ⊥，AN CN ⊥垂足分别是M 、N ．求证：MN BC ∥，()12MN AB AC BC =+-NMC B AFENMCB A【解析】延长AM 、BC 相交于点E ，延长AN 、CB 相交于点F ，易证Rt Rt AMB EMB △≌△，Rt Rt ANC FNC △≌△，∴AM EM =，AN FN =，AB EB =，AC FC =∴MN BC ∥，且()()1122MN FB BC CE AB AC BC =++=+-．训练3. 如图所示，AD 是内角平分线，求证：PC PB AC AB -<-图2CP D BA思维拓展训练(选讲)17初二秋季·第1讲·提高班·教师版【解析】 如图，在AC 上取一点E ，使AE AB =，连接PE ，∵AD 平分ABC ∠，∴CAP BAP ∠=∠．∵AE AB AP AP ==，，∴APE APB △≌△，∴PE PB = 在EPC △中，PC PE EC -<，即PC PB AC AE -<-， ∴PC PB AC AB -<-．训练4. 如图，正方形ABCD 中，8AB =，M 是DC 上的一点，且2DM =，N 是AC 上的一动点，求DN MN -的取值范围．NMD CB A【解析】当DN MN =时，DN MN -有最小值为0，此时点N 位于DM 的垂直平分线与AC 的交点处．2DN MN DM -=≤，当点N 与点C 重合时，等号成立，此时有最大值2． ∴02DN MN -≤≤图6EP D CBA18 初二秋季·第1讲·提高班·教师版题型一 角平分线的常见辅助线模型（二） 巩固练习【练习1】 如图所示，在Rt ABC △中，90C ∠=°，BD 是ABC ∠的平分线，交AC 于D 点，若CD n =，AB m =，则ABD △的面积是 ．（北京四中期中）【解析】 2mn（提示：过D 作AB 垂线）【练习2】 在ABC △中，AD 平分BAC ∠，CD AD ⊥，D 为垂足，G 为BC 的中点，求证：DGC B ∠=∠．A CDGBACD EGB【解析】延长CD 交AB 于E ，则得ADC ADE △≌△，所以D 为EC 中点，所以DG AB ∥，所以DGC B ∠=∠【练习3】 ⑴ 如图1所示，在ABC △中，AC AB >，M 为BC 的中点，AD 是BAC ∠的角平分线，若CF AD ⊥且交AD 的延长线于F ，求证:1()2MF AC AB =-.⑵ 如图2所示，将⑴中AD 改成BAC ∠的外角平分线，其它条件不变，则⑴中结论是否依然成立？成立请证明；若不成立，请说明理由．图1BM F D CA图2CBM FDA【解析】 ⑴ 如图3所示，延长AB 、CF 相交于点E ，在AFE △和AFC △中，EAF CAF ∠=∠，复习巩固CDBA19初二秋季·第1讲·提高班·教师版AF AF =，AFE AFC ∠=∠，故AFE AFC △≌△，从而AE AC =，EF FC =.而CM MB =，故MF 是CBE △的中位线， 从而()()111222MF BE AE AB AC AB ==-=-．⑵ 不成立．理由如下：如图4所示，延长CF 交BA 延长于E 点易证AEF ACF △≌△，∴EF CF =，即F 点为CE 中点 ∵M 是BC 中点,∴()()111222MF BE BA AE BA AC ==+=+．【练习4】 如图所示，在ABC △中，100A ∠=︒，40ABC ∠=︒，BD 是ABC ∠的平分线，延长BD至E ，使DE AD =．求证：BC AB CE =+EDCAF EDCA【解析】 在BC 上取一点F ，使得BF BA =易证得ABD FBD △≌△，∴DF AD =， 又∵DA DE =，∴DF DE =∵100A ∠=︒，40ABC ∠=︒，∴AB AC = ∵BD 平分ABC ∠，∴20ABD ∠=︒ ∴60ADB FDB ∠=∠=︒ ∵60CDE ADB ∠=∠=︒ ∴60FDC EDC ∠=∠=︒， ∴DCF DCE △≌△图3ACD EF M B 图4ADEFM BC20 初二秋季·第1讲·提高班·教师版∴FC EC =，∴BC BF FC AB CE =+=+题型二 将军饮马问题 巩固练习【练习5】 已知ABC △的顶点坐标分别为A (0，2)，B (2-，0)，C (1，0)，O 是坐标原点.试在AB 和AC 边上分别找一点D 、E ，使DOE △的周长最短.画出点D 、E 两点的位置图形，简述作图方法.(清华附中期中考试试题)y C O x B AO 2O 1EDyC O xB A【解析】 作点O 关于线段AB 、AC 的对称点1O 、2O ，连接两点与AB 、AC 的交点为所求点D 、E .21初二秋季·第1讲·提高班·教师版ABOP QR P′P″A B O P Q R P′P″P O B A测试1. 如图AOB ∠内有点P ，试在角的两边上找两点Q 、R (均不同于O 点)，使PQR △的周长最小，画出Q 、R 两点的位置图形，保留作图痕迹.【解析】测试2. 如图，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，过C 作CE AB E ⊥于，并且1()2AE AB AD =+，则ABC ADC ∠+∠等于多少？E DCBAF EDCBA【解析】作CF AD ⊥交AD 的延长线于点F ,可推出DF BE =，易证CEB CFD △≌△，∴ABC ADC ∠+∠180=︒测试3. 如图，已知在ABC △中，3ABC C ∠=∠，12∠=∠，BE AE ⊥．求证：2AC AB BE -=．21ECBA 543MA B CE12【解析】延长BE 交AC 于M ．∵AE BE ⊥，12∠=∠∴34∠=∠，AB AM =，BE EM = ∴AC AB AC AM MC -=-=，2BM BE = 又∵345C ∠=∠=∠+∠，353ABC C ∠=∠+∠=∠∴553C C ∠+∠+∠=∠ ∴5C ∠=∠ ∴MB MC = ∴2AC AB BE -=．课后测22 初二秋季·第1讲·提高班·教师版想像力比知识更重要，因为知识是有限的，而想像力概括着世界的一切，推动着进步，并且是知识进化的源泉。
学而思初二数学暑假班第3讲.轴对称初步.尖子班.教师版
3轴对称初步满分晋级阶梯图形变换2级构造轴对称图形春图形变换3级中考新题型之折纸与拼图图形变换1级轴对称初步暑期班第三讲秋季班第一讲季班第六讲漫画释义1初二暑期·第3讲·尖子班·教师版（2）轴对称图形的对称轴是一条直．．，不知识互联网模块一轴对称图形的认识与应用知识导航定 义轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分 能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条 直线就是它的对称轴 .这时我们也说这个图形关 于这条直线（成轴）对称.如图，等腰三角形 △ABC 是轴对称图形.注：在理解轴对称图形时．应注意以下几点：（1）一个图形被对称轴分成两部分，对折 后能重合（即全等） ，这样的图形是轴对称图 形．常见的有线段、角、等腰三角形、长方形、 圆等．线是射线也不是线段，在叙述时应注意．（ 3 ）轴对称图形的对称轴条数至少有一 条．否则不是轴对称图形．有的轴对称图形的对 称轴条数是有限的．还有的有无限多条对称轴．示例剖析初二暑期·第 3 讲·尖子班·教师版2两个图形轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.如图，△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，l叫做对称轴.A和A'，B和B'，C和C'是对称点.注：把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形.轴对称的性质：1．关于一条直线轴对称的图形全等；2．对称点连成的线段被对称轴垂直平分．夯实基础【例1】⑴在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A B C D⑵在3×3的正方形格点图中，有格点△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF关于某直线成轴对称，请在下面给出的图中画出4个这样的△DEF．C C C CA B A B A B A B⑶正六边形是轴对称图形，它有条对称轴．⑷下列图形中对称轴最多的是（）A．圆B．正方形C．等腰三角形D．线段⑸判断下列图形是否为轴对称图形？如果是，说出它有几条对称轴．⑹已知两条互不平行的线段A B和A′B′关于直线l对称，AB和A′B′所在的直线交于点P，下面四个结论：①AB=A′B′；②点P在直线l上；③若A、A′是对应点，则直线l垂直平分线段AA′；④若B、B′是对应点，则PB=PB′，其中正确的是（）3初二暑期·第3讲·尖子班·教师版A．①③④B．③④C．①②D．①②③④【解析】⑴A；⑵D EDC E C F(F)CA DF BEA(E)E(D)B A BDFFC(F)C CA B A(D)B A B(E)⑶6；⑷A；⑸⑵，⑷，⑹，⑺，⑼；分别有1条，1条，4条，1条，2条对称轴．⑹D【教师备注】关于某直线对称两个图形具备五个特点：1.对应线段相等；2.对应线段的延长线交于一点，并且在对称轴上；3.对称轴垂直平分对应点的连线；4.交点到对应点的距离相等．能力提升【例2】⑴图1的长方形ABCD中，E点在AD上，且∠ABE=30°．分别以BE、CE为折线，将A、D向BC的方向折过去，图2为对折后A、B、C、D、E五点均在同一平面上的位置图．若图2中，∠AED=15°，则∠BCE的度数为（）A．30°B．32.5°C．35°D．37.5°(2012台湾)A E D EAB C B CD图1④图2③②⑵如图是一台球桌面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入球洞的序号是（）A．①B．②初二暑期·第3讲·尖子班·教师版①4⑤⑥C．③D．④⑶已知∠AOB=30°，点P在∠AOB内部，P与P关于OB对称，P与P关于OA对称，12则P，O，P三点确定的三角形是（）12A．直角三角形B．钝角三角形C．腰底不等的等腰三角形D．等边三角形【解析】⑴D；⑵A；⑶D.模块二线段的垂直平分线知识导航定义线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也称之为中垂线.示例剖析DA C B线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的E如图，若AC=BC，AB⊥CD，则直线DE是线段AB的垂直平分线.D距离相等.AC BE如图，已知直线DE是线段AB的垂直平分线，则DA=DB.D线段的垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.A C BE如图，若DA=DB，则点D在线段AB的垂直平分线上.夯实基础【例3】⑴如何用圆规与直尺作线段AB的垂直平分线？⑵证明：线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等（线段垂直平分线的性质）.⑶证明：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上（线段垂直5初二暑期·第3讲·尖子班·教师版平分线的判定）.【解析】⑴如图1，分别以线段两端点为圆心，以大于线段AB的1为半径在线段两侧作弧，连2接两相交点M、N，直线MN就是该线段的垂直平分线．要求学生证明做法的正确性，假设AB、MN交于点O，先证△AMN≌△BMN，进而△AON≌△BON，即可得到相等与垂直的结论．PA NOM B A O B图1图2⑵已知：如图2，PO⊥AB，AO=BO．求证：AP=BP．证明：∵AO=BO，PO⊥AB，PO=PO，∴△APO≌△BPO，∴AP=BP.⑶解答略．【例4】⑴如下图1，在△ABC中，DE是AC的中垂线，AE=3cm，△ABD得周长为13cm，则△ABC的周长是．⑵如下图2，BD垂直平分线段AC，AE⊥BC，垂足为E，交BD于P点，PE=3cm，则P点到直线AB的距离是．⑶如下图3，在△ABC中，∠A=90︒，∠ABD:∠DBE=2:3，DE⊥BC，E是BC的中点，求∠C的度数．AA BEE BP DB DC E AD C图1图2C图3【解析】⑴19cm．∵ED垂直平分AC，∴DA=DC，∵AC=2⨯AE=6cm，△∴ABC的周长是19cm．⑵3cm．过P作PF⊥AB于F，∵BD垂直平分线段AC，∴BA=BC ∴Rt△ABD≌Rt△CBD(HL)，∴∠ABD=∠CBD∴△PFB≌△PEB(AAS)，∴PF=PE=3cm⑶∵DE垂直平分BC，∴BD=CD，∴△BDE≌△CDE(SSS)∴∠DBE=∠C，设∠ABD=2x,则∠DBC=3x,∠C=3x.BAFP DE图2C初二暑期·第3讲·尖子班·教师版6∵∠A=90︒，∴∠ABD+∠DBC+∠C=90︒．∴∠C=33.75︒.【教师备选】已知点A在直线l外，点P为直线l上的一个动点，探究是否存在一个定点B，当点P在直线l上运动时，点P与点A、点B的距离总相等，如果存在，请作出定点B；若不存在，请说明理由．