第二章 第一节 正交多项式
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b
b
a
* * * ( x) g n ( x)dx ( x) g n ( x) g 0 ( x)dx 0 a
此与正交多项式的定义相矛盾。于是至少有某一数 x1 (a, b), * * 使 gn ( x1 ) 0, 现假设 x1 是 gn ( x)的重根，即
* gn ( x1 ) ( x x1 )2 Qn2 ( x),
* * * 证明 由于 xgn ( x) 是 n 1 次多项式，因此可由 g0 ( x), g1* ( x),, gn1 ( x)
线性表出，即存在C0 , C1 ,, Cn1使
xg (x)=C0 g0 (x)+C1 g1 (x)++Cn +1 gn +1 (x) (1.11) n
1
d m k (1) [( x 2 1) m ]( x 2 1) k dx 1 dx m k
k 1
若 k m ,则
1
1
Pk ( x ) Pm ( x) dx 0
若 k m ,则有
2
k k
k !k ! Pk2 ( x) dx
1
1
d 2k (1) [( x 2 1) k ]( x 2 1) k dx 1 dx 2 k
二、 正交多项式的性质
设 gk ( x) 是在 [ a, b] 上带权正交的多项式序列，其中 g ( x) 表示 n 次正交多项式：
n
gn ( x) An x n A1 x A0 ,( An 0)
(1.8)
若记
* g n ( x)
n 0,1, 2
g n ( x) , An
1， cos x,sin x,cos 2 x,sin 2 x,,cos nx,sin nx, 在区间[-π , π ] 上两两正交,因为
cos kx cos jxdx 0,( k j ) sin kx sin jxdx 0,( k j ) cos kx sin jxdx 0 sin 2 kxdx cos 2 kxdx
q ( x ) Ck g k ( x )
k 0 n
1.9
推论2 任何次数不超过 n的多项式 qk ( x)必定同 gn1 ( x) 带权 正交,即
(qk ( x), gn1 ( x)) 0,(k 0,1,n)
特别地有
( xk , gn1 ( x)) 0.(k 0,1,n).
第一节
正交多项式
一、 正交函数系与正交多项式
二、 正交多项式的性质 三、 Legendre 多项式 四、 Chebyshey 多项式
五、其它常用的正交多项式 六、小结
一、 正交函数系与正交多项式
定义1 给定函数 ( x), x [a, b] 若 ( x ) 满足: (1) ( x) 0, x (a, b); (2)
其中
ˆ n ( xgn , gn ) /( gn , gn )
ˆn ( gn , gn ) /( gn1 , gn1 )
性质3
n 次正交多项式 gn ( x) 有 n 个互异的实根，并且全
*
部位于区间 ( a, b) 内。 证明： 取固定的
* n( n 1) ,假定 g n ( x)>0, 则
性质2 对于最高次项系数为1的正交多项式 gk ( x)存 在着递推关系
gn1 (x) (x-n )gn (x)- n gn -1 (x)
(1.10)
其中
* * * * n ( xg n , g n ) /( g n , g n ), * * * * n ( g n , g n ) /( g n1 , g n1 ).
2
k m
k !m! Pk ( x) Pm ( x)dx
1
1
m dk 2 k d [( x 1) ] m [( x 2 1) m ]dx 1 dx k dx 1
d m1 d k 1 [( x 2 1) m ] k 1 [( x 2 1) k 1 dx m 1 dx
则
* Qn2 ( x) gn ( x) /( x x1 )2
是 n 2 次多项式，由正交多项式的定义有
b
a
* g n ( x) ( x) g ( x) dx 0 2 ( x x1 ) * n
另一方面却有
b
a
* * b g n ( x) g n ( x) 2 ( x) g ( x) dx ( x)( ) dx 0 2 a ( x x1 ) x x1 * n
(k !) 2 (1 x) 2 k 1 =(2k)! (2k )!(2k 1)
1 1
于是有
(k !) 2 22 k 1 , 2k 1
四、
即多项式
1
1
Pk2 ( x)dx
2 2k 1
Chebyshey 多项式
Tn (x)=cos(narccosx),n= 0,1,2,
k 1
= (-1) (2k )! [( x 2 1) k ]dx
k 1
1
=(2k)! [(1 x) k (1 x) k ]dx
1
1
=(2k)!
