黄振东椭圆的定义与标准方程(公开课)教案
《椭圆的标准方程》第一课时示范公开课教学设计【高中数学】
《椭圆的标准方程》教学设计第一课时◆教学目标1. 掌握椭圆的定义，提升学生的数学抽象素养．2.掌握椭圆的标准方程的推导过程，提高学生的数学运算素养．◆教学重难点◆教学重点：椭圆的定义及其标准方程．教学难点：椭圆标准方程的推导过程．◆课前准备PPT课件．◆教学过程一、整体概览问题1：阅读课本，回答下列问题：（1）本节将要研究哪类问题？（2）本节要研究的对象在高中的地位是怎样的？师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结本节的内容.预设的答案：（1）本节课主要学习椭圆的标准方程．（2）从知识上讲，椭圆的标准方程是解析法的进一步运用，同时它也是进一步研究椭圆几何性质的基础；从方法上讲，它为我们研究双曲线、抛物线这两种圆锥曲线提供了基本模式和理论基础；从教材编排上讲，现行教材中把三种圆锥曲线独编一章，更突出了椭圆的重要地位.因此本节课有承前启后的作用，是本章和本节的重点内容.是几何的研究实现了代数化．数与形的有机结合，在本章中得到了充分体现．设计意图：通过章引言内容的预习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架.二、探索新知1、探究新知在日常生活与学习中，可以见到很多有关椭圆的形象，如图，我们还知道圆是平面内到圆心的距离等于半径的点的集合，圆上的点的特征是任意一点到圆心的距离都等于半径，那么你能说说到底什么是椭圆吗？椭圆上任意一点的特征是什么？问题2：从集合或轨迹的角度，类比圆的定义，如何定义椭圆 ?师生活动：学生充分思考，并鼓励学生尝试给出答案．预设的答案:事实上:如果21,F F 是平面内的两个定点，a 是一个常数，且||221F F a >，则平面内满足a PF PF 2||||21=+的动点P 的轨迹称为椭圆，其中，两个定点21,F F 称为椭圆的焦点，两个焦点之间的距离||21F F 称为椭圆的焦距.另外，从本章导语中可以看出，椭圆也可以通过用平面截圆锥面得到，因此椭圆是一种圆锥曲线设计意图：通过具体的情景，让学生对椭圆有一个直观的印象，同时类比圆的定义，抽象出椭圆的几何定义．发展学生数学抽象，直观想象的核心素养．问题3：你能利用日常生活中的物品做出一个椭圆吗？师生活动：教师提示，学生自己尝试画出椭圆．预设的答案:画法：在平面的画板上取两个定点21,F F ，在这两个点上都订上一个图钉，将一条长度大于||21F F 的细绳的两端固定在两个图钉上，用笔尖把细绳拉紧，并使笔尖在画板上慢慢移动一周，则画出的图形是一个椭圆．设计意图：通过具体的操作，让学生更加清楚椭圆的形成过程．问题3：这种做椭圆的方法，实际上验证了椭圆定义中的P 点一定存在，而且有无数多个，那么从数学上能不能证明这一点呢？设21,F F 是平面的两个定点，||21F F =8，证明平面上满足10||||21=+PF PF 的动点P 有无数多个，并求P 的轨迹方程．师生活动：教师提示设点，学生尝试解答．预设的答案:以21,F F 所在直线为x 轴，线段21F F 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，设椭圆的焦点分别为)0,4(),0,4(21F F -．设P 的坐标为),(y x ，因为10||||21=+PF PF ，而且221)4(||y x PF ++=，222)4(||y x PF +-=，所以+++22)4(y x 10)4(22=+-y x ， ① 追问：+++22)4(y x 10)4(22=+-y x 该如何化简？师生活动：学生思考讨论后，教师引导学生从平方次数越少越好的角度思考．当0≠x 时， ≠++22)4(y x 22)4(y x +-由①得10)4()4(])4[()4(22222222=+--+++--++yx y x y x y x 整理得x y x y x 58)4()4(2222=+--++，②①+ ②整理得x y x 545)4(22+=++，③将③式平方再整理得192522=+y x ④ 当0=x 时，由①可知104222=+y ，即92=y ，此时④也成立可以验证，如果P 的坐标满足 ④式，可得10||||21=+PF PF ，不难看出方程④有无数多组实数解，这说明坐标满足10||||21=+PF PF 的点有无数个，而且P 的轨迹方程为 ④式．设计意图：通过特例，运用解析法，求出椭圆的方程，进而推广到一般，获得椭圆的标准方程．帮助学生进一步体会数形结合的思想方法．发展学生数学运算，数学抽象和数学建模的核心素养．问题4：一般地，如果椭圆的焦点为21,F F ，焦距为c 2，而且椭圆上的动点P 满足a PF PF 2||||21=+，请同学们根据推导问题3的思路推导上面的表达式．师生活动：学生充分思考，并由学生在练习本上写出过程，展台展示．预设的答案：以21,F F 所在直线为x 轴，线段21F F 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，设椭圆的焦点分别为)0,(),0,(21c F c F -．设P 的坐标为),(y x ，因为a PF PF 2||||21=+，而且221)(||y c x PF ++=，222)(||y c x PF +-=，所以+++22)(y c x a y c x 2)(22=+-， ①当0≠x 时， ≠++22)(y c x 22)(y c x +-由①得a y c x y c x y c x y c x 2)()(])[()(22222222=+--+++--++整理得x a c y c x y c x 2)()(2222=+--++，②①+ ②整理得x ac a y c x +=++22)(，③ 将③式平方再整理得2222222)(c a y ax c a -=+- ④ 当0=x 时，由①可知a y c 2222=+，即92=y ，此时④也成立．因为0>>c a ，所以22c a >，设222b c a =-，且0>b ，则④式可化为圆的标准方程．设计意图：从知识之间本质的、逻辑的联系出发，启发学生结合所学习过的知识来联想所要学习的内容，明确知识发生的必然性，让新知识的呈现合理、自然．三、初步应用例1 求满足下列条件的椭圆的标准方程．两个焦点分别是)0,3(),0,3(21F F -，椭圆上的点P 到两焦点的距离之和为8； 师生活动：学生自行解答，由老师指定学生回答．