多元隐函数求偏导
隐函数求偏导例题及解析
如何求解隐函数的偏导数隐函数是指给定一个函数，通过解方程组得到另一个函数，这个函数被称为隐函数。
在求解隐函数的偏导数时，我们可以使用链式法则和隐函数定理等方法。
链式法则是指，如果 $y=f(u)$ 且 $u=g(x)$,那么 $y$ 关于$x$ 的偏导数为 $frac{partial y}{partial x} = frac{partialf(u)}{partial u} frac{partial u}{partial x}$。
这个公式可以帮助我们求解复合函数的偏导数。
隐函数定理是指，如果 $y=f(x)$ 且 $y$ 关于 $x$ 的偏导数存在，那么 $f(x)$ 关于 $x$ 的隐函数 $g(x)$ 存在，且$frac{partial g(x)}{partial x} = frac{partial f(x)}{partial x}$。
这个定理可以帮助我们求解隐函数的偏导数。
下面是一些例题和解析:例题 1:求 $f(x,y)=x^2+y^2$ 关于 $y$ 的偏导数。
解：首先，我们可以将 $f(x,y)$ 表示为 $y$ 的隐函数，即 $y = sqrt{f(x,y)-x^2}$。
那么，关于 $y$ 的偏导数为:$$frac{partial f(x,y)}{partial y} = frac{partial}{partial y} left(x^2 + left(sqrt{f(x,y)-x^2}ight)^2ight)$$$$= 2sqrt{f(x,y)-x^2} frac{partialsqrt{f(x,y)-x^2}}{partial y} + 2x frac{partial x}{partial y}$$$$= 2sqrt{f(x,y)-x^2} frac{1}{2sqrt{f(x,y)-x^2}} + 2x cdot 0$$$$= 1$$因此，$frac{partial f(x,y)}{partial y} = 1$。
偏导问题求解技巧
偏导问题求解技巧偏导数是微积分中的一个重要概念，它用于描述多元函数在某一点处沿着某一个特定方向的变化率。
求解偏导数的问题在实际应用中十分常见，了解和掌握一些求解偏导数的技巧能够帮助我们更好地理解和分析多元函数的性质。
一、基本定义和概念在介绍求解偏导数的技巧之前，我们首先需要了解一些基本的定义和概念。
1. 偏导数的定义：对于一个多元函数f(x1, x2, ..., xn)，偏导数是指在给定某一点上，对某一独立变量的偏导数。
例如，对于函数f(x, y)，它的偏导数可以表示为∂f/∂x和∂f/∂y。
2. 偏导数的几何意义：偏导数表示函数在某一点沿着坐标轴的变化率，也可以理解为函数曲面在该点附近的切线斜率。
对于一元函数，偏导数就是普通导数；而对于二元函数，偏导数表示在给定一元变量的情况下对函数的变化率。
二、求解偏导数的技巧在实际求解偏导数的问题中，我们可以运用一些技巧和规律来简化计算和加快求解的过程。
1. 利用基本求导法则：与普通导数类似，偏导数也有一些基本的求导法则，例如：常数的导数为0，幂函数的导数为幂次减1乘以导数等。
在具体求解时，可以直接应用这些法则来求解偏导数。
2. 高阶偏导数：在多元函数的求导过程中，还存在高阶偏导数的概念。
高阶偏导数指的是对多次求导得到的导数，例如二阶偏导数、三阶偏导数等。
在求解多元函数的偏导数时，可以利用高阶偏导数的概念来简化计算，只需多次应用求导法则即可。
3. 链式法则：链式法则是求解复合函数导数的一种方法，同样也适用于多元函数的偏导数求解。
链式法则指出，如果一个函数由另一个函数的复合而成，那么它的导数可以通过各个复合函数的导数相乘得到。
在求解多元函数的偏导数时，可以运用链式法则将问题简化为求解一元函数的导数问题。
4. 隐函数求导：有时，多元函数的表达式不是显式给定的，而是通过一个方程来表示，此时可以运用隐函数求导来求解偏导数。
隐函数求导可以通过对给定方程两边同时求导得到，根据求导的结果可以求出各个变量的偏导数。
9.5隐函数方程求导法则
ydx xdy exdx eydy 0
解得
dy ex y
dx x ey
3、公式法 多元复合函数求偏导的应用 第9章 多元函数
F
两边对 x 求导，y是x的函数
x y f
d y Fx
x
d x Fy
隐函数的求导公式
例 求由方程 xy ex ey 0所确定的隐函数y的导数 dy
x y
解2: dz d( eu sin v ) eu cos v dv
d (xy)
d (x y)
(yd x xdy) exy[ y sin(x y) cos(x y)]d x
(dx dy)
dy
所以
例2 已知
z exy ez
第9章 多元函数
，求
z x
知识回顾： 1. F( x, y) 0
第9章 多元函数
隐函数求导方法: （1、直接法）
两边对 x 求导 （y是x的函数）
(含导数 y的方程)
第9章 多元函数
例 求由方程 xy ex ey 0所确定的隐函数y的导数 dy dx
解1 方程两边对 x求导 : （y是x的函数） 由复合函数求导法则可得：
y)，求
2z x 2
和
2z xy
第9章 多元函数
解：z x
ln
yf1'
f
' 2
2z x 2
ln
y
f1' x
f
' 2
x
ln
y(ln
yf11
f12 ) (ln
yf21
f22 )
7-4第四节 多元复合函数和隐函数的偏导数
LOGO
y 的偏导数，复合 x 和 w w( x , y ) 都在点( x , y ) 具有对
函数 z f [ ( x , y ), ( x , y ), w( x , y )] 在对应点( x , y ) 两个偏导数存在，且可用下列公式计算
z z u z v z w , x u x v x w x z z u z v z w z . y u y v y w y
z Fx ， x Fz
Fy z . y Fz
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例：设由方程
e xy 2 z e z 0所确定的隐函数 z z z f ( x , y )，试求 , . x y
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z 例 5 设 x y z 4 z 0 ，求 2 . x
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t t
e (cos t sin t ) cos t .
