傅里叶级数(详细讲解)
傅里叶级数通俗解析
=
=
=0 (n,m=1,2,3,…,n ) 当 n=m 时
=
= 最后证明两个是不同名的三角函数的情况
设
，
,把
代入(1)得
=
=
=0
(n,m 为任意整数)
因为两个三角函数相乘只有以上三种情况：两个皆为余弦函数相乘；两个
皆为正弦函数相乘；一个为正弦函数，另一个为余弦函数相乘；三种情况皆满
足正交函数集的定义，所以三角函数集为正交函数集。至于三角函数集的完备
息就喷涌而出。根据所叠加的不同三角函数的 不同，我们可以以 为 x 轴，作
频率谱线，研究一个信号所叠加的不同频率。根据所叠加的不同三角函数的 不
同，我们还可以以 为 x 轴，作相位谱线，研究一个信号中的不同相位角。
7
本人才疏学浅，在学习和理解的时候借助了网络的一些图片以及文集，得 到了启发。我摘抄了网上的一张图片，希望能形象的阐明傅里叶级数在物理中 的意义。
傅里叶级数通俗解析
-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
傅里叶级数
本文意在阐述傅里叶级数是什么，如何通过数学推导得出，以及傅里叶级 数代表的物理含义。
1.完备正交函数集
要讨论傅里叶级数首先得讨论正交函数集。如果 n 个函数
,… 构成一个函数集，若这些函数在区间
上满足
如果是复数集，那么正交条件是
杨煜基 2016 年 3 月
8
用
化简合并得到
(8) 对于(8)式。其中的参数有
和
另
(8)式可化成
(9) 6
(9)式就是傅里叶级数的复指数形式。 现在求 ，将上式两边同乘 ，并在一个周期内求积分得：
当 m=n 时
傅里叶级数和函数公式
傅里叶级数和函数公式
傅里叶级数的研究为我们提供了很多关于现代数学的宝贵资源。
它使数学家们可以利用加法、乘法和函数来表达复杂的数学模型。
这篇文章将介绍傅里叶级数和函数公式，包括傅里叶级数的定义，它的特征，以及函数公式。
**傅里叶级数的定义**
傅里叶级数（Fourier series）是一种代表周期性函数的函数和级数。
它可以描述周期性函数的形状和行为，并用简单的正弦和余弦级数来表示它，它的级数形式为：
a_0 + (a_1*sin(x) + b_1*cos(x)) + (a_2*sin(2x) +
b_2*cos(2x)) + ... + (a_n*sin(nx) + b_n*cos(nx))。
其中a_0表示直流分量，a_n和b_n表示振幅和相位移动，n表示频率。
**傅里叶级数的特征**
傅里叶级数具有三个重要的特点：
1.以用来表示任意周期性函数，并且只需要使用一组正弦和余弦函数。
2.度会随着频率的增加而减小，因此低频信号的振幅比高频信号的振幅大得多。
3.个频率成分都有其独特的相位移动。
**函数公式**
函数公式是傅里叶级数的一种更为一般的表示法。
它用函数公式
来表示傅里叶级数，公式为：
A(t) =(a_n*cos(n*ω*t +_n))
其中A(t)表示时域函数，a_n表示振幅，ω表示角频率，t表示时间，θ_n表示相位移动。
**结论**
傅里叶级数和函数公式是一种用来表示周期性函数的数学工具，它们可以有效地表示周期性函数的形状和行为。
傅里叶级数的研究为我们提供了大量的宝贵知识，使得数学家们能够更好地分析和理解复杂的数学模型。
十五章傅里叶级数
2
2
2
当只给出一种周期旳体现式时，傅里叶级数在两端点旳值
可用 上述公式求之.
例1：设
x, f (x) 0,
0 x x 0
求f
旳傅里叶级数展开式.
解： 函数f 及其周期延拓后的图象如图所示，
y
3 2 O 2 3 4
x
显然 f 是按段光滑旳,故由收敛定理，它能够展开成傅里叶级数。
因为
第十五章 傅里叶级数
§15.1 傅里叶级数
一、 三角级数 • 正交函数系
二、以 2 为周期旳函数旳傅里叶级数
三、收敛定理
§15.1 傅里叶级数
一、三角函数 正交函数系
在科学试验与工程技术旳某些现象中，常会遇到一种周期运动，最简
单旳周期运动，可用正弦函数 A sin(x ) 来描写。
所体现旳周期运动也称为简谐运动，其中 A 为振幅， 为初相角，
f (x) cos kxdx
a0 cos kxdx 2
(an cos nx cos kx bn sin nx cos kx)dx n1
cos2 kxdx
f (x) cos kxdx ak
ak
1
f (x) cos kxdx
(k 1, 2, )
同理可得:
bk
1
f (x) sin kxdx
f 的傅里叶级数收敛于f 在点x的左，右极限的算术平均值，即
f
(x
0) 2
f
(x 0)
a0 2
(an
n1
cos nx bn
sin nx)
其中an ,bn为f的傅里叶系数。
推论：
若f 是以2为周期的连续函数，且在[， ]上按段光滑，则 f 的
傅里叶级数通俗解析
傅里叶级数本文意在阐述傅里叶级数是什么，如何通过数学推导得出，以及傅里叶级数代表的物理含义。
1.完备正交函数集要讨论傅里叶级数首先得讨论正交函数集。
如果n个函数,…构成一个函数集，若这些函数在区间上满足如果是复数集，那么正交条件是为函数的共轭复函数。
有这个定义，我们可以证明出一些函数集是完备正交函数集。
比如三角函数集和复指数函数集在一个周期内是完备正交函数集。
先证明三角函数集：设，,把代入(1)得当n时===0 (n,m=1,2,3,…,n)当n=m时==再证两个都是正弦的情况设，,把代入(1)得当n时===0 (n,m=1,2,3,…,n)当n=m时==最后证明两个是不同名的三角函数的情况设，,把代入(1)得===0 (n,m为任意整数)因为两个三角函数相乘只有以上三种情况：两个皆为余弦函数相乘；两个皆为正弦函数相乘；一个为正弦函数，另一个为余弦函数相乘；三种情况皆满足正交函数集的定义，所以三角函数集为正交函数集。
至于三角函数集的完备性可以从n，m的取值为任意整数可以得出，三角函数集是完备正交函数集。
证毕。
由于三角函数集是完备正交函数集，而根据欧拉公式，我们容易联想到复指数函数集是否也是完备正交函数集呢。
接着是复指数函数集的证明设，,则把代入(2)得当n时，根据欧拉公式==0 (n,m=1,2,3,…,n)当n=m时，=1 (n,m=1,2,3,…,n)所以，复指数函数集也是正交函数集。
因为n，m的取值范围是所有整数，所以复指数函数集是完备的正交函数集。
明明是讨论傅里叶级数，为什么第一部分在阐述完备正交函数集呢。
因为，在自然界中，没有规则的信号，比如说找一个正弦信号，是完全不可能找到的。
有的是一堆杂乱的信号，无规律的波形。
我们要研究它，基本的思想是把它拆分，分解成一个一个有规律的可研究的波形，这些波形能用数学表达式准确表达出来。
把一个复杂的信号分解的过程，可以理解成用已知的可以准确表达的函数表示他，比如一个复杂的信号把它分解，就是其中，…是我们所熟悉的函数，比如二次函数，一次函数，三角函数，指数函数等等。
高等数学-第七版-课件-12-7 傅里叶级数
在 例3 将函数
上的傅里叶展开式
u
展开成傅里叶级数, 其中E 是正的常数 . O t
傅里叶级数
一、三角级数 二、函数展开成傅里叶级数
三、正弦级数和余弦级数
傅里叶级数
一、三角级数 二、函数展开成傅里叶级数
三、正弦级数和余弦级数
周期为2 的奇、偶函数的傅里叶级数 对周期为 2 的奇函数 f (x) , 其傅里叶系数为
a0 f ( x) an cos nx bn sin nx 2 n 1
①
② 定义 由公式 ② 确定的 称为函数f(x)
的傅里叶系数 ; 以f (x)的傅里叶系数为系数的三角级数 a0 an cos nx bn sin nx 称为f(x)的傅里叶级数 . 2 n 1
x
分别展开成正弦级数和余弦级数.
将定义在[0,]上的函数展开成正弦级数与余弦级数 展开思路 在
奇延拓 (偶延拓) 傅里叶展开 在
上有定义 上, 上为奇函数(偶函数)
定义在 在
(0, π] 上 F ( x ) f ( x ) 的正弦级数 (余弦函数) 展开式
y
例6 将函数
O 分别展开成正弦级数和余弦级数.
2) 在一个周期内至多只有有限个极值点, 则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 并且 当x 为f (x)的连续点时,级数收敛于 f ( x );
当x 为f (x)的间断点时,级数收敛于
1 [ f ( x ) f ( x )]. 2
例1 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在 上的表达式为
引言
简单的周期运动 ( A：振幅 ：角频率
？
复杂的周期运动
：初相 )
傅里叶级数课件分解
与
在
上可积, 且
则称
与
在பைடு நூலகம்
上是正交的, 或在
上具有正
交性. 由此三角函数系(4)在
上具有正交性.
或者说(5)是正交函数系.
现应用三角函数系(5)的正交性来讨论三角级数(4)
的和函数 f 与级数(4)的系数
之间的关系.
定理12.2 若在[-π,π]上
且等式右边级数一致收敛, 则有如下关系式:
光滑弧段所组成,它至
收敛定理指出, f 的傅里叶级数在点 x 处收敛于 在
该点的左、右极限的算术平均值
而当 f 在点 x 连续时,则有
即此时f的傅里叶级数收敛于
. 这样便有
上按段光滑, 则 f 的傅里叶级数在
上收敛
于 f .
推论 若 f 是以 为周期的连续函数, 且在
上每一点都存在
, 如果在不连续
点补充定义
, 或
, 则
还有
(iii) 在补充定义
在
上那些至多有限个不存在
导数的点上的值后 ( 仍记为
),
在[a, b]上可积.
从几何图形上讲, 在
区间[a, b]上按段光滑
光滑函数,是由有限个
多有有限个第一类间
断点 (图15-1).
