高等数学B(二)期末模拟试题参考答案
0809高等数学B(二)试题答案 济南大学
不趋于0, 因此这个级数发散.
注意: lim u n 0 并非级数收敛的充分条件.
n
例如, 调和级数 虽然 但此级数发散 .
事实上 , 假设调和级数收敛于 S , 则
1 1 1 1 1 n 但 S 2n S n n 1 n 2 n 3 2n 2 n 2
3.
点(0,0)是z xy的 (
B
).
z
（A）极值点；（B）.驻点但不是极值点； （C）是极值点但不是驻点;（D）以上都不对 分析:
O
y
z x y 0, 得驻点 (0,0). 令 zy x 0
x
D {( x, y ) a x a, x y a}, D1 {( x, y ) 0 x a, x y a}, 则 ( x y cos x sin y ) dx d y A
当 x 2 1, 2 当 x 1,
时级数收敛 时级数发散
故收敛半径为 R 1.
1 当x 1 时,级数为 , 此级数发散; n 1 2n
收敛域为 1,1.
4.
解:
x 求幂级数 的收敛域及和函数. n 1 2 n
2n
在( 1,1)内, 有
2n
x1 2n x 2 n 1 t dt t dt 0 s ( x) 0 t n 1 2 n n 1 n 1 x
tn
(x 1) n
(1)( x 1) n .
n 0
x 1 1
即 2 x 0.
一．选择题(每小题3分,共15分) xy ，则极限 lim f ( x, y ) ( 1. f ( x, y ) 2 2 x0 x y y 0
高等数学2B期末模拟题及参考答案2021-2版
高等数学2B 期末模拟题2一、选择题 1. 11sin ),(22-+=y x y x f 的定义域为（ ） (A) 22{(,)|1}D x y x y =+= (B) 22{(,)|1}D x y x y =+≠(C) {(,)|0, 0}D x y x y =≠≠ (D) 22{(,)|0}D x y x y =+≠2. 2d L s =⎰（ ），其中L 为圆周：221x y +=.(A) 4π (B) 2π(C) 0(D) 4π- 3. 已知级数1n n u ∞=∑收敛，则lim n n u →∞=（ ） (A) 1 (B) 0 (C) ∞ (D) 不存在4. 2d d Dxy x y =⎰⎰（ ），其中22{(,)|1,0}D x y x y y =+≤≥. (A) 4π (B) 2π (C) 0(D) 4π-二、判断题1. 设向量(1,2,2),(1,0,1)a b ==-，则a 与b 平行（ ）.2. (,)lim 4x y →=（ ）.3. 级数11(1)n n n ∞=+∑收敛（ ）.三、计算题1. 设y x f )1(+=，求d (1,1)f .2. 设)arctan(uv z =，而y v e u x 3,2==，求z x ∂∂. 四、应用题1. 求过点(2,0,3)-且与直线⎩⎨⎧=+-+=-+-012530742z y x z y x 平行的直线方程. 2. 求椭球面222236x y z ++=在点(1,1,1)处的切平面方程.五、当0,0,0x y z >>>时，已知函数(,,)ln 2ln 3ln f x y z x y z =++在附加条件22260x y z ++-=下存在最大值，求该最大值.六、计算重积分1. 计算二重积分2d d D y x y ⎰⎰，其中22{(,)|1,0}D x y x y y =+≤≥. 2. 计算三重积分d d d z x y z Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由锥面22y x z +=与平面2=z 所围成的闭区域. 七、计算曲线积分与曲面积分1. 计算第二类曲线积分423(23)d (4)d L xy y x x xy y -++-⎰，其中L 为上半圆周22(2)1x y -+=上从(1,0) 到(2,1)的一段弧.2. 计算第二类曲面积分2d d d d d d x y z y z x z x y ∑+-⎰⎰，其中∑为介于0=z 与1=z 之间 的圆柱体229x y +≤的整个表面的外侧（包含上下底面）. （提示：可利用高斯公式）八、证明级数111(1)ln(1)n n n ∞-=-+∑条件收敛. 九、将函数1()f x x=展开成(2)x -的幂级数. 十、设()f x 是周期为π2的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为1, 0 (),1, 0x f x x ππ≤<⎧=⎨≤<⎩－－将()f x 展开成傅里叶级数.高等数学2B 期末模拟题参考答案2一、选择题1. B2. A3. B4. C二、判断题1. 错误2. 正确3. 正确三、计算题1. 解：1(1)y f y x x -∂=+∂，1)1,1(=∂∂x f ，(1)ln(1)y f x x y ∂=++∂，(1,1)2ln 2,f y ∂=∂ 故d (1,1)(1,1)d (1,1)d x y f f x f y =+d (2ln 2)d x y =+2. 解：d d z z u x u x ∂∂=⋅∂∂22121()x v e uv =⋅⋅+ 242619xx ye x y =+ 四、应用题1. 解：平面2470x y z -+-=的法向量为1(1,2,4)n →=-,平面35210x y z +-+=的法向量为2(3,5,2)n →=-,取所求直线的方向向量为12124352i j k s n n →→→=⨯=--)11,14,16(-=,又由所求直线过点(2,0,3)-，故所求直线的方程为23161411x y z -+==-. 2. 解：令222(,,)236F x y z x y z =++-，(,,)(2,4,6)x y z n F F F x y z →==，(1,1,1)|(2,4,6)n →=, 在点(1,1,1)处的切平面方程为2(1)4(1)6(1)0x y z -+-+-=,即2360x y z ++-=.五、解：令222(,,)ln 2ln 3ln (6),F x y z x y z x y z λ=+++++-解方程组22212022032060x y x F x x F y y F z z F x y z λλλλ⎧=+=⎪⎪⎪=+=⎪⎨⎪=+=⎪⎪⎪=++-=⎩，得唯一驻点, 故该点是函数的最值点.最大值为f =.六、计算重积分1. 解：原式2d d D y x y =⎰⎰1002d sin d r r r πθθ=⋅⎰⎰12002sin d d r r πθθ=⎰⎰43=. 2. 解一：（截面法）积分区域222(,)D :{(,,)|}02z x y x y z x y z z ∈+≤Ω=≤≤, 利用先二后一法得，20d d d d d d zD z x y z z z x y Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 220d z z z π=⋅⎰24014z π=4π=. 解二：（投影法）利用柱面坐标系，积分区域02,02{(,,)|}2r r z r z θπθ≤≤≤≤Ω=≤≤, 22200d d d d d d r z x y z r r z z πθΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰22012(4)d 2r r z π=⋅-⎰22401(2)4r z π=-4π=. 七、计算曲线积分与曲面积分1. 解：由423P xy y =-+，234Q x xy =-得， 324P Q x y y x∂∂=-=∂∂，故该积分与路径无关, 取积分路径L 为折线(1,0)(2,0)(2,1)→→，则21423310(23)d (4)d 3d (48)d L xy y x x xy y x y y -++-=+-⎰⎰⎰5=. 2. 解：由2,,P x Q y R z ===-得2P Q R x y z∂∂∂++=∂∂∂， 由高斯公式得，2d d d 2d d d x y z x y z ΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式π18=.八、证明：该级数)1ln(1)1(11+-∑∞=-n n n 为交错级数, 由于11)1ln(1||+≥+=n n u n ，而∑∞=+111n n 发散，故∑∞=1n n u 发散, 又由1+>n n u u ，且1lim lim 0ln(1)n n n u n →∞→∞==+， 由莱布尼兹定理可知，原级数收敛，从而条件收敛.九、解：11()2(2)f x x x ==+-122(1)2x =-+ n n n n x )2(2)1(210--=∑∞=)40(<<x n n n n x )2(2)1(01--=∑∞=+)40(<<x十、解：所给函数满足收敛定理的条件，它在点(0,1,2,)x k k π==±±处不连续，在其他点处均连续，从而()f x 的傅里叶级数收敛，且当x k π=时级数收敛于1102-+=； 当x k π≠时,级数收敛于()f x . 001()cos d 11(1)cos d cos d 0(0,1,2,)n a f x nx x nx x nx x n πππππππ--==-+==⎰⎰⎰[]00001()sin d 11(1)sin d sin d 1cos 1cos 11cos cos 121(1)n n b f x nx x nx x nx x nx nx n n n n n n πππππππππππππππ---==-+⎡⎤⎡⎤=+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=--+⎡⎤=--⎣⎦⎰⎰⎰ 4,1,3,5,0,2,4,6,n n n π⎧=⎪=⎨⎪=⎩ 于是得)(x f 的傅里叶级数展开式为411()[sin sin3sin(21)]321f x x x k x k π=+++-+- k 141sin(21)(,0,,2,)21k x x x k πππ∞==--∞<<∞≠±±-∑。
北京交通大学高等数学B(Ⅱ)期末考试试卷(B卷及其答案文档
北 方 交 通 大 学1999-2000学年第二学期高等数学B （Ⅱ）期末考试试卷（B 卷）答案一．填空题（本题满分15分，每道小题3分），请将合适的答案填在空中． 1．函数 y x z -=的定义域为 ________________________．2．设二元函数()y x z z ，=由方程()0ln 22=+-xyz xyz xz 所确定，则=∂∂xz_____________．3．交换累次积分的顺序()()=+⎰⎰⎰⎰--4121xx xxdy y x f dx dy y x f dx，，_____________．4．若0>a ，0>b ，则级数()()()()()()∑∞=++++++111211121n nb b b na a a 在 __________ 时发散．5．设方程()x f y y y =-'-''32有特解*y ，则它的通解为________________．答案：⒈ y x ≥，0≥y ； ⒉ xz-； ⒊()⎰⎰-+2122y y dx y x f dy ，；⒋1≥ba； ⒌ *321y e C e C y x x ++=-． 二．选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）。