t
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3、全微分形式不变性
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z z dz du dv ;当 u ( x , y ) 、v ( x , y ) u v z z dx dy . 时，有dz x y
中的 y 看作不变而对x 的偏导数
变而对 x 的偏导数
v 1, x
w 0, x
v 0, y
w 1. y
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例 1 设 z e u sin v ，而u xy ，v x y ，
LOGO
z z 求 和 . x y
解
z z u z v x u x v x
第四节 多元复合函数与隐函 数的求导法则
目录
演示文稿复合函数与隐函数的偏导数
注 对复合函数求高阶偏导数时, 需注意:
导函数仍是复合函数. 故对导函数再求偏导数时,
仍需用复合函数求导的方法.
第二十五页，共29页。
隐函数的求导公式
设方程 xy yz zx 1 确定了隐函数
z
z(
x,
y),试求
2z x 2
,
2z y2
.
分析 在某函数(或方程)表达式中, 将任意两个 自变量互换后, 仍是原来的函数 (或方程), 称函数
都在点( x, y)处具有三对个x中和间y的变偏量导两数个,复自合变函量数
z f [ ( x, y), ( x, y),( x, y)]在对应点 ( x, y)
u
v
w
的两个偏导数存在, 且可用下列公式计算:
z z u z v z w x u x v x w x
ux
zv
z y
z u u y
z v
多元复合函数的求导法则
如z f (u,v, w), u u(t), v v(t), w w(t) dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt
问: 函数对某自变量的偏导数之结构
项数
中间变量 的个数.
每一项 函数对中间变量的偏导数
该中间变量对其指定自变量的偏导数(或导数).
第五页，共29页。
多元复合函数的求导法则
例 设 y (cos x)sin x ,求 dy
dx 解 法一
这是幂指函数的导数, 可用取对数求导法计算.
但用全导数公式较简便.
法二 令u cos x, v sin x, 则y uv
dy y du y dv dx u dx v dx
u
y
多元复合函数求导法则和隐函数求导公式
z
= e [ y ⋅ sin( x + y ) + cos( x + y )]
xy
u x yx
v y
∂ z ∂ z ∂u ∂ z ∂v = ⋅ + ⋅ ∂ y ∂u ∂ y ∂v ∂ y = e u sin v ⋅ x + e u cos v ⋅1 = e [ x ⋅ sin( x + y ) + cos( x + y )]
4
x 2 + y 2 + x 4 sin 2 y
dz . 例3. 设 z = u v + sin t , u = e , v = cos t , 求全导数 dt d z ∂ z du ∂ z dv ∂ z + = ⋅ + ⋅ 解: z d t ∂u d t ∂v dt ∂t
t
= v e t− u sin t + cos t = e t (cos t − sin t ) + cos t
u
x y z
= 2 x (1 + 2 x sin y ) e
2
x 2 + y 2 + x 4 sin 2 y
∂u ∂ f ∂ f ∂ z + ⋅ = ∂ y ∂ y ∂z ∂ y
x
cos y
y
= 2 ye
x2 + y2 + z 2
+2 z e
x2 + y2 + z 2⋅ x 2
= 2 ( y + x sin y cos y ) e
多元复合函数的求导法则
一元复合函数
y = f (u ), u = ϕ ( x)
dy dy d u 求导法则 = ⋅ dx du dx 微分法则 d y = f ′(u ) d u= f ′(u ) ϕ ′ ( x) d x
8.5_隐函数的求导公式
dx dx
x x
的方法相同.