【解析】点B与点A重合如图1，或者点B是点A关于直线l的对称点如图2.AAP lPA（B）lPBl 图1图2能力提升【例5】△ABC的两边AB和AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，⑴若BC△=8，求ADE的周长；⑵若∠BAC+∠DAE=150︒，求∠BAC．H AFBD EC 【解析】根据题意可得：⑴BD=AD，CE=△AE，∴ADE的周长是8⑵△ADH≌△BDH,△AEF≌△CEF∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAE则∠BAC=∠BAD+∠CAE+∠DAE=∠B+∠C+∠DAE即∠BAC=180︒-∠BAC+150︒-∠BAC，解得∠BAC=110︒模块三角平分线性质及常见辅助线模型（一）知识导航定义示例剖析7初二暑期·第3讲·尖子班·教师版．AEC角平分线的性质定理：在角的内部平分线上的 点到这个角的两边的距离相等．DO FB如图，若射线 OC 是∠AOB 的角平分线，则 DE=DF ．AEC角平分线的判定定理：在角的内部到一个角两 边距离相等的点在这个角的平分线上．DO FB如图，若 DE=DF ，则 OC 是∠AOB 的角平分线．角平分线的两种基本模型1． 点垂线，垂两边，对称全等要记全A D2．角平分线+平行线，等腰三角形必呈现A1O2CE BOD 1 3 2CB已知：∠1 = ∠2 ，CD ⊥ OA ，作 CE ⊥ OB 于 E ， 已知： ∠1 = ∠2 ， CD ∥OB 交 OA 于 D ，则 △OCD ≌△OCE ．则 △ODC 为等腰三角形（即 OD = CD ）．夯实基础【教师铺垫】证明：⑴ 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等（角平分线的性质定理）⑵ 在角的内部到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上（角平分线的判定定理）．AMCP⑶ 三角形的三条内角平分线交于一点．（此点称之为 OB三角形的内心）．⑷ 三角形的内心到三边的距离相等．（三角形内心性质）．AMOPB初二暑期·第 3 讲·尖子班·教师版NNC8△1ABC =S+S+S【解析】⑴注意书写形式．已知：如图，∠MOP=∠NOP，CA⊥OM交OM于A，CB⊥ON交O N于点B．求证：CA=CB．证明：易证△AOC≌△BOC，故CA=CB⑵略.⑶已知：如图，在△ABC中，BN、CM分别平分∠ABC与∠ACB，CM与BN交于点O，连接AO并延长交BC于P．求证：∠BAO=∠CAO．证明：如图，从点O向三边做垂线OE、O F、O Q．根据角平分线的性质定理易得OE=OF=OQ，根据角平分线的判定定理得AO平分∠BAC，即∠BAO=∠CAOA AM N M E NQOB P COBP F C⑷略.A 【例6】⑴如图，已知△ABC的周长是21，O B，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，求△ABC的面积．O⑵如图所示，AB=2A C，∠1=∠2，DA=DB.求证：DC⊥AC.【解析】⑴∵O点为△ABC的两内角平分线的交点，∴O点到三边距离相等．∴S△63OAC=⨯(A B+BC+AC)⨯3=；22⑵方法一：作DE⊥AB于点E，则∠AED=90°BD CAB12DC∵DA=BD，∴△AED≌△BED(HL).∴AE=BE.∴AB=2A E.∵AB=2A C，∴AE=AC.BE A12C9初二暑期·第3讲·尖子班·教师版D⎪ AD = AD ⎪ ⎪ AD = AD ⎪⎧ AE = AC 在 △AED 和 △ACD 中， ⎨∠1 = ∠2⎩∴ △AED ≌ △ACD(SAS)∴ ∠ACD = ∠AED = 90°，∴ DC ⊥ AC方法二：如图所示，延长AC 到 F ，使 AF = AB ，连接 D F ．⎧ AB = AF在 △ABD 和 △AFD 中， ⎨∠1 = ∠2⎩B1 A2 C∴ △ABD ≌ △AFD(SAS) ，∴ DF = DB = ADF∵ AB = 2 A C ，∴ AF = 2 A C ，即 C 为 AF 的中点，易证 △ACD ≌△FCD∴ DC ⊥ AC ．D能力提升【例7】 如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 平分线，AD 的垂直平分线分别交 AB 、BC 延长线于F 、E ，求证：⑴∠EAD =∠EDA ； ⑵DF ∥AC ；⑶∠EAC =∠B ．【解析】⑴∵直线 EF 垂直平分线段 AD ∴AE =DE ，即 △Rt AOE ≌△Rt DOE(HL)∴∠EAD =∠EDA⑵同理∠F AD =∠FDA又∵AD 是∠BAC 平分线∴∠F AD =∠CAD ，即∠FDA =∠CAD ∴DF ∥AC⑶连结 DG ，同⑴△Rt AOG ≌△Rt DOG(HL) ∴∠1=∠2又∵AD 是∠BAC 平分线 ∴∠2=∠3，即∠1=∠3∴DG ∥ABBBFDFDAGOC EA32O G1C E∴∠B =∠GDE∵△AGE △≌ DGE(SSS) ∴∠GDE =∠GAE初二暑期·第 3 讲·尖子班·教师版10即∠EAC=∠B．【探究对象】“轴对称图形”中的重要基本图形【探究目的】几何问题中所涉及的几何图形有基本图形和复杂图形，而这些复杂图形往往都是这些基本图形的叠加和演变．如果学生能掌握这些基本图形的性质和特征，那么，对于识别一些复杂图形有极大的帮助，再此以“轴对称图形”中总结出的基本图形为例加以说明．【基本图形一】AB D C特征：如图，已知AD是线段BC的垂直平分线，则AB=AC，∠B=∠C.【解析】∵AD是线段BC的垂直平分线，∴AB=AC（线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等）∴∠B=∠C（等边对等角）备注：等腰三角形的相关知识将在下节课讲解，但线段垂直平分线的知识点与等腰三角形结合紧密，老师可以适当提前渗透，否则此步可用全等证明．【变式一】如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C.AC的垂直平分线分别交BC、AC于点D、E.线段AB与CD相等吗？试说明理由．AEB DC 【分析】添辅助线往往是具有基本图形的条件，而基本图形不完整时补完整基本图形，因此首先连接AD，即出现基本图形一【解析】连结AD，根据垂直平分线性质易得∠C=∠DAC，A又∵∠ADB△是ADC的外角，EBD C∴∠ADB=∠C+∠DAC=2∠C，11初二暑期·第3讲·尖子班·教师版由已知∠ABC=2∠C，∴∠ADB=∠B，∴AB=AD，又∵AD=DC，∴AB=CD【基本图形二】A12B D C特征：如图，△Rt ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD是斜边BC上的高．问图形中有哪些相等的线段（除AB=AC外），相等的锐角？相等的线段：AD=BD=DC；相等的锐角：∠B=∠1=∠2=∠C．【解析】∵AB=AC且AD是BC边上的高，∴△Rt ABD≌Rt△ACD(HL)∴AD是BC边上的中线，且∠1=∠2=1∠BAC=45°2△即ABC、△ABD以及△ACD都是等腰直角三角形∴AD=BD=DC∴∠B=∠1=∠2=∠C．【基本图形三】DBOPE C A特征：如图，点P是∠BOA的角平分线OE上的一点，PD⊥OB、PC⊥OA，垂足分别为D、C．问图中有哪些相等的线段，相等的锐角？相等的线段：OD=OC，DP=CP；初二暑期·第3讲·尖子班·教师版12相等的锐角：∠DOP=∠COP，∠OPD=∠OPC．【解析】∵点P是∠BOA的角平分线OE上的一点，PD⊥OB、PC⊥OA∴PD=PC(角平分线上的点到角两边的距离相等)△易证ODP≌△OCP（AAS）可得∠OPD=∠OPC，OD=OC【基本图形四】AEB D C特征：如图，AD是∠BAC的角平分线，DB⊥AB、DE⊥AC，垂足分别为B、E．本图形包含了基本图形三，因此具有基本图形三的一切性质．【演变一】当∠C=30°时，A图形中相等的线段有：AB=AE=EC，BD=DE，AD=DC E相等的锐角有：∠BAD=∠DAE=∠C，∠BDA=∠ADE=∠EDC=∠BAC B D30°C【变式二】如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E．C⑴DE和CD相等吗？为什么？⑵∠1=∠2吗？为什么？D12A E30°B【解析】⑴由基本图形三易得DE=CD；⑵∵∠B=30°，∴∠CAB=60°，∵AD平分∠CAB，故∠CAD=∠BAD=30°又∵DE⊥AB，∴∠1=60°，∠2=60°13初二暑期·第3讲·尖子班·教师版故∠1=∠2A【演变二】当∠C=45°时，图形中相等的线段有：AE=AB，CE=DE=BDE 相等的锐角有：∠C=∠BAC=∠EDC，∠BAD=∠DAE，∠BDA=∠ADE B DC 【变式三】如图，在△ABC中，∠B=90°，∠C=45°，AB=BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E．试说明AC=AB+BD的理由．【解析】由基本图形三可得AB=AE，BD=EDA ∵DE⊥AC，∠C=45°，∴∠EDC=45°，∴DE=CE，即BD=CE则AC=AE+CE=AB+BD．BED C 初二暑期·第3讲·尖子班·教师版14B思维拓展训练(选讲)训练1.D 为 BC 中点， DE ⊥ BC 交 ∠BAC 的平分线于点 E ， EF ⊥ AB 于 F ， EG ⊥ AC 于 G .求证： BF = CG .AABFFD DCGC GEE【解析】 连接 BE 、 CE .∵ DE 垂直平分 BC ，∴ BE = CE∵ AE 平分 ∠BAC ， EF ⊥ AB ， EG ⊥ AC ，∴ EF = EG 又 ∠BFE = ∠CGE = 90︒ ，∴ △Rt BEF ≌ Rt △CEG （ HL ），∴ BF = CG ．训练2. 已知：如图，∠ABC 及两点 M 、 N ．求作：在平面内找一点P ，使得 PM = PN ，且 P点到 ∠ABC 两边所在的直线的距离相等．BNC AM【解析】 因为是两边所在的直线，所以有两个答案．答案一： ∠ABC 内角平分线与线段 MN 的垂直平分线的交点，如左图；答案二： ∠ABC 外角平分线与线段 MN 的垂直平分线的交点，如右图.B BN NPPCCAMAM训练3. 如图，在 △ABC 中， BD 、 CD 分别平分 ∠ABC 和 ∠ACB ．DE ∥AB ，FD ∥AC ．如果 BC = 6 ，求 △DEF 的周长．【解析】6．BADE FC训练4. 已知：如图，在 ∠POQ 内部有两点 M 、 N ， ∠MOP = ∠NOQ ．15初二暑期·第 3 讲·尖子班·教师版QNMO P' ''⑴ 画图并简要说明画法：在射线 OP 上取一点 A ，使点 A 到点 M 和点 N 的距离和最小； 在射线 OQ 上取一点 B ，使点 B 到点 M 和点 N 的距离和最小； ⑵ 直接写出 AM + AN 与 BM + BN 的大小关系．（西城期末）【解析】⑴画法如下：作 M 分别关于 OP 和 OQ 的对称点 M ' 和 M '' ，连接 M N和 M N 分别交 OP 和 OQ 于A 、B ．⑵相等，证明 △OM ''N ≌ △OM 'N 即可.初二暑期·第 3 讲·尖子班·教师版16.实战演练知识模块一 轴对称图形的认识与应用课后演练【演练1】 ⑴ 下面四个图形中，从几何图形的性质考虑，哪一个与其他三个不同？请指出这个图形，并简述你的理由．①② ③ ④答：图形__________；理由是__________．⑵ 画出下图所示的轴对称图形的对称轴：⑶ 如图是奥运会会旗上的五环图标，它有（ ）条对称轴．A ．1B ．2C ．3D ．4（四中月考）⑷ 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）．A ．角B ．等边三角形C ．线段D ．不等边三角形（四中月考）⑸ 如图，它们都是对称的图形，请观察并指出哪些是轴对称图形，哪些图形成轴对称【解析】 ⑴ ②；四个图形中，只有图②不是轴对称图形．⑵17初二暑期·第 3 讲·尖子班·教师版⑶A；⑷D；⑸轴对称图形：⑴，⑶，⑷，⑹，⑻，⑽；成轴对称的图形有：⑵，⑸，⑺，⑼．【演练2】如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED的外部时，则∠A与∠1和∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（）．A．∠A=∠1-∠2B．2∠A=∠1-∠2C．3∠A=2∠1-∠2 D．3∠A=2(∠1-∠2)CB1D2E【解析】B.知识模块二线段的垂直平分线课后演练【演练3】如图，已知∠AOB=40︒，CD为OA的垂直平分线，求∠ACB的度数．A【解析】∵CD垂直平分OA，∴CO=CA，DA∴∠O=∠A=40°∴∠ACB=∠A+∠O=80︒．知识模块三角平分线性质及常见辅助线模型（一）课后演练O C B【演练4】如图，BD=CD，∠ABD=∠ACD=90°，点E、F分别在AB、AC上，若ED平分∠BEF．