chap2习题解答

DFT [ y ( n )] 与 X ( k ) 的关系.
2
X (k ) =
∑ x ( n )W
n=0
N −1
kn N rN − 1
Y ( k ) = D F T [ y ( n )] =
∑
− j
y ( n )W
n=0
kn rN
=
∑ x ( n )W
n=0
N −1
kn rN
由 于 n ≤ N-1时 ,y(n)=x(n); n > N − 1时 ,y(n)=0. 由于W
n ⎧ ⎪ x ( n ) = a RN ( n ) ⎨ n ⎪ ⎩ y ( n ) = b RN ( n )
注意： 根据 DFT 的线性性质可以得到，当
f ( n ) = x ( n ) + jy ( n ) 时， F ( k ) = X ( k ) + jY ( k ) ，其中
IDFT 就一定形成
，
4 2 很多同学在第二列 W16 的位置写的是 W16
kn X (k ) = ∑ x(n)W16 , k = 0,1,...,15 n =0
15
按奇偶分组:
2 rk (2 r +1) k X(k)=∑ x(2r )W16 + ∑ x(2r + 1)W16 r =0 r =0 7 7
= ∑ x(2r )W
1
习题 2.12 解：
X ( k ) = DFT ⎡ ⎣ x ( n )⎤ ⎦ = ∑ x ( n )W
n=0
N −1
kn N
= ∑ x ( n )e
n =0
N −1
−j
2π kn N
k ∈ [ 0, N − 1]
m n 2πm n ⎡ ⎛ j2πN −j ⎞⎤ 1 N D FT[ x(n)cos{(2πm/ N)n}] = D FT ⎢x(n)⎜e +e ⎟⎥ 2 ⎢ ⎠⎥ ⎣ ⎝ ⎦ 2π(k−m)n 2π(k+m)n N−1 −j −j 1 N−1 1 = ∑x(n)e N + ∑x(n)e N 2 n=0 2 n=0 1 X( ( k −m) ) N +X( ( k +m) ) N ⎤ RN ( k) = ⎡ ⎣ ⎦ 2
用频率抽取法:
6
把序列按前后对半分开 x1 (n) = x(n), n = 0,1,..., 7 x2 (n) = x(n + 8), n = 0,1,..., 7 X (k )
nk = ∑ x(n)W16 n =0 7 ( n +8) k nk = ∑ x1 (n)W16 + ∑ x2 (n)W16 n =0 n =0 7 15
r =0 7
7ห้องสมุดไป่ตู้
2 rk 16
+W
k 16
∑ x(2r + 1)W
r =0 7
7
2 rk 16
(因W
2 rk 16
=e
−j
2π 2 rk 16
=e
−j
2π rk 8
= W8rk )
k k = ∑ x(2r )W8rk + W16 H (k ) ∑ x(2r + 1)W8rk = G(k ) + W16 r =0 r =0
N −1
注:W2kn N =e
2π kn −j 2N
=e
=W
因为x(n)的周期为N , 则x(n + N ) = x(n), 且 W2kN( n + N ) = e
−j 2π k ( n+ N ) 2N
=e
− j(
2π K N + Kπ ) N 2
= (−1) k e
k n
-j
2π k n N 2
= (−1) k WN2
IDFT 变 换 ， 显 然 ，
IDFT ⎡ ⎣ M ( k )⎤ ⎦ ≠ x (n) ，
IDFT ⎡ ⎣ N ( k )⎤ ⎦ ≠ y (n) 。
所以，直接由 F 是不正确的。 (2)
( k ) = X ( k ) + jY ( k ) 得到 IDFT ⎡ ⎣ X ( k )⎤ ⎦ ≠ x ( n ) ， IDFT ⎡ ⎣Y ( k ) ⎤ ⎦ ≠ y (n)
∑ ( aW )
n=0
N −1
k n N
=
k 1 − ( aWN ) k 1 − aWN
N
∴
1− aN = k 1 − aWN
n n ⎤ f ( n ) = IDFT ⎡ ⎣ DFT ( a RN ( n ) ) + jDFT ( b RN ( n ) ) ⎦ = x ( n ) + jy ( n )
k
n
X 2 (k ) = ∑ x(n)WN2 + (−1)k ∑ x(n)WN2
n n =0 n=0
N −1
k
N −1
k N −1 n k 当k为偶数时,上式=2∑ x(n)WN2 = 2 X ( ); 2 n =0 当k为奇数时,上式=0.
