高中物理—常见的匀变速直线运动

1、自由落体运动：
（1）条件：①物体只受_____作用；②从_____开始下落。

（2）运动性质：初速度v 0＝0，加速度为重力加速度g 的___________运动。

（3）基本规律。

①速度公式：v ＝___； ②位移公式：h ＝_____； ③速度位移关系式：v 2＝____。

【答案】重力；静止；匀加速直线；gt ；1
2gt 2；2gh
2、竖直上抛运动：
（1）运动特点：加速度为g ，上升阶段做___________运动，下降阶段做_________运动。

（2）基本规律。

①速度公式：v ＝_____； ②位移公式：h ＝________；
③速度位移关系式：v 2－v 20＝_______； ④上升的最大高度：H ＝_______； ⑤上升到最高点所用时间：t ＝______。

【答案】匀减速直线；自由落体；v 0－gt ；v 0t －12gt 2；－2gh ；v 20
2g ；v 0g
知识点回顾
常见的匀变速直线运动
一、自由落体运动的特点：
1、自由落体运动是初速度为零，加速度为g 的匀加速直线运动。

2、一切匀加速直线运动的公式均适用于自由落体运动，特别是初速度为零的匀加速直线运动的比例关系式，在自由落体运动中应用更频繁。

二、竖直上抛运动的两种研究方法：
1、分段法：将全程分为两个阶段，即上升过程的匀减速阶段和下落过程的自由落体阶段。

2、全程法：将全过程视为初速度为v 0，加速度a ＝－g 的匀变速直线运动，必须注意物理量的矢量性。

习惯上取v 0的方向为正方向，则v >0时，物体正在上升；v <0时，物体正在下降；h >0时，物体在抛出点上方；h <0时，物体在抛出点下方。

三、竖直上抛运动的对称性：
如图所示，物体以初速度v 0竖直上抛，A 、B 为途中的任意两点，C 为最高点，则： （1）时间对称性：物体上升过程中从A →C 所用时间t AC 和下降过程中从C →A 所用时间t CA 相等，同理有t AB ＝t BA 。

（2）速度对称性：物体上升过程经过A 点的速度与下降过程经过A 点的速度大小相等，方向相反。

（3）能量对称性：物体从A →B 和从B →A 重力势能变化量的大小相等，均等于mgh AB 。

【例1】将一物体以某一初速度竖直上抛。

物体在运动过程中受到一大小不变的空气阻力作用，它从抛出点到最高点的运动时间为t 1，再从最高点回到抛出点的运动时间为t 2。

如果没有空气阻力作用，它从抛出点到最高点所用的时间为t 0。

则 （
）
A ．t 1>t 0，t 2<t 1
B ．t 1<t 0，t 2>t 1
C ．t 1>t 0，t 2>t 1
D ．t 1<t 0，t 2<t 1
【难度】★★ 【答案】B
【解析】物体在上升和下降过程中的位移h 相同，但由于空气阻力的作用，在上升过程中的加速度a 1>g ，下降过程中的加速度a 2<g ，根据h ＝1
2at 2可知，t 1<t 2；如果没有空气阻力，a 0＝g ，根据v ＝at
可知，t 1<t 0。

故选B 。

知识点一：自由落体运动和竖直上抛运动
知识点讲解
【例2】一个氢气球以8m/s 2的加速度由静止从地面竖直上升，5s 末从气球上掉下一重物，（忽略空气阻力，g ＝10m/s 2）则：
（1）此重物最高可上升到距地面多高处?
（2）此重物从气球上掉下后，经多长时间落回地面? 【难度】★★★
【答案】（1）180m （2）10s
【解析】（1）5s 末重物的速度：v ＝at ＝8×5＝40m/s 5s 内上升的高度：h ＝12at 2＝12
×8×52＝100m
重物从气球脱离后上升的高度：h ′＝v 22g ＝402
20×10＝80m
则距离地面的最大高度：H ＝100＋80＝180m （2）重物从气球上脱离后上升所用时间： t ′＝v g ＝40
10
＝4 s 设从最高点下落到地面的时间为t ″，则：H ＝1
2gt ″2，
即180＝1
2gt ″2
解得：t ″＝6s 则：t 总＝4＋6＝10s
【例3】某人站在高楼的平台边缘，以20m/s 的初速度竖直向上抛出一石子．不考虑空气阻力，取g ＝10 m/s 2。

