线性时变因果无源总结和例题
线性时不变系统的因果和稳定性
差分方程
设x(n)=δ(n)，且y(-1)=h(-1)=0 有 y(n)=h(n)=0，n<0
h(0) = ah(−1) + δ (0) = 1
依次迭代：
h(1)=ah(0)+δ(n)=ah(0)=a h(2)=ah(1)+δ(n)=a a=a 2
M
h(n)=ah(n-1)+δ(n)=a n +0=a n
a n ∴ h(n)= 0 n≥0 n<0
或h(n) = a nu (n)
差分方程
是一因果系统，若|a|<1，系统稳定。 问题：一个常系数线性差分方程一定是一个因果系统吗？
例：常系数线性差分方程： y(n)=ay(n-1)+x(n) 求h(n)。边界条件假设：y(0)=0。
解：可得n > 0时，y(n)=h(n)=0(设x(n)=δ(n)）
m为任意整数
线性移不变系统的因果性和稳定性
例：证明y(n)=ax(n)+b 是移不变系统
设m为任一固定整数。已知：T[x(n）]=ax(n)+b=y(n)
而： T[x(n-m)]=ax(n-m)+b
满足： T[x(n-m)]=y(n-m)
线性移不变系统的因果性和稳定性
例：y(n)=nx(n)，讨论该系统是否为移不变系统。
线性移不变系统的因果性和稳定性
稳定系统
稳定系统是指有界输入产生有界输出（BIBO）的系统。 若： x(n) ≤ M < ∞
则： y(n) ≤ P < ∞
LSI系统是稳定系统的充分必要条件：
n =−∞
∑
∞
h( n) = P < ∞
结论：因果稳定的LSI系统的单位抽样响应是因果的（单边的） 且是绝对可和的。
《信号与系统》第一章知识要点+典型例题
y() 表示系统的输出。
1、线性系统与非线性系统 若系统满足下列线性性质： （1）可分解性 全响应 y () 可分解为零输入响应 y zi () 与零状态响应 y zs () 之和，即
y() y zi () y zs ()
（2）齐次性 零输入响应 y zi () 满足齐次性，零状态响应 y zs () 满足齐次性，即
( t ) 、 ( t ) 的重要性质
1
( t )dt 1 ，
t
( t )dt 0 ， ( t )dt ( t ) ( k ) (k )
f ( k ) ( k ) f (0) ( k ) f ( k ) ( k k 0 ) f ( k 0 ) ( k k 0 )
f ( t ) ( t a )dt f (a )
k
f ( k ) ( k ) f (0)
(at )
5
1 (t ) a
1 b (at b) ( t ) a a f ( t ) ( t ) f (0) ( t ) f (0) ( t ) f ( t ) ( t ) f (0) ( t ) f (0) ( t )
2
。
而对离散的正弦（或余弦）序列 sin( k ) [或 cos( k ) ]( 称为数字角频率，单位为 rad )， 只有当
2
为有理数时才是周期序列，其周期 N M
2
， M 取使 N 为整数的最小整数。
如对信号 cos(6 k ) ，由于
2
2 1 为有理数，因此它是周期序列，其周期 N 1 。 6 3
具有时变时滞的不确定线性广义系统的无源控制
具有时变时滞的不确定线性广义系统的无源控制摘要:本文主要讨论具有时变时滞的不确定线性广义系统的无源控制问题。
文中的时变时滞不是一个常数而是具有最大值,且不确定参数都是范数有界的。
利用代数Riccati方程和线性矩阵不等式解决了在没有不确定参数情况下的时变时滞线性广义系统的无源控制问题。
关键词:无源控制时变时滞不确定广义系统线性矩阵不等式
1 引言
本文主要讨论状态具有时变时滞和含不确定参数的广义系统无源控制问题。
设计线性状态反馈控制器使得对于所有的时滞和参数允许的不确定性,系统是鲁棒稳定和无源的。
本文中的时滞不是一个常数,而是具有最大值,且不确定参数都是范数有界的。
首先,利用无源性定义和Lyapunov稳定性定理以及线性矩阵不等式,给出了时变时滞广义系统满足无源的条件,并且设计了状态反馈控制器,然后,利用代数Riccati方程得到了时变时滞不确定线性广义系统的无源控制器。
4 结语
本文讨论了具有时变时滞的不确定广义系统的无源控制问题。
通过不含不确定参数的时变时滞广义系统的无源性得到了含不确定参数的时变时滞广义系统的无源性,并以线性矩阵不等式的形式给出。
电网络分析理论线性时变因果无源总结和例题
（2）可加性
若 : f1(t) y1(t) f2 (t) y2 (t) 则：f1(t) f2 (t) y1(t) y2 (t)
统一处理方法
若 : f1(t) y1(t) f2 (t) y2 (t) 则：af1(t) bf2 (t) ay1(t) by2 (t) a,b为任意常数。
如果系统的输出不仅决定于该时刻的输入，而且 与它过去的状态（历史）有关，称这种性质为记 忆性。具有记忆性的系统称为记忆系统。
如果系统的输出仅决定于该时刻的输入，而且与系 统过去的状态（历史）无关，称这种系统为无记忆 性系统。
系统是有记忆的还是无记忆的，完全取决于组成 该系统的元件的性质。如果系统的组成含有记忆 元件（如：电容器、电感器、奇存器和存储器等， 就是记忆系统。
