选修4-5_不等式选讲(教材解读与教学建议)

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数学选修45不等式选讲教学设计 (2)

数学选修45不等式选讲教学设计一、教学目标通过本次教学，让学生掌握以下知识和能力：1.理解不等式的概念及其表示方法；2.掌握一元一次不等式的解法；3.掌握二元一次不等式的解法；4.学会运用不等式解决实际问题；5.培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。

二、教学重难点•重点：掌握不等式解法和应用方法；•难点：学会运用不等式解决实际问题。

三、教学过程1.引入不等式是中国古代数学中的一个重要概念，也是现代数学中的一个重要部分。

本次课程将围绕不等式的概念、解法和应用展开。

2.概念解释不等式是一种代数式，是通过不等于、小于、大于等符号连接起来的数的形式表达式。

例如：x>3上式中的“大于”符号表示x的取值范围大于3。

3.一元一次不等式的解法一元一次不等式是一个只含有一项的一次式不等于0的不等式。

例如：2x+1>5对于这种不等式，可以采用以下解法：•移项法；•变形法。

4.二元一次不等式的解法二元一次不等式是一个只含有两个变量的一次式不等于0的不等式。

例如：x+2y<6对于这种不等式，可以采用以下解法：•图形法；•代数法；5.应用举例不等式在许多实际问题中有着广泛的应用。

例如：•达到一定生产目标需要完成的任务数；•减肥的过程中需要控制的饮食热量；•经济发展中需要达到的增长目标等。

6.课堂练习这部分通过一些练习题的讲解来加深学生对不等式的掌握。

训练题的设计应紧密贴合所学内容。

7.课堂小结本课程主要介绍了不等式的概念、表示方法、一元一次不等式的解法、二元一次不等式的解法以及应用方法。

通过课堂实践，可以让学生更好地掌握不等式解决实际问题的能力，在数学以及其他学科中取得更好的成绩。

四、教学评价本课程主要用到了讲解和练习两种教学方法。

讲解方法可以帮助学生掌握概念和解法要点，练习则可以提高学生的运用能力。

考试成绩和出勤情况也是对教学效果的重要评价指标。

高中数学：选修4-5 不等式选讲

解析原不等式等价于
x 1,
1
(x 1) (2x 2) 17
或
1 x 1, (x 1) (2x 2) 1
或
x 1, (x 1) (x 2) 1,
解得x≥2或x≤-1.
5
故原不等式的解集为{x|x≤-1或x≥2}.
考法2 与绝对值有关的恒成立、存在性等求参数范围的问题
4．设不等式|x＋1|－|x－2|>k 的解集为 R，则实数 k 的取值范围为____________．
4-5 不等式选讲
1
聚焦核心素养
理科数学选修4-5：不等式选讲
1.命题分析预测从近五年的考查情况来看,选修4-5是
高考题中的选做部分,主要考查绝对值不等式的求解、
恒成立问题、存在性问题以及不等式的证明,多以解答
题的形式呈现,难度中等,分值10分.
2.学科核心素养本章通过绝对值不等式的解法和不等式的证明考查考生的数学运算素养,以及对分类讨论思想和数形结合思想的应用.
上述定理还可以推广到以下两个不等式:
(1)|a1+a2+…+an|≤|a1|+|a2|+…+|an|;
(2)||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.
2．绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|<a 与|x|>a 的解法：
不等式
a>0
a＝0
a<0
|x|<a
__{x_|_－__a_＜__x_＜_a__} _
解析
原不等式等价于
x 1, (x 1)
(x
2)
5
x 1, (x 1) (2x 2) 7

高中数学：不等式选讲教案北师大版选修4-5

选修4-5 不等式选讲课题：不等式的基本性质目的要求：重点难点：教学过程：一、引入：不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。

《列子•汤问》中脍炙人口的“两小儿辩日”：“远者小而近者大”、“近者热而远者凉”，就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在；日常生活中息息相关的问题，如“自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢?”、“电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮？”、“用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子。

要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？”等，都属于不等关系的问题，需要借助不等式的相关知识才能得到解决。

而且，不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。

本专题将介绍一些重要的不等式（含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式等）和它们的证明，数学归纳法和它的简单应用等。

人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的。

还可从引言中实际问题出发，说明本章知识的地位和作用。

生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转化为数学问题：a 克糖水中含有b 克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么?分析：起初的糖水浓度为a b ，加入m 克糖后的糖水浓度为m a m b ++，只要证m a m b ++>ab 即可。

怎么证呢? 二、不等式的基本性质：1、实数的运算性质与大小顺序的关系：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：0>-⇔>b a b a0=-⇔=b a b a 0<-⇔<b a b a得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。

2、不等式的基本性质：①、如果a>b ，那么b<a ，如果b<a ，那么a>b 。

0选修4-5教材分析与教学建议

《选修4-5》教材分析与教学建议山东一、本模块在整个高中数学教学的地位与作用1、本模块近六年来高考全国Ⅰ卷考查情况统计从以上的统计可以看出选修4-5不等式选讲，除2014年考察了基本不等式外，其余五年均考察绝对值不等式；绝对值不等式的解法每年必考，三年考察参数范围问题，两年考察绝对值函数图象.可见，不等式选讲属于高考考查的必考内容，至少占10分左右，而且其带来的方法和工具在其他章节中有着重要的应用，这就要求我们在教学中夯实双基，务实教学，把它当成一个重要的内容进行讲解。

通过本专题的教学，使学生理解在自然界中存在着大量的不等量关系和等量关系，不等关系和相等关系都是基本的数学关系，它们在数学研究和数学应用中起着重要的作用；使学生了解不等式及其证明的几何意义与背景，以加深对这些不等式的数学本质的理解，提高学生的逻辑思维能力和分析问题解决问题的能力。

2、《选修4-5》不等式选讲的内容，可以认为是《必修五》不等式一章的继续、深入和提高，从感性上升到理性.内容上保持相对的完整。

使不等式内容及思想方法系统化。

体现循序渐进，螺旋上升。

以回顾和学习出发，对不等式基本性质系统地归纳、整理。

对学生的思维能力、运算能力、综合能力提出了更高的要求，既是复习又是提高，教学中可以结合原来的知识，边复习边提高，使得学生的不等式水平提高到一个新的高度。

二、本模块教材的编写特点与原教材的主要区别1、作为一个选修专题，虽然学生已经学习了高中必修课程的5个模块和三个选修模块，教材内容仍以初中知识为起点，在内容的呈现上保持了相对的完整性．整个专题内容分为四讲，结构如下图所示：不等式选讲第一讲不等式和第二讲证明不等第三讲柯西不等式第四讲数学归纳①第一讲是“不等式和绝对值不等式”，为了保持专题内容的完整性，教材回顾了已学过的不等式6个基本性质，从“数与运算”的思想出发，强调了比较大小的基本方法。

