高数 方向导数与梯度 知识点与例题精讲

例 5 求函数 u x2 2 y2 3z2 3x 2 y 在点 (1,1,2)处的梯度，并问在 哪些点处梯度为零？
解 由梯度计算公式得
gradu(
x,
y,
z
)

u
i

u
j

u
Baidu Nhomakorabea
k
x y z
(2x 3)i (4 y 2) j 6zk,
P 梯度为等高线上的法向量
f ( x, y) c 等高线
f ( x, y) c1
o
x
梯度与等高线的关系： 函数 z f (x, y) 在点 P(x, y) 的梯度的方向与点P 的等 高线 f (x, y) c 在这点的法 线的一个方向相同，且从数 值较低的等高线指向数值较 高的等高线，而梯度的模等 于函数在这个法线方向的方 向导数．
偏导数存在
f •
grad
f
l
0
梯度在方向 l 上的投影.
l
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思考题
讨论函数z f ( x, y) x2 y2 在(0,0)
点处的偏导数是否存在？方向导数是否存在？
思考题解答
z
f (x,0) f (0,0)
x
(0,0)

lim
x0
方向导数与梯度
一、问题的提出 二、方向导数的定义 三、梯度的概念 四、小结 思考题
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一、问题的提出
实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是 (1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有一个 火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的 温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一 个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快 到达较凉快的地点？
故 gradu(1,1,2) 5i 2 j 12k.
在
P0
(

3 2
,
1 2
,0)
处梯度为
0.
四、小结
1、方向导数的概念
（注意方向导数与一般所说偏导数的区别）
2、梯度的概念
（注意梯度是一个向量）
3、方向导数与梯度的关系
梯度的方向就是函数 f ( x, y) 在这点增长 最快的方向.
都存在，且有
f f cos f sin
l x
y
，
f cos f cos
x
y
其中 为 x轴到方向 L 的转角．
证明 由于函数可微，则增量可表示为
f (x x, y y) f (x, y) f x f y o( )
x y
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1. 定义
向量 G 称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度 (gradient), 记作grad f , 即
f , f , f x y z
同样可定义二元函数
在点P( x, y) 处的梯度
说明: 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影. 2. 梯度的几何意义
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设e cos

i cos
j 是方向
l 上的单位向量，
由方向导数公式知
f f cos f cos {f , f } {cos ,cos }
l x
y
x y
gradf ( x, y) e | gradf ( x, y) | cos ,


f y

2
.
gradf P
当f 不为零时， x
gradf
f
x 轴到梯度的转角的正切为 tan

y ． f
x
在几何上 z f ( x, y) 表示一个曲面
曲面被平面 z c
所截得
z z

f c
(
x,
y) ,
所得曲线在xoy面上投影如图
y f ( x, y) c2 gradf ( x, y)
为 ,并设 P( x x, y y) o
x
为 l 上的另一点且 P U ( p). （如图）
| PP | (x)2 (y)2 ,
且 z f ( x x, y y) f ( x, y), 考虑 z ,
当 P沿着 l 趋于P时，
lim f ( x x, y y) f ( x, y) 是否存在？
0

定义 函数的增量 f ( x x, y y) f ( x, y) 与
PP 两点间的距离 (x)2 (y)2 之比值， 当 P 沿着 l 趋于 P 时，如果此比的极限存在， 则称这极限为函数在点P 沿方向 l 的方向导数．
记为 f lim f ( x x, y y) f ( x, y) .
3. 梯度的基本运算公式 (2) grad (C u) C grad u (4) grad ( u v ) u grad v v grad u
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例4.
处矢径 r 的模 , 试证
证:
f (r)
x x2 y2 z2

f (r) x r
f
l 0

依y 轴定正义向，e函2 数 {f0(,1x},的y)方在向点导P数沿分着别x为轴正f x向, fey1； {1,0}、
沿着x 轴负向、y 轴负向的方向导数是 f x , f y .
定理 如果函数 z f ( x, y)在点 P( x, y)是可微
分的，那末函数在该点沿任意方向 L 的方向导数
l
函数沿 l 的方向导数
f l
M

fx
cos
fy
cos
fz
cos
( 1 ,1 ,1 )
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(2) grad f M (2 , 1 , 0)
cos
l
l
arccos 6 130
f l M
grad f M
解 由方向导数的计算公式知
f l
(1,1)

f x (1,1)cos

f y (1,1)sin
(2x y) cos (2 y x) sin ,
(1,1)
(1,1)
cos sin 2 sin( ),
故
4
（1）当 时， 4
方向导数达到最大值
其中 ( gradf ( x, y), e)
当
cos(
gradf
(
x,
y),
e)

