第二章 第一节 正交多项式
2.4§2.4 正交多项式和最佳平方逼近
n−1
( x ), n = 1 , 2 , L
−2 x 2
( 2 . 4 . 10 )
给出。它们是在区间（ ， ） 给出。它们是在区间（-∞，+∞）上带权 ρ ( x ) = e 多项式如下： 个Hermite多项式如下： 多项式如下
的正交多项式。 的正交多项式。前几
H H H H
2 3 4 5
(x ) = 4 x (x ) = 8 x
1 2 ( 3 x − 1 ), 2 1 3 ( x ) = ( 5 x − 3 x ), P3 2 1 4 2 ( x ) = ( 35 x − 30 x + 3 ), P4 8 1 5 3 P 5 ( x ) = 8 ( 63 x − 70 x + 15 x ).
P 2(x) =
− 上的单根,并且与原点对称 并且与原点对称. 它们的根都是在开区间 (− 1,1)上的单根 并且与原点对称
（2.4.4）
给出的多项式序列
{P k ( x )}
=
项式序列，其中 是正交多项式序列，
a
( x P k , P k) (P k , P k)
k
, bk =
(P k , P k) ( P k −1 , P k −1)
.
(2.4.5)
三项递推公式（ 三项递推公式（2.4.4）是构造正交多项式的简单公式，此外， ）是构造正交多项式的简单公式，此外， 还有其他的特殊的情形，这里，不进一步讨论。 还有其他的特殊的情形，这里，不进一步讨论。
2 2 4 4 i =0 i =0
从而有
1
a = ( xP , P ) /( P , P ) = 0.5, b = ( P , P ) /( P , P ) = 0.125 P ( x ) = ( x − a ) P ( x ) − b P ( x ) = ( x − 0.5) − 0.125
数值计算方法_正交多项式讲解
性质4 [a,b]上带权函数(x) 的正交多项式序列{gk (x)}k0 中任意相邻两个正交多项式gn(x)和gn+1(x)的根相 间.
若记 gn(x), gn+1(x)的根分别为
{x } , (n) n i i1
{x } (n1) n1
j
j1
则所谓 gn (x) 与 gn1(x) 的根相间,即是指这两个正
相邻三项的递推关系为
H0(x)=1, H1(x)=2x Hn1(x) 2xHn (x) 2nHn1(x) n=1,2,…
(4) Jacobi多项式
定义9 [-1,1]上权函数为 (x) (1 x) (1 x) 的正
交多项式,其中>-1, >-1
记为
J
( n
,
)
(
x)
为gn(x) 的首次系数; dn≠0时,称
gn* ( x)
gn (为x)首 dn
次系数为1的n次多项式.
二、正交多项式性质
性质1 若 {gk ( x)}nk0是区间[a,b]上带权(x)的正交多
项式序列,则它们线性无关.
证明 对任意的x[a,b]
n
若 ck gk (x) 0 k 0
注：对一般区间[a, b]，先将 x 换为 t ，考虑 f (t)在[1, 1]上 的逼近Pn(t)，再将 t 换回x，最后得到Pn(x)。
五、其它正交多项式
(1) 第二类Chebyshev 多项式Un(x)
定义6 (-1,+1)上权函数 ( x) 1 x2的正交多项式
序列
sin[(n 1)arccosx]
||
T* n
(
x)
||
正交多项式
正交多项式在数学中，正交多项式是一类特殊的多项式，其在一定的权重函数或内积定义下具有正交性质。
正交多项式在数学分析、物理学和工程学等领域中具有广泛的应用。
本文将介绍正交多项式的定义、性质以及常见的几种正交多项式。
定义给定定义在区间[a, b]上的一个非负的实数函数w(x)（权重函数），称一个多项式序列{φn(x)}n=0∞ 为正交多项式序列，如果满足以下条件：1.正交性：对于不同的i和j，若i≠j，则两个多项式的内积为0，即∫abφi(x)φj(x)w(x)dx = 0；2.单位性：多项式的平方在区间上的加权累积为1，即∫abφn2(x)w(x)dx = 1。
性质正交多项式具有许多重要的性质，如：1.正交性：正交多项式之间的内积为0，这个性质在数值计算和函数逼近中非常有用；2.生成公式：许多正交多项式都可以通过递推关系生成。
例如，勒让德多项式可通过勒让德微分方程的解得到，切比雪夫多项式可通过递推公式生成；3.逼近性：正交多项式在一定条件下能够将任意函数逼近为一个多项式级数，这在函数逼近和插值中是非常重要的性质；4.最小二乘逼近：利用正交多项式进行最小二乘逼近，可以得到最优逼近解。
常见的正交多项式勒让德多项式 (Legendre Polynomials)勒让德多项式是最常见的正交多项式之一，通常用Pn(x)表示，定义在区间[-1, 1]上，权重函数为w(x) = 1。
勒让德多项式可以通过勒让德微分方程生成，其前几个多项式表达式如下：•P0(x) = 1•P1(x) = x•P2(x) = (3x^2 - 1)/2•P3(x) = (5x^3 - 3x)/2•…切比雪夫多项式 (Chebyshev Polynomials)切比雪夫多项式是定义在区间[-1, 1]上的正交多项式，通常用Tn(x)表示。
切比雪夫多项式的权重函数为w(x) = (1 - x2)(-1/2)。
前几个切比雪夫多项式表达式如下：•T0(x) = 1•T1(x) = x•T2(x) = 2x^2 - 1•T3(x) = 4x^3 - 3x•…雅各比多项式 (Jacobi Polynomials)雅各比多项式是定义在区间[-1, 1]上的正交多项式，通常用P(α,β)n(x)表示，其中α和β是正实数，称为雅各比指数。
【精品】正交多项式