26
8.5 隐函数的求导公式
例
设 xx2yy 2 z 1 2z22,(y0,z0)求ddxy
, dz 及 dx
dy dz
,
.
dxx1 dxx1
F F
(F ,G) (u, v )
u G
y = f (x), 它满足条件y0 = f (x0), 并有
dy Fx(x, y) 隐函数的求导公式 dx Fy(x, y)
(证明从略)仅推导公式. 将恒等式 F(x,f (x))0
两边关于x求导, 由链导法则, 得
4
8.5 隐函数的求导公式
F(x,f (x))0
Fx(x,y)Fy(x,y)
d d
一个隐函数y
=
f
(x),
并求
dy dx
.
证 记 F (x ,y ) x y e x ey,则
(1) F x(x,y)yex与 F y(x,y)xey在点 (0,0) 的邻域内连续;
(2) F(0,0)0;
(3) F y(0,0)10, 隐函数存在定理1
所以方程在点(0,0)附近确定一个有连续导数、
当 x0时 y0的隐函数 y = f (x), 且
隐函数的求导公式 dy Fx(x, y) dx Fy(x, y)
8
8.5 隐函数的求导公式
2. 由三元方程F(x, y, z) = 0确定二元隐函数
z = f (x, y), 求 z , z . x y
隐函数存在定理2 若三元函数F (x, y, z)满足:
(1) 在点P (x0, y0, z0)的某一邻域内具有连续
zz
求 z , z . x y
多元隐函数求二阶偏导
关于多元隐函数求二阶偏导数的方法及应用例子一、求二阶偏导数的方法1.利用多元函数的偏导数公式进行计算。
2.利用二阶偏导数的定义进行计算。
3.利用高阶导数的计算公式进行计算。
4.利用多元函数的极值条件进行计算。
二、求二阶偏导数的步骤第一步，假设隐函数为F(x,y,z)=0，对F分别求x，y，z的偏导数，得到偏导函数Fx，Fy，Fz。
第二步，对Fx再求y的偏导数，得到二阶偏导数Fx,2。
第三步，对Fy再求x的偏导数，得到二阶偏导数Fy,1。
第四步，对Fz再求x的偏导数和y的偏导数，分别得到二阶偏导数Fz,1和Fz,2。
第五步，根据二阶偏导数的定义，二阶偏导数等于Fx,2+Fy,1Fz,1+Fz,2Fx。
第六步，将得到的各二阶偏导数相加即可得到二阶偏导数的值。
三、应用例子1.球放在墙角滚动：设球在平面直角坐标系中，坐标为(x,y)，球半径为r，球心到墙的距离为d，则球心到墙的直线距离为d-r。
球沿着直线段滚动时，可以沿着y轴向左右平移，也可以沿着x轴向前后平移。
根据二阶偏导数的定义，可以求出球沿着直线段滚动的运动方程，并计算出球的速度和加速度。
2.弹性力学：在弹性力学中，物体的变形与应力、应变之间的关系可以通过二阶偏导数来描述。
例如，对于一个弹性体，其位移u(x,y)与应力张量T(x,y)之间的关系可以用二阶偏导数表示。
通过求解物体的应变能函数对位移的二阶偏导数，可以得到物体的应力-应变曲线，进而分析物体的力学性能。
3.物理学中的热传导问题：在物理学中，热传导问题可以用偏微分方程来描述。
例如，对于一个半无限大区域，其温度分布u(x,t)满足热传导方程：∂u/∂t=α(∂²u/∂x²)。
通过求解该方程的解，可以得到物体内部的温度分布情况。
而二阶偏导数在这个过程中扮演着重要的角色。
4.经济学中的最优控制问题：在经济学中，最优控制问题是指如何在有限的时间内实现最优的经济增长或最有效地利用资源。
多元函数微分学及应用
2x3x 2 fdx x 3 h (xdy ydxxdy ydx习题课：多元函数求偏导，多元函数微分的应用多元复合函数、隐函数的求导法？(1)多元复合函数设二兀函数z f(u,v)在点(u o ,v o )处偏导数连续，二元函数 u u(x, y), v v(x, y)在点 (x o , y o )处偏导数连续，并且u o u(x o , y o ),v o v(x o ,y o ),则复合函数 z f (u(x, y), v(x, y))在点(x o ,y o )处可微，且dz — dx —z dyx y计算—f u f v zu f v 代人，xu x v xyu y v yzz f uf v fu f v dzdx dydxdyxy u x v xuyv yf u . uf v , v ,dx dydx dyu x yvxydu dv u v例 1 设 z x 3f xy,—，求一^,二。
x x y解：dz f 3x 2dx x 3df 3x 2 fdx x 3 f |d(xy) f 2 d — xf u o ,v ou x o , y of u o ,v ov x o ,y o(x o ,y o )uxvxf u o , v ou x o , y of u o ,v ov X o , y o(x o ,y o )uy vyz xz y多元函数微分形式的不变性:则将z 看成x, y 的函数，有f (u,v),u u(x, y), v v(x, y)，均为连续可微,我们将 dz — dx — dyx y—du ~~ dv 叫做微分形式不变性。
u v例3已知函数y f (x)由方程ax by f x 2 y 2 , a,b 是常数，求导函数。