回顾了二元基本不等式，突出几何背景和实际应用，同时推广到n个正数的情形，但教学中只要求理解掌握并会应用二个和三个正数的均值不等式。

学习总结报告-苏教版选修4-5不等式选讲教案

学习总结报告-苏教版选修4-5 不等式选讲教案一、教学目标本次教学内容主要针对苏教版选修4-5 不等式选讲教案，通过对学生学习不等式的基本概念、性质和解不等式的方法进行深入地讲解，提高学生对不等式知识的理解和应用能力，提高学生的数学思维能力。

二、教学重点1.不等式基本概念的认识和理解；2.不等式的性质及相关定理的掌握；3.解不等式的方法及其应用。

三、教学难点1.对不等式的性质进行深入讲解，让学生理解不等式的本质；2.解决不等式组、绝对不等式和含有分式的不等式。

四、教学步骤和内容1. 引入（10min）首先，引导学生回忆单元前面所学过的知识，包括不等式符号的含义、如何解一元一次不等式等内容。

从而为进一步讲解不等式打下基础。

2. 不等式基本概念的讲解（20min）介绍不等式的定义和性质，严格阐述“不等式”这一概念，这是后续学习不等式的基础。

3. 不等式的性质及相关定理的掌握（30min）介绍不等式相关的定理，包括不等式传递律、相反数性质、等式加减原理等内容。

教师应深入逐一讲解每个定理及其推论，让学生从定义上理解每个定理的意义，并给出实例加深印象。

4. 解不等式的方法及其应用（40min）这一部分是本次教学的重点，由于时间较长，对教师提出了较高的要求。

详细讲解解不等式的方法，并围绕“求解环节”中常见的不等式类型加强训练。

根据实际情况，可以分为以下几个小节分别讲解：•一元一次不等式的解法（10min）•一元绝对值不等式的解法（10min）•含有分式的一元不等式的解法（10min）•一元二次不等式的解法（10min）5. 总结（10min）教师应在上述几部分的讲解过程中，时不时地留下一些思考题，引发学生思考，将理解得到的知识应用于实际问题中。

同时，教师应作一个小结，回顾一下今日所学过的知识，以便学生更好地消化、理解所学内容。

五、教学反思本次教学虽然讲授时长较长、知识点繁多，但通过对不等式基本概念、性质及解题方法的深入讲解，学生在学习后对这一部分的知识有了一个更深刻的理解。

高中数学选修模块4-5姜伟《不等式选讲》

(a b)2 a2 2ab b2 0入手先从完全平方差公式
然后引入证明不等式的基本方法作差比较法进而通过分析法和综合法进行证明
最后通过柯西不等式再次证明
四、开设此门选修课的感受
自己的感受：授课方式和课堂气氛学生的感受：充实、思想方法
谢谢！
三、开设选修课的目的及方法
目的：对必修内容作巩固落实方法：讲练结合+学案+总结方式：多角度讲解同一问题
如：解绝对值不等式 x 3 x 1 6 自己主要从三个方面进行介绍一、从代数角度分类讨论
二、从数形结合的角度采用函数图象（分段函数）三、从几何角度绝对值的几 d ab bc cd da 时如证明不等式
《不等式选讲》
人大附中数学教研组姜伟
一、与此选修课相关的内容
1.必修5:不等关系、一元二次不等式、基本不等式二元一次不等式组与简单线形规划问题 2. 选修1-2及选修2-2：综合法、分析法、反证法
二、此选修课的内容
1.不等式的基本性质和一元二次不等式的解法 2.基本不等式 3.绝对值不等式 4.绝对值的三角不等式 5.不等式证明的基本方法 6.柯西不等式

人教版高中数学选修4-5《3.1 柯西不等式》

2 1 2 2 2 n 2 1 2 2 2 n
2
k,使得a i kbi ( i 1,2, , n)时, 等号成立。 2n 问题： 1、柯西不等式里一共涉及多少个实数？个 2、柯西不等式的结构有何特征？
平方和的乘积不小于乘积和的平方
1、柯西是什么人？
• 法一：问柯西本人；
2、他是怎么发现该不等式的？
4 4 2 2 3 3 2
（2）复杂问题：变形后运用柯西不等式。
例3 求函数 y 5 x 1 10 2 x的最大值
思考：该题目用了哪些变形技巧？凑配系数，平方。
2.已知x y 1, 那么2 x 2 3 y 2的最小值是( 5 A. 6 6 B. 5 25 C. 36 36 D. 25 )
( 2) a b c d ac bd2 ຫໍສະໝຸດ 2 2222
2
自主探究： 1、这两个变式怎么来的呢？ 2、这三个不等式取“=” 的条件分别是什么？
进一步—理解—柯西不等式
• 1、代数理解。
2 2 2 2
• 2、几何理解。
(1) a b c d ac bd
小组讨论：根据变式一，你能给出柯西不等式的几何解释吗？
柯西不等式
选修4-5 不等式选讲
定理(一般形式的柯西不等 ) 式设a1 , a 2 , a 3 , , a n , b1 , b2 , b3 , , bn是实数 ,则
(a a a )( b b b ) (a1b1 a2b2 anbb ) 当且仅当 bi 0( i 1,2, , n)或存在一个数
教学目标：
• 1、发现、推导
柯西不等式

高考数学一轮复习选修4_5不等式选讲课件文新人教版

选修4—5
不等式选讲
-2知识梳理
双基自测
1
2
3
4
1.绝对值三角不等式
(1)定理1:若a,b是实数,则|a+b|≤
时,等号成立;
(2)性质:|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|;
(3)定理2:若a,b,c是实数,则|a-c|≤
(a-b)(b-c)≥0
时,等号成立.
5
|a|+|b|
,当且仅当_______
-22考点1
考点2
考点3
考点4
考点5
对点训练2设函数f(x)=|x+1|-m|x-2|.
(1)若m=1,求函数f(x)的值域;
(2)若m=-1,求不等式f(x)>3x的解集.
解:(1)当m=1时,f(x)=|x+1|-|x-2|.
∵||x+1|-|x-2||≤|(x+1)-(x-2)|=3,
∴-3≤|x+1|-|x-2|≤3,即函数f(x)的值域为[-3,3].
(3)柯西不等式的向量情势:设α,β是两个向量,则|α||β|≥|α·β|,当且
仅当β是零向量或存在实数k,使α=kβ时,等号成立.
-6知识梳理
双基自测
1
2
3
4
5
5.不等式证明的方法
证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法等.
-7知识梳理
双基自测
1
2
3
4
5
1.下列结论正确的打“ ”,错误的打“×”.
所以|x|+|y|+|x-1|+|y-1|=2,即
|| + |-1| = 1,
|| + |-1| = 1.