以下每道题有四个答案，其中只有一个答案是正确的，请选出合适的答案填在空中，多选无效．1．曲线Γ：⎩⎨⎧=++=++06222z y x z y x 在点()121，，-处的切线一定平行于_____ ． （A ）．x O y 平面； （B ）．y O z 平面； （C ）．z O x 平面； （D ）．平面0=++z y x ．2．已知L ：()()⎩⎨⎧==ty t x ψϕ ()βα≤≤t 是一连接()αA 、()βB 两点的有向光滑曲线段，其中始点为()βB ，终点为()αA ，则()=⎰Ldx y x f ， _________ ．（A ）．()()[]⎰βαψϕdt t t f ，； （B ）．()()[]⎰αβψϕdt t t f ，； （C ）．()()[]()⎰'βαϕψϕdt t t t f ，； （D ）．()()[]()⎰'αβϕψϕdt t t t f ，． 3．设k x j z i y A++=，则=A rot ______________ ．（A ）．k j i ++ ； （B ）．()k j i ++- ； （C ）．k j i +-； （D ）．k j i-- ．4．函数()⎰=xdt t tx f 0sin 在0=x 处的幂级数展开式为___________ ． （A ）．()()()∑∞=++--01212!121n n nx n n ()+∞<<∞-x ；（B ）．()()()∑∞=++--01212!121n n n x n n ()+∞<<<<∞-x x 00，； （C ）．()()()∑∞=+++-01212!121n n n x n n ()+∞<<∞-x ；（D ）．()()()∑∞=+++-01212!121n n n x n n ()+∞<<<<∞-x x 00， ． 5．设()x y 1与()x y 2是方程()()0=+'+''y x Q y x P y 的_________，则()()x y C x y C y 2211+=（1C 与2C 为任意常数）是该方程的通解．（A ）．两个不同的解 ； （B ）．任意两个解； （C ）．两个线性无关的解 ； （D ）．两个线性相关的解． 答案： ⒈ （D ）； ⒉ （D ）； ⒊ （B ）； ⒋ （C ）； ⒌ （C ）． 三．（本题满分7分）设()xy y x f z ，+=，其中函数f 具有二阶连续的偏导数，求yx z ∂∂∂2．解：21f y f x z'+'=∂∂ ……3 所以，2221212112f xy f y f f x f yx z''+''+'+''+''=∂∂∂ ()2221211f f xy f y x f '+''+''++''= (7)四．（本题满分7分） 计算⎰⎰++--Ddxdy yx y x 222211 ，其中D 是由圆周122=+y x 及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域． 解：作极坐标变换 θθsin cos r y r x ==， 则有⎰⎰⎰⎰+-=++--1222022221111rdr r r d dxdy y x y x Dπθ (2)⎰--=142112r d rrr π⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎰⎰143104112dr r r dr rrπ ()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+-=⎰⎰10441241114111212r d r r d r π ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=104102121a r c s i n 212r r π ……5 ()28-=ππ (7)五．（本题满分8分）证明：曲面3a xyz =（0≠a 为常数）上任意点处的切平面与三个坐标面所形成的四面体的体积为常数 ． 解：令 ()3a xyz z y x F -=，， (2)则yz F x =' ，xz F y =' ，xy F z ='设()000z y x ，，为曲面3a xyz =上的任意一点，则在该点处的切平面方程为()()()0000000000=-+-+-z z y x y y z x x x z y (4)化为截距式，有1333000=++z z y y x x 所以，所求四面体的体积为3000000292933361a z y x z y x V ==⋅⋅=……8 即所求体积为常数 ．六．（本题满分8分）求微分方程 ()x y y dxdyxln ln -= 的通解． 解： 原方程化为xy x y dx dy ln =， 这是一个齐次方程，令ux y =，则dx du x u dx dy +=，代入原方程，得 u u dxdux u ln =+ (3)分离变量，得()xdxu u du =-1ln积分，得()C x u ln ln 1ln ln +=-，即Cx u =-1ln (6)代回原变量，得 1+=Cx e xy，因此所求通解为 1+=Cx xe y (8)七．（本题满分8分） 求函数()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0002222242y x y x yx yx y x f ， 的全微分，并研究在点()00，处该函数的全微分是否存在？解：当()()00，，≠y x 时， ……3 dy yf dx x f dz ∂∂+∂∂=()()()224226422yxdyy x x dx x y xy +-+-= (3)在原点()00，处，()()()00lim 0000lim 0000=∆=∆-∆+='→∆→∆x xf x f f x x x ，，，()()()00lim 0000lim0000=∆=∆-∆+='→∆→∆yy f y f f y y y ，，， ()()()()()()2420000y x y x f y x f z ∆+∆∆∆=-∆+∆+=∆，，， ()()22y x ∆+∆=ρ则有 ()()()()()()()()22242001lim 0000limy x y x y x y f x f z y x ∆+∆⋅∆+∆∆∆=∆'-∆'-∆→→ρρρ，， ，令x y ∆=∆，则有 ()()()()()∞=∆⋅⋅∆+∆∆=∆'-∆'-∆→∆→∆xx x x yf x f z x y x x 21lim 0000lim24300ρ，， 所以，函数()y x f ，在点()00，处不可微． (8)八．（本题满分8分） 求三重积分()⎰⎰⎰Ω++=dxdydz z y x I 22其中Ω是由曲线⎩⎨⎧==022x zy 绕z 轴旋转一周所成的曲面与平面4=z 所围成的立体．解：作柱坐标变换z z r y r x ===，，θθsin cos ， ……1 则有 ()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=++=Ω4228020222r dz z r dr d dxdydz z y xI πθ (4)⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=805385842dr r r r π π3256= (8)九．（本题满分8分）求幂级数∑∞=1!n n nn x n 的收敛域（端点情形要讨论）．解： 设n n nn a !=， 则 ()()!1!1lim lim 11n n n n a a nn n nn n ⋅++=+∞→+∞→e n n n 1111lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞→， 所以，收敛半径为e R =， (4)当e x =时，级数为∑∞=1!n n nn e n而()()111!1!111>⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⋅++++nnnn n n e e n n n e n所以， 0!lim≠→∞nnn n e n因此，级数∑∞=1!n n nne n 发散． (6)同理，当e x -=时，级数()∑∞=-1!1n n nnn e n 也发散． (7)所以幂级数∑∞=1!n n nn x n 的收敛区间为()e e ，- ． (8)十．（本题满分8分）设()1=πϕ，试确定函数()u ϕ，使得曲线积分()[]()⎰+-Ldy x dx xy x x ϕϕsin 在0>x 或在0<x 的域内与路径无关，并求由点()01，A 到()ππ，B 的上述积分 ．解：因为()[]x yx x P ϕ-=sin ， ()x Q ϕ= 由于曲线积分()[]()⎰+-Ldy x dx x yx x ϕϕsin 在0>x 或在0<x 的域内与路径无关，因此()[]()x xQx x x y P ϕϕ'=∂∂=-=∂∂s i n 所以得微分方程 ()()x xx x x s i n 1=+'ϕϕ解此方程，得通解 ()xxC x cos -=ϕ (4)代入()1=πϕ，得1-=πC所以，所求函数为()xxx cos 1--=πϕ (5)又()[]()()()⎰+-ππϕϕ，，01sin dy x dx x yx x()[]()()()()[]()()()⎰⎰+-++-=ππππϕϕϕϕ，，，，0001s i n s i ndy x dx x yx x dy x dx x y x xπππππ=--+=⎰c o s10dy (8)十一．（本题满分8分）利用Gauss （高斯）公式计算曲面积分()()()⎰⎰+∑-+-+-dxdy xy z dzdx zx y dydz yz x222，其中+∑为球面()()()2222R c z b y a x =-+-+-的外侧． 解：yz x P -=2，zx y Q -=2，xy z R -=2所以，()z y x zR y Q x P ++=∂∂+∂∂+∂∂2 所以，由Gauss 公式，得 ()()()⎰⎰+∑-+-+-dxdy xy z dzdx zx y dydz yz x 222()⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂dxdydz z y x dxdydz z R y Q x P 2其中Ω为空间区域()()()(){}2222R c z b y a x z y x ≤-+-+-=Ω：，， (4)而()()()(){}2222R c z b y a x z y x ≤-+-+-=Ω：，，的重心为()c b a ，，，又设Ω的体积为V ，则 ⎰⎰⎰Ω=xdxdydz Va 1，⎰⎰⎰Ω=ydxdydz Vb 1，⎰⎰⎰Ω=zdxdydz Vc 1因此，()()()⎰⎰+∑-+-+-dxdy xy z dzdx zx y dydz yz x222()⎰⎰⎰Ω++=dxdydz z y x 2⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩxdxdydz ydxdydz xdxdydz 2 ()cV bV aV ++=2()c b a R ++=338π ． (8)。
