数理统计中山大学邓集贤杨维权

第六章 数理统计的基本概念 1.设总体(5,2)N ξ，129,,,ξξξ为其样本，试求样本的平均值ξ大于8的概率。

解：
2
23
3
2
(,
(5,)
35
85
{8}{
4.5}
1(4.5)0.598706326
N a N n
p p ξξξφ=--∴>=>
==-=
3.设总体ξ服从正态分布(0,)N σ，124,,,ξξξ为其样本，试问
2
1
2234()(
)ξξηξξ-
=
+服从什么分布？
解：
12
1234
34
2
2
122122
2
342
34(0,1)(0,
)
2(0,)
(0,1)2(1)()(1,1)
()(1)N N N N F ξξσ
ξξξξξξσξξχσξξξξξξχσ-⎫⎪
⎫
-⎪⎪⎪⎪⇒⎬
⎬+⎪⎪
+⎪⎪⎭
⎪⎭
⎫
⎛⎫⎪ ⎪-⎪
⎪⎪ ⎪ ⎪
⎪-⎝
⎭⎪⇒⎬+⎛⎫⎪ ⎪⎪+ ⎪⎪
⎪⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎭
4.设总体(1,2)N ξ，124,,
,ξξξ为其样本，记
4
2
1
[4]i i k ηξ==-∑，试问k 取何值时，使
得η服从2
()m χ分布，自由度m 取何值？
解：
4
4
1
1
(1,2)4
(4,16)(0,1)
4
i
i i
i N N N ξ
ξ
ξ
==-⇒
∑∑
4
2
21
(4)(1)
161
,1
16i i k m ξχ=-⇒
∴==∑
5.设(3,2)N ξ，1216,,,ξξξ为其样本，ξ与2
n S 分别为样本的均值与方差，试建立t
分布的统计量。

解：
(1)(15)
n
n
t n t ξξ=-=
6. 设正态总体(5,6)N ξ，,n ξ分别为样本容量和样本均值，试问n 应取多大，才能使得
ξ位于区间(3,7)概率不小于0.90
解：
(5,6)
{37}{}22(210.90.9525
N P P n ξξξφφφφ<<=-==<<==-=-≥⇒≥⇒≥
7．设总体()E ξλ，12,,,n ξξξ为其样本，ξ为样本均值：
1）试求2n ηξ=的分布。

2）若n=1,试问{6}p η>是何值？ 解：
12211
()(1),()(1)1()(12)(12)1222(,)(2,)(2)
222n
n
n n t it t it n t n it it n n n
n G n ξξλξϕϕλλ
ϕλ
λλξχ----=-=-=-=-⇒=Γ=
{6}1
{6}0.950212932p p η
η>=-≤=
8.设总体(12,2)N ξ，今抽取容量为5的样本125,,
,ξξξ，试问：
1）样本均值ξ大于13的概率是多少？ 2）样本的极小值小于10的概率是多少？ 3）样本的极大值大于15的概率是多少？ 解：
1).{13} 1.11803}1(1.11803)
0.13177709
P P ξξφ>=>==-=
552){(1)10}1[1(10)]1(0.841344746)0.57843P F ξξ<=--=-=
553){(5)15}1[(15)]10.9331927990.292287455
P F ξξ≥=-=-=
9 设电子元件的寿命(时数)ξ服从服从以0.0015λ=为参数的指数分布，即有密度函数
0.0015()0.0015,0x
f x e
x -=>.令测试6个元件，并记录它们各自失效的时间(单位：h).试问：
(1) 至800小时时没有一个元件失效的概率是多少？ (2) 到3000小时时所有元件都失效的概率是多少？
解：（1）(0.0015),1,2,
,6i
E i ξ=,且相互独立，则
()61261
6
0.0015*8007.2{min(,,
,)800}{800}
.
i i P P e e ξξξξ=-->=>==∏
(2)
()()6
1261
6
6
0.0015*3000 4.5{max(,,
,)3000}{3000}
11.
i i P P e e ξξξξ=--<=<=-=-∏
10. 设总体(20,3)N ξ，今从中抽取容量为10和15 的两个独立样本，试问这两个样本的平均之差的绝对值大于0.3的概率是多少？ 解： 记这两个样本均值分别为：
2
1
1122
223(,
)(20,
)101
(0,)23
(,)(20,)15N a N
n N N a N n σξ
ξξσξ⎫
=⎪
⎪⇒-
⎬⎪
=⎪⎭
12{0.3}2*(10.6714P P ξξξξφ-->=>==-=
11.设总体ξ服从正态分成2
(,)N a σ，12,ξξ为其样本，试求样本极差的分布，极大值
与极小值的分布。