A①求证：FD平分∠EFC；②求证：EF=BE+CF.EFA B C 【解析】①证明：过点D作DG⊥EF于G∵DG⊥EFD ∴∠EGD=∠B=90°G F∵ED平分∠BEF E∴∠BED=∠FED B C∴BD=GD∵BD=CD∴GD=CDD初二暑期·第3讲·尖子班·教师版18⎨∠GFD = ∠CFD ⎪FD = FD ∵ DG ⊥ EF ， DC ⊥ CF∴ D 在 ∠EFC 的角平分线上， ∴ FD 平分 ∠EFC ．② ∵ △BDE ≌△GDE∴ BE = GE ∵ DG ⊥ EF∴ ∠DGF = ∠C = 90° ∵ FD 平分 ∠EFC∴ ∠GFD = ∠CFD∵在 △DFG 与 △DFC 中 ⎧∠DGF = ∠DCF ⎪⎩∴ △DFG ≌△DFC (AAS )∴ CF = GF∵ EF = EG + GF ∴ EF = BE + CF【演练5】 证明：三角形一个内角的平分线与另外两个外角的平分线交于一点． 【解析】 注意书写形式．已知：如图， ∠ABO = ∠CBO ， ∠CAO = ∠Q AO求证： ∠ACO = ∠MCO ．QQAAFOOBC MBPC EM证明：如图，从点 O 向三边引垂线段 OE 、 OF 、 OP ．根据角平分线的性质定理易得OE = OF = OP ，根据角平分线的判定定理得 C O 平分 ∠ACM ，即 ∠ACO = ∠MCO19初二暑期·第 3 讲·尖子班·教师版.课后测测1.下列说法中错误的是（）．A ．两个关于一直线对称的图形对应点连线的垂直平分线就是它们的对称轴B ．关于某直线对称的两个图形全等C ．面积相等的两个三角形对称D ．轴对称指的是两个图形沿着某一直线对折后完全重合（四中月考）【解析】C ．测2.如图是某设计师在方格纸中设计图案的一部分，请你帮他完成余下的工作：⑴ 作出关于直线 AB 的轴对称图形；⑵ 将你画出的部分连同原图形绕点 O 逆时针旋转 90° AAOOBB【解析】如右图．测3.如图， AD 是 ∠BAC 的平分线， BE 是 ∠ABC 外角的平分线，交 AD 的延长线于点 E ，过点 E 作 EG ∥ AB 交 AC 于点 G ，交 BC 于点 F ．图中 哪两条线段之间存在等量关系?A【解析】 AG = EG ， BF = EF ．B D FEG C初二暑期·第 3 讲·尖子班·教师版20.第十五种品格：创新需要一把剪刀据说篮球运动刚诞生的时候，篮板上钉的是真正的篮子 .每当球投进的时候，就有一个 专门的人踩在梯子上把球拿出来.为此，比赛不得不断断续续地进行，缺少激烈紧张的气氛. 为了让比赛更顺畅地进行，人们想了很多取球方法，都不太理想 .有位发明家甚至制造了一 种机器，在下面一拉就能把球弹出来，不过这种方法仍没能让篮球比赛紧张激烈起来 终于有一天，一位父亲带着他的儿子来看球赛 .小男孩看到大人们一次次不辞劳苦地取球，不由大惑不解：为什么不把篮筐的底去掉呢？一语惊醒梦中人，大人们如梦初醒，于是 才有了今天我们看到的篮网样式.去掉篮筐的底，就这么简单，但那么多有识之士都没有想到 .听来让人费解，然而这个简单的“难题”困扰了人们多年.可见，无形的思维定式就像那个结实的篮子禁锢了我们的头脑，使得我们的思维就像篮球被“囚禁”在了篮筐里.于是，我们盲目地去搬梯子、去制造机器……生活中许多时候，我们就需要这样一把剪刀，去剪掉那些缠绕我们的“篮筐”，生活原本并没有那么复杂.今天我学到了21 初二暑期·第 3 讲·尖子班·教师版。
学而思初二数学秋季班第7讲.期中复习.提高班.教师版
1初二秋季·第7讲·提高班·教师版⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎪⎪⎩定义轴对称基本知识点对称点与对称轴垂直平分线性质与判定做图形的对称轴轴对称轴对称变换用坐标表示轴对称等腰三角形性质、判定等腰三角形等边三角形性质、判定【例1】 ⑴如图，把矩形纸片ABCD 纸沿对角线折叠，设重叠部分为△EBD ，那么下列说法错误的是（ ）A ．△EBD 是等腰三角形，EB =EDB ．折叠后∠ABE 和∠CBD 一定相等C ．折叠后得到的图形是轴对称图形D ．△EBA 和△EDC 一定是全等三角形【解析】∵ABCD 为矩形∴∠A =∠C=90°，AB =CD ∵∠AEB =∠CED典题精练思路导航题型一：轴对称7期中复习E DCA2初二秋季·第7讲·提高班·教师版∴△AEB ≌△CED （第四个正确） ∴BE =DE （第一个正确） ∠ABE =∠CDE （第二个不正确） ∵△EBA ≌△EDC ，△EBD 是等腰三角形∴过E 作BD 边的中垂线，即是图形的对称轴．（第三个正确） 故选B ．⑵将一个矩形纸片依次按图①、图②的方式对折，然后沿图③中的虚线裁剪，最后将图④的纸再展开铺平，所得到的图案是（ ）D.C.B.A.【解析】A【例2】 如图，A 为马厩，B 为帐篷，牧马人某天要从马厩牵出马，先到草地边的某一处牧马，再到河边饮水，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线．作出图形并说明理由．B【解析】沿AC -CD -DB 路线走是最短的路线如图（1）所示：证明：在ON 上任意取一点T ，在OM 上任意取一点R ，连接FR 、BR 、RT 、3初二秋季·第7讲·提高班·教师版ET 、AT ，∵A 、E 关于ON 对称， ∴AC =EC ，同理BD =FD ，FR =BR ，AT =ET ， ∴AC +CD +DB =EC +CD +FD =EF ， AT +TR +BR =ET +TR +FR ， ∵ET +TR +FR ＞EF ，∴AC +CD +DB ＜AT +TR +BR ，即沿AC -CD -DB 路线走是最短的路线．（1）AB草地河C DE FMNOME CT R O DF（2）河草地 B ASSS SAS ASA AAS HL ⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩对应边相等全等三角形性质全等三角形对应角相等全等三角形判定：，，，， ⎧⎨⎩性质、判定角平分线有关角平分线辅助线思路导航题型二：全等三角形4初二秋季·第7讲·提高班·教师版【例3】 如图，在△ABC 中，BE 、CF 分别是AC 、AB 两边上的高，在BE 上截取BD =AC ，在CF 的延长线上截取CG =AB ，连接AD 、AG ． 请你确定△ADG 的形状，并证明你的结论．BAC DEFG【解析】连接DG ，则△ADG 是等腰三角形．∵BE 、CF 分别是AC 、AB 两边上的高， ∴∠AFC =∠AEB =90° ∴∠ACG =∠DBA 又∵BD =CA ，AB =GC ， ∴△ABD ≌△GCA ； ∴AG =AD ，∴△ADG 是等腰三角形．【例4】 △ABC 中，∠CAB =∠CBA =50°，O 为△ABC 内一点，∠OAB =10°，∠OBC =20°，求∠OCA 的度数．COBA【解析】作CD ⊥AB 于D ，延长BO 交CD 于P ，连接PA ，∵∠CAB =∠CBA =50°，典题精练GFE DCAB∴AC=BC，∴AD=BD，∵∠CAB=∠CBA=50°，∴∠ACB=80°，∵∠ABC=∠ACB=50°，∠OBC=20°，∴∠CBP=∠OBC=20°=∠CAP，∠PAO=∠CAB-∠CAP-∠OAB=50°-20°-10°=20°=∠CAP，∠POA=∠OBA+∠OAB=10°+50°-20°=40°=∠ACD，∵在△CAP和△OAP中，∠ACP＝∠AOP，∠CAP＝∠OAP∴△CAP≌△OAP，∴AC=OA，∴∠ACO=∠AOC，【例5】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB 于点E．⑴如图1，连接EC，求证：△EBC是等边三角形；⑵点M是线段CD上的一点（不与点C、D重合），以BM为一边，在BM的下方作∠BMG=60°，MG交DE延长线于点G．请你在图2中画出完整图形，并直接写出MD，DG与AD之间的数量关系；⑶如图3，点N是线段AD上的一点，以BN为一边，在BN的下方作∠BNG=60°，NG交DE延长线于点G．试探究ND，DG与AD数量之间的关初二秋季·第7讲·提高班·教师版56初二秋季·第7讲·提高班·教师版系，并说明理由．GN图3图2图1AE BCDAE BCDDC BE A【解析】⑴在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°，． ∵BD 平分∠ABC ，∴∠CBD =∠DBA =∠A =30°． ∴DA =DB ． ∵DE ⊥AB 于点E ． AB ． ∴BC =BE ．∴△EBC 是等边三角形；⑵结论：AD =DG +DM ．证明：如图2所示：延长ED 使得DN =DM ，连接MN ，∵∠ACB =90°，∠A =30°，BD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于点E ， ∴∠ADE =∠BDE =60°，AD =BD ， 又∵DM =DN ，∴△NDM 是等边三角形， ∴MN =DM ，在△NGM和△DBM中，∵∠N＝∠MDB，MN＝DM，∠NMC＝∠DMB∴△NGM≌△DBM，∴BD=NG=DG+DM，∴AD=DG+DM．⑶结论：AD=DG-DN．证明：延长BD至H，使得DH=DN．由⑴得DA=DB，∠A=30°．∵DE⊥AB于点E．∴∠2=∠3=60°．∴∠4=∠5=60°．∴△NDH是等边三角形．∴NH=ND，∠H=∠6=60°．∴∠H=∠2．∵∠BNG=60°，∴∠BNG+∠7=∠6+∠7．7初二秋季·第7讲·提高班·教师版8初二秋季·第7讲·提高班·教师版即∠DNG =∠HNB ． 在△DNG 和△HNB 中，∵DN ＝HN ，∠DNG ＝∠HNB ，∠H ＝∠2 ∴△DNG ≌△HNB （ASA ）． ∴DG =HB ．∵HB =HD +DB =ND +AD ， ∴DG =ND +AD ． ∴AD =DG -ND ．【例6】 已知四个实数a 、b 、c 、d ，且a ≠b ，c ≠d ．满足：a 2+ac =4，b 2+bc =4，c 2+ac =8，d 2+ad =8．⑴求a +c 的值；⑵分别求a 、b 、c 、d 的值．【解析】⑴由（a 2+ac ）+（c 2+ac ）=4+8=12，得（a +c ）2=a 2+c 2+2ac =12，∴a +c =23⑵由（a 2+ac ）-（b 2+bc ）=4-4=0，（c 2+ac ）-（d 2+ad ）=8-8=0， 得（a -b ）（a +b +c ）=0，（c -d ）（a +c +d ）=0， ∵a ≠b ，c ≠d ，典题精练题型三：因式分解9初二秋季·第7讲·提高班·教师版∴a +b +c =0，a +c +d =0， ∴b =d =-（a +c ），又（a 2+ac ）-（c 2+ac ）=4-8=-4，得（a -c ）（a +c ）=-4．【例7】 设a 1=32-12，a 2=52-32，…，a n =()()222121n n +--（n 为大于0的自然数）．⑴探究a n 是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；⑵若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”．试找出a 1，a 2，…，a n ，…这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当n 满足什么条件时，a n 为完全平方数（不必说明理由）．【解析】⑴∵a n =（2n +1）2-（2n -1）2=4n 2+4n +1-4n 2+4n -1=8n ，又∵n 为非零的自然数， ∴a n 是8的倍数．这个结论用文字语言表述为：两个连续奇数的平方差是8的倍数 ⑵这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数为16，64，144，256． n 为一个完全平方数的2倍时，a n 为完全平方数．10 初二秋季·第7讲·提高班·教师版训练1. 阅读理解如图1，△ABC 中，沿∠BAC 的平分线AB 1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B 1A 1C 的平分线A 1B 2折叠，剪掉重复部分；…；将余下部分沿∠B n A n C 的平分线A n B n +1折叠，点B n 与点C 重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，∠BAC 是△ABC 的好角．小丽展示了确定∠BAC 是△ABC 的好角的两种情形．情形一：如图2，沿等腰三角形ABC 顶角∠BAC 的平分线AB 1折叠，点B 与点C 重合；情形二：如图3，沿∠BAC 的平分线AB 1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B 1A 1C 的平分线A 1B 2折叠，此时点B 1与点C 重合． 探究发现⑴△ABC 中，∠B =2∠C ，经过两次折叠，∠BAC 是不是△ABC 的好角？（回答“是”或“不是”）．⑵小丽经过三次折叠发现了∠BAC 是△ABC 的好角，请探究∠B 与∠C （不妨设∠B ＞∠C ）之间的等量关系．根据以上内容猜想：若经过n 次折叠∠BAC 是△ABC 的好角，则∠B 与∠C （不妨设∠B ＞∠C ）之间的等量关系为 ． 应用提升⑶小丽找到一个三角形，三个角分别为15°、60°、105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角． 