k 1 [(1 x)k 1 (1 x) k 1 ]dx k 1 1
k (k 1)....3.2.1 1 =(2k)! (1 x) 2 k dx (k 1)(k 2).....2k 1
( f , g ) ( x) f ( x ) g ( x )dx
a b
为函数f 与g在[a,b]上的内积. 内积具有下列简单性质: (1) ( f , g ) ( g , f ) (2) ( f , g ) ( f , g ); R (3) ( f1 f2 , g ) ( f1, g ) ( f 2 , g ) (4) 当 f 0,( f , f ) 0 我们知道,一个向量的长度的几何概念,对于函数空间及逼近有 许多自然的应用.正如在通常的二维或三维空间中,我们有一种 度量两个向量u 及v之间距离的方法,我们也想用长度来度量 一个逼近的好坏.在这一点上常用范数这个词.
* * * gn1 ( x)=(x-n ) gn ( x)- n gn1 ( x)
பைடு நூலகம்
证毕。
推论
对于最高次项系数为 Ak 的正交多项式 gk ( x) ,有递推 关系式
g
* n 1
An1 ˆ ) g ( x) An1 An1 ˆ g ( x) ( x)= ( x n n n n 1 2 An An
2k 1 k Pk+1 (x)= xPk ( x) Pk 1 ( x), k 1, 2, k 1 k 1
是[-1,1]上的正交多项式,且有
0,(k m) 1 1 pk ( x) pm ( x)dx 2 ,(k m) 2k 1
1.4
事实上,设 k m,由分部积分法得
n
则 g * ( x) 的最高次项的系数为1，并且 g * ( x) 也是在 [ a, b] 上带 权正交的 n次多项式。
n
性质1 关于权函数 ( x ) 的任意正交函数系 gk ( x)都是线性 无关的。
事实上，要是C0 g0 ( x) Cn gn ( x) 0,则以 ( x) gk ( x)乘等式 的两边并积分，得到 Ck 0 k 0,1,2, n . 由此可知 推论1 任何次数不超过 n 的多项式 q ( x ) 可由正交多项 式 g0 ( x), g1 ( x),, gn ( x) 线性表出，即
故
( xg ,g )=(g ,g ) n-1 n n n
于是有
* * * * Cn1 =( gn ,gn ) / (gn1 ,gn1 )= n
当 k n 时，则有
* * * * Cn =( gn ,xgn ) / (gn ,gn )=n
把这些结果代入（1.11）式，得到 即
* * * * xgn ( x)= n gn1 ( x)+n gn ( x) gn1 ( x)
1 2
(1.1)
欧氏范数(L2范数):
f
2
( ( x)[ f ( x) ]dx)
2 b
a
(1.2)
定义4
若内积
( f , g ) ( x) f ( x) g ( x) dx 0
a b
则称 f 与 g 在区间 [ a, b] 上带权 ( x )正交，若函数 0,1,2, n 满足: b 0,( j k )
定义3 一个实值函数称为一个函数空间的范数,如果它在 空间处处有定义并满足条件: (1)
f 0,
(2) f f ; 为任意常数 (3) f g f g 在闭区间上连续的函数 f ( x )的最常见范数有:
(1) (2) 最大值范数:
f
max f ( x) ; x [a, b]
( k , j ) ( x) k ( x) j ( x) dx a Ak 0,( j k )
则称{k } 是[a,b]上带权 ( x ) 的正交函数系.当 k ( x) 是代数多
项式时,称为正交多项式.
下面我们列举几个最常见的正交函数系.