则 设
:dfyd3d1(ytd(t1t)t()t)atyft11y((1tt())t)bff12f((1tt())t,),dyddy2y3td(2(tt(t)t))ty则t2y(2：t()dt)yd3t(ft2f)(2t()tt)y3
(t
)
f3 (t )
d
[ay1 dt
(t
)]
t[ay1
(t
)]
af1
0
r1 0 ，r1r2 4 2r22 0 ，
2 r1 ，无源 ，
r2
2 r1 ，有源，可能为负 有源
r2
描述无记忆系统的方程为代数方程，描述有记忆 系统的方程为微分方程方程。
5.稳定系统与不稳定系统
对一个初始不储能的系统，如果输入有界
（有限值 f (t) ）输出也有界（有限 max
值 y(t) ）系统为稳定系统；反之，如 max
果输入有界（有限值 f (t) ），输出无 max
1、2章习题讲解
n
2 1
3 2 1
所以系统是稳定的。 (2)当n<0时，h(n)≠0，所以系统是非因果的。 因为：
n
| h(n) | 1
所以系统是稳定的。
4、已知一个因果线性时不变系统由以下差分方程 描述 y(n) 1 y(n 1) x(n) 1 x(n 1)
m
x(n) X ( z 1 ),
x(n m) z m X ( z 1 ) x(n m) z X ( z ),
若y(n) x1 (n) * x 2 (n)，则Y(z) X1 (z)X 2 (z)
解：根据题目所给条件可得：
1 x1 (n) 1 1 1 z 2
1 h (n ) ( ) n 1 u (n 1) (n ) 2
即
(2)对LTI系统的输出等于输入序列和该系统单位 抽样响应的卷积和。所以：
1 y(n ) x (n ) h ( n ) [( ) n 1 u (n 1) (n )] * e jwn u (n ) 2 1 [( ) n 1 u (n 1)] * e jwn u (n ) e jwn u (n ) 2 n 1 ( ) (m 1) e jw(n -m) u (n 1) e jwn u ( n ) m 1 2 1 jw 1 1 n jw(n 1) e ( ) e 2 2 2e jwn 2 u (n 1) e jwn u (n ) 1 1 e jw 2 1 e jw ( n 1) ( ) n e jw 2 u (n 1) e jwn u (n ) 1 1 e jw 2 1 e jwn ( ) n 2 u (n 1) e jwn u (n ) 1 e jw 2
信号与系统(应自炉)习题答案第1章 习题解重点
(]
(sin[00t t a t t a --（6）](sin [t tu e dt d t -
解：
（1）(t u te t -（2）]2( 1([ 1(-----t u t u et
（3）]2( (][cos(1[--+t u t u t π（4）2( 1(2 (-+--t u t u t u
( (
(1 2(2
f t u t u t u t =+-+-。（c）( sin(
[( (]t
f t K u t u t T T
π=--
1-9．
绘出下列各信号的波形。
（1）(t u te t
-（2）]2( 1([
1(-----t u t u e t
（3）]2( (][cos(1[--+t u t u t π（4）2( 1(2 (-+--t u t u t u
（4）因为(3f t为(f t在时间轴上压缩3倍得到，故当(t<1时(30f t =。（5）因为3t f ⎛⎫
⎪⎝⎭为(f t在时间轴上拓展3倍得到，故当(t<9时03t f ⎛⎫= ⎪⎝⎭
。
1-4．
将下列信号的实部表示成(Φ+-t Ae at ωcos的形式，这里Φ, , , ωa A都是实数，且0
T
T P f t dt T
-→=⎰
，将((t tu t f =代入，20
1
lim
2T
T P t dt T
→∞=⎰
2
lim 6
T T →∞==∞，该式既不是功率信号也不是能量信号。1-6．
绘出下列各信号的波形。（1）[]4( ( sin(
u t u t T t T π--；（2）4[( 2( (2]sin( u t u t T u t T t T
信号与系统复习总结题-
信号与系统复习总结题-一、判断题：说法正确的请在题后括号里打“√”，反之打“╳”。
1．级联LTI 系统总的单位冲激响应等于各个子系统单位冲激响应的乘积。
[ ]2．若函数波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴反折，波形不发生变化，则这样的函数称为奇谐函数。
[ ] 3. 周期信号的频谱是离散的，当周期趋于无穷大时，周期信号就变成非周期信号，傅里叶级数就演变成傅里叶变换，离散频谱也就过渡成连续频谱。
[ ] 4．对于一个因果的线性时不变系统，其系统函数的收敛域应位于S 平面最左边极点的整个右边区域。
[ ]5．如果离散LTI 系统的单位冲激响应满足当0k <时，()0h k =，那么该系统是因果系统。
[ ] 6．所有能量信号一定都是非周期信号，而非周期信号也一定都是能量信号。