正交多项式一、正交函数系的概念高等数学中介绍傅立叶(Fourier)级数时，证明过函数系；1， cos x ，sin x ，cos2x ，sin2x ，…，con nx ，sin nx ，… (3.1)中任何两个函数的乘积在区间[-π ,π ]上的积分都等于0。
我们称这个函数中任何两个函数在[-π ,π ]上是正交的，并且称这个函数为一个正交函数系。
若对(7.1)中的每一个函数再分别乘以适当的数，使之成为：nx nx x x sin 1,cos 1,,,sin 1,cos 1,21πππππ（3.2)那么这个函数系在[-π ,π ]上不仅保持正交的性质，而且还地标准化的(规范的)，亦即每一个函数自乘之积，在[-π ,π ]上的积分是1。
为了使讨论更具有一般性，先要介绍一些基本概念。
1．权函数的概念 定义3.1 设ρ (x )定义在有限或无限区间[a , b ]上，如果具有下列性质： (1) ρ (x ) ≥0，对任意x ∈[a , b ]， (2) 积分dx x x nba)(ρ⎰存在，(n = 0, 1, 2, …)，(3) 对非负的连续函数g (x ) 若⎰=badx x x g 0)()(ρ。
则在(a , b )上g (x ) ≡ 0，我们就称ρ (x )为[a , b ]上的权函数。
在正交多项式的讨论中，会遇到各种有意义的权函数，常用的权函数有： 1)(],1,1[],[=-=x b a ρ；211)(],1,1[],[xx b a -=-=ρx e x b a -=∞=)(],,0[],[ρ2)(],,[],[x e x b a -=∞+-∞=ρ等等。
正交性的概念 定义3.3 设f (x )，g (x ) ∈C [a , b ]若⎰==badx x g x f x g f 0)()()(),(ρ则称f (x )与g (x )在[a , b ]上带权ρ (x )正交。
定义3.4 设在[a , b ]上给定函数系{} ),(,),(),(10x x x n ϕϕϕ，若满足条件())(),1,0,(,0,0)(),((是常数k kk j A k j kj A kj x x ⎩⎨⎧==>≠= ϕϕ 则称函数系{ϕk (x )}是[a , b ]上带权ρ (x )的正交函数系，特别地，当A k ≡ 1时，则称该函数系为标准正交函数系。
第二章最佳平方逼近课件
在区间[-1,1]上关于权函数
正交,且
10
事实上,若 于是有
则有
11
例 4、 Laguerre 多项式 即多项式
是在
上带权 的n次正交多项式,且
例 5 、Hermite 多项式
12
即多项式
是在区间
上带权 的n次正交多项式,且有正交关系式:
13
(二)、 正交多项式的性质
设
是在 上带权正交的多项式序列，其中
的方程组为
解之得
故
29
三、一般最小二乘逼近问题的提法 1、广义多项式与权系数 2、一般最小二乘逼近问题的提法 3、正规方程组 4、小结
30
(一)、广义多项式与权系数
(1) 、广义多项式 设函数系
线性无关，则其有限项线性组合
称为广义多项式。
例如
(2) 、“权系数”的概念 在例6中，如果要研究低温时电阻与温度的关系，显然低温 下测得的电阻值更重要一些，而另外一些电阻值的作用小 些。这在数学上表现为用和
求电阻 和温度 间的关系。
22
解决这类问题通常的步骤如下 :
y (1)用一坐标将 ， 值描于图上
(1) (2)凭视觉知，
在一条直线
上的两测附近，于是可设
近
x
，
似的成直线关系。 上面的直线关系称为数学模型。在第 次观测数据中， 与
实测值 有误差
通常称为残差。 23
它是衡量被确定的参数 和 (也就是近似多项式 )好坏的重要标志。
使得 最小。这时
称为函数
在区间 上关于
权函数 的最小二乘逼近多项式。
注意， 可看成 中
且
的极限。通常， “最小”也可说成“最优”或“最佳”；“二乘 可
3.3正交多项式
本节内容
正交多项式
正交函数族、 正交函数族、正交多项式 Legendre 正交多项式 Chebyshev 正交多项式
正交函数族
设 f(x), g(x) ∈ C[a, b]， ρ (x) 是 [a, b] 上的 ， 权函数，若 b ( f , g ) = ∫ ρ ( x ) f ( x ) g ( x )dx = 0
Chebyshev多项式 多项式
T0 ( x ) = 1
T1 ( x ) = x
T2 ( x ) = 2 x 2 − 1
T3 ( x ) = 4 x 3 − 3 x
T4 ( x ) = 8 x 4 − 8 x 2 + 1
T5 ( x ) = 16 x 5 − 20 x 3 + 5 x
M
(2) 奇偶性： Pn ( − x ) = ( −1) n Pn ( x ) 奇偶性： (3) 递推公式：( n + 1)Pn+1 ( x ) = (2n + 1) x Pn ( x ) − nPn−1 ( x ) 递推公式：
其中 P0(x) = 1, P1(x) = x，n = 1, 2, … ，
j≠k 0, ρ ( x )ϕ j ( x )ϕ k ( x )dx = Ak ≠ 0, j = k
举例
例：三角函数系 1， cos x，sin x，sin 2x，cos 2x，… ， ， ， ， ， 在 [-π, π] 上是带权 ρ (x)=1 的正交函数族 π
π 证： (1, 1) = dx = 2π ∫
(2) 奇偶性： Tn ( − x ) = ( −1) n Tn ( x ) 奇偶性： (3) 递推公式： Tn+1 ( x ) = 2 xTn ( x ) − Tn−1 ( x ) 递推公式：
线性代数中的正交多项式
线性代数中的正交多项式正交多项式是线性代数中的一种重要概念，具有广泛的应用和深远的影响。
本文将介绍正交多项式的定义、性质以及它们在数学和工程领域中的应用。
一、正交多项式的定义在数学中，正交多项式是指在某个带权内积定义下的多项式函数族，满足互不相同、次数递增且两两正交的性质。