例 1、 三角函数系
* * x1 只能是 gn ( x)的单根。现假设 gn ( x) 在区间 这就推出 ( a , b ) 内只有 k个根 x1 , x2 ,, xk (k n), 于是
* gn ( x) ( x x1 )( x x2 )( x xk )q( x)
或写成
* gn ( x)( x x1 )( x xk ) q( x)( x x1 )2 ( x xk )2
两端乘以 ( x ),并在 a, b上积分，对于左端来说，由于 ( x x1 )( x xk )的次数低于 n,所以由正交多项式定义，积分 值为零，对于右端来说，由于q ( x ) 在 ( a, b )上不变号，所以 * 积分值不为零，由此矛盾推出 k 必须等于 n 。即 gn ( x) 在( a, b ) 内恒有 n 个互异实根。
b
a
( x)dx 0
b
n (3) 积分 a ( x) x dx 存在,n=0,1,….
则称 ( x )为[a,b]上的权函数
权函数 ( x ) 的一种解释是物理上的密度函数,相应的 a ( x)dx 表示总质量. ( x ) =常量,表示质量分布是均匀的.
b
定义2 给定 f ( x), g ( x) c[a, b] , ( x ) 是[a,b]上的权函数,称
k
Ck 0, k 0,1,, n 2
当k n 1 时
Cn1 g n , xg n1 / g n1 , g n1
而
* * * xg n1 x =g n x +Cn1 g n1 x C0 g0 ( x)
* 比较 x n1 两边的系数，可见Cn1 1。两边乘以 gk ( x) (x)并积分
有 xg n , g k Ck g k , g k 从而
Ck (g ,xg ) /(g ,g ) n k k k
* ( * * 当 k n 1 时，因为 xg 是 k 1 n次多项式，gn , xgk ) 0 ，所以
三、 Legendre 多项式
1 dn Pn (x)= n [( x 2 1) n ], n= 0,11.3 2 n! dx n
即多项式:
即多项式:
P0 (x)=1 , P1 (x)=x,
1 1 P2 (x)= (3x 2 1) , P3 (x)= (5 x3 3 x), 2 2 P4 (x)= 1 (35 x 4 30 x 2 3) 8
b
a
* * * ( x) g n ( x)dx ( x) g n ( x) g 0 ( x)dx 0 a
此与正交多项式的定义相矛盾。于是至少有某一数 x1 (a, b), * * 使 gn ( x1 ) 0, 现假设 x1 是 gn ( x)的重根，即
* gn ( x1 ) ( x x1 )2 Qn2 ( x),
* * * 证明 由于 xgn ( x) 是 n 1 次多项式，因此可由 g0 ( x), g1* ( x),, gn1 ( x)
线性表出，即存在C0 , C1 ,, Cn1使
xg (x)=C0 g0 (x)+C1 g1 (x)++Cn +1 gn +1 (x) (1.11) n
1
d m k (1) [( x 2 1) m ]( x 2 1) k dx 1 dx m k
k 1
若 k m ,则
1
1
Pk ( x ) Pm ( x) dx 0
若 k m ,则有
2
k k
k !k ! Pk2 ( x) dx
1
1
d 2k (1) [( x 2 1) k ]( x 2 1) k dx 1 dx 2 k
二、 正交多项式的性质
设 gk ( x) 是在 [ a, b] 上带权正交的多项式序列，其中 g ( x) 表示 n 次正交多项式：
n
gn ( x) An x n A1 x A0 ,( An 0)
(1.8)
若记
* g n ( x)
n 0,1, 2
g n ( x) , An
1， cos x,sin x,cos 2 x,sin 2 x,,cos nx,sin nx, 在区间[-π , π ] 上两两正交,因为
cos kx cos jxdx 0,( k j ) sin kx sin jxdx 0,( k j ) cos kx sin jxdx 0 sin 2 kxdx cos 2 kxdx
q ( x ) Ck g k ( x )
k 0 n
1.9
推论2 任何次数不超过 n的多项式 qk ( x)必定同 gn1 ( x) 带权 正交,即
(qk ( x), gn1 ( x)) 0,(k 0,1,n)
特别地有
( xk , gn1 ( x)) 0.(k 0,1,n).
