线性时变因果无源总结和例题

二式相加得：
d [ay1 (t ) by2 (t )] t[ay1 (t ) by2 (t )] af1 (t ) bf2 (t ) dt af1 (t ) bf2 (t ) f 3 (t ) ay1 (t ) by2 (t ) y3 (t )
dy1 (t ) ty1 (t ) f1 (t ) 解：（1） 设 f1 (t ) y1 (t ), 则： dt dy (t ) 设 f 2 (t ) f1 (t t0 ) y2 (t ), 则： 2 ty2 (t ) f 2 (t ) dt dy1 (t t0 ) dy1 (t ) ty1 (t ) f1 (t ) (t t0 ) y1 (t t0 ) f1 (t t0 ) dt dt 比较两式可知 f1 (t ) y1 (t ), f1 (t t0 ) f 2 (t ) y2 (t ) y1 (t t0 )
dy(t ) ty (t ) f (t ) dt dy(t ) df (t ) ( 2) 3 (3) y (t ) 8 sin f (t ) dt dt (1)
解：（1） 给 f1 (t ), f 2 (t ) 和任意常数 a, b
设 f1 (t ) y1 (t ), f 2 (t ) y2 (t ) dy1 (t ) dy 2 (t ) 则: ty1 (t ) f1 (t ), ty2 (t ) f 2 (t ) dt dt dy 3 (t ) 设 f 3 (t ) af1 (t ) bf 2 (t ) y3 (t ) 则： ty3 (t ) f 3 (t ) dt dy1 (t ) dy2 (t ) ty1 (t ) f1 (t ), ty2 (t ) f 2 (t ) dt dt d [ay1 (t )] d [by2 (t )] t[ay1 (t )] af1 (t ), t[by2 (t )] bf2 (t ) dt dt
若 : f1 (t ) y1 (t ) f 2 (t ) y2 (t ) 则：f1 (t ) f 2 (t ) y1 (t ) y2 (t ) f 2 (t ) y2 (t ) a, b为任意常数。
（2）可加性： 统一处理方法
若 : f1 (t ) y1 (t )
则： af1 (t ) bf2 (t ) ay1 (t ) by2 (t )
∴ 该系统为线性系统。
dy1 (t ) df1 (t ) 解：（2） 设 f1 (t ) y1 (t ), 则： 3 dt dt dy 2 (t ) df 2 (t ) 设 f 2 (t ) f1 (t t0 ) y2 (t ), 则： 3 dt dt dy1 (t t0 ) df1 (t t0 ) dy 2 (t ) dy1 (t ) df1 (t ) 3 3 dt dt dt dt dt 比较两式可知 f1 (t ) y1 (t ), f1 (t t0 ) f 2 (t ) y2 (t ) y1 (t t0 )
3. 因果系统与非因果系统
系统的输出是由输入引起的，它的输出不能领先于输入，这种性质称为 因果性，这样的系统称为因果系统。如果系统的输出出现在输入之前， 则为非因果系统。
因果系统的在任何时刻的输出仅取决于是现在与过去的输入，而与将 来的输入无关，因为系统的输出无法预测将来的输入。 激励是产生响应的原因，响应是激励引起的结果。所有实际物理系统 在激励没有作用之前决不会有输出响应，都属于因果系统。如果系统的 响应出现在输入之前，则为非因果系统。 把线性电路的初始状态看成等效激励，则为因果系统。 设系统的输入（激励）为 f (t ) （含等效激励），输出（响应）为 则因果和非因果系统可分别表示为：
关于线性、时变、因果的说明
1. 线性系统与非线性系统
如果系统的输入与输出满足线性关系，则称为线性系统，否则称为非线性系统。 线性也就是叠加性。它包括两方面的内容：齐次性（比例性）和可加性。 设系统的输入为 f (t ) 输出为 y(t ) 。 （1）奇次性：
若 : f (t ) y(t ) 则： kf (t ) ky(t ) k为任意常数。
∴ 该系统为时不变系统。
判断网络的有无源性
一端口，p（t） u（ t ） i（t） n端口，p（t） u（t）i（t） u（ （ k t ）i k t）
T k 1 n
ห้องสมุดไป่ตู้
任意时刻t，能量W（t）

p（t）dt 0
t
;
规定：i（ ） 0，u（ ） 0
∴ 该系统为时不变系统。
解：（3）
给 f1 (t ), f 2 (t ) 和任意常数 a, b
设f1 (t ) y1 (t ), f 2 (t ) y2 (t ) 则 : y1 (t ) 8 sin[ f1 (t )], y2 (t ) 8 sin[ f 2 (t )]
设 f3 (t ) af1 (t ) bf2 (t ) y3 (t ) 则：y3 (t ) 8 sin[ f3 (t )] 8 sin[af1 (t ) bf2 (t )]
∴ 该系统为非线性系统。 解：（3） 设
f 2 (t ) f1 (t t0 ) y2 (t ), 则：y2 (t ) 8 sin[ f 2 (t )]
y1 (t ) 8 sin[ f1 (t )] y1 (t t0 ) 8 sin[ f1 (t t0 )]
y1 (t t0 ) 8 sin[ f1 (t t0 )] 8 sin[ f 2 (t )] y2 (t ) f1 (t t0 ) f 2 (t ) y2 (t ) y1 (t t0 )
例试判断图示电路β取值对网络有无源性的影响。 i1 解：列出相应的电路方程 + u1
i2
u1 r1i1
1 i2 i1 u2 r2
r1
i1
r2
+ u2