预设的答案：由已知得82=a ，因此4=a ，又因为3=c ，所以7222=-=c a b ，因为椭圆的焦点在x 轴上，所以所求的椭圆的标准方程为171622=+y x 设计意图：利用待定系数法求椭圆的标准方程，鼓励学生自主完成，熟练掌握解题思想与方法．四、归纳小结，布置作业问题5：（1）什么是椭圆？焦点？焦距？（2）焦点在x 轴上的椭圆的标准方程是什么？师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.预设的答案：（1）如果21,F F 是平面内的两个定点，a 是一个常数，且||221F F a >，则平面内满足a PF PF 2||||21=+的动点P 的轨迹称为椭圆，其中，两个定点21,F F 称为椭圆的焦点，两个焦点之间的距离||21F F 称为椭圆的焦距.（2设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生理解椭圆的标准方程的有关知识． 布置作业：教科书上的练习题五、目标检测设计1．平面内有两个定点12,F F 和一动点M ，设命题甲：12||||MF MF +是定值，命题乙：点M 的轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件设计意图：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合椭圆的定义是解决本题的关键．2若椭圆22: 15x y C m+=的一个焦点坐标为(1,0)-，则实数m 的值为（ ） A ．9 B ．6 C ．4 D ．1 设计意图：考查学生椭圆的焦点的认识．3．已知椭圆22212x y a +=的一个焦点为()F ，则这个椭圆的方程是（ ） A ．22132x y += B ．22142x y += C ．22152x y += D ．22162x y += 设计意图：考查学生对椭圆的标准方程的求法．参考答案：1．【答案】B解：若点M 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆，则根据椭圆的定义可知动点M 到两定点12,F F 的距离之和12|||2|MF MF a =+ (0a >，且a 为常数）成立是定值．若动点M 到两定点12,F F 的距离之和12|||2|MF MF a =+ (0a >，且a 为常数），当122||a F F ，此时的轨迹不是椭圆．∴甲是乙的必要不充分条件． 故选：B ．2．【答案】C因为椭圆的焦点(1,0)-在x 轴上， 所以25a =，2b m =，所以2225c a b m =-=-， 所以51m -=，解得4m =. 故选：C3．【答案】C解：椭圆22212x y a +=的一个焦点为(F ，22b ∴=，c =222325a b c ∴=+=+=，∴椭圆方程为22152x y +=． 故选：C。
椭圆的定义与标准方程(公开课)教案
2.1.1椭圆的定义与标准方程宁德二中高二（1）班马茂鸿 2010.11.26一、教材分析圆锥曲线是高中数学中十分重要的内容，它的许多几何性质在日常生活、生产和科学技术中都有着广泛的应用。
本节是《圆锥曲线与方程》的第一节课，主要学习椭圆的定义和标准方程。
它是本章也是整个解析几何部分的重要基础知识。
第一，在教材结构上，本节内容起到一个承上启下的重要作用。
前面学生用坐标法研究了直线和圆，而对椭圆概念与方程的研究是坐标法的深入，也适用于对双曲线和抛物线的学习，更是解决圆锥曲线问题的一种有效方法。
第二，对椭圆定义与方程的研究，将曲线与方程对应起来，体现了函数与方程、数与形结合的重要思想。
而这种思想，将贯穿于整个高中阶段的数学学习。
第三，对椭圆定义与方程的探究过程，使学生经历了观察、猜测、实验、推理、交流、反思等理性思维过程，培养了学生的思维方式，加强了运算能力，提高了他们提出问题、分析问题、解决问题的能力，为后续知识的学习奠定了基础。
二、学生情况分析1.在学习本节内容以前，学生已经学习了直线和圆的方程，初步了解了用坐标法求曲线的方程及其基本步骤，经历了动手实验、观察分析、归纳概括、建立模型的基本过程，这为进一步学习椭圆及其标准方程奠定了基础。
2.在本节课的学习过程中，椭圆定义的归纳概括、方程的推导化简对学生是一个考验，可能会有一部分学生探究学习受阻，教师要适时加以点拨指导。
三、教学目标1.通过观察、实验、证明等方法的运用，让学生更好的理解椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式，会根据条件求椭圆的标准方程。
2.通过对椭圆的认识及其方程的推导，培养学生的分析、探究、抽象、概括等逻辑思维能力，加强用坐标法解决圆锥曲线问题的能力。
3.鼓励学生大胆猜想、论证，激发学生的学习热情，使他们获得成功的体验。
四、教学重点和难点1.重点：感受建立曲线方程的基本过程，掌握椭圆的标准方程及其推导方法。
2.难点：椭圆标准方程的推导。
椭圆的定义与标准方程教案
【课题】《椭圆的定义与标准方程》【授课类型】新授课【教学目标】1.知识目标掌握椭圆的椭圆的定义与标准方程2.能力目标通过对椭圆的认识及其标准方程的推导，培养学生的分析、探究、抽象、概括等逻辑思维能力。
3.情感目标通过课堂学生的参与，激发学生学习数学的兴趣，提高学生的审美情趣，培养学生勇于探索的精神。
【重点】椭圆的定义和椭圆的标准方程。
【难点】椭圆的标准方程的推导。
【教学方法】主要采用探究性教学法和启发式教学法。
以启发、引导为主，采用设疑的形式，即教师通过问题诱导→启发讨论→探索结果，引导学生直观观察→归纳抽象→总结规律，使学生在获得知识的同时，能够掌握方法、提升能力。
【教具】多媒体课件微课【教学过程】[板书设计]课后反思我根据教学大纲，认真设计了教学过程。
借助于微课传媒，在老师的启发引导下，在多媒体课件的辅助下，教学内容由浅入深，循序渐进，贴近学生的认知规律。
但是由于容量大，学生的训练还不充分，在课后具体的解题中，还会出现很多疑问。
需要在以后的教学中更加重视。
《椭圆的定义与标准方程》课后检测题1.在椭圆14922=+y x 中，a= ,b= ,焦点位于 轴上，焦点坐标为 。
2.在椭圆11271622=+y x 中，a= ,b= ,焦点位于 轴上，焦点坐标为 。
3.在椭圆13610022=+y x 上一点p 到焦点1F 的距离为6，则P 到另一焦点2F 的距离为 .4.求适合下列条件的椭圆方程： （1） 、a ＝4，b ＝3，焦点在x 轴上；（2）、b=1，c=3,焦点在y 轴上;（3）、若椭圆满足: a ＝5 , c ＝3 ,求它的标准方程。
椭圆的定义与标准方程教案