选修4-5_《不等式选讲》全册教案

第一讲不等式和绝对值不等式课题：第01课时不等式的基本性质教学目标：1．理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义，建立不等式研究的基础。

2．掌握不等式的基本性质，并能加以证明；会用不等式的基本性质判断不等关系和用比较法，反证法证明简单的不等式。

教学重点：应用不等式的基本性质推理判断命题的真假；代数证明，特别是反证法。

教学难点：灵活应用不等式的基本性质。

教学过程：一、引入：不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。

《列子•汤问》中脍炙人口的“两小儿辩日”：“远者小而近者大”、“近者热而远者凉”，就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在；日常生活中息息相关的问题，如“自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢”、“电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮”、“用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子。

要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形”等，都属于不等关系的问题，需要借助不等式的相关知识才能得到解决。

而且，不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。

本专题将介绍一些重要的不等式（含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式等）和它们的证明，数学归纳法和它的简单应用等。

还可从引言中实际问题出发，说明本章知识的地位和作用。

生活中为什么糖水加糖甜更甜呢转化为数学问题：a 克糖水中含有b 克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么分析：起初的糖水浓度为a b ，加入m 克糖后的糖水浓度为m a mb ++，只要证m a m b ++>ab即可。

怎么证呢二、不等式的基本性质：1、实数的运算性质与大小顺序的关系：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：0>-⇔>b a b a 0=-⇔=b a b a 0<-⇔<b a b a得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。

数学选修45不等式选讲教学设计

数学选修45不等式选讲教学设计教学目标本次教学的核心目标是梳理和讲解高中数学选修四、五阶段中关于不等式的基本知识点和常见解题思路，让学生掌握该领域中的常规算法，进一步提高数学思维和解题能力。

在具体的教学过程中，我们将通过讲解、习题演示、自主练习三个部分来达成教学目标。

具体的内容安排和教学策略会在下面的章节中逐一给出。

教学内容本次教学内容大致包括以下几个部分：•不等式的基本定义•不等式的基本性质•不等式的基本解法•常见解题思路教学步骤第一步：讲解讲解环节是本次教学的基本步骤，我们将通过简明易懂的语言，对不等式的基本知识点展开讲解，包括但不限于以下几点：不等式的基本定义在讲不等式的基本定义时，我们将强调在学习高中数学不等式知识点时，不等式的定义是最为基础且最重要的内容。

同时，我们还会指出，不等式定义中的“符号”是不等式学习中最核心的部分，是后面内容理解的基础。

不等式的基本性质在讲不等式的基本性质时，我们将重点强调以下几个方面：1.不等式的加、减、乘、除操作规律2.不等式的两边平方规律3.不等式的倒数规律4.不等式的反向性不等式的基本解法在讲不等式的基本解法时，我们将系统讲解以下几点：1.常规不等式的解法2.二次函数不等式的解法3.绝对值函数不等式的解法4.根号函数不等式的解法常见解题思路在讲常见解题思路时，我们将讲解一些常用的解题思路和技巧，包括但不限于以下几点：1.通过图像来理解不等式2.通过移项来理解不等式3.通过恒等变形来理解不等式第二步：习题演示通过习题演示，我们将重点呈现一些基础题和典型题，让学生感受到不等式知识点的实际应用和习题技巧。

本次习题演示的具体安排如下：1.基础题：从前几章的知识入手，给予学生足够的演示题量，帮助他们熟悉和掌握基础题解题思路。

2.典型题：挑选两到三道典型题，涉及不同类型的不等式，帮助学生理解和掌握不等式知识点的具体应用。

第三步：自主练习最后一个环节是自主练习，在自主练习环节，我们将配合教学案例和习题演示，提供足够的自主练习时间，让学生通过练习，巩固和提高对不等式知识点的理解和掌握程度。

数学选修45不等式选讲教学设计 (3)

数学选修45不等式选讲教学设计选修课程背景本课程是数学选修模块中的一个重要部分，旨在通过对不等式的深度探究和研究，帮助学生掌握不等式的基本性质、方法和应用，增强学生的数学思维能力和解决问题的能力。

