八年级数学上册《角的轴对称性》

合集下载

2.4 线段、角的轴对称性课件苏科版数学八年级上册

例 3 在铁路a的同侧有两个工厂A和B，要在铁路边建一货场C，使A、B两个工厂到货场C的距离相等，试在图 2.4-6 中作出点C.
解题秘方：连接AB，作出线段AB的垂直平分线即可. 解：连接AB，作线段AB的垂直平分线交直线a于点C. 如图2.4-6, 点C即为所求.
方法点拨
尺规作图时要注意虚实线，即辅助性的线用虚线，所要画的线用实线，同时要注意保留作图痕迹.
3. 角平分线的判定定理与性质定理的关系 (1)如图2.4-9，都与距离有关，条件PD⊥OA，PE⊥OB 都具备； (2)点在角的平分线上性质 (角的内部的)点到角两边的判定距离相等.
4. 拓展三角形三个内角的平分线交于一点且这点到三边的距离相等.
特别提醒
1. 使用该判定定理的前提是这个点必须在角的内部. 2. 角平分线的判定是由两个条件(垂线，线段相等) 得到一个结论(角平分线). 3. 角平分线的判定定理是证明两角相等的重要依据，它比利用三角形全等证两角相等更方便快捷.
特别解读
1. 线段垂直平分线的性质中的“ 距离”是 “该点与这条线段两个端点的距离”.
2. 用线段垂直平分线的性质可直接证明线段相等，不必再用三角形全等来证明，因此它为证明线段相等提供了新方法.
例 1 如图2.4-2，在△ABC中，AB边的垂直平分线DE，分别与AB边和AC边交于点D和点E，BC边的垂直平分
解题秘方：由线段垂直平分线的判定可知，证明 AD所在的直线上的点A和点D到线段EF的两个端点的距离相等即可.
解：线段AD所在的直线是线段EF的垂直平分线. 证明：如图2.4-4，连接DE、DF. ∵ AD为∠BAC的平分线，∴∠EAD＝∠FAD. 在△AED和△AFD中，
AE＝AF， ቐ∠EAD＝∠FAD，∴△AED≌△AFD. ∴ DE＝DF.

苏科版数学八年级上册教学设计《2-4线段、角的轴对称性(1)》

苏科版数学八年级上册教学设计《2-4线段、角的轴对称性（1）》一. 教材分析《苏科版数学八年级上册》第三章是关于几何图形的对称性，本节课是该章节的第一节，主要内容是2-4线段和角的轴对称性。

教材通过引入日常生活中的实例，让学生感受对称性的存在，从而引导学生探究线段和角的对称性质。

教材先从线段的对称性入手，让学生了解线段的对称轴和轴对称的性质，再引入角的对称性，让学生探究角的对称轴和轴对称的性质。

二. 学情分析学生在七年级时已经学习了平面几何的基本概念，对图形的性质有一定的了解。

但对称性这一概念对学生来说较为抽象，需要通过实例和活动让学生感受和理解。

学生在学习过程中，需要从实际问题出发，通过观察、操作、猜想、验证等环节，体会对称性的存在和意义。

三. 教学目标1.理解线段和角的对称性质，掌握线段和角的对称轴的定义。

2.能够判断一个线段或角是否具有对称性，并找出其对称轴。

3.会用对称性解释一些实际问题，提高解决问题的能力。

四. 教学重难点1.教学重点：线段和角的对称性质，对称轴的定义。

2.教学难点：如何判断一个线段或角是否具有对称性，如何找出其对称轴。

五. 教学方法采用问题驱动法、实例教学法、操作验证法、小组讨论法等，引导学生从实际问题中发现对称性，通过操作和验证理解对称性，通过小组讨论深化对对称性的理解。

六. 教学准备1.准备一些具有对称性的线段和角的实例，用于导入和呈现。

2.准备一些操作工具，如直尺、量角器等，用于学生操练。

3.准备一些练习题，用于巩固和拓展。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些具有对称性的线段和角的实例，如折纸、剪纸等，引导学生观察和思考：这些图形有什么共同的特点？它们是如何形成的？从而引出对称性的概念。