[ ]7．如果连续LTI 系统的单位冲激响应满足+∞<⎰+∞∞-)(dt t h ，那么该系统是稳定系统。
[ ] 8. 不论是连续系统还是离散系统，其自由响应就是零输入响应，响应仅取决于系统的初始值，而与系统的输入无关。
[ ] 9．单位阶跃信号是单位冲激信号的积分，单位冲激信号是单位阶跃信号的微分分。
[ ] 10. 时域信号的时移只会对频谱密度函数的幅度谱有影响，对相位谱无影响。
[ ]11. 一个信号存在拉普拉斯变换就一定存在傅里叶变换,同样一个信号存在傅氏变换就一定存在拉氏变换。
[ ]12. 信号傅立叶变换的尺度变换特性表明：时域压缩对应频域扩展、时域扩展对应频域压缩。
[ ] 13．如果f (t)是实函数，其对应的傅立叶变换函数实部为偶函数，虚部为奇函数。
[ ]14．当一个系统的特征函数H (s ) 唯一确定以后，可以唯一的画出其信号流图。
[ ]15．序列f (k )ε(k )的收敛域一定是z 平面上某个圆的圆外部分；而序列f (k )ε(-k )的收敛域一定是z 平面上某个圆的的圆内部分。
[ ] 16. 卷积法可以求连续LTI 系统的零状态响应，傅立叶变换法可以求连续LTI 系统的零输入响应。
电网络理论简答题总结
电网络理论考题总结（简答题）【1】N端口线性时变与非线性的电感元件、电容元件的定义，并举例。
线性时变电感：N端口元件满足关系，且为矩阵，与Ψ=L i(t)L(t)(N-1)×(N-1)磁链及电流无关。
线性时变电容：N端口元件满足关系，且为矩阵，与q=C v(t)C(t)(N-1)×(N-1)电荷及电压无关。
（电阻定义类似）☛☛☛一个不含时变元件的电路称为时不变电路，否则为时变电路。
若一个电容元件的库伏特性不是一条通过坐标原点的直线，该种电容就是非线性电容；电感的磁通链和电流间的函数关系为韦安特性，若电感元件的韦安特性不是一条过坐标原点的直线，则为非线性电感元件。
【2】N端口非线性电路的定义。
一是根据电路元件的特性来定义（含非线性元件即为非线性电路）；二是根据输入输出关系来定义（端口型定义，网络输入输出关系不同时存在可加性和齐次性时即为端口型非线性网络）。
【3】高阶有源滤波器的设计步骤。
（根据相应实例写步骤）一般：高阶：给出设计指标，根据设计指标选择逼近函数；确定阶数、找到对应的无源网络模型；选择实现方法（级联、多路反馈、无源模拟等）；参数退归一化；注意补偿、修正电路（直流通路）。
选取逼近函数类型；根据设计要求确定阶数；找到对应逼近函数的无源低通网络模型；选择实现方法（级联、多路反馈、无源模拟等）；根据要求的滤波器类型进行变换（如仿真电感、F D N R、L F等）；参数退归一化。
二阶：S a l l e n K e y---L P、H P、B P、高通、陷波或者双积分回路---K H NT T。
【4】高阶有源滤波器的分类。
按使用的器件：仿真电感、F D N R、C CⅡ、跨导电容、运放；按设计方法：级联法、多路反馈法、无源模拟法。
【5】高阶有源滤波器的设计方法，它们的共同点和特点。
❶级联法：级联滤波器易于调节和优化动态范围，但设计时各极、零点的搭配要慎重考虑，以实现较低灵敏度。
判断下列系统的线性时不变性因果性和记忆性解析P
1.判断下列系统的线性、时不变性、因果性和记忆性。
（解析P7） ①()10()()dy t y t f t dt += ②()()(10)dy t y t f t dt+=+ ③2()()()dy t t y t f t dt+= ④2()(10)()y t f t f t =++2.判断下列系统的线性、时不变性和因果性。
（解析P7） ①20()()sin ()y t y t t at f t =+ ②()()()y t f t f t b =⋅-3.某系统，当输入为()tδτ-时，输出为()()(3)h t u t u t ττ=---，问该系统是否为因果系统？是否为时不变系统？说明理由。
4.下列信号属于功率信号的是（解析P6） ①cos ()tu t ②()teu t - ③()t te u t - ④te-5. 画出函数波形图：2()(1)f t u t =-（指导P12）6.已知()()2(1)(2)(2),f t tu t u t t u t =--+--画出()f t 波形。
（指导P13） 7.根据1.10图中(32)f t -+的波形，画出()f t 波形。
（指导P18） 8.已知()f t 波形波形如例1.11图所示，试画出1(2)2f t --的波形。
（指导P19） 9.已知(52)f t -的波形如图例1.12图所示，求()f t 波形。
（指导P20） 10.求下列函数值 ①432'(652)(1)t t t t dt δ∞+++-⎰②3'()te d τδττ--∞⎰ ③'2(9)t dt δ+∞-∞-⎰ （指导P24）11.求信号0.20.3()j n j n x n ee ππ-=+的周期。
（指导P36） 12.设()x t 是复指数信号：0()j tx t eΩ=，其角频率为0Ω，基本周期为02T π=Ω。
