第六章 静定结构的位移计算
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03-讲义：6.6 静定结构温度变化时的位移计算
第六节 静定结构温度变化时的位移计算对于静定结构，杆件周围温度发生改变时，并不引起结构产生内力，但由于材料随着温度变化而发生膨胀或收缩，这会引起截面的应变，即温度应变，从而使结构产生位移和变形。
首先推导静定结构在温度变化影响下位移的计算公式。
如图6-35(a)所示某刚架，设杆件的外侧温度上升1t (℃)，内侧温度上升2t (℃)，求由于温度改变引起K 截面竖向位移K t ∆。
根据单位荷载法求位移的思路，虚设的单位荷载状态如图6-35(b)所示。
在结构位移计算的一般公式（6-12）中，若仅考虑温度变化引起的位移，式（6-12）可表示为：S N kt t t t M ds F ds F ds κγε∆=++∑∑∑⎰⎰⎰ （6-28a ）式中，t t t κγε、、分别为实际位移状态中由温度变化引起的微段ds 的弯曲曲率、平均剪切应变和轴向应变，这可以根据微段上温度改变情况来确定。
图6-35 静定结构由温度变化引起的位移计算(a)实际位移状态(b)单位荷载状态(c) 温度引起ds 微段变形从实际位移状态中取微段ds 分析，如图6-35(c)所示，假设温度变化沿杆截面厚度方向为线性分布。
此时，杆件轴线处温度变化0t 及上下边缘温度改变的差值t ∆分别为：12210h t h t t h+=， 21-t t t ∆= （6-28b ） 式中，h 是杆件截面厚度，1h 和2h 分别是杆轴至截面上、下边缘的距离。
如果杆件的截面是对称截面，则21/2h h h ==，021()/2t t t =+。
对微段ds ，温度变化引起的轴向变形和弯曲变形分别为：0t t du ds t ds εα== （6-28c ）()2121t t t t t ds t ds tds d ds h h h ααααϕκ--∆==== （6-28d ）式中，α为材料的线膨胀系数。
对于杆件结构，温度变化并不引起剪切变形，即：0t t d ds ηγ== （6-28e ）将式(6-28c)至(6-28e)代入式(6-28a)，可得静定结构由温度变化引起位移的计算公式： 00N N kt tds t M F t ds Mds t F ds h h αααα∆∆∆=+=+∑∑∑∑⎰⎰⎰⎰ （6-29a ） 式（6-29a ）中，积分N F ds ⎰表示单位荷载作用下轴力图N F 的面积，积分Mds ⎰表示单位荷载作用下弯矩图M 的面积，分别记为： N N F A F ds =⎰，M A Mds =⎰因此，式（6-29a ）也可表示为： 0F Nkt M tA t A h αα∆∆=+∑∑ （6-29b ） 式(6-29)中，轴力N F 以拉伸为正，0t 以升高为正。
静定结构的位移计算—结构位移公式及应用(工程力学课件)
【例4】求图示桁架k点水平位移. (各杆EA相同)
P
P
0
NP 0
P a
2P k
a
1
1 2 2 Ni
Δ= FN FNP l
EA
1
1
解：
kx
1 [(1)(P)a EA
(1)( P )a
2 2P 2a] 2(1 2) Pa () EA
ds
FN FNP EA
ds
1. 梁和刚架
在梁和刚架中，由于轴向变形及剪切变形产 生的位移可以忽略，故位移计算公式为：
2. 桁架
Δ=
MMP EI
ds
Δ=
FN FNP ds FN FNP ds FN FNPl
EA
EA
EA
1
MMP EI
ds
kFQ FQP GA
ds
FN FNP EA
ds
若结构只有荷载作用，则位移计算一般公式为：
1 (M ds FQ 0 FN )ds
MP
EI
0
kFQ P GA
FNP
EA
1
MMP EI
ds
kFQ FQP GA
ds
FN FNP EA
ds
适用条件：小变形、线弹性
➢ 正负号规则
1
MMP EI
ds
kFQ FQP GA
ds
FN FNP EA
M、FQ、FN、FRK ：单位载荷 FP1 1在结构中产生
的内力和支座反力
➢ 单位荷载法
一次计算一种位移
求绝对位移!