解：方程ax by f x 2 y 2 两边对x 求导，a b 业 f (x 2 y 2) 2x 2y 业dxdxdy 2xf (x 2 y 2) a dx b 2yf (x 2 y 2)两端分别关于x i 求偏导数得到，并解f, 可得到公式：一yF x x,y F y x, yX iXi例4设函数x x(z), y y(z)由方程组2 2 2 …x y z 12 o 2 2 dx 2y z 1 0确定，求0确定，求导之函数？ y(x 1 ,...,x n ),对于方程F(X 1,...,X n ,y(X 1,...,X n ))3x 2fx 3yf i xyf 2 dx x 4 f 1 x 2f 2 dy由微分形式不变性,dz — dx x—dy y 3x f xyf ixyf 2 dx x 4 f 1 x 2 f 2 dy3x 2fx 3yf ixyf 2x 4 f 1 x 2 f 2例2已知y，求亠dydx解考虑二元函数y1 ,vx 应用推论得dy dxdu u dxy dv .vuv dx(In u)u v $ x1x(1 In x).⑵隐函数 若函数 x ,由方程 按隐函数定义有恒等式:F x, y x 0 x, y A F dx0确定, x, y x求导之函数?F x x, yF y x, y x y xF x x,y x oF y x, y x从这是可见：函数y x 可导有一个必要条件是,F y x,y 0.般来说，若函数y y x ,由方程F x, y将y 看作是x 1,...,x n 的函数y y xdx dy dz ，dzdz dz 2 2 2 ,2x2y — 2z解xyz 1dx dy 解方程得：2小2x 2yz 212x dz —4y dz 2zdxdydxdz = 1 4y 2y 2z 1 12yzdy 4xy2x 2x2z4xy8xzdz由此得到dX 3z, dy 2zdz x ' dz yu,v 是由方程uv 1 0 u （x, y）的x, y 的隐函数，在这两个等式两端分别关于0 cosv 」usinv y 1 sinv —u ucosv yx, y 求偏导数，得_v y v yv(x, y)cosv 』 xsinv 』 x usinv — x ucosv 」x得到u vsin uuv cosv得到ycosv,sin v,xxuy xu将这个结果代入前面的式子，得到z u vv uvcosv sin vx xxz u v与v u -vsin v cosvyyyu f (x, y, z,t)⑶ 隐函数函数u u(x,y)由方程 g(y, z,t) 0 确定，求一9x h(z,t) 0变量）？ 3 （ 方程）=2（自变量）; ）,二中（z, t ）解这个问题涉及到复合函数微分法与隐函数微分法x, y 是自变量，u,v 是中间变量（u,v 是x, y 的函数）,先由z uv 得到zzuzv u vv u x u x v x x x zzuz v u vv uy u yv y y y例5已知函数z z x, y 由参数方程：x u cosvy usinv ,给定，试求—. x y zuv解：函数关系分析：5 （ 一函（u ）,二自（x, yz , ,i h 上 g g t 0y ©h)t 丨（乙t ）| h yz z 二阶偏导数：一阶导函数的偏导数 f f zf tyz yt yf hf hg u ft zz tyyyg h ghz t tzu f u =5exxy例6 z 2 z(x, y)由 x 2y 2 2 z a 决定，求解: 2x 2^z 0 2y 2zZ oxy x y2zzx z _y xJz yz 2z yz xy23x yzxzx f x,2x ,x，其中函数的二阶偏导数连续，求d 2g x dx 2X\ f(xy,—) y xf lff f5f25yf2fu f2fvf 2ff2fM1222212J121uvu vv u,f 二阶连续可微，求 xy, v2 2 -2xzf u f v1 £y f 1f xuxvxy2zzf 11 f2 2yxx xxyxu,v 为中间变量,都是以r 1 F F f11 「2u因为 v以x,y 为自变量的函数，所以将以上两式代入前式得 f 1uv1fnf 12y fn f 12xxxy f 2uv1七f21f22y f 21—怯xxxy2z 2 fo f1 f2 y T 11122 T22 .xy例9设z z(x, y)二阶连续可微，并且满足方程例10 设u(x, y)2C2,又ux2u 220, u(x,2x) x, u x(x,2x) x ,求yU xx(x,2x), U xy(x,2x) U yy(X,2X)解：u / c \(x,2x) x2 x ,两边对x求导,2z 2z2B -------x y2z若令U X y,试确定v x y 为何值时能变原方程为2z0.u,v看成中间变量，利用链式法则得z z u z vx u x v xz z u z vy u y v y2z z z 2 z2 x x u v 2 u2z z z2 2z2y y u v 2 u2z z zx y x u vz z——zu v u vz z——zu v u v2 2 2z z2- 2 —zu v v u v2 2z 2 z2 2u v v u2 2 2z z z2 2u u v v2B —z v2z _ ~~2= yA 2B 2B2 z~~2 vA 2B0.问题成为方程 A 2Bt Ct20有两不同实根，即要求令 B ■ B2AC, B B2AC ,即可。
多元隐函数求偏导数公式法
多元隐函数求偏导数公式法在多元隐函数中，我们经常需要计算偏导数。
偏导数是指在多元函数中，对于某一个变量的偏导数，而将其他变量视为常数。