12级高数(ii)期末考试题b卷及答案.doc
西南财经大学本科期末考试试卷（B）课程名称：高等数学担任教师：谢果等考试学期：2012 - 2013学年第2学期专业：全校各专业学号：年级：2012级姓名:考试时间：2013年月日（星期）午出题教师必填：1、考试类型：闭卷［v ］开卷［］（_______ 页纸开卷）2、本套试题共五道大题,共—页，完卷时间120分钟。
3、考试用甜中除纸、笔、尺了外，可另带的用貝有：计算器［］字典［］____________ 等（请在下划线上填上具体数字或内容，所选［］内打钩）考生注意事项：1、出示学生证或身份证于桌面左上角，以备监考教师查验。
2、拿到试卷后清点并检查试卷页数，如有重页、页数不足、空口页及刷模糊等举手向监考教师示意调换试卷。
3、做题両请先将专业、年级、学号、姓名填写完整。
4、考生不得携带任何通讯工具进入考场。
5、严格遵守考场纪律。
一、 填空题：(共10小题，每小题2分，共20分)1・微分方程xy^y = 0满足初始条件X0 = 2的特解为 ^ = 2. 2. y n= sin y 经过变换y'= p,可化为一阶微分方程血=也丄・------- 心 p3. 将xOy 坐标而的圆疋+于二4绕兀轴旋转一周，所生成的旋转曲而的方程为 %2+ y 2+z 2= 4 ・4. 设二元函数z = j4 —兀2一)，+很2 +才_2,其定义域是£> = {(x,y) 2<x 2 + y 2 <4 }.单项选择：(共5小题，每小题2分，共10分)1.若X 和儿是二阶齐次线性方程y /f+P(x)y+Q(x)y = 0的两个特解，则 y = Cj+G” (其中G ，G 为任意常数)( C ) 5. 设函数m 沪令则(『)宀护6. 7."TO x 2 + V 3 )'T1 丿设z = tl + xyY ,则尖=y 2(\ + xy)y ~l.OX --------------------------------8、 2设 z = ln(x 2 + y 2),则 dz = — -- (xdx + ydy).x + y9、 交换二次积分的次序J ； dyj, /(兀，刃血二J ：d 吐7(兀刃dy ・ oonn+110、幕级数Y 缶的收敛半径是一 2,和函数S(x)二—右/i=0(A) 是该方程的通解； (C)是该方程的解2.下列关于函数的结论屮正确是( (A)驻点一定是可微分的极值点 (C)有极大值一定有最大值(B) 是该方程的特解 (D)不一定是该方程的解B ).(B)可微分的极值点一定是驻点 (D)有最大值一定有极大值（A） /（x0o?）在）, = ）5处的导数等于零（B）/（X0O?）在歹=y°处的导数大于零（C）/（x0o;）在），=儿处的导数小于零（D） f（x09y）在歹=儿处的导数不存在3•设可微函数f（x^y）在点（心儿）取得极小值，贝IJ下列结论正确的是（A ）•4、［代（兀刃内=（C）./（x, y）dx（C）f（x, y）dx5、下列级数中，条件收敛的是（W =I川+1(D))•三、计算题（共7小题，每小题7分，共49分）1 .求一阶微分方程为V = /严’ —2y满足条件儿=（）二0的特解.解：移项可得微分方程为y + 2y = A~2x（1 分）故y = x2e-2x e^dx dx + C） = （-x3 + C）e~2x（C为任意常数）.（4 分）将条件y仁=o代入通解,得c = o.即满足条件），仁=0的特解是.y = ^e~2x（7分）2.证明:/(x, y) = < x2 + y20, 证明：因为x "在点（o,o）处不连续但偏导数存在. x2 + y2 = 0lim/(x,y) XT O尸0limx->0y->0令y = kxkx2映(1+wk1+P0, k = 0所以lim /UoO 不存在，所以f （x,y ）在点（0,0）处不连续，（4分）XT O y-»（）但 /（X, 0） = /（0,刃=0 ,则 £（0,0） = f y （0,0） = 0 故/（x, y ）在点（0,0）处偏导数存在.（7分）3•求函数z = xlnfx+ >9的二阶偏导数4. 设函数加）可微，且广（0）=丄,求z = /（4兀2 —y2）在点（1,2）处的全微分dz,2解： 方法一：因为 || | （b2） = f （4x 2 - y 2） • 8x （12） = 4 , （2分）血|（】,2）=瓠）如亂,2）® =4dx-2dy.（7 分）5. 设£>:|x| + | y |<1 ,求二重积分□（卜| + 卜|）加/y.D解：利用对称性，得解:dzlnfx+ y ） + --x+ ydz _ x dy x + yd 2z _ x + 2y d 2z _ x時=（兀+刃2 '頑"（X+）沪（2分）（6分）dzdy （1,2）=广（4十-尸）・（-2创（］,2）=-2 , （4分）所以［［（卜|+卜|）如尸町&广 xdyD&°e\4= 8J （）X （1-X ）6te（4分）（7dxdy dydx （兀6.计算二重积分jjln（l + x2 + y2）t/a, K中D为x2 + y2 < 1的圆域. D解：jjln(l + x 2 + y 2)da =dO^ ln(l + p 2)pdp D& *(4分) = %(21n2-l)(7分)7、讨论级数£需的敛散性，若收敛，指明是绝对收敛还是条件收敛.OO首岛且 n > n =丄. n 2 +1 n 2 4-n 2 2n '8OO 8由于 工1发散，所以申工丄也发散，因此》甘一［也发散;/1=1 /7=1 /?=! “ 十丄77=1又因为井I< —L =〃 +1 n 2 + n n 2+1lim — = 0 川T8矿+ 1曲交错级数判别法知，匚也 收敛; /|=1 n +1综上知级数条件收敛.（2分）（4分）（6分）（7分）四、应用题（共2小题，每小题8分，共16分）1.求由曲线『=丄和直线y = 4x,x = 2所围成的平面图形的面积以及所围成的图形 X 绕X 轴旋转一周所形成的旋转体积. 解：求交点\y=l ，得2丄（1分）. 2 y = 4x 则所求的平而图形的而积是S = f! （4x ——）dx =——21n2（4 分）h x 2所求绕X 轴旋转一周所形成的旋转体体积.2.某厂家生产的一种产品同吋在两个市场销售，售价分别为卩和D ，销售量分别为⑺和色，需求函数分别为4=24-0.2门，q 2 = 10-0.05p 2 ；总成本函数为C = 35 + 40（4+%）。
大一高数b下期末考试题及答案
大一高数b下期末考试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^2-4x+c在x=2处的导数是（）。
A. 0B. 2C. 4D. 8答案：B2. 极限lim(x→0)(sin(x)/x)的值是（）。
A. 0B. 1C. 2D. ∞答案：B3. 曲线y=x^3-3x^2+2在点(1,0)处的切线斜率是（）。
A. 0B. 1C. -2D. 2答案：C4. 定积分∫(0,1) x^2 dx的值是（）。
A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=ln(x)的定义域是（）。
答案：(0, +∞)2. 微分方程dy/dx + y = e^x的通解是（）。
答案：y = Ce^(-x) + e^x3. 曲线y=x^3-6x^2+9x+1在x=3处的切线方程是（）。
答案：y = 18x - 424. 定积分∫(0,2) (x^2-4x+4) dx的值是（）。
答案：4三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x)=x^3-3x^2+2的极值点。
答案：首先求导数f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0，解得x=0或x=2。
当x<0时，f'(x)>0；当0<x<2时，f'(x)<0；当x>2时，f'(x)>0。
因此，x=0是极大值点，x=2是极小值点。
2. 求极限lim(x→∞) (x^2-1)/(x^2+x+1)。
答案：lim(x→∞) (x^2-1)/(x^2+x+1) = lim(x→∞) (1-1/x^2)/(1+1/x+1/x^2) = 1/1 = 13. 求曲线y=x^3-3x^2+2在点(1,0)处的切线方程。
已知切线斜率k=f'(1)=-2，切点为(1,0)。
因此，切线方程为y-0=-2(x-1)，即y=-2x+2。
4. 求定积分∫(0,2) (x^2-4x+4) dx。
高数b2期末考试试题及答案
高数b2期末考试试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 设函数f(x)=x^3-3x+1，求f'(x)的值。
A. 3x^2 - 3B. x^2 - 3xC. 3x^2 - 3xD. x^3 - 3x^2答案：A2. 计算定积分∫(0,1) x^2 dx。
A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1/4答案：B3. 求极限lim(x→0) (sin x) / x。
A. 1B. 0C. 2D. ∞答案：A4. 判断下列级数是否收敛。
∑(1/n^2)，n从1到∞。
A. 收敛B. 发散答案：A5. 判断函数f(x)=e^x在实数域R上的连续性。
A. 连续B. 不连续答案：A6. 求二阶偏导数f''(x,y)，其中f(x,y)=x^2y+y^2。
A. 2xyB. 2xC. 2yD. 2答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=ln(x+1)，求f'(x)=______。
答案：1/(x+1)2. 计算定积分∫(0,2π) sin(x) dx=______。
答案：03. 求极限lim(x→∞) (1+1/x)^x=______。
答案：e4. 判断级数∑(1/n)，n从1到∞是否收敛，答案是______。
答案：发散三、解答题（每题10分，共50分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点。
答案：首先求导数f'(x)=3x^2-12x+11，令f'(x)=0，解得x=1,x=11/3。
经检验，x=1为极大值点，x=11/3为极小值点。
2. 计算定积分∫(0,1) e^x dx。
答案：∫(0,1) e^x dx = [e^x](0,1) = e^1 - e^0 = e - 1。
3. 求极限lim(x→0) (e^x - 1) / x。
答案：根据洛必达法则，lim(x→0) (e^x - 1) / x = lim(x→0) e^x = 1。