具体而言，设Pn(x)为n次多项式，那么它是正交多项式需要满足以下条件：1. Pn(x)是n次多项式；2. Pn(x)的系数可以通过递推关系计算，即Pn(x)可以表示为Pn(x)=an(x)P(n-1)(x)+bn(x)P(n-2)(x)，其中an(x)和bn(x)是与P(n-1)(x)和P(n-2)(x)正交的多项式；3. 符合正交性条件，即∫W(x)Pm(x)Pn(x)dx=0，其中W(x)是非负权函数，m≠n。
二、正交多项式的性质1. 正交多项式族的线性无关性：正交多项式族中的任意两个多项式都是线性无关的，即不可能以一个正交多项式来表示另一个正交多项式。
2. 正交多项式的正交性：正交多项式族中的任意两个多项式在权函数的内积下是正交的，即它们的内积等于0。
3. 正交多项式的级数展开：任意函数f(x)可以展开为正交多项式族的级数形式，即f(x)=∑(n=0)~∞[anPn(x)]，其中an=∫W(x)f(x)Pn(x)dx，Pn(x)是正交多项式族中的第n个多项式。
三、正交多项式的应用正交多项式在数学和工程领域中具有广泛的应用，以下是其中的几个方面：1. 函数逼近：正交多项式可以用于近似计算给定函数的级数展开形式。
通过选取合适的正交多项式族，可以提高逼近的精度和效果。
2. 微分方程求解：正交多项式在求解微分方程时具有良好的性质。
可以通过将微分方程转化为正交多项式的形式，进而求解相关的系数和解析解。
3. 数值计算：正交多项式的级数展开形式可以用于数值计算中的积分、傅里叶变换等问题。
它们具有计算效率高、精度较高的特点。
4. 概率统计：正交多项式在概率统计中扮演重要的角色。
数值分析第二章作业答案
第二章1.试证明nn R⨯中的子集“上三角阵”对矩阵乘法是封闭的。
证明：设n n R B A ⨯∈,为上三角阵，则)( 0,0j i b a ij ij >== C=AB ，则∑==nk kjik ij b ac 1)( 0j i c ij >=∴，即上三角阵对矩阵乘法封闭。
2.已知矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=512103421121A ，求A 的行空间)(T A R 及零空间N(A)的基。
解：对T A 进行行变换，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⇒⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--⇒⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=00100010121420050000121501131242121TA 3)(=∴T A r ，)(T A R 的基为[][][]T T T 5121,03421121321=-==ααα，由Ax=0可得[]Tx 0012-=∴N(A)的基为[]T0012-3.已知矩阵321230103A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，试计算A 的谱半径()A ρ。
解：2321()det()230(3)(64)013A f I A λλλλλλλλ---=-=--=--+=--max 35()3 5.A λρ=+=+4、试证明22112212211221,,,R E E E E E E ⨯+-是中的一组基。
，其中11121001,0000E E ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22210000,1001E E ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
1222112112211221134112212211221234134411221221122123410010000,,,00001001010110100000E E E E E E E E k k k k k k k E E E E E E k k k k k k E E E E E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫+=-= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭+⎛⎫⎛⎫++++-== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭++++-解：，（）（）令因此（）（0000O E ⎛⎫== ⎪⎝⎭）12331112212212211221111221122122112222112212211221 0 ,22,,,k k k k a a A V a a a a a aA a a E E E E E E R E E E E E E ⨯⇔====⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭+-=+++-+∴+-对于任意二阶实矩阵有（）（）是中的一组基。
数值计算方法 正交多项式 - 正交多项式
多 项
Expand[%]//N;
式
MatrixForm[%]
F[i_,j_]:=Integrate[f[i]f[j],{x,0,1}]
Table[F[i,j],{i,0,6},{j,0,6}];
MatrixForm[%]
正交多项式的构造
0(x) 1
由 {1, x, ..xn ...}正交化构造出
利用逐个正交化手续构造出正交多项式序列 {n ( x)}0
正 交 多 项
0(x) 1,n(x)
xn
n1 j0
(
(
)( xn, j ( x),
j j
( (
x))
x))
j
(
x
)
（n 1，2，.......)