椭圆的定义与标准方程教案教案标题：椭圆的定义与标准方程教案目标：1. 理解椭圆的定义及其特征性质。
2. 掌握椭圆的标准方程及其相关参数。
3. 能够应用椭圆的定义和标准方程解决相关问题。
教学准备：1. 教师准备：椭圆的定义、标准方程及其相关性质的教学材料、白板、白板笔、投影仪等。
2. 学生准备：笔、纸、教材等。
教学过程：步骤一：导入新知识（5分钟）1. 教师通过引入一个生活中的例子（如椭圆形的运动轨迹）引起学生对椭圆的兴趣。
2. 引导学生思考并回答问题：“你们对椭圆有什么了解？你们知道椭圆的定义吗？”步骤二：椭圆的定义与特征性质（15分钟）1. 教师向学生介绍椭圆的定义：椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
2. 教师解释椭圆的特征性质：椭圆的离心率小于1，焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于常数2a。
3. 教师通过图示和示例帮助学生理解椭圆的定义和特征性质。
步骤三：椭圆的标准方程（20分钟）1. 教师向学生介绍椭圆的标准方程：(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h, k)为椭圆的中心坐标，a和b分别为椭圆的长半轴和短半轴。
2. 教师解释标准方程中各参数的含义，并通过示例演示如何确定椭圆的中心、长短半轴等参数。
3. 教师提供一些练习题，让学生通过给定的标准方程确定椭圆的相关参数。
步骤四：应用与解决问题（15分钟）1. 教师提供一些实际问题，引导学生运用椭圆的定义和标准方程解决问题。
2. 学生个别或小组合作完成问题，并展示解决过程和结果。
3. 教师对学生的解答进行点评和总结。
步骤五：课堂小结与作业布置（5分钟）1. 教师对本节课的重点内容进行总结，并强调学生需要掌握的知识点。
2. 布置相关的课后作业，包括练习题和思考题。
教学反思：通过本节课的教学，学生能够了解椭圆的定义和特征性质，并能够应用椭圆的标准方程解决相关问题。
《椭圆的定义和标准方程》教学设计
《椭圆的定义和标准方程》教学设计一、教学内容分析本课选自《普通高中课程标准实验教科书（选修2-1）数学》（北师大版），第三章第一节。
本节教材的主要内容是使学生了解椭圆的实际背景，感受椭圆刻画现实世界和在实际问题中的作用，使学生经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程；掌握椭圆的定义，标准方程的推导过程及步骤，标准方程中a、b、c的代数意义，标准方程及其轨迹。
本节对椭圆的定义及其轨迹的研究，使学生在学习了圆及其方程后，又一次探究了定义的本质，通过探究使学生从感性认识上升到了理性认识，形成了对椭圆定义的深刻理解，培养了学生研究轨迹的能力，从而进一步让学生体验“用方程研究曲线”这一基本思想，体现了数学的美，也符合认知的渐进原则。
二、学生学习情况分析我校是普通高级中学，有很好的多媒体设备，但是学生数学基础比较薄弱，所以在这节课之前，我带领了学生进行了对圆及其轨迹方程的复习，尤其是推导过程，使学生有很想研究其他曲线的欲望。
三、设计思想为了让学生“学会”知识，而且“会学”知识，并体现新课程的理念，首先为了激发学生的学习积极性，我做了很好的情景创设；其次围绕教材的重难点（椭圆概念的形成、标准方程及其推导），设置活动环节，设置由浅入深环环相扣的问题，在教学中我适时的引导和学生间、师生间的互动，让学生经历了分析、发现、探究及反思的过程，使学生真正成为学习的主人并提高获取知识的能力，尝试合作的乐趣，体验成功的喜悦。
四、教学目标1.使学生了解椭圆的实际背景，感受椭圆刻画现实世界和实际问题的作用。
2.掌握椭圆的定义，标准方程的推导及步骤，标准方程中a、b、c的代数和几何意义，标准方程及其轨迹。
3.掌握直接法求曲线方程，培养学生数形结合的数学思想，提高分析问题的能力。
4.营造亲切、和谐的氛围，以“趣”激学，引导学生用运动变化的观点发现问题、探索问题、解决问题，培养学生的创新意识，体会数学的简洁美、和谐美，培养合作学习的意识，体会成功带来的喜悦，发现数学的应用意识，体会数学的应用价值。
《椭圆及其标准方程》教案
《椭圆及其标准方程》教案一、教学目标1、知识与技能目标（1）理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程。
（2）能根据椭圆的标准方程求出椭圆的焦点坐标、焦距等相关量。
2、过程与方法目标（1）通过动手操作，经历椭圆的形成过程，培养学生的动手能力和观察分析能力。
（2）通过椭圆标准方程的推导，培养学生的逻辑推理能力和数学运算能力。
3、情感态度与价值观目标（1）让学生感受数学的美，激发学生学习数学的兴趣。
（2）通过小组合作学习，培养学生的合作精神和创新意识。
二、教学重难点1、教学重点（1）椭圆的定义。
（2）椭圆的标准方程及其推导。
2、教学难点（1）椭圆标准方程的推导。
（2）椭圆标准方程中 a、b、c 的关系及应用。
三、教学方法讲授法、探究法、演示法、讨论法四、教学过程1、导入新课通过展示生活中常见的椭圆形状的物体，如椭圆形的镜子、椭圆形的赛道等，引出本节课的主题——椭圆。
2、椭圆的定义准备一根绳子，将其两端固定在黑板上的两点 F1、F2，用铅笔拉紧绳子，移动铅笔，画出一个封闭的曲线。
让学生观察这个曲线的形状，引出椭圆的定义：平面内与两个定点 F1、F2 的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距，记为 2c。
强调定义中的关键条件：（1）平面内。
（2）两个定点。
（3）距离之和为常数且大于焦距。
3、椭圆的标准方程（1）建系以经过椭圆两焦点 F1、F2 的直线为 x 轴，线段 F1F2 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系。
设椭圆的焦距为 2c（c>0），椭圆上任意一点 M 的坐标为(x,y)，焦点 F1、F2 的坐标分别为(c,0)、（c,0)。
（2）推导方程根据椭圆的定义，｜MF1| ＋｜MF2| ＝ 2a（2a ＞ 2c），则：＼（＼sqrt{（x ＋ c)＾2 ＋ y^2} ＋＼sqrt{（x c)＾2 ＋ y^2} ＝ 2a\）移项平方可得：＼（（＼sqrt{（x ＋ c)＾2 ＋ y^2}）＾2 ＝（2a ＼sqrt{（x c)＾2＋ y^2}）＾2\）展开并整理得：＼（a^2 cx ＝ a\sqrt{（x c)＾2 ＋ y^2}＼）再平方并整理得：＼（（a^2 c^2)x^2 ＋ a^2y^2 ＝ a^2(a^2 c^2)＼）因为\（b^2 ＝ a^2 c^2\）（其中 b>0），所以方程可化为：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）（a>b>0）这就是焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程。