2.呈现（10分钟）介绍线段和角的对称性质，讲解对称轴的定义。

通过展示线段和角的轴对称的动画，让学生直观地理解对称性质。

同时，让学生尝试判断一些线段和角是否具有对称性，并找出其对称轴。

八年级数学角的轴对称性知识点梳理及练习

角的轴对称性学习目标：1. 通过动手试验掌握角平分线的性质与判定；2. 理解角平分线与对称轴的关系；3. 掌握角平分线的性质及判定。

学习重点：角平分线的性质与判定的理解。

学习难点：运用角平分线性质及判定解决问题。

1.角的轴对称性（1）角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴.（2）角平分线上的点到角两边的距离相等.（3）角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.要点诠释：用符号语言表示角平分线上的点到角两边的距离相等.若CD 平分∠ADB ，点P 是CD 上一点，且PE ⊥AD 于点E ，PF ⊥BD 于点F ，则PE ＝PF.用符号语言表示角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.若PE ⊥AD 于点E ，PF ⊥BD 于点F ，PE ＝PF ，则PD 平分∠ADB2. 角平分线的画法角平分线的尺规作图（1）以O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于D ，交OB 于E.（2）分别以D 、E 为圆心，大于12DE 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 内部交于点C.（3）画射线OC.射线OC 即为所求.例题：已知：如图，AB ∥CD ，∠BAC 和∠ACD 的平分线交于点P ，试说明：点P 到AB 、CD 的距离相等.PDC BA【变式】已知：如图，BP 、CP 分别是△ABC 的外角平分线，PM ⊥AB 于点M ，PN ⊥AC 于点N ．求证：PA 平分∠MAN ．考点训练1. （2020·无锡市期中）如图，直线123l l l 、、表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）A ．一处B ．二处C ．三处D ．四处2.（2020春•凌海市期末）在正方形网格中，AOB ∠的位置如图所示，则点P 、Q 、M 、N 中在AOB ∠的平分线上是( )A ．P 点B ．Q 点C ．M 点D ．N 点3. （2020•南山区模拟）如图，ABC ∆中，5AB =，4AC =，以点A 为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB 、AC 于D 和E ，再分别以点D 、E 为圆心，大于二分之一DE 为半径作弧，两弧交于点F ，连接AF 并延长交BC 于点G ，GH AC ⊥于H ，2GH =，则ABG ∆的面积为( )A ．4B ．5C ．9D ．104. （2020春•竞秀区期末）如图，//AD BC ，ABC ∠的角平分线BP 与BAD ∠的角平分线AP 相交于点P ，作PE AB ⊥于点E ．若两平行线AD 与BC 间的距离为4，则(PE = )A ．4B ．2C ．8D ．6【变式】（2020春•锦州期末）如图，//AB CD ，BE 和CE 分别平分ABC ∠和BCD ∠，AD 过点E ，且与AB 互相垂直，点P 为线段BC 上一动点，连接PE ．若8AD =，则PE 的最小值为( )A ．8B ．6C ．5D ．45. （2020•开福区模拟）如图，点O 在ABC ∆内，且到三边的距离相等．若40A ∠=︒，则BOC ∠等于( )A ．110︒B ．115︒C ．125︒D ．130︒6. （2019·南京市期末）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB ，另一把直尺压住射线OA 并且与第一把直尺交于点P ，小明说：“射线OP 就是∠BOA 的角平分线．”他这样做的依据是( )A ．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上B ．角平分线上的点到这个角两边的距离相等C ．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D ．以上均不正确7. （2020春•南岗区校级期中）如图，在ABC ∆中，AD 为BAC ∠的平分线，DE AB ⊥于点E ，DF AC ⊥于点F ，若ABC ∆的面积为221cm ，8AB cm =，6AC cm =，则DE 的长为 cm ．8 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BD 平分∠ABC ，交AC 于点D ，AC ＝15cm ，且CD ∶AD ＝2∶3，则点D 到AB 的距离为．CD BA9. 如图，△ABC 的三边AB 、BC 、CA 长分别为40，50，60，其三条角平分线交于点O ，则S △ABO ：S △BCO ：S △CAO ＝．10. （2020春•沙坪坝区期末）如图，OP 平分AOB ∠，PM OA ⊥于M ，点D 在OB 上，DH OP ⊥于H ．若4OD =，7OP =，3PM =，则DH 的长为．11. 如图所示，A 、B 是两个工厂，m 、n 是两条公路，现要在这一地区建一加油站，要求这个加油站到A 、B 两个工厂的路程相等、到两条公路m 、n 的距离也相等，是否存在同时满足这两个要求的地点？怎样找出这个地点？m n B A12. （2020春•岳阳期末）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 平分CAB ∠交BC 于点D ，DE AB ⊥于点E ，且E 为AB 的中点．（1）求B ∠的度数．（2）若5DE =，求BC 的长．13. 如图所示，OC 平分∠AOB，P 是OC 上一点，D 是OA 是上一点，E 是OB 上一点，且PD ＝PE ，试说明：∠PDO＋∠PEO＝180°.PO E D CB A思维拓展如图，AD 是△ABC 的角平分线，DF ⊥AB ，垂足为F ，DE=DG ，△ADG 和△AED 的面积分别为50和39，则△EDF 的面积为（）A ．11B ．5.5C ．7D ．3.5如图,△ABC 中,∠B =90∘，两直角边AB =7，BC =24，三角形内有一点P 到各边的距离相等，PE ⊥AB 、PF ⊥BC 、PD ⊥AC ，垂足分别为E. F. D ，求PD 的长。