请你完成，如果一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．图3ABCA 1B 1B 2CD BA图2图1C…B n+1A 3A 2A 1B nB 2B 1BA【解析】⑴△ABC 中，∠B =2∠C ，经过两次折叠，∠BAC 是△ABC 的好角；理由如下：小丽展示的情形二中，如图3， ∵沿∠BAC 的平分线AB 1折叠， ∴∠B =∠AA 1B 1；思维拓展训练(选讲)又∵将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合，∴∠A1B1C=∠C；∵∠AA1B1=∠C+∠A1B1C，∴∠B=2∠C，∠BAC是△ABC的好角．故答案是：是；⑵∠B=3∠C；如图所示，在△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分，将余下部分沿∠B2A2C的平分线A2B3折叠，点B2与点C重合，则∠BAC是△ABC的好角．证明如下：∵根据折叠的性质知，∠B=∠AA1B1，∠C=∠A2B2C，∠A1B1C=∠A1A2B2，∴根据三角形的外角定理知，∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；∵根据四边形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA1B1-∠A1B1C=∠BAC+2∠B-2∠C=180°，根据三角形ABC的内角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180°，∴∠B=3∠C；由小丽展示的情形一知，当∠B=∠C时，∠BAC是△ABC的好角；由小丽展示的情形二知，当∠B=2∠C时，∠BAC是△ABC的好角；11初二秋季·第7讲·提高班·教师版12 初二秋季·第7讲·提高班·教师版由小丽展示的情形三知，当∠B =3∠C 时，∠BAC 是△ABC 的好角； 故若经过n 次折叠∠BAC 是△ABC 的好角，则∠B 与∠C （不妨设∠B ＞∠C ）之间的等量关系为∠B =n ∠C ；⑶由⑵知设∠A =4°，∵∠C 是好角，∴∠B =4n °；∵∠A 是好角，∴∠C =m ∠B =4mn °，其中m 、n 为正整数得4+4n +4mn =180 ∴如果一个三角形的最小角是4°，三角形另外两个角的度数是4、172；8、168；16、160；44、132；88°、88°．训练2. 一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图，已知在Rt △ABC 中，AB =BC ，∠ABC =90°，BO ⊥AC ，于点O ，点PD 分别在AO 和BC 上，PB =PD ，DE ⊥AC 于点E ， 求证：△BPO ≌△PDE ．备用图2431COBAD CE OP AB⑴理清思路，完成解答⑵本题证明的思路可用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程． ⑵特殊位置，证明结论若PB 平分∠ABO ，其余条件不变．求证：AP =CD ．【解析】⑴证明：∵PB =PD ，∴∠2=∠PBD ，∵AB=BC，∠ABC=90°，∴∠C=45°，∵BO⊥AC，∴∠1=45°，∴∠1=∠C=45°，∵∠3=∠PBC-∠1，∠4=∠2-∠C，∴∠3=∠4，∵BO⊥AC，DE⊥AC，∴∠BOP=∠PED=90°，在△BPO和△PDE中∵∠3＝∠4，∠BOP＝∠PED，BP＝PD∴△BPO≌△PDE（AAS）；⑵证明：由⑴可得：∠3=∠4，∵BP平分∠ABO，∴∠ABP=∠3，∴∠ABP=∠4，在△ABP和△CPD中∵∠A＝∠C，∠ABP＝∠4，PB＝PD∴△ABP≌△CPD（AAS），∴AP=CD．训练3.因式分解初二秋季·第7讲·提高班·教师版1314 初二秋季·第7讲·提高班·教师版⑴()22223103x a b x a ab b ++-+- ⑵()()211a b ab +-+⑶()()2222483482x x x x x x ++++++⑷2222223a b ab a c ac abc b c bc -+--++【解析】⑴()22223103x a b x a ab b ++-+-()()()()()223333x a b x a b a b x a b x a b =++---=+--+⑵()()211a b ab +-+()()()()()()222211111a b ab a b a a b b a b a ab b ab =+-++=+-+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=+-+- ⑶()()2222483482x x x x x x ++++++()()()()()()()222224848258682458x x x x x x x x x x x x x x =++++++=++++=++++⑷2222223a b ab a c ac abc b c bc -+--++ ()()()()()()()222223b c a b c bc a b c bc a b c b c a bc a b c ab ac bc =+-++++=-++-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=--+-训练4. 按下面规则扩充新数：已有a 和b 两个数，可按规则c =ab +a +b 扩充一个新数，而a ，b ，c 三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，…，每扩充一个新数叫做一次操作．现有数2和3．⑴求按上述规则操作三次得到扩充的最大新数；⑵能否通过上述规则扩充得到新数5183？并说明理由． 【解析】⑴∵a =2，b =3，c 1=ab +a +b =6+2+3=11， ∴取3和11， ∴c 2=3×11+3+11=47，取11与47，∴c3=11×47+11+47=575，∴扩充的最大新数575；⑵5183可以扩充得到．∵c=ab+a+b=（a+1）（b+1）-1，∴c+1=（a+1）（b+1），取数a、c可得新数d=（a+1）（c+1）-1=（a+1）（b+1）（a+1）-1，即d+1=（a+1）2（b+1），同理可得e=（b+1）（c+1）=（b+1）（a+1）（b+1）-1，∴e+1=（b+1）2（a+1），设扩充后的新数为x，则总可以表示为x+1=（a+1）m•（b+1）n，（式中m、n为整数）当a=2，b=3时，x+1=3m×4n，又∵5183+1=5184=34×43，故5183可以通过上述规则扩充得到．初二秋季·第7讲·提高班·教师版1516 初二秋季·第7讲·提高班·教师版题型一 轴对称 巩固练习【练习1】 如图1，两个等边△ABD ，△CBD 的边长均为1，将△ABD 沿AC 方向向右平移到△A ′B ′D ′的位置，得到图2，则阴影部分的周长为2．图2图1CB'B D'DA'CDB A【解析】∵两个等边△ABD ，△CBD 的边长均为1，将△ABD 沿AC 方向向右平移到△A ′B ′D ′的位置，∴A ′M =A ′N =MN ，MO =DM =DO ，OD ′=D ′E =OE ，EG =EC =GC ，B ′G =RG =RB ′， ∴OM +MN +NR +GR +EG +OE =A ′D ′+CD =1+1=2； 故答案为：2．题型二 全等三角形 巩固练习【练习2】 在等边△ABC 中，AC =9，点O 在AC 上，且AO =3，P是AB 上一动点，连接OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转60°得到线段OD ，若使点D 恰好落在BC 上，则线段AP 的长是（ ） 复习巩固BPAO DC17初二秋季·第7讲·提高班·教师版A ．4B ．5C ．6D ．8【解析】∵∠COP =∠A +∠APO =∠POD +∠COD ，∠A =∠POD =60°，∴∠APO =∠COD ． 在△APO 和△COD 中，∵∠A ＝∠C ，∠APO ＝∠COD ，OP ＝OD ∴△APO ≌△COD （AAS ）， ∴AP =CO ， ∵CO =AC -AO =6， ∴AP =6． 故选C ．【练习3】(3)GE FDA(2)AB CD E FG (1)GE DF A【解析】⑴证明：∵AF ⊥BD ，∠ABF =∠MBF ，∴∠BAF =∠BMF ， ∴MB =AB ， ∴AF =MF ，18 初二秋季·第7讲·提高班·教师版同理可说明：CN =AC ，AG =NG∴FG 是△AMN 的中位线， ∴FG =12MN =12（MB +BC +CN ）=12（AB +BC +AC ）⑵图⑵中，FG =12（AB +AC -BC ） 图⑶中，FG =12（AC +BC -AB ） ①如图⑵，延长AF 、AG ，与直线BC 相交于M 、N ，由⑴中可知，MB =AB ，AF =MF ，CN =AC ，AG =NG ， ∴FG =12MN =12（BM +CN -BC ）=12（AB +AC -BC ）， ②如图⑶延长AF 、AG ，与直线BC 相交于M 、N ，同样由⑴中可知，MB =AB ，AF =MF ，CN =AC ，AG =NG ， ∴FG =12MN =12（CN +BC -BM ）=12（AC +BC -AB ）题型三 因式分解 巩固练习【练习4】 分解因式：()4442x y x y +++-．【解析】 原式=（x 2+y 2）2-2x 2y 2+（x 2+2xy +y 2）2-2，=（x 2+y 2）2-2x 2y 2+（x 2+y 2）2+4xy （x 2+y 2）+4x 2y 2-2， =2（x 2+y 2）2+2x 2y 2+4xy （x 2+y 2）-2， =2[（x 2+y 2）2+x 2y 2+2xy （x 2+y 2）-1]， =2[（x 2+xy +y 2）2-1]， =2（x 2+xy +y 2-1）（x 2+xy +y 2+1）．【练习5】 图①是一个长为2m 、宽为2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形． ⑴图②中的阴影部分的面积为 ；19初二秋季·第7讲·提高班·教师版⑵观察图②请你写出三个代数式()2m n +、()2m n -、mn 之间的等量关系是 ；⑶若x +y =7，xy =10，则()2x y -= ；⑷实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示． 如图③，它表示了 ．⑸试画出一个几何图形，使它的面积能表示()()22343m n m n m mn n ++=++．③②①nnm m m nm n mmnm mnmnmmnn【解析】（1）阴影部分的边长为（m -n ），阴影部分的面积为（m -n ）2；（2）（m +n ）2-（m -n ）2=4mn ； （3）（x -y ）2=（x +y ）2-4xy =72-40=9； （4）（m +n ）（2m +n ）=2m 2+3mn +n 2； （5）答案不唯一： 例如：．初二秋季·第7讲·提高班·教师版第十五种品格：创新成功往往就藏在你没注意的地方有一家电台请来了一位商业奇才做嘉宾主持。
著名机构初中数学培优讲义中考复习.轴对称.第13讲(通用讲).学生版
内容基本要求略高要求较高要求轴对称了解图形的轴对称，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分性质；了解物体的镜面对称 能按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；掌握简单图形之间的轴对称关系，并能指出对称轴；掌握基本图形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆）的轴对称性及相关性质。
能运用轴对称进行图案设计 等腰三角形 了解等腰三角形、等边三角形和直角三角形的概念，会识别这三种图形，并理解这三种图形的性质和判定 能用等腰三角形、等边三角形和直角三角形的性质和判定解决简单问题 能用等腰三角形、等边三角形和直角三角形的知识解决有关问题版块一 轴对称与轴对称图形☞轴对称的有关概念1． 对于两个图形，如果沿一条直线对折后，它们能够完全重合，那么这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴。
2． 如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
3． 轴对称指两个图形，轴对称图形是指一个图形。
4． 成轴对称的两个图形一定是全等形；全等的两个图形不一定成轴对称。
☞轴对称及轴对称图形的性质1． 如果两个图形关于某一直线对称，则对应点所连的线段被对称轴垂直平分；对应线段相等，对应角相等。
2． 轴对称图形中对应点所连的线段被对称轴垂直平分；轴对称图形的对应线段相等，对应角相等。