下面我将介绍一种常用的求偏导数的方法，即偏导数公式法。
假设我们有一个多元函数F(x1, x2, ..., xn) = 0，其中x1, x2, ..., xn 是函数的自变量，而F(x1, x2, ..., xn) 是一个关于自变量的方程。
我们想要求解这个方程，并计算出其中某个变量的偏导数。
首先，我们需要假设这个方程可以表示出一个隐函数，例如x1 = f(x2, ..., xn) 或x2 = g(x1, x3, ..., xn)。
然后，我们可以通过求偏导数的方法来求解这个方程。
假设我们要求解的是变量x1 的偏导数。
我们可以先对方程两边同时对x1 求偏导数，得到：∂F/∂x1 + (∂F/∂x2) * (∂x2/∂x1) + ... + (∂F/∂xn) * (∂xn/∂x1) = 0其中∂F/∂xi 表示对F(x1, x2, ..., xn) 对变量xi 求偏导数，而(∂xi/∂x1) 表示对变量xi 对x1 求偏导数。
接下来，我们可以将这个方程进一步整理，将(∂x2/∂x1), (∂x3/∂x1), ..., (∂xn/∂x1) 表达为其他已知偏导数的形式。
这样，我们可以将方程表示为一个关于(∂F/∂x1) 和已知偏导数的方程。
最后，我们可以解这个方程，得到(∂F/∂x1) 的表达式。
这样，我们就求得了变量x1 的偏导数。
需要注意的是，这种方法仅适用于可以表示为隐函数的方程，并且需要已知其他变量的偏导数。
如果方程不满足这些条件，我们可能需要使用其他方法来求解偏导数。
希望以上解释能够满足你的要求。
如果还有其他问题，请随时提问。
第五节隐函数的求导公式
第五节 隐函数的求导公式在一元函数中，我们已经提出了隐函数的概念，并且提出了不经过显化真接由方程()0,=y x F （1）求它所确定的隐函数的导数的方法。
现在介绍隐函数存在定理，并根据多元复合函数的求导法则导出多元隐函数的导数公式。
隐函数存在定理1 设函数()y x F ,在点()00,y x P 的某一邻域内具有连续偏导数，且()0,00=y x F , ()0,00'≠y x F y 。
则方程()0,=y x F 在点()00,y x 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数()x f y =，它满足条件()00x f y =， 并有''yx FF dxdy -= (2)公式(2)就是隐含数的求导公式这个定理我们不证，现仅就公式)2(作如下推导。
将方程(1)所确定的函数()x f y =代入(1)，得恒等式 ()()0,≡x f x F其左边可以看作是x 的一个复合函数，求这个函数的全导数，即有0=⋅∂∂+∂∂dxdy yF xF由于'y F 连续，且 ()0,00'≠y x F y ,所以存在()00,y x 的一个邻域，在这个邻域内 0'≠y F于是得''yx FF dxdy -=隐函数存在定理可以推广到多元函数，既然一个二元方程（1）可以确定一个一元隐函数，那么一个三元方程()0,,=z y x F 就有可能确定一个二元隐函数。
与定理1相仿，我们同样可以由三元函数()z y x F ,,的性质来断定由方程()0,,=z y x F 所确定的二元函数()y x f z ,=的存在性及这个函数的性质，这就是下面的定理。
隐函数存在定理2 设函数()0,,=z y x F 在点()000,,z y x P 的某一邻域内具有连续偏导数，且()0,,000=z y x F ，()0,,000'≠z y x F z 。
(完整版)3多元复合函数与隐函数的求导法则
z f [φ(t),ψ(t)]
z f (u,v)
u φ(t)
v ψ(t)
dz z du z dv dt u dt v dt
全导数
例 1 设 z eu sin v ，而u xy，v x y 求 z 和z . x y
解 z z u z v eu sin v y eu cos v 1
x y
证
z 0 F ( x2 y2 ) ,
z
1
F ( x2
y2) ,
x
x
y
y
下求 F ( x2 y2 )对x, y的偏导.记u x2 y2,
x u x v x eu ( y sin v cos v)
z y
z u
u y
z v
v y
eu sin v x eu cos v 1
eu( x sin v cos v)
例 2 设 z u2 v2 ，而u x y，v x y ，
求 z 和z . x y
解 z z u z v 2u 1 2v 1 4x x u x v x
§3复合函数与隐函数的偏导数
一、多元复合函数的导数(链式法则)
定理：z f [( x, y),( x, y)]
z f (u,v) u ( x, y)
v (x, y)
z z u z v z z u z v x u x v x y u y v y
链式法则如图示 z f [( x, y),( x, y)]
解 dz z du z dv z dt u dt v dt t
v et u sin t cost
et cos t et sin t cos t
et (cos t sin t ) cos t
例5
6.5 多元复合函数求导法则和隐函数求导公式
2 4 t
(2uv 3v 4 ) e t ( u2 12uv 3 )cos t
(2e t sin t 3sin4 t )e t (e 2t 12e t sin3 t )cos t .
