第3章量纲分析
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273.16分之一（1967）,摄氏温度t=T-273.16K
第三章 测量单位与相似模拟
1 SI制单位
3) SI的导出单位 (1)基本单位的词头
基本单位的倍数 如MPa, km, cm, mm, mm
词头
记号
Exa-艾可萨 E
Peta-拍它
P
Tera-太拉
T
Giga-吉咖
G
Mega-兆
M
Kilo-千
(VN/VVA)1=N1/A1
3 量纲分析与相似试验模型
3)相似模型与量纲分析 (多物理量的相似模拟） (1) 相似条件
力学现象相似的条件： 相似系数k=VN/VVA=1
或：
相似判据=2A2/N2=1A1/N1
相似第一定理：如果模型在现象上与原型相似，则特征物 理量构成的相似系数等于1，或相似判据 是一个不变量。
SI 导出 单位 ℃
rad deg deg/s Hz N kN mm cm
关系式
1rad=1m/m 1deg=/180rad
1Hz=1/s 1N=1kgm/s2(1kgf=9.81N) 1kN=103N 1mm=10-3m 1cm=10-2m
第三章 测量单位与相似模拟
1 SI制单位
3) SI导出单位(续1)
K1T=1/VT —— 物理量相似放大倍数
3 量纲分析与相似试验模型
2)单物理量的相似模拟 (1)无量纲相似
物理量无量纲化——物理问题数学抽象模型 用途：简化问题，数学求解 称谓：无量纲相似或归一化处理
方法：设定特征物理量VT[E1]
3 量纲分析与相似试验模型
2) 单物理量的相似模拟 (1) 无量纲相似
③ 电压表接通电压放大器的输出端口，调 试电压放大器的电压输出为零；
④ 旋转位移标定器刻度盘，使电压表读数 为电压放大器电压量程的百分数。
传感器测值的误差
第三章 测量单位与相似模拟
2 物理量单位换算与力学量标定
2) CAT的力学量标定
输入指令的量程百分数 /%
图 3-2 标定系数 K12 的误差分布
力学CAT基础
二00七年三月
第三章 测量单位与相似模拟
1 SI制单位 2 物理量单位换算与力学量标定 3 相似模型与量纲分析
第三章 测量单位与相似模拟
1 SI制单位
1）国际通用单位：必要性、发展历史
—物理量表征着物体运动状态与过程的特性， 具有可测性和度量性。
—通过获取与测量单位的比较倍数V 实现物理量X的测量
3 量纲分析与相似试验模型
3)相似模型与量纲分析 (多物理量的相似模拟） (1) 相似条件
相对复杂的力学原型，描述现象相似的相似判椐不止一个
例3：有一等截面直杆两端受有一对偏心的轴向力，其偏心 矩为L，则此杆件外侧面的应力可表为= PL/W+P/A，其 中W为抗弯截面模数，A为杆件截面积。请给出应力相似 的相似判据。
第三章 测量单位与相似模拟
1 SI制单位
3) SI导出单位
(2)根据基本单位和物理规律的导出单位
中文物理量 中文符号
英文名称
温度 平面角度
角速度 频率 f 力F
位移 d
摄氏度 弧度 度
赫兹 牛顿 千牛 毫米 厘米
Temperature Angle Angle angle rate Frequency Force Force Displacement
1 SI制单位
2) 七个SI基本单位
表3-1 SI基本单位
基本量 长度 质量 时间 电流强度 温度 物质的量 光强
量纲 L M T I N J
单位名称
米 千克
秒 安(培) 开(尔文) 摩(尔) 坎(德拉)
单位符号 m kg s A K mol cd
第三章 测量单位与相似模拟
2)七个SI基本单位
1米是光在1／299792458秒时间内在真空中所通过的距 离（1983，17th，精度10－9 ）
中文物理量
位移速率 加速度 长度 L 宽度 w 面积 S 体积 柔度 C 刚度 应力， 应力率 弹性模量
中文符号
毫米 毫米
兆帕 兆帕
英文名称
Velocity Acceleration Length Width Area Volume Compliance Stiffness Stress Stress rate Modulus
1=N1/A1，2=N2/A2