3． 线段有两条对称轴；角有两条对称轴；等腰三角形（非等边）有两条对称轴；等边三角形有三条对称轴；等腰梯形有一条对称轴；矩形有两条对称轴；菱形有两条对称轴；正方形有四条对称轴；圆有无数条对称；中考要求例题精讲中考复习：几何变换之轴对称【例1】 下列“QQ 表情”中属于轴对称图形的是（ ）【例2】 有下列语句：①沿一条直线翻折后，能够重合的两个图形关于这条直线对称；②一个轴对称图形一定能沿一条直线翻折，直线两侧部分相互重合；③两个能重合的图形一定关于某条直线对称；④一个轴对称图形不一定只有一条对称轴。
第三节 轴对称的综合应用-学而思培优
第三节轴对称的综合应用一、课标导航二、核心纲要1.利用轴对称变换解题轴对称变换是作点、线、图形关于某一直线的对称图形，从而使图形中隐藏条件凸显出来，或将分条件集中起来，从而达到解题目的，那么，我们在什么情况下应该想到用或作轴对称呢？下面给出几种见考虑要用或作轴对称的基本图形．(1)线段或角度存在2倍关系的，可考虑对称(2)有互余、互补关系的图形，可考虑对称．(3)角度和或差存在特殊角度的，可考虑对称(4)路径最短问题：运用轴对称，将分散的线段集中到两点之间，从而运用两点之间线段最短，来实最短路径的求解．所以最短路径问题，需考虑轴对称．下表给出几何最值问题的几种中考题型及解题作图方法．2.利用构造等边三角形60 或角度的和、差、倍、分等边三角形有许多重要的性质，在解题中，若已知条件出现某一个角为,60有联系时，一般地构造出等边三角形，汇聚分散的条件，探究解题思路，达到简捷解题目的，与本节重点讲解：两个应用（轴对称和等边三角形的应用）三、全能突破基础演练1．如图13 -3—1所示，直线L是一条河，P，Q是两个村庄，欲在L上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是( )．2．如图13-3-2所示，A 、B 两点分别表示两幢大楼所在的位置，直线a 表示输水总管道，直线b 表示输煤气总管道．现要在这两根总管道上分别设一个连接点，安装分管道将水和煤气输送到A 、B 两幢大楼，要求使铺设至两幢大楼的输水分管道和输煤气分管道的用料最短，图中，点/A 是点A 关于直线b 的对 称点，B A /分别交b 、a 于点C 、D;点/B 是点B 关于直线a 的对称点，A B /分别交b 、a 于点E 、F ．则符合要求的输水和输煤气分管道的连接点依次是( )． A.F 和C B ．F 和E C ．D 和C D ．D 和E3．如图13-3-3所示，已知∠AOB 的大小为α，P 是∠AOB 内部的一个定点，且OP=2，点E 、F 分别是OA 、OB 上的动点，若△PEF 周长的最小值等于2，则α=( )．30.A 45.B 60.C 90.D4．如图13-3-4所示，已知△ABC 为等边三角形，高P cm AH ,10=为AH 上一动点，D 为AB 的中点，则PB PD +的最小值为 cm.5．加油站A 和商店B 在马路MN 的同一侧（如图13-3-5所示），A 到MN 的距离大于B 到MN 的距离，AB=7m ，一个行人P 在马路MN 上行走，问：当P 到A 的距离与P 到B 的距离之差最大时，这个差等于 m.6．如图13-3-6所示，凸六边形ABCDEF 的六个角都是,120边长=AB DE cm CD cm BC cm ,11,8,2==,6cm =你能求出这个六边形的周长吗？7．如图13-3-7所示，在△ABC 中，BD A AC AB ,100,=∠=平分,ABC ∠求证：.AD BD BC +=8．在正△ABC 内取一点D ，使,DB DA =在△ABC 外取一点E ，使,DBC DBE ∠=∠且,BA BF =求BED ∠ 的度数.能 力 提 升9．如图13-3-8所示，点P 为∠AOB 内一点，分别作点P 关于OA 、OB 的对称点、1P ,2P 连接21P P 交OA 于点M ，交OB 于点N ，若,621=P P 则△PMN 周长为( )．4.A5.B6.C7.D10．如图13-3-9所示，在某一地方，有条小河和草地，一天某牧民的计划是从A 处的牧场牵着一只马到草地牧马，再到小河饮马，再回到B 处，你能为他设计一条最短的路线吗？（在N 上任意一点即可牧马，M 上任意一点即可饮马．）（保留作图痕迹，需要证明）11．如图13 -3 -10所示，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点（点B 除外），作,60oDMN =∠ 射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系？12．如图13 -3 -11所示，在△ABC 中，P BAC ,120=∠为△ABC 内一点．求证：.AC AB PC PB PA +>++13.如图13 -3 -12所示，已知线段AB 的同侧有两点C 、D 满足=∠=∠ADB ACB -=∠90,60ABDDBC 21∠求证：.AD AC =14.如图13 -3 -13所示，在△ABC 中，D AC AB ,=是△ABC 外一点，且60,60=∠=∠ACD ABD求证：.AB DC BD =+15.如图13 -3 -14所示，已知P 是△ABC 边BC 上一点，且,2PB PC =若=∠ABC ,60,45=∠APC 求ACB ∠的大小．16.如图13 -3 -15所示，在四边形ABCD 中，,60,=∠-∠=ACD BCA CD BC 求证：.AB CD AD ≥+17.如图13 -3 -16所示，在等腰三角形ABC 中，AB=AC ，顶角,20=∠A 在边AB 上取点D ，使,BC AD = 求∠BDC.18.如图13 -3 -17所示，在△ABC 中，M BCA BAC ,44=∠=∠为△ABC 内一点，使得,30o MCA =∠,16 =∠MAC 求BMC ∠的度数．中 考 链 接19.（2012．兰州）如图13 -3 -18所示，在四边形ABCD 中，=∠=∠B BAD ,120,90=∠D 在BC 、CD上分别找一点M 、N ，使△AMN 周长最小时，则+∠AMN ANM ∠的度数为( )．130.A 120.B 110.C 100.D20．（2012．北京）在△ABC 中，M BAC BC BA ,,α=∠=是AC 的中点，P 是线段BM 上的动点，将线段PA 绕点P 顺时针旋转α2得到线段PQ ．(1)若60=α且点P 与点M 重合(如图13-3-19(a)所示），线段CQ 的延长线交射线BM 于点D ，请补全图形，并写出∠CDB 的度数．(2)在图13-3-19(b)中，点P 不与点B 、M 重合，线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，猜想∠CDB 的大小（用含α的代数式表示），并加以证明．(3)对于适当大小的,α当点P 在线段BM 上运动到某一位置（不与点B 、M 重合）时，能使得线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，且PQ=QD ，请直接写出α的范围．巅 峰 突 破21.如图13-3-20所示，已知Rt△ABC 中，F E D BC AB B 、、,4,3,90===∠分别是三边AB 、BC 、CA 上的点，则FD EF DE ++的最小值为( )．521.A 524.B 5.C 6.D22．如图13 -3—21所示，P 为△ABC 内部一点，使得,8,30 =∠=∠PBA PBC 且,22=∠=∠PAC PAB 求APC ∠的度数.。
第一节 多姿多彩的图形-学而思培优
第一节多姿多彩的图形一、课标导航二、核心纲要l .几何图形(1)几何图形：从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形．(2)立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体等）的各部分不都在同一平面内，它们是立体图形．(3)平面图形：有些几何图形（如线段、角、正方形等）的各部分都在同一平面内，它们是平面图形．(4)从不同方向看立体图形：从正面、左面、上面三个不同方向看几何图形，往往会得到不同形状的平面图形．(5)展开图：将立体图形的表面适当剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图．2.点、线、面、体(1)点、线、面、体的概念①几何体也简称为体，如长方体、正方体等．②包围着体的是面，面有平面和曲面两种．③面与面相交的地方形成线，线有直线和曲线两种．④线与线相交形成点．(2)点动成线、线动成面、面动成体．3.几何图形都是由点、线、面、体构成的，点是构成图形的基本元素.4.基本图形5. 欧拉公式简单多面体的顶点数V 、面数F 及棱数E 之间的关系为：.2=-+E F v 6.正方体的11种展开图 (1)“1-4-1"型(2)“2—3—1”型(3)“3—3”型 (4)“2—2—2”型本节重点讲解：三个图形（平面图形、立体图形、展开图），四个概念（点、线、面、体），七种常见几何体，一个公式（欧拉公式）．三、全能突破基础演练1．图4-1-1所示的直角梯形绕直线L旋转一周，得到的立体图形是( )2．以下图形中，不是平面图形的是( )A．线段 B．角 C．圆锥 D．圆3．圆柱的侧面展开图形是( )A．圆 B．长方形 C梯形 D．扇形4．一个全透明的玻璃正方体，上面嵌有一根黑色的金属丝，如图4-1-2所示，从上面看时金属丝的形状是( )5．一个无盖的正方体盒子的平面展开图可以是图4-1-3中( )A.图(a)、图(b) B．图(a)、图(c) C．图(b)、图(c) D.只有图(a)6．如图4-1-4所示，这个几何体的名称是；它由个面组成；它有一个顶点；经过每个顶点有条边．7.18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察图4-1-5中几种简单多面体模型，解答下列问题：你发现顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系式是(2)-个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是能 力 提 升8．将“创建文明城市”六个字分别写在一个正方体的六个面上，这个正方体的平面展开图如图4-1-6所示，那么在这个正方体中，和“创”相对的字是( )A ．文B ．明C ．城D ．市9．如图4-1-7所示是由下面五种基本图形中的两种拼接而成，这两种基本图形是( ) A ．①⑤ B②④ C ．③⑤ D ．②⑤图4-1-610.图4-1-8所示是一个正方体的平面展开图，已知正方体的每一个面都有一个有理数，且相对面上的两个数互为倒数，那么代数式b ca-的值等于( ) 43.-A 6.-B 43.C 6.D11．将一正方体纸盒沿图4-1-9所示的粗实线剪开，展开成平面图，其展开图的形状为( )12．图4-1-10所示是一个三棱柱纸盒，在下面四个图中，只有一个是这个纸盒的展开图，那么这个展开图是( )13．图4-1-11所示是一个没有完全剪开的正方体，若再剪开一条棱，则得到的平面展开图可能是下列六种图中的．（填写字母）14．图4-1-12所示的七个平面图形中，有圆柱、圆锥、三棱柱、三棱锥的表面展开图，请你把立体图形与它的表面展开图用线连接．15．图4 -1-13是由几个小立方块堆放在一起后从上面看得到的平面图形，请画出从几何体的正面、左面看的示意图．16.用平面去截一个正方体，最多有几种不同边数的截面？17．(1)写出下列各数的相反数：3，8，-10;(2)图4-1-14(a)是一个正方体盒子的展开图，请把上面各数与它们的相反数分别填入六个小正方形，使折成的正方体相对面上的两个数互为相反数；(3)图4-1-14(b)是一个正方体盒子的展开图，请在其余的三个空格内填入适当的数，使折成的正方体相对面上的两个数互为相反数；(4)图4-1-14(c)是一个正方体盒子的展开图；正方体相对面上的两个数互为相反数；写出图中x，y，z的值．18.如图4-1-15(a)所示，大正方体上截去一个小正方体后，可得到图4-1-15 (b)的几何体．(l)设原大正方体的表面积为S，图4-1-15(b)中几何体的表面积为/S那么/S与S的大小关系是( ) .sSC<. D．不确定B=sS.ssA>(2)小明说：“设图4-1-15(a)中大正方体各棱的长度之和为C，图4-1-15 (b)中几何体各棱的长度之和为,/c那么/c比c正好多出大正方体3条棱的长度”，若设大正方体的棱长为1，小正方体的棱长为x，请问x为何值时，小明的说法才正确？(3)如果截去的小正方体的棱长为大正方体棱长的一半，那么图4-1-15(c)是图4-1-15 (b),中几何体的表面展开图吗？如有错误，请在图4-1-15 (c)中修正．19.现有图4-1-16所示的废铁皮，准备用它来加工一些棱长为10cm的无盖正方体铁盒，问怎样下料（画线），才能使得加工的盒子数最多？最多几个？中考链接20．（2011．徐州）以下各图均有彼此连接的六个小正方形纸片组成，其中不能折叠成一个正方体的是( )21．(2010．北京)美术课上，老师要求同学们将如图4-1-17所示的白纸只沿虚线裁开，用裁开的纸片和白纸上的阴影部分围成一个立体模型，然后放在桌面上，下面四个示意图中，只有一个符合上述要求，那么这个示意图是( )22．(2010．宁夏)用一个平面去截一个几何体，不能截得三角形截面的几何体是( ) A．圆柱 B．圆锥 C．三棱柱 D．正方形巅峰突破23.图4-1-18(a)是图4-1-18(b)中立方体的平面展开图，左右两图中的箭头位置和方向是一致的，那么图4-1-18(a)中的线段AB 与图4-1-18(b)中对应的线段是( ) e A . h B . k C . d D .24.设5cm×4cmX 3cm 长方体的一个表面展开图的周长为ncm ，则n 的最小值是25.用橡皮泥做一个棱长为4cm 的正方体． (1)如图4-1-19(a)所示，在顶面中心位置处从上到下打一个边长为lcm 的正方形通孔，打孔后的泥块的表面积为 ,2cm(2)如果在第(1)题打孔后，再在正面中心位置处(按图4-1-19 (b)中的虚线）从前到后打一个边长为lcm 的正方形通孔，那么打孔后的橡皮泥的表面积为 ,2cm(3)如果把第(2)题中从前到后所打的正方形通孔扩成一个长xcm 、宽lcm 的长方形通孔，能不能使所得橡皮泥块的表面积为？2130cm 如果能，请求出x ；如果不能，请说明理由，。