时,
于是当
当 时, 级数收敛到 0( 实际上级数每一项都为 0 ).
为进一步研究三角级数(4)的收敛性, 先讨论三角函
数系 (5) 的特性. 首先容易看出三角级数系(5)中所
定理 12.1 若级数
其次, 在三角函数系(5)中, 任何两个不相同的函数
卷积的傅里叶级数
卷积的傅里叶级数卷积是信号处理领域中一个重要的概念，它在频域中的表示方式即为傅里叶级数。
本文将详细探讨卷积的傅里叶级数表示方法，并分析其在信号处理中的应用。
一、傅里叶级数的基本概念傅里叶级数是一种用正弦和余弦函数表示周期信号的方法。
对于周期为T的函数f(t)，其傅里叶级数表示为：f(t) = ∑(n=-∞)^(∞) c_n * exp(j*2πn*t/T)其中，c_n为傅里叶系数，表示信号在频域中的振幅。
傅里叶级数的系数计算可以使用积分或离散采样方法。
二、卷积与傅里叶级数的关系对于两个周期函数f(t)和g(t)，它们的卷积表示为：(f * g)(t) = ∫(0)^(T) f(τ) * g(t-τ) dτ卷积操作可以看作是两个信号在时域上的叠加与乘积运算。
根据卷积的性质，可以得出卷积定理：两个函数的傅里叶级数的卷积等于它们的傅里叶级数的乘积。
即，若f(t)和g(t)的傅里叶级数分别为：f(t) = ∑(n=-∞)^(∞) a_n * exp(j*2πn*t/T)g(t) = ∑(n=-∞)^(∞) b_n * exp(j*2πn*t/T)则它们的卷积(f * g)(t)的傅里叶级数为：(f * g)(t) = ∑(n=-∞)^(∞) a_n * b_n * exp(j*2πn*t/T)三、卷积的傅里叶级数的应用卷积的傅里叶级数具有良好的数学性质和广泛的应用。
以下是其中几个典型的应用领域。
1. 信号滤波卷积可以用来实现信号滤波，通过将待滤波的信号与滤波器的冲激响应进行卷积运算，可以实现对信号频率的选择性抑制或增强。
傅里叶级数的卷积表示方法为滤波算法提供了理论基础。
2. 图像处理在图像处理中，卷积常用于实现模糊、锐化、边缘检测等操作。
通过将图像与相应的卷积核进行卷积运算，可以改变图像的特征和质量。
傅里叶级数的卷积性质为图像处理算法提供了便利。
3. 信号分析卷积的傅里叶级数可以用来分析信号的频谱特性。
傅里叶级数
2) 在一个周期内只有有限个极值点,
则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有
x 为间断点
其中
( 证明略 )
为 f (x) 的傅里叶系数 .
x 为连续点
注意: 函数展成傅里叶级数的条件比展成幂级数的条件低得多.
例1. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 ,
它在
上的表达式为
解: 先求傅里叶系数
将 f (x) 展成傅里叶级数.
1) 根据收敛定理可知,
时,级数收敛于
2) 傅氏级数的部分和逼近
说明:
f (x) 的情况见右图.
例2. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 ,
上的表达式为
将 f (x) 展成傅里叶级数.
解:
它在
说明: 当
为便于计算, 将周期取为2
2. 定义在[0,]上的函数展成正弦级数与余弦级数
周期延拓 F (x)
f (x) 在 [0, ] 上展成
周期延拓 F (x)
余弦级数
奇延拓
偶延拓
正弦级数
f (x) 在 [0, ]上展成
例6. 将函数
分别展成正弦级
数与余弦级数 .
解: 先求正弦级数.
去掉端点, 将 f (x) 作奇周期延拓,
奇函数
正弦级数
偶函数
余弦级数
3. 在 [ 0, ] 上函数的傅里叶展开法
作奇周期延拓 ,
展开为正弦级数
作偶周期延拓 ,
展开为余弦级数
1. 在 [ 0 , ] 上的函数的傅里叶展开法唯一吗 ?
答: 不唯一 , 延拓方式不同级数就不同 .
思考与练习
傅里叶级数与傅里叶变换的原理与应用
傅里叶级数与傅里叶变换的原理与应用傅里叶级数和傅里叶变换是数学中重要的分析工具，广泛应用于信号处理、图像处理、通信系统等领域。
本文将介绍傅里叶级数和傅里叶变换的原理，以及它们在实际应用中的一些例子。
一、傅里叶级数的原理与应用傅里叶级数是将一个周期函数分解成一系列基本频率的正弦和余弦函数的和，它的原理可以用以下数学公式表示：其中，f(t)表示周期函数，ω为基本频率，A_n和B_n分别为正弦和余弦函数的系数。
傅里叶级数的应用非常广泛，例如在电力系统中，我们需要分析电压和电流的波形，使用傅里叶级数可以将复杂的波形分解成一系列基本频率的波形，从而更好地分析、计算电力传输和能效。
二、傅里叶变换的原理与应用傅里叶变换是将一个信号从时域转换到频域的数学工具，它的原理可以用以下数学公式表示：其中，F(ω)表示原信号在频域上的变换结果，f(t)表示原信号在时域上的函数，e^(-iωt)为指数函数。
傅里叶变换在信号处理中经常用于频谱分析和滤波器设计。
例如在音频处理中，我们常常需要对音频信号进行频率分析，使用傅里叶变换可以将音频信号从时域转换为频域，得到音频的频谱图，从而帮助我们理解音乐的频率成分和谐波等特性。
三、傅里叶级数和傅里叶变换的关系傅里叶级数和傅里叶变换在数学上有密切的联系。
事实上，傅里叶级数是傅里叶变换在周期函数上的特殊应用。
傅里叶变换将非周期函数转换为连续频谱，而傅里叶级数则是将周期函数转换为离散频谱。
两者可以通过极限的方式进行转换。
在实际应用中，我们可以根据具体的问题选择合适的方法，使用傅里叶级数或傅里叶变换来分析信号。
四、傅里叶级数和傅里叶变换的实际应用举例1. 通信系统：在数字通信系统中，信号经过调制、解调等过程，需要将信号从时域转换到频域进行处理。
傅里叶变换被广泛应用于调制技术、频谱分析和信号压缩等方面。
2. 图像处理：傅里叶变换可以对图像进行频域分析，帮助我们理解图像的特征和纹理。
在图像压缩和图像增强等领域，傅里叶变换也发挥了重要作用。
傅里叶级数介绍
傅⾥叶级数介绍傅⾥叶变换能将满⾜⼀定条件的某个函数表⽰成三⾓函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。
在不同的研究领域，傅⾥叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅⾥叶变换和离散傅⾥叶变换。
最初傅⾥叶分析是作为热过程的解析分析的⼯具被提出的。
要理解傅⽴叶变换，确实需要⼀定的耐⼼，别⼀下⼦想着傅⽴叶变换是怎么变换的，当然，也需要⼀定的⾼等数学基础，最基本的是级数变换，其中傅⽴叶级数变换是傅⽴叶变换的基础公式。
变换提出让我们先看看为什么会有傅⽴叶变换？傅⽴叶是⼀位法国数学家和物理学家的名字，英语原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier对热传递很感兴趣，于1807年在法国科学学会上发表了⼀篇论⽂，运⽤正弦曲线来描述温度分布，论⽂⾥有个在当时具有争议性的决断：任何连续周期信号可以由⼀组适当的正弦曲线组合⽽成。
当时审查这个论⽂的⼈，其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗⽇(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)，当拉普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论⽂时，拉格朗⽇坚决反对，在近50年的时间⾥，拉格朗⽇坚持认为傅⽴叶的⽅法⽆法表⽰带有棱⾓的信号，如在⽅波中出现⾮连续变化斜率。
法国科学学会屈服于拉格朗⽇的威望，拒绝了傅⽴叶的⼯作，幸运的是，傅⽴叶还有其它事情可忙，他参加了政治运动，随拿破仑远征埃及，法国⼤⾰命后因会被推上断头台⽽⼀直在逃避。
直到拉格朗⽇死后15年这个论⽂才被发表出来。
谁是对的呢？拉格朗⽇是对的：正弦曲线⽆法组合成⼀个带有棱⾓的信号。
但是，我们可以⽤正弦曲线来⾮常逼近地表⽰它，逼近到两种表⽰⽅法不存在能量差别，基于此，傅⽴叶是对的。
为什么我们要⽤正弦曲线来代替原来的曲线呢？如我们也还可以⽤⽅波或三⾓波来代替呀，分解信号的⽅法是⽆穷的，但分解信号的⽬的是为了更加简单地处理原来的信号。
如何理解傅里叶级数
如何理解傅里叶级数傅里叶级数是一种非常重要的数学工具，用于分析周期性信号。
它的概念由法国数学家傅里叶在18世纪末提出，经过两个世纪的发展和完善，已经成为了现代物理学、工程学、计算机科学等领域中不可或缺的数学方法之一。
傅里叶级数的核心思想是将一个周期性函数表示为一系列正弦和余弦函数的线性组合。
具体来说，对于一个周期为T的函数f(t)，可以将其表示为以下形式的级数：f(t) = a0 + Σ(an cos(nωt) + bn sin(nωt))其中，a0、an和bn是常数，ω是角频率，n是正整数。
这个级数中的每一项都是一个正弦或余弦函数，而这些函数的频率是ω/n。
傅里叶级数告诉我们，一个周期性函数可以由不同频率的正弦和余弦函数组成，而这些函数在一起又可以还原成原始函数。
为了求解傅里叶级数的系数a0、an和bn，我们可以利用傅里叶级数的正交性质。
具体来说，正弦和余弦函数在一个周期上的积分等于0，除非它们具有相同的频率。
这意味着，我们可以通过对原始函数进行积分和乘法操作，与正弦和余弦函数相乘后再在一个周期上积分，来计算出傅里叶级数的系数。
傅里叶级数在物理学中有着广泛的应用。
例如，在声音分析中，我们可以将一个复杂的声音信号分解成多个不同频率的正弦波，从而得到声音的频谱信息。
在图像处理中，傅里叶级数可以将一个图像分解成不同频率的正弦和余弦模式，从而实现图像的压缩和特征提取。
在通信领域，傅里叶级数可以用来分析和合成信号，帮助我们设计和优化通信系统。
除了傅里叶级数，还有傅里叶变换和傅里叶级数的离散形式——离散傅里叶级数和离散傅里叶变换。
傅里叶变换将一个非周期性的函数表示为频域上的连续谱，而离散傅里叶级数和离散傅里叶变换则适用于离散信号的频谱分析。
总结一下，傅里叶级数是一种将周期性函数表示为正弦和余弦函数的线性组合的数学工具。
它的应用广泛，可以用于信号处理、图像处理、通信系统等领域。
通过傅里叶级数，我们可以将复杂的信号分解成简单的频率成分，从而更好地理解和处理这些信号。
傅里叶级数
• (0, ) 内的傅里叶级数展开式
• （2）偶延拓f(x) 成F(x),将F(x)展开成余弦级
数。由于在 (0, ) 内f(x) F(x), 故得f(x)在
• (0, ) 内的傅里叶级数展开式。
• 对于区间端点 x 0, x , 可根据收敛定理 判定其收敛情况.
