16.1.1二次根式全章导学案
新人教版八年级数学下册导学案(全册136页)
第十六章 二次根式16．1 《 二次根式(1)》学案课型: 新授课 上课时间： 课时： 1学习内容：二次根式的概念及其运用 学习目标：1、理解二次根式的概念，并利用a （a ≥0）的意义解答具体题目．2、提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．学习过程一、自主学习 （一）、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题： 问题1：已知反比例函数y=3x，那么它的图象在第一象限横、•纵坐标相等的点的坐标是___________．（3，3）．问题2：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S 2，那么S=_________．（46.） （二）学生学习课本知识 （三）、探索新知 1、知识： 如3、10、46，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如 •的式子叫做二次根式，“”称为 ．例如：形如 、 、 是二次根式。
形如 、 、 不是二次根式。
2、应用举例例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、1x、x （x>0）、0、42、-2、1x y+、x y +（x ≥0，y•≥0）． 解：二次根式有： ；不是二次根式的有： 。
例2．当x 是多少时，31x -在实数范围内有意义？ 解：由 得： 。
当 时，31x -在实数范围内有意义．（3）注意：1、形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式的概念；2、利用“a （a ≥0）”解决具体问题3、要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数。
二、学生小组交流解疑，教师点拨、拓展例3．当x 是多少时，23x ++11x +在实数范围内有意义？ 例4(1)已知y=2x -+2x -+5，求xy的值．(答案:2)(2)若1a ++1b -=0，求a 2004+b 2004的值．(答案:25)三、巩固练习 教材练习． 四、课堂检测 （1）、简答题1．下列式子中，哪些是二次根式那些不是二次根式？ -7 37x x 4 16 8 1x（2）、填空题1．形如________的式子叫做二次根式． 2．面积为5的正方形的边长为________． （3）、综合提高题1．某工厂要制作一批体积为1m 3的产品包装盒，其高为0.2m ，按设计需要，•底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？2．若3x -+3x -有意义，则2x -=_______．3.使式子2(5)x --有意义的未知数x 有（ ）个．A ．0B ．1C ．2D ．无数4.已知a 、b 为实数，且5a -+2102a -=b+4，求a 、b 的值．16．1 《 二次根式(2)》学案课型: 新授课 上课时间： 课时： 2 学习内容：1．a （a ≥0）是一个非负数； 2．（a ）2=a （a ≥0）． 学习目标：1、理解a （a ≥0）是一个非负数和（a ）2=a （a ≥0），并利用它进行计算和化简．2、通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出a （a ≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出（a ）2=a （a ≥0）；最后运用结论严谨解题． 教学过程 一、自主学习 （一）复习引入1．什么叫二次根式？2．当a ≥0时，a 叫什么？当a<0时，a 有意义吗？ （二）学生学习课本知识 （三）、探究新知1、a （a ≥0）是一个 数。
人教八下第十六章16.1 二次根式导学案
第十六章 二次根式16.1 二次根式第1课时 二次根式的概念学习目标1.能用二次根式表示实际问题中的数量和数量关系，体会研究二次根式的必要性．2.能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念，知道二次根式本身是一个非负数，会求二次根式中被开方数字母的取值范围．重点：二次根式的概念，二次根式有意义的条件.难点：二次根式概念的理解，综合运用性质)0(0≥≥a a .学习过程1、回忆旧知识（1）什么叫做算术平方根？什么叫做平方根？（2）正数有几个平方根？0的平方根是多少？负数有平方根吗？2、用带根号的式子填空.（1）3的算术平方根是 .（2）直角三角形的两直角边是1和2，则斜边是 .（3）正方形的面积为3-b ，则边长为 .(4)自主完成课本第二页思考题.观察所列式子，有何共同特点？3、思考下列问题：开平方时，被开方数只能是 和 ，为什么？4、请写出二次根式的概念：5、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？3，16-，34)0(3≥a a ，12+x 请同学们思考并总结一下，判断一个式子是否是二次根式，需要考虑哪些要点：6、根据开平方时，被开方数只能是 和 这一依据，完成下题：例1：当x 是怎样的实数时，6-x 在实数范围内有意义？7、做完以上例题，请填空：当a 为正数时，a 是a 的 ，而0的算术平方根是 ，负数 ，只有非负数a 才有算术平方根.所以，在二次根式a 中，字母a 必须满足 , a 才有意义.8、扩展思考：当a 是怎样的实数时，a 在实数范围内有意义？a 呢？9、小结（1）通过本节课的学习，你的收获是？（2）通过本节课的学习，你认为需要提醒同伴注意些什么？（3）你还有问题要请教同学或老师吗？10.达标测试1.在式子12x -，13x -x 可以取2和3的是（ ）A ．12x -B ．13x - C D2.x 必须满足（ ） A ．x ≤2 B ．x ≥2 C ．x ＞2 D ．