——A：横截面面积，N：横截面上的轴力
3 量纲分析与相似试验模型
3)相似模型与量纲分析 (多物理量的相似模拟） (1) 相似条件
例1： 设特征应力、特征轴力、特征面积分别为
V[MPa]、VN[N]、VA[mm2] 它们满足：
2=1/V
N2N1/VN
A2=A1/VA
整理得：
2 物理量单位换算与力学量标定
2) 力学CAT的力学量标定
在CAT系统中常用物理量电压的单位E2为伏特[v]，那
么力学量单位E1与电压量单位E2之间存在换算因子K12。
力学CAT系统测量电压与测量力或位移间须具线性关
系，因此K12为一个满足特定条件的定常物理量，该常量
由标定装置来测量。 CAT灵敏度K？ K＝1/K12
多物理量相似 ——如何设计物理量的特征物理量使得结构模型可以在 现象上相似地描述结构原型的力学行为确定特征物理 量之间的关系
3 量纲分析与相似试验模型
3)相似模型与量纲分析 (多物理量的相似模拟） (1) 相似条件
——模型与原型现象相似的条件
例1：设有两个截面不同的拉伸试样，受到不同的拉伸轴力 两个试样拉伸应力：
中文符号
微应变 焦耳 瓦特 伏特 欧姆 周/次
英文名称
Torque Torque rate Micro strain Strain rate Energy Power Volt Capacitance Resistance Damping Cycle number Percent Permillage
SI 单位
mm/s mm/s2
mm mm mm2 mm3 mm2/N N/mm MPa MPa/s MPa
关系式
1MPa=106N/m2=1N/mm2
第三章 测量单位与相似模拟
1 SI制单位
3) SI导出单位(续2)
中文物理量
扭矩 M 扭矩率 应变 应变率 能量 E 功率 P 电压 U 电容 C 电阻 R 阻尼 循环数* 百分数* 千分数*
k
Hecto-百
h
Deca-十
da
数值 1018 1015 1012 109 106 103 102
10
词头
Deci-分 Centi-厘 Milli-豪 Micro-微 Nano-纳 Pico-皮 Femto-飞 Atto-阿
记号 d c m m n p f a
数值 10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12 10-15 10-18
3 量纲分析与相似试验模型
2) 单物理量的相似模拟 (3) 不等量纲相似
还原：P=VT P [E1]
单物理量相似： 被测量＝特征值×模拟量
3 量纲分析与相似试验模型
3)相似模型与量纲分析 (多物理量的相似模拟）
单物理量相似 设计特征物理量 长度无量纲化几何相似 应力无量纲化力学相似
工程结构同时涉及长度、力、时间，因此结构模型应考 虑多个物理量的综合相似。
3 量纲分析与相似试验模型
3)相似模型与量纲分析 (多物理量的相似模拟） (1) 相似条件
例2：简支梁原型中心受到一个集中力P，梁截面的高 宽为h和b，梁的跨度为l，若模型长度特征值为10（即 原型在几何上缩小10倍）以及应力特征值为1（模型 与原型的应力相等），模型的载荷特征值应取为多少 才能保证弹性变形现象的相似呢？
例：材料单轴本构方程
=/E+a(/E)n
n
——特征应变为屈服应变0[mm/mm] ——特征应力取为屈服应力0[MPa]
——无量纲数据 =/0[1], =/0[1]
物理量还原： = 0，= 0
3 量纲分析与相似试验模型
2) 单物理量的相似模拟 (1) 无量纲相似
放大倍数 类似设备的灵敏度
力学量未知 力学量可知
CAT通道 CAT通道
电压量可测 力学量＝K12电压量
电压量可测
获得转换 关系K12
第三章 测量单位与相似模拟
2 物理量单位换算与力学量标定
2) CAT的力学量标定
测量标定量 K12的方法：
① 使引伸计竖向夹持在位移标定器上并将 引伸计输出导线接通电压放大器的输入 端口；
② 旋转标定器位移刻度盘使位移读数为零 取出引伸计引伸杆初始限位插销；
量子单位
第三章 测量单位与相似模拟
1 SI制单位