f
(x)
a0 2
an cos nx
n 1
•
且
an
2
0
f (x) cosnxdx(n 0,1,2,)
• 4 收敛定理（狄利克雷(Dirichlet)充分条件）
• 设以2 为周期的函数f(x)在 [ , ] 上满足条
件： • （1）仅有有限个第一类间断点，其余均为连
续点； • （2）至多只有有限个极值点； • 则f(x)的傅里叶级数收敛，且 • （1）当x是f(x)的连续点时，级数收敛于f(x)； • （2）当x是f(x)的间断点时，级数收敛于
• ( , ) 内有f(x) F(x),这样便得到f(x)的傅里
叶级数展开式。
• 根据收敛定理，在端点 x 处，级数收敛
于
1 [ f ( 0) f ( 0)]
2
• 2 若f(x)只在 [0, ] 上有定义，且满足收敛 定理的条件，也可以将之展开成傅氏级数
• 通常的延拓方法：
• （1）奇延拓f(x)成F(x),将F(x)展开成正弦级
• 一Байду номын сангаас地，将周期函数f(x)展开成傅里叶级 数，在电工学上叫做谐波分析。其中
• 直流分量：a0
2
• n次谐波：ancosnx+bnsinnx(n 1) • 一次谐波（又叫基波）：a1cosx+b1sinx
傅里叶级数课程及知识题讲解
第 15 章 傅里叶级数§15.1 傅里叶级数一 基本内容一、傅里叶级数f (x)a n x n在幂级数讨论中 n 1 ，可视为 f (x)经函数系 1, x, x 2 , L , x n , L线性表出而得．不妨称{1,x,x ,L ,x ,L } 为基，则不同的基就有不同的级数．今用三角函数 系作为基，就得到傅里叶级数．1 三角函数系函数列 1, cosx, sinx, cos2x, sin 2x, L , cosnx, sin nx, L称为三角函数系． 其有下 面两个重要性质． (1) 周期性 每一个函数都是以 2 为周期的周期函数；(2) 正交性 任意两个不同函数的积在 [ , ]上的积分等于 零，任意一个函数的平方在上的积分不等于零．对于一个在 [ u n (x),u m (x) 为 , ] 可积的函数系 u n (x): x [a, b], n 1,2,L ，定义两个函数的内积 b u n (x) u m ( x)d x ，u n (x),u m (x) 如果 mn m n ，则称函数系 u n (x): x [a, b], n 1,2,L 为正交系． 由于 1, sinnx sin nxd x m sin mx,sinnx sinmx 0 m cosnxdx m cosmx, cosnx cosmx 0 m sin mx,cosnx sinmx cosnxdx 0 ；1, 1 12dx 21 n n ； ； n ； ； sin nx d x 1 cosnxdx 0 所以三角函数系在 上具有正交性，故称为正交系． 利用三角函数系构成的级数f ?(x)称为三角级数，其中 a 0 , a 1, b 1 ,L ,a n ,b n ,L 为常数2 以 2 为周期的傅里叶级数称为函数 f (x)的傅里叶系数，而三角级数 a 0 称为 f (x) 的傅里叶级数，记作这里之所以不用等号，是因为函数其是否收敛于 f(x) ． 二、傅里叶级数收敛定理定理 1 若以 2 为周期的函数 f (x) 在[ , ]上按段光滑，则 其中 a n ,b n 为 f ( x)的傅里叶系数． 定义 2 如果 f (x) C[a, b] ，则称 f(x) 在[a,b] 上光滑．若x [a,b), f ( x 0),f (x 0)存在； x (a,b], f (x 0)， f (x 0) 存在，几何解释如图．按段光滑函数图象是由有限条 光滑曲线段组成，它至多有有限个 第一类间断点与角点．推论 如果 f(x)是以 2 为周期的连O 续函数，且在 [ ,x ]上按 段光滑，则 x R ，f (x) 0 a n cosnx b n sin nx 2 n 1定义 3 设 f(x)在( , ] 上有定义，函数x ( , ]x (2k ,2k ],k 1, 2,La 0 2 n1 a n cosnxb n sinnx 定义 1 设函数 f (x) 在 a k 上可积， 1 f ( x),cos kx 1 f (x)coskxdx k 0,1,2,L ；b k 1 f (x),sin kx f(x)sinkxdx k 1,2,L， a 0 f (x) ～ 2a n cosnxb n sinnx 1 且至多存在有限个点的左、右极限不相等，则称 f (x) 在[a,b]上按段光滑． a n cosnx b n sinnxf (x) 按定义 1 所得系数而获得的傅里叶级数并不知a 02a n cosnxb n sinnx n1 f(x 0) f (x 0) 2f(x) f(x 2k )y称 f (x)为的周期延拓．习题解答1 在指定区间内把下列函数展开为傅里叶级数(1) f(x) x, (i) x , (ii) 0 x 2sin nxd x 0由系数公式得1 2 1 2a0 f (x)d x xdx 20 0当n其按段光滑，故可展开为傅里叶级数．由系数公式得11a0 f (x)d x xdx 01时，a n x cosnx d xnx d(sin nx)b n x sin nx dxx d(cosnx)x cosnx|cosnx d x ( 1)n 12 n，所以f(x) 2 (n1(ii)1)n 1 sin nxn ，x (, )为所求．其按段光滑，故可展开为傅里叶级数．当n 1 时，x cosnx d x 2 32a n 0 2 x d(sin nx)b n 所以 (2) xsin 2 nx |0 12 n 0sin nx d x 0 xsinnxdxx cos nx n f(x)f (x)= 2 x d(cosnx) 2 |20 sinnx cosnxdx ，x n ， (0,2 ) 为所求． 2 x, - π< x< π,(ii) 0 < x< 2π； ； 1 n (i) 由系数公式得22 a 0 f (x)d x 1 dx 1时， x 2 cosnxdxx 2 d(sin nx) b n所以 x 2 sin nx | xd(cosnx) xcosnx | 2x sin nx dx x 2 sin nxd x 2 cosnx | x d(sin nx) xsin nx |f(x) cosnx d x ( x 2 d(cosnx) xcosnxdx 1) n 4 2 n ， 1)n sinnxdx sinnx 2 n , ) 为所求．a 0 当 n 1 时，a 0 当nb n所以 解：其按段光滑，故可展开为傅里叶级数． 由系数公式得 12 0 1时， 12 0 f (x)d x 2 x 2 dx 82 3 x 2 cosnx d x 12 x n 2 sin nx | 2 x d(sin nx) 2xsin nxd x xd(cosnx) 2 xcosnx | x 2 sin nx d x 12 x n 2 cosnx | 0 f (x) f (x) 42 2 cosnxdx 42 0 n 2 ， 22 x d(cosnx) 2 x cosnx d x 0 x d(sin nx) 2 xsinnx |0 2 sin nxd x 0n ， cosnx sinnx x (0,2 ) 为所求． ax bx (3) 解：函数 f(x)， x (a b,a 0,b 0) ( , ) 作周期延拓的图象如下． y 3O 其按段光滑3 ，故可展开为傅里叶级数． 由系数公式得 1f (x)d x 1 0 axdx 1 bxdx (b a)02a n 1 0 ax 2 cosnxdx1 111135740 bxcosnxdx [1 ( 1)n ]a 2 bn1 0 1 b n axsin nx d x bxsinnxdxn 0 n 1 sinnx1)n I n ， x ( , ) 为所求．2 设f 是以2 为周期的可积函数，证明对任何实数 c ，有 1 c 2 1 a nc f(x)cosnxdx f ( x)cos nxd x,n 0,1,2,L 1 c 2 1 b nf (x)sin nxdx f (x)sin nxdx,n 1,2,L cf (x)f (x)cos nxd x同理可得b n 1 f (x)sin nxd x f ( x)sin nxdx3 把 函数 0x4 展开成傅里叶级 数，并由 它推出(1)( 1)f(x)所以n (b a) 4 2(b a) 1 2 cos(2n 1)x1 (2n 1)2 (a b) ( n1 证： 因为 f(x)，sin nxcosnx 都是以 2 为周期的可积函数，所以令 1 f (x)cos nxd x c 2 f (t 2 )cos n(t 2 )d(t 2 )从而 a n a n 1 c+2 1 f (t)cosntdtc2f (x)cosnxdx cf (x)cosnxdx 1 f ( x)cosnx dx c1 f (x)cos nxd xc+2 c+2 f ( x)cos nxd x f (x)cos nxd x11 1 (3)1时，(2)什么特性．(2)1 1 1 L13 17 11(3)111L11 13 17解：(, )作周期延拓的图象如下．x其按段光滑，故可展开为傅里叶级数． 函数f (x)，由系数公式得a 0f (x)d xdx 14dx4a nb n[1f (x)(1)cosnx d x 4sinnxdx41)n 1]21nn11sin(2n 2n 12 ，则 4cosnxdx 0 04sin nxd x41)x, 2k 2k,0) U(0,)为所求．1215 21121113 17所以x取36 3 ，则1154 设函数1111 13 1713 17f ( x)满足条件 f (xf (x) ，问此函数在内的傅里叶级数具有11解： 因为 f(x)满足条件所以f(x 2 ) f (xf(x ) f(x)，) f(x)，即 f (x)是以 2 为周期的函数．于是由系数公式得1af (x)d x 1f (x)d x 1f (x)d xf (t )dt0 f (x)d xf (t )dt 10 f(x)d xf (t)dt0 f (x)d x 0当n1时，10a nf (x)cos nx d x f (x)cos nxd x b n故当 b 2k 0 ．1f (t )cos(nx1)d x f(x)cosnxdx1 ( 1)n 1f(x)cosnxdx2f (x)cosnxdx10f(x 2k 1 2kf ( x)sin nx d x0 f (x)sin nxd x ) f(x) 时，函数 5 设函数 f ( x)满足条件： f (x 什么特性．解： 因为所以 f (x 1 f(x) 满足条件 2 ) f (x a 0f (x)d x 1f (t )dt f (tf (x)sin nx d x2k 1 2k ， f(x) 在 内的傅里叶级数的特性是 a 2k 0 ， ) f (x) ，问此函数在 内的傅里叶级数具有 f(x)， f(x)，即 f(x)是以 2 为周期的函数．