第一节 反比例函数的图像和性质-学而思培优
第一节 反比例函数的图像和性质一、课标导航二、核心纲要 1.反比例函数(1)定义：一般地，形如k xky (=为常数，)0=/k 的函数称为反比例函数，其中x 是自变量，y 是函数．注：①自变量x 在分母上，指数为1． ②比例系数.0=/k③自变量x 的取值为一切非零实数，函数值的取值范围是.0=/y ④反比例函数的其他形式：).0()0(1=/==/=-k kx y k k xy 或 (2)图像：反比例函数的图像是双曲线，也称为双曲线).0(=/=k xky (3)性质（如下表所示）注：（1）y 随x 变化的情况必须指出“在每个象限内”或“在每一分支上”这一条件 (2) ).0(=/=k k xky 为常数，中自变量.0=/x 函数值.0=/y 所以双曲线不经过原点，两个分支逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交.2．待定系数法求反比例函数的解析 式只需图像上一个点的坐标即可求出k. 3.反比例函数的图像的对称性 (1)中心对称：对称中心是原点．(2)轴对称：对称轴是直线x y =和直线.x y -=.4.︱k ︱的几何意义(如下表所示)5.数学思想(1)数形结合；(2)分类讨论．本节重点讲解：一个定义，一个性质，一个对称性，一个几何意义．三、全能突破基 础 演 练1．如果y 是m 的反比例函数，m 是x 的正比例函数，那么y 是x 的( )．A.反比例函数 B ．正比例函数 C ．-次函数 D ．反比例或正比例函数2．若反比例函数22)12(--=m xm y 的图像在第二、四象限，则m 的值是( )．A ．-1或1B ．小于21的任意实数 C ．-1 D ．不能确定3．如图26 -1-1所示，矩形ABCD 的对角线BD 经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C 在反比例函数xk k y 122++=的图像上．若点A 的坐标为（-2，-2），则k 的值为( )．1.A 3.-B 4.C D ．1或-34．若函数||1m xm y -=为反比例函数，则m=5．三个反比例函数321y y y 、、的图像的一部分如图26 -1-2所示，则321k k k 、、的大小关系为6．反比例函数xk y 2-=的图像一个分支经过第一象限，对于给出的下列说法： ①常数k 的取值范围是k>2;②另一个分支在第三象限；③在函数图像上取点),(11b a A 和点),,(22b a B 当21a a >时，则;21b b <④在函数图像的某一个分支上取点),(11b a A 和点),,(22b a B 当21a a >时，则;21b b < ⑤函数的图像是中心对称图形但不是轴对称图形； ⑥一元二次方程01)12(22=-+--k x k x 无实数根， 其中正确的是 （在横线上填出正确的序号）7．已知,21y y y +=而1y 与x+l 成反比例，2y 与2x 成正比例，并且1=x 时，,20;2===y x y 时，求y 与x 的函数关系式．8．如图26 -1-3所示，定义：若双曲线)0(>=k xky 与它的其中一条对称轴x y =相交于A 、B 两点，则线段AB 的长度为双曲线)0(>=k xky 的对径． (1)求双曲线x y 1=的对径． (2)若双曲线)0(>=k xky 的对径是,210求k 的值．(3)仿照上述定义，定义双曲线)0(<=k xky 的对径．能 力 提 升9．已知二次函数C bx ax y ++=2的图像如图26 -1-4所示，那么一次函数c bx y +=和反比例函数xay =在同一平面直角坐标系中的图像大致是( )．10.下列选项中，阴影部分面积最小的是( )．11.根据图26-1-5(a)所示的程序，得到了y 与x 的函数图像如图26-1-5(b)，过点M 作x PQ //轴交图像于点P 、Q ，连接OP 、OQ.则以下结论：①x<0时，;2xy =②△OPQ 的面积为定值；③x>0时，y 随x 的增大而增大；④;2PM MQ =POQ ∠⑤可以等于.90其中正确的结论是( )．A.①②④B.②④⑤ C .③④⑤ D.②③⑤12．(1)正比例函数)0(11=/=k x k y 和反比例函数)0(22=/=k x ky 的一个交点为(1，-2)，则另一个交点 为(2)直线)0(>=a ax y 与双曲线xy 3=交于),(),(2211y x B y x A 、两点，则=-122134y x y x13.如图26 -1-6所示，在直角坐标系中，正方形的中心在原点0，且正方形的一组对边与x 轴平行，点P (3a ，a)是反比例函数)0(>=k xky 的图像上与正方形的一个交点．若图中阴影部分的面积等于9，则 这个反比例函数的解析式为14．如图26 -1-7所示，点A 、B 是函数x y =与xy 1=的图像的两个交点，作x AC ⊥轴于C ，作x BD ⊥ 轴于D ，则四边形ACBD 的面积为15.如图26 -1-8所示，已知双曲线)0(>=k xky 经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ．若△OBC 的面积为6，则=k16.如图26 -1-9所示，正方形OABC 的面积是4，点B 在反比例函数)0,0(>>=x k xky 的图像上，若点 R 是该反比例函数图像上异于点B 的任意一点，过点R 分别作相交x 轴、y 轴的垂线，垂足为M 、N ，从矩形OMRN 的面积中减去其与正方形OABC 重合部分的面积，记剩余部分的面积为S ．则当S=m(m 为常数，且O<m<4)时，反比例函数解析式为 ，点R 的坐标是 （用含m 的代数式表不）．17.如图26-1-10所示，在平行四边形AOBC 中，对角线交于点E ，双曲线)0(>=k xky 经过A 、E 两点，若平行四边形AOBC 的面积为18，则=k18.如图26-1-11所示，△AOB 为等边三角形，点B 的坐标为（-2，0），过点C(2，0)作直线L 交AO 于D ，交AB 于E ，点E 在某反比例函数图像上，当△ADE 和△DCO 的面积相等时，那么该反比例函数解析式 为19．(1)两个反比例函数xy x y 63==、在第一象限内的图像如图26-1-12所示，点2013321p p p p 、、、、 在反比例函数xy 6=的图像上，它们的横坐标分别是,2013321x x x x 、、、、 纵坐标分别是1、3、5、…共2013个连续奇数，过点2013321p p p p 、、、、 分别作y 轴的平行线与x y 3=的图像交点依次是1Q ),,(,),,(),,(),,(20132013201333322211y x Q y x Q y x Q y x 则=2013y(2)如图26-1-13所示，在函数)0(8>=x xy 的图像上有点,1321+n n p p p p p 、、、、、 点i P 的横坐标为2，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是2，过点1321+n n p p p p p 、、、、、 分别作x 轴、y 轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为、1s ,32n s s s 、、、 则=1s =n s , （用含n 的代数式表示）．20．(1)①如图26-1-14(a)所示，一个正方形的一个顶点1P 在函数)0(1>=x xy 的图像上，则点1P 的坐标是( , )②如图26-1-14(b)所示，若有两个正方形的顶点21p p 、都在函数)0(1>=x xy 的图像上，则点2P 的坐标是( , )(2)如图26-1-14(c)所示，若将两个正方形改为两个等腰直角三角形，直角顶点21p p 、在函xy 4=(x>0)的图像上，斜边211A A OA 、都在x 轴上， ①求点1A 的坐标； ②求点2P 的坐标．(3)如图26-1-14(d)所示，若有两个等边三角形的顶点21p P 、都在函数)0(34>=x x y 的图像上，点21A A 、在x 轴上，直接写出点2P 的坐标．21．(1)探究：如图26-1-15 (a)所示，已知△ABC 与△ABD 的面积相等，试判断AB 与CD 的位置关系，并说明理由．(2)应用：①如图26-1-15 (b)所示，点M 、N 在反比例函数)0(>=k xky 的图像上，过点M 作y ME ⊥ 轴，过点N 作x NF ⊥轴，垂足分别为E 、F ．试证明：.//EF MN②若①中的其他条件不变，只改变点M 、N 的位置如图26-1-15(c)所示，请判断MN 与EF 是否平行．直接写出结论．(3)拓展：如图26-1-15(d)所示，点M 、N 在反比例函数)0(11>=k xky 的图像上，过点M 作y ME ⊥ 轴，过点N 作x NF ⊥轴，垂足分别为E 、F ，交反比例函数)0(22>=k xky 的图像于点G 、H ，MN 与GH 是否平行？并说明理由．中 考 链 接22．(1)（2012．荆门）已知：多项式12+-kx x 是一个完全平方式，则反比例函数xk y 1-=的解析式为( )．x y A 1=⋅ x y B 3-=⋅ x y C 1=⋅或x y 3-= x y D 2=⋅或xy 2-= (2)（2012．佳木斯）在平面直角坐标系中，反比例函数xa a y 22+-=图像的两个分支分别在( )．A.第一、三象限 B ．第二、四象限 C ．第一、二象限 D ．第三、四象限23．（2013．江西南昌）如图26 -1-16所示，直线2-+=a x y 与双曲线xy 4=交于A 、B 两点，则当线段AB 的长度取最小值时，a 的值为( )．0.A 1.B 2.C 5.D24. (2013．北京)如图26-1-17所示，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线,1:--=x y l 双曲线,1xy =在L 上取一点,1A 过1A 作x 轴的垂线交双曲线于点,1B 过1B 作y 轴的垂线交L 于点,2A 请继续操作并探究：过2A 作x 轴的垂线交双曲线于点,2B 过2B 作y 轴的垂线交L 于点,,3 A 这样依次得到L 上的点.,,,,,21 n A A A A 记点n A 的横坐标为,n a 若,21=a 则=2a =2013,a ；若要将上述操作无限次地进行下去，则1a 不能取的值是巅 峰 突 破25.如图26-1-18所示，点P 是反比例函数)0(<=k xky 图像上的点，PA 垂直x 轴于点A （-1，O ），点 C 的坐标为(1，0)，PC 交y 轴于点B ，连接AB ，已知.5=AB(l)k 的值为(2)若点M （a ，b ）是该反比例函数图像上的点，且满足,ABC MBA ∠<∠则a 的取值范围是26.如图26-1- 19所示，正方形2111p p B A 的顶点21p p 、在反比例函数)0(2>=x xy 的图像上，顶点11B A 、分别在x 轴和y 轴的正半轴上，再在其右侧作正方形,2232B A P P 顶点3P 在反比例函数y )0(2>=x x的图像上，顶点3A 在x 轴的正半轴上，则点3P 的坐标为。
学而思培优之总复习——图形与几何(一)
【拓展】(★★★) 求图中阴影部分面积. (π取3.14)
【例6】(★★★) ⑴ 求图中阴影部分面积. (π取3.14)
【例6】(★★★) ⑵ 求图中阴影部分面积. (π取3.14)
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知识大总结 1、关于角度
⑴ 分类、常见角度、时钟上的角度 ⑵ 内角＋外角＝180° ⑶ n边形：内角和＝(n－2)×180°；外角和＝360° 2、关于面积： ⑴ 公式：长、正、△、平四、梯形、圆 ⑵ 方法：割补法、等积变形、整体－空白 ⑶ 曲线中的3个小模型
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图⑴
图⑵
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【例2】(★★☆)
在△ABC中，AB＝AC，∠C＝50°.在BC边上取一点D，已知∠ADC ＝72°，求∠BAD的度数.
A
72° 50°
BD
C
【拓展】(★★☆) 如下图所示，正方形PQRS及等边三角形STR在同一平面上，请问： ∠PTS为多少度？
P
Q
T
S
R
【例3】(★★☆)判断.
