第4题 反常现象有原因

第4题 反常现象有原因，创造条件显正常

忽略地球的自转，地球表面质量为M 的物体万有引力等于重力，即mg R Mm

G =2。对

这一知识单独作为综合题只是偶有出现。不过情节比较新颖，比如2009年全国卷II 第26题的“重力加速度反常”，2012年全国卷第25题的地球内部的重力加速度等等。特别是2009年全国卷II 第26题构思巧妙，推陈出新，是一道具有浓厚创新的试题。

例4．（2009年全国卷II 第26题，21分）如图，P 、Q 为某地区水平地面上的两点，在P 点正下方球形区域内储藏有石油，假定区域周围岩石均匀分布，密度为ρ，石油密度远小于ρ，可将上述球形区域视为空腔。如果没有这一空腔，则该地区重力加速度（正常值）竖直向下，当存在空腔时，该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏离。重力加速度在原竖直方向（即PO 方向）上的投影相对于正常值的偏离叫做“重力加速度反常”。为了寻求石油区域的位置和石油储量，常利用P 点附近重力加速度反常现象。已知引力常数为G 。

（1）设球形空腔的体积为V ，球心深度为d （远小于地球半径），PQ ＝x ，求空腔所引起的Q 点处的重力加速度反常。

（2）若在水平地面上半径为L 的范围内发现：重力加速度反常值在δ与k δ（k ＞1）之间变化，且重力加速度反常的最大值出现在半径为L 的范围的中心。如果这种反常是由于地下存在某一球形空腔造成的，试求此球形空腔球心的深度和空腔的体积。

一 谋定思路而后定

（1）模式识别，把握解题的方向

阅读题目，我们的脑海里不断浮现曾经做过的一道有关万有引力的题目：如图2所示，半径为r 的铅球内有一半径为2r

的球形空腔，其表面相切，此铅球的质量为M ，在铅球和空腔

的中心连线上，距离铅球中心L 处有一质量为m 的小球（可以看成质点），求铅球对小球的引力。

我们的解法是采用一种“补偿法”的思想：设想把挖去的部分用与铅球同密度的材料填充，形成一个“填补球”，质量为M 1.。这样，所要求的引力就转化为一个大球（M+M 1)与填补球（M 1）对m 的引力之差。如图3所示。

再看这道高考题，容易发现只是在我们做过的题上多了矢量的合成与分解运算而已，因此，任然可以采用“补偿法”。

设想将近地球表面的球形空腔填满密度为ρ的岩石，则该地区的重力加速度便回到正常值g ，因此，正常重力加速度g 可视为重力加速度g '和填充后的球形区域所引起的重力加速度改变g ∆的矢量和，如图4所示。根据题意，结合平行四边形法则可得到，重力加速度反常g '∆其实就是重力加速度改变g ∆在竖直方向上（也就是正常重力加速度g 的方向）的投影分量。

（2）打破常规，顺势而下，拿下整个题，争取高分

一般来讲，第（2）小题会比第（1）小题难度大，但本题的困难却主要在第（1）小题，

第（2）小题是第（1）小题的自然延伸，在第（1）小题得到的答案的基础上可以轻易解决。

二 规范解答不失分

（1）如果将近地表的球形空腔填满密度为ρ的岩石，则该地区重力加速度便回到正常值。因此，重力加速度反常可通过填充后的球形区域产生的附加引力

g m r Mm

G ∆=2 ①

来计算，式中的m 是Q 点处某质点的质量，M 是填充后球形区域的质量，

V ρM = ②

而r 是球形空腔中心O 至Q 点的距离

22x d r += ③

g ∆在数值上等于由于存在球形空腔所引起的Q 点处重力加速度改变的大小。Q 点处重力加速度改变的大小。Q 点处重力加速度改变的方向沿OQ 方向，重力加速度反常g '∆是这一改变在竖直方向上的投影，如图4所示。

g r d g ∆=

'∆ ④ 联立以上式子得

2/322)(x d Vd

ρG g +='∆ ⑤

（2）由⑤式得，重力加速度反常g '∆的最大值和最小值分别为

2m ax )(d

V ρG g ='∆ ⑥

2/322min )()(L d Vd

ρG g +='∆ ⑦ 由题设有

='∆m ax )(g δk

δg ='∆m in )( ⑧

联立上面的式子得，地下球形空腔球心的深度和空腔的体积分别为

13/2-=k L

d

)1(3/22-=k ρG δ

k L V

三、解后反思收获大

据抽样统计，本题考生的得分率不到1分，出乎意料。我想主要的原因有三点：

（1）阅读能力不足

本题最关键的是对加速度反常的理解，题目中关于它的定义是“重力加速度在原竖直方向（即PO方向）上的投影相当于正常值的偏离叫做‘重力加速度反常’”。对于这句话，很多考生不理解。

（2）思维定势问题

在天体运动问题中，考生习惯于解答球体之间的万有引力问题，现在要看成水平面，主要是降低数学的难度，却大大增加了理解的难度。

（3）迁移能力差

“补偿法”在中学物理中多处提到，但考生对这一方法缺乏理解，所以无法将“迁移法”迁移到解决实际的问题中来。

四、在变式中求发展

4-1．（2012年全国卷第25题，19分）

一单摆在地面处的摆动周期与在某矿井底部摆动周期的比值为k。设地球的半径为R。假定地球的密度均匀。已知质量均匀分布的球壳对壳内物体的引力为零，求矿井的深度d。

4-2. (2007年上海卷第19A题，10分）

宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处；若他在某星球表面以相同初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处。（取地球表面重力加速度g＝10m/s2，阻力不计）

（1）求该星球表面附近的重力加速度g′；

（2）已知该星球的半径与地球半径之比为R星：R地＝1：4，求该星球的质量与地球质量之比M星：M地。

4-3．(2003年全国卷第24题，15分）

中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大。现有一中子星，观测到它的自转周期为T＝1/30s。向该中子星的最小密度应是多少才能维持该星体的稳定，不致因自转而

瓦解。计等时星体可视为均匀球体。（引力常数G＝6.67×10－11m2/kg·s2）