于是由系数公式得 1 f (x)d x f (x)d x f (x ) 2 )dt0 f (x)d x 10 f(x)d x1 1 20 f(t )dt 0 f(x)dx 0 f(x)d x1 ( 1)nf (x)cosnxd x2k 12k 1 ，当n a n1时，1 01f (x)cos nx d x 0f (x)cos nxd x1f (t )cos( nx n )d x1f (x)cos nx d x2 f ( x)cos nxdx2k b n10f ( x)sin nx d xf (x)sin nx d xf (x)sin nxd x 2k故当 0 f(x f (x) 时，函数 f(x)在 内的傅里叶级数的特性是 a 2k 1 0 ， cosnx, n 0,1,2,L 和sin nx, n 1,2,L 都是[0, ]上的正交函数系，但 [0, ] 上的正交函数系． 证：就函数系 {1, cosx,cos2x,L , cosnx, L 6 试证函数系 他们合起来的却不是 }， 因为 n ，1,1 0 dx ， cosnx,cos nx 0 cos2nxdx 10 (cos2 nx1)dx2，1,cosnx cosnxdx 0 又0；m, n ，m n时，cosmx,cosnx cosmxcosnx d x 11cos(m n)xdx cos(m n)xdx所以{1, cosx, cos2 x, L , cosnx, L } 在[0,就函数系{sinx, sin 2x, L , sin nx, L } ，因为 n ，]上是正交系．sin nx,sin nx210sin 2nxdx 2 0 (1 cos2nx)d x 2又m, n，m n 时所以{sin x, sin 2x, L , sinnx, L } 在［0, ］上是正交系．但{1, sin x, cosx, sin 2x,cos2 x, L , sinnx, cosnx, L } 不是［0,7 求下列函数的傅里叶级数展开式xf (x) , 0 x 2(1) 2 ；xf (x) , 0 x 2解： 2 y作周期延拓的图象如下．2其按段光滑，故可展开为傅里叶级数．由系数公式得12a0 f (x)d x xdx 02当n 1时，12x cosnxdx21 2 xd(sin nx)n02b n所以(2)解：x2n122nf (x)2 sin nx|12nxsin nxd x2x cosnx |2sinnx2sinnxdx 02xd(cosnx)12ncosnxdxn，xf (x) 1 cosx,(0,2 )为所求．x；f (x) 1 cosx,x作周期延拓的图象如下．sin mx,sin nx 0 sin mxsin nxd x0 cos(m n)xdx cos(m n)xdx 0]上的正交系．实因：1,sin x 0 sin xdx 1 0b)sin nxdx其按段光滑，故可展开为傅里叶级数．f(x) 1 cosx 2sin2 x2sin2xx0因为 2sin x2所以由系数公式得 1a0 f (x)d x sin x dx2sin 2xd x42当n 1时， 2 x sin cosnx d x2b n 22 f(x) 所以 而x f (x)故(3)解： a 0 当n a n b nsin xcosnxdx2 sin xsin nx d x2n1x sin cosnxdx2 42 2 (4n 21) ．2sin xsinnxdx 0212 cosnx 4n 2 1f ( 0) 2时， 2 2 4 2f(x) ax 2bx (i) 由系数公式得 11时，1f (x)d2(ax (ax 2(ax2n 4a 2 nbx bx f ( 0)1 n 14n 2c, (i) 0 c)d x，xf(,)cosnx 1 ，x]为所求． , (ii)x；2b 2cc)cos nxd xbx c)sin nx |20 (2ax22(ax 2 bx c)sin nxdx212n，(ii)由系数公式得当 n 1 时， 12a n(ax bx c)cos nx d x(ax2bx c)cos nx(2ax b)cos nxd xn 0当n 1时， an 1chxcosnxdx11 ch xsin nx | nn sh xsin nx dx1 2 sh xd(cosnx) n 2chxdx2shf (x) ax 2 bx c 故4 2a4a 2 cosnxn1n4 a 2b sin nx, x n (0,2)为所求．a 0f (x)d x(ax 2 bx c)d x2cb n1(ax 2 bx n( 1) (ax2bx (ax 2bx1 2bn2 axbx c)sin nx |(2ax (2ax b)sin nxdxb)cos nxd x2 2a31)n4a 2 cosnx( 1)n 2bsin nx,n)为所求．(4) f (x) chx,解： 由系数公式得11 a 0 f (x)d x x；c)sin nxdx1 c)cos nx|nf (x)c( 1)n 4a 2 n，sh xsin nxd xsh xd(sin nx)1sh x cos nxchxcosnxdxn 12nshx 1)n 1(n 22nsh 1x)1)n 1)n1)n2sh n 2shn1 2sh nch x d(sinnx)21 ch xsin nx | n 212 b n n，所以b nn 1 112 shxcosnx|chxcosnxdx( 1) n2sh 2n12 a nna n1)n2sh (n 2 1)chxsinnxdx ch x d(cosnx) chxcosnx |shxcosnxdx所以b nf (x) 故(5)解： a 0shxsinnx |chxsinnxdx 1shxsinnx |chxsinnxdx12 b n n，，chx 2sh f (x) shx,由系数公式得f (x)d x(n11)n12 cosnx n 21x ( , )为所求．sh xdx所以b n1f ( x)sin nx d x4a 4 a 2b2 cosnx sin nx, n 2故由收敛定理得f (x) shx1)n 1 2nsh (n 21)sinnx x(, )为所求．解：求函数f(x)1 12(3x2)的傅里叶级数展开式并应用它推出122 n1nf (x)ax 2 bx c4 2a3f(x)1(3x 2 6 x122)n1 12 cosnxn 2n1n12 cosnx (0,2 ) 而f (0 0) f (20)6，x (0,2f (0 0)f (20)12 cos0 1 n 2f (x)cos nx d x b n1f ( x)cos nx|f ( x)sin nxdx nb n1f (x)sin nx |f ( x)cos nxd x na n1f ( x)sin nx d x当 n 1 时，故结论成立．9设f (x)为,上光滑函数， f ( ) f( )．且 a n , b n为 f (x)的傅里叶系数，a n ,b n 为 f(x) 的导 函数f (x)的傅里叶系数 ．证明a 0 0,a n nb n , b nna n(n 1,2,L ) ．证：因为f(x) 为上光滑函数，所以f (x) 为,上的连续函数，故可积．由系数公式得a 01f (x)d x1f( ) f ( )0a n115. 2 以2l为周期的函数的展开基本内容、以2l 为周期的函数的傅里叶级数x lt设 f (x)是以2l 为周期的函数，作替换x，则F(t)f lt是以 2 为周期的函数，且 f (x) 在( l, l) 上可积F(t)在( , ) 上可积F(t) : a0a n cosnt b n sinnt于是 2 n1其中1 a n 1F (t )cos nt d t , b nF (t)sin ntdt3na证：, n3b nu0(x) 设0Ma02，(x) 在M 为常数，则上述三角级数收敛，且其和函数具有连续的导函数u n(x) a n cosnx b n sin nx ，n 1,2,L ．R上连续，且n 0，u nu0 (x) 0，u n(x) na n sin nx nb n cosnx亦在R上连续．又x R，u n(x) n a n sinnx n b n cosnxn a n n b n2M2 n．2M而2 n收敛，所以u n(x)nb n cos nx na n sin nx在R上一致收敛．s(x) a0 (a n cosnx b n sin nx)故设2 n1 ，则s(x) ( na n cosnx nb n sin nx) u n (x)n1 n 1s(x) (na n cosnx nb n sin nx)且n 1 在R 上连续．a0supn(a n cosnx b n sin nx)10 证明：若三角级数2 n 1 中的系数a n,b n 满足关系f (x) x (0,l) f ( x) x ( l,0)习题解答1 求下列周期函数的傅里叶级数展开式t 令x l 得F(t)f lt f (x) n x n xsinnt sin ,cosnt cos ll: a 0nxnxf (x)an cosb n sin从而2n1l l．a n1lf (x)cosnx dx,其中l llb n1lf (x)sin nxdxl ll ．上式就是以 2l 为周期的函数 f (x)的傅里叶系数．在按段光滑的条件下，亦有f(x 0) f(x 0) a 0n x n x a n cos b nsin n l nl其只含余弦项，故称为余弦级数． f(x)是以 2l 为周期的奇函数，则 f( x)cos nx奇，同理，设f ( x)sin nx偶．lla nl f (x)cos n l x dx是f %(x) f (x) x (0,l)偶延拓 f(x) f( x) x ( l,0) 函数 f(x),x (0,l) 要展开为正弦级数必须作奇延拓．奇延拓lyO l xf %(x)(1)f (x) cosx(周期 ) ；解： f (x) 按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又 由于 级数． f (x)是偶函数， 故其展开式为余弦2 ，所以由系数公式得 a 02 2 cosx dx 4 2cosxdx 4 20 当n1时，22cosx cos2nxdx 422cosxcos2nxdxb n222[cos(2n 1)x cos(2n1sin(2n 1)x(2n 1)( 1)n 2 ( 1)n 1 2 (2n 1) (2n 1)1)x]d x 1sin(2n 1)x | 02 (2n 1)141)n2 (4n 21)222cosx sin nx d xf (x) cosx 故24( 1)n 1n121 cos2nx 4n 21( , )为所求．(2)f (x) x1 1解：f (x)按段光滑，所以可展开为傅里叶级数．