解：（1）.当样本容量2
n =时，极差
的分布即为1
2||ξξ-
的分布，
2
12
(0,2)N
ηξξσ=
-
2
2
22
||122||4(){||}{||{||21()2x x F x P x P P f x ησησηφφσ--=<=<=<
=-∴===
由公式（6.2.16）有
2
2
11222
()()()1
2D v y a v a f y f v y f v dv
dv
σσπσ∞
-∞
+--⎛⎫⎛⎫--∞ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
=+==
⎰⎰
（2）由公式(6.2.12), (6.2.13),得
2
2
2
22
2112221122
1122
()2()()1
u a x a u
u a u a
t u a u a
t f u f u F u dx
dt e
dt σσσσ
σσ
σπσ
--⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
-⎛⎫--- ⎪⎝⎭
-∞
-⎛⎫--- ⎪⎝⎭
-∞
====
⎰
⎰
⎰
2
2
112122(3)()2()(1())2()()
()(2))
v a v a f u f v F v f v F v f v σσ-⎛⎫- ⎪⎝⎭
-⎛⎫- ⎪⎝⎭
=-=-=
-由(
12.设总体ξ服从参数为λ的指数分布，12,ξξ为其样本，试求样本的极大值、极小值与极差的分布。

解：参见P13页例6.2.5当n=2的情形：
*2
2212(1),0()0,2,0()0,,0()0,u u v y D e e u f u e v f v e y f y λλλλλλλ----⎧-<<∞=⎨
⎩⎧<<∞=⎨
⎩⎧<<∞
=⎨⎩其他
其他
其他
13.设12,,,n ξξξ是相互独立的且都是服从正态(0,1)N 分布的随机变量，12,,
,n ξξξ到
12,,
,n ηηη的变换为正交变换，试证：12,,,n ηηη是n 个相互独立的且都服正态(0,1)
N 分布的随机变量。

证明： 因为2
12121
(,,
,)(2)exp{'},(,,,)'.
2n n n f x x x x x x x x x ξπ-
=-=其中设正交变换
为：x Ty =，则其雅可比行列式||||1,T =且''''xx y T Ty y y ==，由随机向量函数的密度
公式，得
2
1221
(,,
,)(2)exp{()'()}||
2
1
(2)exp{'}
2
(0,)n n n n n f y y y Ty Ty J y y N I ηππη-
-=-=-∴ 其中，n I 为单位矩阵。

14. 设总体ξ服从正态2
(,)N a σ，12,,
,n ξξξ为其样本，ξ与2n S 分为样本均值及方差.又设1n ξ+服从正态2
(,)N a σ，且与12,,
,n ξξξ相互独立，试求统计量
η=
.
解：
2
11222
1(0,
)(0,1)1
(1)
(1)
n n n
n N N n n nS n t n ξξξ
σσχσ
ξ
++⎫+-⇒⎪
+⎪⎪⇒⎬⎪⎪-⎪⎭
=-又
15.设12,,,n ξξξ相互独立且服从正态分布2(,),1,2,,i i N a i n σ=，试证明：
1
n
i i
i c ηξ==∑服从正态分布
221
1
(,)
n
n
i i i i i i N c a c a ==∑∑.
证明：应用特征函数。