人教版八年级数学上册《轴对称》PPT优秀课件

阴影部分的面积和为6
3.如图，已知△ABC中，AH⊥BC于H，∠C=35°，且AB+BH=HC,求∠B的度数。
解：在CH上截取DH＝BH，连接 AD，如图 ∵BH＝DH，AH⊥BC,AH=AH ∴△ABH≌△ADH(SAS)∴AD＝AB
D
∵AB＋BH＝HC，而BH=DH 又∵CD＋DH＝HC ∴AD＝CD ∴∠C＝∠DAC，又∵∠C＝35° ∴∠B＝∠ADB＝70°．
M
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连直线的垂直平分线。
N
做一做： 1.（1）图中三角形④与哪些三角形成轴对称？
（2）整个图形是轴对称图形吗？它们共有几条对称轴？
12
43
（1）1和3 （2）是 2条
2.如图，△ABC是轴对称图形，且直线AD是 △ABC的对称轴，点E，F是线段AD上的任意两点，若△ABC的面积为12，求图中阴影部分的面积之和．
轴对称。
◆ 这条直线叫做对称轴。
◆ 折叠后重合的点叫对应点，也叫对称点。
对比：
定义联系区别注意
轴对称图形
两个图形成轴对称
如果一个平面图形延一条直线折叠，直线两旁的部分可以相互重合，
这个图形就叫做轴对称图形
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于
这条直线成轴对称
第13章轴对称
轴对称
目录
01 观察发现 02 得出结论 03 产生思考 04 再得结论 05 练习巩固 06 头脑风暴
观察这些图像有什么共同特点？
结论：如果一个平面图形延一条直线折叠，直线两旁的部分可以相互重合，这个图

八年级上册数学第1章全等三角形第2章轴对称图形知识梳理

第1章全等三角形1、全等图形：能完全重合的图形叫做全等图形．◆全等变换：通过平移、旋转、翻折这几种方式图形的形状、大小不发生改变，换而言之，就是三种变换前后的图形是全等的，所以我们也把这三种变换叫做全等变换.2、全等三角形：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形.理解：①全等三角形形状与大小完全相等，与位置无关；②一个三角形经过平移、翻折、旋转后得到的三角形，与原三角形仍然全等；③三角形全等不因位置发生变化而改变。

3、全等三角形的性质◆全等三角形的对应边相等，对应角相等.（注意写法：字母一一对应）理解：①长边对长边，短边对短边；最大角对最大角，最小角对最小角；②对应角的对边为对应边，对应边对的角为对应角.延伸：①全等三角形的周长相等、面积相等.②全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等.4、全等三角形的判定方法理解：三角形全等的判定条件中必须是三个元素，并且一定有一组对应边相等．．．．．．．．．．.5、全等三角形的判定的基本思路◆已知两边：①找第三边（SSS）；②找夹角（SAS）；③找是否有直角（HL）.◆已知一边一角：若边为角的对边：找任一角（AAS）.若边就是角的一条边：①找这条边上的另一角（ASA）；②找这条边上的对角（AAS）；②找该角的另一边（SAS）.◆已知两角：①找两角的夹边（ASA）；②找任意一边（AAS）.6、全等三角形的判定的基本模型◆平移型：平行线，重叠线段◆翻折型：公共边，公共角，对顶角◆旋转型：对顶角，重叠角和重叠线段◆一线三等角型：◆手拉手型：◆半角全等型：7、全等三角形的判定常用辅助线◆直接连线构造全等三角形：◆倍长中线构造全等三角形：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线”的方法添加辅助线.所谓倍长中线，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.◆截长补短构造全等三角形：(1)“截长法”,即在长线段上取一段,使之等于其中一条短线段,然后证明剩下的线段等于另一条短线段.(2)“补短法”,即延长短线段,使延长部分等于另一条短线段,再证明延长后的线段等于长线段;或延长短线段,使延长后的线段等于长线段,再证明延长部分等于另一条短线段.8、尺规作图①用尺规作角平分线②过直线外一点作已知直线的垂线③过直线上一点作已知直线的垂线第2章轴对称图形1、轴对称：把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴.◆轴对称的性质：①成轴对称的两个图形全等；②成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分.拓展：成轴对称的两个图形的任何对应部分也成轴对称.2、轴对称图形：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形，这条直线叫对称轴.◆轴对称图形与轴对称的区别与联系：3、线段的垂直平分线的概念：垂直并且平分．．．．．．一条线段的直线，叫做这条直线的垂直平分线.◆线段的垂直平分线必须满足两个条件：①经过线段的中点；②垂直于这条线段.注意：线段的垂直平分线是一条直线，而不是一条线段，且只有一条.●4、线段：线段是轴对称图形，有2条对称轴，分别是线段所在直线和线段的垂直平分线.◆线段的垂直平分线性质定理：线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．拓展：三角形三边的垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等.◆线段的垂直平分线判定定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.5、角：角是轴对称图形，有1条对称轴，角平分线所在的直线．．．．．是它的对称轴.◆角平分线性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.拓展：三角形三个内角的平分线交于一点，这一点到三角形三条边的距离相等.◆角平分线判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.6、等腰三角形：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线（也可以说是底边上的中线或底边上的高）所在的直线是它的对称轴.◆等腰三角形性质定理：①等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）；②等腰三角形的顶角平分线与底边上的中线，底边上的高互相重合（简称“三线合一”）.◆等腰三角形判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称“等角对等边”).◆直角三角形性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.注意：该定理需满足两个条件：1.直角三角形；2.斜边上的中线.7、等边三角形：三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形.8、等边三角形：等边三角形是轴对称图形，角平分线（也可以说是三边上的中线或三边上的高）所在的直线是它的对称轴◆等边三角形性质定理：等边三角形的每个内角都等于60°．拓展：等边三角形每条边都能运用三线合一这性质.◆等边三角形判定定理：①三个角都相等的三角形是等边三角形.②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．尺规作图：●●1、画已知图形的对称图形（“三步法”）：一找——找已知图形的关键点；二画——根据对称点的位置关系画出各关键点的对称点；三连——按照已知图形的形状连接各对称点，得到所要求作的图形.●●2、用尺规作线段的垂直平分线●●3、已知底边及底边上的高作等腰三角形。