12 ，所以由系数公式得[x](周期 1) ；由于1223 48a 0 2 21 x [x]2dx 2 10 x [x] dx1 xdx 1a n1时，121 x [x]2 cos2n 1xdx 2 x0 [x] cos2n xdxb n1 x cos2n 0xsin2n 1 22 1 2x [x]xdx1x |101x d(sin 2n x)1 sin2n xdx 0sin2n xdx10 x d(cos2n1xcos2n x |0f (x) x[x]1 xsin2n 0xdx(3)f (x)4sin 解： 由于 级数． a 0a nx)x(周期4函数f (x) sin x，0 cos2n 1sin2n n)；xdx，x222 )为所求．延拓后的函数如下图．f (x) 按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又 ，所以由系数公式得2sin 4xdx4 1时，42f (x)是偶函数，故其展开式为余弦2sin 4xdx4 2 1 cos2x2dx1cos2x2 1cos2x 21 cos4 x dx 3841cos4x cos2nxd x 821,n 2bn 2 2cosx sin nx d x 04f (x) sin 4 x 故3 1cos2x 1cos4x x (8 2 8 ， x ()为所求．(4)解：f (x) sgn(cosx) (周期2 )．函数 f(x) sgn(cosx) ，x ( , )延拓后的函数如下图．y3322Ox22f (x)按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又 由于 级数．因l f (x)是偶函数，故其展开式为余弦a 0，所以由系数公式得2sgn(cosx)d x 0 sgn(cosx)d x 0 当n1时，a nsgn(cosx)cos nx d x02cosnxdxcosnxdx24n sin n2kb n 4n sin2f (x) 1)k(2k 1)2ksgn(cosx)sin nx d x 0sgn(cosx)4(n11)ncos(2n 1)x 2n 1，xf (x)求函数 解：函数 f(x)，3的傅里叶级数并讨论其收敛性．yOx (0,3)延拓后的函数如下图．1由于 f (x) 按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又 f (x) 是偶函数，故其展开式为余弦 级数． 2 ，所以由系数公式得 a 0 2332 0 f(x)d x 1 xdx 0 2 dx 13 2 (3 x)d x 1时，12n xcos 0x dx 32 cos12n xd x b n1 xd 02n 1 sin n31 4n sin n332 (3 2n x)cos xdx32n xsin2n2 2 cos 2n 2 2 33 2n2cos 23sin sin2n32 (3 x)d2n x sin 32n x dx 3 1 2n sinn3 2 2 cos2n2 23222n 322n．f (x)sin nxdx3222n x32n 2 21 4n sin n cos2n31 (3 n 32n 2 22n x x)sin 31 4n sin n34n cos 31 2n 2n x2 cos cos n 23 3 ，x ()为所求．1 3 2n x sin dxn 22n x2 2 cos2n 2 2 33 将函数 f (x) 2 x 在 [0, ]上展开成余弦级数．由于 f (x)按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又 f (x)是偶函数，故其展开式为余弦 级数．由系数公式得1时，22a 022dx12x 2n2 sinnxsinnxdxn 022 cosnx n 2b n级数． 4 2n 02k 2kf (x) 21 2cos(2n 1)x, n 1 (2n 1)2x [0, ]解：函数，故其展开式为正弦由于 由系数公式得 a n 0, n x cos[0, ]2在 [0, ]上展开成正弦级数．将函数f (x) 0,1,2,L b n 2 0 n 0cos x sin nx d x2sin sinx dx cos1 x2 1 n2cos1 21 n 2当ncosnx d x18n2(4n 2 1)f (x)5 把函数 在(0, 4)上展开成余弦级数．2x 1在(0, 1)上展开成余弦级数，并推出6 1 22 312 L解：函数 f(x)，x (0,1)延拓为以 2为周期的函数如下图．由于 级数．因la 0当n所以解：f (x)按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又，所以由系数公式得 4f(x)d20 (1 x)d x 42(x3)d x1时，a n40 f ( x)cos nx4dxn (1x)sin nx42 sin822 nf (x)nx cos 42cos n2 cosnx 4 1)nf (x)是偶函数， 20 (1 x)cosnx dx4故其展开式为余弦42(x3)cos n xdx4x dx20 16 22 n2 (x n3)sin4422n4n x sin dx 242 cos 1(2n 1)24k 4k(2n 1) x 2为所求．6 把函数 f (x)f(x)故在[0, ] 上x cos 2n2 sinnx 1 4n 1为所求．22由于 f (x)按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又f (x)是偶函数，故其展开式为余弦级数．因 l=0.5 ，所以由系数公式得122 0(x 1)3 4dx1 cosn xdx422nb n12 n 1 n，即1 n 1 n2 67 求下列函数的傅里叶级数展开式(1) f(x) arcsin(sin x) ；由于 f (x)按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又f (x)是奇函数，故其展开式为正弦级数．由系数公式得 a n 0, n 0,1,2,L ．2b narcsin(sin x)sin nxdx3 令 x 0得4xsinnxdx21当n1时， a n10(x1) 2cosn xdx2(x n1)2sin n x1(x 1)sin n xdx(x所以 1)212cosnx, 1nx [0,1]12 0 f (x)d xa 0222 n (x 1)cos n 解：函数f(x) arcsin(sin x)是以 2 为周期的函数如下图．x)sin nxdx222x cos nxn 02cosnxdx220 arcsin(cosx)cos nx d x 0 2 x cosnxdx2cos nxd x4n 2 sinn 22k 所以(2) 由于 级数． x)cos nx2 cosnxd xn 22( 1)kn42 n2k 14f (x) arcsin(sin x)( 1)n 2 sin(2n1(2n 1)21)x， x Rf(x) arcsin(cosx)解： f (x) 按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又 f (x)是偶函数，故其展开式为余弦由系数公式得 a 02 0 arcsin(cosx)d x 0当n1时，b n2 sinnxn0, n f (x)所以1,2,L 2sin nxd x2k 2k4arcsin(cosx)1 2 cos(2n 1)x1(2n 1)2，x R0,8 试问如何把定义在 2叶级数为如下的形式上的可积函数 f (x)延拓到区间内，使他们的傅里a2n 1 cos(2n 1)x b2n 1 sin(2 n 1)x(1) n 1；(2) n 1解：(1)先把 f (x)延拓到[0, ]上，方法如下：f (x) 0 x2f (x) 2f ( x) x2再把 f (x)延拓到[0,2 ]上，方法如下：f?(x) f (x) 0 xf(2 x) x 2 其图象如下．y y f(x)2 O3 2 x232由于 f (x)按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又 f (x)是偶函数，故其展开式为余弦级数由系数公式得20 f (x)d xa0当n1b n1时，n20 f(x)cosnxd x2f (x)sin nxdx 02 2 22 f (x)cosnxdx f (x)cos nx d x2222 f (x)[cos nx cos(n nx)]d x422 f ( x)cos nx d x n 2k 1n 2k所以f (x) a2n 1 cos(2n 1)x x 0,n 1 2(2) 先把 f (x)延拓到[0, ]上，方法如下．f (x) f (x)f ( x) 0x2再把 f (x)延拓到[0,2 ]上，方法如下．§15. 3 收敛定理的证明一 基本内容一、贝塞尔(Bessel)不等式定理 1 设 f(x) 在 [ , ] 上可积，则2a 022 21 a n2 b n 2f 2(x)d x2 n 1其中a n ,b n 为f (x)的傅里叶系数．推论 1设f(x) 在 [ , ] 上可积，则lim f (x)cos nxd x 0 limf ( x)sin nxdx 0f (x)是偶函数，故其展开式为余弦级数．由系数公式得 a0 f (x)d x当nb n1时， 21a n20 f (x)cos nx d x 0f ( x)sin nxdx222f (x)sin nxdx f ( x)sin nxdx22f (x)[sin nx sin(nnx)]d x 42f ( x)sin nxdx n2k 2kf (x) 所以b 2n 1 sin(2 n 1)x x n10,2由于 f (x)按段光滑， 所以可展开为傅里叶级数，又推论 2 设 f(x)在［ , ］上可积，则k11t t 2 tdt2sin 2t此称为 f (x)的傅里叶级数的部分和的积分表达式．二、收敛性定理的证明定理 3 (收敛性定理 ) 设以 2 为周期的函数 f(x)在［ , ］上按段光滑，则 limf (x 0) f(x 0)S n (x) 0 n 2 2 n，定理 4 如果 f(x)在［ , ］上有有限导数，或有有限的两个单侧导数，则f(x 0) f (x 0) a 0a n cosnxb n sinnx n122定理 5 如果 f(x)在［, ］按段单调，则f(x 0) f (x 0) a 0a n cosnxb n sinnx22n1习题解答1 设 f (x)以 2 为周期且具有二阶连续的导函数，证明( , )上一致收敛于 f(x)．