椭圆的定义及其标准方程 教学设计
为什么常数要大于|F1F2|？不大于会如何
学生继续分组讨论，请出代表说讨论的结果
动画展示作图
视频展示画椭圆方法。
探究问题
如何选取坐标系？
推导方程
让学生讨论，归纳出这两种形式的标准方程有何异同
学生讨论
PPT展示
范例教学
1.判断焦点的位置并求其坐标
2.求适合下列条件的椭圆的标准方程
学生讨论、试作后显示解答过程
六、教学流程设计（可加行）
教学环节
（如：导入、讲授、复习、训练、实验、研讨、探究、评价、建构）
教师活动
学生活动信息技术支持（资来自、方法、手段等）复习导入
复习回顾求轨迹的方法。
用PPT展示现实生活中各种优美的图形（椭圆）。
学生思考并作答：如何得到一个优美标准的椭圆，
多媒体展示。
多媒体动态演示行星运行的轨道
（二）能力目标：学生通过动手画椭圆、分组讨论探究椭圆定义、推导椭圆标准方程等过程，提高动手能力、合作学习能力和运用知识解决实际问题的能力．
（三）情感目标：在形成知识、提高能力的过程中，激发学生学习数学的兴趣，提高学生的审美情趣，培养学生勇于探索、敢于创新的精神．
四、教学环境
√□简易多媒体教学环境□交互式多媒体教学环境□网络多媒体环境教学环境√□移动学习□其他
五、信息技术应用思路（突出三个方面：使用哪些技术？在哪些教学环节如何使用这些技术？使用这些技术的预期效果是？）200字
为了使学生更主动地参加到课堂教学中，培养他们的能力，发展他们的“最新发展区”，以及为了实现本课的教学目标，本课采用自主探究法。即“创设问题——启发讨论——探索结果”及“直接观察——归纳抽象——总结规律”的一种研究性教学方法。在引入本节中使用多媒体辅助教学，增强动感和直观性，展示了几何图形的优美，提高学生的学习兴趣，在如何得到椭圆图形时，让学生自己亲自动手及观察视频使自己融入进去激发学习兴趣，同时加大一节课的信息容量，提高教学效果和教学质量。
椭圆的定义及标准方程的教学设计
《椭圆及其标准方程》的教学设计一、教材分析1、椭圆定义的分析椭圆是常见的圆锥曲线，通过日常生活的体验，学生对椭圆已有一定的认识。
为了使学生掌握椭圆的本质特征，得到椭圆的定义，教材介绍了一种画椭圆的方法，通过画图过程揭示椭圆上的点所要满足的条件。
在讲解椭圆定义时，对“常数”加上了一个条件，即常数要大于|F1F2|。
这样规定是为了避免出现两种特殊情况，即轨迹为一条线段或无轨迹。
对于这两种情况，教学中可以及时加以说明，学生是不难理解的；而且可以加深对“常数要大于|F1F2|”的理解。
另一方面，还可以通过在ΔMF1F2中，两边之和大于第三边来理解。
当然这样做的弊端是忽略特殊情况，即点M位于椭圆长轴端点的情形。
在椭圆定义的教学中，一定要充分展示椭圆的产生过程，引导学生分析椭圆上的点所满足的几何条件，从而为坐标系的选择和椭圆方程的建立奠定基础。
2、椭圆标准方程建立的分析首先要建立坐标系。
曲线上同一个点在不同的坐标系中的坐标不同，曲线的方程也不同。
为了使方程简单，坐标系的选择要恰当。
怎样选择恰当的坐标系，要跟剧具体情况来确定。
一般情况下，应注意使已知点的坐标和曲线的方程尽可能简单，在求椭圆的标准方程时，注意到图形的对称性，不难想到使x轴经过两个定点F1、F2，并且使坐标原点与线段F1F2的中点重合，这样，两个定点的坐标比较简单，便于推导方程。
在求方程时，设椭圆的焦距为2c(c>0），椭圆上任意一点到两个焦点的距离的和为2a(a>0），当然a>c，这是为了使焦点及长轴的两个端点的坐标不出现分式，以便导出的椭圆方程形式简单。
带根式的方程的化简是学生感到困难的，是教学难点，特别是由点M 适合的条件所列出的方程为两个根式的和等于一个非零常数的形式，化简时要进行两次平方，方程中字母超过3个，且次数高、项数多，初中代数中没有做过这样的题目。
我们教学时，要注意说明这类方程化简的方法，一般来说：（1）方程中只有一个根式时，需将它单独留在方程的一边，把其他的各项移到另一边；（2）方程中有两个根式时，需将它们分散，放在方程的两边，使其中一边只有一个根式。
教案椭圆定义及其标准方程.doc
一、教学门标1. 使学生了解椭圆的实际背景，感受椭圆刻画现实世界和在实际问题中的作用.2. 掌握椭圆的定义、标准方程的推导及步骤、标准方程中a 、b 、c 的代数意义、标准方程.3. 掌握直接法求曲线方程，培养学生数形结合数学思想，提高分析问题的能力.4. 营造亲切、和谐的氛围，以“趣”激学.引导学生用运动变化的观点发现问题、探索问题、解决问题，培养学生的创新意识，体会数学的简捷美、和谐美.培 养合作学习的意识，体会成功带来的喜悦.发展数学的应用意识，认识数学的应用 价值. 二、 教学重点和难点教学重点：椭圆的定义及其标准方程的推导（通过学生自主建立直角坐标系和 对方程的讨论选择突出重点）.教学难点：椭圆概念的形成.通过椭圆的画法设计，标准方程与圆的比较突破 难点.三、 教学过程设计1、设置情景，导入新课椭圆是由圆压扁得到的吗?让学生观察上面的图片，说说这些图片有什么共同点，得出本节课的主题椭圆.2、 引导探究，获得新知问题1：我们看到第四张图片•，椭圆是不是由圆压扁得到的呢？它和圆有关系 吗？（让学生讨论这个问题，并抽一些同学说说讨论的结果.）为了解决这两个问题，先给出一种画椭圆的方法：取一•条一定长的细绳，把它 的两端固定在画图板上的乌和％两点（如下图），当绳长大于K 和％的距离时，用 铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆.我们来看一 看高中数学 椭圆定义及其标准方程万源市第三中学校 王尚莲玻璃餐桌椭圆和圆的画法.（找两个学生上讲台按这个方法画出一个椭圆，之后用几何画板演示画圆的过程和画椭圆的过程）.问题2：这椭圆是怎么画出来的啊？（让学生讨论回答）.问题3：从画法中找出要满足什么样的条件才可以画出一个椭圆呢？（可以提问, 也可以集体回答・）（D 4,%点固定，是定点・（2）MF} + MF2就是细绳的长度.我们来看，因为Fe，M三个点是构成的是一•个三角形所以MF】+MF2大于|F 『2|的长度.让学生根据这些应满足的条件归纳出椭圆的定义来・（引导学生概括椭圆的定义）椭圆的定义：平面内到两定点4,灼的距离之和等于常数（大于尚灼|）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距.