链导法则
特例1 若 z = f (u , v)，而 u ( x ), v ( x ) 都在点 x 处可导, 函数 z = f (u , v)在相应点(u , v)处可微， 则复合函数 z f [ ( x ), ( x )] 在点 x 处可导， u 且 z x dz z du z dv 全导数 v
注意
情形(1) z f ( u, v , w ), u ( x , y ), v ( x , y ), w ( x , y ), 则 z u z v z w z x u
z
w
u
v
y
x y
z
z 是在 z f [ ( x , y ), x , y ] 中视 y 为常量，对 x 求偏导. x f 是在 z = f (u , x , y)中 视 u , y 为常量，对 x 求偏导. x
类似一元函数具有微分形式不变性，二元函数具有全微分 形式不变性. 设函数 z f ( u, v ), u ( x , y ), v ( x , y ) 均具有连续偏导数, 则复合函数 z f [ ( x , y ), ( x , y )] 的全微分为
z z dz dx dy x y z u z v z u z v dx dy u x v x u y v y z u u z v v dx dy dx dy u x y v x y
求偏导数的方法小结-求偏导数公式法
求偏导数的方法小结（应化2，闻庚辰，学号：130911225）一， 一般函数：计算多元函数的偏导数时， 由于变元多， 往往计算量较大． 在求某一点的偏导数时 ， 一般的计算方法是， 先求出偏 导函数， 再代人这一点的值而得到这一点的偏导数． 我们发 现 ， 把部分变元的值先代人函数中， 减少变元的数量， 再计 算偏导数， 可以减少运算量。
求函数f(x,y)在点（a,b ）处的偏导数f ’x(a,b)及f ’y(a,b)的方法是：1) 先求出偏导数的函数式，然后将（a,b ）代入计算即可.2) 先求出g(x)=f(x,b)和h(y)=f(a,y),再求出g ’(b),h ’(a)便得到f ’x(a,b)和f ’y(a,b).3) 若函数f(x,y)是分段函数则一般采用定义来做.复合具体函数的导数求解:基本法则：x z∂∂=u z∂∂x u ∂∂+v z ∂∂x v ∂∂ y z ∂∂=u z∂∂y u ∂∂+v z∂∂y v ∂∂其本质与一元函数的求导法则是一样的，只不过是将暂时不求的变量看成常量而已。
例1 ：z=f(x,y)=(x+y)xy ,求f ’x （1，1），f ’y （1，0）；法一：设u=x+y,v=xy,则z=u v 函数的复合关系为：z 是u,v 的函数，u,v 分别是x,y 的函数.则：x z∂∂=u z∂∂x u ∂∂+v z ∂∂x v ∂∂=xy(x+y)xy-1+y(x+y)xy ln(x+y)=y(x+y)xy [)(y x x +ln(x+y)]f ’x (x,y)= y(x+y)xy [)(y x x ++ln(x+y)]所以：f ’x (1,1)=1+2ln2由于f(x,y)的表达式中的 x,y 依次轮换，即x 换y 成，同时将换y 成x ，表达式不变，这叫做函数f(x,y)对自变量x,y 交换具有轮换对称性。
具有轮换对称性的函数，只要在f ’x 的表达式中将x,y 调换即得到f ’y 。
偏导数的计算与应用
(一) 一般多元（二元）函数偏导数求解方法
求函数 是： 1． 先求出偏导数的函数式，然后将 (a, b) 代入计算 2． 先求出 g ( x) f ( x, b) 和 h( y) f (a, y), 再求出 g (b), h(a) 便得到
f x ( a , b ) 和 f y ( a , b )
AC 27 0,
A0
所以点 (1,1) 是函数的极小值点, f (1,1) 1 为函数的极小值.