证：由题目设知 f(x)与 f (x)是以2 为周期的函数，且光滑，f (x) a 0(a n cosnx b n sin nx)故21f (x)a 0(a n cosnxb n sin nx)2n111a 0 1f (x)d x 1f( ) f ( ) 0 且1 a n f (x)cos nx d x当 n 1 时，lim f (x)sin nn 01xdx 0 2limn1f ( x)sin n xdx 02定理 2 设以 2 n为周期的函数 f (x) 在 [ ］上可积，则S n (x)a 0a k coskxb k sinkxsinf(x t)f (x)的傅里叶级数在1 nf ( x)sin nxdx nb nf ( x)cos nx|b n1nf ( x)sin nx d x1f (x)sin nx| f ( x)cos nxd x nana n 是a nnb n 122an2b n212(a nb n2)由贝塞尔不等式得a0 从而2a nn1(an1b n2)收敛，又12n 1 n收敛，bn收敛，(a n cosnx b n sin nx)n在(2 设f为,上可积函数，证明：若f的傅里叶级数在[, ]上一致收敛于则成立贝塞尔(Parseval) 等式1 f2 (x)d x2a02 2an2b n2 2 n1这里a n ,b n 为f的傅里叶系数．S m a0a n cosnx b n sinnx证：设 2 n 1，因为 f (x)的傅里叶级数在[ , ]上一致收敛于f(x)，所以0, N 0 ，“m N, x [ , ]f(x) S m ”．)上一致收敛．1na0故22．而于是f(x) S m, f(x) S mf(x) S m,f (x) S m f (x), f ( x)f 2(x)dx 2 a02 m a n2 n12 f ( x), S m S m,S ma022n1a n2b n2nna n2b n2n12f 2(x)d x所以m N 时，2f2(x)d x 22 a n b n2n11 f 2(x)d x4 其中 an , bn 为 f的傅里叶系数，n , n为 g 的傅里叶系数．2a 022a n 2b n 2 故2 n 13 由于贝塞尔等式对于在, ]上满足收敛定理条件的函数也成立．请应用这个结果证明下列各式．2(1) 8n 1(2n11)； (2)121n 2(3) 90f (x)解： (1) 取由贝塞尔等式得212即8 n 1 (2n 1)(2) 取 f(x) x, xf(x)2dx16f (x)x 2dx，由§1 习题 3 得sin(2 n 1)x , x ( 2n 1 ,0) U(0, )1 1 (2n 1)2，由§1 习题 1 (1) 得 2 ( 1)n 1 sinnx, x n 1 n( 1)n 12由贝塞尔等式得212故6 n 1nn1(3) 取f (x) 2x,]， 2由§1 习题 1 (2) 得x 21)ncosx 2 , x n,)x 4dx由贝塞尔等式得 4( 1)n 4n190收敛于 证明： f和 g，则若 f,g 均为 []上可积函数，且他们的傅里叶级数在[ , ]上分别一致f(x)g(x)d x a020(a n n b n n )n1f (x)f (x)g(x)df(x),g(x)当 n 1 时，a 0证： 由题设知(a n cosnx b n sin nx)1g(x) ( n cosnx n1 nsin nx)f (x), 所以f(x), 20 f (x), 20(n1ncosnx n sin nx)f (x), n cosnx f (x), n sin nx1n 2f (x),a n cosnx na 0 0f (x), 而cosnx b n sin nx, 02b n sinnx ,ncosnxa n cosnx,ncosnxan n，n sinnxa 0a n cosnx 2 n 1 nb n cosnx, n cosnxf (x)g(x)d xa 0 02n(a n1b n sinnx ,n sinnxb nn，b nn)f (x) 2 dxf (x) 2dx ．证： 因为 f(x)、f (x) 在,上可积，f(x)dx 0，f( ) f( )f (x) a 0(a n cosnx b n sin nx)设2 n 1a 0f (x)(a n cosnx b n sin nx)2n1由系数公式得a 01f (x)d x 1 f () f ( ) 05 证明若 f 及其导函数 f 均在［ , ］上可积 ,f(x)dx 0 f( ) f( )，且成立贝塞尔等式，则1f (x)cos nx d x1 nf ( x)sin nxdx nb nf ( x)cos nx |傅里叶级数，由系数公式得a 0T n (x),1A2n (A k coskx k1B k sin kx),1A 0当ka k1时， T n (x),coskxn(A k coskx B k sin kx),cos kx k1A kn，b kT n (x),sin kxA20n(A k coskx B k sin kx),sin kx k1B k 0n，故在 () ，T n (x) A 20k(A k coskx B k sinkx) 1的傅里叶级数就是其本身．a 0,a k ,b k (k 1,2,L ,n)为f的傅里叶系数，试证明，当A 0 a 0,A k a k ,B k b k (k 1,2,L ,n) 时，2 设 f为[ , ]上可积函数，b n1nf ( x)sin nx d x1f (x)sin nx |f ( x)cos nxd xna n于是由贝塞尔等式得2f (x) 2dx2 a n 2b n 2 n122n 2an 22an2b n 2n12f (x)2 dx总练习题 151 试求三角多项式A 0T n (x)2n(A k coskx B k sin kx) k1的傅里叶级数展开式．A 0T n (x) 20 解： 因为 2(A k coskx k1B k sin kx)是以 2为周期的光滑函数，所以可展为2f (x) T n(x) dx积分n取最小值，且最小值为2 a 2 nf (x) d x 0(a k2 b k2 )2 k 1上述T n (x)是第1题中的三角多项式, A0, A k ,B k为它的傅里叶系数．f(x) 证：设a02 a n cosnxn1b n sinnxT n(x) A02 (A k coskxk1B k sin kx)且A0a0, A k a k , B k b k (k 1,2,L ,n) ，因为2 f (x) T n(x) dx所以22f 2 (x)d x 2 f ( x)T n ( x)d x T n2(x)d xA anf (x)T n(x)d x A k a k B k b k2 k 1 ，T n2(x)d x A0nA k2B k2n2 k 1，2f (x) T n (x) d x而故当A0积分f 2 (x)d x 2 A0a0222nA k a kk1 B k b kA0n2 2A k2B k22 k12 2 nf(x) dx a0 (a k2b k2)2 k1(A0 a0)2n(A k2 k12 a2 nf (x) dx a0 (a k2b k2)2 k1a0, A k a k,B k b k(k 1,2,L ,n)时，2(x) Tn(x) dx取最小值，且最小值为a k )2 (B kb k)22f (x) d x2 a02k1(a k2b k2)3 设f为以2 周期，且具有二阶连续可微的函数，11b n f ( x)sin nxdx, b n f (x)sin nxdx1 1若级数 bn 绝对收敛，则1b n2 2b nn 1 2 n 1证：因为 f(x)为以 2 周期，且具有二阶连续可微的函数， 1b n f ( x)sin nxdx 所以1 b nsinnx d f (x)1f ( x)sin nx ( x)cos nxd xn cosnx d f (x)b nn1故结论成立．(x)a 0a n cosnxb n sinnx解：设2 n1(x) 0ncosnxnsinnx2n1(1) 则当(x)(x) 时，n，11a n(x)cosnxdx ( t)cos( nt)d( t) 试问 的傅里叶系数a n ,b n与 的傅里叶系数( t)cos nt dt(t)cos nt d tnf ( x)cos nxf (x)sin nxdxn 2b n所以 1 n 1, b n2 n bn绝对收敛，n1b nn1b n ，从而12n 收敛，1, b n2 b nnbn收敛，且b n 1b n4 设周期为 (1)( x)的可积函数 (x)；(x)与 (2)(x)满足以下关系式( x) (x)．n , n有什么关系？nb n(2)b nn11(x)sin nxdx( t)cosntdt( t)sin( nt)d( t)(t)cos ntdtn1x) (x) 时，(x)cosnxdx( t)cosntdt(x)sin nxdx( t)cos nt dt0，设定义在[a,b]上的连续函数列( t)cos( nt)d( t)(t)cos ntdt( t)sin( nt)d( t)(t)cos nt d tn (x)满足关系bn(x)m(x)d x 1nm对于在[a,b]上的可积函数f，定义a n ba f(x) n(x)d x, n a 1,2,L ，2 a n2 证明n 1 b2 a[ f(x)]2dx a证：2a n2收敛，且有不等式n 1在[a,b]上的所有可积函数构成的集合中定义内积为bf (x)g(x)d xa，f (x), g(x)则函数列n (x)为标准正交系．m a n n (x), m 1,2,Ln 1，则S m(x) 令b2a[ f(x) S m(x)]2dx 又 a mn, a n f (x), n(x) ，2f 2 (x)d x 22f(x)S n(x)d x S n2(x)d xf 2(x)d x 2 f ( x), S n (x) S n(x),S n(x)m m1 x sin nx |f (x), S n ( x) f (x), a n n (x) 而 n 1 a n f (x), n (x) n1 m 2 a n 2n1 S n (x),S n (x) S n (x), a k k (x)k1 m ma k a k k (x), k (x) k1 所以 k 1 ， 2 m 2b f 2(x)d x a n 2 a [ f(x) a n1 m m 1, n1 2 S m ( x)]2 dx 0 b 2 a [ f(x)]2dx a 2 2 b a n a n a 1 收敛，且 n 1 a ，即 S m (x) 有上界． [ f (x)]2dx。
傅里叶级数展开的详细推导和部分证明
傅里叶级数展开的详细推导和部分证明首先我们来定义一个周期为T的函数f(t)，其傅里叶级数展开表示为：f(t) = a0/2 + Σ[an*cos(2πn/T*t) + bn*sin(2πn/T*t)]其中a0、an、bn为展开系数，n为整数。
我们将展开系数分解为两部分：a0/2、an和bn。
1.推导展开系数a0的表达式我们首先来求解展开系数a0，即常数项。
由于f(t)是一个周期为T的函数，那么根据周期函数的性质，我们可以将f(t)从-t/2到t/2的积分作为整个周期T上的积分：∫(f(t)dt, -T/2, T/2) = ∫[a0/2 + Σ(an*cos(2πn/T*t) +bn*sin(2πn/T*t))]dt, -T/2, T/2由于正弦和余弦函数都是周期为T的函数，其积分在一个周期上为0，因此只有常数项a0/2在整个积分区间上不为0。
