2019届徐汇区高三二模数学Word版(附解析)

上海市徐汇区2019届高三二模数学试卷

2019.4

一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 设全集U =R ，若集合{1,2,3,4}A =，{|23}B x x =≤≤，则U

A

B =

2. 已知点(2,5)在函数()1x f x a =+（0a >且1a ≠）的图像上，则()f x 的反函数1()f x -=

3. 不等式

1

1x x

+>的解为 4. 已知球的主视图所表示图形的面积为9π，则该球的体积是

5.

函数cos2sin ()cos 2

x x

f x x

-=

在区间(0,]2

π

上的最小值为

6. 若2i +（i 是虚数单位）是关于x 的实系数方程20x mx n ++=的一个根，则圆锥曲线

22

1x y m n

+=的焦距是 7. 设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若{}n a 的各项和等于q ，则首项1a 的取值范围是

8. 已知点(0,0)O ，(2,0)A

，(1,B -，P

是曲线y =则OP BA ⋅

的取值范围是

9. 甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两 局才能得冠军，若两队在每局赢的概率都是0.5，则甲队获得冠军的概率为 （结果用数值表示） 10. 已知函数4()1f x x x =+

-，若存在121

,,,[,4]4

n x x x ⋅⋅⋅∈使得 121()()()()n n f x f x f x f x -++⋅⋅⋅+=，则正整数n 的最大值是

11. 在平面直角坐标系中，设点(0,0)O

，A ，点(,)P x y

的坐标满足0200y x y -≤-+≥⎨⎪≥⎪⎩

，

则OA 在OP 上的投影的取值范围是

12. 函数()sin f x x ω=（0ω>）的图像与其对称轴在y 轴右侧的交点从左到右依次记为

123,,,,,n A A A A ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，在点列{}n A 中存在三个不同的点k A 、i A 、p A ，使得△k i p A A A 是等

腰直角三角形，将满足上述条件的ω值从小到大组成的数列记为{}n ω，则2019ω=

二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

13. 满足条件|i ||34i |z -=+（i 是虚数单位）的复数z 在复平面上对应的点的轨迹是（ ） A. 直线 B. 圆 C. 椭圆 D. 双曲线

14. 设*n ∈N ，则“数列{}n a 为等比数列”是“数列{}n a 满足312n n n n a a a a +++⋅=⋅”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件

15. 已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，则抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是（ ） A.

3716 B. 115 C. 2 D. 7

4

16. 设()f x 是定义在R 上的函数，若存在两个不等实数12,x x ∈R ，使得

1212()()

(

)22

x x f x f x f ++=

，则称函数()f x 具有性质P ，那么下列函数： ① 1

0()00

x f x x x ⎧≠⎪

=⎨⎪=⎩；② 3()f x x =；③ 2()|1|f x x =-；④ 2()f x x =；

不具有性质P 的函数为（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④

三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）

17. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且2cos24cos()30A B C +++=. （1）求角A 的大小；（2）若3a =，3b c +=，求b 和c 的值.

18. 如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面边长为2，1BC 与底面ABCD 所成角的大小 为arctan2，M 是1DD 的中心，N 是BD 上的一动点，设DN DB λ=（01λ<<）.

（1）当1

2

λ=时，证明：MN 与平面11ABC D 平行； （2）若点N 到平面BCM 的距离为d ，试用λ表示d ，

并求出d 的取值范围.

19. 2018年世界人工智能大会已于2018年9月在上海徐汇西岸举行，某高校的志愿者服务 小组受大会展示项目的启发，会后决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏，如图，A 、B 两个 信号源相距10米，O 是AB 的中点，过O 点的直线l 与直线AB 的夹角为45°，机器猫在 直线l 上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足：接收到A 点的信号比接收到B 点的信号晚0

8v 秒 （注：信号每秒传播0v 米），在时刻0t 时，测得机器鼠距离O 点为4米.

（1）以O 为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系（如图），求时刻0t 时机器鼠所在 位置的坐标；

（2）游戏设定：机器鼠在距离直线l 不超过1.5米的区域运动时，有“被抓”风险，如果机 器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？

20. 对于项数m （3m ≥）的有穷数列{}n a ，若存在项数为1m +，公差为d 的等差数列{}n b ，使得1k k k b a b +<<，其中1,2,,k m =⋅⋅⋅，则称数列{}n a 为“等差分割数列”. （1）判断数列{}:1,4,8,13n a 是否为“等差分割数列”，并说明理由；

（2）若数列{}n a 的通项公式为2n

n a =（1,2,,n m =⋅⋅⋅），求证：当5m ≥时，数列{}n a 不

是“等差分割数列”；

（3）已知数列{}n a 的通项公式为43n a n =+（1,2,,n m =⋅⋅⋅），且数列{}n a 为“等差分割数列”，若数列{}n b 的首项13b =，求数列{}n b 的公差d 的取值范围（用m 表示）.