求：
（1）石子上升的最大高度及回到抛出点所用的时间； （2）石子抛出后到达距抛出点下方20m 处所需的时间． 【难度】★★★
【答案】（1）20m ；4s （2）（2＋22）s
【解析】解法一：（1）上升过程为匀减速直线运动，取竖直向上为正方向，v 0＝20m/s ，a 1＝－g ，v
＝0，根据匀变速直线运动公式v 2－v 20＝2as ，v ＝v 0
＋at 得 石子上升的最大高度：H ＝－v 202a 1＝v 202g ＝2022×10＝20m ；
上升时间：t 1＝－v 0a 1＝v 0g ＝20
10
＝2s
下落过程为自由落体运动，取竖直向下为正方向．v 0′＝0，a 2＝g ，回到抛出点时，x 1＝H ，根据自由落体运动规律得
下落到抛出点的时间：t 2＝
2x 1
g
＝2×20
10
＝2s
t ＝t 1＋t 2＝4s
所以最大高度H ＝20m ，从抛出点抛出到回到抛出点所用时间为4s.
（2）到达抛出点下方20m 处时，x 2＝40m ，从最高点下落到抛出点下方20m 处所需的时间： t 2′＝
2x 2
g
＝2×40
10
＝22s t ′＝t 1＋t 2′＝（2＋22） s
所以石子抛出后到达距抛出点下方20m 处所需的时间为（2＋22） s.
解法二：（1）全过程分析，取竖直向上为正方向，v 0＝20m/s ，a ＝－g ，到达最大高度时v ＝0，回到原抛出点时x 1＝0，落到抛出点下方20m 处时x ＝－20m ，由匀变速直线运动公式得 最大高度：H ＝v 202g ＝2022×10
＝20m
回到原抛出点时：x 1＝v 0t 1－12gt 21，t 1＝2v 0g ＝2×20
10
s ＝4s （2）到达距抛出点下方20m 处时：x ＝v 0t 2－12gt 22，代入数据得－20＝20t 2－12
×10t 22 解得⎩⎨
⎧
t 2＝（2＋22）s t 2′＝（2－22）s ，不符合题意，舍去
1、某同学身高1.8m ，在运动会上他参加跳高比赛，起跳后身体横着越过1.8m 高的横杆，据此可估算出他起跳时竖直向上的速度最接近（g 取10m/s 2） （
） A ．6 m/s B ．5 m/s C ．4 m/s
D ．3 m/s
【难度】★ 【答案】C
【解析】身高1.8m 的同学起跳后身体横着越过1.8m 的横杆，其重心上升的高度大约为h ＝0.8m ，
由v 20＝2gh 得v 0
＝4m/s ，选项C 正确。

2、A 、B 两小球从不同高度自由下落，同时落地，A 球下落的时间为t ，B 球下落的时间为t
2，当B
球开始下落的瞬间，A 、B 两球的高度差为
（
）
A ．gt 2
B ．38
gt 2
C ．3
4
gt 2
D ．14
gt 2
【难度】★★ 【答案】D
【解析】A 球下落高度为h A ＝12gt 2，B 球下落高度为h B ＝12g （t 2）2＝1
8
gt 2，当B 球开始下落的瞬间，
课堂练习
A 、
B 两球的高度差为Δh ＝h A －12×g ×（t 2）2－h B ＝1
4gt 2，D 正确。