人教版八年级上册数学-13《轴对称》知识点及典型例题

⼈教版⼋年级上册数学-13《轴对称》知识点及典型例题第⼗三章《轴对称》⼀、知识点归纳（⼀）轴对称和轴对称图形1、有⼀个图形沿着某⼀条直线折叠，如果它能够与另⼀个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．2、轴对称图形：如果⼀个图形沿⼀条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。

这条直线就是它的对称轴。

（对称轴必须是直线）3、对称点：折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。

4、轴对称图形的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何⼀对对应点所连线段的垂直平分线。

类似的，轴对称图形的对称轴，是任何⼀对对应点所连线段的垂直平分线。

连接任意⼀对对应点的线段被对称轴垂直平分．轴对称图形上对应线段相等、对应⾓相等。

5．画⼀图形关于某条直线的轴对称图形步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点。

（⼆）、轴对称与轴对称图形的区别和联系区别：轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是⼀个具有特殊形状的图形，把⼀个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称．联系：1：都是折叠重合2;如果把成轴对称的两个图形看成⼀个图形那么他就是轴对称图形，反之亦然。

（三）线段的垂直平分线（1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）（2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与⼀条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．（证明是必须有两个点）所以线段的垂直平分线能够看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合．（四）⽤坐标表⽰轴对称2、点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（x，-y）；(五）关于坐标轴夹⾓平分线对称点P（x，y）关于第⼀、三象限坐标轴夹⾓平分线y＝x对称的点的坐标是（y，x）点P（x，y）关于第⼆、四象限坐标轴夹⾓平分线y＝－x对称的点的坐标是（－y，－x）（六）关于平⾏于坐标轴的直线对称点P（x，y）关于直线x＝m对称的点的坐标是（2m－x，y）；点P（x，y）关于直线y＝n对称的点的坐标是（x，2n－y）；(七）等腰三⾓形1、等腰三⾓形性质：性质1：等腰三⾓形的两个底⾓相等（简写成“等边对等⾓”）性质2：等腰三⾓形的顶⾓平分线、底边上的中线、底边上的⾼相互重合。

八年级数学教案：线段、角的轴对称性(全4课时)

课时NO: 主备人：审核人用案时间：年月日星期教学课题 2.4 线段、角的轴对称性（2）教学目标1．探索并证明线段垂直平分线的性质定理的逆定理，会用尺规作线段的垂直平分线；2．能利用所学知识提出问题并解决实际问题；3．经历探索线段的轴对称的过程，在“操作——探究——归纳——证明”的过程中培养思考的严谨性和表达的条理性．教学重点利用线段的轴对称性探索线段垂直平分线的性质定理的逆定理．教学难点灵活运用线段垂直平分线的性质解决实际问题．教学方法教具准备教学课件教学过程个案补充一.自主先学：实践探索一在一张薄纸上画一条线段AB，你能找出与线段AB的端点A、B距离相等的点吗？这样的点有多少个？实践探索二如果一个点在一条线段的垂直平分线上，那么这个点到这条线段两端的距离相等．反过来，如果一个点到一条线段的两端的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上吗？如图2-21（1），若点Q在线段AB上，且QA＝QB，则Q是线段AB的中点，则点Q在线段AB的垂直平分线上.如图2-21（2），若点Q是线段AB外任意一点，且QA＝QB，那么点Q在线段AB的垂直平分线上吗？为什么？通过上述探索，你得到了什么结论？分析：全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质五.小结与反思：课外作业：布置作业板书设计教后札记实践探索四如果任意一个点在角平分线上，那么这个点到这个角的两边距离相等．反过来，结合上节课所学，你有什么猜想？如图2-26，若点Q 在∠AOB 内部，QD ⊥OA ，QE ⊥OB ，且QD ＝QE ，点Q 在∠AOB 的角平分线上吗？为什么？通过上述探索，你得到了什么结论？二．探究交流如图，△ABC 中，P 是角平分线AD ，BE 的交点。

求证：点P 在∠C 的平分线上。

三．交流展示OAB Q DE 2-26如图,AD∥BC，CD⊥AD，AE平分∠BAD，且E是DC的中点，EF⊥AB 于点F，判断AD、BC与AB之间的数量关系并说明理由。

江苏省涟水县红日中学八年级数学上册 2.4.2 角的轴对称性(第1课时)教学案 (新版)苏科版

2.4.2角的轴对称性（第1课时）教学案一、教学目标1. 探索并掌握角平分线的性质；2 .了解角的平分线是具有特殊性值的点的集合；3、在“操作--探究---归纳---说理”的过程中学会有条理地思考和表达，提高演绎推理能力。