x ＜23.x 可以取的最小整数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34.有意义，则x 的取值范围为_________.5.若y= 22-，则（x+y ）y =_________.6.已知a 、b 是一等腰三角形的两边的长，且满足等式，求等腰三角形的周长．7.小组精彩讨论的镜头：你想一起参加讨论吗？若参加你怎么评价这四位同学的解答？并写出你解答的过程？第2课时 二次根式的性质学习目标：1.掌握二次根式的基本性质：)0(0≥≥a a 、)0()(2≥=a a a 和a a =2；2.能利用上述性质公式对复杂的二次根式进行化简. 重点：二次根式的性质a a =2． 难点：综合运用性质a a =2进行化简和计算.学习过程1、回忆旧知（1）什么是二次根式，它有哪些性质？（2）二次根式52-x 有意义，则x . 2、计算并总结公式（1）计算：2)4(= 、2)16(= 、2)3(= 、2)21(= 、2)0(= 观察其结果归纳得到：当=≥2)(,0a a 时（2）、计算：=24 、=22.0 、=2)54( 、=220 观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当=>2,0a a 时（3）、计算：-2)4(= 观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当=<2,0a a 时（4）、计算：=20 ，所以当==2,0a a 时3、归纳总结 将上面做题过程中得到的结论综合起来，得到二次根式的两条非常重要的性质（公式）：（1）当=≥2)(,0a a 时（2）=2a4、化简下列各式：（1）、=23.0 （2）、=-2)5.0( （3）、=-2)6( （4）、()22a = （0<a ）5、请大家思考讨论二次根式的性质)0()(2≥=a a a 与a a =2有什么区别与联系.6、化简下列各式 （1）)0(42≥x x (2) 4x （3）)3()3(2≥-a a7、小结（1）通过本节课的学习，你的收获是？（2）通过本节课的学习，你认为需要提醒同伴注意些什么？（3）你还有问题要请教同学或老师吗？8、达标测试 1.要使ba 是二次根式，则应满足的条件是（ ） A.a≥0且b≥0 B. a≥0且b ＞0 C.b a ＞0 D.ba ≥0且b≠0 2.把414写成一个正数平方的形式是（ ） A.2212⎪⎭⎫ ⎝⎛ B. 2212⎪⎭⎫ ⎝⎛或2212⎪⎭⎫ ⎝⎛- C.2217⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ D. 2217⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛或2217⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- 3.函数21-=x y 中自变量的取值范围在数轴上表示为（ ） A. B. C. D.9.如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简：2a -2b -2)(b a -．10.已知x 、y 为实数，y=214422-+-+-x x x ，试求3x+4y 的值．11.甲同学和乙同学做一道相同的题目：化简a 1+2a a 122-+ ，其中a=51. 甲同学的做法是：原式=a 1+2)a a1(-=a 1+a 1-a=a 2-a =10-51=549；乙同学的做法是： 原式=a 1+2)a 1a (-=a 1+a-a 1=a=51. 到底谁错了？为什么？说明理由.。
人教版八年级数学下册导学案 第十六章 二次根式 16.1 二次根式(第一课时)
人教版九年级数学下册导学案 第十六章 二次根式 16.1 二次根式（第一课时）【学习目标】1.了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。
2.掌握二次根式有意义的条件。
3.掌握二次根式的基本性质：)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a【课前预习】1．已知x ，y 为实数，y 2=，则y x 的值等于（ ） A ．6 B ．5 C ．9 D ．82．下列式子中是二次根式的是（ ）AB C D3=x 可取的整数值有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 4．下列各式中，一定是二次根式的个数为（ ）1(0),232a a a ⎫+<⎪⎭ A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个5x 的取值范围是（ ）A ．1≥xB ．1x >C ．1x ≤D ．1x =6 ）．A ．1x ≤B ．1x <C ．1≥xD ．1x ≠7．已知，2a 应满足什么条件 （ ） A ．a ＞0 B ．a≥0 C ．a ＝0 D ．a 任何实数8．已知y 3，则x y的值为（ ）． A ．43 B ．43- C ．34 D ．34-9．a 的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410x 的取值范围是（ ）A ．1≥xB ．1x ≠C ．1x >D ．x 为一切实数【学习探究】自主学习阅读课本，完成下列问题(1)17的算术平方根是________；(2)一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130 m2，则它的宽为________m ；(3)面积为3的正方形的边长为________，面积为a 的正方形的边长为____________；(4)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位：s)与开始落下时的高度h(单位：m)满足关系h ＝5t2.如果用含有h 的式子表示t ，则t ＝________．自学2：1、 一般地，我们把形如________的式子叫做二次根式，“√”称为________。
