组合数学第三章习题解答剖析

(a) C(n m, n k) C(n m, k m) (a)从n个元素中取k个元素的组合，总含m个指定的元素的组合 数为C(n-m,k-m),设这m个元素为a1,a2,...,am.Ai为不含ai的组 合，i=1,2,...,m
Ai C(n 1, k) Ai1 Ai2 ... Ail C(n l, k)
第三章习题
3.1 某甲参加一种会议，会上有6位朋友，某甲和其中每人在会 上各相遇12次，每二人各相遇6次，每三人各相遇4次，每四人 各相遇3次，每五人各相遇2次，每六人各相遇一次，1人也没 有遇见的有5次，问某甲共参加了几次会议？
1．解 设Ai为甲与第i个朋友相遇的会议集，i＝1，…，6．则
6
Ai 12 C(6,1)
C(m l 1, m i) Ai1
Ai Ni Ai ,i 1,2,...,l
A0 N0 A0 N0 A1 N0 (N1 A1 ) ... N0 N1 N2 ... (1)l Nl C(m l, m) C(m l, m 1) C(m l, m 2) ... C(m l, m l)
A1 A2 ... Ak C(n m l 1,l) C(n m,1)C(n m l 2,l)
C(n m,2)C(n m l 3,l) ... (1)nm C(n m, n m)C(l 1,l)
n-m
(1) j C(n m, j)(n m j l 1,l)
3.4 试给下列等式以组合意义
m
(a) C(n m, n k) (1)l C(m,l)C(n l, k), n k m i0 nm
(b) C(l 1, n m 1) (1) j C(n m, j)C(n m j l 1,l) j0
(c) C(m l 1, m 1) C(m l, m) C(m l, m 1) C(m l, m 2) ... (1)l C(m l, m l)
i 1
Ai 12C(6,1) 6C(6,2) 4C(6,3) 3C(6,4) 2C(6,5) C(6,6) 72 90 80 45 12 1 28
28 5 33
共33次会议
2.求从1到500的整数中被3和5整除但不被7整除的数的个 数.
解 设A3：被3整除的数的集合 A5：被5整除的数的集合 A7：被7整除的数的集合
Ai1 Ai2 ... Aim C(n, k) C(m,1)C(n 1, k) C(m,2)C(n 2, k) ...
(1)m C(m, m)C(n m, k)
m
(1)l C(m,l)(n l, k)
i1
( b )令k＝n－m．l个相同的球放入k个不同的盒子里．每盒不 空的方案数为C(n-m+l-n+m-1,l-n+m)=C(l-1,n-m-1)。设Ai 为第i个盒子为空的方案集，i=1,2,…,k.
P1 P2 P3 P4 P5 {1,...,326}
因为32651 1 66,因此必存在有一子集含66个元素 不妨设为P1
设这66个元素为a1<a2<a3<...<a66
构造b1=a2-a1, b2=a3-a1,…, b65=a66-a1,
令B={b1,b2,…,b65}
这65个元素属于1到326，如果这65个元素有任何一个属于P1， 则定理得证。
显然，每列中必有两数字相同，共有C(3,2)种模式，有０或１两 种选择．故共有C(3,2)·2种选择。C(3,2)·2=6．现有7列，即必 有２列在相同的两行选择相同的数字，即有一矩形，四角的数 字相等．
3.6 在边长为1的正方形内任取5点，试证其中至少有两点，其间 距离小于 2 证 把１×2１正方形分成四个相等的小正 方形．如下图：
证明：一个数是不是10的倍数取决于这个数的个位数是不是0， 是 0就是10的倍数。 一个数的个位数只可能是0,1,...,9十个数，任取11个数，其中必 有两个个位数相同，那么这两个数的差的个位数必然是0。
3.9 把从1到326的326个整数任意分为5个部分，试证其中有一部 分至少有一个数是某两个数之和，或是另一个数的两倍。 证明：用反证法，设存在划分。
A7 A5 A3 A5 A3 A7 A5 A3
500 3 5
3
500 5
7
33
4
29
3. n代表参加会议，试证其中至少有2人各自的朋友数相等。
解：每个Βιβλιοθήκη Baidu的朋友数只能取0，1，…，n－1．以下分两种 情况讨论。
若有人的朋友数为0，即此人和其他人都不认识，则其他n1个人的最大取数不超过n－2．必有两人认识人数相等。 若没有人的朋友数为0，则这n个人的朋友数的实际取数只 有n－1种可能．所以至少有２人的朋友数相等。
j1
l个相同的球放入n个不同的盒子里，指定的m个盒子为空，其他 盒子不空的方案数为C(l-1,n-m-1)
( c ) 设Ai为m+l个元素中取m+i个，含特定元素a的方案集；Ni 为m+l个元素中取m+i个的方案数．则：
Ni C(m l, m i) Ai C(m l 1, m i 1) Ai Ni Ai C(m l, m i) C(m l 1, m i 1)
则这５点中必有两点落在同一个小正方形 内．而小正方形内的任两点的距离都小于
(1)2 (1)2 2 22 2
3.7 在边长为1的等边三角形内任取5点，试证至少有两点距离 小于1/2
证把边长为１的三角形分成四个边长为－的三角形，如下图： 则这５点中必有两点落在同一个小三角 形中．
3.8 任取11个数，求证其中至少有两个数它们的差是10的倍数。
3.5 设有3个7位的二进制数 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7, b1 b2 b3 b4 b5 b6 b7, c1 c2 c3 c4 c5 c6 c7,
试证存在整数i和j，1≤i<j≤7，使得下列之一必然成立： ai=aj=bi=bj,ai=aj=ci=cj,bi=bj=ci=cj
证明：