4、经历探索角的轴对称性的过程，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念。

二、教学重难点角平分线的性质角的平分线是具有特殊性质的点的集合三、学习与交流1、操作：1、画∠AOB，折纸使OA、OB重合，折痕与∠AOB有什么关系？2、在折痕上任取一点P，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足为D、E，那么PD与PE有什么关系？你得到的结论：3、讨论：点P在∠AOB的平分线上，那么点P到OA、OB的距离相等；反过来，你能得到什么猜想？结论：四、典型例题例1、任意画∠O，在∠O的两边上分别截取OA、OB，使OA=OB，过点A画OA的垂线，过点B画OB的垂线，设2条垂线相交于点P，点O在∠APB的平分线上吗？为什么？PBO例2、如图，在△ABC中，∠C = 90°，AD平分∠BAC，且CD = 5，则点D到AB的距离是多少？CD1B2五、达标检测1、在△ABC 中，AB=BC ，BD 平分∠ABC ，下列说法不正确的是（）A 、BD 平分ACB 、AD ⊥BDC 、AD 垂直平分BC ， D 、BD 垂直平分AC2、到三角形的三个顶点距离相等的点是（）A.三条角平分线的交点B.三条中线的交点C.三条高的交点D.三条边的垂直平分线的交点3、如下图，如果M 点在∠ANB 的角平分线上，那么AM ＝___________.4、用直尺和量角器在上图中的直线MN 上找一点P ，使点P 到射线OA 和OB 的距离相等.5、已知:如图,在ΔABC 中，O 是∠B 、∠C 外角的平分线的交点，那么点O 在∠A 的平分线上吗？为什么？6、如图，AD 平分∠BAC ，∠C ＝90°，DE ⊥ AB ，那么(1)DE 和DC 相等吗?为什么? (2)AE 和AC 相等吗?为什么?7、如图，直线a,b,c 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，可供选择的地址有几处？如何选？AB COc ba五、教学反馈（反思）3。

苏科版数学八年级上册2.4《线段角的轴对称性》教学设计2

苏科版数学八年级上册2.4《线段角的轴对称性》教学设计2一. 教材分析《苏科版数学八年级上册2.4《线段角的轴对称性》》这一节主要让学生理解线段和角的轴对称性质，学会运用轴对称性质解决实际问题。

教材通过丰富的实例，引导学生探究线段和角的轴对称性质，培养学生的动手操作能力和抽象思维能力。

二. 学情分析学生在七年级已经学习了轴对称的概念，对轴对称有了初步的认识。

但是，对于线段和角的轴对称性质，他们可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，需要通过大量的实例和动手操作，让学生加深对线段和角的轴对称性质的理解。

三. 教学目标1.理解线段和角的轴对称性质。

2.学会运用轴对称性质解决实际问题。

3.培养学生的动手操作能力和抽象思维能力。

四. 教学重难点1.线段和角的轴对称性质的理解和运用。

2.如何引导学生发现和总结轴对称性质。

五. 教学方法1.实例教学：通过丰富的实例，让学生直观地感受线段和角的轴对称性质。

2.动手操作：让学生亲自动手操作，发现和总结线段和角的轴对称性质。

3.小组讨论：让学生分组讨论，培养学生的合作意识和沟通能力。

六. 教学准备1.准备相关的实例和图片。

2.准备一些线段和角的模型。

3.准备黑板和粉笔。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一些生活中的实例，如剪纸、折叠等，引导学生回顾轴对称的概念。

然后，提出本节课的主要学习内容：线段和角的轴对称性质。

2.呈现（10分钟）呈现一些线段和角的轴对称的实例，让学生直观地感受线段和角的轴对称性质。

同时，引导学生发现和总结线段和角的轴对称性质。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选择一个线段或角，找出它的轴对称线，并动手操作验证。

然后，各组汇报自己的发现，全班交流。

4.巩固（10分钟）出示一些练习题，让学生运用轴对称性质解决问题。

同时，引导学生总结解题思路和方法。

5.拓展（10分钟）出示一些相关的实际问题，让学生运用轴对称性质解决问题。

如：设计一个轴对称的图案、计算线段的长度等。

八年级数学上册苏科版角的轴对称性

离相等的所有点的集合.
（2）∵ PD⊥OA, PE⊥OB, PD=PE ∴ OP平分∠AOB.
∠AOC=∠BOC
PD=PE
PD⊥OA，PE⊥OB
【习题精讲】 1、（教科书P55.练习）
利用网格画图：（1）在BC上找一点P，使得P到AB和AC的距离相等；（2）在射线AP上找一点Q，使QB＝QC．
（2）把三角尺绕点P旋转，三角尺的两条直角边分别交OA、OB于点E、F（如图② ），
PE与PF相等吗？
通过实验可以得到PE=PF的结论，现在请你证明这个结论.
证明：过点P作PM⊥OA，PN⊥OB，垂足为M、N，
则∠PME＝∠PNF＝90°，
M N
∵OP平分∠AOB，∴PM＝PN， ∵∠AOB＝∠PME＝∠PNF＝90°， ∴∠MPN＝90°，∵∠EPF＝90°， ∴∠MPE＝∠FPN，
P O
O
D’
答：点O在另两个内角的平分线上
答：点O不在另两个内角的平分线上
【变式2】
从图中得出的结论：①AD∥BC；②∠AOB＝∠DOC＝90论为 ① ② ④ （写序号）
如图：OA⊥BO，
∴∠OAB+∠OBA＝90°，
O
∵AO，BO为∠A、∠B的平分线，
∴BE＝CF．
∴BE＝2.5 ．
3、（教科书P59.第11题）
在七年级下册“证明”如一章的学习中，我们曾做过如下的实验：
画∠AOB＝90°，并画∠AOB的平分线OC．
（1）把三角尺的直角顶点落在射线OC的任意一点P上，并使三角尺的两条直角边分别与 OA、OB垂直，垂足分别为E、F（如图① ）．度量PE、PF的长度，这两条线段相等吗？
分析：（1）P到∠BAC两边的距离相等，P在∠BAC的平分线上