下面我们来看看，MF】 +MF2小于等于的长度时，M点的轨迹是什么情况呢？（学生思考）结论：若常数等于|F£|,则是线段入己；若常数小于|F£|,则轨迹不存在；若要轨迹是椭圆，还必须加上限制条件：此常数大于|^^|.（强调MR+ML是定长但是大于|F禹|）3、深入探索，推导方程接下来你们试试推导椭圆的方程？（简单回顾求圆方程的方法和步骤）（1）建立适半的坐标系，用有序实数对（、,），）表示曲线上任意一点沏的坐标；（2）写出适合条件P（M）;（3）用坐标表示条件P（M）,列出方程；（4）化方程为最简形式.第一步，该如何建立坐标系呢？（学生会说出不同的方案，选取下列方案）以两定点q, %的直线为X 轴，线段的垂直平分线为），轴，建立直角坐标 系.（老师在黑板上画出适当的图，如下图）A（方案一）这样建系很合理.建立坐标系后的片匕坐标分别是氏（-c,O ）,%C,O ）,原则：尽 可能使方程的形式简单、运算简单；（一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所 在的直线作为坐标轴.）为了后面化简方便，我们这里把定长定为2。
高中数学“椭圆的定义与标准方程”教学设计
高中数学“椭圆的定义与标准方程”教学设计作者：***来源：《新课程》2024年第03期一、教材分析對于本课内容，新课标提出要引导学生经历具体情境，并从中抽象出椭圆产生过程，概括并理解椭圆定义，并掌握标准方程。
椭圆的定义与标准方程的研究方法和之后需要学习的双曲线、抛物线并没有什么区别，而且教材对椭圆研究也非常重视，所以本部分知识起着承上启下的作用。
此外，本节内容还涉及数形结合意识、转化思想等，因此教师在对这部分内容进行教学时需要将这些数学思想融入其中。
二、教学目标1.理解椭圆概念，掌握椭圆标准方程，能够运用坐标法解决几何问题。
2.用坐标法推导椭圆标准方程，锻炼发现、概括、认知规律以及解决实际问题的能力。
3.感受椭圆具有的对称美和简洁美，并增强数形结合思想。
4.培养直观想象、数学建模和数学运算等数学学科素养。
三、教学重点椭圆定义和椭圆两种形式标准方程的理解、掌握，能够运用坐标法解决几何问题。
四、教学难点引导学生经历椭圆标准方程推导过程，培养学生的直观想象、数学建模和数学运算等数学学科素养。
五、学情分析高二学生在之前的学习中已经接触过一些圆锥曲线概念，如圆、椭圆等，但他们的抽象思维能力和数形结合意识还不太强，而椭圆的定义与标准方程这部分内容涉及的概念较为抽象，需要学生具备较强的抽象思维能力，而且本章学习重点是数形结合，需要学生建立代数方程与椭圆之间的联系，所以在本节教学中教师一定要注意这一点。
根据教材内容、学生实际情况以及课本要求，本课教学可采用如下策略：1.用问题探索活动引起学生学习兴趣，促使学生主动思考。
2.借助实验探究活动让学生亲身感受椭圆画图过程，帮助学生更好地理解椭圆定义。
3.引导学生动手、动脑推导椭圆标准方程，帮助学生更深刻地理解概念，掌握其标准方程。
4.引导学生回忆圆方程求解步骤，通过知识迁移建立椭圆直角坐标系，通过列式运算推导出椭圆标准方程。
5.对典型求解椭圆标准方程例题进行变式，引导学生采用不同的求解方法和思路，帮助学生掌握这类习题本质。
(公开课) 椭圆的标准方程教学设计
(公开课) 椭圆的标准方程教学设计1. 简介本节公开课将介绍椭圆的标准方程。
椭圆是数学中的重要概念，在几何、物理等领域有着广泛应用。
通过本节课的研究，学生将了解椭圆的基本性质和标准方程的推导过程。
2. 教学目标- 理解椭圆的基本定义和特点；- 掌握椭圆的标准方程的推导方法；- 能够通过已知信息确定椭圆的标准方程。
3. 教学内容3.1 椭圆的基本定义和性质- 介绍椭圆的定义：通过焦点、直线和离心率等概念描述椭圆的形状；- 解释椭圆的离心率与形状之间的关系；- 说明椭圆的几何性质：对称性、焦点和直线的关系等。
3.2 推导椭圆的标准方程- 阐述标准方程的定义和作用；- 介绍推导椭圆标准方程的方法：从焦点、直线的定义出发，逐步推导得出标准方程；- 演示推导过程，注重逻辑性和清晰性。
3.3 确定椭圆的标准方程- 给出一定的几何信息，要求学生确定对应的椭圆标准方程；- 引导学生分析几何信息，运用推导的方法确定椭圆的标准方程；- 练题和实例演练，以巩固学生的掌握程度。
4. 教学方法- 讲授法：通过讲解椭圆的基本定义和性质，教导学生掌握椭圆的核心概念；- 示范法：演示椭圆的标准方程的推导过程，引导学生理解推导的步骤和思路；- 练法：通过练题和实例演练，培养学生独立运用推导方法的能力；- 讨论互动法：积极引导学生参与讨论，分享思路和答案。
5. 教学评估- 检测学生对椭圆定义和性质的理解程度；- 考察学生推导椭圆标准方程的能力；- 评估学生根据已知信息确定椭圆标准方程的独立思考能力。
6. 教学资源- 教材：指定教材相关章节；- 多媒体设备：投影仪、电脑等，用于展示演示和讲解内容；- 练题：提供适量的练题和实例。
7. 教学时间本公开课预计使用45分钟。
8. 教学扩展- 引导学生研究椭圆在几何、物理等实际问题中的应用；- 探索其他椭圆相关内容，如离心率的影响、椭圆方程的图像等。
以上是本节公开课的教学设计，希望通过本课的学习，学生能够对椭圆的标准方程有更深入的理解和掌握。
椭圆的定义及标准方程教案
椭圆的定义及标准方程教案教案标题：椭圆的定义及标准方程教案教学目标：1. 了解椭圆的定义及其特点。
2. 掌握椭圆的标准方程及其相关参数的含义。
3. 能够根据给定的条件写出椭圆的标准方程。
4. 通过练习和实例，培养学生解决椭圆相关问题的能力。
教学准备：1. 教学投影仪或白板。
2. 教材、教辅资料及练习题。
3. 尺子、铅笔等绘图工具。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 利用教学投影仪或白板，展示一张椭圆的图像，引起学生的兴趣。
2. 提问：你们对椭圆有什么了解？请举例说明。
二、椭圆的定义及特点（10分钟）1. 讲解椭圆的定义：椭圆是平面上到两个定点的距离之和等于常数的点的集合。
2. 引导学生思考并回答以下问题：a. 椭圆的特点有哪些？b. 椭圆的两个定点分别叫什么？c. 椭圆上的点到两个定点的距离之和等于什么？三、椭圆的标准方程（15分钟）1. 介绍椭圆的标准方程：((x-h)^2/a^2) + ((y-k)^2/b^2) = 1，其中(h, k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴的长度。
2. 解释标准方程中各参数的含义及作用。