3、如图所示，小球从竖直砖墙某位置由静止释放，用频闪照相机在同一底片上多次曝光，得到了图中1、2、3、
4、5…所示小球运动过程中每次曝光的位置．连续两次曝光的时间间隔均为T ，每块砖的厚度为d ，根据图中的信息，下列判断正确的是 （
）（多选）
A ．位置“1”是小球释放的初始位置
B ．小球做匀加速直线运动
C ．小球下落的加速度为d
T 2
D ．小球在位置“3”的速度为7d 2T
【难度】★★ 【答案】BCD
【解析】由题图可知相邻时间间隔内通过的位移分别为2d 、3d 、4d 、5d ，所以小球做匀加速直线运动，位置“1”不是小球释放的初始位置，由位移差Δs ＝aT 2得小球下落的加速度为a ＝d
T 2，小球在位
置“3”的速度为v ＝s t ＝3d ＋4d 2T ＝7d
2T .，故B 、C 、D 均正确．
4、一个从地面竖直上抛的物体，它两次经过一个较低的点a 的时间间隔是T a ，两次经过一个较高点b 的时间间隔是T b ，则a 、b 之间的距离为
（
）
A ．18g （T 2a －T 2b
） B ．14g （T 2a －T 2
b ） C ．12g （T 2a －T 2b ）
D ．1
2
g （T a －T b ）
【难度】★★ 【答案】A
【解析】根据时间的对称性，物体从a 点到最高点的时间为T a 2，从b 点到最高点的时间为T b
2，所以a
点到最高点的距离h a ＝12g （T a 2）2＝gT 2a 8，b 点到最高点的距离h b ＝12g （T b 2）2＝gT 2b
8，故a 、b 之间的距
离为h a －h b ＝18g （T 2a －T 2b ），故选A
5、将某物体以30m/s 的初速度竖直上抛，不计空气阻力，g 取10 m/s 2，5s 内物体的 （
）
（多选）
A ．路程为65m
B ．位移大小为25m ，方向竖直向上
C ．速度改变量的大小为10m/s
D ．平均速度大小为13m/s ，方向竖直向上 【难度】★★ 【答案】AB
【解析】物体的初速度v 0＝30m/s ，g ＝10 m/s 2
，其上升时间t 1＝v 0g ＝3s ，上升高度h 1＝v 20
2g
＝45m ；下
降时间t 2＝5－t 1＝2s ，下降高度h 2＝1
2gt 22＝20m ．末速度v 1＝gt 2＝20m/s ，方向竖直向下．故5 s 内的
路程s ＝h 1＋h 2＝65 m ；位移x ＝h 1－h 2＝25 m ，方向竖直向上；速度改变量Δv ＝v t －v 0＝－20－30＝－50m/s ，负号表示方向竖直向下；平均速度v ＝s
t ＝5m/s 。

综上可知只有A 、B 正确．
6、2011年12月1日至21日，印度和吉尔吉斯斯坦举行了代号为“匕首—2011”的联合反恐军事演习，印方参演人员全部来自印度伞兵团．在一次低空跳伞演练中，当直升飞机悬停在离地面224 m 高处时，伞兵离开飞机做自由落体运动．运动一段时间后，打开降落伞，展伞后伞兵以12.5 m/s 2的加速度匀减速下降．为了伞兵的安全，要求伞兵落地速度最大不得超过5 m/s ，（取g ＝10 m/s 2）求： （1）伞兵展伞时，离地面的高度至少为多少？着地时相当于从多高处自由落下？ （2）伞兵在空中的最短时间为多少？
【难度】★★★
【答案】（1）99 m ；1.25 m （2）8.6 s
【解析】（1）设伞兵展伞时，离地面的高度至少为h ，此时速度为v 0，则有
v 2－v 20＝－2ah ，即52－v 20
＝－2×12.5×h 又v 20＝2g （224－h ）＝2×10×（224－h ） 联立解得h ＝99 m ，v 0＝50 m/s
以5 m/s 的速度落地相当于从h 1高处自由落下， 即2gh 1＝v 2
所以h 1＝v 22g ＝52
20
＝1.25 m.
（2）设伞兵在空中的最短时间为t ， 则有v 0＝gt 1，t 1＝v 0g ＝50
10＝5 s ，
t 2＝
v －v 0a ＝5－50
－12.5
＝3.6 s ， 故所求时间t ＝t 1＋t 2＝5＋3.6＝8.6 s.
【例1】将小球A 从地面以初速度v A0＝8m/s 竖直上抛，同时将小球B 从一高为h ＝2m 的平台上以初速v B0＝6m/s 竖直上抛，忽略空气阻力。