BF
C
D
q
实际状态
（位移状态）
CH求、CV、C
6静定结构位移计算
D
求CD杆相对转角位移
求AB两点 的相对位移
l
1/l
19
1/l 求AB两点 连线的转角
§6-4 制造误差产生的位移计算
制造误差产生的位移采用刚体的虚力原理计算。
例：图示桁架AC杆比要求的短了2cm,求由此产生的C 点水平位移 。
解：在C点作用一水平单位力，方向朝左，求出AC杆的内力， 令虚设的力到真实的位移上去做功，由虚功方程有 ：
其中：
M
N
— 由虚设单位力产生的轴力图面积
— 由虚设单位力产生的弯矩图面积
26
§6-5 温度作用时的计算
正负号的规定：虚力状态中的变形与温度改变产生的 变形方向一致时，取正号，反之取负号。 例：图示三铰刚架，室内温度 比原来升高了300，室外 温度没有变化，求C点的 00 竖向位移 CV ，杆件的截 面为矩形，高度h为常数， 材料的膨胀系数为 。
真实的位移状态
FYA FXB
A
L/2 L/2
B
14
b
a
L
§6-2 支座移动产生的位移计算
1 1 FYA FXB 4 2 1 1 b a CV ( b a) 2 4 2 4
（2）求C点的相对转角 Fp=1
C
虚设的力状态
C
YA
在C点作用一对力矩，求出 F 和 FXB 。 C
FX X FP P 0
bP FX FP X 0 aX b b FX FP 0 FX FP a a
δX =1，δP=b/a
FX
ΔX1
Δ δP P
b FX 1 FP P 0 FX FP FP a
静定结构的位移计算—结构位移计算的一般公式(建筑力学)
2.计算公式
W外 P Ri ci
根据虚功原理得：
W内 Md Qds Ndu
Md Qds Ndu Ri ci
①求线位移 其虚拟状态的外荷载为与所求线位移同位 置、同方向的一个单位集中力。 ②求角位移 其虚拟状态的外荷载为与所求角位移同位 置的一个单位力偶。
求线位移
求角位移
ห้องสมุดไป่ตู้
位移计算的两种状态
③求相对线位移
其虚拟状态的外荷载为与所求相对线位移
的两点连线共线、方向相反的一对单位集中力。
④求相对角位移
其虚拟状态的外荷载为作用在所求相对角 位移的两个截面位置处的一对转向相反的单位 力偶。
②结构任一微元体变形
轴向变形 du、切向变形 、ds角位移 。d
位移计算的两种状态
2.虚拟状态（受力状态）
指结构在某种因素（荷载、温度变化、支座位移等）作用下产生位移的之前所处的受力平衡 状态。该平衡状态一般是未知的，它并不影响实际的结构位移，通常可以随意假设，因此也称为 虚拟状态。通常假设虚拟状态的外荷载为与所求位移对应的单位荷载。具体对应关系如下：
虚功原理
1.实功与虚功
（1）实功：力×位移（位移由做功的力引起） （2）虚功：力×位移（位移由其它因素引起）
2.虚功原理 W外 W内
位移计算的两种状态
1.实际状态（位移状态）
指结构在某种因素（荷载、温度变化、支座位移等）作用下产生位移的时刻所处的状态。此 时，结构位移和变形表示为：
①支座的位移
水平位移 c1、竖向位移 、c2转角 。 c3
M
求相对线位移
虚拟状态中，由外荷载引起的支座反力和内力分别记为：
支座反力：水平反力 R、1 竖向反力 、R 2支座转角 。R3 内力：弯矩 M、剪力 、Q轴力 。N
W外 P Ri ci
根据虚功原理得：
W内 Md Qds Ndu
Md Qds Ndu Ri ci
①求线位移 其虚拟状态的外荷载为与所求线位移同位 置、同方向的一个单位集中力。 ②求角位移 其虚拟状态的外荷载为与所求角位移同位 置的一个单位力偶。
求线位移
求角位移
ห้องสมุดไป่ตู้
位移计算的两种状态
③求相对线位移
其虚拟状态的外荷载为与所求相对线位移
的两点连线共线、方向相反的一对单位集中力。
④求相对角位移
其虚拟状态的外荷载为作用在所求相对角 位移的两个截面位置处的一对转向相反的单位 力偶。
②结构任一微元体变形
轴向变形 du、切向变形 、ds角位移 。d
位移计算的两种状态
2.虚拟状态（受力状态）
