数理统计中山大学邓集贤杨维权

第六章 数理统计的基本概念 1.设总体(5,2)N ξ，129,,,ξξξ为其样本，试求样本的平均值ξ大于8的概率。

解：

2

23

3

2

(,

(5,)

35

85

{8}{

4.5}

1(4.5)0.598706326

N a N n

p p ξξξφ=--∴>=>

==-=

3.设总体ξ服从正态分布(0,)N σ，124,,,ξξξ为其样本，试问

2

1

2234()(

)ξξηξξ-

=

+服从什么分布？

解：

12

1234

34

2

2

122122

2

342

34(0,1)(0,

)

2(0,)

(0,1)2(1)()(1,1)

()(1)N N N N F ξξσ

ξξξξξξσξξχσξξξξξξχσ-⎫⎪

⎫

-⎪⎪⎪⎪⇒⎬

⎬+⎪⎪

+⎪⎪⎭

⎪⎭

⎫

⎛⎫⎪ ⎪-⎪

⎪⎪ ⎪ ⎪

⎪-⎝

⎭⎪⇒⎬+⎛⎫⎪ ⎪⎪+ ⎪⎪

⎪⎪ ⎪

⎪⎝⎭⎭

4.设总体(1,2)N ξ，124,,

,ξξξ为其样本，记

4

2

1

[4]i i k ηξ==-∑，试问k 取何值时，使

得η服从2

()m χ分布，自由度m 取何值？

解：

4

4

1

1

(1,2)4

(4,16)(0,1)

4

i

i i

i N N N ξ

ξ

ξ

==-⇒

∑∑

4

2

21

(4)(1)

161

,1

16i i k m ξχ=-⇒

∴==∑

5.设(3,2)N ξ，1216,,,ξξξ为其样本，ξ与2

n S 分别为样本的均值与方差，试建立t

分布的统计量。 解：

(1)(15)

n

n

t n t ξξ=-=

6. 设正态总体(5,6)N ξ，,n ξ分别为样本容量和样本均值，试问n 应取多大，才能使得

ξ位于区间(3,7)概率不小于0.90

解：

(5,6)

{37}{}22(210.90.9525

N P P n ξξξφφφφ<<=-==<<==-=-≥⇒≥⇒≥

7．设总体()E ξλ，12,,,n ξξξ为其样本，ξ为样本均值：

1）试求2n ηξ=的分布。 2）若n=1,试问{6}p η>是何值？ 解：

12211

()(1),()(1)1()(12)(12)1222(,)(2,)(2)

222n

n

n n t it t it n t n it it n n n

n G n ξξλξϕϕλλ

ϕλ

λλξχ----=-=-=-=-⇒=Γ=

{6}1

{6}0.950212932p p η

η>=-≤=

8.设总体(12,2)N ξ，今抽取容量为5的样本125,,

,ξξξ，试问：

1）样本均值ξ大于13的概率是多少？ 2）样本的极小值小于10的概率是多少？ 3）样本的极大值大于15的概率是多少？ 解：

1).{13} 1.11803}1(1.11803)

0.13177709

P P ξξφ>=>==-=

552){(1)10}1[1(10)]1(0.841344746)0.57843P F ξξ<=--=-=

553){(5)15}1[(15)]10.9331927990.292287455

P F ξξ≥=-=-=

9 设电子元件的寿命(时数)ξ服从服从以0.0015λ=为参数的指数分布，即有密度函数

0.0015()0.0015,0x

f x e

x -=>.令测试6个元件，并记录它们各自失效的时间(单位：h).试问：

(1) 至800小时时没有一个元件失效的概率是多少？ (2) 到3000小时时所有元件都失效的概率是多少？

解：（1）(0.0015),1,2,

,6i

E i ξ=,且相互独立，则

()61261

6

0.0015*8007.2{min(,,

,)800}{800}

.

i i P P e e ξξξξ=-->=>==∏

(2)

()()6

1261

6

6

0.0015*3000 4.5{max(,,

,)3000}{3000}

11.

i i P P e e ξξξξ=--<=<=-=-∏

10. 设总体(20,3)N ξ，今从中抽取容量为10和15 的两个独立样本，试问这两个样本的平均之差的绝对值大于0.3的概率是多少？ 解： 记这两个样本均值分别为：

2

1

1122

223(,

)(20,

)101

(0,)23

(,)(20,)15N a N

n N N a N n σξ

ξξσξ⎫

=⎪

⎪⇒-

⎬⎪

=⎪⎭

12{0.3}2*(10.6714P P ξξξξφ-->=>==-=

11.设总体ξ服从正态分成2

(,)N a σ，12,ξξ为其样本，试求样本极差的分布，极大值

与极小值的分布。

解：（1）.当样本容量2

n =时，极差

的分布即为1

2||ξξ-

的分布，

2

12

(0,2)N

ηξξσ=

-

2

2

22

||122||4(){||}{||{||21()2x x F x P x P P f x ησησηφφσ--=<=<=<

=-∴===

由公式（6.2.16）有