1）国际通用单位：必要性、发展历史 1960法国11届巴黎国际计量大会 SI——Systéme International d’Unités 制定SI制单位
确定七个基本物理量单位 中国——1984.1决定1990.1开始采用SI制
第三章 测量单位与相似模拟
1千克是国际千克原型的质量(1889，巴黎铂铱柱，精度10－9) 1秒是同位素铯cs133原子基本状态的两个超精细结构能级
之间的跃迁相对应的放射周期的9192631770倍（1967,13th） 1 安 培 电 流 是 指 在 两 根 无 限 长 的 、 在 真 空 中 平 行 间 隔 为 一
米的、截面可忽略不计的圆形导线中所流过的直流电流 强度，该电流强度能使每米长的两根导线之间产生 0.2×l0－6N的电动洛伦兹力（1948，9th） 1 开 尔 文 绝 对 温 度 单 位 是 水 的 三 态 点 的 热 动 态 温 度 的
1) 单位的换算
一个测量数值为V1、单位为E1的测量结果:
X＝V1[E1]
——可忽略[]写法
以单位E2来表示: X=V1E1=V2E2
则： V2＝K12V1 K12 = 1E1/E2
如果E1和E2为同类物理量单位，则K12为单位E2的倍数。 如果E1和E2不同类，则K12是一个定常单位转换量。
第三章 测量单位与相似模拟
P P
3 量纲分析与相似试验模型
3)相似模型与量纲分析 (多物理量的相似模拟） (1) 相似条件
例2： 原型和模型应力计算公式为 =Pl/(4W)
w:抗弯截面模数
m=Pmlm/(4Wm) 已知m= 、Pm=P/VP、lm=l/10、bm=b/10 Wm=bmhm2/6=W/1000 代入上式得：
=(P/VP)(l/10)/[4(W/1000)]=(100/VP)Pl/(4W) 则相似系数k=100/VP=1, 故VP＝100。
X=V[E] —测量单位长期不统一：米制，英制，中国制
第三章 测量单位与相似模拟
1 SI制单位
1）国际通用单位：必要性、发展历史
科学要求测量单位稳定性
麦克斯韦(1831~1879)指出： “如果我们想取得长度、时间和质量的绝对不 变的单位，我们不能在我们星球的大小、运 动和质量中去寻找，而只能在永久的、不变 的、完全同种的原子的波长、频率和质量中 去寻找。”
第三章 测量单位与相似模拟
2) CAT的力学量标定
第三章 测量单位与相似模拟
3 量纲分析与相似试验模型
1) 特征单位ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
令
则物理量可表为
[ET]=VT[E1] 于是折算系数
K1T= [E1]/[ET]=1/VT
X=V1[E1] =K1TV1[ET] =(V1/VT)[ET]
ET —— 广义导出单位或特征单位 VT —— 特征值 K1T —— 特征系数
SI 单位
Nmm Nmm/s m mm/mm/s J W V F
KN-s/mm Cycle % ‰
关系式
1m=10-6mm/mm
1J=1kNmm(=1kgm2/s2) 1W=1J/s=1kNmm/s 1V=1W/A s4A2/(m2kg) 1V/A
第三章 测量单位与相似模拟
2 物理量单位换算与力学量标定
3 量纲分析与相似试验模型
2) 单物理量的相似模拟 (2) 等量纲相似
3 量纲分析与相似试验模型
2) 单物理量的相似模拟 (3)不等量纲相似
CAT物理测试通道的模拟量测试 方法： （1）设定特征物理量[PT]=VT[E1]
比如100kN/10v测试系统，可设[PT]=VT[kN]=10[kN] （2）对物理量无量纲化PV (=VP/VTA/D采集到的数值结果） （3）构建不等量纲量P＝PV[E2] ([E2]=[v],PV采集电压值） （4） 转换系数K12=P/ P =VP[kN]/(PV[v])=VT[kN/v] （5） 还原 P=K12P =VTPV[kN]
3 量纲分析与相似试验模型
2) 单物理量的相似模拟 (2) 等量纲相似
工程构件相似模型——几何尺寸放大与缩小，力学量 放大与缩小
方法： （1）设定特征物理量 (特征单位) （2）对构件物理量无量纲化 （3）构建等量纲量