指结构在某种因素（荷载、温度变化、支座位移等）作用下产生位移的之前所处的受力平衡 状态。该平衡状态一般是未知的，它并不影响实际的结构位移，通常可以随意假设，因此也称为 虚拟状态。通常假设虚拟状态的外荷载为与所求位移对应的单位荷载。具体对应关系如下：
虚功原理
1.实功与虚功
（1）实功：力×位移（位移由做功的力引起） （2）虚功：力×位移（位移由其它因素引起）
2.虚功原理 W外 W内
位移计算的两种状态
1.实际状态（位移状态）
指结构在某种因素（荷载、温度变化、支座位移等）作用下产生位移的时刻所处的状态。此 时，结构位移和变形表示为：
①支座的位移
水平位移 c1、竖向位移 、c2转角 。 c3
M
求相对线位移
虚拟状态中，由外荷载引起的支座反力和内力分别记为：
支座反力：水平反力 R、1 竖向反力 、R 2支座转角 。R3 内力：弯矩 M、剪力 、Q轴力 。N
第6章 静定结构位移计算
二、 单位荷载法 1、定义：在所求点所在位移方向加上单位 力，将实际状态的真实位移视作虚拟平衡状态的 虚位移。应用虚功原理，通过加单位荷载求实际 位移的方法。 2、计算结构位移的一般公式
F K+ FRiCi= M d + FNdu + FQdv
式中， F =1 则
六．线弹性体系的特征 1）结构的变形与其作用力成正比
若单位力P1=1作用下产生
的位移δ ，则力P作用下在 K处产生的位移为Pδ
2）结构的变形或位移服从叠加原理
P1
P2
Pi
K Δ
Pn
δ K i 表示Pi=1时 在K处产生的位移。
Δ= P1 K 1 P2 K 2 Pn Kn
P
i i 1
n
Ki
6.2 变形体系的虚功原理 一、变形体的虚功原理 功：力对物体作用的累计效果的度量。 功=力×力作用点沿力方向上的位移 实功 ：力在自身引起的位移上所作的功 静力荷载：荷载由零逐渐以微小的增量缓慢地增加 到最终值。结构在静力加载过程中，荷载及内力始 终保持平衡。
虚功： 力在其他因素引起的位移上作的功 其特点是位移与作功的力无关，在作功的过程 中，力的大小保持不变 梁弯曲后，再在点2处加静力荷载FP2，梁产生新 的弯曲。位移△12为力FP2引起的FP1的作用点沿FP1 方向的位移。力FP1在位移△12 上作了功，为虚功， 大小为 W12=FP1△12，此时力不随位移而变化，是 常力。
单位广义力有截然相反的两种设向，计算出的 广义位移则有正负之分： 正值表示广义位移的方向与广义力所设的指向相同 负值表示广义位移的方向与广义力所设的指向相反
力的虚设方法
Fp=1 C Fp=1 B C
6 静定结构的位移计算1
C F =1·ΔK +
Ri i
C F (a)
Ri i
首先在图6.5(a)上取ds微段，其上由于单位荷载1所 产生的内力FN 、M、FS作用下所引起的相应变形为du、 dφ、γds分别如图6.5(c)、(d)、(e)所示，其计算式分别为
第六章 静定结构的位移计算
第六章 静定结构的位移计算
刚性杆中，取微段ds设为变形体，分析局部变形所引起的 ds 位移。
ds du ds
d
ds
i
d
d
R
d
i
R
d
d
1 （1）三种变形： R
（2）微段两端相对位移：
du ds
ds d ds R
ds
6.4 静定结构在荷载作用下的位移计算
利用上式计算静定结构在荷载作用下的位移时，
第六章 静定结构的位移计算
广义力与广义位移
作功的两方面因素：力、位移。与力有关的因素， 称为广义力S。与位移有关的因素，称为广义位移Δ。 广义力与广义位移的关系是：它们的乘积是虚功。 即：T=SΔ 1）广义力是单个力，则广义位移是该力作用点的位移 在力作用方向上的分量
2）广义力是一 个力偶，则广义 位移是它所作用 的截面的转角β。
FN p FN EA
l
ds
FN p FN EA
ds
l
FN p FN l EA
组合结构
△KP=
F F L M M P ds N NP EA EI
第六章 静定结构的位移计算
（1）梁和刚架 梁式杆的位移中弯矩的影响是主要的 ，位移计算公式 中取第一项便具有足够的工程精度
Ri i
C F (a)
Ri i