第一节
正交多项式
一、 正交函数系与正交多项式
二、 正交多项式的性质 三、 Legendre 多项式 四、 Chebyshey 多项式
五、其它常用的正交多项式 六、小结
一、 正交函数系与正交多项式
定义1 给定函数 ( x), x [a, b] 若 ( x ) 满足: (1) ( x) 0, x (a, b); (2)
其中
ˆ n ( xgn , gn ) /( gn , gn )
ˆn ( gn , gn ) /( gn1 , gn1 )
性质3
n 次正交多项式 gn ( x) 有 n 个互异的实根，并且全
*
部位于区间 ( a, b) 内。 证明： 取固定的
* n( n 1) ,假定 g n ( x)>0, 则
性质2 对于最高次项系数为1的正交多项式 gk ( x)存 在着递推关系
gn1 (x) (x-n )gn (x)- n gn -1 (x)
(1.10)
其中
* * * * n ( xg n , g n ) /( g n , g n ), * * * * n ( g n , g n ) /( g n1 , g n1 ).
2
k m
k !m! Pk ( x) Pm ( x)dx
1
1
m dk 2 k d [( x 1) ] m [( x 2 1) m ]dx 1 dx k dx 1
d m1 d k 1 [( x 2 1) m ] k 1 [( x 2 1) k 1 dx m 1 dx
则
* Qn2 ( x) gn ( x) /( x x1 )2
是 n 2 次多项式，由正交多项式的定义有
b
a
* g n ( x) ( x) g ( x) dx 0 2 ( x x1 ) * n
另一方面却有
b
a
* * b g n ( x) g n ( x) 2 ( x) g ( x) dx ( x)( ) dx 0 2 a ( x x1 ) x x1 * n
(k !) 2 (1 x) 2 k 1 =(2k)! (2k )!(2k 1)
1 1
于是有
(k !) 2 22 k 1 , 2k 1
四、
即多项式
1
1
Pk2 ( x)dx
2 2k 1
Chebyshey 多项式
Tn (x)=cos(narccosx),n= 0,1,2,
k 1
= (-1) (2k )! [( x 2 1) k ]dx
k 1
1
=(2k)! [(1 x) k (1 x) k ]dx
1
1
=(2k)!
k 1 [(1 x)k 1 (1 x) k 1 ]dx k 1 1
k (k 1)....3.2.1 1 =(2k)! (1 x) 2 k dx (k 1)(k 2).....2k 1
( f , g ) ( x) f ( x ) g ( x )dx
a b
为函数f 与g在[a,b]上的内积. 内积具有下列简单性质: (1) ( f , g ) ( g , f ) (2) ( f , g ) ( f , g ); R (3) ( f1 f2 , g ) ( f1, g ) ( f 2 , g ) (4) 当 f 0,( f , f ) 0 我们知道,一个向量的长度的几何概念,对于函数空间及逼近有 许多自然的应用.正如在通常的二维或三维空间中,我们有一种 度量两个向量u 及v之间距离的方法,我们也想用长度来度量 一个逼近的好坏.在这一点上常用范数这个词.