教学目标本课程的教学目标主要有以下三项：1.掌握不等式的基本概念和基本性质。

2.掌握不等式的求解方法，并能够灵活运用。

3.掌握不等式在各种问题中的应用方法。

教学内容第一部分：不等式的基本概念和基本性质1.不等式的定义和表示方法。

2.不等式的基本性质及其证明。

3.不等式的常见类型和特殊形式。

第二部分：不等式的求解方法1.不等式的变形和化简。

2.不等式的分析法和代数法求解。

3.不等式的图像法和几何法求解。

第三部分：不等式在问题中的应用1.利用不等式解决实际问题。

2.利用不等式证明数学定理。

3.利用不等式进行数学游戏和思维拓展。

教学方法1.讲授法：通过板书、示例和解题过程，使学生理解不等式的定义、性质和求解方法。

2.练习法：通过习题解析和课堂练习，帮助学生巩固知识点，提高解题技巧和能力。

3.探究法：通过引导学生自主思考、探究不等式的性质和应用，提高学生的创新性和独立思考能力。

4.案例法：通过案例分析，让学生了解不等式在实际问题中的应用，培养学生的实际解决问题的能力。

教学评价1.写作评价：要求学生在课后完成一篇题目相关的论文或报告，对所学知识进行总结和归纳，并提出自己的思考和建议。

2.课堂测验：每节课结束时进行小测验，测试学生对所学知识的掌握情况和解题能力，并在下节课回顾和分析小测验，让学生真正理解知识点和解题技巧。

3.期末考试：期末考试主要考查学生对不等式知识的理解、运用和综合能力，包含理论分析和实际解题两部分。

教学资源1.教材：使用教育部最新出版的选修45数学教材，包含了不等式相关的所有知识点和例题。

2.资料：收集整理相关的教学资料和习题集，供学生参考和练习。

3.工具：利用计算机提供的各种工具和软件进行图像展示和数学计算，提高教学效率和趣味性。

高中课标课程选修4-5《不等式选讲》教学参考一《不等式选讲》概观

即11,a =125(1)816n n n a a n a ++=≥+，从而系数矩阵25816A=的特征方程为250816λλ=，即(2)(16)8(5)λλ×21872(6)(12)0λλλλ=+==，所以矩阵A 的特征值为126,12λλ==，取2154,48bd P a c λλ==则160012P A P =，于是，112546054048012480nn nnA λλ==-1PP 5484601484524012n n=11111111106812561012.861612462012n n n n nnn n×××+×=×××+×所以1111111(106812)561012(861612)462012n n n n n a a a +×××+×=×××+×111111156212522524641244242n n nnn n nn+×+×+×+===×+×+×+，故15242n n na +=+．再由1/(1/2)(1)n n b a n =≥，可推出数列{}n b 的通项公式：2/34/3(1)n n b n =+≥．其它略．评注虽然可以通过构造等比数列或利用特征方程等方法求递归数列1n n n ax bx cx d ++=+的通项公式，但本题的解法给出了求一类分式递归数列1n n n ax bx cx d++=+的通项公式的一般规律，且计算简便，很有意义．例5(2007年高考全国卷Ⅰ理科第22题)已知数列{}n a 中,12a =,1(21)(2)n n a a +=+,1,2,3,n =(I)求{}n a 的通项公式；(II)若数列{}n b 中，12b =，13423n n n b b b ++=+，1,2,3,n =，证明：432n n b a <≤，1,2,3,n =.解析(I)略．(II)可以通过推论，模仿例4，计算出数列{}n b 的通项公式，21212121(21)(21)2(21)(21)n nn n nb ++=+．而后运用放缩法证明不等式432n nb a <≤成立．高中课标课程选修4-5《不等式选讲》教学参考(一)《不等式选讲》概观杨恩彬1，2柯跃海11福建师范大学数学与计算机科学学院(350007)2福建省宁德第一中学(352100)在客观世界中，不等式具有普遍性、绝对性，是表述和研究数量取值范围的重要工具．在中学数学，不等式是非常重要的内容，它们在数学研究和数学应用中起着重要的作用，在生产实践和相关的学科中应用非常广泛，又是学习高等数学的基础和工具．对于这部分内容，在以往的教材中已经大量涉及并被广大教师所熟悉．而作为选学内容，《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称《课标》)与《全日制普通高级中学数学教学大纲》(以下简称《大纲》)相比，在教学内容和教学要求上都有很大的变化．本专题的知识网络不等式选讲证明不等式的基本方法绝对值不等式均值不等式三个重要的不等式比较法综合法与分析法数学归纳法反证法放缩法柯西不等式排序不等式贝努利不等式不等式的应用2《课标》与《大纲》中教学内容的变化比较在《大纲》中，只涉及到不等式的基本性质，二次不等式、分式不等式以及含有绝对值不等式的1简单不等式的解法；平均值不等式只研究两个正数的情况，不等式的证明要求只掌握分析法、综合法、比较法．在《课标》中除以上内容外，增加了柯西不等式、排序不等式和贝努利不等式，平均值不等式推广到了三个正数及以上的情况，不等式的证明增加了放缩法、反证法和数学归纳法．3《课标》与《大纲》中教学要求的变化3.1更注重引导学生学习方式的改变和教师教学方式的改进本专题重视引导学生提出问题，设置了许多探究、思考栏目，鼓励学生主动探究，让学生在自主探索、动手实践中体验数学发现和创造的历程；引导学生通过类比提出问题（如二维向三维以至于多维的推广），并寻找解决方法，对数学结论进行特殊化、或作一般化推广．因此教师在教学过程中，应当致力改变教学方法，充分利用课材所设置的探究、思考栏目营造有利于学生自主探索的课堂氛围，鼓励学生主动的学习；同时应尽量避免对恒等变换的难度特别是一些技巧做更多的要求，以免陷入过于形式化和复杂化的技巧之中，而冲淡对数学本质的理解．3.2更重视展现不等式的几何背景，力求让学生对重要不等式有直观理解本专题特别强调不等式及其证明的几何意义与背景，使学生直观地，从而也是直接地理解不等式．本专题中的重要不等式都有明显的几何背景，教材注意呈现不等式的几何背景，帮助学生理解不等式的几何本质，了解重要的不等式都有深刻的数学意义和背景．如对于222a b a b+≥是借助于面积关系，绝对值三角不等式是借助于向量的加法和三角形的三边关系，绝对值不等式是利用绝对值的几何意义，柯西不等式是借助于向量运算及三角形中的三边关系，通过两点间的距离公式以及三角形的边长关系发现二维形式的三角不等式，排序不等式是借助于三角形的面积大小比较．这样，逐渐引导学生在面对一个数学问题时能从几何角度去思考问题，找到解决问题的途径．总之，本专题尽力使用几何或其他方法来证明这些不等式，以加深学生对这些不等式的数学本质的理解，提高学生的逻辑思维能力和分析解决问题的能力．3.3更重视数学思想方法的教学本专题的内容包涵了丰富的数学思想方法，如应用重要不等式解决实际问题中体现出来的优化思想，在重要不等式的呈现过程中的数形结合思想，在解不等式中体现的转化思想，函数思想，以及证明不等式的比较法、综合法、分析法、放缩法、反证法和数学归纳法，在证明柯西不等式中的配方法等，对于这些数学思想和方法，教材都及时作归纳和总结，使学生能够结合具体的问题加以理解和体会．3.4更注重数学知识与实际的联系，发展学生的应用意识和能力在实际生活、工作中的节约能源，降低成本，提高效率，加快速度等问题实际上是重要不等式的应用。