⑴ 一条射线长50厘米.
(
)
⑵ 两条直线不是平行，就是相交.
(
)
⑶ 平角是一条直线.
(
)
⑷ 用一根12cm长的小棒和两根6厘米长的小棒可以围成一个等腰三
角形.
(
)
⑸ 直角三角形中两个锐角的和大于钝角三角形中两个锐角的和.
(
)
⑹ 一个角的两条边越长，这个角越大.
(
)
三角形等积变形
2
二、关于面积 1、公式：平四、三角形、梯形 2、方法：割补、平移、对称、差不变
本讲主线
1、角度问题 2、平面图形面积
总复习——图形与几何（一）
关于角度问题
第一节 二次函数的图像和性质-学而思培优
第一节 二次函数的图像和性质一、课标导航二、核心纲要1.二次函数的定义一般地，形如c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，且)0=/a 的函数，叫做二次函数， 注：(1)函数关系式必须是整式．(2)自变量x 的取值范围为全体实数，且最高次数是2．(3)a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项，写各项系数时包括它前面的符号． (4)二次项系数a 不等于0． 2．二次函数解析式的表示方法(1)-般式：c b a c bx ax y ,,(2++=为常数，).0=/a(2)顶点式：k h a k h x a y ,,)(2（+-=为常数，),0=/a 其中（h ，k ）为顶点坐标．(3)交点式（两根式）：2121,0))((x x a x x x x a y 、（=/--=是抛物线与x 轴两交点的横坐标，即一元二次方程02=++c bx ax 的两个根，对称轴为).221x x x +=注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点 式，只有抛物线与x 轴有交点，即042≥-ac b 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化．3．二次函数的图像和性质(1)二次函数k ax y ax y +==22、和2)(h x a y -=的图像和性质(2)二次函数k h x a y +-=2)(和c bx ax y ++=2的图像和性质4．二次函数解析式的确定根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便，一般来说，有如下几种情况： (1)已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式．(2)已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式．(3)已知抛物线与z 轴的两个交点的横坐标，一般选用交点式（两根式）． (4)已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．5．二次函数c b a c bx x y .,(2++=α为常数且)0≠a 的图像与各项系数之间的关系 (1)二次项系数a ：a 的正负决定开口方向，︱a ︱的大小决定开口的大小 ①当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下； ②︱a ︱越大，开口越小，︱a ︱越小，开口越大．(2)-次项系数b ：在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴．若a>0，则 ①当b>0时，,02<-a b 即抛物线的对称轴abx 2-=在y 轴左侧．②当b=0时，,02=-a b即抛物线的对称轴就是y 轴， ③当b<0时，,02>-a b 即抛物线的对称轴abx 2-=在y 轴的右侧．注：“左同右异”，即当a 、b 同号时，对称轴在y 轴的左侧；当a 、b 异号时，对称轴在y 轴的右侧．(3)常数项c ：决定抛物线与y 轴交点的位置①当c>0时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴的正半轴相交， ②当c=0时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线经过原点．③当c<0时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴的负半轴相交，总之，只要a,b ，c 都确定，那么这条抛物线的形状及在坐标平面中的位置就是唯一确定的． 6．抛物线的特殊位置与系数的关系(1)顶点在x 轴上;042=-⇔ac b (2)顶点在y 轴上;0=⇔b (3)顶点在原点;0==⇔c b (4)抛物线经过原点.0=⇔c 7．二次函数图像的变换(1)二次函数的平移变换，平移规律：“上加下减、左加右减”． ①一般式的平移将抛物线c bx ax y ++=2向上平移m 个单位，得.2m c bx ax y +++= 将抛物线c bx ax y ++=2向下平移m 个单位，得.2m c bx ax y -++= 将抛物线c bx ax y ++=2向左平移m 个单位，得.)()(2c m x b m x a y ++++= 将抛物线c bx ax y ++=2向右平移m 个单位，得.)()(2c m x b m x a y +-+-= ②顶点式的平移将抛物线k h x a y +-=2)(向上平移m 个单位，得.)(2m k h x a y ++-=将抛物线k h x a y +-=2)(向下平移m 个单位，得.)(2m k h x a y -+-=将抛物线k h x a y +-=2)(向左平移m 个单位，得.)(2k m h x a y ++-=将抛物线k h x a y +-=2)(向右平移m 个单位，得.)(2k m h x a y +--=(2)二次函数的对称变换 ①关于x 轴对称抛物线c bx ax y ++=2关于x 轴对称后，得到的抛物线是.2c bx ax y ---=抛物线k h x a y +-=2)(关于x 轴对称后，得到的抛物线是.)(2k h x a y ---=②关于y 轴对称抛物线c bx ax y ++=2关于y 轴对称后，得到的抛物线是.2c bx ax y +-=抛物线k h x a y +-=2)(关于y 轴对称后，得到的抛物线是.)(2k h x a y ++=③关于原点对称抛物线c bx ax y ++=2关于原点对称后，得到的抛物线是.2c bx ax y -+-=抛物线k h x a y +-=2)(关于原点对称后，得到的抛物线是.)(2k h x a y -+-=④关于顶点对称抛物线c bx ax y ++=2关于顶点对称后，得到的抛物线是⋅-+--=ab c bx ax y 222抛物线k h x a y +-=2)(关于顶点对称后，得到的抛物线是.)(2k h x a y +--=*⑤关于点（m ，n ）对称抛物线k h x a y +-=2)(关于点（m ，n ）对称后，得到的抛物线是.2)2(2k n m h x a y -+-+-=根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此laI 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，一般先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．8．求抛物线)0(2=/++=a c bx ax y 的顶点和对称轴的方法(1)公式法：)0(2=/++=a c bx ax y 的顶点是),44,2(2a b ac a b --对称轴是直线⋅-=ab x 2(2)配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为k h x a y +-=2)(的形式，得到顶点为（h ，k ）， 对称轴是直线.h x =(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴是抛物线与x 轴的两交点所连线段的垂直平分线，对称轴与抛物线的交点是顶点．9．求二次函数)0(.2=/++=a c x b ax y 最值的方法(1)若自变量x 的取值范围是全体实数，则函数在顶点处取得最大值（或最小值），即①若a>0，当a b x 2-=时，;442a b ac y -=最小值②若,0<a 当ab x 2-=时，⋅-=a b ac y 442最大值(2)若自变量的取值范围是,21x x x ≤≤且.0>a①若a b x 2-=在自变量取值范围21x x x ≤≤内，如下左图，当ab x 2-=时，;442a b ac y -=最小值当1x x =时，.121c bx ax y ++=最大值②若ab x 2-=不在自变量取值范围21x x x ≤≤内，如下右图，当1x x =时，;121c bx ax y ++=最小值 当x 2x =时，.222c bx ax y ++=最大值10.数学思想(1)数形结合； (2)分类讨论，本节重点讲解：一个定义，一个性质（二次函数的图像和性质），一个关系（图像与系数之间的关系），两个方法（求对称轴、顶点和最值的方法），两个变换（平移和对称变换），两个思想，三个形式（解析式的形式）．三、全能突破基 础 演 练1．若562)1(--+=m m x m y 是二次函数，则m=( )．7.A 1.-B 71.或-C D ．以上都不对2．(1)抛物线1)6(32-+-=x y 的对称轴是直线( )．6.-=x A 1.-=x B 1.=x C 6.=x D(2)若抛物线a x x y ++=22的顶点在x 轴的下方，则a 的取值范围是( )．1.>a A 1.<a B 1.≥a C 1.≤a D(3)已知抛物线)0()1(2=/+-=a h x a y 与x 轴交于)0,3(),0,(1B x A 两点，则线段AB 的长度为( )．1.A2.B3.C4.D3．设),2(),,1(),,2(321y C y B y A -是抛物线a x y ++-=2)1(上的三点，则321y y y 、、的大小关系为( )．321y y y A >>⋅ 231y y y B >>⋅ 123y y y C >>⋅ 213y y y D >>⋅4．(1)要得到4)3(22-+-=x y 的图像，需将抛物线22x y -=作如下平移( )．A ．向右平移3个单位，再向上平移4个单位B ．向右平移3个单位，再向下平移4个单位C ．向左平移3个单位，再向上平移4个单位D ．向左平移3个单位，再向下平移4个单位(2)已知22x y =的图像是抛物线，若抛物线不动，把x 轴、y 轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是( )．2)2(22+-=⋅x y A 2)2(22-+=⋅x y B 2)2(2.2--=x y C 2)2(22++=⋅x y D(3)顶点为（-5，-1），且开口方向、形状与函数231x y -=的图像相同的抛物线是( )． 1)5(312+-=⋅x y A 5312--=⋅x y B 1)5(312-+-=⋅x y C 1)5(312-+=⋅x y D5．二次函数322--=x x y 的最小值是 ，此时=x6．(1)请选择一组你喜欢的a 、b 、c 的值，使二次函数)0(2=/++=a c bx ax y 的图像同时满足下列条件：①开口向下，②当x<2时，y 随x 的增大而增大；当x>2时，y 随x 的增大而减小．这样的二次函数的解析式可以是(2)二次函数,542+-=mx x y 当2-<x 时，y 随x 的增大而减小；当2->x 时，y 随x 的增大而增 大，则当1-=x 时，y 的值是7．在同一平面直角坐标系中，一次函数b ax y +=和二次函数bx ax y +=2的图像可能为( )．8．已知，图22 -1-1所示是二次函数c bx ax y ++=2的图像，判断以下各式的值是正数还是负数．.)7(;)6(;2)5(;4)4(;)3(;)2(;)1(2c b a c b a b a ac b c b a +-+++-9．根据给定条件求出下列二次函数解析式： (1)已知二次函数图像的顶点是（-2，1），且过点(-1，-1)． (2)已知二次函数n mx x y ++=2的图像过(-4，O)，(-1，0).(3)二次函数c bx ax y ++=2的图像经过点(0，-1)，(3，2)，(1，- 2).能 力 提 升10.如图22 -1-2所示，在Rt△ABC 中，,3,5,90cm BC cm AB C ===∠动点P 从点A 出发，以每秒lcm 的速度，沿A →B →C 的方向运动，到达点C 时停止，设,2PC y =运动时间为t 秒，则能反映y 与t 之 间函数关系的大致图像是( )．11.如图22 -1-3所示，抛物线3)2(21-+=x a y 与1)3(2122+-=x y 交于点A(l ，3)，过点A 作x 轴的 平行线，分别交两条抛物线于点B 、C ．则以下结论：①无论x 取何值，y 。
学而思培优之圆(一)
◆ 圆的性质
O
1cm ③ ） ） ）
④圆周上的点到圆心的距离都等于半径 圆内的点到圆心的距离都小于半径 圆外的点到圆心的距离都大于半径
加油站 ◆ 圆的周长
①如何测量圆的周长呢？
【例2】（★★） 在这个城市有座教堂，教堂的屋顶有一个大钟，钟的 秒针长约2米，请问秒针顶点1分钟走多少米？ 1小时走多少米？（π取3.14）
神 奇 的
① 它居然是个 数！ ②它还是个无限不循环小数！ ②圆的周长公式：
π
C＝πd＝2πr
4
【例3】(★★) 记忆1π~25π（π取3.14） 1π＝ 6π＝ 11π＝ 16π＝ 21π＝ 2π＝ 7π＝ 12π＝ 17π＝ 22π＝ 3π＝ 8π＝ 13π＝ 18π＝ 23π＝ 4π＝ 9π＝ 14π＝ 19π＝ 24π＝ 5π＝ 10π＝ 15π＝ 20π＝ 25π＝
1
A
◆ 圆的性质
①半径处处相等，每条半径都连接圆心与圆周。
◆ 认识圆
什么决定了圆？
圆心：确定位置 半径：通常用 半径 通常用 r来表示 直径：通常用 d来表示
O
圆有无数条半径。
B 确定圆的大小 d＝2r
◆ 圆的性质 ◆ 圆的性质
③圆心是唯一的 ②直径 相等，每条直径都通过圆 ，连接圆周 的两点， ②直径处处相等，每条直径都通过圆心，连接圆周上的两点， 把圆分成相等的两部分。圆有无数条直径。 每条直径都是圆的对称轴，所以圆有无数条对称轴。 直 都
加油站 ◆ 认识圆
圆
圆（一） ◆ 认识圆
圆
生活中的圆： 生活中的圆
三角形
正方形
长方形
平行四边形
梯形
◆ 认识圆
圆
怎么画圆？
轴对称的认识(第一课时)PPT优选课件
M·D
∟
· · · MA=（MB），CA=（ CB ）. A
CB
2020/10/18
8
(3)角是轴对称图形.对称轴 是它的角平分线所在的直线.