22
1
2
(),1,2,
.i i i
ia t t t e
i n σξϕ-==
222
1
2221
1
1
2
1
11
2221
1
()(,)
n
k k k k k k k k k n
n
k k k k k k n
n
i
c t
ic a t c t ic t
i t
k k n
n
i
c a t c t k k k k k k t Ee Ee
Ee
e
e
N c a c ξσξηησϕη
σ===-==-
==∑===
=
∑
∑
=⇒∑∑
16.设总体在
11(,)
22θθ-+上服从均匀分布，12,,,n ξξξ为其样本，(1)(2)()
,,
,n ξξξ为顺
序统计量，试求(1)()(1)(),,n n ξξξξ及()
的分布。

解：
11111
()()[1()]( 6.2.13)11
[1(())]()
22
()()[()]( 6.2.12)1
()2n n n n n f v nf v F v n v n v f u nf u F u n u θθθ----=-=---=+-==+-公式公式
(1)()()(1)()()(1)()()()2
2
(,){,}
1{}{,}1{}()1{}[()()]1{}()(,)(,)(1)()n n n n n n n n
n n F u v P u v P u P v u P u P v u P u F u F v P u u v f u v F u v n n u v u v ξξξξξξξξξξ-=≤≤=->-><=->-<≤<=->--=->--∂⇒==--∂∂
第七章 参数估计
课后习题详解：
1.解：
20122222230111
(,)(3,),,9327
..()(1)..()(1)2,..()(12)(,2)(2)(()(,2))
2
2{}{}0.01
2(0.001)(0.01)5n n n E D c f t i t t
c f t i n
n c f t it n
n n n nM
P M P nM
α
α
α
αξ
αβξαβξαβξϕβξϕβξηηϕβ
η
αχαχξηβ
χχβ
---Γ=Γ====
=-=-=-∴Γ==Γ⇒>=>====总体的子样的记＝则的0.89
11
50.8950.890.565442109
M n
β⇒=⋅
=⋅
⋅=
2.解：
000
(),0,0,0(){}()1,0
()()y m
m
y m y y e y m y dy e dy P m F m e m y dy
e dy
E αβαββαβηαβξηξηξβ---∞∞-=>>≥<<===
=->⎰⎰⎰
⎰
震级的概率
即
3.解：
14
(,1),{0}0.7()20
(0,1)
(0)()()1()0.7
()0.30.2544.
N a P a N P p a a a a a a ξξξξξφφφ<=
=-∴<=-<-=-=-==⇒=-用频率估计概率
4.解：求θ的极大似然估计量
(1) ||1
(;),||,0,2x f x e x x θθθθ--=>-∞<<-∞<<∞
1
||1
1211(;)2
,,,||n
i i n
x i n i n
n i i f x e
x x x x θθθθ=-
-==∑=-∏
∑当取的中位数时，取到最小值。

(2)θ的似然发函数为 ()1
111
1
1
(;)()ln (;)(ln 1ln )
ln 0ln 1
ln n
n
i i n
i i n i n i i
i n
i
i L x x L x n x n n x x n
θθθθθθθθθθθξ
ξ
-======∂∂
=+-∂∂-=+=∴=-∴=
=-
∏∑∑∑∑对数似然方程为
(3) θ的似然函数为
()()
()
111
(;)(0),22n n n
n mle n L x x x E θθθθξθ
ξθξθ=≤<≤∴==
⇒=又是的矩法估计量(不同于极大似然估计量)。