高等数学(B2)期末模拟试卷及答案
高等数学（B2）期末模拟试卷（一）一、选择题（本大题共10小题，每题3'，共30'）:1. )1ln(412222-++--=y x y x z ，其定义域为----------------------------------（A ）.A {}41),(22<+<y x y x B {}41),(22<+≤y x y x C {}41),(22≤+<y x y x D {}41),(22≤+≤y x y x .2. 设yx z =，则=dz --------------------------------------------------------------------------（D ）. A dy yx xdx x y y1ln -+ B dy x dx yx y y +-1C xdy x xdx yxy y ln ln 1+- D xdy x dx yx y y ln 1+-.3. 由椭圆1162522=+y x 绕y 轴旋转一周所生成的旋转体体积可表示为--------------（ C ）. A 5202y dx π⎰B 5204y dx π⎰ C 4202x dy π⎰ D 4204x dy π⎰.4. 设)3,2,1(=a ，)4,3,2(=b ，)2,1,1(-=c，则.)(c b a ⋅⨯为--------------------（A ）.A 5-B 1-C 1D 5. 5. 设05432:=+++∏z y x ，41321:-==-z y x L ，则∏与直L 的关系为---（ A ）. A L 与∏垂直 B L 与∏斜交 C L 与∏平行 D L 落于∏内.6. 若{}4,2),(≤≤=y x y x D ，{}40,20),(1≤≤≤≤=y x y x D ,)(22y x f +为D 上的连续函数，则σd y x f D)(22⎰⎰+可化为----------------------------------------------------（C ）.Aσd y x f D )(122⎰⎰+ B σd y x f D )(2122⎰⎰+C σd y x fD )(4122⎰⎰+ D σd y x f D )(8122⎰⎰+.7. 下列哪个函数是某一二阶微分方程的通解----------------------------------------------（ C ）.A xe cx y += B x ec y xc +=+21C x c e c y x21+= D )(21xe x c c y +=.8. 下列哪个级数收敛---------------------------------------------------------------------------（D ）. A∑∞=-1)1(n nB∑∞=+11001n n C ∑∞=+1100n n nD∑∞=1100100n n . 9. 若⎰⎰=Dd 4σ，其中ax y a x D ≤≤≤≤0,0:，则正数=a ---------------------（ B ）.A 322 B 2 C 342 D 232. 10. 若幂级数∑∞=-1)1(n nnx a在3=x 处条件收敛，则其收敛半径为-----------------（ B ）. A 1 B 2 C 3 D 4.二、计算题（本大题共4小题，每题7'，共28'）:1. 设),(v u f z =具有二阶连续偏导数，若)cos ,(sin y x f z =，求.,2y x z x z ∂∂∂∂∂ 解： ,cos 1xf xz=∂∂=∂∂∂y x z 2.cos sin )sin (cos )(1212xf y y xf x z y -=-⋅=∂∂∂∂ 2. 设)sin(22y x z +=，求⎰⎰Dzdxdy . D :22224ππ≤+≤y x .解：⎰⎰Dzdxdy =)4cos (cos 22πππ-3. 设曲线xe y 2=， )1ln(+=x y 与直线1=x 及y 轴所围成的区域为D ，求D 的面积.解D 的面积=2ln 2)1(212-+e . 4. 解微分方程.2x e x y dxdyx -+=解：x xe y xdx dy -=-1x xe x Q xx P -=-=)(,1)(⎰-=∴x dx x P ln )(， x x x dxx P e dx e xe dx ex Q ----=⋅=⎰⎰⎰ln )()(故通解为)(C ex y x+-=-三、计算题（本题9'）设⎰⎰=202sin ππy ydx xxdy I ，（1）改变积分次序；（2）计算I 的值.解：⎰⎰=202sin ππyydx xxdy I =πππππ21)2(sin sin 2022022-=-=⎰⎰⎰dx x x x x dy x x dx xx 四、证明题（本题8'）求证：曲面a z y x =++上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a .解：设切点为（000,,z y x ）且设=),,(z y x F a z y x -++，则切平面方程为：+-)(2100x x x +-)(2100y y y 0)(2100=-z z z令0==z y 可得：切平面在x 轴上的截距为 a x z x y x x 000000=++同理可得：切平面在z y ,轴上的截距分别为,,00a z a y因此切平面在各坐标轴上的截距之和等于a a z a y a x =++000。
高等数学(二)答案B
A.（1,3）
B. 1,3
C. 1,3)
D. (1,3
二、填空题（每题 4 分，共 16 分） 1、球心在点（1，2,3） ，半径为 4 的球面方程为 ( x − 1) 2 + ( y − 2) 2 + ( z − 3) 2 = 16 。
2、方程 x 2 + y 2 + z 2 + 2 x + 2 z − 2 = 0 表示的图形是圆心在（-1,0， -1 ） ，半径为 2 的球面。 。
n=1
1 n2
D.
(−1)
n =1
n
n
3.若幂级数 an xn 在 x = 3 处收敛，则该级数在 x = 1 处必定（
n =1
C
）
A．发散 4.下列命题（
B. 条件收敛 A ）正确
C. 绝对收敛
D. 收敛性不能确定
A.
u
n =1
n
收敛， un 必定收敛。B． un 收敛， un 必定收敛
n =1 n =1
n =1
C.
un 发散， un 必定发散，
n =1
D.
n =1
un 发散， un 未必发散
n =1
n =1
1
（共 5 页）
2013 年 4 月
中国地质大学（北京）继续教育学院
2014 年
5. z = ln x 2 − y 2 的定义域是（
2 2
D
）
A． x 2 − y 1
3、二元函数 z = 16 − x 2 − y 2 的定义域是 ( x, y ) : x 2 + y 2 16 。
2017-2018高数B-2期末B试题及答案
学 院: 班级: 学号: 姓名:―――――――――――――装――――――――――――订――――――――――――线――――――――――――――温馨提示（请务必仔细阅读）（1）本试卷共8页，第1-2页为答题纸，第3-6页为试题页，第7-8页为草稿页。
试题页空白处及背面也可做草稿纸用。
（2）请将答案写在答题纸相应位置上，答案写在试题页或草稿页上一律无效。
（3）交卷时请将答题纸（1-2页）和试题页、草稿页（3-8页）分开上交。
一、填空题Ⅰ（共12分，每小题3分）1. 若三重积分(,,)d 1f x y z v Ω=⎰⎰⎰，且Ω的体积2V =，则[](,,)2d f x y z v Ω-=⎰⎰⎰___________． 2. 对于正项级数1n n u ∞=∑，若1limn n nu u ρ+→∞=，则当1ρ<时，级数1n n u ∞=∑的收敛性为___________．3. 将函数3()e x f x =在(,)-∞+∞内展开为x 的幂级数，则展开式为()f x =________________________．4. 幂级数2n nn x ∞=∑在11(,)22-内的和函数为()s x =_________________． 答：1．3- 2．收敛 3．301!n n x n ∞=∑ 4．112x - 二、填空题Ⅱ（共18分，每小题3分）5. 方程32ln y y x ''+=是_______阶微分方程． 6. 微分方程d d 0yx x-=的通解为________________________________． 7. 微分方程sin y x ''=的通解为_______________________________． 8. 微分方程0y y '''-=的通解为_________________________． 9. 微分方程10250y y y '''-+=的通解为________________________． 10.若函数e cos 2xy x =与e sin 2xy x =是常系数线性方程0y py qy '''++=的两个解，则该方程的通解为__________________________．答：5．二 6．212y x C =+ 7．12sin y x C x C =-++8．12e x y C C =+ 9．512()e x y C C x =+ 10．12e (cos 2sin 2)xy C x C x =+三、单项选择题（每小题只有一个正确选项）（共18分，每小题3分）11.设Ω是由上半球面2224x y z ++=与xOy 面所围成的空间闭区域，则三重积分(,,)d f x y z v Ω⎰⎰⎰可转化为（ ） （A）2204d d (,,)d x y x y f x y z z +≤⎰⎰ （B ）2224d d (,,)d x y x y f x y z z +≤⎰⎰⎰（C）2204(,,)d d x y zf x y z x y +≤⎰⎰ （D ）2224d (,,)d d x y zf x y z x y +≤⎰⎰⎰12．设级数①11n n ∞=∑，②()01nn ∞=-∑，则收敛的为（ ）（A ）①② （B ）① （C ）② （D ）①②均发散 13．设幂级数1nn n a x∞=∑在点1x =处收敛，在点1x =-处发散，则（ ）（A ）幂级数1nn n a x∞=∑在点2x =处必发散（B ）幂级数1(1)nn n a x ∞=-∑在点2x =处可能发散（C ）数项级数13nnn a ∞=∑必条件收敛 （D ）幂级数1n nn a x∞=∑在点23x =-处必发散 14．幂级数112nn x n ∞=+∑的收敛域为（ ） （A ）[1,1]- （B ）[1,1)- （C ）(1,1)- （D ）{0} 15．关于微分方程21y y''=-，下列说法正确的是（ ）学 院: 班级: 学号: 姓名:―――――――――――――装――――――――――――订――――――――――――线――――――――――――――（A ）是可分离变量的微分方程，可利用分离变量的方法求解 （B ）是(,)y f y y '''=型可降阶方程，可利用代换y p '=化为21p y'=-求解 （C ）是(,)y f y y '''=型可降阶方程，可利用代换y p '=化为2d 1d p p y y=-求解 （D ）是二阶线性微分方程，可通过特征方程求解16．