如果离散时间序列是通过对()x t 以取样间隔s T 进行均匀取样的结果，即00()()s j nT j n s x n x nT e e ωΩ===。
线性时不变系统--习题
dt
dt
dt
et t et t
t t t
t
方法二没有注意利用冲激函数的性质，求解过
程较繁。另外，对冲激偶信号的性质
f t t f 0 t f 0 t
往往被错误写成
f t t f 0 t
从而得出错误结论。
(2) f t t e3 δτ d τ
1 O t 3 1
t
t 3 1
t
3
1
即2 t 4
g(t) 1 1(t )d t 2 t 2
t3 2
42
T4
1 f1
f2 t
t
1 O
1 t3
t-31
即t 4
gt 0
卷积结果
f1t
1
1 O 1 t
f2 t
3
2
O
3t
t2 t 1
g(t
)
4 t
t
2
2
4
x(t t0 ) h(t) x(t) h(t t0 ) y(t t0 )
例1 粗略绘出下列各函数式的波形图
(1) f1t u t2 1
(2)
f2 t
d dt
et cos tut
描绘信号波形是本课程的一项基本训练，在绘 图时应注意信号的基本特征，对所绘出的波形，应标 出信号的初值、终值及一些关键的值，如极大值和极 小值等，同时应注意阶跃、冲激信号的特点。
设x3(t) ax1 t bx2 t x3 t y3 t x32 t ax1 t bx2 t 2 a2 x12 t b2 x22 t 2abx1 t x2 t
a2 y1 t b2 y2 t 2abx1 t x2 t ay1 t by2 t
数字信号处理总结与-习题(答案
对模拟信号（一维信号，是时间的函数）进行采样后，就是 离散 信号，再进行幅度量化后就是 数字信号。
2、若线性时不变系统是有因果性，则该系统的单位取样响应序列h(n)应满足的充分必要条件是 当n<0时，h(n)＝0 。
3、序列)(n x 的N 点DFT 是)(n x 的Z 变换在 单位圆 的N 点等间隔采样。
4、)()(5241n R x n R x ==，只有当循环卷积长度L ≥8 时，二者的循环卷积等于线性卷积。
5、已知系统的单位抽样响应为h(n)，则系统稳定的充要条件是()n h n ∞=-∞<∞∑6、用来计算N ＝16点DFT ，直接计算需要（N 2）16*16＝256_次复乘法，采用基2FFT 算法，需要__(N/2 )×log 2N ＝8×4＝32 次复乘法。
7、无限长单位冲激响应（IIR ）滤波器的基本结构有直接Ⅰ型，直接Ⅱ型，_级联型_和 并联型_四种。
8、IIR 系统的系统函数为)(z H ，分别用直接型，级联型，并联型结构实现，其中 并联型的运算速度最高。
9、数字信号处理的三种基本运算是：延时、乘法、加法 10、两个有限长序列和长度分别是和，在做线性卷积后结果长度是__N 1＋N 2－1_。
11、N=2M点基2FFT ，共有 M 列蝶形，每列有N/2 个蝶形。
12、线性相位FIR 滤波器的零点分布特点是 互为倒数的共轭对 13、数字信号处理的三种基本运算是： 延时、乘法、加法14、在利用窗函数法设计FIR 滤波器时，窗函数的窗谱性能指标中最重要的是___过渡带宽___与__阻带最小衰减__。
16、_脉冲响应不变法_设计IIR 滤波器不会产生畸变。
17、用窗口法设计FIR 滤波器时影响滤波器幅频特性质量的主要原因是主瓣使数字滤波器存在过渡带，旁瓣使数字滤波器存在波动，减少阻带衰减。
18、单位脉冲响应分别为和的两线性系统相串联，其等效系统函数时域及频域表达式分别是h(n)=h 1(n)*h 2(n),=H 1(e j ω)×H 2(e j ω)。
判断系统线性时变因果的方法
分析：根据线性系统的定义，证明此系统是否具有 均匀性和叠加性。可以证明：
系统不满足均匀性
系统不具有叠加性 此系统为非线性系统。 请看下面证明过程
证明均匀性
设信号e(t)作用系统，响应为r(t) 当Ae(t)作用于系统时，若此系统具有线性，则
原方程两端乘A：
(1),(2)两式矛盾。故此系统不满足均匀性
证明叠加性
假设有两个输入信号 所给微分方程式分别有： 分别激励系统，则由
当 应有 (3)+(4)得
同时作用于系统时，若该系统为线性系统，
(5)、(6)式矛盾，该系统为不具有叠加性
例1-7-2
判断下列两个系统是否为非时变系统．
系统1：
系统2：
1.系统的作用是对输入信号作余弦运算。
此系统为时不变系统。
§1.7 线性时线性时不变系统的微分特性 •因果系统与非因果系统
线性特性
2. 判断方法
先线性运算，再经系统＝先经系统，再线性运算
若
则系统 是线性系统,否则是非线性系统. 注意：外加激励与系统非零状态单独处理
二．时变系统与时不变系统
1.定义
一个系统，在零初始条件下，其输出响应与输入信号 施加于系统的时间起点无关，称为非时变系统，否则 称为时变系统。
认识:
•电路分析上看:元件的参数值是否随时间而变 • 从方程看:系数是否随时间而变 •从输入输出关系看:
时不变性
2. 判断方法
先时移，再经系统＝先经系统，再时移
若 则系统 是非时变系统 ,否则是时变系统.