(4) θ的似然函数为
1
11
2
1
1
(;)ln (;)(ln )
.
n
i
i x n
n
i i n
i
i n
i
i mle L x e
x L x n x
n x
n θ
θθ
θθθθθθ
θ
θθξ=-===∑=
∂∂
=--∂∂=-
+
==
⇒=∑∑∑对数似然方程为
5.解：
22
2
222
2
21S S p Np S Npq N p S S p N S ξξξξξξξξξξξ⎧-=-
=⎪⎧=⎪⎪
⇒⇒⎨⎨=⎪⎪
⎩==⎪-⎩⎧-=
⎪⎪
⎨⎪
=⎪-⎩
6.解：
ln (,),,
N a e E Ee ηηηξσξξ===
7.解：（1） β的似然方程为
01
()
(;)n
i i t t n
L x e
β
ββ=--∑=
对数似然方程为
01
1
1
ln (;)(ln )1
n
i i n
i i n
i i L x n t n t n
t nt n
T t t nt
βββββββ
ββ===∂∂=-+∂∂=
-+⇒=⇒=
--∑∑∑
（2）0t 的似然方程为:
01
()
0001
00001
1
01(;)ln (;)(ln )0
,1,2,
,min ()(min )min n
i i i t t n n
i i i n
n i i i t t i i i
i n
L x t e
L x t n t n t t t n t t i n
t t t t t t β
βββββ=--=>==≤≤∑=∂∂=-+∂∂=≠<=∴-≥-∴=∑∑∑对数似然方程为
8.解： （1）：
1111||(6,7)
,1n n i i i E E a ch Ex k k k σξ===-==
⇒=∑
(2):
1
2
2
11
12221111()11(2)22(1)n i i i n i i i i i E E k n E E E k k k n σξξξξξξσ-+=-++==--=-+=⇒=-∑∑ 9.解：
令
1
1
1
1
1
1
,1
11cov(,
)n n n n
i i i i i i i i i i n i
i n
i
n
n
i i i i i T T c ET c E c a a c n c c D ξξξξξξ
ξξρξ=======⇒===⇒==∴==
=
=
=
∑∑∑∑∑∑∑∑
10.解：
1231232,1910.3825100411250.3472
916144111
0.388
9364Ea Ea Ea a Da Da Da a ===⇒但＝
＋＋＝＝＋＋＝＝＋＋＝的方差最小。

11.解：
12
12
22221112212222211221212
2222212121122122
12212212122212
22
1212()2cov()2(2)(22)222(2)
2D c c c c c c c c c c c c ρρσσσσσσσσρσσσσρσσρσσσσρσσσσσρσσσρσσσσρσσ⇒∴=++=++=+-+-+-⇒==-
+--=+-121212212cov （a ,a ）
＝
cov （a ,a ）=a +c a a ,a 当.时，取最小值
12.解：
（1）12,()a Ea E E E a a ξηξηξη=-=-=-=- （2）
22
12
12
12
()14,Da D D D n n n n σσξηξη=-=+=+
=
+
即 11
(,),z f x y x y n
x y ==++=在条件下的极值，
由Langrange 乘数法，令
2
214
(,,)(,)()()
104030x y L x y f x y x y n x y n x y
L x n L x y L x y n λλλλλλ=++-=+++-⎫=-
+=⎪⎪
⎪
=-+=⇒=
⎬⎪⎪
=+-=⎪⎭
故
12[],[]
33n n n n n ==-时，可使a 的方差达到最小. 13.解：
221212(),()E a a D ξηξησσ-=--=+，由P48的推论知，ξηξη-=-为12a a -的最小线性无偏估计。