2019版二轮复习数学(理科)通用版讲义第一部分专题十八不等式选讲(选修4-5)含解析

专题十八 ⎪⎪⎪不等式选讲(选修4－5)[由题知法][典例] (2018·福州模拟)设函数f (x )＝|x －1|，x ∈R . (1)求不等式f (x )≤3－f (x －1)的解集；(2)已知关于x 的不等式f (x )≤f (x ＋1)－|x －a |的解集为M ，若⎝⎛⎭⎫1，32⊆M ，求实数a 的取值范围．[解] (1)因为f (x )≤3－f (x －1)，所以|x －1|≤3－|x －2|⇔|x －1|＋|x －2|≤3⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1，3－2x ≤3或⎩⎨⎧1≤x ≤2，1≤3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2，2x －3≤3，解得0≤x <1或1≤x ≤2或2<x ≤3，所以0≤x ≤3，故不等式f (x )≤3－f (x －1)的解集为[0,3]． (2)因为⎝⎛⎭⎫1，32⊆M ，所以当x ∈⎝⎛⎭⎫1，32时， f (x )≤f (x ＋1)－|x －a |恒成立，而f (x )≤f (x ＋1)－|x －a |⇔|x －1|－|x |＋|x －a |≤0⇔|x －a |≤|x |－|x －1|≤|x －x ＋1|＝1，所以|x －a |≤1，即x －1≤a ≤x ＋1，由题意，知x －1≤a ≤x ＋1对于任意的x ∈⎝⎛⎭⎫1，32恒成立，所以12≤a ≤2，故实数a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤12，2.[类题通法] 含绝对值的不等式的解法 (1)|f (x )|>a (a >0)⇔f (x )>a 或f (x )<－a ； (2)|f (x )|<a (a >0)⇔－a <f (x )<a ；(3)|x －a |＋|x －b |≥c (或≤c )(c >0)，|x －a |－|x －b |≥c (或≤c )(c >0)型不等式，可通过零点分区间法或利用绝对值的几何意义进行求解．①零点分区间法求解绝对值不等式的一般步骤： (ⅰ)令每个绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根； (ⅱ)将这些根按从小到大排列，把实数集分为若干个区间；(ⅲ)由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式，解这些不等式，求出解集； (ⅳ)取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集． ②利用绝对值的几何意义求解绝对值不等式的方法：由于|x －a |＋|x －b |与|x －a |－|x －b |分别表示数轴上与x 对应的点到a ，b 对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如|x －a |＋|x －b |≤c (c >0)或|x －a |－|x －b |≥c (c >0)的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观．[应用通关]1．(2018·全国卷Ⅰ)已知f (x )＝|x ＋1|－|ax －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若x ∈(0,1)时不等式f (x )>x 成立，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|－|x －1|，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x ≤－1，2x ，－1<x <1，2，x ≥1.故不等式f (x )>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x x >12.(2)当x ∈(0,1)时|x ＋1|－|ax －1|>x 成立等价于当x ∈(0,1)时|ax －1|<1成立．若a ≤0，则当x ∈(0,1)时，|ax －1|≥1；若a >0，则|ax －1|<1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 0<x <2a ，所以2a ≥1，故0<a ≤2.综上，a 的取值范围为(0,2]．2．(2018·合肥质检)已知函数f (x )＝|2x －1|. (1)解关于x 的不等式f (x )－f (x ＋1)≤1；(2)若关于x 的不等式f (x )<m －f (x ＋1)的解集不是空集，求m 的取值范围．解：(1)f (x )－f (x ＋1)≤1⇔|2x －1|－|2x ＋1|≤1，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥12，2x －1－2x －1≤1或⎩⎪⎨⎪⎧－12<x <12，1－2x －2x －1≤1 或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－12，1－2x ＋2x ＋1≤1，解得x ≥12或－14≤x <12，即x ≥－14，所以原不等式的解集为⎣⎡⎭⎫－14，＋∞. (2)由条件知，不等式|2x －1|＋|2x ＋1|<m 有解，则m >(|2x －1|＋|2x ＋1|)min 即可．由于|2x －1|＋|2x ＋1|＝|1－2x |＋|2x ＋1|≥|1－2x ＋(2x ＋1)|＝2，当且仅当(1－2x )(2x ＋1)≥0，即x ∈⎣⎡⎦⎤－12，12时等号成立，故m >2. 所以m 的取值范围是(2，＋∞)．[由题知法]1．含有绝对值的不等式的性质 |a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |. 2．算术—几何平均不等式定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab .当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理2：如果a ，b 为正数，则a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理3：如果a ，b ，c 为正数，则a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n≥na 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．[典例] (2018·沈阳质监)已知a >0，b >0，函数f (x )＝|x ＋a |－|x －b |. (1)当a ＝1，b ＝1时，解关于x 的不等式f (x )>1； (2)若函数f (x )的最大值为2，求证：1a ＋1b≥2.[解] (1)当a ＝1，b ＝1时，f (x )＝|x ＋1|－|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x ≥1，2x ，－1≤x <1，－2，x <－1，①当x ≥1时，f (x )＝2>1，不等式恒成立，此时不等式的解集为{x |x ≥1}；②当－1≤x <1时，f (x )＝2x >1，所以x >12，此时不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 12<x <1；③当x <－1时，f (x )＝－2>1，不等式不成立，此时无解．综上所述，不等式f (x )>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx >12.(2)证明：法一：由绝对值三角不等式可得 |x ＋a |－|x －b |≤|a ＋b |，a >0，b >0， ∴a ＋b ＝2，∴1a ＋1b ＝12(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝12⎝⎛⎭⎫2＋b a ＋a b ≥2，当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立．法二：∵a >0，b >0，∴－a <0<b ， ∴函数f (x )＝|x ＋a |－|x －b | ＝|x －(－a )|－|x －b | ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ，x ≥b ，2x ＋a －b ，－a ≤x <b ，－(a ＋b )，x <－a ，结合图象易得函数f (x )的最大值为a ＋b ，∴a ＋b ＝2.∴1a ＋1b ＝12(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝12⎝⎛⎭⎫2＋b a ＋a b ≥2，当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立． [类题通法] 证明不等式的方法和技巧(1)如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证的命题以“至少”“至多”等方式给出或是否定性命题、唯一性命题，则考虑用反证法．(2)在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明．尤其是对含绝对值不等式的解法或证明，其简化的基本思路是化去绝对值号，转化为常见的不等式(组)求解．多以绝对值的几何意义或“找零点、分区间、逐个解、并起来”为简化策略，而绝对值三角不等式，往往作为不等式放缩的依据．[应用通关]1．(2018·长春质检)设不等式||x ＋1|－|x －1||<2的解集为A . (1)求集合A ；(2)若a ，b ，c ∈A ，求证：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－abc ab －c >1. 解：(1)由已知，令f (x )＝|x ＋1|－|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x ≥1，2x ，－1<x <1，－2，x ≤－1，由|f (x )|<2得－1<x <1，即A ＝{x |－1<x <1}．(2)证明：要证⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－abc ab －c >1，只需证|1－abc |>|ab －c |，即证1＋a 2b 2c 2>a 2b 2＋c 2，即证1－a 2b 2>c 2(1－a 2b 2)，即证(1－a 2b 2)(1－c 2)>0，由a ，b ，c ∈A ，得－1<ab <1，c 2<1，所以(1－a 2b 2)(1－c 2)>0恒成立．综上，⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－abc ab －c >1.2．(2018·陕西质检)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|x ＋1|. (1)解不等式f (x )≤3；(2)记函数g (x )＝f (x )＋|x ＋1|的值域为M ，若t ∈M ，求证：t 2＋1≥3t＋3t .解：(1)依题意，得f (x )＝⎝ ⎛－3x ，x ≤－1，2－x ，－1<x <12，3x ，x ≥12，。