若11()y y x =、22()y y x =分别是线性微分方程()()()y p x y q x y f x '''++=（()0f x ≡/）及其对应的齐次方程()()0y p x y q x y '''++=的解，则函数122y y y =+是方程（ ）的解．（A ）()()0y p x y q x y '''++= （B ）()()()y p x y q x y f x '''++= （C ）()()2()y p x y q x y f x '''++= （D ）()()3()y p x y q x y f x '''++=111213141516A D ABC B四、计算题（共28分，每小题7分）17．设闭区域:02, 02, 01x y z Ω≤≤≤≤≤≤，计算三重积分2d xz v Ω⎰⎰⎰． 解：22122000d d d d xz v x y xz z Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰（4分）2212000d d d x x y z z =⋅⋅⎰⎰⎰（5分）142233=⋅⋅=（7分）18．计算三重积分()22d x y v Ω+⎰⎰⎰，其中Ω是由圆柱面221x y +=与平面0z =、4z =围成的闭区域．解：()223d d d d x y v z ΩΩρρθ+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰（2分）2143000d d d z πθρρ=⎰⎰⎰（5分）12424ππ=⋅⋅=（7分）19．求微分方程311107e xy y y '''-+=的通解．解：特征方程为211100r r -+=，121,10r r ==，对应齐次方程11100y y y '''-+=的通解为1012e e x xy C C =+；（3分）设原方程一个特解为3e xy C *=，代入方程得33339e 33e 10e 7e x x x xC C C -+=，12C =-，从而31e 2x y *=-，（6分） 原方程通解为103121e ee 2xxx y y y C C *=+=+-（7分） 20．求解微分方程的初值问题4304e1x x y x y y -=⎧'+=⎪⎨=⎪⎩．解：方程通解为()3344d 4d e ee d x xx xx y x C --⎰⎰=⋅+⎰（3分）()()4444e e e d e xx x xx C x C ---=⋅+=+⎰（6分） 由01x y ==，得1C =，从而初值问题的解为()4e 1xy x -=+（7分）解法二（常数变易法）：解出对应齐次方程通解4ex y C -=（2分）设非齐次方程通解为4()e x y u x -=（3分），代入整理得出通解()4e x y x C -=+（6分），代初始条件得出特解（7分）五、解答题（共24分，每小题8分）21．判断级数1cos(1)!n n n ∞=+∑是否收敛？是否绝对收敛？ 解：cos(1)11cos(1)!!!n n n n n +=+≤（2分）由正项级数11!n n ∞=∑收敛（4分），知1cos(1)!n n n ∞=+∑收敛（6分），从而1cos(1)!n n n ∞=+∑收敛且绝对收敛（8分） 22．将函数21()4f x x =-展开为x 的幂级数，并指出展开式成立的范围． 解：211()414f x x =-⋅-（2分）20144nn x ∞=⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑（6分）21014nn n x ∞+=⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑（7分），214x <即22x -<<（8分） 23．已知函数()y x 在区间(1, 1)-内满足方程()yy s x '=，且(0)0y =，其中()s x 在区间(1, 1)-内可展开为幂级数211()n n s x nx∞-==∑，求()y x ．学 院: 班级: 学号: 姓名:―――――――――――――装――――――――――――订――――――――――――线――――――――――――――解：方程分离变量，有d ()d y y s x x =，两边积分，得21()d 2y s x x =⎰（2分）0()d x s x x C =+⎰（3分）由(0)0y =，得0C =（4分）又 22121220001111()d d d 22(1)xxx n n n n n n x s x x nx x nx x x x ∞∞∞--===⎛⎫==== ⎪-⎝⎭∑∑∑⎰⎰⎰（7分） 故22222(1)y x x =-，即2()1x y x x=±-（8分） 解法二：对211()n n s x nx∞-==∑两端积分，得22121220001111()d d d 22(1)xxx n n n n n n x s x x nx x nx x x x ∞∞∞--===⎛⎫==== ⎪-⎝⎭∑∑∑⎰⎰⎰（3分） 于是22()2(1)x s x x '⎛⎫= ⎪-⎝⎭，方程即为222(1)x yy x '⎛⎫'= ⎪-⎝⎭（4分） 分离变量得22d d 2(1)x y y x x '⎛⎫= ⎪-⎝⎭，两边积分，得22222(1)y x C x =+-（6分） 由(0)0y =，得0C =，于是2221x y x =-，2()1x y x x=±-（8分）。
高等数学(B2)期末模拟试卷(一)及答案
高等数学（B2）期末模拟试卷（一）一、选择题（本大题共10小题，每题3'，共30'）:1. )1ln(412222-++--=y x y x z ，其定义域为----------------------------------（A ）.A {}41),(22<+<y x y x B {}41),(22<+≤y x y x C {}41),(22≤+<y x y x D {}41),(22≤+≤y x y x .2. 设yx z =，则=dz --------------------------------------------------------------------------（D ）. A dy yx xdx x y y1ln -+ B dy x dx yx y y +-1C xdy x xdx yxy y ln ln 1+- D xdy x dx yx y y ln 1+-.3. 由椭圆1162522=+y x 绕y 轴旋转一周所生成的旋转体体积可表示为--------------（ C ）. A 5202y dx π⎰B 5204y dx π⎰ C 4202x dy π⎰ D 4204x dy π⎰.4. 设)3,2,1(=a ，)4,3,2(=b ，)2,1,1(-=c，则.)(c b a ⋅⨯为--------------------（A ）.A 5-B 1-C 1D 5. 5. 设05432:=+++∏z y x ，41321:-==-z y x L ，则∏与直L 的关系为---（ A ）. A L 与∏垂直 B L 与∏斜交 C L 与∏平行 D L 落于∏内.6. 若{}4,2),(≤≤=y x y x D ，{}40,20),(1≤≤≤≤=y x y x D ,)(22y x f +为D 上的连续函数，则σd y x f D)(22⎰⎰+可化为----------------------------------------------------（C ）.Aσd y x f D )(122⎰⎰+ B σd y x f D )(2122⎰⎰+C σd y x fD )(4122⎰⎰+ D σd y x f D )(8122⎰⎰+.7. 下列哪个函数是某一二阶微分方程的通解----------------------------------------------（ C ）.A xe cx y += B x ec y xc +=+21C x c e c y x21+= D )(21xe x c c y +=.8. 下列哪个级数收敛---------------------------------------------------------------------------（D ）. A∑∞=-1)1(n nB∑∞=+11001n n C ∑∞=+1100n n nD∑∞=1100100n n . 9. 若⎰⎰=Dd 4σ，其中ax y a x D ≤≤≤≤0,0:，则正数=a ---------------------（ B ）.A 322 B 2 C 342 D 232. 10. 若幂级数∑∞=-1)1(n nnx a在3=x 处条件收敛，则其收敛半径为-----------------（ B ）. A 1 B 2 C 3 D 4.二、计算题（本大题共4小题，每题7'，共28'）:1. 设),(v u f z =具有二阶连续偏导数，若)cos ,(sin y x f z =，求.,2y x z x z ∂∂∂∂∂ 解： ,cos 1xf xz=∂∂=∂∂∂y x z 2.cos sin )sin (cos )(1212xf y y xf x z y -=-⋅=∂∂∂∂ 2. 设)sin(22y x z +=，求⎰⎰Dzdxdy . D :22224ππ≤+≤y x .解：⎰⎰Dzdxdy =)4cos (cos 22πππ-3. 设曲线xe y 2=， )1ln(+=x y 与直线1=x 及y 轴所围成的区域为D ，求D 的面积.解D 的面积=2ln 2)1(212-+e . 4. 解微分方程.2x e x y dxdyx -+=解：x xe y xdx dy -=-1x xe x Q xx P -=-=)(,1)(⎰-=∴x dx x P ln )(， x x x dxx P e dx e xe dx ex Q ----=⋅=⎰⎰⎰ln )()(故通解为)(C ex y x+-=-三、计算题（本题9'）设⎰⎰=202sin ππy ydx xxdy I ，（1）改变积分次序；（2）计算I 的值.解：⎰⎰=202sin ππyydx xxdy I =πππππ21)2(sin sin 2022022-=-=⎰⎰⎰dx x x x x dy x x dx xx 四、证明题（本题8'）求证：曲面a z y x =++上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a .解：设切点为（000,,z y x ）且设=),,(z y x F a z y x -++，则切平面方程为：+-)(2100x x x +-)(2100y y y 0)(2100=-z z z令0==z y 可得：切平面在x 轴上的截距为 a x z x y x x 000000=++同理可得：切平面在z y ,轴上的截距分别为,,00a z a y因此切平面在各坐标轴上的截距之和等于a a z a y a x =++000。