系统2：
系统作用:输入信号乘cos(t)
此系统为时变系统。
例1-7-3
判断系统是否为线性非时变系统 是否为线性系统？
判断系统线性,时变,因果方法
判断系统线性,时变,因果方法
系统是指具有输入和输出的物理、化学或数学系统。
线性、时变和因果是描述系统特性的重要方法。
1.线性系统
线性系统具有以下特征：
（1）叠加性：改变系统输入信号时，系统输出信号的响应与每个输入信号的响应之和相同。
在数学表达中，线性系统遵循以下公式：
y(t) = k1 x1(t) + k2 x2(t)
其中，y(t)表示输出信号，x1(t)和x2(t)表示输入信号，k1和k2是常数。
2.时变系统
（1）系统的性质随时间而变化。
（2）系统的输入信号引起的输出信号是随时间变化的。
时变系统可以分为两类：瞬时时变系统和持久时变系统。
瞬时时变系统是指输出信号在一个短时期内变化。
它们通常是非线性系统，如开关机构、半导体器件等。
持久时变系统是指系统的输出随时间发生缓慢变化。
它们通常是线性系统，如电路、电子滤波器等。
3.因果系统
（1）因果关系：系统的输出信号仅依赖于系统输入信号的过去和现在状态。
（2）系统的输出信号在前后时刻滞后不超过系统输入信号。
也就是说，当某个输入信号改变时，该信号一定会导致一个相应的输出信号改变。
总之，对于分析系统的特性，线性、时变、因果方法是非常重要的。
它们有助于我们理解系统的性能和行为，并在设计和控制系统时做出正确的决策。
判断系统线性,时变,因果方法
dd r1tt1r1 0t5e1t
t0
(3)
dd r2tt1r2 0t5e2t
t0
(4)
当e1(t)e2(t) 同时作用于系统时，若该系统为线性系统，
应有
d d t r 1 t r 2 t 1 r 1 t 0 r 2 t 5 e 1 t e 2 t t 0( 5 )
(3)+(4)得
当Ae(t)作用于系统时，若此系统具有线性，则
d A (t) r1A 0 (t) r5 A (t)e d t
原方程两端乘A：
t 0 (1 )
A d d r( tt) 1r(0 t) 5 A (t)e
(1),(2)两式矛盾。故此系统不满足均匀性
t 0 (2 )
证明叠加性
假设有两个输入信号 e1(t)及e2(t) 分别激励系统，则由 所给微分方程式分别有：
d d t r 1 t r 2 t 1 r 1 t 0 r 2 t 1 e 1 0 t e 2 t t 0( 6 )
(5)、(6)式矛盾，该系统为不具有叠加性
例1-7-2
判断下列两个系统是否为非时变系统．
系统1：r t ce o tst 0 系统2：r t e tctots 0
et
rt
系 统
det
drt
dt
dt
系 统
tetdt
trtdt
系 统
利用线性证明，可推广至高阶。
四.因果系统与非因果系统
1. 定义
因果系统是指当且仅当输入信号激励系统时，才会出 现输出（响应）的系统。也就是说，因果系统的（响 应）不会出现在输入信号激励系统的以前时刻。 系统的这种特性称为因果特性。
例1-7-1
判断下述微分方程所对应的系统是否为线性系统?