∫f(t)dt在-t/2到t/2上的积分可以看作是函数f(t)与常数函数1的乘积的平均值，即：∫f(t)dt = T * (a0/2)所以展开系数a0可以表示为：a0 = (2/T) * ∫f(t)dt2. 推导展开系数an和bn的表达式接下来我们来求解展开系数an和bn，即正弦和余弦项的系数。
我们可以通过在整个周期T上，分别乘以cos(2πm/T*t)和sin(2πm/T*t)，并进行积分来求解展开系数an和bn。
乘以cos(2πm/T*t)并进行积分：∫[f(t)*cos(2πm/T*t)]dt, -T/2, T/2乘以sin(2πm/T*t)并进行积分：∫[f(t)*sin(2πm/T*t)]dt, -T/2, T/2通过使用三角函数的和积化简公式，我们可以将上述积分简化为以下形式：∫[f(t)*cos(2πm/T*t)]dt = (aₘ/T) * ∫[cos²(2πm/T*t)]dt + (bₘ/T) * ∫[sin(2πm/T*t)*cos(2πm/T*t)]dt∫[f(t)*sin(2πm/T*t)]dt = (aₘ/T) *∫[cos(2πm/T*t)*sin(2πm/T*t)]dt + (bₘ/T) *∫[sin²(2πm/T*t)]dt由于正弦和余弦函数的乘积的周期为半个周期T/2，对于不同的n和m，积分结果都为0。
傅里叶级数的定义
傅里叶级数的定义
傅里叶级数是一种将周期函数表示成正弦和余弦函数的无限级数的方法。
其定义为，对于一个周期为T的函数f(x)，可以表示为：
f(x) = a0 + Σ(an*cos(nωx) + bn*sin(nωx))
其中ω = 2π/T，an和bn为系数。
这个级数被称为傅里叶级数，而an和bn则被称为傅里叶系数。
傅里叶级数的重要性在于可以将一个复杂的周期函数分解成简单的正弦和余弦函数。
通过计算傅里叶系数，我们可以了解一个周期函数的频率成分，并使用这些信息来设计电路、音频处理、图像处理等应用。
傅里叶级数的定义也可以使用欧拉公式表示：
f(x) = Σ(cne^(inωx))
其中c是一个复数系数，n为整数，e为自然对数的底数。
总之，傅里叶级数是一种非常有用的工具，可以帮助我们分析周期函数的频率成分，并在各种应用中发挥作用。
- 1 -。
傅里叶级数
傅里叶变换：（频域分析）连续系统频谱分析：就是将时域的信号（可以是周期信号与非周期信号）变成频域形式并加以分析的方法。
其目的是把复杂的时域波形，经过某种变换分解为若干单一的谐波分量来研究，以获得信号的频率结构以及各谐波和相位信息。
这某种变换可以是傅里叶级数，也可以是傅里叶变换。
它们的作用都是把时域信号变成频域信号以便于信号分析。
傅里叶级数有三角级数形式和指数级数形式两种表示形式。
例如，假设有个周期信号,周期为，角频率，频率为。
要作频谱分析时，按傅里叶级数展开：三角形式的傅里叶级数******(a)直流分量：****** (a1)余弦分量幅度：****** (a2)正弦分量幅度：****** (a3)由上可见，公式a左边是一个周期信号，而右边是一个三角函数的线性组合，或也可以称为三角级数表示方式，这种三角级数的表示方式就称为傅里叶级数。
但公式(a)有个问题，就是说在每个频率点上可能会有两个三角函数，这不利于信号能量的计算或图形表示，为了便于画图我们做了一些变换，用三角公式中的合角公式对公式(a)进行了转换，把同频率的项加以合并，于是得到了余弦形式的傅里叶级数或正弦形式的傅里叶级数，如式(b),(c)。
余弦形式：****** (b)正弦形式：****** (c)由上总结：1、一个周期信号可以分解成直流分量、基波（）和各次谐波（基波角频率整数倍）的线性组合。
2、周期信号频谱具有离散型，谐波性，收敛性。
为幅度频谱关系由此可画出频谱图为相位频谱关系欧拉公式：****** (d1)****** (d2)将公式（d1）、（d2）带入公式（a）可得：****** (d3)**** (d4)**** (d5)将公式(d4)、(d5)带入(d3)可得：****** (d6)令:****** (d7)从而得到f(t)得到指数形式的傅里叶级数:****** (e)将(a2)、(a3)带入(d4)，其中可以简写成。
由此可得可得到指数形式傅里叶级数的系数：。
傅里叶级数PPT课件
0
f(x)a20 n 1anconsx
(0x)
-
x
26
例4 将 函 数 f(x )x 1(0x )分 别 展 开
成 正 弦 级 数 和 余 弦 级 数 .
解 (1)求正弦级数. 对f(x)进行奇延, 拓
bn
2
0
f(x)sinnxdx 2
(x1)sinnxdx
0
n2 (1conscons)
2
令 a0 2
A0 ,
an=Ansin n ， bn=Ancosn ,ωt=x，
则(1)式右端变型为
a 2 0n 1(anco ns x bnsin n )x (2)
形如(2)式的级数叫做三角级数，其中a0、an、 bn
为常数。
-
3
2.三角函数系的正交性
三角函数系
1 ,co x ,ssix ,n co 2x ,si2x n , co n,sxin n , x
-
22
例3 设f(x)是周期为2的周期函数,它在 [,)上的表达式为f(x)x,将f(x)展开成
傅氏级数.
解 所给函数满足狄利克雷充分条件. 在 x 点 (2 k 1 ) (k 0 , 1 , 2 , )处不 , 连
收敛 f(0 于 )f( 0) () 0,
2
2
在连 x (x (续 2 k 1 ) ) 点 处收 f(x ),敛于
数 f ( x) 展开成傅立叶级数。
方法： (i)先求傅里叶系数
an
1
f(x)c
onsxd, x(n0,1,2,)
bn
1
f(x)sinnxd, x(n1,2,)
(ii) 写出对应的傅里叶级数
f(x)~a 2 0n 1(anco n - s xbnsin n)x
傅里叶级数正弦分量
傅里叶级数正弦分量详解一、傅里叶级数简介傅里叶级数是一种将周期函数表示为无穷级数的方法。
通过傅里叶级数，我们可以将复杂的周期信号分解为简单的正弦和余弦函数的组合。
这一理论在信号处理、通信、振动分析等领域有着广泛的应用。
二、正弦函数基础正弦函数是三角函数的一种，通常表示为sin(x)，其波形为一个周期性变化的曲线。
在一个完整的周期内，正弦函数从0增加到最大值，然后又减小到0。
三、傅里叶级数中的正弦分量在傅里叶级数中，任何一个周期信号都可以表示为如下形式：F(t) = a0 + Σ[an*cos(n*ω0*t) + bn*sin(n*ω0*t)]其中，F(t)是原信号，a0是直流分量，an和bn是正弦和余弦分量的系数，ω0是信号的基本角频率。
四、正弦分量的求解方法要找出正弦分量的系数bn，我们需要对原信号进行傅里叶变换。
具体来说，对于每一个频率分量，我们计算信号在该频率下的投影，从而得到正弦分量的系数。
五、正弦分量在傅里叶级数中的意义正弦分量在傅里叶级数中表示原信号中包含的特定频率的波动。
每一个正弦分量都对应于原信号中的一个频率分量。
通过分析正弦分量的系数，我们可以了解原信号中各个频率分量的贡献程度。
六、正弦分量在信号处理中的应用正弦分量在信号处理中有广泛的应用。
例如，在频谱分析中，我们可以通过计算正弦分量的系数来了解信号的频率组成。
在滤波器设计中，我们可以通过调整正弦分量的系数来对信号进行滤波处理。
此外，正弦分量还在通信、音频处理等领域有重要的应用。
七、总结傅里叶级数是一种强大的数学工具，可以将复杂的周期信号分解为简单的正弦和余弦函数的组合。
其中，正弦分量表示原信号中特定频率的波动，其在信号处理、通信、振动分析等领域有着广泛的应用。
通过对正弦分量的分析，我们可以深入了解原信号的频率组成，从而实现更加精确的信号处理和通信。
6.第二章 傅里叶级数
- 3 -第二章 傅里叶级数傅里叶级数是一类由三角函数列产生的三角级数，在数学与工程技术中有着广泛的应用．三角级数是分析学中一个重要的分支．在数学发展史上，法国数学家傅里叶在著作《热的解析理论》中，第一次系统地运用三角级数和三角积分来处理热传导问题．此后，众多数学家，如狄利克雷、黎曼、利普希茨等都曾从事于这一领域的研究，弥补了傅里叶工作的不足，极大地发展了傅里叶级数理论，扩大了其应用范围．使这一理论成为研究周期现象不可缺少的工具．2.1 傅里叶级数（三角函数)函数列1co s sin co s 2sin 2co s sin x x x x n x n x ，，，，，，，称为三角函数系．由于欧拉公式c o s sin ixe x i x=+，所以我们也称函数列{}(01)ikx e k=± ，，为三角函数系．三角函数系1co s sinco s 2sin 2co s sin x x x x n x n x ，，，，，，，具有以下特性：（1）周期性：三角函数系中所有函数具有共同的周期2π． （2） 正交性：三角函数系中各函数在长度为2π的任意区间[,2]I a a π=+上组成正交函数系，即222s in s in 0()c o s c o s 0()c o s s in 0a a a a a am x n xd x m n m x n xd x m n m x n xd x πππ+++=≠=≠=⎰⎰⎰，，．（3）三角函数系中任何一个函数的平方在[,2]a a π+上的积分都不等于零，即222222c o s s in 12a a aaa an xd x n xd x d x πππππ+++===⎰⎰⎰，．- 4 -（4）完全性：若存在定义在[,2]a a π+以2π为周期的可积函数()f x ,它在[,2]a a π+上与三角函数系的每一个函数正交，则()0..f x a e =，对三角函数系{}(0,1,)ikx e k=± 同样具有上述特性：（1）周期性：三角函数系中所有函数具有共同的周期2π． （2） 正交性：三角函数系中各函数在长度为2π的任意区间[,2]I a a π=+上组成正交函数系，即20()a im xin xaeed x m n π+=≠⎰，．（3）三角函数系中任何一个函数的平方在[,2]a a π+上的积分都不等于零，即20a im xim xaeed x π+=⎰．（4）完全性：若存在定义在[,2]a a π+以2π为周期的可积函数()f x ,它在[,2]a a π+上与三角函数系的每一个函数正交，则()0..f x a e =，我们称级数01(c o s s i n )2k k k a a k x b x ∞=++∑为实型傅里叶（三角）级数，其中0a ，k a ，k b ，(12)k = ，，是实数列，称为实型傅里叶（三角）级数的系数．我们称级数ik xk k c e∞=-∞∑为复型傅里叶（三角）级数，其中(01)k c k=± ，，，是复数列，称为复型傅里叶（三角）级数的系数．应用三角函数系的正交性，我们讨论傅里叶级数的和函数()f x 与级数的系数0n na ab ，，之间的关系．在整个数轴上01()(c o s s in )2k k k a f x a k x b x ∞==++∑，且等式右边级数一致收敛，得- 5 -1()c o s 0121()s in 12n n a f x n xd x n b f x n xd x n ππππππ--====⎰⎰，，，，，，，，．