3. 指导学生通过观察标准方程的形式，理解椭圆的形状和位置。
四、练习与实例分析（20分钟）1. 给学生提供一些椭圆的标准方程，要求他们根据方程找出椭圆的中心、半长轴和半短轴的长度，并绘制出对应的图像。
2. 引导学生分析实例，让他们发现椭圆的特点和规律。
3. 给学生一些练习题，巩固他们对椭圆标准方程的理解和运用能力。
五、拓展与应用（10分钟）1. 提出一些应用问题，如：已知一个椭圆的中心和一个焦点，求椭圆的标准方程等，让学生运用所学知识解决问题。
2. 引导学生思考椭圆在现实生活中的应用，如天文学、建筑设计等领域。
六、小结与反思（5分钟）1. 对本节课所学内容进行小结，并强调椭圆的定义及标准方程的重要性。
2. 鼓励学生积极思考和提问，及时解答他们的疑惑。
3. 总结教学过程，思考教学中存在的问题，并提出改进的建议。
椭圆的定义与标准方程教案
激活学生已有的认 知结构，为本课推 导椭圆的标准方程 提供了方法与策略
活动形式：师问生答
(教师作必要的补充、 纠正) 时间安排4-5 分钟
2 自主探究，启发引导
（1）将一条细绳的两端分别固定在平面内的两个定点 F1 , F 2 上,用
课上讲解：讲 授新课阶段
笔尖将细绳拉紧并运动, 在纸上你得到了怎样的图形? （2）如果调整细绳两端点的相对位置,细绳的长度不变,猜想你的椭圆
授课教师：XXX
椭圆的定义与标准方程 教学设计
课题
椭圆的定义与标准方程
教材名称
高中数学选修 2-1 授课对象
高二年级
知识与技能：通过观察、实验、证明等方法的应用，让学生更好的理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程的形式和推导
过程，能根据条件确定椭圆的标准方程。
教
过程与方法：通过对生活中的椭圆和对历史上椭圆的来历以及代数和几何的连结关系引入教学，培养学生的观察能力和
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
根据椭圆的定义推导出椭圆的方程，接下来探讨椭圆的图像，由图像 回顾性质，学会图像和性质的转换结合。
课上练习：知 识应用阶段
探究：焦点在 y 轴上时椭圆的标准方程的推导
x2 y2 1
(1)椭圆
4
的焦点坐标为：
(2)椭圆 x 2 y 2 1 的焦距为 4， 则 m 的值为： 9m
的中点为 y 轴，建立直角坐标系 XOY。设 M（x,y）是椭圆上的任一点， 设椭圆的焦距为 2c,点 M 与两焦点的距离之和为常数 2a。
椭圆的两焦点坐标分别为 F（-c,0）和（c,0）,故由椭圆的定义得出
活动形式：点拨----板 演---点评 时间安排：10-15 分钟
|M F1 |+|M F 2 |=2a
2.1.1《椭圆定义及其标准方程》教案
《椭圆定义及其标准方程》教学案例一、背景介绍解读大纲，结合新一轮课程改革的精神，我们不难发现数学教学“不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探索，动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式，使学生的学习过程成为教师引导下的‘再创造’过程，要设立‘数学探索’教学建模等学习活动，让学生体验数学发现和创造的历程。
”二、教学过程1、创设情景，引出课题——椭圆定义及其标准方程。
教师：我们以前学习过圆，请同学们回忆一下圆的定义。
学生1：平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹。
教师：我们是怎么画圆的呢？（课前要求学生每人准备一块硬纸板，两颗图钉及一根定长绳子）谁上黑板来演示呢？学生2：（上黑板来演示）教师：“圆是动点P到定点O的距离为常数的点的轨迹”说成“圆是动点P到定点O的来回距离之和为常数的点的轨迹”，行吗？学生：（齐声地）行。
教师：现在把这根绳子的两端分别系在两颗图钉上，并分开固定在两个点F1、F2上，并保持拉紧状态移动铅笔，请你们再画一画会是什么样的曲线？学生：（动手画椭圆）教师：（演示几位学生所画的椭圆）我们看到这个曲线的形状正是一个压扁了的圆，我们称为椭圆。
（黑板上写出课题：椭圆定义及其标准方程）大家看，椭圆是一个很美的图形，生活中你在哪里见过椭圆的这种曲线，能否举例呢？学生：地球运动轨迹，……等等。
2、通过实验，自主探究，椭圆的定义以及椭圆的扁圆与焦距定线段长之间的关系。
教师：刚才大家对椭圆有了形象上的认识，我们不仅作出了椭圆这个曲线，而且还在生活实践中找到它的应用，下面我们能否给出它的定义呢？学生3：椭圆是平面上到两个定点的距离之和为常数的点的轨迹。
（教师在黑板上写出学生总结的椭圆定义）教师：很好。
（教师拿起两个学生所画的椭圆展示）同学们画椭圆时，线段是一样长的，为什么我们所画出的椭圆不一样，有扁有圆呢？学生4：这与两定点F1、F2的位置有关。
教师：很好。
我们改变一下F1、F2的位置，大家画一画椭圆，看一看到底有何关系？学生5：F1、F2位置越近椭圆愈圆，F1、F2位置越远椭圆愈扁。
椭圆及其标准方程讲课教案
椭圆及其标准方程讲课教案一、教学目标1. 让学生理解椭圆的定义及其性质。
2. 让学生掌握椭圆的标准方程及其求法。
3. 培养学生运用椭圆知识解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 椭圆的定义：椭圆是平面上到两个定点（焦点）距离之和为定值的点的轨迹。
2. 椭圆的性质：a. 椭圆的两个焦点位于横轴上，且距离为2c。
b. 椭圆的长轴长度为2a，短轴长度为2b。
c. 椭圆的离心率e等于c/a。
d. 椭圆的面积S等于πab。
3. 椭圆的标准方程：a. 当椭圆的焦点在x轴上时，标准方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1。
b. 当椭圆的焦点在y轴上时，标准方程为y^2/a^2 + x^2/b^2 = 1。
三、教学重点与难点1. 教学重点：椭圆的定义、性质及标准方程。
2. 教学难点：椭圆标准方程的求法及应用。
四、教学方法1. 采用讲解法，引导学生理解椭圆的定义及其性质。
2. 采用演示法，让学生通过实际操作，掌握椭圆的标准方程。
3. 采用练习法，培养学生的实际应用能力。
五、教学过程1. 导入：通过复习圆的定义及其性质，引出椭圆的概念。
2. 讲解椭圆的定义及其性质，引导学生理解并掌握。
3. 讲解椭圆的标准方程及其求法，让学生通过实际操作，掌握椭圆的标准方程。
4. 布置练习题，让学生运用椭圆知识解决实际问题。