首先在图6.5(a)上取ds微段，其上由于单位荷载1所 产生的内力FN 、M、FS作用下所引起的相应变形为du、 dφ、γds分别如图6.5(c)、(d)、(e)所示，其计算式分别为
第六章 静定结构的位移计算
第六章 静定结构的位移计算
刚性杆中，取微段ds设为变形体，分析局部变形所引起的 ds 位移。
ds du ds
d
ds
i
d
d
R
d
i
R
d
d
1 （1）三种变形： R
（2）微段两端相对位移：
du ds
ds d ds R
ds
6.4 静定结构在荷载作用下的位移计算
利用上式计算静定结构在荷载作用下的位移时，
第六章 静定结构的位移计算
广义力与广义位移
作功的两方面因素：力、位移。与力有关的因素， 称为广义力S。与位移有关的因素，称为广义位移Δ。 广义力与广义位移的关系是：它们的乘积是虚功。 即：T=SΔ 1）广义力是单个力，则广义位移是该力作用点的位移 在力作用方向上的分量
2）广义力是一 个力偶，则广义 位移是它所作用 的截面的转角β。
FN p FN EA
l
ds
FN p FN EA
ds
l
FN p FN l EA
组合结构
△KP=
F F L M M P ds N NP EA EI
第六章 静定结构的位移计算
（1）梁和刚架 梁式杆的位移中弯矩的影响是主要的 ，位移计算公式 中取第一项便具有足够的工程精度
结构力学——第6章结构位移计算
C
Aω—MP图的面积； xC—形心C到y轴的距离。
yC是MP图的形心C所对应的M图的竖标
图乘法
§6-5 图乘法
如结构上所有各杆段均可图乘，则位移计算公式可写为
A yC MM P ds EI EI
ΔKP
应用图乘法时，应注意下列各点： （1）必须符合上述前提条件。 （2）竖标yC只能取自直线图形。
上式中：第一项为弯矩的影响，第二、三项分别为轴力、剪力的影响。 设：杆件截面为矩形，宽度为b、高度为h，A=bh，I=bh3/12，k=6/5
5 ql 4 2 h 2 E h 2 ΔAy [1 ( ) 2 ( ) ] 8 EI 15 l 25 G l
截面高度与杆长之比h/l愈大，轴力和剪力影响所占比重愈大。 当h/l=1/10，G=0.4E时，计算得
例6-3 试求图a所示对称桁架结点D的竖向位移△D。图中右半 部各括号内数值为杆件的截面面积A（×10-4m2）， E=210GPa。 解：实际状态各杆内力 如图a（左半部）。 虚拟状态各杆内力如图b （左半部）。 注意桁架杆件轴力是正对称的
FN FNP l ΔD 8mm() EA
§6-5 图乘法
对整个结构有：
WV dWV FN du Md FSds
虚功方程为： W WV
W FN du Md FSds
§6-2 变形体系的虚功原理
虚功原理的应用
虚位移原理： 对于给定的力状态，虚设一个位移状态，利 用虚功方程求解力状态中的未知力。
虚位移必须 是微小的
§6-2 变形体系的虚功原理
外力虚功W：整个结构所有外力（荷载与支座反力）在其 相应的虚位移上所作虚功的总和。
6 静定结构的位移计算2
三,应用图乘法的几个具体问题
对于两个图形都是梯形的情况(异侧) 对于两个图形都是梯形的情况(异侧)
A a C
A 1
MP1
A 2
MP2
B b D
y2
MP 图
y1
d
1 1 1 ∫ MP Mdx = EI (∫ Mp1Mdx + ∫ Mp2 Mdx) = EI ( A1 y1 + A2 y2 ) EI
c
3 5PL Ay0 1 1 L L8EI EI EI 2 2 2 6
点竖向位移. 例 7: 计算图示结构 点竖向位移. : 计算图示结构A点竖向位移
AV
3 Ay0 1 qL 3L qL4 =∑ = × × = EI EI 3 4 4EI
AV
A
C
1 M =1 =1 M
B
M
l
ql / 4
2
l
ql 2 / 4
A y0 EI
0
1/ l
q
MP
解:作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
C =
ql / 4 ql / 4
∑
1 2 ql 2 1 = × × ×l × EI 3 8 2 ql 3 ( ) = 24 EI
组合结构, 例 9. 已知 组合结构,求△Dy.