2.4线段、角的轴对称性(第1课时)(同步课件)八年级数学上册同步精品课堂(苏科版)

∴∠B+∠C=∠BAD+∠CAE=180°-α
∵∠BAC=∠BAD+∠CAE+∠DAE
∴∠DAE=∠BAC-(∠BAD+∠CAE)=2α-180°
思维拓展
在△ABC中，∠BAC=α，边AB的垂直平分线交BC于点D，边AC的垂直平
分线交BC于点E，连接AD，AE，则∠DAE的度数为______________．
P
● 2
●
●
A●
●
P3
O
●
B(A)
新知归纳
线段的垂直平分线的性质定理：
线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
符号语言：
l
∵点P在线段AB的垂直平分线上，
●
A●
∴ PA=PB
（线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）.
用途：
相等的线段
P
●
O
B
操作与思考
思考4 线段的垂直平分线外的点，到这条线段两端的距离相等吗？
B
理由：在l上另取一点P，连接PA、PB、PA'.
由作图可知，l是AA'的垂直平分线，
A
∴ AP=A'P，AM=A'M，
l
M
A'
∴ AM+BM=A'M+BM=A'B，
P
AP+BP=A'P+BP，
由“两点之间线段最短”可得:
A'B＜A'P+BP.
即AM+BM最短.
课堂小结
线
段
垂
直
平
分
线
的
性
质
内容

苏科版数学八年级上册2.4《线段、角的轴对称性》教学设计1

苏科版数学八年级上册2.4《线段、角的轴对称性》教学设计1一. 教材分析苏科版数学八年级上册2.4《线段、角的轴对称性》是学生在学习了轴对称的概念和性质的基础上进一步研究线段和角的对称性。

这一节的内容主要包括线段的轴对称性、角的轴对称性以及如何寻找线段和角的轴对称线。

教材通过丰富的图形和实例，引导学生探究和发现轴对称的性质，从而培养学生的观察能力、推理能力和解决问题的能力。

二. 学情分析学生在学习本节内容之前，已经掌握了轴对称的基本概念和性质，能够识别和判断一个图形是否是轴对称的。

但是，对于如何寻找线段和角的轴对称线，以及如何应用轴对称的性质解决实际问题，部分学生可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对性地进行指导和帮助。

三. 教学目标1.理解线段和角的轴对称性，掌握寻找线段和角的对称轴的方法。

2.能够运用轴对称的性质解决实际问题，提高解决问题的能力。

3.培养学生的观察能力、推理能力和合作能力。

四. 教学重难点1.重点：线段和角的轴对称性，寻找线段和角的对称轴的方法。

2.难点：如何运用轴对称的性质解决实际问题。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生观察、思考和发现轴对称的性质。

2.利用图形和实例，直观地展示线段和角的轴对称性，帮助学生理解和掌握。

3.运用小组合作的学习方式，鼓励学生相互交流、讨论，共同解决问题。

4.注重练习和反馈，及时发现和纠正学生的错误，提高学生的解题能力。

六. 教学准备1.准备相关的图形和实例，用于展示和解释线段和角的轴对称性。

2.设计一些练习题，帮助学生巩固所学知识。

3.准备黑板和粉笔，用于板书和展示解题过程。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个简单的轴对称图形，引导学生回顾轴对称的基本概念和性质。

提问：你们知道什么是轴对称吗？轴对称有哪些性质？2.呈现（15分钟）展示一些线段和角的图形，让学生观察和思考它们是否具有轴对称性。

提问：你们能找出这些线段和角的轴对称线吗？3.操练（10分钟）让学生分组合作，每组选择一个线段或角，尝试找出它的对称轴。

人教版八年级数学上册第十三章线段、角的轴对称性知识点归纳及典例练习(无答案)

二、举例：
A
B
A
D
C
P
O
E
B
例 1：已知 ABC 中， AB=AC=10 ， DE 垂直平分 AB ，交 AC 于 E，已知 16 。求 ABC 的周长 .
BEC 的周长是
例 2：如图，已知∠ AOB 及点 C、D ，求作一点 P，使 PC=PD ，并且使点 P 到 OA 、OB 的距离相等。
A
·D C·
断线段 AD 与 EF 有何关系 ?并说明理由。
C E
D
A
B
F
3、如图，已知：在△ ABC 中，∠BAC ＝ 90°，BD 平分∠ABC ， DE ⊥BC 于 E 。试说明 BD 垂直平分 AE
b c
例 5：已知：如图，在Δ ABC 中， O 是∠B、∠C 外角的平分线的交点，那么点 O 在∠A 的平
分线上吗？为什么？
A
C B
D
E
O
例 6：如图，已知： AD 和 BC 相交于 O，∠1= ∠2，∠3= ∠4 。试判断 AD 和 BC 的关系，并说 C
1
A
2
3
4
O
D
明理由。
例 7：已知：如图，△ ABC 中， BC 边中垂线 ED 交 BC 于 E ，交 BA 延长线于 D，过 C 作
CF ⊥BD 于 F，交 DE 于 G，DF= 1 BC ，试说明∠ FCB= 1 ∠B
D
2
2
F
A
G
B
E
C
例 8：已知：在∠ABC 中，D 是∠ABC 平分线上一点， E、F 分别在 AB 、AC 上，且 DE=DF 。试判断∠BED 与∠BFD 的关系，并说明理由 .