0 r1 H 1 / r 2
2 k 1
r1 Z r2
0 r2
p（t） uk ik u1i1 u2i2 i1r1i1 （i2 i1）r2i2
则： af1 (t ) bf2 (t ) ayzs1 (t ) byzs 2 (t )
a, b为任意常数。
满足（1），（2），（3）则系统为线性，有一个不满足则 系统为非线性。
2. 时变系统与非时变系统
时不变特性是指系统的零输入状态输出波形仅取决于输入波形与系统特 性而与输入信号接入系统的时间无关。设系统的输入为 f (t ) ，输出为 y(t )
若 : f (t ) y(t ) f (t t0 ) y(t t0 )
t0为任意常数。
则为时不变系统(亦称为非时变系统），否则为时变系统 所谓时不变系统，就是当输入信号有一个时移，在输出信号中将产生 同样的时移，而输出波形的形状没有变化。 实际上，系统内的参数如果不随时间变化，其微分方程的系数全是常 数，该系统就具有时不变的性质，所以，恒定参数系统（也称定常系 统）是时不变系统；反之，参数随时间变化的系统不具备时不变的性 质时就是时变系统。
y(t )
f (t ) t t0 f (t ) t t0
y (t ) t t0 0 (因果 系统 ) y (t ) t t0 0 (非因果 系统 )
4. 记忆系统与非记忆系统
如果系统的输出不仅决定于该时刻的输入，而且与它过去的状态（历史） 有关，称这种性质为记忆性。具有记忆性的系统称为记忆系统。

（1）分解特性： （2）零输入线性：
y(t ) yzi (t ) yzs (t )
f 2 (0) yzi 2 (t ) a, b为任意常数。
若 : f1 (0) yzi1 (t )
（3）零状态线性：
则： af1 (0) bf2 (0) ayzi1 (t ) byzi 2 (t ) 若 : f1 (t ) yzs1 (t ) f 2 (t ) yzs 2 (t )
∴ 该系统为时变系统。
∴ 该系统为线性系统。
解：（2） 给 f1 (t ), f 2 (t ) 和任意常数 a, b
设 f1 (t ) y1 (t ), f 2 (t ) y2 (t ) dy1 (t ) df1 (t ) dy 2 (t ) df 2 (t ) 则: 3 , 3 dt dt dt dt dy3 (t ) df 3 (t ) 设 f 3 (t ) af1 (t ) bf 2 (t ) y3 (t ) 则： 3 dt dt dy1 (t ) df1 (t ) dy2 (t ) df2 (t ) 3 , 3 dt dt dt dt d [ay1 (t )] d [af1 (t )] d [by2 (t )] d [bf2 (t )] 3 , 3 dt dt dt dt 二式相加得： d [ay (t ) by (t )] d [af1 (t ) bf2 (t )] 1 2 3 dt dt af1 (t ) bf2 (t ) f 3 (t ) ay1 (t ) by2 (t ) y3 (t )
如果系统的输出仅决定于该时刻的输入，而且与系统过去的状态（历史） 无关，称这种系统为无记忆性系统。 系统是有记忆的还是无记忆的，完全取决于组成该系统的元件的性质。 如果系统的组成含有记忆元件（如：电容器、电感器、奇存器和存储器 等，就是记忆系统。 描述无记忆系统的方程为代数方程，描述有记忆系统的方程为微分方 程方程。
r1 [i1，i2 ] 1 2 r2 1 2 r2 i1 0 r2 i2
注意：由Z阵可知该网络为非互易双口网络，在判断网 络的有源性时要重排二次型！
p（t） uk ik u1i1 u2i2 i1r1i1 （i2 i1）r2i2
5. 稳定系统与不稳定系统
对一个初始不储能的系统，如果输入有界（有限值
f (t ) max
）
输出也有界（有限值
输入有界（有限值 统就是不稳定系统。
y(t ) max ）系统为稳定系统；反之，如果 f (t ) max ），输出无界（无限值），则该系
6. 连续时间系统与离散时间系统
y3 (t ) 8 sin[af1 (t ) bf2 (t )] a{8 sin[ f1 (t )]} b{8 sin[ f 2 (t )]} y3 (t ) 8 sin[ f3 (t )] ay1 (t ) by2 (t )
af1 (t ) bf2 (t ) f3 (t ) y3 (t ) ay1 (t ) by2 (t )
则为线性系统，否则为非线性系统

一般由线性元件组成的系统均为线性系统，但并不是含有非线性元件 的系统就一定是非线性系统，有些含有非线性元件的系统在一定的条 件下也具有线性特征。判别的标准是上述定义。奇次性和可加性有一 个不满足，系统就是非线性的。 当系统的初始状态不为零时，该系统的线性条件具体反映在以下三方面
如果系统的输入和输出都是时间的连续函数，这个系统就称为连续时间 系统；如果系统的输入和输出都是时间离散函数，这个系统就称为离散 时间系统。 连续系统中传输和处理的是连续信号。 离散系统中传输和处理的是离散信号。 在实际工作中系统中长将两系统组合使用，这种情况称为混合系统
例试判别下列零状态系统是否为线性系统是，是否为时不变系统。