结构几何坐标系：(x,y,z)[mm] 设定一个特征长度VT[mm] 无量纲新坐标系：(x/VT,y/VT,z/VT) 等量纲坐标系： (x/VT,y/VT,z/VT)[mm]
第三章 测量单位与相似模拟
1 SI制单位
3) SI的导出单位 (1)基本单位的词头
基本单位的倍数 如MPa, km, cm, mm, mm
词头
记号
Exa-艾可萨 E
Peta-拍它
P
Tera-太拉
T
Giga-吉咖
G
Mega-兆
M
Kilo-千
(VN/VVA)1=N1/A1
3 量纲分析与相似试验模型
3)相似模型与量纲分析 (多物理量的相似模拟） (1) 相似条件
力学现象相似的条件： 相似系数k=VN/VVA=1
或：
相似判据=2A2/N2=1A1/N1
相似第一定理：如果模型在现象上与原型相似，则特征物 理量构成的相似系数等于1，或相似判据 是一个不变量。
SI 导出 单位 ℃
rad deg deg/s Hz N kN mm cm
关系式
1rad=1m/m 1deg=/180rad
1Hz=1/s 1N=1kgm/s2(1kgf=9.81N) 1kN=103N 1mm=10-3m 1cm=10-2m
第三章 测量单位与相似模拟
1 SI制单位
3) SI导出单位(续1)
K1T=1/VT —— 物理量相似放大倍数
3 量纲分析与相似试验模型
2)单物理量的相似模拟 (1)无量纲相似
物理量无量纲化——物理问题数学抽象模型 用途：简化问题，数学求解 称谓：无量纲相似或归一化处理
方法：设定特征物理量VT[E1]
3 量纲分析与相似试验模型
2) 单物理量的相似模拟 (1) 无量纲相似
③ 电压表接通电压放大器的输出端口，调 试电压放大器的电压输出为零；
④ 旋转位移标定器刻度盘，使电压表读数 为电压放大器电压量程的百分数。
传感器测值的误差
第三章 测量单位与相似模拟
2 物理量单位换算与力学量标定
2) CAT的力学量标定
输入指令的量程百分数 /%
图 3-2 标定系数 K12 的误差分布
力学CAT基础
二00七年三月
第三章 测量单位与相似模拟
1 SI制单位 2 物理量单位换算与力学量标定 3 相似模型与量纲分析
第三章 测量单位与相似模拟
1 SI制单位
1）国际通用单位：必要性、发展历史
—物理量表征着物体运动状态与过程的特性， 具有可测性和度量性。
—通过获取与测量单位的比较倍数V 实现物理量X的测量
3 量纲分析与相似试验模型
3)相似模型与量纲分析 (多物理量的相似模拟） (1) 相似条件
相对复杂的力学原型，描述现象相似的相似判椐不止一个
例3：有一等截面直杆两端受有一对偏心的轴向力，其偏心 矩为L，则此杆件外侧面的应力可表为= PL/W+P/A，其 中W为抗弯截面模数，A为杆件截面积。请给出应力相似 的相似判据。
第三章 测量单位与相似模拟
1 SI制单位
3) SI导出单位
(2)根据基本单位和物理规律的导出单位
中文物理量 中文符号
英文名称
温度 平面角度
角速度 频率 f 力F
位移 d
摄氏度 弧度 度
赫兹 牛顿 千牛 毫米 厘米
Temperature Angle Angle angle rate Frequency Force Force Displacement
1 SI制单位
2) 七个SI基本单位
表3-1 SI基本单位
基本量 长度 质量 时间 电流强度 温度 物质的量 光强
量纲 L M T I N J
单位名称
米 千克
秒 安(培) 开(尔文) 摩(尔) 坎(德拉)
单位符号 m kg s A K mol cd
第三章 测量单位与相似模拟
2)七个SI基本单位
1米是光在1／299792458秒时间内在真空中所通过的距 离（1983，17th，精度10－9 ）
中文物理量
位移速率 加速度 长度 L 宽度 w 面积 S 体积 柔度 C 刚度 应力， 应力率 弹性模量
中文符号
毫米 毫米
兆帕 兆帕
英文名称
Velocity Acceleration Length Width Area Volume Compliance Stiffness Stress Stress rate Modulus
1=N1/A1，2=N2/A2
——A：横截面面积，N：横截面上的轴力
3 量纲分析与相似试验模型