高等数学B(二)期末模拟试题参考答案上课讲义
一、选择题（每小题3分共15分）1. 设a>0, 则dx a x ⎰= ( ).(A) x 2a +c ； (B) a a xln +c ； (C) a ln a x +c ； (D) a ln a x 2+c.2. F(x)= dt te 1x t⎰--, 则 F'(x)= ( ).(A) xe -x ； (B) -xe -x ； (C) -xe x ； (D) xe -x -1.3. ⎰10xdx ( ) ⎰102dx x .(A) >； (B) =； (C) <； (D) ≥.4. 级数∑∞=+-1n n1n n )1( () .(A) 条件收敛； (B) 绝对收敛； (C) 条件发散； (D) 绝对发散.5. 二元函数y ln 1x z +-=的定义域为 ( ).(A) x>1； (B) x ≥1；(C) x ≥1,y>0； (D) x>1, y ≥0.1 (B)；2 (B)； 3(A)； 4 (B)； 5 (C).二、判断题（每小题2分，最后一小题3分，共15分）1. 若F(x)是f(x)的原函数, 则dx )x (f ⎰=F(x). ( ).2. 若f(x)在区间[a,b]连续, 则有ξ∈[a,b],使得⎰badx )x (f =f(ξ)(b-a). ( ).3. 如果正项级数∑∞=0n n a 收敛, 那么∑∞=1n nna 也收敛. ( ).4. 级数∑∞=13sin 2n n n π收敛. ( ).5. 如果z=f(x,y)在区域D 有二阶导数, 那么y x )y ,x (f ∂∂∂=x y )y ,x (f ∂∂∂在D 成立. (). 6.如果z=f(x,y)在区域D 可导P 0∈D, 在P 0处x f ∂∂=y f∂∂=0, 那么z 在P 0达到极大值.( ).7. ⎰π-02xdx sin <⎰π20xdx sin . ( ). 1 (╳)；2 (√)；3 (√)；4 (√)；5 (╳)；6 (╳) ；7 (√).三、填空题（每小题3分共18分）1.dx )x 31(2⎰-= x-x 3+c . 2. dx x x ⎰--1123)3(= -2 .3. 0x lim →x tdtcos x02⎰ = 1 .4. 级数 1+⋅⋅⋅++++432x 5x 4x 3x 2的和函数 S(x)= 2)x 1(1-.5. 级数∑∞=-1n n)n 2)(1n 2(x 的收敛半径 = 1 . 6. 设22y x z =, 则y z ∂∂= y x 22.四、计算题 （每小题6分共36分， 其中6、7题任选一题）1. 求级数 ⋅⋅⋅++++7538642x x x x 的和函数.解： ∵ (x)...x x 1n 242+++++=2x 11- ∴ S(x)= ...)'x ...x x 1(n 242+++++='x 112⎪⎭⎫ ⎝⎛-= 22)x 1(x 2-. 即 S(x)= 22)x 1(x 2-. 2. 设函数⎩⎨⎧>≤+=1x x 21x 1x )x (f ，求⎰.dx )x (f 解：∵ 12c x x 21dx )1x (++=+⎰,x ≤1; 22c x xdx 2+=⎰, x>1; f(x) 的原函数在x=1处连续. ∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>++≤++=⎰1x c 21x 1x c x x 21dx )x (f 22, 其中c 为某常数. 3. 求幂级数1n 1n nx 2n 1-∞=∑的收敛半径，并求和函数解：收敛半径R=n )1n (n 2n 2)1n (lim +∞→+=2; 显然S(0)=1/2. 当x ≠0时 (xS(x))'=1n 1n n x 21-∞=∑ =1n 1n )2x (21-∞=∑ =2/x 1121- xS(x)=dx 2/x 1121x0⎰-= -)2x 1ln(-, 故 S(x)=)2x 1ln(x 1--. 总之 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-∈≠--=0x 21)2,2[x 0x )2x 1ln(x 1)x (S 且4. 把函数x cos )x (f 2=展开为x 的幂级数，并确定收敛域。
2023高数II期末模拟卷及参考答案
高数II 期末模拟卷课程名称：高等数学AII课程类别：必修考试方式：闭卷注意事项：1、本试卷满分100分。
2、考试时间120分钟。
3、答案写在答题卷上。
一、单项选择题（每小题3分，共21分）1.下列方程中是线性微分方程的是()A.2(')120y xy +=B.'''3sin xy y xy y -+=C.32'4y y x -= D.222'''x y y y e x x-+=2.直线134x y z x y z -+=⎧⎨--=⎩和直线11111x y z +-==-的夹角等于()A．2πB．4πC．3πD．6π3.函数2222220(,)00xyx y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩点（0，0）处()A.连续但偏导数不存在B.不连续但偏导数存在C.连续且偏导数存在D.偏导数存在且可微4.设D 由22(2)1x y ++=所围区域，I 1=2()d Dx y σ+⎰⎰，I 2=3()d Dx y σ+⎰⎰则()A.12I I >B．12I I =C．12I I <D．不能比较5.设⎰⎰=12),(xxdy y x f dx I ，交换积分次序，得()A.⎰⎰xx dxy x f dy 210),( B.⎰⎰10),(yy dxy x f dy C.⎰⎰102),(y ydxy x f dy D.⎰⎰yydxy x f dy 1),(6.设S 为曲面22y x z +=介于平面0=z 和1z =之间的部分，则Sz dS =⎰⎰()学院：专业班级：姓名：学号：装订线内不要答题A.23πB．223D．π7.下列级数绝对收敛的是()A.2221111357-+-+B.1(1)n n ∞-=-∑C.11(1)nn n ∞=-∑ D.231(1)nn n∞-=-∑二、填空题（每小题3分，共21分）1.微分方程20y y y '''-+=的通解为.2.xoz 坐标面上的抛物线x z 52=绕x 轴旋转而成的曲面方程是.3.极限211lim (1)x xyx y x →∞→-=.4.曲线23222x t y t z t =-⎧⎪=⎨⎪=⎩在点t=1处的切线方程为.5.已知D =22{(,)1}x y x y +≤，22()Df xy dxdy +⎰⎰，其极坐标形式为.6.设Ω：222+2,x y z z +≤则dV Ω=⎰⎰⎰.7.幂级数0(1)21nnn n x ∞=-+∑的收敛区间是.三、计算下列各题（每题6分,共12分）1．求微分方程222x y xy xe -'+=满足初始条件01x y ==的特解.2.求过点(0,3,1)-和直线11111x y z --==-的平面方程.四、多元函数微分题.（每题6分，共18分）1.设22ln( )x y y z x +=+，求,x z ∂∂,y z ∂∂dz 和21x y zx y==∂∂∂.2.设方程20zxz y e -+=确定一个隐函数),(y x f z =，求,x z ∂∂,y z ∂∂xy z∂∂∂2.3.求函数322(,)426f x y x x xy y =-+-+的极值.五、积分题.（每题6分，共18分）1.计算二重积分(2)Dx y dxdy +⎰⎰，其中D 由直线,2,2y x y x y ===围成.2.计算⎰⎰⎰Ωzdxdydz ，其中Ω由曲面z =及z =所围成的闭区域.3.计算⎰++Ldy x dx xy 2)12(，其中L为y =上从点A(0,0)到点B(2,2)的一段弧.六、级数题.（每题5分，共10分）1.判断级数121(1)21nnn n ∞=+--∑的敛散性.2.求幂级数121n n n x n ∞+=+∑的收敛半径、收敛域及和函数.参考答案一、单项选择题（每小题3分，共21分）DABA BBA二、填空题（每小题3分，共21分）1.12x x y C e C xe =+；2.225y z x +=；3.1e -；4.12113x y z --==；5.212()d f r rdr πθ⎰⎰；6.43π；7.(-2,2).三、计算下列各题（每题6分,共12分）1．求微分方程222x y xy xe -'+=满足初始条件01x y ==的特解.解：先求20y xy '+=的通解为21x y C e -=(2分）常数变易法，将2()x y u x e-=⋅代入原方程得22()2x xu x e xe --'⋅=解得2()u x x C =+,故原方程的通解为22()x y x C e -=+（4分）将01x y==代入通解得1C =，（5分）故满足初始条件01x y==的特解为22(1)xy x e -=+.（6分）2.求过点(0,3,1)-和直线11111x y z --==-的平面方程.解：直线11111x y z --==-过两点(2,1,2)-和点(1,0,1)，（2分）由条件知平面过点A (2,1,2)-、点B (1,0,1)点和C (0,3,1)-，所以过A、B、C 三点的平面方程为111110130x yz ---=--（5分）即所求平面方程为3410x y z --+=.（6分）四、多元函数微分题.（每题6分，共18分）1.设22ln( )x y y z x +=+，求,x z ∂∂,y z ∂∂dz 和21x y zx y==∂∂∂.解：222x y z x y x +∂=+∂，222x y z yxx +∂=+∂（4分）所以222222()()x ydz y dx x y x yx dy =+++++（5分）()()222222222222411z z x x y xy y x y x y x y y y x ⎛⎫∂∂-⋅-=+=+=+ ⎪∂∂∂⎝++⎭+210x y z x y==∂∂∂1=（6分）2.设方程20zxz y e -+=确定一个隐函数),(y x f z =，求,x z ∂∂,y z ∂∂xy z∂∂∂2.解：设2(,,)z F x y z xz y e =-+（1分）则(,,),x F x y z z =(,,)2y F x y z y =-，(,,)zz F x y z x e =+（2分）,x Z z F z zF x e x ∂-=-=∂+2,y Z z F z y yF e x ∂=-=∂+（4分）()22221z z z y e x e x z z z y x x e y x ∂∂∂∂⎛⎫== ⎪⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎝⎭++∂∂∂()()32z z z y x e ze x e -+-+=（6分）3.求函数322(,)426f x y x x xy y =-+-+的极值.