f 1时， l
有最大值.
结论 函数在某点的梯度是这样一个向量，它的
方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为
方向导数的最大值．梯度的模为
| gradf ( x, y) |

f x
2
1. 方向导数
• 三元函数
在点
沿方向 l (方向角
为 , , ) 的方向导数为
f f cos f cos f cos
l x
y
z
• 二元函数
在点
沿方向 l (方向角为
, )的方向导数为
f f cos f cos
(r) y

f (r)
y r
,
f (r) f (r) z
z
r

grad
f
(r )

f
(r)
i

f (r)
j


f
(r)
k
z
x
y
z
P

f (r)1 ( x
i
y
jz
k)
r
r
o
y
f (r ) 1 r f (r ) r0
x
r
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l x
y
z
令向量 G f , f , f x y z
l 0 (cos , cos , cos )
当 l 0 与 G 方向一致时, 方向导数取最大值：
max f G
l
这说明
G:
方向：f 变化率最大的方向 模 : f 的最大变化率之值
y (1,0)
(1,0)
所求方向导数
z l
cos( ) 2sin( )
4
4


2. 2
例 2 求函数 f ( x, y) x2 xy y2在点（1，1）
沿与 x轴方向夹角为 的方向射线l 的方向导数.并
问在怎样的方向上此方向导 数有
（1）最大值； （2）最小值； （3）等于零？
l 0

（ 其中 (x)2 (y)2 (z)2 ）
设方向 L 的方向角为 , ,
x cos , y cos , z cos ,
同理：当函数在此点可微时，那末函数在该点 沿任意方向 L 的方向导数都存在，且有
f f cos f cos f cos .
x
y
例 1 求函数 z xe2 y 在点P(1,0) 处沿从点P(1,0)
到点Q(2,1) 的方向的方向导数.

解 这里方向l 即为PQ {1,1},
故 x轴到方向l 的转角


.
4
z e2 y 1;
x (1,0)
(1,0)
z 2 xe2 y 2,
两边同除以 , 得到
f ( x x, y y) f ( x, y) f x f y o( )

x y
故有方向导数
cos sin
f lim f ( x x, y y) f ( x, y)
l 0

f cos f sin .
问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向 （即梯度方向）爬行．
二、方向导数的定义
讨论函数 z f ( x, y)在一点P沿某一方向
的变化率问题．
设函数 z f (x, y) 在点
y
l
P(x, y)的某一邻域U(P)
P
y
内有定义，自点P 引射线 l．


x
P
设 x 轴正向到射线l 的转角
l x
y
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2. 梯度 • 三元函数
在点
处的梯度为
grad f f , f , f x y z
• 二元函数
在点
处的梯度为
grad f ( fx ( x, y) , f y( x, y)) 3. 关系
• 可微
方向导数存在
类似地,设曲面 f ( x, y, z) c为函数u f ( x, y, z) 的等量面，此函数在点P( x, y, z)的梯度的方向与 过点 P 的等量面 f ( x, y, z) c在这点的法线的一
个方向相同，且从数值较低的等量面指向数值较 高的等量面，而梯度的模等于函数在这个法线方 向的方向导数.
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练习题:1. 函数
在点
处的梯度
2 (1, 2, 2) 9
解:
则 注意 x , y , z 具有轮换对称性
故沿任意方向的方向导数均存在且相等.
练习
1. 设函数 (1) 求函数在点 M ( 1, 1, 1 ) 处沿曲线
在该点切线方向的方向导数; (2) 求函数在 M( 1, 1, 1 ) 处的梯度与(1)中切线方向
的夹角 .
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解答提示:
1. (1)
曲线
在点
M (1,1,1) 处切线的方向向量
2;
（2）当 5 时， 4
方向导数达到最小值
2;
（3）当 3 和 7 时， 方向导数等于 0.
4
4
推广可得三元函数方向导数的定义
对于三元函数u f ( x, y, z)，它在空间一点 P( x, y, z)沿着方向 L 的方向导数 ，可定义
为
f lim f ( x x, y y, z z) f ( x, y, z) ,
l x
y
z
例3. 求函数
在点 P(1, 1, 1) 沿向量
3) 的方向导数 .
解: 向量 l 的方向余弦为
u 2x yz 2
l P
14
x2 y 3 14
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三、梯度的概念
方向导数公式 f f cos f cos f cos
x
lim | x |. x0 x
同理：z y
(0,0)

lim |
y0
y | y
故两个偏导数均不存在.
沿任意方向l { x, y, z}的方向导数,
z l
(0,0)

lim
0
f (x,y)

f (0,0)
lim (x)2 (y)2 1 0 (x)2 (y)2