数学归纳法及应用举例

证明：
（1）当n=1时，左边＝12＝1，右边＝1 23 1 6
等式成立。
（2）假设当n=k时，等式成立，就是
12 22 32 k 2 k(k 1)(2k 1) 6
那么
12 22 32 k 2 (k 1) 2 k (k 1)(2k 1) (k 1)2
6 k (k 1)(2k 1) 6(k 1) 2
6 (k 1)(2k 2 7k 6)
6 (k 1)(k 2)(2k 3)
6
(k 1)(k 1) 12(k 1) 1
6
这就是说，当n=k+1时等式也成立。
根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N＊都成立。
例3 用数学归纳法证明
1 4 2 7 310 n(3n 1) n(n 1)2
(3)下结论:由以上可知对于n取第一个值 后面的所有正整数也都成立.
象这种证明方法叫数学归纳法．
3.数学归纳法的应用：
（1）恒等式例1例2例3
（2）不等式 （3）三角方面
（4）整除性例4 （5）几何方面例5
（6）计算、猜想、证明
假设n=k时，等式
2＋4＋6＋ ＋2n n2 n 1
成立，就是
2＋4＋6＋ ＋2k k 2 k 1
思 考1）第一步应做什么？此时n0= 1 ，左＝1×＿4＝右4 ＝
？ 当n=2时，左＝ 1×4＋2×7 ，右＝ 2(2＋1)2 。
当n=k时，等式左边共有 k 项，
第(k－1)项是 (K－1)×[3(k－1)＋1] 。
21 ）假4设n2=k时7命题3成立10，即 k(3k 1) k(k 1)2
因式分解 、配方 、 添拆项 、 乘法公式 等变形手段。
复习巩固、小结提高
（1）如下证明对吗？
求证：1 ＋ 1 ＋ 1 ＋ ＋ 1 1 (1)n
2 22 23
证明：①当n=1时，左边＝ 1 2
2n
右边＝
2
1
1
1
1
2 2
等式成立。 ②设n=k时，有
1＋ 1 ＋ 1 ＋ ＋ 1 1 (1)k
2 22 23
① 明确初始值n0并验证真假。（必不可少） ② “假设n=k时命题正确”并写出命题形式。 ③ 分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”
时 命题形式的差别。弄清左端应增加的项。
④ 明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的 方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等， 可并明用确上为假：设。
重点：两个步骤、一个结论； 注意：递推基础不可少，
1 4 2 7 310 k (3k 1) k (k 1)2 , 那么 1 4 2 7 310 k (3k 1)
＋(k 1)3(k 1) 1 k (k 1)2 (k 1)3(k 1) 1
(k 1)[k (k 1) 3(k 1) 1] (k 1)(k 2 4k 4) (k 1)[(k 1) 1]2
对于任何n N，an (n2 - 5n 5)2 =1
不完全归纳法与完全归纳法
不完全归纳法是根据事物的部分（而不 是全部）特例得出一般结论的推理方法。
完全归纳法是一种在研究了事物的所有 （有限种）特殊情况后得出一般结论的 推理方法，又叫做枚举法。
例题2 用数学归纳法证明
12 22 32 n2 n(n 1)(2n 1) 6
归纳假设要用到， 结论写明莫忘掉。
作业布置P68 习题2.1 3、4题
我们在学习等差数列时，是这样推导首项为a1， 公差为d的等差数列｛ an ｝的通项公式的
a1＝ a1+0d a2＝ a1+d= a1+1d a3＝ a2+d= a1+2d a4＝ a3+d= a1+3d ……
容易验证 a1=1，a2＝1，a3＝1，a4=1，由 此得出结论
3）当n=k+1时，命题的形式是
1 4 2 7 310 k(3k 1)
＋(k 1)3(k 1) 1
(k 1)[(k 1) 1]2
4）此时，左边增加的项是
(k 1)3(k 1) 1
5)从左到右如何变形？
证明： （1）当n=1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，等式成立。 （2）假设当n=k时，等式成立，就是
2k
2
那么，当n=k+1时，有
1＋ 1 2 22
＋ 1 ＋ 23
＋1 2k
1 2 k 1
1 2
1
1
k
1
2
1 1
1
1 k1
2
2
即n=k+1时，命题成立。
根据①②问可知，对n∈N＊，等式成立。
第二步证明中没有用到假设，这不是数学归纳法证明。
既然不对，如何改正？
（2）分组练习P66 1、2、3 （3）小结：用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：
那么，2 4 6 2k 2(k 1)
=k2+k+1+2(k+1)
=(k+1)2+(k+1)+1
这就是说，如果n=k时等式成立，那么n=k+1时等式 也成立。
能否得出对任何非零自然数n，命题都成立？ 同学们可以自己验证n=1，n=2，n=3等时，命题是否成立
数学归纳法证明恒等式时，第二步证明中常用到 哪些变形手段？
2.1《数学归纳法及其应用举 例》
一.由一系列有限的特殊事例得出一般结论
的推理方法，通常叫做归纳法.
举例说明: (1)等差数列通项的推导;
(2)an (n2 - 5n 5)2 (n N)
二.数学归纳法:
1.适应范围:某些与正整数有关的数学命题.
2.数学归纳法的解题步骤：
(1)先证明当 n 取第一个值n（0 例如n0＝1或2等）时命题成立 (2)假设当n k(k N*,且k n0 )时命题成立， 并证明n k 1时命题也成立
这就是说，当n=k+1时等式也成立。
根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N＊都成立。
例4 用数学归纳法证明：x2n-y2n能被x+y整除 （若A＝BC，则A能被B整除）
（1）当n=1时， x2-y2＝(x+y)(x-y)， x2-y2能被x+y 整除。 （2）假设当n=k(k∈N*)时， x2k-y2k能被x+y整除。 那么 X2(k+1)-y2(k+1)＝x2 x2k -y2 y2k ＝ x2 x2k - x2 y2 k + x2 y2 k -y2 y2k ＝x2 ( x2k - y2 k ) + y2 k (x2 - y2k ) 这就是说，当时n=k+1时X2(k+1)-y2(k+1)能被x+y整除。 根据⑴⑵，可知命题对任何n ∈N*都成立