六、教学练习（1）已知椭圆的离心率e=1/2，长轴长度为4，求椭圆的短轴长度。
（2）已知椭圆的长轴长度为6，短轴长度为4，求椭圆的离心率。
（3）已知椭圆的标准方程为x^2/9 + y^2/4 = 1，求椭圆的焦点坐标。
2. 请学生运用椭圆知识解决实际问题：（1）假设地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，请根据万有引力定律，推导出地球表面的重力加速度与地球半径的关系。
（2）假设卫星绕地球运行的椭圆轨道长轴长度为2a，短轴长度为2b，请根据卫星所受的向心力等于万有引力，推导出卫星轨道的离心率与轨道长轴和短轴的关系。
高中数学椭圆的定义与标准方程教案
椭圆的定义与标准方程教案一、教学目标学习椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程；能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握用待定系数法求椭圆的标准方程.二、教学重点、难点（1）教学重点：椭圆的定义及椭圆标准方程，用待定系数法和定义法求曲线方程.（2）教学难点：椭圆标准方程的建立和推导.三、教学方法: 引导发现法、探索讨论法四、教学内容:（一）设置情景，引出课题问题：2008年9月28日上午9时，“神州七号”载人飞船顺利升空，实现多人航天天飞行，标志着我国航天事业又上了一个新台阶，请问：“神州七号”飞船的运行轨道是什么？多媒体展示“神州六七号”运行轨道图片和视频．请学生列举生活中椭圆的例子.（二）实验探索,建构新知1．玻璃杯装半杯水,适度倾斜,观察水面是个什么形状?2. 手工操作演示椭圆的形成：取一条定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的21,F F 两点，当绳长大于两点间的距离时，用铅笔把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆 分析：（1）轨迹上的点是怎么来的？（2）在这个运动过程中，什么是不变的？答：两个定点，绳长。
即不论运动到何处，绳长不变（即轨迹上的点与两个定点距离之和不变）（三）小组讨论,定义形成平面内与两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距．椭圆定义的再认识：问题：假设与两定点的距离之和为d,为什么要满足d>2c 呢？（1）当d=2c 时，轨迹是什么？（2）当d<2c 时，轨迹又是什么？ 结论：（1）、当d>|F 1F 2|时，是椭圆；（2）、当d=|F 1F 2|时，是线段；（3）、当d<|F 1F 2|轨迹不存在.（四）方程推导,学会建系取过焦点21,F F 的直线为x 轴，线段21F F 的垂直平分线为y 轴。
设),(y x P 为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是c 2（0>c ）.则)0,(),0,(21c F c F -，又设M 与21,F F 距离之和等于a 2(c a 22>)（常数） {}a PF PF P P 221=+=∴221)(y c x PF ++= 又， a y c x y c x 2)()(2222=+-+++∴，化简，得 )()(22222222c a a y a x c a -=+-，由定义c a 22>,022>-∴c a令222b c a =-∴代入，得 222222b a y a x b =+，两边同除22b a 得 12222=+b y a x 此即为椭圆的标准方程。
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2.1.1椭圆与标准方程（第一课时）
城关中学黄振东
一、教材分析
圆锥曲线是高中数学中十分重要的内容，它的许多几何性质在日常生活、生产和科学技术中都有着广泛的应用。
本节是《圆锥曲线与方程》的第一节课，主要学习椭圆的定义和标准方程。
它是本章也是整个解析几何部分的重要基础知识。
第一，在教材结构上，本节内容起到一个承上启下的重要作用。
前面学生用坐标法研究了直线和圆，而对椭圆概念与方程的研究是坐标法的深入，也适用于对双曲线和抛物线的学习，更是解决圆锥曲线问题的一种有效方法。
第二，对椭圆定义与方程的研究，将曲线与方程对应起来，体现了函数与方程、数与形结合的重要思想。
而这种思想，将贯穿于整个高中阶段的数学学习。
第三，对椭圆定义与方程的探究过程，使学生经历了观察、猜测、实验、推理、交流、反思等理性思维过程，培养了学生的思维方式，加强了运算能力，提高了他们提出问题、分析问题、解决问题的能力，为后续知识的学习奠定了基础。
二、学生情况分析
1.在学习本节内容以前，学生已经学习了直线和圆的方程，初步了解了用坐标法求曲线的方程及其基本步骤，经历了动手实验、观察分析、归纳概括、建立模型的基本过程，这为进一步学习椭圆及其标准方程奠定了基础。
2.在本节课的学习过程中，椭圆定义的归纳概括、方程的推导化简对学生是一个考验，可能会有一部分学生探究学习受阻，教师要适时加以点拨指导。
三、教学目标
1.通过观察、实验、证明等方法的运用，让学生更好的理解椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式，会根据条件求椭圆的标准方程。
2.通过对椭圆的认识及其方程的推导，培养学生的分析、探究、抽象、概括等逻辑思维能力，加强用坐标法解决圆锥曲线问题的能力。
3.鼓励学生大胆猜想、论证，激发学生的学习热情，使他们获得成功的体验。
四、教学重点和难点
1.重点：感受建立曲线方程的基本过程，掌握椭圆的标准方程及其推导方法。
2.难点：椭圆标准方程的推导。
五、教法与学法
1．教法
为了使学生更主动地参加到课堂教学中，体现以学生为主体的探究性学习和因材施教的原则，故采用自主探究法。
按照“创设情境——自主探究——建立模型——拓展应用”的模式来组织教学。
2．学法
在教学过程中，要充分调动学生的积极性和主动性，为学生提供自主学习的时间和空间。
让他们经历椭圆图形的形成过程、定义的归纳概括过程、方程的推导化简过程，主动地获取知识。
3．教学准备
(1)学生准备：一支铅笔、两个图钉、一根细绳、一张硬纸板。
(2)教师准备：用PPT制作的课件。
六、教学过程设计
（一）创设情境，复习引入
由嫦娥二号绕月飞行的运动轨迹及现实生活中的多幅椭圆的图片引入。
（嫦娥二号绕月飞行、行星运行、国家大剧院、鸟巢、亚运场馆沙特馆、油罐车等）
（二）动手实验，归纳概念
问：自然界处处存在着椭圆,我们如何用自己的双手画出椭圆呢?