解：2(,)3820(,)220x y f x y x x y f x y x y ⎧=-+=⎪⎨=-=⎪⎩，解得驻点为（0，0），（2，2）（3分）又68,2,(,)2yy A x B C f x y =-===-（4分）对于点（0，0），A=-8,B=2,C=-2,2120AC B -=>,且A<0，所以(0,0)6f =为极大值.对于点(2,2)，A=4,B=2,C=-2,2120AC B -=-<,所以(2,2)f 不是极值.（6分）五、积分题.（每题6分，共18分）1.计算二重积分(2)Dx y dxdy +⎰⎰，其中D 由直线,2,2y x y x x ===围成.解：X 型区域D:02,2x x y x ≤≤≤≤，（2分）220(2)(2)xDxx y dxdy dx x y dy+=+⎰⎰⎰⎰（3分）2220456[2(2)26x x x x x dx -=-+=⎰（6分）2.计算⎰⎰⎰Ωzdxdydz ，其中Ω由曲面z =及z =所围成的闭区域.解：积分域Ω:2:z x ≤≤∈+≤⎪⎩（2分）极坐标系下的区域D:02,01r θπ≤≤≤≤（3分）Dzdxdydz zdyΩ=⎰⎰⎰⎰⎰（4分）212230(1)2Dx y dxdy d r dr ππθ=--==⎰⎰⎰⎰（6分）3.计算⎰++Ldy x dx xy 2)12(，其中L为y =上从点A(0,0)到点B(2,2)的一段弧.解:2,12x Q xy P =+=,又xQx y P ∂∂==∂∂2,故积分与路径无关.（2分）所以积分路径L 可换为折线从点A(0,0)到C(2,0)再到B(2,2)（3分）又因为线段AC:,20,0≤≤=x y 线段BC:,20,2≤≤=y x (4分)⎰⎰⎰+++++=++CBACLdyx dx xy dy x dx xy dy x dx xy 222)12()12()12(104220=+=⎰⎰dy dx （6分）六、级数题.（每题5分，共10分）1.判断级数121(1)21nnn n ∞=+--∑的敛散性.解：1212)1(-+-=nnn n a ，（1分）而121121)1(21212lim lim 11<=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⋅--=+∞→+∞→n n a a n n n nn n 所以原级数绝对收敛，故原级数收敛。
06-07高等数学(2)期末考试B卷答案07.7.9考试
中国民航大学 高等数学(2)期末试卷(B 班)B 卷答案及评分标准一. 选择题 (每题3分,共15分)1. 设(,)f x y 具有一阶连续偏导数，若23(,)f x x x =，224(,)2x f x x x x =-，则2(,)y f x x = [ A ](A) 3x x + ； (B) 2422x x + ； (C) 25x x + ； (D) 222x x + 。
解：选A 。
23(,)f x x x = 两边对 x 求导：222(,)(,)23x y f x x f x x x x +⋅=，将 224(,)2x f x x x x =- 代入得 242222(,)3y x x xf x x x -+= ，故 23(,)y f x x x x =+ 。
2．已知()()dy y x x by dx x y axy 22233sin 1cos +++-为某二元函数的全微分，则a 和b 的值分别为 [ C ] (A) –2和2； (B) –3和3； (C)2和–2； (D) 3和–3；解：选C 。
x y axy yPxy x by x Q cos 236cos 22-=∂∂=+=∂∂ 2,2=-=a b3. 设∑为曲面z =2－(x 2+y 2)在xoy 平面上方的部分，则⎰⎰∑=zdS I =[ D ]()⎰⎰-+-2202220412)(rrdr r r d A πθ；()()⎰⎰+-22220412rdr r r d B πθ； ()()⎰⎰-22202rdr r d C πθ；()()⎰⎰+-22220412rdr r r d D πθ。
解：选D 。
()⎰⎰+-=22220412rdr r r d I πθ 。
4. 设有直线410:30x y z L x y --+=⎧⎨+-=⎩，曲面222z x y z =-+在点(1,1,1)处的切平面∏，则直线L 与平面∏的位置关系是： [ C ] (A) L ⊂∏； (B) //L ∏； (C) L ⊥∏； (D) L 与∏斜交 。
高数B2试题参考答案
高数B2试题参考答案一、填空题：1、 2 ； 2 、2cos 202(cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθ-⎰⎰； 3、；4、 5 ；5、12(cos 2sin 2)xc x c x e + 二、选择题：1)、B 2)、A 3)、C 4)、D 5)、B三、计算题：1．解：1) 1yz u y x x z -∂=∂ 2)'''123'3x z F F F F z x F F ++∂=-=-∂2. 解：令cos ,sin ,02,2x r y r r θθθπππ==≤≤≤≤220sin D d r rdr πππθ=⋅⎰⎰⎰⎰ 222[cos |cos ]r r rdr πππππ=-+⎰ 22[30]6πππ=-+=-3. 解：令2222,.y x P Q x y x y-==++则当220x y +≠时，有 22222.()Q y x P x x y x∂-∂==∂+∂ 记L 所围成的闭区域为D 。
当（0，0）∉D 时，由格林公式得220,L xdy ydx x y -=+⎰当（0，0）D ∈时，选取适当小的0r >，作位于D 内的圆周222:l x y r +=，记L 和l 所围成的区域为1D ，则 22220,L l xdy ydx xdy ydx x y x y ---=++⎰⎰其中l 的方向为逆时针方向。
于是 2222L l xdy ydx xdy ydx x y x y --==++⎰⎰2222220cos sin 2.r r d rπθθθπ+=⎰ 4、 解：将∑补充成闭曲面，令2221:0,z x y R ∑=+≤上侧。
由高斯公式11333333333x dydz y dzdx z dxdy x dydz y dzdx z dxdy x dydz y dzdxz dxdy ∑∑+∑∑++=++-++⎰⎰⎰2223()0:0x y z dxdydz z z Ω=-++-Ω==⎰⎰⎰围成22220003sin R d d r r dr ππθϕϕ=-⋅⎰⎰⎰ 42006sin Rd r dr ππϕϕ=-⎰⎰ 556655R R ππ=-⨯=- 5、解：113n na =+ 111313lim lim (13)lim 311313n n n n n n n n na R a +→∞→∞→∞++==+==++ 当3x =±时，级数11(3)13n n n ∞=±+∑的一般项为1(3)13n n ±+当n →∞时不为零，故发散。
《高等数学(二)》期末考试试卷B(含答案)
2
y
0
D.
x2
2
y
0
6. 如果 (x0, y0 ) 为 f (x, y) 的极值点，且 f (x, y) 在 (x0, y0 ) 处的一阶偏导数存在，则
(x0, y0 ) 点必为 f (x, y) 的（ B
A．最大值点
B.驻点
） C．连、若级数 un 收敛，则下列命题（ B ）正确（其中 sn ui ）
2、方程 x2 y2 z2 2 x 2 z 2 0表示的图形是圆心在（-1,0，-1），半径为 2
的球面.
.
3、二元函数 z 16 x2 y2 的定义域是 (x, y) : x2 y2 16 .
4、 F (x, y) x 5y ，则 F(1,3) =
14
2x y
三、计算题（每小题 5 分，共 35 分） 1、求函数的一阶偏导数
dx cos y.y ex (2xy2 2x2 y.y) 0
y ex 2xy2 2x2 y cos y
5、求函数 f (x, y) x3 y3 9xy 27 的极值
解： fx 3x2 9y f y 3y2 9x 令 fx 0, fy 0 得：（1） x 3, y 3 （2） x 0, y 0 （ 1 ） 当 x 3 ,y 3fx x 6 x, fx y 9 , f y y 6y 故 A 18, B 9,C 18 ，
《高等数学（二）》期末考试试卷
考试形式：闭卷考试 考试时间：120 分钟
一、选择题（单选题，每题 4 分，共 32 分） 1、下列命题（ A ）正确
A．若 un 收敛，则必有 limun 0
n 1
n
B. 若 limun 0 ,则 un 必收敛
n
n 1
高数b2考试题及答案
高数b2考试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 函数f(x)=x^2+3x+2在区间(-∞, -2)上的单调性为：A. 单调递增B. 单调递减C. 先减后增D. 先增后减答案：B2. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值为：A. 0B. 1C. -1D. ∞答案：B3. 以下哪个函数是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = |x|答案：B4. 函数f(x)=e^x的导数为：A. e^(-x)B. -e^xC. e^xD. 0答案：C5. 曲线y=x^3-3x^2+2x+1在点(1,-1)处的切线斜率为：A. 0B. 1C. -1D. 2答案：D二、填空题（每题3分，共15分）1. 定积分∫(0,1) x dx的值为______。
答案：1/22. 函数f(x)=x^2+2x+1的极小值点为______。
答案：-13. 微分方程dy/dx=2x的通解为y=______。
答案：x^2+C4. 函数f(x)=ln(x)的定义域为______。
答案：(0, +∞)5. 曲线y=e^x与y=ln(x)互为______函数。
答案：反三、计算题（每题10分，共30分）1. 计算定积分∫(0,2) (x^2-2x+1) dx。
答案：(2/3)x^3 - x^2 + x |(0,2) = (8/3 - 4 + 2) - 0 = 2/32. 求函数f(x)=x^3-3x^2+2的极值。
答案：f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0得x=0或x=2。
f''(x)=6x-6，f''(0)=-6<0，极小值点x=0，f(0)=2；f''(2)=6>0，极大值点x=2，f(2)=-2。
3. 求曲线y=x^2+2x+1在x=1处的切线方程。
答案：y'=2x+2，y'(1)=4，切点(1,4)，切线方程为y-4=4(x-1)，即4x-y=0。
1112高等数学B(二)试题答案济南大学
2. 设D为x2 y2 a2 ,
a2 x2 y2d .
则 a _B__.
x2 y2 a2
A. 1 B. 3 3 C. 3 3
2
4
D. 3 1 2
解：被积函数 z a2 x2 y2表示上半球面，半径为R 1.
由二重积分的几何意义得
原式 2 a3 . a 3 3 .
a b _____.