3)相似模型与量纲分析 (多物理量的相似模拟） (1) 相似条件
例1： 设特征应力、特征轴力、特征面积分别为
V[MPa]、VN[N]、VA[mm2] 它们满足：
2=1/V
N2N1/VN
A2=A1/VA
整理得：
2 物理量单位换算与力学量标定
2) 力学CAT的力学量标定
在CAT系统中常用物理量电压的单位E2为伏特[v]，那
么力学量单位E1与电压量单位E2之间存在换算因子K12。
力学CAT系统测量电压与测量力或位移间须具线性关
系，因此K12为一个满足特定条件的定常物理量，该常量
由标定装置来测量。 CAT灵敏度K？ K＝1/K12
多物理量相似 ——如何设计物理量的特征物理量使得结构模型可以在 现象上相似地描述结构原型的力学行为确定特征物理 量之间的关系
3 量纲分析与相似试验模型
3)相似模型与量纲分析 (多物理量的相似模拟） (1) 相似条件
——模型与原型现象相似的条件
例1：设有两个截面不同的拉伸试样，受到不同的拉伸轴力 两个试样拉伸应力：
中文符号
微应变 焦耳 瓦特 伏特 欧姆 周/次
英文名称
Torque Torque rate Micro strain Strain rate Energy Power Volt Capacitance Resistance Damping Cycle number Percent Permillage
SI 单位
mm/s mm/s2
mm mm mm2 mm3 mm2/N N/mm MPa MPa/s MPa
关系式
1MPa=106N/m2=1N/mm2
第三章 测量单位与相似模拟
1 SI制单位
3) SI导出单位(续2)
中文物理量
扭矩 M 扭矩率 应变 应变率 能量 E 功率 P 电压 U 电容 C 电阻 R 阻尼 循环数* 百分数* 千分数*
k
Hecto-百
h
Deca-十
da
数值 1018 1015 1012 109 106 103 102
10
词头
Deci-分 Centi-厘 Milli-豪 Micro-微 Nano-纳 Pico-皮 Femto-飞 Atto-阿
记号 d c m m n p f a
数值 10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12 10-15 10-18
3 量纲分析与相似试验模型
2) 单物理量的相似模拟 (3) 不等量纲相似
还原：P=VT P [E1]
单物理量相似： 被测量＝特征值×模拟量
3 量纲分析与相似试验模型
3)相似模型与量纲分析 (多物理量的相似模拟）
单物理量相似 设计特征物理量 长度无量纲化几何相似 应力无量纲化力学相似
工程结构同时涉及长度、力、时间，因此结构模型应考 虑多个物理量的综合相似。
3 量纲分析与相似试验模型
3)相似模型与量纲分析 (多物理量的相似模拟） (1) 相似条件
例2：简支梁原型中心受到一个集中力P，梁截面的高 宽为h和b，梁的跨度为l，若模型长度特征值为10（即 原型在几何上缩小10倍）以及应力特征值为1（模型 与原型的应力相等），模型的载荷特征值应取为多少 才能保证弹性变形现象的相似呢？
例：材料单轴本构方程
=/E+a(/E)n
n
——特征应变为屈服应变0[mm/mm] ——特征应力取为屈服应力0[MPa]
——无量纲数据 =/0[1], =/0[1]
物理量还原： = 0，= 0
3 量纲分析与相似试验模型
2) 单物理量的相似模拟 (1) 无量纲相似
放大倍数 类似设备的灵敏度
力学量未知 力学量可知
CAT通道 CAT通道
电压量可测 力学量＝K12电压量
电压量可测
获得转换 关系K12
第三章 测量单位与相似模拟
2 物理量单位换算与力学量标定
2) CAT的力学量标定
测量标定量 K12的方法：
① 使引伸计竖向夹持在位移标定器上并将 引伸计输出导线接通电压放大器的输入 端口；
② 旋转标定器位移刻度盘使位移读数为零 取出引伸计引伸杆初始限位插销；
量子单位
第三章 测量单位与相似模拟
1 SI制单位
1）国际通用单位：必要性、发展历史 1960法国11届巴黎国际计量大会 SI——Systéme International d’Unités 制定SI制单位