6-7 静定结构支座移动时的位移计算
静定结构由于支座移动不会产生内力和变形, 静定结构由于支座移动不会产生内力和变形,
k = ∑ FR c + ∑ ∫ FN du + ∑ ∫ M d + ∑ ∫ FS γds
得到: 得到:
Kc = ∑ FR c
仅用于静定结构
h
1 1
l/2
l/2 a
结构力学——第6章结构位移计算讲解
对整个结构有：
WV dWV FNdu Md FSds
虚功方程为： W WV
W FNdu Md FSds
§6-2 变形体系的虚功原理
虚功原理的应用
虚位移原理： 对于给定的力状态，虚设一个位移状态，利 用虚功方程求解力状态中的未知力。
虚力原理： 对于给定的位移状态，虚设一个力状态，利用 虚功方程求解位移状态中的位移。
例6-7 图a为一组合结构，试求D点的竖向位移△Dy。
解：实际状态FNP、MP如图b所示。 ΔDy
FN FNPl E1 A1
A yC E2 I2
虚拟状态FN、M如图c所示。
(1 2 2)Fa 4Fa3
()
E1 A1
3E2 I 2
§6-6 静定结构温度变化时的位移计算
试求图a所示结构由于温度变
对于静定结构，支座发生移动并不引起内力，材料不发生变形，此 时结构的位移属刚体位移。位移计算一般公式简化为
ΔKc FRc
§6-7 静定结构支座移动时的位移计算
例6-9 图a所示三角刚架右边支座的竖向位移△By=0.06m, 水 平位移为△Bx=0.06m, 已知l=12m，h=8m。试求由此引
第六章 结构位移计算
§6-1 概述 §6-2 变形体系的虚功原理 §6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法 §6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算 §6-5 图乘法 §6-6 静定结构温度变化时的位移计算 §6-7 静定结构支座移动时的位移计算 §6-8 线弹性结构的互等定理 §6-9 空间刚架的位移计算公式
变形曲线。 解：实际状态弯矩图如图b所示。
虚拟状态弯矩图如图c所示。
ΔAy
A yC 1 (l l ) Fl 1 (l 2l ) Fl EI EI 2 2 2EI 3 4
WV dWV FNdu Md FSds
虚功方程为： W WV
W FNdu Md FSds
§6-2 变形体系的虚功原理
虚功原理的应用
虚位移原理： 对于给定的力状态，虚设一个位移状态，利 用虚功方程求解力状态中的未知力。
虚力原理： 对于给定的位移状态，虚设一个力状态，利用 虚功方程求解位移状态中的位移。
例6-7 图a为一组合结构，试求D点的竖向位移△Dy。
解：实际状态FNP、MP如图b所示。 ΔDy
FN FNPl E1 A1
A yC E2 I2
虚拟状态FN、M如图c所示。
(1 2 2)Fa 4Fa3
()
E1 A1
3E2 I 2
§6-6 静定结构温度变化时的位移计算
试求图a所示结构由于温度变
对于静定结构，支座发生移动并不引起内力，材料不发生变形，此 时结构的位移属刚体位移。位移计算一般公式简化为
ΔKc FRc
§6-7 静定结构支座移动时的位移计算
例6-9 图a所示三角刚架右边支座的竖向位移△By=0.06m, 水 平位移为△Bx=0.06m, 已知l=12m，h=8m。试求由此引
第六章 结构位移计算
§6-1 概述 §6-2 变形体系的虚功原理 §6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法 §6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算 §6-5 图乘法 §6-6 静定结构温度变化时的位移计算 §6-7 静定结构支座移动时的位移计算 §6-8 线弹性结构的互等定理 §6-9 空间刚架的位移计算公式
变形曲线。 解：实际状态弯矩图如图b所示。
虚拟状态弯矩图如图c所示。
ΔAy
A yC 1 (l l ) Fl 1 (l 2l ) Fl EI EI 2 2 2EI 3 4
第六章 结构位移计算
1 y
1
c3
1
FR 3
F2 2 2
2x
FR1 FR 2
力状态
c2
位移状态
c1
W F11y F22 x FR1c1 FR2c2 FR3c3 F FRc
变形虚功：力状态的微段内力在位移状态的对应变形上所做的虚功， 再积分（对整段杆件）、求和（对结构所有杆件）。
F1 1
ds
1 y
1
ds
c3
dφ
FR 3
F2
2
M
FN FS
ds
FR1 FR 2
M dM FN d FN FS d FS
2
2x
ds du
γ
γd s ds
ds
c2
位移状态
力状态
c1
dWV ( FN dFN )du ( FS dFS )ds (M dM )d FN du FS ds Md
（3）、求解两点之间的相对线位移： 在两点沿连线方向施加一对指向 相反的单位力
F=1
3 4 3 F=1 4
求34
F
1
2
1
2
（4）、求解两点之间的相对角位移： 在两点施加一对方向相反的单位集 中力偶
3
4
3
4
求12
F M=1 M=1 2
1
2
1
§6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算
q t2 FK=1
1 A yc () abl 6
正负号：如a、b在杆轴线同一侧则取“+”，在不同侧则取“-”
2、直线型与直线型图乘（斜率为常数）
A yc () EI
a
静定结构的位移计算
2、图乘法求位移
积分式