式
0(x)
1,1( x)
x
( x,1) (1,1)
x
1 2
,
2(x)
x2
( x2 ,1) (1,1)
(cos kx,cos jx) (sin kx,sin jx) (cos kx,sin jx) 0
正交多项式的性质
区间 [a, b] 的上正交函数系必定线性无关
证明 设正交函数系为：{0 ,1}
正
（反证）假设 {0 ,1 , ...n }线性相关 ，即存在不全为零的实数 c0 , c1,
x4
20 11
x3
5 11
x2
1 22
x
1 924
正交性验证
( j，k )
b
0，
a
( x) j ( x)k ( x)dx
{ Ak
0,
jk jk
正 交
1 0
0 1
数值计算方法_正交多项式
数值计算方法_正交多项式正交多项式是数学中的一类特殊的多项式函数。
这些多项式函数在一定的定义域上满足正交性的性质，即在一定的权函数下，两个不同的正交多项式的内积为0。
正交多项式在数学分析、数值计算和物理学等领域中有着广泛的应用和重要的作用。
常见的正交多项式包括勒让德多项式、拉盖尔多项式、埃尔米特多项式和切比雪夫多项式等。
它们各自的定义域、权函数和正交性条件不同，因此在不同的问题中可以选择不同的正交多项式来进行数值计算和求解。
以勒让德多项式为例，其定义域为闭区间[-1,1]，权函数为常数函数1、勒让德多项式满足以下正交性条件：∫[-1, 1] P_n(x) P_m(x) dx = 0 (n ≠ m)其中P_n(x)表示勒让德多项式的n次多项式。
这意味着在权函数为常数函数1的条件下，两个不同次数的勒让德多项式在[-1,1]上的内积为0，即满足正交性的性质。
正交多项式的正交性给数值计算带来了很大的便利。
通过使用正交多项式可以将一些数学问题转化为多项式的相关计算，进而简化问题的求解过程。
例如，利用正交多项式可以将函数在一定区间上的积分转化为多项式系数的线性组合，从而通过计算多项式系数来估计函数的积分值。
在实际的数值计算中，正交多项式也可以用于数据拟合、插值、逼近等问题。
在确定了问题的定义域、权函数和正交性条件之后，可以通过计算相关的正交多项式系数来求解问题的数值解。
同时，正交多项式的性质还可以用于数值解的稳定性分析和误差估计，提高数值计算的精度和效率。
总之，正交多项式是数值计算中一类重要的数学工具。
通过合理选择不同的正交多项式，可以简化问题的求解过程，并得到更加准确和稳定的数值解。
因此，正交多项式在数值计算中具有广泛的应用前景。
正交多项式的性质及在科学计算中的应用
正交多项式的性质及在科学计算中的应用摘要正交多项式是满足一定条件的多项式族。
正交多项式是数学研究领域热点之一。
许多数学理论的突破，如Bieberbach猜想的证明，数据拟合，数学物理、工程技术和函数逼近等领域的理论研究，都依赖于或应用了正交多项式的重要成果。
现正交多项式被广泛应用于数学物理，工程技术，科学计算，回归分析,概率分布等领域。
因此，对于正交多项式的研究具有重要的意义和价值.本文首先给出了正交多项式的定义,其次对勒让德（Legendre）多项式、切比雪夫（Chebyshev)多项式、拉盖尔(Laguerre）多项式、艾尔米特（Hermite)多项式的性质进行了探讨并对部分性质进行了证明，最后对正交多项式在数据拟合,最佳平方逼近以及在概率分析中的应用进行了讨论。
关键词：正交多项式勒让德（Legendre）多项式切比雪夫（Chebyshev)多项式拉盖尔（Laguerre）多项式艾尔米特（Hermite）多项式数据拟合最佳平方逼近概率分析The Character of Orthogonal Plynomial and its Application inScientific ComputationAbstractOrthogonal polynomial is a polynomial that satisfies some conditions。
Orthogonal polynomial is one of the hotspot in the field of mathematical research.Many mathematical theory， such as proof of the conjecture of Bieberbach, data fitting， mathematical physics, theory of engineering technology and function approximation are depends on the important achievements in the field or the application of orthogonal polynomials.Now the orthogonal polynomial is widely used in mathematical physics, engineering，scientific computing， regression analysis， probability distribution etc.Therefore, research orthogonal polynomials having great significance and value.Firstly， this paper gives the definition of orthogonal polynomials,。
