高等数学B(二)期末模拟试题参考答案

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数学与计算机学院（院、部、中心） 出题教师： 杨天标 教研室主任：（签字） 系（院、部、中心）主任：（签字）

课程考核

参考答案及评分标准

考试课程：高等数学B(二) 学年学期：2011-2012-2 试卷类型：A 考试时间：120分钟 适用专业：经济与工商管理学院11级财务管理 层次：本科

一、选择题（每小题3分共15分）

1 (B)；

2 (B)； 3(A)； 4 (B)； 5 (C).

二、判断题（每小题2分，最后一小题3分，共15分） 1 (╳)；2 (√)；3 (√)；4 (√)；5 (╳)；6 (╳) ；7 (√). 三、填空题（每小题3分共18分）

1. dx )x 31(2

⎰

-= x-x 3

+c . 2.

dx x x ⎰

--1

1

2

3)3(= -2 .

3. 0

x lim

→x

tdt cos x

2

⎰

= 1 .

4. 级数 1+⋅⋅⋅++++432x 5x 4x 3x 2的和函数 S(x)=

2

)

x 1(1-.

5. 级数∑

∞

=-1

n n

)

n 2)(1n 2(x

的收敛半径 = 1 .

6. 设2

2

y x z =, 则

y

z ∂∂= y

x 22

.

四、计算题 （每小题6分共36分， 其中6、7题任选一题） 1. 求级数 ⋅⋅⋅++++7

538642x x x x 的和函数. 解： ∵ (x)

...x x 1n

242+++++=

2

x

11-

∴ S(x)= ...)'x

...x x 1(n

24

2

+++++='x 112

⎪⎭

⎫

⎝⎛-= 22)x 1(x 2-. 即 S(x)= 22)x 1(x 2-. 2. 设函数⎩⎨

⎧>≤+=1

x x

21x 1x )x (f ，求⎰.dx )x (f

第 2 页 解：∵

12

c x x

2

1dx )1x (++=

+⎰,x ≤1;

22

c x xdx 2+=⎰

, x>1; f(x) 的原函数在x=1处连续. ∴ ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧>++≤++=⎰1x c 21x 1x c x x 2

1dx )x (f 22

, 其中c 为某常数.

3. 求幂级数

1

n 1

n n

x 2

n 1-∞

=∑

的收敛半径，并求和函数

解：收敛半径R=n

)

1n (n 2

n 2

)1n (lim

+∞

→+=2; 显然S(0)=1/2. 当x ≠0时

(xS(x))'=1

n 1n n

x 2

1-∞

=∑

=

1

n 1n )2

x (21

-∞

=∑ =2/x 1121- xS(x)=dx 2

/x 11

21

x

⎰

-= -)2

x 1ln(-

, 故 S(x)=)2

x 1ln(x

1-

-

. 总之

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧=-∈≠--=0x 2

1)2,2[x 0x )2

x 1ln(x 1

)x (S 且 4. 把函数x cos )x (f 2=展开为x 的幂级数，并确定收敛域。

解：x cos )x (f 2

==(1+cos2x)/2=

∑

∞

=-+

n n

2n )!

n 2(2)x 2()1(2

1

故 f(x)= ()∑∞

=+

1

n n

2n

)!

n 2(2x 21-1）

（, +∞<<∞-x .

5. 某商品的需求量Q 对价格P 的弹性为-Pln3，已知该商品的最大需求量为1200（即当P=0时，Q=1200），求Q 对P 的函数关系。(注：需求量Q 对价格P 的偏弹性定义为E p =Q

P P Q P P /Q

Q lim

P ∂∂=∆∆→∆, P331)

解：依题得

Q

P dP dQ =-Pln3, 故

dP

Q ln d =-ln3,

lnQ=lnc3-P

, Q=c3-P

. 由于 1200=c, 故 Q=1200∙3-p

.

6. 设某商品的需求量Q 是价格P 的函数，该商品的最大需求量为1000（即P=0时，Q=1000），已知需求量的变化率（边际需求）为P

31

(3ln 1000)P ('Q ⋅⋅-=，求

需求量Q 与价格P 的函数关系。 解：∵P

)31

(3ln 1000)P ('Q ⋅⋅-=