当两球同时到达同一高度时，小球B 离地高度为
（
）
A ．1m
B ．2m
C ．3m
D ．4m
【难度】★★ 【答案】C
【例2】物体A 做竖直上抛运动，同时在它的正上方物体B 做自由落体运动，两者初始位置相距为H ，设两物体的初始位置离地面有足够的高度，求： （1）两物体在空中是否一定可以相遇？
（2）若要使A 上升过程中相遇，则A 物体的初速度满足怎样的要求？
（3）若要使A 下降过程中且在抛出点上方相遇，则A 物体的初速度满足怎样的要求？ （4）若要使A 下降过程中且在抛出点下方相遇，则A 物体的初速度满足怎样的要求？ 【难度】★★★
【答案】（1）一定（2）v 0≥gH （3）
gH 2≤v 0<gH （4）v 0<gH
2
【解析】如图所示，设经过时间t 时A 、B 在空中相碰， A 做竖直上抛运动的位移：h A ＝v 0t －1
2gt 2
① B 做自由落体运动的位移为：h B ＝1
2gt 2
② 由几何关系H ＝h A ＋h B
③
联立①②③解得t ＝H
v 0
物体A 上升到最高点的时间为t ′＝v 0
g
要使A 上升过程中相遇，有H v 0≤v 0
g
解得v 0≥gH
要使A 下降过程中且在抛出点上方相遇，有v 0g <H v 0≤2v 0
g
解得
gH
2
≤v 0<gH 要使A 下降过程中且在抛出点下方相遇，有2v 0g <H
v 0
知识点二：落体运动的相遇问题
解得v 0<
gH 2
【思考】此题如何通过图像求解，请同学们思考
1、甲物自高处自由落下，同时乙物自地面以初速v 0竖直上抛，不计空气阻力，若甲、乙同时着地，则甲物原来距地面的高度为
（ ） A ．20
2v g
B ．20
v g
C ．
v g
D ．
2v g
【难度】★★ 【答案】A
2、在某处以初速度20m/s 竖直向上抛出A 球后，又以同样速度竖直向上抛出B 球，两球抛出的时间间隔2s ，重力加速度取10m/s 2。