M iM k EI dx
c
k(面积）
M k图
形心
用Mi、MR图求出:
Mi Mk 1 EI dx EI ( k yc )
M i x tg b
yc
M i图
积分
Mi Mk EI dx
等于Mk图面积 k 乘以
与其形心对应Mi图的竖标yc，再除以EI。
说明：
① EI为常量（等截面杆）；
② 杆件为直线；
③ M i , M k 至少一个为直线图，竖标yc取自直 线图。
k y c取正(负)。 k与 y c同(异)侧， 符号：
记标准图形的面积和形心，见教材P104,图6-14
例: 用图乘法求图示悬臂梁在A端竖向位移 A 。
q A l
ql 2 / 2
静定结构的位移计算
1、一般荷载作用下的位移计算公式 变形体虚功原理:外力虚功=内力虚功
虚拟状态（P=1） 实位移状态 实际内力 MP , QP , NP 虚内力: M, Q, N
N P dS du P EA
M P dS dP EI
QP dS d P GA
外力虚功:
P
3l/4 l/4
B
解：
1 1 3 p lh ql 3 6
A
l
3l yc 4
MM p EI
Mp图
l
o
dx
P 1
yc=3l/4
M图
1 1 3 3l ql 4 ( ql ) EI 6 4 8 EI
•均布荷载作用:
a
ql 2 8
b
a
1
b
第6章 结构位移的计算
M K l
2 qx1 MP 2 ql 2 MP 2
（2）荷载作用下（图1）的弯矩表达式
（3）将以上弯矩表达式代入求位移公式
AV
2 l 1 l 1 M K MP qx1 ql 2 5 ql 4 ds ( x1 )( )dx1 ( l )( )dx2 ( ) 0 EI 0 EI EI 2 2 8 EI
KP M K MP ds EI
2、桁架（只考虑轴力影响）：
KP N K NP ds EA
第6章
3、拱：一般只考虑弯曲变形
KP M K MP ds EI
对扁拱（压力线与拱轴接近）：
KP M K MP N K NP ds ds EI EA
(i )
BI AI
( pu qv m )ds ( N Q M )ds
BI BI (i ) Ai (i ) Ai
当所研究的体系为刚体时，虚功方程则简化为：
T=0
第6章
二、变形杆件体系的虚功方程证明
q( x )
MA NA MA NA QA
M(0)+dM N(0)+dN Q(0)+dQ
MB A
力状态(状态1)
QA y
m( x )
M
N Q
Q+dQ M+dM
p( x )
NB s B QB
M(l)-dM N(l)-dN Q(l)-dQ
MB
N+dN
QB 位移状态(状态2)
v* A
A
u
* A
* A
v
B
s
* B
v
静定结构的位移计算—静定结构在支座移动时的位移计算(建筑力学)
F RBx
2h
1
1
A F R c 0.06 0.04 rad 0.0075 rad
2h
l
()
静定结构的位移计算
例16-11 图示桁架各杆EA相同，支座B发生竖向位移
c=0.5cm，求c点的水平位移△CH。
解：建立虚拟状态，并计算由于水平单位力作用.5cm 0.5cm
由于实际状态中取出的微段ds的变形du=0、d=0、
dv=0 ，于是上式可简化为：
K F R c
式中F R — —虚拟状态的支座反力；
c ——实际状态的支座位移。
静定结构的位移计算
K F R c
注意：当虚设状态的反力和支座位移c方向一致时，其
乘积取正，相反时为负。另外，上式右边前面还有一负号
静定结构的位移计算
第六节 静定结构在支座移动时的位移计算
对于静定结构，支座移动并不产生内力和变形，结构的
位移纯属刚体位移
对于简单的结构，这种位移可由几何关系直接求得，但
一般的结构仍用虚功原理来计算这种位移。
静定结构的位移计算
由虚功原理推导出的位移计算的一般公式为
K F Ndu M d F Qdv F R c
，系原来移项时所得，不可漏掉。
静定结构的位移计算
例16-10 三铰刚架的跨度 l=12m，高h=8m。已知右支座B
的竖向位移为1 =0.06m（向下），水平位移为2 =0.04m（向
右），如图示，试求由此引起的A端转角 。
解 由∑MA=0得
F RBy
1
l
再考虑右半刚
架的平衡
1
由∑Mc=0得
结构力学静定结构位移计算
R iCi
Ri的正向与Ci的正向一致
它是 Maxwell, 1864和Mohr, 1874提出， 故也称为Maxwell-Mohr Method
截面转角
相对线位移
相对转角
Δ
P=1
1/2
1/2
（三）计算步骤:
➢ 根据拟求位移作单位力状态 ➢ 求单位力作用下的支反力 ➢ 利用公式求位移
R iCi
2)作虚功的力系为一个集中力偶
M
T M
4)作虚功的力系为两个等值 反向的集中力偶
M
M
A
B
T M A M B M ( A B ) M AB
（二）实功(Real Work)和虚功 (Virtual Work)
图（a）中P1所作的功为：T11
1 2
P111
实功
△11
图（b）中P2所作的功为：T22
变形体系在外力作用下处于平衡状态的充要条件是： 对于任意给定的虚位移，外力虚功等于内力虚功
即 T12＝W12
说明：
（1）受力状态和变形状态是相互独立的，二者彼此无关。 （2）第一状态要求平衡（内力并不一定是真实的）
第二状态要求虚位移条件 （3）变形体虚功原理是变形体力学的普遍原理。 （4）刚体虚功原理是特殊情况，即内力虚功为零的情况。
1 2
P2 22
图（c）中先作用P1，此时P1所作的功为： 第一个下标表示位移的地点和方向
1 T11 2 P111 再作用P2，此时P2所作的功为：T22