下面讨论周期为2l 的函数()f x 的傅里叶级数的和函数()f x 与级数的系数0n na ab ，，之间的关系.在整个数轴上01()(c o s s in )2k k k a f x a k x b x ∞==++∑，且等式右边级数一致收敛，得1()c o s0121()s in12ln l ln ln x a f x d x n l l n x b f x d x n llππ--====⎰⎰，，，，，，，，．2.2 傅里叶级数的收敛性2.2.1 Dirichlet 积分Dirichlet 积分，是研究傅里叶级数散敛性的重要工具． Dirichlet 积分:当0θ≠时，由三角函数的积化和差公式，有121s in12c o s 22s in2mn m n θθθ=++=∑，且1()c o s 0121()s in 12n n a f x n xd x n b f x n xd x n ππππππ--====⎰⎰，，，，，，，，．可得傅里叶级数的部分和为：- 6 -()()01111()(c o s s in )211()()c o s c o s ()s in s in 211()(c o s c o s s in s in )221s in (1112()c o s ()()2mm n n n mn mn mn a S x a n x b n x f t d t f t n td t n x f t n td t n xf t n t n x n t n x m t f t n t x f t πππππππππππππππ=---=-=-==++⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦+⎡⎤=+-=⎢⎥⎣⎦∑∑⎰⎰⎰∑⎰∑⎰)2s in22121s ins in1122()()()2s in2s in22xxx d tt x m m u u u t x f x u d u f x u d u u u ππππππππ-------++=-=+=+⎰⎰⎰设．通过上述方法就可以把部分和转化成积分形式，这个积分为Dirichlet 积分．一般的，将积分区间[,]ππ-分为[0,]π-和[,0]π-两部分，稍作变化，就可得到Dirichlet 积分的惯用形式[]21s in12()()()2s in2m m uS x f x u f x u d u u ππ+=++-⎰．如何使用Dirichlet 积分判断傅里叶级数的收敛性？一般的，已知下列等式121sin2212c o s 122sin2mn m u d u n u d u u ππππ=+⎛⎫=+= ⎪⎝⎭∑⎰⎰，则对于任意给定的函数()x ρ，有[]21s in12()()()()2()2s in2m m uS x x f x u f x u x d u u πρρπ+-=++--⎰．可以记 (,)()()2(u x f x u f x u xρψρ=++--，- 7 -则()f x 的傅里叶级数是否收敛于某个()x ρ就等价于极限21s in2lim(,)2s in2m m u u x d uu πρψ→∞+⎰是否存在且等于零．因此，Dirichlet 积分，是研究傅里叶级数散敛性的重要工具．2.2.2 局部性原理局部性原理：可积或绝对可积函数()f x 的傅里叶级数在x 点是否收敛只与()f x 在(),x x δδ-+的性质有关，这里δ是任意小的正常数．由黎曼—勒贝格定理，可推得以下定理： 设函数()u ψ在[]0,δ可积且绝对可积，则成立2121s ins in22lim()lim()2s in2m m m m uuu d u u d u u uδδψψ→∞→∞++=⎰⎰．证明：令1102s in()200u u ug u u ⎧->⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩， 易验证()g u 是[]0,δ上的连续函数，由黎曼引理，当m→∞时，有()()01111s in ()s in 0222s in 2u m u d u u g u mu d u u u δδψψ⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎛⎫-+=+→⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎰⎰．显然这里的δ可以取大于0的任意常数．2.2.3 傅里叶级数收敛性的证明以上推论进一步告诉我们，如果能找到适当的()x ρ，使得对于充分小的定数0δ>，有- 8 -(,)21lims in02m u x m u d u uδρψ→∞+⋅=⎰，则()f x 的傅里叶级数必定收敛于这个()x ρ，显然，对[],x ππ∈-，只要存在个δ>，使得()()()(,)2u x fx u fx u x uuρψρ++--=在(0,)δ可积且绝对可积，就可以由黎曼引理导出上面的结果．现假设()f x 在[],x ππ∈-至多只有第一类不连续点，而上述积分存在与否涉及(,)u x uρψ当0u→时的性质，要满足上述条件首先必有()()()0lim 20u f x u fx u x ρ→++--=⎡⎤⎣⎦或者()()()002fx fx x ρ++-=．于是问题最终转化为研究使得()()()()000s in lim22p fx fx p u f x u fx u d u uδ→+∞++-⎡⎤++--=⎢⎥⎣⎦⎰成立的条件，这是探索傅里叶级数收敛性的一把钥匙．所以，我们可以得到傅里叶级数收敛的条件： 设函数()f x 在[],ππ-可积且绝对可积，且满足下列两个条件之一，则()f x 的傅里叶级数在x 收敛于(0)(0)2f x f x +++．（1）（Dirichlet-Jordan 判别法）()fx 在某个区间[],(0)x x δδδ-+>上是分段单调函数或若干个分段单调函数之和．- 9 -（2）（Dini-Lipschitz 判别法）()f x 在点x 处满足下述的指数为(0,1]α∈的H o ld er 条件． H o ld er条件：设函数()f x 在x 点连续或第一类间断，若对于充分小的正数δ，存在常数0L >和(0,1]α∈，使得成立()(0)(0)f x u f x L uu αδ±-±<<<，． 则称()f x 在x 点满足H o ld er 条件（当1α=称为Lipschitz 条件）．以上判断函数的傅里叶级数收敛的充分条件分别由德国数学家Dirichlet 和Lipschitz 得到，他们的结果经后人改善总结，表示成以上定理．2.3 傅里叶级数的性质2.3.1 傅里叶级数的逐项积分定理设()f x 在[],ππ-上可积或绝对可积，01()(c o s s in )2n n n a f x a n x b n x ∞=++∑，则()f x 的傅里叶级数可以逐项积分，即对于任意c ,[],x ππ∈-，01()(c o s s in )2xxx n n c ccn a f t d t d t a n x b n x d t ∞==++∑⎰⎰⎰．2.3.2 傅里叶级数的逐项微分定理()f x 在[],ππ-上连续，01()(c o s s in )2n n n a f x a n x b n x ∞=++∑，()()f f ππ-=，且除了有限个点外()f x 可导．假设'()f x 在[],ππ-上可积或绝对可积（'()f x 在有限个点可能无定义，并不影响可积性），则'()f x 的傅里叶级数可由()f x 的傅里叶级数逐项微分得到，即- 10 -'011()()(c o s s in )2(s in c o s )n n n n n n a d d f x a n x b n x d xd xa n n xb n n x ∞=∞=++=-+∑∑．2.3.3 傅里叶级数的平方逼近性质最佳平方逼近元素：设S 是一个定义了内积运算(),的线性空间，取S 中的范数为=T是S 的一个n 维子空间，记T 的一组正交基为12,,,n ϕϕϕ ，即{}12sp an ,,,n T ϕϕϕ= ．若对于x S∈，有1122Tn n x c c c Tϕϕϕ=+++∈ ，使得m in Ty Tx x x y∈-=-，则称T x 是x 在T 中的最佳平方逼近元素．傅里叶级数的平方逼近性质为： 设T 为n 阶三角多项式01(c o s s in )2nk k k A A k x B k x =++∑的全体，()f x 在[],ππ-上可积或平方可积，则()f x 在T 中的最佳平方逼近元素恰为()f x 的傅里叶级数的部分和函数01(c o s s in )2nn k k k a S a k x b k x ==++∑，逼近的余项为2222211()()2nnk k k a f S f x d x a b πππ-=⎡⎤-=-++⎢⎥⎣⎦∑⎰． 2.3.4 傅里叶级数的平方收敛性质平方收敛：若函数序列{}()n x ψ满足- 11 -2lim()()0n n f x x ψ→∞-=．这里()f x 是某固定的函数，则称{}()n x ψ按范数平方收敛于()f x ，简称()nx ψ平方收敛于()f x ．傅里叶级数的平方收敛性质为： 设()f x 在[],ππ-上可积或平方可积，则()f x 的傅里叶级数的部分和函数序列平方收敛于()f x ．2.4 傅里叶级数的应用2.4.1 贝塞耳（Bessel ）不等式若函数()f x 在[],ππ-上可积，则2222011()()2n n n a fx d x a b πππ∞-=≥++∑⎰．其中0(12)n n a a b n = ，，，，，为()f x 的傅里叶系数．2.4.2 帕塞瓦尔（Parseval ）等式若函数()f x 在[],ππ-上可积，且()f x 的傅里叶级数在[],ππ-上一致收敛于()f x ，则2222011()()2n n n a fx d x a b πππ∞-==++∑⎰．其中0(12)n n a a b n = ，，，，，为()f x 的傅里叶系数．2.4.3 帕塞瓦尔（Parseval ）等式的推广若函数()f x ，()g x 在[],ππ-上可积，且()f x ，()g x 的傅里叶级数在[],ππ-上一致收敛于()f x ，则0011()()()2n n n n n a f x g x d x a b ππααβπ∞-==++∑⎰．其中0(12)n n a a b n = ，，，，，为()f x 的傅里叶系数；- 12 -0(12)n n n ααβ= ，，，，，为()g x 的傅里叶系数．2.4.4 黎曼—勒贝格定理若为()f x 可积函数，则lim()c o s 0lim ()sin 0ba pb ap x p xd x x p xd x ψψ→∞→∞⎧=⎪⎨⎪=⎩⎰⎰．2.4.5 Wirtinger 不等式对任意有界区域[],a b ，若函数[]1,f Ca b ∈，且满足()()0f a f b ==，则有Wirtinger 不等式()222'2bbaab a fd x fd xπ-≤⎰⎰成立，式中的常数()22b a π-不能改进．。