理工类专业课复习资料-数字信号处理复习总结-最终版
绪论：本章介绍数字信号处理课程的基本概念。
0.1信号、系统与信号处理1.信号及其分类信号是信息的载体，以某种函数的形式传递信息。
这个函数可以是时间域、频率域或其它域，但最基础的域是时域。
分类：周期信号/非周期信号确定信号/随机信号能量信号/功率信号连续时间信号/离散时间信号/数字信号按自变量与函数值的取值形式不同分类：2.系统系统定义为处理（或变换）信号的物理设备，或者说，凡是能将信号加以变换以达到人们要求的各种设备都称为系统。
3.信号处理信号处理即是用系统对信号进行某种加工。
包括：滤波、分析、变换、综合、压缩、估计、识别等等。
所谓“数字信号处理”，就是用数值计算的方法，完成对信号的处理。
0.2数字信号处理系统的基本组成数字信号处理就是用数值计算的方法对信号进行变换和处理。
不仅应用于数字化信号的处理，而且也可应用于模拟信号的处理。
以下讨论模拟信号数字化处理系统框图。
（1）前置滤波器将输入信号x a(t)中高于某一频率（称折叠频率，等于抽样频率的一半）的分量加以滤除。
（2）A/D变换器在A/D变换器中每隔T秒（抽样周期）取出一次x a(t)的幅度，抽样后的信号称为离散信号。
在A/D 变换器中的保持电路中进一步变换为若干位码。
（3）数字信号处理器（DSP）（4）D/A变换器按照预定要求，在处理器中将信号序列x(n)进行加工处理得到输出信号y(n)。
由一个二进制码流产生一个阶梯波形，是形成模拟信号的第一步。
（5）模拟滤波器把阶梯波形平滑成预期的模拟信号；以滤除掉不需要的高频分量，生成所需的模拟信号y a(t)。
0.3数字信号处理的特点（1）灵活性。
（2）高精度和高稳定性。
（3）便于大规模集成。
（4）对数字信号可以存储、运算、系统可以获得高性能指标。
0.4数字信号处理基本学科分支数字信号处理（DSP）一般有两层含义，一层是广义的理解，为数字信号处理技术——DigitalSignalProcessing，另一层是狭义的理解，为数字信号处理器——DigitalSignalProcessor。
时变电磁场例题
E 1 B t1, E 2 B t2
将矢性微分算符和场矢量都分解为切向分量和法向分量，即令
EE tE n, t n
于是有
( t n) (E tE n) t(B tB n)
( t t) n ( t n ) t ( n t) t ( n E n ) B t n B t t
由上式可以写出： H x 0 , H z 0
0
H t
y
E 0
sin(
t
z)
H
y
E 0 0
cos(
t
z)
H
ey
E 0 0
cos(
t z)
例 设z=0 的平面为空气与理想导体的分界面，z<0 一侧为理想 导体，分界面处的磁场强度为
H (x ,y ,0 ,t) e x H 0 sa ic n xo t a s)( y
n tS n t[ n ( D 1 D 2 ) ] t[ n ,( D 1 D 2 ) S ] 0
例 设区域Ⅰ(z<0)的媒质参数εr1=1, μr1=1, σ1=0；区域Ⅱ(z>0)的媒
质参数εr2=6, μr2=20, σ2=0。区域Ⅰ中的电场强度为 E 1 e x [ 6 c 1 0 o 1 8 t 5 s 5 z 0 ) 2 ( c 1 0 o 1 8 t 5 s 5 0 z ) V ( / ] m ) (
同理，可得
H 2 e y [ 0 .10 c1 o 6 1 5 s 1 8 t 0 ( 5 z )0 A ] /m ( )
(3) 将z=0代入(2)中得 H1 ey[0.106cos1(5108t)] H2 ey[0.106cos1(5108t)]
例 试求一段半径为b，电导率为σ， 载有直流电流I的长直导线表面的坡 印廷矢量，并验证坡印廷定理。
线性时不变系统的因果和稳定性
显然： y(n) ≠ y1(n)+y2(n)
线性移不变系统的因果性和稳定性
问题：为何系统的方程是一线性方程，而却不是 一线性系统？ y0(n)
x(n) 线性系统 ax(n) y(n)
线性系统部分： T[x(n)]=ax(n)
零输入响应[输入 x(n）＝0时的输出]是： y0(n)=b
∞ m=-∞
∞
m =−∞
⇐ 满足比例性和可加性 ⇐ 满足移不变性
＝ ∑ x(m)h(n-m)
线性移不变系统的因果性和稳定性 结论：
y ( n) = x ( n) * h( n)
x(n) LSI系 统 系 h(n) y(n)=x(n)*h(n)
线性移不变系统的因果性和稳定性 LSI系统性质
1、交换律
方法一： T[x(n)]=nx(n)=y(n)
T[x(n-m)]=nx(n-m)
而y(n-m)=(n-m)x(n-m)
显然：T[x(n-m)] ≠ y(n-m) 时变系统
线性移不变系统的因果性和稳定性
方法二：寻找一个反例 x1(n)=δ(n)→ y1(n)=nδ(n)=0
x 2 (n)=x1 (n-1)=δ(n-1) →
线性移不变系统的因果性和稳定性
例：某LSI系统，其单位抽样响应为：h(n)=a n u(n),讨论其 因果性和稳定性。
（）、因果性 n<0时，h(n)=0，故为因果系统。 1（2）稳定性。Fra bibliotekn＝－∞
∑
∞
1 h(n) = ∑ a n = 1 − a n =0 ∞
∞
a <1 a ≥1
线性移不变系统的因果性和稳定性
线性时不变系统的因果和稳定性
线性移不变系统的因果性和稳定性