解.
a 与 b 的夹角为0,
a 1, b 1
a b a b cos 1
二．选择题(每小题2分,共10分)
1. 设平面方程为Bx Cz D 0 且. B , C , D 0
则 平面（ B ）.
(A) 平行于x轴. (C) 经过y轴.
1. 设 z z(x, y) 是由方程 x2 y2 z2 2z
确定的隐函数,
求
z x
,
2z x 2
.
方法二： 将z看作x,y的二元函数，方程两边对x求导
2x 2z z 2 z , z x ,
x x x 1 z
z z
x z , 方程两边对x求导
处全增量
可表示成
z Ax B y o( ) ,
其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关，则称函数
f ( x, y ) 在点( x, y) 可微，A Δx B Δ y 称为函数 f (x, y)
在点 (x, y) 的全微分, 记作
dz d f Ax By
二次积分___0 ____y ______.
y yx
(1,1)
高等数学B2期末试卷及其答案
华南农业年夜学期末测验试卷〔A 卷〕2010学年第2学期测验科目： 初等数学B Ⅱ 测验范例：〔闭卷〕测验 测验时刻：120分钟学号姓名年级专业一、 填空题〔本年夜题共5小题，每题3分，共15分〕 1.曲面是由坐标面xoy 上的曲线绕轴扭转一周而成。
2．设函数在点处存在偏导数，那么它在该点处获得极值的须要前提是。
3．设，那么。
4.设发散，那么。
5.已经知道某二阶常系数齐次线性微分方程的通解为，那么该微分方程为。
二、选择题〔本年夜题共5小题，每题3分，共15分〕 6.与向量跟都垂直的单元向量是〔〕 〔A〕；〔B 〕；〔C 〕；〔D 〕。
7.设函数可微，且，假设，那么的值为〔〕 〔A〕；〔B 〕；〔C 〕；〔D 〕。
8．设是延续函数，那么〔〕 〔A 〕；〔B 〕； 〔C 〕；〔D 〕。
9.以下级数前提收敛的是〔〕 〔A 〕；〔B 〕；〔C 〕；〔D 〕。
10.差分方程的一个特解方式为〔是待定常数〕〔〕 〔A 〕；〔B 〕； 〔C 〕；〔D 〕。
三、盘算题〔本年夜题共8小题，每题7分，共56分〕11.求平行于立体且与球面相切的立体的方程。
12.求二重极限。
13.设，而，，求14.设，责备微分。
15.盘算二次积分。
1.5CM16.推断级数的敛散性，假如收敛，是相对收敛依然前提收敛，并阐明来由。
17.求解初值咨询题：。
18.求幂级数的收敛域，并求其跟函数。
四、使用题〔此题8分〕19.设某公司所属的甲、乙两厂消费统一种产物，当甲、乙两厂的产量分不为跟〔单元：千件〕时，总本钱函数为〔单元：万元〕现有总本钱53万元，咨询怎样布置消费才干使甲、乙两厂的产量之跟最年夜？五、证实题〔此题6分〕20.设跟收敛，且〔〕，证实也收敛。
2010初等数学BⅡ期末测验试卷参考谜底：一、填空题：1．，。
2．。
3．。
4．。
5．。
二、选择题：6.〔A〕。
7.〔B〕。
8．〔C〕。
9.〔D〕。
10.〔D〕。
三、盘算题：1.5CM11.【解】依题意可设立体的方程为…………………………〔2分〕又因为立体与球面相切，故球心到立体的间隔即是球面半径，即…………………………〔5分〕那么，故立体的方程为或……………〔7分〕12.【解】因为，因而……………〔4分〕因而，有……………〔7分〕13.【解】由链式法那么，有……………………………………〔2分〕………………〔6分〕……………〔7分〕14.【解】因为，，故，……………………………………〔3分〕因而，有…………………………〔7分〕15.【解】…………………………〔3分〕………………………〔7分〕16.【解】设，因为〔〕，由比拟判不法可知，原级数不相对收敛。
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数学与计算机学院（院、部、中心） 出题教师： 杨天标 教研室主任：（签字） 系（院、部、中心）主任：（签字）
课程考核
参考答案及评分标准
考试课程：高等数学B(二) 学年学期：2011-2012-2 试卷类型：A 考试时间：120分钟 适用专业：经济与工商管理学院11级财务管理 层次：本科
一、选择题（每小题3分共15分）
1 (B)；
2 (B)； 3(A)； 4 (B)； 5 (C).
二、判断题（每小题2分，最后一小题3分，共15分） 1 (╳)；2 (√)；3 (√)；4 (√)；5 (╳)；6 (╳) ；7 (√). 三、填空题（每小题3分共18分）
1. dx )x 31(2
⎰
-= x-x 3
+c . 2.
dx x x ⎰
--1
1
2
3)3(= -2 .
3. 0
x lim
→x
tdt cos x
2
⎰
= 1 .
4. 级数 1+⋅⋅⋅++++432x 5x 4x 3x 2的和函数 S(x)=
2
)
x 1(1-.
5. 级数∑
∞
=-1
n n
)
n 2)(1n 2(x
的收敛半径 = 1 .
6. 设2
2
y x z =, 则
y
z ∂∂= y
x 22
.
四、计算题 （每小题6分共36分， 其中6、7题任选一题） 1. 求级数 ⋅⋅⋅++++7
538642x x x x 的和函数. 解： ∵ (x)
...x x 1n
242+++++=
2
x
11-
∴ S(x)= ...)'x
...x x 1(n
24
2
+++++='x 112
⎪⎭
⎫
⎝⎛-= 22)x 1(x 2-. 即 S(x)= 22)x 1(x 2-. 2. 设函数⎩⎨
⎧>≤+=1
x x
21x 1x )x (f ，求⎰.dx )x (f
第 2 页 解：∵
12
c x x
2
1dx )1x (++=
+⎰,x ≤1;
22
c x xdx 2+=⎰
, x>1; f(x) 的原函数在x=1处连续. ∴ ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧>++≤++=⎰1x c 21x 1x c x x 2
1dx )x (f 22
, 其中c 为某常数.
3. 求幂级数
1
n 1
n n
x 2
n 1-∞
=∑
的收敛半径，并求和函数
解：收敛半径R=n
)
1n (n 2
n 2
)1n (lim
+∞
→+=2; 显然S(0)=1/2. 当x ≠0时
(xS(x))'=1
n 1n n
x 2
1-∞
=∑
=
1
n 1n )2
x (21
-∞
=∑ =2/x 1121- xS(x)=dx 2
/x 11
21
x
⎰
-= -)2
x 1ln(-
, 故 S(x)=)2
x 1ln(x
1-
-
. 总之
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=-∈≠--=0x 2
1)2,2[x 0x )2
x 1ln(x 1
)x (S 且 4. 把函数x cos )x (f 2=展开为x 的幂级数，并确定收敛域。
解：x cos )x (f 2
==(1+cos2x)/2=
∑
∞
=-+
n n
2n )!
n 2(2)x 2()1(2
1
故 f(x)= ()∑∞
=+
1
n n
2n
)!
n 2(2x 21-1）
（, +∞<<∞-x .
5. 某商品的需求量Q 对价格P 的弹性为-Pln3，已知该商品的最大需求量为1200（即当P=0时，Q=1200），求Q 对P 的函数关系。
(注：需求量Q 对价格P 的偏弹性定义为E p =Q
P P Q P P /Q
Q lim
P ∂∂=∆∆→∆, P331)
解：依题得
Q
P dP dQ =-Pln3, 故
dP
Q ln d =-ln3,
lnQ=lnc3-P
, Q=c3-P
. 由于 1200=c, 故 Q=1200∙3-p
.
6. 设某商品的需求量Q 是价格P 的函数，该商品的最大需求量为1000（即P=0时，Q=1000），已知需求量的变化率（边际需求）为P
31
(3ln 1000)P ('Q ⋅⋅-=，求
需求量Q 与价格P 的函数关系。
解：∵P
)31
(3ln 1000)P ('Q ⋅⋅-=
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
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∴P )3
1(1000Q =+c. Q(0)=1000=0)3
1(1000+c, c=0,故 P )3
1
(1000Q =.
7. 求曲线82-=x y 与直线2x+y+8=0, y=-4所围成的图形的面积. 解：面积
S=48
(y /24))dy ----⎰ =
= 16/3-12+16=28/3.
五、证明题（每小题8分共16分） 1. 如果
x
x sin 是f(x) 的一个原函数，试证明：c x
x
sin 2x cos dx )x ('xf +-
=⎰ 证明： 因为x
x sin 是f(x)的一个原函数，所以 f(x)=)'x
x sin (
=
2
x
x
sin x cos x - ,
利用分部积分法, dx )x ('xf ⎰=xf(x)-
dx )x (f ⎰=
x
x
sin x cos x --
x
x sin +c =c x
x sin 2x cos +-
.
即
c x
x sin 2x cos dx )x ('xf +-
=⎰.
2. 设)y x ln(z n
n +
=且2≥n , 试证明n
1y
z y
x
z x
=
∂∂+∂∂.
证明：∵
x
z ∂∂=
n
n
1
n
1
y x x
n
1+-,
y
z ∂∂=
n
n
1
n
1y
x y
n
1+-,
∴ x
x
z ∂∂=
n
n
n
y
x x
n
1+, y y
z ∂∂=
n
n
n
y
x y
n
1+
, ∴ n
1y
z
y
x
z x =
∂∂+∂∂.。