射线OM平分∠AOB.
O
(4)角的平分线上的点到这 个角两边的距离相等.
如果射线OM平分∠AOB, 那么MC=MD.
∟
A C
〃 ·M 〃
DB
2020/10/18
汇报人：XXX 日期：20XX年XX月XX日
3. AM = BM
4. M
画出∠AOB的平分 线交MN于一点,这 点就是所求的点P.
O 点P为所求的点.
2020/10/18
B
P· N
A
7
（回忆）
(1)线段是轴对称图形,对称轴是 它的垂直平分线(或中垂线).
线段AB的对称轴是直线CD，CD垂直平分AB
(2)线段的垂直平分线上的点到这 条线段两个端点的距离相等.
③∠ABB′ =∠A′B′B.
④∠A′BB′ =∠AB′B.
⑤∠ACB=∠A′C′B′,
2020/10/18
⑥∠ACA′=∠BC′B′. 18
谢谢您的聆听与观看
THANK YOU FOR YOUR GUIDANCE.
感谢阅读！为了方便学习和使用，本文档的内容可以在下载后随意修改，调整和打印。欢迎下载！
∟
2020/10/18
14
做一 做
(2)如图,已知线段AB和直线l,试画出线 段AB关于直线l的对称线段A1B1.
l
∟
A·
·A1
∟
·
·
B
B1
20线20/1段0/18A1B1就是线段AB关于直线l的对称线段.15
第一节 函数及图像-学而思培优
第一节函数及图像-学而思培优第一节函数及图像一、课标导航二、核心纲要1.常量与变量在一个变化过程中，数值不变的量称为常量，数值变化的量称为变量。
2.函数的定义在某一变化过程中，如果有两个量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x称为自变量，y是x的函数。
如果当x=a时y=b，那么b 叫做当自变量的值为a时的函数值。
注：(1)“y有唯一值与x对应”是指在自变量的取值范围内，x每取一个确定的值，y都有唯一的值与之相对应，否则y不是x的函数；如：|y|=x，当x=3时，y=0，则y就不是x的函数；函数y=(x-3)²中，当x=4时，y=1，则y是x的函数。
2)判断两个变量是否有函数关系，不仅要有关系式，还要满足上述确定的对应关系，且书写函数关系式时有顺序性，如：y=-3x+1是表示y是x的函数，若写成x=-3y+1，则不是函数关系。
3)函数不是数，它是指在一个变化过程中两个变量之间的关系。
3.确定函数自变量取值范围的方法如果一个变量y只能通过一个自变量x的取值得到，那么y就是x的函数。
用y=f(x)表示，其中f(x)是函数符号，x是自变量，y是因变量。
例如，如果y=3x+2，则x是自变量，y是因变量，而3和2是常量。
4.函数的图像对于一个函数，如果把自变量x与函数的每对对应值y分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图像。
注：(1)满足函数解析式的有序实数对为坐标的点一定在函数图像上；(2)函数图像上点的坐标满足函数解析式。
5.画函数图像的方法——描点法描点法是一种画函数图像的方法，步骤如下：第一步：列表（表中随机取出一些自变量的值及其对应的函数值）；第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来，并表示出图像的趋势）。
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第一节 轴对称与轴对称图形一、课标导航二、核心纲要1.线段的垂直平分线（中垂线）(1)定义：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做线段的垂直平分线．(2)性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．(3)判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．(4)画法：分别以线段AB 两个端点为圆心，大于AB 21长为半径画弧，两弧交于两点C 、D ，作直线CD ，则直线CD 是线段AB 的垂直平分线（如右图所示）．2．轴对称(1)轴对称图形：如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫轴对称图形，这条直线是对称轴．注：①轴对称图形指的是一个图形，它被对称轴分成的两部分互相重合；②一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条；③对称轴是一条直线．(2)轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形完全重合，就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线是对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．(3)轴对称、轴对称图形的性质①关于某条直线对称的两个图形是全等形；②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； ③两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上； 注：轴对称图形一定是全等形，全等的图形不一定成轴对称．(4)轴对称作图①画图形的对称轴：找出轴对称图形的任意一组对称点，连接对称点，得到一条线段，作这条线段能垂直平分线即可．②画某点关于某直线的对称点过已知点作已知直线（对称轴）的垂线，标出垂足，在这条直线的另一侧从垂足出发在垂线上截取与已知点到垂足的距离相等的线段，截点就是这点关于该直线的对称点．③画已知图形关于某直线的对称图形画出图形的某些特殊点关于这条直线的对称点，把这些对称点顺次连接起来，就形成了一个符合条件的对称图形．(5)图形对称轴的作法：要作两个图形的对称轴，只要找到这两个图形的一对对应点，然后连接它们，得到一条线段，再作出这条线段的垂直平分线，这条垂直平分线就是这两个图形的对称轴．3．常见的轴对称图形(1)线段：两条对称轴，对称轴是线段的垂直平分线和线段本身所在直线：(2)角：一条对称轴，对称轴是角平分线所在直线．(3)圆：无数条对称轴，对称轴是经过圆心的直线．(4)正方形：四条对称轴，对角线所在直线及对边中点连线所在直线．(5)矩形：两条对称轴，对边中点连线所在直线．(6)菱形：两条对称轴，对角线所在直线．(7)等腰三角形：一条对称轴，底边中线（底边高线或顶角平分线）所在直线．(8)等边三形：三条对称轴，三边中线（高线或内角平分线）所在直线．本节重点讲解：两个性质（线段垂直平分线的性质，轴对称及轴对称图形的性质），三个定义（线段垂直平分线的定义，轴对称及轴对称图形）．三、全能突破基 础 演 练1．图13 -1-1所示的四个图案中，轴对称图形的个数是( )．1.A2.B3.C4.D2．如图13 -1-2所示，△ABC 和///C B A ∆关于直线L 对称，下列结论中：;///C B A ABC ∆≅∆①/BAC ∠② ;/AC B ∠=③L 垂直平分;/CC ④直线BC 和//C B 的交点不一定在直线L 上，正确的有( )．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个3．下列说法：①若直线PE 是线段AB 的垂直平分线，则;,E PB PA EB A ==②若,,FB EA PB PA ==则直线PE 是线段AB 垂直平分线；③若,PB PA =,EB EA =则AB 垂直平分PE ；④若,PB PA =则点P 必是线段AB 的垂直平分线上的点；⑤若,EB EA =则过点E 的直线垂直平分线段AB ．其中正确的个 数有( )．A.l 个 B ．2个 C ．3个 D ．4个4．图13 -1-3所示是某时刻在镜子中看到准确时钟的情况，则实际时间是5．如图13 -1-4所示，由5个小正方形组成的图形，请你用三种不同的方法，分别添画一个小正方形，使它成为轴对称图形．6．试画出下列正多边形的所有对称轴，并完成下面表格， 正多边形的边数 3 4 5 6 7对称轴的条数根据上表，猜想正n 边形有 条对称轴．7．根据要求作图，如图13 -1-6所示：(1)作点A 关于点B 的对称点；(2)作点C 关于直线AB 的对称点．能 力 提 升8．已知点P 在线段AB 的中垂线上，点Q 在线段AB 的中垂线外，则( )．QB QA PB PA A +>+. QB QA PB PA B +<+.QB QA PB PA C +⋅=+. D ．不能确定9．到平面上三点A 、B 、C 距离相等的点有( )．A ．只有一个B ．有两个C ．有三个或三个以上D ．有一个或没有10.如图13 -1-7所示，在△ABC 中，,105=∠A AE 的垂直平分线MN 交BE 于点C ，且,BE BC AB =+则 B ∠的度数是( )．45.A o B 60. 50.C 55.D11.如图13 -1-8所示，一平面镜以与水平面成45角固定在水平面上，一个小球以1m/s 的速度沿水平面 向点0匀速滚去，则小球在平面镜中的像是( )．A ．以Im/s 的速度，做竖直向上运动B ．以Im/s 的速度，做竖直向下运动C ．以1.5m/s 的速度运动，且运动路线与地面成045角D ．以2 m/s 的速度，做竖直向下运动12.如图13 -1-9所示，D 是线段AB 、BC 垂直平分线的交点，若,150=∠ABC 则∠ADC 的大小是( )． o A 60. 70.B 75.C 80.D13．在△ABC 中，AB 、AC 的垂直平分线分别交BC 于点E 、F ，若=∠=∠EAF BAC 则,11514.如图13 -1-10所示，在△ABC 中，AD ABC ,45 =∠是BAC ∠的平分线，EF 垂直平分AD ，交BC 的延长线于F ，则=∠CAF15．图13 -1-11所示是跳棋盘，其中格点上的黑色点为棋子，剩余的格点上没有棋子，我们约定跳棋游戏的规则是：把跳棋棋子放在棋盘内，沿着棋子对称跳行，跳行一次称为一步．已知点A 为一方一枚棋子，欲将棋子A 跳进对方区域（阴影部分的格点），则跳行的最少步数为 步．16.小强用火柴棒在桌上摆了一个不正确的等式，如图13 -1-12所示，你有没有什么办法，在不移动火柴棒的情况下，使桌面出现一个正确的等式？17．(1)如图13 -1-13所示，已知∠AOB 和C 、D 两点，求作一点P ，使,PD PC =且P 到AOB ∠两边的距离相等．(2)有一张矩形纸片ABCD ，如图13 -1-14所示，上面画有一个角的两边m 、n ，但是这个角的顶点P 在纸片的外部，试在纸片上作出∠P 的平分线来．18．如图13 -1-15所示，在△ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，ABD cm AE ∆=,3的周长为13cm ，求△ABC 的周长．19.如图13 -1-16所示，在△ABC 中，,,BC AD AC AB ⊥>垂足为点D ，P 为AD 上任一点，求证：-PB.AC AB PC ->20．如图13 -1-17所示，在不等边△ABC 中，AB AC AB ,3,2==的垂直平分线交BC 边于点E ，AC 的垂直平分线交BC 边于点N ．(1)若BC 边长为整数，则△AEN 的周长为 . (2)①若,70=∠BAC 则∠EAN 的度数为 ；②若,100 =∠BAC 则∠EAN 的度数为 ；③若,90 =/∠BAC 请直接写出EAN BAC ∠∠与之间的数量关系，并画出相应的图形．21．如图13 -1-18所示，,2,//AD CD BC AD =过点D 作,//AB DE 交∠BCD 的平分线于点E ，连接BE ，延长DE 交BC 于.2,CF CD F =(1)求证：.CD BC =(2)将△BCE 绕点C 顺时针旋转90得到△DCG ，连接EG.求证：CD 垂直平分EG ．(3)延长BE 交CD 于点P ，求证：P 是CD 的中点，中 考 链 接22．(1)（2012．内江）如图13 -1-19所示，在矩形ABCD 中，,5,10==BC AB 点E 、F 分别在AB 、CD上，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点A 、D 分别落在长方形ABCD 外部的点11D A 、处，则阴影部分图形的周长为( )．15.A 20.B 25.C 30.D(2)（2012．台湾）图13-1-20(a)所示的长方形ABCD 中，E 点在AD 上，且.2AE BE =分别以BE 、CE 为折线，将点A 、D 向BC 的方向折过去，图13-1-20 (b)为对折后A 、B 、c 、D 、E 五点均在同一平面上的位置图，若图13-1-20(b)中，,15oAED =∠则BCE ∠的度数为何？( ) 30.A 5.32.B 35.C 5.37.D23.（2012．丽水）图13 -1- 21所示是一台球桌面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在图中所示位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入球洞的序号是( )A.① B ．② C ．⑤ D ．⑥巅 峰 突 破24.如果直线21l l 、相交成30的角，交点为0，P 为平面上任意一点，若作点P 关于1l 的对称点1p 是第1次，再作点1p 关于2l 的对称点2p 是第2次，以后继续轮流作关于21l l 、的对称点．那么经过 次后，能回到点P ．25.如图.13 -1- 22所示，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格纸中有与△ABC 成轴对称且以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有 个，请在下面所的格纸中一一画出．（所给的六个格纸未必全用）．26.某台球桌面为图13 -1- 23所示的长方形ABCD ，小球从A 沿45角击出，恰好经过5次碰撞到B 处，则 AD AB :（ ）2:1.A 3:2.B 5:2.C 5:3.D。