2. 条件极值 在 条 件 ( x1 , x2 , , xn ) 0, k 1, 2, , m(m n) 下 ， 求 函 数
y f ( x1 , x2 , xn ) 的极值，下面以二元函数为例。
C f yy ( x0 , y0 )
f xx ( x0 , y0 ), B f xy ( x0 , y0 ) ，
，确定 B 2 AC 的符号,并判断 f ( x ) 是否有极值,若
有,计算其极值。 ① 当 B 2 AC 0 且 A 0 时 , 函数 值 f ( x0 , y0 ) ； 当 B 2 AC 0 且 A 0 时 , 函数 值 f ( x0 , y0 ) ； ② 当 B 2 AC 0 时,函数 f ( x, y ) 在点 (x0 , y0 ) 处无极值； ③ 当 B 2 AC 0 时,函数 f ( x, y ) 在点 (x0 , y0 ) 处不确定， 可能有 极值,也可能无极值。
f ( x, y ) ， 如 F ( x, y , z ) 存
f ( x , y ) ，再利用显函数
F 在连续偏导数，而且 z 0 ，则有偏导数公式
Fx z x Fz F x F ， z
多元反函数求偏导
多元反函数求偏导
产生式反函数定理是求解隐函数问题的一种重要方法。
假设
$y=f(x)$在$x_0$处可导且$f'(x_0)\neq0$，则$f(x)$在$x_0$的某个
邻域内存在反函数$x=g(y)$（我们假设$f(x)$的定义域为$[a,b]$，那
么$g(y)$的定义域将是$[f(a),f(b)]$）。
那么利用链式法则可以得到：$$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d}
x}=\frac{1}{\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} y}}$$
对上式的两边同时取导数，可以得到：
$$\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d} x^2}=-
\frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left(\frac{\mathrm{d}
x}{\mathrm{d} y}\right)}{\left(\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} y}\right)^3}$$
用$g'(y)$表示$\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} y}$，则上式
可以写成：
$$\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d} x^2}=-
\frac{g''(y)}{\left[g'(y)\right]^3}$$
这就是多元反函数求偏导的公式。
注意，这个公式只适用于反函
数$g(y)$的存在性已经证明，同时也需要满足$f'(x_0)\neq0$的条件。
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例4
设 x2 y2 2x , 求
dy .
dx
解 令 F(x, y) x2 y2 2x , 则
Fx 2x 2 , Fy 2 y ,
由公式得,
dy 2x 2 1 x .
dx
2y
y
12
方程F( x, y) 0确定隐函数
y
y( x)，
dy Fx . dx Fy
例5 x y y x ，求隐函数的导数 dy
y) 2 y)
，求u x
,
v x
.
（其中 f , g 具有一阶连续偏导数）
25
u f (x, y) 六、设函数u( x)由方程组g( x, y, z) 0所确定,
h( x, z) 0
且g 0, h 0,求 du .( f , g, h 均可微)
y z
dx
七、设 y f ( x, t ), 而t 是由方程 F ( x, y, t ) 0 所确定的
z x
0
x yz
解得 z Fx ， x Fz
xy
同样可得
z Fy . y Fz
10
1. 设方程F ( x, y) 0确定隐函数 y y( x)，若Fy 0
则：
dy Fx . dx Fy
2. 设方程F ( x, y, z) 0确定隐函数 z z( x, y)，若Fz 0 则： z Fx , z Fy
回忆:一元隐函数不易显化或不能显化如何求导? 方程两边直接关于x求导.
2
例1 设 sin y e x xy2 0 ,求 dy . dx
解 方程两边关于x求导,得
cos y y ex ( y2 x 2 y y) 0，
解得
y y2 ex . cos y 2xy
3
二、 二元隐函数求偏导
x, y 的函数,求dy . dx
八、设z z( x, y)由方程F ( x x , y z ) =0 所确定, yx
证明: x z y z z xy. x y
26
练习题答案
一、1、 x y ； x y
2、 z x ln z ； xz x1 y z ln y
3、
zy z1
.
xz x1 y z ln y
则： dy Fx .
dx Fy
一元隐函数的求导公式
2. 设方程F ( x, y, z) 0确定隐函数 z z( x, y)，若Fz 0
则： z Fx , z Fy
x Fz y Fz
二元隐函数的求导公式
8
1. 设方程F ( x, y) 0确定隐函数 y y( x)，若Fy 0 则： dy Fx .
练习1. 求由方程
确定的隐函数
的导数.
练习2
设
x2 2 y2 3z2
4,
求
z ,
2z
.
x x y
开始对答案
18
练习1. 求由方程
确定的隐函数
的导数.
解: 令 F(x, y) sin y ex xy 1, 则
Fx ex y, Fy cos y x
dy Fx dx Fy
ex y
四、 2 z xy
z( z 4
2 xyz 2 x 2 (z 2 xy)3
y2).
五、1、dy x(6z 1) , dz x ； dx 2 y(3z 1) dx 3z 1
2、u uf1(2 yvg2 1) f2 g1 ,
x ( xf1 1)(2 yvg2 1) f2 g1
解 令 F( x, y, z) z x yz .