2-9 有限长为 N = 10 的两序列
⎧1, 0 ≤ n ≤ 4 x(n) = ⎨ ⎩0,5 ≤ n ≤ 9
数字信号处理习题
第二章
2-1
如果
x ( n) 是一个周期为 N 的周期序列,则它也是周期为 2 N 的周期序列.将 x ( n) 看作周 x ( n) 看作 2 N 的周期序列,并且令 X 2 (k ) 表示其
期为 N 的周期序列,令 X 1 (k ) 表示其 DFS,再将 DFS,试利用
X 1 (k ) 确定 X 2 (k ) .
m n 2πm n ⎡ ⎛ j2πN −j ⎞⎤ 1 N D FT[ x(n)cos{(2πn/ N)n}] = D FT ⎢x(n)⎜e −e ⎟⎥ 2j ⎢ ⎠⎥ ⎣ ⎝ ⎦ 2π(k−m)n 2π(k+m)n N−1 −j −j 1 N−1 1 = ∑x(n)e N − ∑x(n)e N 2j n=0 2j n=0 1 = ⎡ X( ( k −m) ) N −X( ( k +m) ) N ⎤ RN ( k) ⎣ ⎦ 2j
（2）F(k)=1+jN 解： (1) 方法 1：利用基本定义及 DFT 的线性特性：
∵
f ( n ) = IDFT ⎡ ⎣ F ( k )⎤ ⎦ 1 N −1 ⎛ 1 − a N 1 − b N ⎞ − nk = ∑⎜ +j W k k ⎟ N 1 − bWN N n=0 ⎝ 1 − aWN ⎠
又：
f ( n ) 是由两个实有限长序列 x ( n ) 、 y ( n ) 组成， f ( n ) = x ( n ) + jy ( n ) ，
⎡ ⎣ f ( n )⎤ ⎦ = F ( k ) ，求 X ( k ) 、 Y ( k ) 以及 x ( n ) 、 y ( n ) 。
(k ) =
1− aN 1 − bN + j k k 1 − aWN 1 − bWN
现在按对频率序列抽取,把它分成偶部和奇部,偶数时令k=2l,奇数时令 k=2l+1,这里l=0,1,...7, X(2l)=∑ x1 (n)W
n =0 −j 2 nl W16 =e 2π 2 nl 16 7 2 nl 16 −j 2( n +8) l + ∑ x2 (n)W16 n =0 2π nl 16 2 7
G (k ) = ∑ x(2r )W
r =0
7
rk 8
H (k ) = ∑ x(2r + 1)W8rk
r =0
7
G (k ), H (k )都是只包含8点的DFT , G (k )只包含原序列中的偶数序列, 而H (k )则只包含奇数序列,另外它的周期都为8,所以有 G(k)=G(k+8) H(k)=H(k+8)
2-21
试导出 N
= 16 时的基二按时间抽取算法和按频率抽取算法 FFT,并分别画出它们的流图.
解答: 用基二按时间抽取:
5
0 0 0 0 W16 W16 W16 W16 0 4 2 1 W16 W16 W16 W16 0 0 4 2 W16 W16 W16 W16
时间抽取系数
0 4 3 6 W16 W16 W16 W16 0 0 0 4 W16 W16 W16 W16 0 4 2 5 W16 W16 W16 W16 0 0 4 6 W16 W16 W16 W16 4 6 7 0 W16 W16 W16 W16
⎡1 ⎤ * ⎤ f n DFT f n f n X ( k ) = DFT ⎡ Re = + ( ) ( ) ( ) { } { }⎥ ⎢ ⎣ ⎦ ⎣2 ⎦ 1 * F k F = ⎡ + =1 ( ) ( N − k )⎤ ⎣ ⎦ 2
4
⎡1 ⎤ * ⎡ ⎤ X ( k ) = DFT ⎣Im{ f ( n)}⎦ = DFT ⎢ { f ( n) − f ( n)}⎥ ⎣2 j ⎦ 1 * F k F = ⎡ − =N ( ) ( N − k )⎤ ⎣ ⎦ 2j
kn rN
=e
− j
2π kn rN k n r N
=e
2π k n N r
=W
k n r N
,所 以 当
k 为整数时, r
Y ( k ) = ∑ x ( n )W
n=0
N −1
k = X( ) r
其余不能用 X（k）表示，相当于 X(K)的内插.
