《概率论与数理统计》习题及答案第八章

《概率论与数理统计》习题及答案

第 八 章

1．设12,,

,n X X X 是从总体X 中抽出的样本，假设X 服从参数为λ的

指数分布，λ未知，给定00λ>和显著性水平(01)αα<<，试求假设

00:H λλ≥的2χ检验统计量及否定域.

解 00:H λλ≥ 选统计量 2

001

22n

i

i X

nX χλλ===∑

记

2

1

2n

i

i X

χλ

==∑

则2

2

~(2)n χχ，对于给定的显著性水平α，查2

χ分布表求出临界值2

(2)n αχ，

使

22

((2))P n αχχα≥=

因 22

χχ>，所以2222((2))((2))n n ααχχχχ≥⊃≥，从而 2222

{(2)}{(2)}P n P n αααχχχχ=≥≥≥ 可见00:H λλ≥的否定域为22

(2)n αχχ≥.

2．某种零件的尺寸方差为2

1.21σ=，对一批这类零件检查6件得尺寸数据（毫米）：3

2.56, 29.66, 31.64, 30.00, 21.87, 31.03。设零件尺寸服从正态分布，问这批零件的平均尺寸能否认为是32.50毫米（0.05α=）.

解 问题是在2

σ已知的条件下检验假设0:32.50H μ= 0H 的否定域为/2||u u α≥ 其中

29.4632.50

2.45 6.771.1

X u -=

=

⨯=-

0.025

1.96u =，因|| 6.77 1.96u =>，所以否定0H ，即不能认为平均尺寸是3

2.5

毫米。

3．设某产品的指标服从正态分布，它的标准差为100σ=，今抽了一个容量为26的样本，计算平均值1580，问在显著性水平0.05α=下，能否认为这批

产品的指标的期望值μ不低于1600。

解 问题是在2

σ已知的条件下检验假设0:1600H μ≥

0H 的否定域为/2u u α<-，其中 15801600

5.1 1.02100X u -==⨯=-.

0.05

1.64u -=-.

因为0.051.02 1.64u u =->-=-，所以接受0H ，即可以认为这批产品的指标的期望值μ不低于1600.

4．一种元件，要求其使用寿命不低于1000小时，现在从这批元件中任取25件，测得其寿命平均值为950小时，已知该元件寿命服从标准差为100σ=小时的正态分布，问这批元件是否合格？（0.05α=）

解 设元件寿命为X ，则2

~(,100)X N μ，问题是检验假设

0:1000H μ≥. 0H 的否定域为0.05u u ≤-，其中

9501000

5 2.5100

X u -=

=

⨯=-

0.05 1.64u = 因为

0.052.5 1.64u u =-<-= 所以否定0H ，即元件不合格.

5．某批矿砂的5个样品中镍含量经测定为(%)X ： 3.25,3.27,3.24,3.26,3.24

设测定值服从正态分布，问能否认为这批矿砂的镍含量为3.25(0.01)α=？

解 问题是在2

σ未知的条件下检验假设0: 3.25H μ=

0H 的否定域为 /2||(4)t t α>

52

2

1

13.252,(5)0.00017,

0.0134i i X S X X S ===-⨯==∑

0.005(4) 4.6041t =

3.252 3.25

2.240.3450.013

X t -==⨯=

因为

0.005||0.345 4.6041(4)t t =<=

所以接受0H ，即可以认为这批矿砂的镍含量为3.25.

6．糖厂用自动打包机打包，每包标准重量为100公斤，每天开工后要检验一次打包机工作是否正常，某日开工后测得9包重量（单位：公斤）如下： 99.3,98.7,100.5,101.2,98.3,99.7,99.5,102.1,100.5 问该日打包机工作是否正常（0.05α=；已知包重服从正态分布）？

解 99.98X =，92

2

1

1(()) 1.478i i S X X ==-=∑， 1.21S =，

问题是检验假设0:100H μ=

0H 的否定域为/2||(8)t t α≥. 其中

99.98100

30.051.21

X t -==⨯=-

0.025(8) 2.306t =

因为

0.025||0.05 2.306(8)t t =<= 所以接受0H ，即该日打包机工作正常.

7．按照规定，每100克罐头番茄汁中，维生素C 的含量不得少于21毫克，现从某厂生产的一批罐头中抽取17个，测得维生素C 的含量（单位：毫克）如下

22,21,20,23,21,19,15,13,16, 23,17,20,29,18,22,16,25.

已知维生素C 的含量服从正态分布，试检验这批罐头的维生素含量是否合格。

(0.025)α=

解 设X 为维生素C 的含量，则2

~(,)X N μσ，2

20,419.625X S ==，

20.485S =，17n =. 问题是检验假设0:21.H μ≥

（1）0:21H μ≥.

（2）选择统计量t 并计算其值：

0.20X t =

==- （3）对于给定的0.025α=查t 分布表求出临界值0.025()(16) 2.2t n t α==.

（4）因为0.025(16) 2.200.20t t -=-<-=。所以接受0H ，即认为维生素含量合格.

8．某种合金弦的抗拉强度2

~(,)X N μσ，由过去的经验知10560μ≤（公斤/厘米2

），今用新工艺生产了一批弦线，随机取10根作抗拉试验，测得数据如