因为 Fx z x lnz , Fy z y z1 ,
Fz xz x1 y z ln y ,
所以
z x
z x ln z x z x1 y z ln
y
,
z
zy z1
,
y x z x1 y z ln y
z x ln z
z y z1dy
dz y z ln y xz x1 dx x z x1 y z ln y dy. 17
28
x Fz y Fz
注：1. 利用公式时，求Fx, Fy, Fz都是在对中间变量求导，
故求Fx 时暂时将y, z看成常量，其他类似. 2. 利用公式时，不要忘记负号！
3. 利用公式求导只能求一阶导数,求高阶导数时应
采用直接求导法！
11
方程F( x, y) 0确定隐函数
y
y( x)，
dy Fx . dx Fy
x f y f z f kf ( x, y, z). x y z
四、设z 3 3 xyz a 3 ,求 2 z . xy
五、求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数:
z x2 y2
1、设
x
2
2y2
3z 2
20
,求dy , dz . dx dx
2、设vu
f (ux, v g(u x,v
二、设2 sin( x 2 y 3z) x 2 y 3z, 证明：z z 1. x y
24
三、如 果 函 数 f ( x, y, z) 对 任 t何 恒 满 足 关 系 式
f (tx, ty, tz) t k f ( x, y, z),则称函数 f ( x, y, z)为
k 次齐次函数,试证:k 次齐次函数满足方程
求偏导的方法,
并视 z为x, y 的二元函数 z( x, y) , 得
2z xy
y
( z2
yz ) xy
(z y z )(z2 xy) yz(2z z x)
y
y
(z2 xy)2
z(z4 2 xyz2 x2 y2 )
(z2 xy)3
16
例 7 设 z x y z , 求 dz .
dx Fy
F
证：方程两边对 x 求导,由链式法则得
xy x
d y Fx . d x Fy
9
2. 设方程F ( x, y, z) 0确定隐函数 z z( x, y)，若Fz 0 则： z Fx , z Fy
x Fz y Fz
证：方程两边对 x 求导,由链式法则得FFxzyyy
解得
z y
3y
z 4 xz
5z2
，
将 x y 0 , z 1 ，代入上式得
z
1
y
(0,0)
. 5
6
例3
设 x2
y2
z2
4z
0，求
2z x 2
.
解 视 z 为 x, y 的二元函数z z(x, y) ,方程两边
关于 x 求偏导,得
2xx 2z zzz24zz 00 z x ,
4
例2 由方程 yz 3 xz 4 z5 1 确定隐函数z z( x, y) ，
求 z x
(0,0)
,
z y
(0,0)
.
解 视 z 为 x, y 的二元函数z z(x, y) ,
方程两边关于x 求偏导数,得
y 3z2 z
x
(z4
x 4z3
z )
x
5z4
z x
0，
解得
z x
3y
z2 4 xz
z f ( x, y) 形式称为显函数.
定义 由方程所F( x, y, z) 0确定的函数z f ( x, y) 称为二元隐函数.
F(x, y, z) 0
z f ( x, y) 隐函数的显化
如果二元隐函数不易显化或不能显化时，方程 两边也可以直接求导，求导的过程中把z视为x、 y的二元函数z=f(x,y).
cos y x
19
练习2
设 x2 2y2 3z2 4 , 求 z , 2z .
x x y
解 令 F(x, y, z) x2 2 y2 3z2 4 . 所以
Fx 2x , Fy 4 y , Fz 6z .
z x
2x 6z
x 3z
,
z 4y 2y , y 6z 3z
20
再求二阶导数，有
2z x y
y
z x
x 1 3 z y
x 3
1 z2
z y
x 3z 2
2 y 3z
2xy . 9z3
21
小结：
1.隐函数求导的两种方法
直接求导法 公式法
2.注意两种方法的区别. 3.两种方法至少要掌握一种.
22
作业：
P88 习题7.7 2. 3. 5. 6.
z Fx , z Fy x Fz y Fz
例3
设 x2
y2
z2
4z
0，求
2z x 2
.
法2.设 F( x, y, z) x2 y2 z2 4z
则
Fx 2x , Fz 2z 4
z Fx x x Fz 2 z
上式两边再次关于x求偏导,
得
2z x2
(2
z)2 (2 z)3
23
练习题
一、填空题: 1、设ln x 2 y 2 arctan y ,则 x dy ___________________________. dx 2、设z x y z ,则 z ___________________________, x z ___________________________. y
5z2
，
z
1
当x
y 0 时,z 1 ，
x
(0,0) 5
5
例2 由方程 yz 3 xz 4 z5 1 确定隐函数z z( x, y) ，
求 z x
(0,0)
,
z y
(0,0)
.
解 类似的，视 z 为 x, y 的二元函数 z z( x, y) ,
方程两边关于y求偏导数,得