选修4-5 不等式选讲第一节绝对值不等式

第一节绝对值不等式1．绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|＜a与|x|＞a的解集(2)|ax＋①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类计论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．1．不等式|x －2|＞x －2的解集是________．解析：原不等式同解于x －2＜0，即x ＜2. 答案：x ＜22．已知|x －a |＜b 的解集为{x |2＜x ＜4}，则实数a 等于________．解析：由|x －a |＜b 得a －b ＜x ＜a ＋b ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝2，a ＋b ＝4，解得a ＝3，b ＝1.答案：33．若不等式|8x ＋9|＜7和不等式ax 2＋bx ＞2的解集相等，则实数a 、b 的值分别为________．解析：据题意可得|8x ＋9|＜7⇒－2＜x ＜－14，故由{x |－2＜x ＜－14}是二次不等式的解集可知x 1＝－2，x 2＝－14是一元二次方程ax 2＋bx －2＝0的两根，根据根与系数关系可知x 1x 2＝－2a ＝12⇒a ＝－4，x 1＋x 2＝－b a ＝－94⇒b ＝－9.答案：a ＝－4，b ＝－94．不等式|2x －1|＜3的解集为________．解析：原不等式可化为－3＜2x －1＜3，解得－1＜x ＜2.故所求解集为{x |－1＜x ＜2}．答案：{x |－1＜x ＜2}5．(2011年陕西)若关于x 的不等式|a |≥|x ＋1|＋|x －2|存在实数解，则实数a 的取值范围是______________.解析：令y ＝|x ＋1|＋|x －2|，由题意知应|a |≥y min ，而y ＝|x ＋1|＋|x －2|≥|x ＋1－x ＋2|＝3，∴a ≥3或a ≤－3.答案：(－∞，－3]∪[3，＋∞)例1 解不等式|x －1|＋|x ＋2|<5.【解析】法一：分别求|x －1|，|x ＋2|的零点，即1，－2. 由－2,1把数轴分成三部分：x ＜－2，－2≤x ≤1，x ＞1. 当x ＜－2时，原不等式即1－x －2－x ＜5，解得－3＜x ＜－2；当－2≤x ≤1时，原不等式即1－x ＋2＋x ＜5，因为3＜5，恒成立，即－2≤x ≤1；当x ＞1时，原不等式即x －1＋2＋x ＜5，解得1＜x ＜2.综上，原不等式的解集为{x |－3＜x ＜2}．法二：不等式|x －1|＋|x ＋2|＜5的几何意义为数轴上到－2,1两个点的距离之和小于5的点组成的集合，而－2，1两个端点之间的距离为3，由于分布在－2,1以外的点到－2，1的距离在－2,1外部的距离要计算两次，而在－2,1内部的距离则只计算一次，因此只要找出－2左边到－2的距离等于5－32＝1的点－3，以及1右边到1的距离等于5－32＝1的点2，这样就得到原不等式的解集为{x |－3＜x ＜2}．【点评】含绝对值的不等式的解法应想法去掉绝对值符号，转化为不含绝对值的方法求解．其方法有：(1)利用公式或平方法转化；(2)利用绝对值的定义转化；(3)利用数形结合思想转化；(4)利用“零点分段法”等．1．(2011年课标全国)设函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋2的解集； (2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值．解析：(1)当a ＝1时，f (x )≥3x ＋2 可化为|x －1|≥2. 由此可得x ≥3或x ≤－1.故不等式f (x )≥3x ＋2的解集为{x |x ≥3或x ≤－1}． (2)由f (x )≤0得|x －a |＋3x ≤0. 此不等式化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a ，x －a ＋3x ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤a ，a －x ＋3x ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a ，x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤a ，x ≤－a 2.因为a >0，所以不等式组的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－a 2.由题设可得－a2＝－1，故a ＝2.例2 已知函数f (x )＝1＋x 2，设a ，b ∈R ，且a ≠b ，求证：|f (a )－f (b )|<|a －b |.【证明】证法一：|f (a )－f (b )|<|a －b | ⇔|1＋a 2－1＋b 2|<|a －b |⇔(1＋a 2－1＋b 2)2<(a －b )2⇔2＋a 2＋b 2－2(1＋a 2)(1＋b 2)<a 2＋b 2－2ab⇔1＋ab <(1＋a 2)(1＋b 2).①当ab ≤－1时，式①显然成立；当ab >－1时，式①⇔(1＋ab )2<(1＋a 2)(1＋b 2) ⇐2ab <a 2＋b 2.②∵a ≠b ，∴②式成立，故原不等式成立．证法二：当a ＝－b 时，原不等式显然成立；当a ≠－b 时，∵|1＋a 2－1＋b 2| ＝|(1＋a 2)－(1＋b 2)|1＋a 2＋1＋b 2<|a 2－b 2||a |＋|b |≤|(a ＋b )(a －b )||a ＋b |＝|a －b |，∴原不等式成立．证法三：设x ＝(1，a )，y ＝(1，b )，则|x |＝1＋a 2，|y |＝1＋b 2，x －y ＝(0，a －b )，|x －y |＝|a －b |，而||x |－|y ||≤|x －y |，∴|1＋a 2－1＋b 2|≤|a －b |，又a ≠b ，即|f (a )－f (b )|<|a －b |.证法四：设y ＝1＋x 2(x ∈R )，则y ＝1＋x 2表示双曲线y 2－x 2＝1上支的部分．其渐近线为y ＝±x ，设A (a ，f (a ))，B (b ，f (b ))为曲线y ＝1＋x 2上两不同的点．则|k AB |<1，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪f (b )－f (a )b －a <1.∴|f (a )－f (b )|<|a －b |.【点评】 (1)证法一用的是分析法；(2)证法二是综合法，其证明中用到的技巧有：①分子有理化，②不等式|a |＋|b |≥|a ＋b |，③放缩法；(3)证法三用的是构造向量，利用向量不等式；(4)证法四是数形结合思想．2．(2010年广东卷)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是平面直角坐标系xOy 上的两点，现定义由点A 到点B 的一种折线距离ρ(A ，B )为ρ(A ，B )＝|x 2－x 1|＋|y 2－y 1|.对于平面xOy 上给定的不同的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，(1)若点C (x ，y )是平面xOy 上的点，试证明：ρ(A ，C )＋ρ(C ，B )≥ρ(A ，B )； (2)在平面xOy 上是否存在点C (x ，y )，同时满足 ①ρ(A ，C )＋ρ(C ，B )＝ρ(A ，B )；②ρ(A ，C )＝ρ(C ，B )．若存在，请求出所有符合条件的点；若不存在，请予以证明．解析：证明：∵ρ(A ，C )＝|x －x 1|＋|y －y 1|， ρ(C ，B )＝|x 2－x |＋|y 2－y |. ρ(A ，B )＝|x 2－x 1|＋|y 2－y 1|，∴ρ(A ，C )＋ρ(C ，B )＝|x －x 1|＋|y －y 1|＋|x 2－x |＋|y 2－y | ＝(|x －x 1|＋|x 2－x |)＋(|y －y 1|＋|y 2－y |) ≥|(x －x 1)＋(x 2－x )|＋|(y －y 1)＋(y 2－y )| ＝|x 2－x 1|＋|y 2－y 1|＝ρ(A ，B )．(2)注意到点A (x 1，y 1)与点B (x 2，y 2)不同，下面分三种情形讨论． ①若x 1＝x 2，则y 1≠y 2，由条件②得 |x －x 1|＋|y －y 1|＝|x 2－x |＋|y 2－y |，即|y －y 1|＝|y －y 2|，∴y ＝y 1＋y 22.由条件①得|x －x 1|＋|y －y 1|＋|x 2－x |＋|y 2－y |＝|x 2－x 1|＋|y 2－y 1|.∴2|x －x 1|＋12|y 2－y 1|＋12|y 2－y 1|＝|y 2－y 1|，∴|x －x 1|＝0， ∵x ＝x 1.因此，所求的点C 为(x 1，y 1＋y 22)②若y 1＝y 2，则x 1≠x 2，类似于①，可得符合条件的点C 为(x 1＋x 22，y 1)．③当x 1≠x 2，且y 1≠y 2时，不妨设x 1<x 2.(ⅰ)若y 1<y 2，则由(1)中的证明知，要使条件①成立，当且仅当(x －x 1)(x 2－x )≥0与(y －y 1)(y 2－y )≥0同时成立，故x 1≤x ≤x 2且y 1≤y ≤y 2.从而由条件②，得x ＋y ＝12(x 1＋x 2＋y 1＋y 2)．此时所求点C 的全体为M ＝⎩⎨⎧(x ，y )|x ＋y ＝12(x 1＋x 2＋y 1＋y 2)，x 1≤x ≤x 2}且y 1≤y ≤y 2.(ⅱ)若y 1>y 2，类似地由条件①可得x 1≤x ≤x 2且y 2≤y ≤y 1，从而由条件②得x －y ＝12(x 1＋x 2－y 1－y 2)．此时所求点的全体为N ＝⎩⎨⎧(x ，y )|x －y ＝12(x 1＋x 2－y 1－y 2)，x 1≤x ≤x 2}且y 2≤y ≤y 1.例3 设函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |. (1)设a ＝－1，解不等式f (x )≥3；(2)如果∀x ∈R ，f (x )≥2，求a 的取值范围．【解析】 (1)当a ＝－1时，f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|，由f (x )≥3得|x －1|＋|x ＋1|≥3. ①x ≤－1时，不等式化为1－x －1－x ≥3，即－2x ≥3.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1f (x )≥3，的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32. ②当－1＜x ≤1时，不等式化为 1－x ＋x ＋1≥3，不可能成立．