确定七个基本物理量单位 中国——1984.1决定1990.1开始采用SI制
第三章 测量单位与相似模拟
1千克是国际千克原型的质量(1889，巴黎铂铱柱，精度10－9) 1秒是同位素铯cs133原子基本状态的两个超精细结构能级
之间的跃迁相对应的放射周期的9192631770倍（1967,13th） 1 安 培 电 流 是 指 在 两 根 无 限 长 的 、 在 真 空 中 平 行 间 隔 为 一
米的、截面可忽略不计的圆形导线中所流过的直流电流 强度，该电流强度能使每米长的两根导线之间产生 0.2×l0－6N的电动洛伦兹力（1948，9th） 1 开 尔 文 绝 对 温 度 单 位 是 水 的 三 态 点 的 热 动 态 温 度 的
1) 单位的换算
一个测量数值为V1、单位为E1的测量结果:
X＝V1[E1]
——可忽略[]写法
以单位E2来表示: X=V1E1=V2E2
则： V2＝K12V1 K12 = 1E1/E2
如果E1和E2为同类物理量单位，则K12为单位E2的倍数。 如果E1和E2不同类，则K12是一个定常单位转换量。
第三章 测量单位与相似模拟
P P
3 量纲分析与相似试验模型
3)相似模型与量纲分析 (多物理量的相似模拟） (1) 相似条件
例2： 原型和模型应力计算公式为 =Pl/(4W)
w:抗弯截面模数
m=Pmlm/(4Wm) 已知m= 、Pm=P/VP、lm=l/10、bm=b/10 Wm=bmhm2/6=W/1000 代入上式得：
=(P/VP)(l/10)/[4(W/1000)]=(100/VP)Pl/(4W) 则相似系数k=100/VP=1, 故VP＝100。
X=V[E] —测量单位长期不统一：米制，英制，中国制
第三章 测量单位与相似模拟
1 SI制单位
1）国际通用单位：必要性、发展历史
科学要求测量单位稳定性
麦克斯韦(1831~1879)指出： “如果我们想取得长度、时间和质量的绝对不 变的单位，我们不能在我们星球的大小、运 动和质量中去寻找，而只能在永久的、不变 的、完全同种的原子的波长、频率和质量中 去寻找。”
第三章 测量单位与相似模拟
2) CAT的力学量标定
第三章 测量单位与相似模拟
3 量纲分析与相似试验模型
1) 特征单位ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
令
则物理量可表为
[ET]=VT[E1] 于是折算系数
K1T= [E1]/[ET]=1/VT
X=V1[E1] =K1TV1[ET] =(V1/VT)[ET]
ET —— 广义导出单位或特征单位 VT —— 特征值 K1T —— 特征系数
SI 单位
Nmm Nmm/s m mm/mm/s J W V F
KN-s/mm Cycle % ‰
关系式
1m=10-6mm/mm
1J=1kNmm(=1kgm2/s2) 1W=1J/s=1kNmm/s 1V=1W/A s4A2/(m2kg) 1V/A
第三章 测量单位与相似模拟
2 物理量单位换算与力学量标定
3 量纲分析与相似试验模型
2) 单物理量的相似模拟 (2) 等量纲相似
3 量纲分析与相似试验模型
2) 单物理量的相似模拟 (3)不等量纲相似
CAT物理测试通道的模拟量测试 方法： （1）设定特征物理量[PT]=VT[E1]
比如100kN/10v测试系统，可设[PT]=VT[kN]=10[kN] （2）对物理量无量纲化PV (=VP/VTA/D采集到的数值结果） （3）构建不等量纲量P＝PV[E2] ([E2]=[v],PV采集电压值） （4） 转换系数K12=P/ P =VP[kN]/(PV[v])=VT[kN/v] （5） 还原 P=K12P =VTPV[kN]
3 量纲分析与相似试验模型
2) 单物理量的相似模拟 (2) 等量纲相似
工程构件相似模型——几何尺寸放大与缩小，力学量 放大与缩小
方法： （1）设定特征物理量 (特征单位) （2）对构件物理量无量纲化 （3）构建等量纲量
结构几何坐标系：(x,y,z)[mm] 设定一个特征长度VT[mm] 无量纲新坐标系：(x/VT,y/VT,z/VT) 等量纲坐标系： (x/VT,y/VT,z/VT)[mm]