1 2
第二个下标表示产生位移的原因
△22
P2 22
P1 在加P2过程中也做功，此时P1继续作功为：
P2
T12 P112
虚功
第6章 结构位移计算
3.复杂图形图乘时的分解
1) 当yC所属M图为折线，或各段截面不等时，应分段图乘。 A1 A3
I3
A2
A3
A1
I1
A2
I2
y1
y2
y3
y1
y2
y3
练习： P118 6-5 判断正误
△=
(A1y1+A2y2+ A3y3)
36
2）当面积和形心不易确定时，分解成简单图形，分别与另 一图形相乘，最后再叠加。
标准二次抛物线
5l/8
A1 l/2
l
形心
l
A2
顶点 顶点 3l/4 l/4
顶点——抛物线上切线平行于底边的点； 标准抛物线——顶点在中点或端点的抛物线。
例 求图示梁( EI= 常数，跨长为l ) B截面的转角 B 。 q A
1 2 ql 8
1 2
1
B
1
MP图 2. 图乘计算。
M
图
解： 1. 作MP图、
4．计算结构位移的目的
1）校核刚度—不超过许用值，以防变形过大影响，正常使用。
吊车梁: 允许挠度 < 1/600 跨度； 高层建筑: 最大位移<1/1000高度；最大层间位移<1/800层高 铁路钢板桥和钢桁梁：最大挠度 < 1/700 和1/900跨度
2）满足施工要求— 结构的变形(可能与正常使用时完全不同)。
W F cos S 常力功
S
F
1 W F 2
变力功
F d
W M
F
力偶功
其他形式的力或力系所作的功也用两个因子的乘积表示：
功=广义力×广义位移 广义力——集中力，力偶，一对力偶； 广义位移——沿力方向的线位移，沿力偶转向的角位移，相对 位移。
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力 FP1在由该力引起的位移Δ1
上所作的功称为实功。即 FP1
FP1 Δ1
W
=
1 2
FP1Δ1
Δ1
虚功：力FP在由非该力引起的位移上所作的功。
+ tDC
P Δ W = PΔt Δt
思考：虚功是 不存在的吗？
Δ 21
ΔCV ——给定的位移和变形。力和位移无关。
2）正负号规则：
若 M 及 dθ = κ ds 使杆件同侧纤维伸长，则乘积为
正，反之为负； FS 使隔离体产生顺时针转动为正，
反力为之正为，负压，γ力0以为顺负时，ε针以方拉向应为变正为，正反，之压为应负变；F为N 负以.拉
若FRK 与 CK 同向，则乘积FRKCK 为正，反之为负。
§6-6 静定结构温度变化时的位移计算 §6-7 静定结构支座移动时的位移计算 §6-8 线弹性结构的互等定理
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§6-1 概述(Introduction)
一、结构的位移(Displacement of structures)
荷载、 温度改变 ΔT、
支座移动 Δc、
制造误差 δ 等
A
Δ AV
FP
B
Δ BV
A
CB
Δcv
Δ
C' θc
A C +t1 B
Δcv
C'
Δcu
θc +t2
+ t2 > +t1
A ΔB
Δ AV
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三、位移计算的目的(Purpose for calculating displacement)
三、刚体系的虚功原理 (Principle of Virtual Work for rigid bodies)
刚体系处于平衡的必要和
充分条件是：
对于任何可能的虚 位移，作用于刚体系
ΔP
FAx
的所有外力(主动力)
FAy
所做虚功之和为零。
-FP ΔP +FB ΔB=0
FP
Δ
B
FB
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q(s)
FP2
FP 3
ds
q(s)ds
ds
FR1
FP1
第一状态
FR 2
C1 w(s) Δ 2
Δ3 C2
Δ1
第二状态
（给定平衡力系）
（给定位移和变形）
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变形体虚功原理的说明:
q(x)
ab a′ b′
a
b
b′
a′
b′′
P2
Δ 22
P1 Δ11
Δ12
总功：
W
=
1 2
P1Δ11 +
1 2
P2 Δ 22
+
P1Δ12
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二、广义力(General force)、广义位移(General displacement)
一个力系作的总虚功 W = FPΔ
微段位移分 刚体位移 ab → a′b′′
为两部分
变形位移 a′b′′ → a′b′
微段外力功 分为两部分
在刚体位移上的功dWg 在变形位移上的功dWi
微段外力功 dW= dWg+dWi
所有微段的外力功之和:
W=∫dWi =Wi
故有We=Wi成立。
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第六章 结构位移计算
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§6-1 概述 §6-2 变形体系的虚功原理
§6-3 位移计算一般公式 单位荷载法 §6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算 §6-5 图乘法
位移 Δ.