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1＜x ≤1，f (x )≥3的解集为∅.③当x ＞1时，不等式化为 x －1＋x ＋1≥3，即2x ≥3.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，f (x )≥3的解集为⎣⎡⎭⎫32，＋∞. 综上得，f (x )≥3的解集为⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞. (2)若a ＝1，f (x )＝2|x －1|，不满足题设条件．若a ＜1，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋a ＋1， x ≤a ，1－a ， a ＜x ＜1，2x －(a ＋1)， x ≥1.即，f (x )的最小值为1－a . 若a ＞1，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋a ＋1， x ≤1，a －1， 1＜x ＜a ，2x －(a ＋1)， x ≥a .即，f (x )的最小值为a －1.所以∀x ∈R ，f (x )≥2的充要条件是|a －1|≥2，从而a 的取值范围为(－∞，－1)∪[3，＋∞)．【点评】如果一个不等式中含有两个(或两个以上)的绝对值符号，应考虑用零点分段讨论法去掉绝对值符号，这时实质是将原不等式转化为n 个不等式组，把每个不等式组的解求出后，取它们的并集得到原不等式的解集．3．已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值；(2)在①的条件下，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．解析：(1)由f (x )≤3得|x －a |≤3，解得a －3≤x ≤a ＋3.又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2.(2)法一：当a ＝2时，f (x )＝|x －2|. 设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)，于是g (x )＝|x －2|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1，x ＜－3；5，－3≤x ≤2；2x ＋1，x ＞2.所以当x ＜－3时，g (x )＞5；当－3≤x ≤2时，g (x )＝5；当x ＞2时，g (x )＞5. 综上可得，g (x )的最小值为5.从而，若f (x )＋f (x ＋5)≥m ，即g (x )≥m 对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围为(－∞，5]．法二：当a ＝2时，f (x )＝|x －2|. 设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)．由|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5(当且仅当－3≤x ≤2时等号成立)得，g (x )的最小值为5.从而，若f (x )＋f (x ＋5)≥m ，即g (x )≥m 对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围为(－∞，5]．一、填空题 1．不等式⎪⎪⎪⎪x －2x ＞x －2x 的解集是________．解析：由绝对值的意义知，原不等式同解于x －2x ＜0，即x (x －2)＜0，∴0＜x ＜2. 答案：(0,2)2．设集合A ＝{x ||x －a |＜1，x ∈R }，B ＝{x ||x －b |＞2，x ∈R }．若A ⊆B ，则实数a ，b 必满足________．解析：由|x －a |＜1得a －1＜x ＜a ＋1. 由|x －b |＞2得x ＜b －2或x ＞b ＋2.∵A ⊆B ，∴a －1≥b ＋2或a ＋1≤b －2，即a －b ≥3或a －b ≤－3，∴|a －b |≥3. 答案：|a －b |≥33．已知不等式|x －m |＋|x |≥1的解集为R ，则实数m 的取值范围是________．解析：由绝对值不等式的几何意义知|x －m |＋|x |≥|(x －m )－x |＝|m |，故|m |≥1，∴m ≥1或m ≤－1.答案：(－∞，－1]∪[1，＋∞)4．若关于x 的不等式|x ＋1|＋k ＜x 有解，则实数k 的取值范围是________．解析：∵|x ＋1|＋k ＜x ， ∴k ＜x －|x ＋1|.若不等式有解则需k ＜(x －|x ＋1|)max . 设f (x )＝x －|x ＋1|，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x ≥－1，2x ＋1，x ＜－1.由解析式可以看出f (x )max ＝－1，∴k ＜－1. 答案：(－∞，－1)5．已知关于x 的不等式|x －1|＋|x ＋a |≤8的解集不是空集，则a 的最小值是________．解析：由|x －1|＋|x ＋a |≥|1－x ＋x ＋a |＝|a ＋1|知|a ＋1|≤8，故－9≤a ≤7，因此a 的最小值是－9.答案：－96．若不等式|x －a |＋|x －2|≥1对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围为________．解析：由|x －a |＋|x －2|≥|(x －a )－(x －2)|＝|a －2|. ∴|a －2|≥1解之得a ≤1或a ≥3. 答案：(－∞，1]∪[3，＋∞)7．不等式||x ＋3|－|x －3||＞3的解集为________．解析：由绝对值不等式的含义得到：x 到－3和3的距离之差的绝对值大于3，结合数轴不难得出x ＞32或x ＜－32，故x ∈{x |x ＞32或x ＜－32}．答案：{x |x ＞32或x ＜－32}8．(2011年江西)对于实数x ，y ，若|x －1|≤1，|y －2|≤1，则|x －2y ＋1|的最大值为________．解析：法一：|x －1|≤1⇒0≤x ≤2，|y －2|≤1⇒1≤y ≤3，可得可行域如图(阴影部分)．∵|x －2y ＋1|＝5，|x －2y ＋1|5.其中z ＝|x －2y ＋1|5为点(x ，y )到直线x －2y ＋1＝0的距离．当(x ，y )为(0,3)时z 取得最大值|0－2×3＋1|5＝55. 故|x －2y ＋1|max ＝5.法二：|x －2y ＋1|＝|(x －1)－2(y －2)－2|≤|x －1|＋2|y －2|＋2≤1＋2＋2＝5，当且仅当x ＝0，y ＝3时，|x －2y ＋1|取最大值为5.答案：59．给出下列四个命题：①若log a (a 2＋4)≤log a (4a )＜0，则a 的取值范围是(1，＋∞)； ②函数f (x )＝log 2(x 2－5x ＋1)的单调递减区间为(－∞，52)；③不等式|x |＋|log 2 x |＞|x ＋log 2 x |的解集为(0,1)； ④若|a ＋b |＜－c (a ，b ，c ∈R )，则|a |＜|b |－c . 以上四个命题中，正确命题的序号为________．解析：对于①，由于a 2＋4≥4a且log a (a 2＋4)≤log a (4a )，∴0＜a ＜1，∴①错；对于②，由x 2－5x ＋1＞0，得x ＞5＋212或x ＜5－212，∴f (x )＝log 2(x 2－5x ＋1)的递减区间为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，5－212，故②错；对于③，必有x ＞0且log 2 x ＜0， ∴0＜x ＜1故③正确．对于④，∵|a |－|b |≤|a ＋b |＜－c ， ∴|a |＜|b |－c ，故④正确．答案：③④ 三、解答题10．(2011年江苏)解不等式x ＋|2x －1|<3.解析：法一：原不等式可化为|2x －1|<3－x .∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1<3－x 2x －1>x －3，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x <43x >－2.∴原不等式的解集是{x |－2<x <43} 法二：原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1≥0，x ＋(2x －1)<3或⎩⎪⎨⎪⎧2x －1<0，x －(2x －1)<3. 解得12≤x <43或－2<x <12. 所以原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－2<x <43. 11．(2011年福建)设不等式|2x －1|<1的解集为M .(1)求集合M ：(2)若a ，b ∈M ，试比较ab ＋1与a ＋b 的大小．解析：(1)由|2x －1|<1得－1<2x －1<1，解得0<x <1，所以M ＝{x |0<x <1}．(2)由(1)和a ，b ∈M 可知0<a <1,0<b <1.所以(ab ＋1)－(a ＋b )＝(a －1)(b －1)>0，故ab ＋1>a ＋b .12．已知二次函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的定义域为[－1,1]，且|f (x )|的最大值为M .(1)试证明|1＋b |≤M ；(2)试证明M ≥12； (3)当M ＝12时，试求出f (x )的解析式．解析：证明：(1)∵M ≥|f (－1)|＝|1－a ＋b |，M ≥|f (1)|＝|1＋a ＋b |，∴2M ≥|1－a ＋b |＋|1＋a ＋b |≥|(1－a ＋b )＋(1＋a ＋b )|＝2|1＋b |，∴|1＋b | ≤M .(2)证明：依题意，M ≥|f (－1)|，M ≥|f (0)|，M ≥|f (1)|，又|f (－1)|＝|1－a ＋b |，|f (1)|＝|1＋a ＋b |，|f (0)|＝|b |，∴4M ≥|f (－1)|＋2|f (0)|＋|f (1)|＝|1－a ＋b |＋2|b |＋|1＋a ＋b |≥|(1－a ＋b )－2b ＋(1＋a ＋b )|＝2，∴M ≥12. (3)当M ＝12时，|f (0)|＝|b |≤12，－12≤b ≤12① 同理－12≤1＋a ＋b ≤12② －12≤1－a ＋b ≤12③ ②＋③得－32≤b ≤－12④ 由①④得b ＝－12，当b ＝－12时，分别代入②③得⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤a ≤00≤a ≤1⇒a ＝0，因此f (x )＝x 2－12.。