2.4 线段、角的轴对称性第1课时苏科版数学八年级上册课件

＝4＋2 ＝6.
2 . 4 线段、角的轴对称性练习
1. 利用网格画线段 PQ 的垂直平分线：
l
解：如图所示.
2 . 4 线段、角的轴对称性 2. 如图，要在公路旁设一个公共汽车站，车站应设在什
么地方，才能使 A、B 两村到车站的距离相等?
2 . 4 线段、角的轴对称性
解：如图所示，连接 AB，作线段 AB 的垂直平分线l，直线l交公路于点 C，则点C就是汽车站的位置，此时 A， B 两村到车站的距离相等.
证明一个点在一条线段的垂直平分线上，还可以利用线段垂直平分线的定义进行推理，思路有两种：
一是作垂直，证平分；二是取中点，证垂直.
2 . 4 线段、角的轴对称性
例1 已知：如图2－22，在三△ABC中，AB、AC 的垂直平分线 l1、l2 相交于点 O.
求证：点 O 在 BC 的垂直平分线上. 证明：连接 OA、OB、OC. ∵点O在AB 的垂直平分线l1 上， ∴ OA＝OB
2 . 4 线段、角的轴对称性于是，我们得到如下定理：
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
2 . 4 线段、角的轴对称性几何语言
如图， ∵点A 在线段BC 的垂直平分线上， ∴ AB＝AC.
2 . 4 线段、角的轴对称性易错提醒
线段有两条对称轴，线段的垂直平分线是它的对称轴，线段自身所在的直线也是它的对称轴.
A. 2
B. 4
(C )
C. 6
D. 8
2 . 4 线段、角的轴对称性
方法点拨
利用线段垂直平分线的性质进行线段间的转化，是一种常用的解题方法. 本题中解题的关键是利用线段垂直平分线的性质将BC 的长转化为线段 AE＋EC 的长，即可求解.

冀教版八年级数学上册《轴对称》

80%
标志设计
许多标志和商标也采用了轴对称的设计元素，以体现平衡和和谐的美感。
02
轴对称图形绘制与识别
常见轴对称图形分类
01
02
03
04
轴对称的基本图形：如线段、角、三角形等。
常见的轴对称多边形：如矩形、菱形、正方形等。
轴对称的圆和圆弧。
复杂图形的轴对称组合。
绘制轴对称图形方法
确定对称轴
非欧几里得几何的分类
主要分为两类，一类是双曲几何，另一类是椭圆几何。在双曲几何中，过直线外一点可以有多条直线与已知直线平行；而在椭圆几何中，不存在与已知直线平行的直线。
非欧几里得几何的应用
在广义相对论中，爱因斯坦利用非欧几里得几何来描述引力作用下的空间弯曲现象。此外，在地图制作、计算机图形学等领域也有广泛应用。
函数图像平移、旋转与翻折变换
函数图像的平移变换
将函数图像沿x轴或y轴方向平移一定的距离，可以得到新的函数图像。平移后的函数表达式可以通过在原函数中增加或减少常数项得到。
函数图像的旋转变换
将函数图像绕原点或某一定点旋转一定的角度，可以得到新的函数图像。旋转后的函数表达式可以通过三角函数变换得到。
轴对称特点
对称轴是一条直线，对称轴两侧的图形是全等的，即形状和大小完全相同。
对称轴与对称中心
对称轴
对于轴对称图形，存在一条直线使得图形关于该直线对称，这条直线被称为对称轴。
对称中心
对于中心对称图形，存在一个点使得图形关于该点对称，这个点被称为对称中心。
图形关于直线对称性质
对应点连线被对称轴垂直平分
THANK YOU
感谢聆听
已知函数图像关于x轴对称，求函数表达式

人教版八年级数学上册第13章《轴对称》说课稿

人教版八年级数学上册第13章《轴对称》说课稿一. 教材分析《轴对称》是人教版八年级数学上册第13章的内容，主要介绍了轴对称的概念、性质和应用。

本章通过引入轴对称图形，使学生了解轴对称的定义，掌握轴对称的性质，并能运用轴对称解决实际问题。

教材内容安排合理，由浅入深，通过丰富的实例和练习，帮助学生理解和掌握轴对称的知识。

二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的几何知识基础，对图形的变换和性质有一定的了解。

但学生在学习过程中，可能对轴对称的概念和性质理解不够深入，对轴对称的应用范围和解决实际问题的方法不够熟悉。

因此，在教学过程中，需要注重引导学生理解和掌握轴对称的基本概念和性质，并通过实例和练习，让学生学会运用轴对称解决实际问题。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解轴对称的概念，掌握轴对称的性质，能够运用轴对称解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过观察、操作、思考、交流等过程，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣和好奇心，培养学生的团队合作意识和解决问题的能力。