正交多项式理论
选择系数ckj 使 0 ( k , i ) ( x k , i ) （ ckj jj,, i i)) c ki i， i） （ kj
j 0
k 1
即
( x k , i ) c ki , (i 0,1,, k 1) ( i , i )
1
（5）Legendre多项式的三项递推公式
~ P0 ( x ) 1 由定理4及 Pn ( x) 的唯一性 P1 ( x ) x ( k 1) p ( x ) x( 2k 1) P ( x ) kP ( x ) ，k 1,2,) , x [1,1] ( k 1 k k 1
2 n n n （2）性质 令 ( x) ( x 1) ( x 1)x ) n ( x 1)n ( x 1)n dxn dx
正交多项式，即
当n m 0, ( Pn , Pm ) Pn ( x ) Pm ( x )dx 2 1 当n m 2n 1 （4）Legendre多项式的奇偶性 Pn ( x ), 当n为 偶 数 n Pn ( x ) ( 1) Pn ( x ) Pn ( x ), 当n为 奇 数
（） P( x) H n为任一次数 n多项式，则 2 ① {0 ( x),1 ( x),, n ( x)}于 [a，b] 线性无关； n （P , ） i (i 0,1,, n) ② P ( x ) ci i ( x ) ，其中 ci （ i , ） i i 0 证明： ① { 0， 1， ，n }为正交多项式组，则 G（ 0， 1， ，n） 0， 由定理 得{ i ( x)}n0 线性无关。 2 i ② 因 P( x) Hn为任一次数 n多项式，则可设
正交多项式
正交多项式 若首项系数0n a ≠的n 次多项式()n x ϕ，满足⎩⎨⎧=>≠==⎰;0,,0d )()()(),(k j A k j x x x x k k j b ak j ϕϕρϕϕ(,0,1,)j k =就称多项式序列01,,,n ϕϕϕ ，在[,]a b 上带权()x ρ正交，并称()n x ϕ是[,]a b 上带权()x ρ的n 次正交多项式。
构造正交多项式的格拉姆－施密特（Gram-Schmidt ）方法定理：按以下方式定义的多项式集合01{,,,}n ϕϕϕ 是区间[,]a b 上关于权函数()0x ρ≥的正交函数族。
0()1x ϕ=11()x x ϕα=-12()()()()k k k k k x x x x ϕαϕβϕ--=-- (2,3,k n =其中21112111()()(,)(,)()()bk k k ak bk k k ax x x dx x x x dxρϕϕϕαϕϕρϕ------==⎰⎰(1,2,3,,k n=21112222()()(,)(,)()()bk k k a k bk k k ax x dx x x dxρϕϕϕβϕϕρϕ------==⎰⎰(2,3,,)k n =证明可用归纳法，略。
例：求()sin f x x π=在［0，1］上的二次最佳平方逼近多项式。
解： 构造正交多项式0()1x ϕ=100011000(,)1(,)21xdx x dx ϕϕαϕϕ===⎰⎰111()2x x x ϕα=-=-120112121101()(,)12(,)2()2x x dx x x dx ϕϕαϕϕ-===-⎰⎰12011210001()(,)12(,)121x dx dx ϕϕβϕϕ-===⎰⎰222212011()()()()()212x x x x x x xϕαϕβϕ=--=--=-于是1000(,)11dx ϕϕ==⎰1211011(,)()212x dx ϕϕ=-=⎰12222011(,)()6180x x dx ϕϕ=-+=⎰1002(,)s i n f x d xϕππ==⎰1101(,)()sin 02f x xdx ϕπ=-=⎰212230112(,)()s i n 63f x x xdx πϕππ-=-+=⎰故()sin f x x π=在［0,1］上的二次最佳平方逼近多项式为012012001122(,)(,)(,)()()()() 4.12(,)(,)(,)f f f x x x x ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ=++≈-勒让德多项式当区间为［－1,1］，权函数()1x ρ≡时，由{1,,,,}nx x 正交化得到的多项式就称为勒让德(Legendre)多项式，并用01(),(),,(),n P x P x P x 表示。
2_正交多项式
k 2
◆ 确定系数 {d i }i 0
k -2
( f k 1 a k xf k , f m ) ( f k 1 , f m ) a k ( f k , xf m ) 0
k 2 i0
另一方面