人教A版高中数学选修4—5《不等式选讲》简析

发讨论不等式的基本性质，介绍了基本不等式及其几何解释；后讨论绝对值不等式的性质、然几何意义及解法。
析问题、解决问题的能力等做为本专题的基本目标。围绕这一目标，在本专题的编写中，编者着重考虑了
题的能力。
一
教科书将其做为重点内容进行了介绍。用反证法和放
缩法证明不等式是新引入的内容。第三讲介绍了柯西不等式、排序不等式以及它们的简单应用。教科书按照二维形式的柯西不等式 — — 几何解释 — — 向量形式的柯西不等式 — — 一般形式的柯西不等式的顺序展开教学内容，注意与二次函数、并函数极值、归思想等建立紧密联系；讨论排序不等化在式时， “ 究— — 猜想— — 证明— — 应用 ” 研究过以探的程，导学生通过自己的数学活动，识排序不等式的引认数学意义、明方法和简单应用。西不等式、序不 ‘ 证柯排
１＋ ≤ ｌ＋Ｉ、６ｌｌｌＩ
型如Ｉ＋ ≤ｃ＋ ≥ｃ — ＋ｌｂｌ６ｌ、Ｉ６Ｉ、ｌｃｌ — ≥Ⅱ的
不等式，加强学生从 “ 何意义 ” 察不等式的意识，以几考
第二讲介绍了证明不等式的基本方法，这些方法
是深入讨论不等式问题的基础，所以本讲也是本专题的基础内容。证明不等式的几种方法中，较法（在比特别是相减比较法）证明不等式的最基本的方法，此是因

人教版全国高考选修4-5 不等式选讲培优辅导讲义

选修4－5 不等式选讲第一节绝对值不等式考点点击1.理解绝对值不等式的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：(1)|a＋b|≤|a|＋|b|；(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|。

2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c。

理清基础1．绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，那么|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当__________时，等号成立。

定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－b|≤|a－c|＋|c－b|，当且仅当____________时，等号成立。

2．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|＜a与|x|＞a的解集：①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c。

总结归纳3种方法——求解绝对值不等式的方法形如|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型的不等式主要有如下解法：(1)零点分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a，b]，(b，＋∞)(此处设a＜b)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集。

(2)几何法：利用|x－a|＋|x－b|＞c(c＞0)的几何意义：数轴上到点x1＝a和x2＝b的距离之和大于c的点的集合。

(3)图象法：作出函数y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的图象，结合图象求解。

考点一含绝对值不等式的解法【例1】解不等式|x－1|＋|x＋2|≥5。

►归纳提升解绝对值不等式的注意点解含绝对值的不等式时，若两个绝对值中x的系数为1(或可化为1)，可选用几何法或图象法求解较为简洁。

若x的系数不全为1，则选用零点分段讨论法求解，同时注意端点值的取舍。

强化训练1解不等式|x＋3|－|2x－1|＜x2＋1。

考点二含参数的绝对值不等式问题【例2】已知不等式|x＋1|－|x－3|＞a。