A′
c A
BC
A
Δ
1 B
C
a
b C′
YA
解：设置虚拟状态,在C点加一竖向单位力。
由 ∑MB = 0 求得：
YA = −b / a
虚功方程为： 解得：
1⋅ Δ + YA ⋅ c = 0
Δ =b⋅c/a
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FP ---广义力; Δ ---广义位移
M
M
θA
θB
W = Mθ A + Mθ B = M (θ A +θ B ) = Mθ
P
Δ
W = PΔ
M
W = Mθ θ
P
ΔA
ΔB P
W = PΔ A + PΔB = P(ΔA + ΔB ) = PΔ
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由于虚设的是一个单位力，故该法称为单位荷载法
它是 Maxwell, 1864和Mohr, 1874提出
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说明:
1）M、FQ、FN、FRK ——单位载荷 FP1 = 1在结构中产
生的内力和支座反力，κ ds、γ 0ds、ε ds、C1、C2及
角位移
相对线位移
βA
Δy
Δ C C
Δ C+ Δ D
Δ D
D
FP
A′
Δx
α
FP
γ
线位移
相对角位移
α +γ
线位移，角位移，相对线位移、角位移等统称广义位移
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二、引起位移的原因(Factors yielding displacement)
四、变形体系的虚功原理
Principle of Virtual Work for deformable bodies
任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个
虚位移时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚
功We，恒等于变形体各微段内力在微段变形位移
上作的虚功之和Wi。W也e =即W恒i 有如下虚功方程成立
由上图b)可得： M = M1 + M2 FQ = FQ1 + FQ2 FN = FN1 + FN2
∑ ∫ 所以得： Δ AB = Mκ ds + FQγ 0ds + FNε ds
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所以，为了求两个截面的相对位移，只需要在 该两个截面同时加一对大小相等，方向相反，性 质与所求位移相应的单位荷载即可。
几点说明:
1. 虚功原理里存在两个状态： 力状态必须满足平衡条件；位移状态必须满足协 调条件。
2. 原理的证明表明:原理适用于任何 (线性和非线 性)的变形体，适用于任何结构。
3. 原理可有两种应用： 实际待分析的平衡力状态，虚设的协调位移状
态，将平衡问题化为几何问题来求解。 实际待分析的协调位移状态，虚设的平衡力状
(1) 刚度要求
在工程上，吊车梁允许的挠度< 1/600 跨度；高层建筑 的最大位移< 1/1000 高度；最大层间位移< 1/800 层 高。 铁路工程技术规范规定:
桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁 最大挠度 < 1/700 和1/900跨度
(2) 超静定、动力和稳定计算
(3)施工要求
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3）外力虚功 W =1⋅ ΔCV 这一项前取正号。若求得的 ΔCV > 0，则 ΔCV 与 FP1同向；若求得的 ΔCV < 0， 则 ΔCV 与 FP1反向。
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4）根据所求位移的性质虚设相应的单位载荷。
1
B
1 C1
ds
q(s)ds
ds
FR1
FP1
FR 2
第一状态 （给定平衡力系）
C1 w(s) Δ 2
Δ3 C2
Δ1
第二状态
（给定位移和变形）
外力虚功：
∫ W = q(s)w(s)ds + FP1Δ1 + FP2Δ2 + FP3Δ3 + FR1C1 + FR2C2
∫ ∑ ∑ W = q(s)w(s)ds + FPiΔi + FRKCK
A
图示单位荷载分别求 位移 ΔCH、ΔCV、θC 。
5）求位移步骤如下： ①沿拟求位移方向虚设性质相应的单位载荷； ②求结构在单位载荷作用下的内力和支座反力； ③利用位移计算一般公式求位移。
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例. 求 A 端支座发生竖向位移 c 时引起C点的竖向
虚设单位载荷如上页图c) ，d)所示。