( f k 1 a k xf k , f m ) ( d i f i d k 1 f k 1 d k f k , f m )
(反证)假设 f n (x ) 在 (a , b ) 内无实根 (反 证 )假 设 为 重 根 , 则至少是二重的 f n (x ) 在 (a , b ) 内恒正或恒负
2
b a
f n ( x ) ( x ) dx 0
f n ( x) ( x ) qn2 ( x)
而
b a
f n ( x ) ( x ) dx 0
k 2 i0
下面逐步确定组合系数
d i f i ( x ) d k 1 f k 1 ( x ) d k f k ( x )
August 6, 2012
yfnie@
6
(续1)
for m k 2 :
f k 1 ( x ) a k xf k ( x ) d i f i ( x ) d k 1 f k 1 ( x ) d k f k ( x )
August 6, 2012 yfnie@ 1
3.1 线性无关性
正 交 多项 式系 f i i 0 中 任 意 m 个 函数 f i1 ( x ), f i 2 ( x ), , f im ( x )
线 性 无关 (非负 整数 i 1 , i 2 , , i m 互 不 相 同 ).
P0 (x ) 1 ;
数值分析-正交多项式
(4) Tn( x)在[1,1]上有n个不同的零点
xk
cos (2k 1)
2n
,
(k
1,2,,n)
（5）Tn (x)的首项 xn的系数为2n1(n 1, 2, ).
（6） Tn (x)在[1,1]上有n 1个不同的极值点
xk
cos
k
n
,
(k 0,1,2,
, n)
哈尔滨工程大学信息与计算科学系
§2 正交多项式
一、正交函数族与正交多项式
定义5 若f ( x), g( x) C[a,b], ( x)为[a,b]上的权函数, 且
( f , g) ab( x) f ( x)g( x)dx 0，
(2.1)
则称f ( x)与g( x)在[a,b]上带权ρ(x)正交 .
为[a,b]上的权函数, 若多项式序列{ pn( x)}0 ,满足正交性
(2.2)，则称{ pn( x)}0 为以( x)为权函数的[a,b]上的正交 多项式序列. 称pn( x)为以( x)为权函数的[a,b]上的n次正
交多项式.
只要给定[a,b]上的权函数(x), 由{1, x, xn, }利用逐个
1
x
2dx
0, / 2,
m n, m n.
U0( x) 1, U1( x) 2x, Un1( x) 2xUn( x) Un1( x).
(2.14)
2. 拉盖尔多项式
区间[0,)上带权( x) e x的正交多项式
Ln (
x)
e
x
dn dxn
(2n)! (2n n!)2
/
正交多项式
正交多项式正交多项式定义：正交多项式是一个属于多项式的特殊形式，它的系数只有正负的二项式的形式。
正交多项式的用途：1. 在科学计算中：解决三次方程中的较复杂问题，使计算精准而有效。
2. 在信号处理中：可以将原始信号转换为更好的可处理信号；也可以使用正交多项式可以减少信号噪声，提高传输效率和抗干扰能力。
3. 在图像处理中：可以获得更多清晰的图像信息，从而实现更好的图像压缩和损失填充。
4. 在机器学习中：利用它从大量数据中可以挖掘出有意义的特征，从而更好的进行数据分析和模型学习。
5. 在量子计算中：用正交多项式可以更有效的建立量子模型，以实现理论的验证和实验的模拟。
正交多项式的构成：正交多项式的结构由一系列二项式构成，其中又包含系数、变量和指数等三部分，可以使用不同指数来表示不同的结构特征。
1. 二项式：二项式由两个变量按照一定的指数组合而成，其中变量个数由正负系数决定，而系数则为正和负值。
2. 系数：系数是表示一个二项式中两个变量之间的关系强度的数字，它描述了二项式对应可能方案的概率及相关性，其具有显著的改变能力。
3. 变量：变量表示一个正交多项式中不同的变量，每个变量都具有一定的指数，它们描述着这个多项式的性质。
4. 指数：指数（Exponent）是表示一个二项式中变量之间关系的数字，它表示一个变量比另一个变量在正交多项式中的影响程度。
正交多项式的优点：1. 能够有效的分辨变量之间的相关性：正交多项式的二项式系数只有正负值，可以看到每个变量与其他变量之间的关系程度，及相应影响的强度。
2. 简短的记录：正交多项式的表达方式很简洁，只需要几个参数就可以完成一个正交多项式的表示，它比传统多项式表示更加简洁，可以减少记录长度和保留舍入误差。
3. 降低计算量：正交多项式的表示方式可以大大降低计算量，从而使计算更加有效方便，其中的遍历搜索也更加友好。
4. 高效的数据处理：正交多项式可以有效的处理信号和图像等数据，对信号进行更好的处理，以获得更优质的数据结果。
第二章 第一节 正交多项式
性质2 对于最高次项系数为1的正交多项式 gk ( x)存 在着递推关系
gn1 (x) (x-n )gn (x)- n gn -1 (x)
(1.10)
其中
* * * * n ( xg n , g n ) /( g n , g n ), * * * * n ( g n , g n ) /( g n1 , g n1 ).