2-15 已知复有限长序列 并且 DFT （1） F
⎡1 ⎤ * ⎤ = − Im Y ( k ) = DFT ⎡ f n DFT f n f n ( ) ( ) ( ) { } { } ⎢2 j ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ N 1 1− b ⎡ = = F ( k ) − F * ( N − k )⎤ k ⎣ ⎦ 2j 1 − bWN
对X
( k ) 、 Y ( k ) 作 IDFT 得到：
x ( n) = 0, n ≥ 8 y ( n) = 0, n ≥ 20
各作其 20 点 DFT,然后将两个 DFT 相乘,再计算乘积序列的 IDFT 得,试指出 r (n) 的哪些点对应于
x(n) 与 y (n) 作线性卷积应得到的点.
解答: 这样计算相当于做了 20 点的圆周卷积 m
= 7 ∼ 19 时,圆周卷积等于线性卷积.可以通过画图得到.
故：
n ⎧ ⎪ x ( n ) = a RN ( n ) ⎨ n ⎪ ⎩ y ( n ) = b RN ( n )
⎧ 1− aN X k = ( ) ⎪ k 1 − aWN ⎪ ⎨ N ⎪Y ( k ) = 1 − b k ⎪ 1 − bWN ⎩
方法 2：利用 DFT 的共轭对称性：
3
⎡1 ⎤ ⎡ Re { f ( n )}⎦ ⎤ = DFT ⎢ X ( k ) = DFT ⎣ f ( n ) + f * ( n )}⎥ { ⎣2 ⎦ 1 1− aN * F ( k ) + F ( N − k )⎤ = ⎡ ⎦ = 1 − aW k 2⎣ N
解答:
kn X 1 (k ) = ∑ x(n)WN n=0 N −1
X 2 (k ) =
2 N −1 N =0
∑
kn k ( n+ N ) x(n)W2kn N = ∑ x ( n)W2 N + ∑ x ( n + N )W2 N n=0 n =0 2π k n -j N 2 k n 2 N
N −1
对 X(k)和 Y(k)做 IDFT 得到：
⎧ ⎪ x ( n) = δ ( n) RN ( n) ⎨ ⎪ ⎩ y ( n) = Nδ ( n) RN ( n)
其中，在做 IDFT 时运用到了书 P58 页（2.47）式的结论。
2-18
研究两个有限长序列 x ( n ),
y ( n) ,此二序列当 n < 0 皆为零,并且
用作图表示 x ( n ), 解答:
⎧1, 0 ≤ n ≤ 4 y ( n) = ⎨ ⎩ −1,5 ≤ n ≤ 9
y ( n ) 及 f ( n) = x ( n) ∗ y ( n)
⎧1, 2,3, 4,5,3,1, −1, −3, −5, −4, −3, −2, −1, n = 0,1,..13 f ( n) = ⎨ ⎩0, 其它
k+8 k = −W16 W16 ,所以有 k X (k ) = G (k ) + W16 H (k ), k = 0,1, 2,...7 k X (k + 8) = G (k ) − W16 H (k ), k = 0,1, 2,...7
一个16点序列的DFT可由两个8点序列的DFT得到,依此类推,G(k),H(k) 也可以这样得到.
注意：由于 X(k)取值范围只在 0 到 N-1，而 k-m 与 k+m 有可能超出这个范围，因此应该先进行周期延 拓，再取其主值部分。
2-13
解答:
已知
x ( n ) 是长为 N
的有限长序列,
X ( k ) = DFT [ x ( n)] ,现将长度添零扩大 r 倍,得长
度为 rN 的有限长序列 y ( n ) 。求
X ( k ) 、 Y ( k ) 均为复序列。但并不是对于形如 F ( k ) = X ( k ) + jY ( k ) 进行
X ( k ) ↔ x ( n ) ， Y ( k ) ↔ y ( n ) 的一一对应关系。如，我们将 F ( k ) 进行变形，使其虚部和实部分
开得到：
F ( k ) = M ( k ) + jN ( k ) ， 对 其 进 行