例：某LSI系统，其单位抽样响应为：h(n)=a n u(n),讨论其 因果性和稳定性。
（）、因果性 n<0时，h(n)=0，故为因果系统。 1
（2）稳定性。
n＝－∞
∑
∞
1 h(n) = ∑ a n = 1 − a n =0 ∞
∞
a <1 a ≥1
线性移不变系统的因果性和稳定性
2、线性移不变系统的因果性和稳定性
1.3时域离散系统 时域离散系统的一般表达：
y (n) = T [ x(n)]
x(n) 离散时间系统 y(n)
线性移不变系统的因果性和稳定性
线性系统：满足叠加原理的系统
1、可加性 若：y1 (n) = T [ x1 (n)]，y2(n)=T[x2(n)]
则：T [ x1 (n) + x2 (n)] = T [ x1 (n)] + T [ x2 (n)] = y1 (n) + y2 (n) 线性系统的一个特征：在全部时间为 2、比例性： 零输入时，其输出也恒等于零。即： 零输入产生零输出 T[x1 (n)]=y1 (n)
例：某LSI系统，其单位抽样响应为：h(n)=-a n u(-n-1),讨论其 因果性和稳定性。
（）、因果性 n<0时，h(n) ≠ 0，故为非因果系统。 1
（2）稳定性。
n＝－∞
∑
∞
h(n) =
n =−∞
∑
−1
1 a −1 n a = ∞
a >1 a ≤1
差分方程
线性常系数差分方程
a n ∴ h(n)= 0 n≥0 n<0
或h(n) = a nu (n)
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一般由线性元件组成的系统均为线性系统，但并不是含有非线性元件 的系统就一定是非线性系统，有些含有非线性元件的系统在一定的条 件下也具有线性特征。判别的标准是上述定义。奇次性和可加性有一 个不满足，系统就是非线性的。 当系统的初始状态不为零时，该系统的线性条件具体反映在以下三方面
y3 (t ) 8 sin[af1 (t ) bf2 (t )] a{8 sin[ f1 (t )]} b{8 sin[ f 2 (t )]} y3 (t ) 8 sin[ f3 (t )] ay1 (t ) by2 (t )
af1 (t ) bf2 (t ) f3 (t ) y3 (t ) ay1 (t ) by2 (t )
例试判断图示电路β取值对网络有无源性的影响。 i1 解：列出相应的电路方程 + u1
i2
u1 r1i1
1 i2 i1 u2 r2
r1
i1
r2
+ u2
0 r1 H 1 / r 2
2 k 1
r1 Z r2
0 r2
p（t） uk ik u1i1 u2i2 i1r1i1 （i2 i1）r2i2
则： af1 (t ) bf2 (t ) ayzs1 (t ) byzs 2 (t )
a, b为任意常数。
满足（1），（2），（3）则系统为线性，有一个不满足则 系统为非线性。
2. 时变系统与非时变系统
时不变特性是指系统的零输入状态输出波形仅取决于输入波形与系统特 性而与输入信号接入系统的时间无关。设系统的输入为 f (t ) ，输出为 y(t )
如果系统的输出仅决定于该时刻的输入，而且与系统过去的状态（历史） 无关，称这种系统为无记忆性系统。 系统是有记忆的还是无记忆的，完全取决于组成该系统的元件的性质。 如果系统的组成含有记忆元件（如：电容器、电感器、奇存器和存储器 等，就是记忆系统。 描述无记忆系统的方程为代数方程，描述有记忆系统的方程为微分方 程方程。
若 : f1 (t ) y1 (t ) f 2 (t ) y2 (t ) 则：f1 (t ) f 2 (t ) y1 (t ) y2 (t ) f 2 (t ) y2 (t ) a, b为任意常数。
（2）可加性： 统一(t )
则： af1 (t ) bf2 (t ) ay1 (t ) by2 (t )
y(t )
f (t ) t t0 f (t ) t t0
y (t ) t t0 0 (因果 系统 ) y (t ) t t0 0 (非因果 系统 )
4. 记忆系统与非记忆系统
如果系统的输出不仅决定于该时刻的输入，而且与它过去的状态（历史） 有关，称这种性质为记忆性。具有记忆性的系统称为记忆系统。
5. 稳定系统与不稳定系统
对一个初始不储能的系统，如果输入有界（有限值
f (t ) max
）
输出也有界（有限值
输入有界（有限值 统就是不稳定系统。
y(t ) max ）系统为稳定系统；反之，如果 f (t ) max ），输出无界（无限值），则该系
6. 连续时间系统与离散时间系统
若 : f (t ) y(t ) f (t t0 ) y(t t0 )
t0为任意常数。
则为时不变系统(亦称为非时变系统），否则为时变系统 所谓时不变系统，就是当输入信号有一个时移，在输出信号中将产生 同样的时移，而输出波形的形状没有变化。 实际上，系统内的参数如果不随时间变化，其微分方程的系数全是常 数，该系统就具有时不变的性质，所以，恒定参数系统（也称定常系 统）是时不变系统；反之，参数随时间变化的系统不具备时不变的性 质时就是时变系统。
∴ 该系统为线性系统。
dy1 (t ) df1 (t ) 解：（2） 设 f1 (t ) y1 (t ), 则： 3 dt dt dy 2 (t ) df 2 (t ) 设 f 2 (t ) f1 (t t0 ) y2 (t ), 则： 3 dt dt dy1 (t t0 ) df1 (t t0 ) dy 2 (t ) dy1 (t ) df1 (t ) 3 3 dt dt dt dt dt 比较两式可知 f1 (t ) y1 (t ), f1 (t t0 ) f 2 (t ) y2 (t ) y1 (t t0 )