2
k m
k !m! Pk ( x) Pm ( x)dx
1
1
m dk 2 k d [( x 1) ] m [( x 2 1) m ]dx 1 dx k dx 1
d m1 d k 1 [( x 2 1) m ] k 1 [( x 2 1) k 1 dx m 1 dx
q ( x ) Ck g k ( x )
k 0 n
1.9
推论2 任何次数不超过 n的多项式 qk ( x)必定同 gn1 ( x) 带权 正交,即
(qk ( x), gn1 ( x)) 0,(k 0,1,n)
特别地有
( xk , gn1 ( x)) 0.(k 0,1,n).
* 比较 x n1 两边的系数，可见Cn1 1。两边乘以 gk ( x) (x)并积分
有 xg n , g k Ck g k , g k 从而
Ck (g ,xg ) /(g ,g ) n k k k
* ( * * 当 k n 1 时，因为 xg 是 k 1 n次多项式，gn , xgk ) 0 ，所以
b
b
a
* * * ( x) g n ( x)dx ( x) g n ( x) g 0 ( x)dx 0 a
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k 0 n
1.9
推论2 任何次数不超过 n的多项式 qk ( x)必定同 gn1 ( x) 带权 正交,即
(qk ( x), gn1 ( x)) 0,(k 0,1,n)
特别地有
( xk , gn1 ( x)) 0.(k 0,1,n).
1 2
(1.1)
欧氏范数(L2范数):
f
2
( ( x)[ f ( x) ]dx)
2 b
a
(1.2)
定义4
若内积
( f , g ) ( x) f ( x) g ( x) dx 0
a b
则称 f 与 g 在区间 [ a, b] 上带权 ( x )正交，若函数 0,1,2, n 满足: b 0,( j k )
1， cos x,sin x,cos 2 x,sin 2 x,,cos nx,sin nx, 在区间[-π , π ] 上两两正交,因为
cos kx cos jxdx 0,( k j ) sin kx sin jxdx 0,( k j ) cos kx sin jxdx 0 sin 2 kxdx cos 2 kxdx
k 1
= (-1) (2k )! [( x 2 1) k ]dx
k 1
1
=(2k)! [(1 x) k (1 x) k ]dx
1
1
=(2k)!
k 1 [(1 x)k 1 (1 x) k 1 ]dx k 1 1
k (k 1)....3.2.1 1 =(2k)! (1 x) 2 k dx (k 1)(k 2).....2k 1
* 比较 x n1 两边的系数，可见Cn1 1。两边乘以 gk ( x) (x)并积分
有 xg n , g k Ck g k , g k 从而
Ck (g ,xg ) /(g ,g ) n k k k
* ( * * 当 k n 1 时，因为 xg 是 k 1 n次多项式，gn , xgk ) 0 ，所以
k
Ck 0, k 0,1,, n 2
当k n 1 时
Cn1 g n , xg n1 / g n1 , g n1
而
* * * xg n1 x =g n x +Cn1 g n1 x C0 g0 ( x)
其中
ˆ n ( xgn , gn ) /( gn , gn )
ˆn ( gn , gn ) /( gn1 , gn1 )
性质3
n 次正交多项式 gn ( x) 有 n 个互异的实根，并且全
*
部位于区间 ( a, b) 内。 证明： 取固定的
* n( n 1) ,假定 g n ( x)>0, 则
( f , g ) ( x) f ( x ) g ( x )dx
a b
为函数f 与g在[a,b]上的内积. 内积具有下列简单性质: (1) ( f , g ) ( g , f ) (2) ( f , g ) ( f , g ); R (3) ( f1 f2 , g ) ( f1, g ) ( f 2 , g ) (4) 当 f 0,( f , f ) 0 我们知道,一个向量的长度的几何概念,对于函数空间及逼近有 许多自然的应用.正如在通常的二维或三维空间中,我们有一种 度量两个向量u 及v之间距离的方法,我们也想用长度来度量 一个逼近的好坏.在这一点上常用范数这个词.
( k , j ) ( x) k ( x) j ( x) dx a Ak 0,( j k )
则称{k } 是[a,b]上带权 ( x ) 的正交函数系.当 k ( x) 是代数多
项式时,称为正交多项式.