* * * gn1 ( x)=(x-n ) gn ( x)- n gn1 ( x)
பைடு நூலகம்
证毕。
推论
对于最高次项系数为 Ak 的正交多项式 gk ( x) ,有递推 关系式
g
* n 1
An1 ˆ ) g ( x) An1 An1 ˆ g ( x) ( x)= ( x n n n n 1 2 An An
2k 1 k Pk+1 (x)= xPk ( x) Pk 1 ( x), k 1, 2, k 1 k 1
是[-1,1]上的正交多项式,且有
0,(k m) 1 1 pk ( x) pm ( x)dx 2 ,(k m) 2k 1
1.4
事实上,设 k m,由分部积分法得
n
则 g * ( x) 的最高次项的系数为1，并且 g * ( x) 也是在 [ a, b] 上带 权正交的 n次多项式。
n
性质1 关于权函数 ( x ) 的任意正交函数系 gk ( x)都是线性 无关的。
事实上，要是C0 g0 ( x) Cn gn ( x) 0,则以 ( x) gk ( x)乘等式 的两边并积分，得到 Ck 0 k 0,1,2, n . 由此可知 推论1 任何次数不超过 n 的多项式 q ( x ) 可由正交多项 式 g0 ( x), g1 ( x),, gn ( x) 线性表出，即
故
( xg ,g )=(g ,g ) n-1 n n n
于是有
* * * * Cn1 =( gn ,gn ) / (gn1 ,gn1 )= n
当 k n 时，则有
* * * * Cn =( gn ,xgn ) / (gn ,gn )=n
把这些结果代入（1.11）式，得到 即
* * * * xgn ( x)= n gn1 ( x)+n gn ( x) gn1 ( x)
1 2
(1.1)
欧氏范数(L2范数):
f
2
( ( x)[ f ( x) ]dx)
2 b
a
(1.2)
定义4
若内积
( f , g ) ( x) f ( x) g ( x) dx 0
a b
则称 f 与 g 在区间 [ a, b] 上带权 ( x )正交，若函数 0,1,2, n 满足: b 0,( j k )
定义3 一个实值函数称为一个函数空间的范数,如果它在 空间处处有定义并满足条件: (1)
f 0,
(2) f f ; 为任意常数 (3) f g f g 在闭区间上连续的函数 f ( x )的最常见范数有:
(1) (2) 最大值范数:
f
max f ( x) ; x [a, b]
( k , j ) ( x) k ( x) j ( x) dx a Ak 0,( j k )
则称{k } 是[a,b]上带权 ( x ) 的正交函数系.当 k ( x) 是代数多
项式时,称为正交多项式.
下面我们列举几个最常见的正交函数系.
例 1、 三角函数系
* * x1 只能是 gn ( x)的单根。现假设 gn ( x) 在区间 这就推出 ( a , b ) 内只有 k个根 x1 , x2 ,, xk (k n), 于是
* gn ( x) ( x x1 )( x x2 )( x xk )q( x)
或写成
* gn ( x)( x x1 )( x xk ) q( x)( x x1 )2 ( x xk )2
两端乘以 ( x ),并在 a, b上积分，对于左端来说，由于 ( x x1 )( x xk )的次数低于 n,所以由正交多项式定义，积分 值为零，对于右端来说，由于q ( x ) 在 ( a, b )上不变号，所以 * 积分值不为零，由此矛盾推出 k 必须等于 n 。即 gn ( x) 在( a, b ) 内恒有 n 个互异实根。
b
a
( x)dx 0
b
n (3) 积分 a ( x) x dx 存在,n=0,1,….
则称 ( x )为[a,b]上的权函数
权函数 ( x ) 的一种解释是物理上的密度函数,相应的 a ( x)dx 表示总质量. ( x ) =常量,表示质量分布是均匀的.
b
定义2 给定 f ( x), g ( x) c[a, b] , ( x ) 是[a,b]上的权函数,称
k
Ck 0, k 0,1,, n 2
当k n 1 时
Cn1 g n , xg n1 / g n1 , g n1
而
* * * xg n1 x =g n x +Cn1 g n1 x C0 g0 ( x)
* 比较 x n1 两边的系数，可见Cn1 1。两边乘以 gk ( x) (x)并积分
有 xg n , g k Ck g k , g k 从而
Ck (g ,xg ) /(g ,g ) n k k k
* ( * * 当 k n 1 时，因为 xg 是 k 1 n次多项式，gn , xgk ) 0 ，所以
三、 Legendre 多项式
1 dn Pn (x)= n [( x 2 1) n ], n= 0,11.3 2 n! dx n
即多项式:
即多项式:
P0 (x)=1 , P1 (x)=x,
1 1 P2 (x)= (3x 2 1) , P3 (x)= (5 x3 3 x), 2 2 P4 (x)= 1 (35 x 4 30 x 2 3) 8