二式相加得：
d [ay1 (t ) by2 (t )] t[ay1 (t ) by2 (t )] af1 (t ) bf2 (t ) dt af1 (t ) bf2 (t ) f 3 (t ) ay1 (t ) by2 (t ) y3 (t )
dy1 (t ) ty1 (t ) f1 (t ) 解：（1） 设 f1 (t ) y1 (t ), 则： dt dy (t ) 设 f 2 (t ) f1 (t t0 ) y2 (t ), 则： 2 ty2 (t ) f 2 (t ) dt dy1 (t t0 ) dy1 (t ) ty1 (t ) f1 (t ) (t t0 ) y1 (t t0 ) f1 (t t0 ) dt dt 比较两式可知 f1 (t ) y1 (t ), f1 (t t0 ) f 2 (t ) y2 (t ) y1 (t t0 )
如果系统的输入和输出都是时间的连续函数，这个系统就称为连续时间 系统；如果系统的输入和输出都是时间离散函数，这个系统就称为离散 时间系统。 连续系统中传输和处理的是连续信号。 离散系统中传输和处理的是离散信号。 在实际工作中系统中长将两系统组合使用，这种情况称为混合系统
例试判别下列零状态系统是否为线性系统是，是否为时不变系统。
r1 [i1，i2 ] 1 2 r2 1 2 r2 i1 0 r2 i2
注意：由Z阵可知该网络为非互易双口网络，在判断网 络的有源性时要重排二次型！
p（t） uk ik u1i1 u2i2 i1r1i1 （i2 i1）r2i2
∴ 该系统为时不变系统。
判断网络的有无源性
一端口，p（t） u（ t ） i（t） n端口，p（t） u（t）i（t） u（ （ k t ）i k t）
T k 1 n
任意时刻t，能量W（t）
p（t）dt 0
t
;
规定：i（ ） 0，u（ ） 0
关于线性、时变、因果的说明
1. 线性系统与非线性系统
如果系统的输入与输出满足线性关系，则称为线性系统，否则称为非线性系统。 线性也就是叠加性。它包括两方面的内容：齐次性（比例性）和可加性。 设系统的输入为 f (t ) 输出为 y(t ) 。 （1）奇次性：
若 : f (t ) y(t ) 则： kf (t ) ky(t ) k为任意常数。
∴ 该系统为非线性系统。 解：（3） 设
f 2 (t ) f1 (t t0 ) y2 (t ), 则：y2 (t ) 8 sin[ f 2 (t )]
y1 (t ) 8 sin[ f1 (t )] y1 (t t0 ) 8 sin[ f1 (t t0 )]
y1 (t t0 ) 8 sin[ f1 (t t0 )] 8 sin[ f 2 (t )] y2 (t ) f1 (t t0 ) f 2 (t ) y2 (t ) y1 (t t0 )
dy(t ) ty (t ) f (t ) dt dy(t ) df (t ) ( 2) 3 (3) y (t ) 8 sin f (t ) dt dt (1)
解：（1） 给 f1 (t ), f 2 (t ) 和任意常数 a, b
设 f1 (t ) y1 (t ), f 2 (t ) y2 (t ) dy1 (t ) dy 2 (t ) 则: ty1 (t ) f1 (t ), ty2 (t ) f 2 (t ) dt dt dy 3 (t ) 设 f 3 (t ) af1 (t ) bf 2 (t ) y3 (t ) 则： ty3 (t ) f 3 (t ) dt dy1 (t ) dy2 (t ) ty1 (t ) f1 (t ), ty2 (t ) f 2 (t ) dt dt d [ay1 (t )] d [by2 (t )] t[ay1 (t )] af1 (t ), t[by2 (t )] bf2 (t ) dt dt
∴ 该系统为时变系统。
∴ 该系统为线性系统。
解：（2） 给 f1 (t ), f 2 (t ) 和任意常数 a, b
设 f1 (t ) y1 (t ), f 2 (t ) y2 (t ) dy1 (t ) df1 (t ) dy 2 (t ) df 2 (t ) 则: 3 , 3 dt dt dt dt dy3 (t ) df 3 (t ) 设 f 3 (t ) af1 (t ) bf 2 (t ) y3 (t ) 则： 3 dt dt dy1 (t ) df1 (t ) dy2 (t ) df2 (t ) 3 , 3 dt dt dt dt d [ay1 (t )] d [af1 (t )] d [by2 (t )] d [bf2 (t )] 3 , 3 dt dt dt dt 二式相加得： d [ay (t ) by (t )] d [af1 (t ) bf2 (t )] 1 2 3 dt dt af1 (t ) bf2 (t ) f 3 (t ) ay1 (t ) by2 (t ) y3 (t )
∴ 该系统为时不变系统。
解：（3）
给 f1 (t ), f 2 (t ) 和任意常数 a, b
设f1 (t ) y1 (t ), f 2 (t ) y2 (t ) 则 : y1 (t ) 8 sin[ f1 (t )], y2 (t ) 8 sin[ f 2 (t )]