下面我们列举几个最常见的正交函数系.
例 1、 三角函数系
(k !) 2 (1 x) 2 k 1 =(2k)! (2k )!(2k 1)
1 1
于是有
(k !) 2 22 k 1 , 2k 1
四、
即多项式
1
1
Pk2 ( x)dx
2 2k 1
Chebyshey 多项式
Tn (x)=cos(narccosx),n= 0,1,2,
定义3 一个实值函数称为一个函数空间的范数,如果它在 空间处处有定义并满足条件: (1)
f 0,
(2) f f ; 为任意常数 (3) f g f g 在闭区间上连续的函数 f ( x )的最常见范数有:
(1) (2) 最大值范数:
f
max f ( x) ; x [a, b]
二、 正交多项式的性质
设 gk ( x) 是在 [ a, b] 上带权正交的多项式序列，其中 g ( x) 表示 n 次正交多项式：
n
gn ( x) An x n A1 x A0 ,( An 0)
(1.8)
若记
* g n ( x)
n 0,1, 2
g n ( x) , An
三、 Legendre 多项式
1 dn Pn (x)= n [( x 2 1) n ], n= 0,11.3 2 n! dx n
即多项式:
即多项式:
P0 (x)=1 , P1 (x)=x,
1 1 P2 (x)= (3x 2 1) , P3 (x)= (5 x3 3 x), 2 2 P4 (x)= 1 (35 x 4 30 x 2 3) 8
2
k m
k !m! Pk ( x) Pm ( x)dx
1
1
m dk 2 k d [( x 1) ] m [( x 2 1) m ]dx 1 dx k dx 1
d m1 d k 1 [( x 2 1) m ] k 1 [( x 2 1) k 1 dx m 1 dx
故
( xg ,g )=(g ,g ) n-1 n n n
于是有
* * * * Cn1 =( gn ,gn ) / (gn1 ,gn1 )= n
当 k n 时，则有
* * * * Cn =( gn ,xgn ) / (gn ,gn )=n
把这些结果代入（1.11）式，得到 即
* * * * xgn ( x)= n gn1 ( x)+n gn ( x) gn1 ( x)
* * * 证明 由于 xgn ( x) 是 n 1 次多项式，因此可由 g0 ( x), g1* ( x),, gn1 使
xg (x)=C0 g0 (x)+C1 g1 (x)++Cn +1 gn +1 (x) (1.11) n
* * * gn1 ( x)=(x-n ) gn ( x)- n gn1 ( x)
证毕。
推论
对于最高次项系数为 Ak 的正交多项式 gk ( x) ,有递推 关系式
g
* n 1
An1 ˆ ) g ( x) An1 An1 ˆ g ( x) ( x)= ( x n n n n 1 2 An An
性质2 对于最高次项系数为1的正交多项式 gk ( x)存 在着递推关系
gn1 (x) (x-n )gn (x)- n gn -1 (x)
(1.10)
其中
* * * * n ( xg n , g n ) /( g n , g n ), * * * * n ( g n , g n ) /( g n1 , g n1 ).
第一节
正交多项式
一、 正交函数系与正交多项式
二、 正交多项式的性质 三、 Legendre 多项式 四、 Chebyshey 多项式
五、其它常用的正交多项式 六、小结
一、 正交函数系与正交多项式
定义1 给定函数 ( x), x [a, b] 若 ( x ) 满足: (1) ( x) 0, x (a, b); (2)
n
则 g * ( x) 的最高次项的系数为1，并且 g * ( x) 也是在 [ a, b] 上带 权正交的 n次多项式。
n
性质1 关于权函数 ( x ) 的任意正交函数系 gk ( x)都是线性 无关的。
事实上，要是C0 g0 ( x) Cn gn ( x) 0,则以 ( x) gk ( x)乘等式 的两边并积分，得到 Ck 0 k 0,1,2, n . 由此可知 推论1 任何次数不超过 n 的多项式 q ( x ) 可由正交多项 式 g0 ( x), g1 ( x),, gn ( x) 线性表出，即
1
d m k (1) [( x 2 1) m ]( x 2 1) k dx 1 dx m k
k 1
若 k m ,则
1
1
Pk ( x ) Pm ( x) dx 0
若 k m ,则有
2
k k
k !k ! Pk2 ( x) dx
1
1
d 2k (1) [( x 2 1) k ]( x 2 1) k dx 1 dx 2 k
* * x1 只能是 gn ( x)的单根。现假设 gn ( x) 在区间 这就推出 ( a , b ) 内只有 k个根 x1 , x2 ,, xk (k n), 于是
* gn ( x) ( x x1 )( x x2 )( x xk )q( x)
或写成
* gn ( x)( x x1 )( x xk ) q( x)( x x1 )2 ( x xk )2
则
* Qn2 ( x) gn ( x) /( x x1 )2