14.解：
*3*3
32
*0
3
3
*2
2
*22
302
**2*222{}()333(),4
4
.3
4163163915444333161.1515n
n n
n n n n n n n n x x p x F x x dx
x
f x E x
E x dx D E E θ
ξθξθθ
ξθθθξθξθθξξξθθθ<====
=
=∴⎛⎫== ⎪⎝⎭
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-=⎰
⎰为的无偏估计
()()()()()*1
3*
313
2
3
2
**
11302
2**22211302**2*222
111*2*2
1*(){}1(1)13()()3(),4.4
3()8416165
83
4445541
34315
54
3n n x x p x x f x x E dx x E E x dx D E E D D ξθθθξθθ
θθθθξξθθθξξθθξξξθθθξθξθξ-<=--=--=
-==∴-===∴=-=-=⎛⎫=<= ⎪⎝⎭∴⎰⎰又为的无偏估计较为有效.
15.解：
2212112211221212222222
1122112211222222222
1222122
222222121111121111221,22[]()1
[]2(2)22(1)212321
112
,33E E D D E c c c c c c D c c c D c D c c c c c c c c c c c c c c c c c θθθθσθσθθθθθθθθσσσσσθθθ=====+=+=⇒+=++=+=++=+-=+-+=-+=+=+1又＝＋＝又当c 时21122,[]3D c c θθθ+取最小值.
16.证:
0012,,T U T T ∀∈分别是12(),()g g θθ的最优无偏估计量，10200ETT ET T ∴==。

又因为11221122()()()E bT b T b g b g θθ+=+,
22
11221122()D b T b T b DT b DT +=+<∞ 112011221102201121122()0
()()bT b T U
ET bT b T EbTT Eb T T bT b T b g b g θθ∴+∈+=+=∴++且是的最优无偏估计量。

17．解：
（1）
2222
11221222
12
22
112222
12
22
222
111222
2
22
112212(1)(1)(1),(1)(1)(1),(1)(1)(1)(1)n S n S n n n S n S F S n S n S F n n S χχσσσσσσσσ----------12且独立，由分布的定义，有F ＝＝（n -1,n -1）
则由
22
2112122212
222
111222
22212
11/2122/212222
111222
2
2212
1{}{
}
{}(1,1),(1,1),
1S
P k F K P k K S S S p k S k S k F n n k F n n S S k S k S αασασσσσασ--=<<=<<=<<=--=---通常取即的置信区间为(,).
(2).
1212((0,1)
N a a N a a ξηξηξη--⇒--±的置信区间为
[
18. 解：
2222
12
12
12
12
2
,
(2)
1
[(
T t n n
a a
t n n
α
σσσσ
ξη
α
ξη
==
+-
⇒--
-±+-
但未知，则
的置信区间为
19.解:
15
152
22
1
1
8.7
0.58,24.7136
1515
i
i
n i
i
x
S x
ξξ
=
=
====-=
∑
∑
,
a的置信水平为10.95
α
-=的区间估计为
/2/2
[((
[0.58
[-28.6499,29.8099]
t n t n
αα
ξξ
--+-
=-+
=
2
σ的置信水平为10.95
α
-=的区间估计为
22
22
/21/2
,
(1)(1)
15*24.713615*24.7136
,
26.1189 5.6287
[14.1929,65.8596]
n n
nS nS
n n
αα
χχ
-
⎡⎤
⎢⎥
--
⎣⎦
⎡⎤
=⎢⎥
⎣⎦
=。

20.解: n=10,0.1
α=
222
11
/20.05
/2/2
22
/20.05
11
2,() 5.778 2.4037.
1
10.900.1,(101)(9) 1.833
[ ((
=[2-1.833
(1)(
n n
i i
i i
a S S
n n
t t
a t n t n
n
α
αα
α
ξξσξξ
α
ξξ
χχ
==
====-==⇒=
-
=-==
--+-
-=
∑∑
－＝
的区间估计
22
1/20.95
22
2
22
/21/2
9)16.919
(1)(9) 3.325.
(1)(1)9*5.7789*5.778
,[,]
(1)(1)16.919 3.325 [3.0735,15.6391]
n
n s n s
n n
α
αα
χχ
σ
χχ
-
-
=
-==
⎡⎤
--
=
⎢⎥
--
⎣⎦
=
的区间估计
（注：素材和资料部分来自网络，供参考。

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