引导：先回忆如何画圆
（学生利用手中的细线画圆，教师再用几何画板画圆）
画圆容易那如果要画椭圆该怎么画呢？（先介绍课前数学实验中的方法用几何画板作椭圆）
让学生回忆起要画一个圆只要一定点和一定长就可以。
现在若把一点变成两点，到定点的距离等于定长变成到两定点的距离之和等于定长。
再把笔紧贴细线画图，得到的图形是什么呢？
（学生利用手中细线配合同桌共同完成，得到椭圆。
我将在黑板上用借助多媒体生动、直观的演示，使学生明确学习椭圆的重要性和必要性。
同时，激发他们探求实际问题的兴趣，使他们主动、积极地参与到教学中来，为后面的学习做好准备。
同一方法作图，并利用几何画板演示）
提出问题：“在画图的过程中，哪些量发生了变化，哪些量没有变？”
让学生根据自己的实验，观察回答：“两定点间的距离没变，绳子的长度没变，点在运动。
”
再问：“你们能根据刚才画椭圆的过程，类比圆的定义，归纳概括出椭圆的定义吗？”
（多媒体给出圆的定义）
先让学生独立思考一分钟，然后同桌交流，再进行全班交流，逐步完善，概括出椭圆的定义。
椭圆的定义: 平面上到两个定点F1, F2的距离之和为固定值(大于|F1F2|)的点的轨迹叫作椭圆.
引导学生对定义中的关键词进行分析理解
注意:椭圆定义中容易遗漏的三处地方：
（1）必须在平面内;
（2）两个定点---两点间距离确定;
（3）绳长---轨迹上任意点到两定点距离和确定
问：“为何‘固定值’要大于两定点间的距离呢？等于、小于又如何呢？”
（学生动手验证并发表自己意见，我再用课件演示）
总结：当大于时椭圆
当等于时线段
当小于时不存在
（三）启发引导，推导方程
问：怎么推导椭圆的标准方程呢？
先回顾圆方程推导的步骤，给出求动点轨迹方程的一般步骤：
1、建立适当的坐标系，用有序实数对（x,y）表示曲线上任意一点M 的坐标;
2、写出适合条件 P（M） ;
3、用坐标表示条件P（M），列出方程 ;
4、化方程为最简形式。
♦探讨建立平面直角坐标系的方案
启发学生类比求圆的方程的建系方法，建立适当的直角坐标系。
探讨几种建系方案。
最后采用以下两种方案
方案一：以两定点的连线为X轴，其垂直平分线为Y轴；
方案二：以两定点的连线为Y轴，其垂直平分线为X轴。
(原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单)
(一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴.) 体现“对称美”“简洁美”的特点
♦写出动点P满足的条件
设P (x, y)是椭圆上任意一点，
椭圆的焦距|F
1F
2
|=2c(c>0)，
以活动为载体，
让学生在“做”
中学数学，通过画
椭圆，经历知识的
形成过程，积累感
性经验。
则F 1、F 2的坐标分别是( c,0)、(c,0) . P 与F 1和F 2的距离的和为固定值2a(2a>2c)
启发学生根据椭圆的定义，写出动点P 满足的条件，即：
a PF PF 2||||21=+
由于2
22221)(||,)(||y c x PF y c x PF +-=++= 得到
a y c x y c x 2)()(2222=+-+++ 问：下面怎样化简？ 一般来说：
①方程中只有一个二次根式时，需将它单独留在方程的一边，把其它各项移到另一边，平方一次；
②方程中有两个二次根式时，需将它们分散，放在方程的两边，使其中一边只有一个根式，平方两次。
待大多数学生都有了结果：
之后，指出：这个方程还不够简洁对称，让学生观察图形： 问：“你们能从图中找出表示a 、c 、
的线段吗？”
通过观察，学生容易得出结论，并理解了换元的合理性。
这样不仅使方程具有了对称性，而且使字母b 也有了明确的几何意义。
从而将方程简化为：
（a>b>0) 我们称它为椭圆的标准方程。
问：刚才我们得到了焦点在x 轴上的椭圆方程，如何推导焦点在y 轴上的椭圆的标准方程呢？
启发：“除了用刚才的方法推导一遍处，还有别的方法吗？”
学生经过观察思考会发现，只要交换坐标轴就可以了，从而得到了焦点在Y 轴上的椭圆的标准方程：
(a>b>0)
♦总结椭圆的标准方程的特点
（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1 （2）椭圆的标准方程中三个参数a 、b 、c 满足a2=b2+c2。
（3）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a 、b 、c 的值。
（4）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪一个
带根式的方程的化简，学生会感到困难,这也是教学的一个难点。
教学时，要注意说明这类方程的化简方法。
在师生互动
的过程中，
让学生体会数学的
严谨，使他们的观察能力、运算能力、推理能力
得到训练，渗透
数形结合的数学思想。
并感受椭圆方程、图形的对称美，获得成功的喜悦！。