四. 说教学重难点1.教学重点：轴对称的概念和性质，以及轴对称在实际问题中的应用。

2.教学难点：对轴对称概念的理解，以及如何运用轴对称解决实际问题。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、合作学习法等，引导学生主动探究、合作交流，培养学生的几何思维和解决问题的能力。

2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、几何画板等教学工具，帮助学生直观地理解轴对称的概念和性质。

六. 说教学过程1.导入：通过展示一些生活中的对称现象，如剪纸、建筑等，引导学生关注对称现象，激发学生对轴对称的兴趣。

2.新课导入：介绍轴对称的定义和性质，引导学生通过观察和操作，理解和掌握轴对称的概念。

3.实例分析：通过分析一些实际问题，如剪纸设计、建筑布局等，让学生学会运用轴对称解决实际问题。

4.练习与讨论：学生分组进行练习，讨论如何运用轴对称解决实际问题，教师进行巡回指导。

数学八年级上第一章线段角的轴对称性

第6课时线段、角的轴对称性(2)预学目标1．通过预习，知道角是轴对称图形，并理解角的对称轴是角平分线所在的直线．2．熟记定理：角平分线上的点到角的两边距离相等．理解此定理中的“距离”为两条垂线段的长度，要应用此定理，需要有两个垂直条件．3．熟记定理：角的内部到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．4．尝试完成知识梳理中的填空，初步掌握两个定理的表示方法及简单应用．5．从知识梳理2中体会当给出已知角平分线的条件时，常用辅助线是作垂线段．知识梳理1．角的轴对称性角_______（填“是”或“不是”）轴对称图形，对称轴是______________________．2．角平分线的性质和判定(1)如图1，OE平分∠AOB，P是OE上的一点，PC⊥OB，PD⊥OA，垂足分别为点C、D，根据角平分线的性质填空：∵OE平分/AOB，PC上OB，PD__OA，∴_______（角平分线上的点到角的两边距离相等）．(2)如图2，已知△ABC，先作出∠B、∠C的平分线，相交于点O，过点O作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分别为点D、E、F，再填空：∵BO平分∠ABC，OD⊥AB，OE⊥BC，∴OD＝OE( )．∵CO平分∠ACB，OE⊥BC，OF⊥AC，∴_______＝_______．∴_______＝_______＝_______，即三角形的角平分线的交点到三边的距离相等．∵OD＝OF，OD⊥AB，OF⊥AC(即点O到∠BAC的两边AB、AC的距离相等)，∴点O在_______的平分线上( )．3．角平分线作图的简单应用“西气东输”是造福子孙后代的创世工程，现有两条高速公路l1、l2和两个城镇A、B （如图3），准备建一个燃气控制中心站P，使中心站到两条公路的距离相等，并且到两个城镇的距离相等，请你画出中心站的位置．（保留画图痕迹，不写画法）例题精讲例1 如图①，已知直线l及其两侧的两点A、B．(1)在直线l上求作一点P，使PA＝PB．(2)在直线l上求作一点Q，使l平分∠AQB．提示：(1)要使PA＝PB，则点P在线段AB的垂直平分线上；(2)若在l上再取一点C，则由题意得∠AQC＝∠BQC．把A、B两点转化到直线l的同侧就容易多了．解答：如图②和图③．点评：(1)点P满足两个条件：在直线l上，且在线段AB的垂直平分线上，因此，找出它们的交点即可；(2)利用轴对称把问题简化．作点B关于直线l的对称点B'，再延长AB'交l于点Q．由对称性得∠BQC＝∠B'QC，由作法可知∠AQC＝∠B'QC＝∠BQC，满足题意．例2 如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD、△ACD的高，试说明AD垂直平分EF．提示：说明点A和点D都在线段EF的垂直平分线上即可．解答：∵DE、DF分别是△ABD、△ACD的高，∴DE⊥AB，DF⊥AC．∵AD是△ABC的角平分线，∴DE＝DF．∴点D在线段EF的垂直平分线上．∵AD＝AD，∴Rt△ADE≌Rt△ADF (HL)．∴AE＝AF．∴点A在线段EF的垂直平分线上．∴AD垂直平分EF．点评：此题综合了角平分线的定理和线段的垂直平分线的逆定理，也可以标出AD和EF的交点，通过说明两次全等来解决问题，同学们可以试一试．热身练习1．到三角形三边距离相等的点是( )A．三条高线的交点B．三条中线的交点C．三条垂直平分线的交点D．三条内角平分线的交点2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，CD＝5，则点D到AB的距离为____．3．如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A、B．下列结论中，不一定成立的是( )A．PA＝PB B．PO平分∠APB C．OA＝OB D．AB垂直平分OP 4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，DE垂直平分线段AB．(1)试找出图中相等的线段，并说明理由．(2)若DE＝1 cm，BD＝2 cm，求AC的长．5．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且BD＝DC，则EB＝FC成立吗？并说明理由．参考答案1．D 2．5 3．D 4．(1) DA=DB，EA=EB=CB，DC=DE根据角平分线的定理和垂直平分线的定理及三角形全等即得(2) AC=3 cm 5．EB=FC。