则
（ ）
A ．A 球在上升过程中与
B 球相遇 B ．B 球在下降过程中与A 球相遇
C ．A 球抛出后，经过3s 与B 球相遇
D ．B 球抛出后，经过2s 与A 球相遇 【难度】★★ 【答案】C
3、从离地H 高处自由释放小球a ，同时在地面以速度v 0竖直上抛另一小球b ，有 （
）（多选）
A ．若v 0＞gH ，小球b 在上升过程中与a 球相遇
B ．若v 0＜gH ，小球b 在下落过程中肯定与a 球相遇
C ．若v 0＝
2
gH
，小球b 和a 不会在空中相遇 D ．若v 0＝gH ，两球在空中相遇时b 球速度为零 【难度】★★ 【答案】ACD
课堂练习
4、小球每隔0.2s 从同一高度抛出，做初速为6m/s 的竖直上抛运动，设它们在空中不相碰．第一个小球在抛出点以上能遇到的小球数为（取g ＝10m/s 2） （
） A ．三个 B ．四个 C ．五个
D ．六个
【难度】★★ 【答案】C
5、在地面以v 0＝20m/s 的初速度将小球A 竖直向上抛出，与此同时，在它正上方某高度处的小球B 恰好开始自由下落，两球在距地面15m 高处相碰，忽略空气阻力，取g ＝10m/s 2，求B 球从距地面多高处开始下降? 【难度】★★★ 【答案】20m 或60m
【解析】对A 球，有h ＝v 0t －1
2gt 2
即15＝20t －5t 2 得t ＝1s 或t ＝3s
B 下落的距离h B ＝1
2gt 2＝5m 或h B ＝45m
故B 下落的高度H ＝20m 或60m
6、如图所示，两条直棒AB 和CD 均长l ＝1m ，AB 悬于高处，CD 直立于地面，A 端离地面高度为H ＝20m ，现让AB 棒自由下落，CD 棒同时开始以v ＝20m/s 的初速度竖直上抛，不计空气阻力，取g ＝10m/s 2，求两棒相错而过的时间为多长? 【难度】★★★ 【答案】0.1s
【解析】设时刻t 1开始相遇，时刻t 2错开 由2211111222
H l gt vt gt -=
+- 解得t 1＝0.9s 由22
222
1122
H gt vt gt =
+- 解得t 2＝1s Δt ＝t 2－t 1＝0.1s
1、竖直上抛运动的处理方法有哪些？请简述？
2、如何通过运动图像分析上抛运动的相遇问题？
1、一物体自距地面高H 处自由下落，经时间t 落地，此时速度为v ，则 （
）（多选）
A ．t 2时物体距地面高度为H 2
B ．t 2时物体距地面高度为3H
4
C ．物体下落H 2时速度为v 2
D ．物体下落H 2时速度为2v 2
【难度】★★ 【答案】BD
【解析】由于物体自由下落，所以v 0＝0，H ＝12gt 2，所以h ′＝12g （t 2）2＝H 4，距地面为3
4H ，选项B
正确．根据v 2＝2gH 及v ′2＝2g H 2知v ′＝2
2v ，选项D 正确．
2、某人在高层楼房的阳台外侧以20m/s 的速度竖直向上抛出一个石块，石块运动到离抛出点15m 处所经历的时间可以是（不计空气阻力，g 取10m/s 2） （
）（多选） A ．1s
B ．2s
C ．3s
D ．（2＋7）s
【难度】★★ 【答案】ACD
3、在高度h ＝45m 处竖直上抛一小球，比与它同时在同一高度自由下落的另一小球迟t ＝1s 落到地上，不计空气阻力，则竖直上抛小球的初速度为 （
）
A ．8.75m/s
B ．11.5m/s
C ．17.5m/s
D ．21.5m/s
【难度】★★
回家作业
课堂总结
【答案】A
4、物体以初速度v0竖直上抛，经3s到达最高点，空气阻力不计，g取10m/s2，则（）（多选）
A．物体的初速度v0为30m/s
B．物体上升的最大高度为45m
C．物体在第1s内、第2s内、第3s内的平均速度之比为5：3：1
D．物体在1s内、2s内、3s内的平均速度之比为9：4：1
【难度】★★
【答案】ABC
5、不计空气阻力，以一定的初速度竖直上拋一物体，从拋出至回到拋出点的时间为t，现在物体上升的最大高度的一半处设置一块挡板，物体撞击挡板前后的速度大小相等、方向相反，撞击所需时间不计，则这种情况下物体上升和下降的总时间约为（）
A．0.5t B．0.4t C．0.3t D．0.2t
【难度】★★
【答案】C
【解析】将物体的上升过程分成位移相等的两段，设下面一段位移所用时间为t1，上面一段位移所用时间为t2，根据逆向思维可得：t2∶t1＝1∶（2－1），又知，物体撞击挡板后以原速度大小弹回
（撞击所需时间不计），物体上升和下降的总时间t′＝2t1且t1＋t2＝t
2，由以上几式可得：t′＝（2－1）t/2≈0.3t，正确答案为C
6、小球每隔0.2s从同一高度抛出，做初速为6m/s的竖直上抛运动，设它们在空中不相碰．第3个小球在抛出点以上能遇到的小球数为（取g＝10m/s）（）
A．6个B．7个C．8个D．9个
【难度】★★
【答案】B
7、一物体自空中的A点以一定的初速度竖直向上抛出，不计空气阻力，g取10m/s2，1s后物体的速率变为10m/s，则该物体此时（）
A．位置一定在A点上方，速度方向向上
B．位置一定在A点上方，速度方向向下
C．位置一定在A点上方，速度方向可能向上也可能向下
D．位置一定在A点下方，速度方向可能向上也可能向下
【难度】★★
【答案】A
8、一物体从某一行星表面竖直向上抛出（不计空气阻力）。

以抛出时t ＝0，得到如图所示的s －t 图象，则该行星表面重力加速度大小为_____m/s 2，物体被抛出时的初速度大小为_____m/s 。

【难度】★★ 【答案】8；20
9、在地面上以初速度2v 0竖直上抛一物体A 后，又以初速度v 0同地点竖直上抛另一物体B ，若要使两物体能在空中相遇，则两物体抛出的时间间隔Δt 必须满足什么条件？（不计空气阻力） 【难度】★★★ 【答案】2v 0g ＜Δt ＜4v 0g
【解析】两个物体空中相遇可能有几种情况：①A 、B 均在下降，A 追上B ；②A 在下降，B 在上升；则两物体抛出的时间间隔Δt 必须满足条件：①抛出B 时A 不能已经落地；②B 不能先落地，即A 在B 前落地．
A 在空中的时间：t 1＝2×2v 0
g
① B 在空中的时间：t 2＝2×v 0
g
② 要使A 、B 能在空中相遇，t 1－t 2＜Δt ＜t 1
③
即得：2v 0g ＜Δt ＜4v 0
g。