八年级数学下册 16.1 二次根式导学案1(新版)新人教版
八年级数学下册 16.1 二次根式导学案1（新版）新人教版1、知道二次根式的概念。
2、知道二次根号下被开方数是非负数，并会加以应用。
【定向导学互动展示当堂反馈】课堂元素自学合学展学学法指导（内容学法成果。
时间）互动策略（内容形式时间）展示方案（内容方式时间）概念认知例题导析（学习内容）认真自研教材P2-3完成下列自研探究：旧知链接 :1、a的算是平方根的定义2、填空：（1）面积为3的正方形的边长为，面积为s的正方形的边长为。
（2）等腰直角三角形的面积为7平方厘米，则它的腰长为。
（3）一个物体从高处自由落下，落到地面的时间t(s)与开始下落的高度h(m)满足关系式h=1/2gt2，用含h和g的关系式表示t为。
3、我们把形如的式子叫做二次根式，称为二次根号。
4、判断题：下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、、、（x>0）、、、、（x≥0，y ≥0）、5、例2、当x是多少时，在实数范围内有意义？解：由得：。
当时，在实数范围内有意义、小对子交流分享准备询问对子的问题：。
；互助组：4人冲刺挑战旧知链接2共同体：8人在学科组长的带领下：•做好展示任务分工，完成版面设计，做好展示前的预演。
展示方案提示：展示单元一：二次根式判定，运用。
应用探究例1：判定下列代数式中哪些一定是二次根式:，，，，，(x≦0)，，例2：已知：再实数范围内有意义，求X的取植范围。
（2）当x是多少时，+在实数范围内有意义？(3)当 X是怎样的实数时有意义，（）2 呢？展示方案二利用“（a≥0）”解决具体问题3要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数。
应用探究例3：已知y=++5，求的值、梳理小结查学课本3页练习1，2第2页思考题评学（回家25分钟）日清三层级能力提升达标题自评：师评：基础题：1、当x 时，在实数范围内有意义。
2、计算：。
3、已知a=，则代数式的值是。
4、若+=0，求a2004+b2004的值。
人教版八年级数学下册 16.1.1二次根式的定义 导学案
16.1.2二次根式的性质教学目标1、经历二次根式的性质的发现过程，体验归纳、猜想的思想方法。
2、了解二次根式的上述两个性质。
3、会运用上述两个性质进行有关计算。
教学重点是理解二次根式的上述两个性质；教学难点：是灵活运用上述两个性质进行有关计算。
教学过程一、 回顾与引入1、 平方根的概念：一个数的平方等a （a ≥0），则这个数叫做a 的平方根，记做a ±，则()a a =±22、()a a =23、大家抢答 填空()=22 ()=213 =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛271二、新课讲解从熟悉的知识出发先练习、再观察发现总结规律得出性质一 4、性质一：()()02≥=a a a5、能用几何图形作出直观解释吗？用正方形的面积启发诱导数形结合思想6、填空 课本6页7、比较 2a 和a 有何关系？当a ≥0时，2a ＝ 和a ﹤0，2a ＝ 先练习、再观察发现总结规律得出性质二8、性质二：9、课内练习(()(()(()(()()()(2222322211_____,2______,33_____,5141_____,54____,62____.3⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭=---=梳理知识使条理清楚，及时练习巩固10、例1 计算（1）()()221317-- （2）()323332+•⎥⎦⎤⎢⎣⎡--规范书写，知道运算程序、强调性质运用的条件，二次根式运算顺序11、课本7页课内练习第2题（领悟方法，会正迁移）12、计算：217375212-+⎪⎭⎫ ⎝⎛- 要求比较先算括号里与直接利用二次根式性质的优劣；强调先判断2a 中a 的符号三、引申与提高例4 化简：（1）（2） （3） (a ＜0,b ＞0) （4）(a ＞1 ) 四、分享与体会你能说出这节课你的收获和体验与大家分享吗？五、作业1．课本作业题；2．预习下节课。
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16.1二次根式1一、学习目标1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。
2、掌握二次根式有意义的条件。
3、掌握二次根式的基本性质：)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a二、学习重点、难点重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质． 难点：综合运用性质)0(0≥≥a a 和。
三、学习过程（一）自学导航（课前预习）（1）已知a x =2，那么a 是x 的______;x 是a 的______, 记为_____,a 一定是____数。
（2）4的算术平方根为2，用式子表示为 =__________；正数a 的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______；式子)0(0≥≥a a 的意义是 。
（二）合作交流（小组互助） (1)16的平方根是 ；(2)一个物体从高处自由落下，落到地面的时间是t (单位：秒)与开始下落时的高度h (单位：米)满足关系式25t h =。
如果用含h 的式子表示t ，则t = ； (3)圆的面积为S ，则圆的半径是 ；(4)正方形的面积为3-b ，则边长为 。
思考：16，5h ，πs ,3-b 等式子的实际意义.说一说他们的共同特征.定义: 一般地我们把形如a （0≥a ）叫做二次根式，a 叫做_____________。
。
1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？3，16-，34，5-，)0(3≥a a ，12+x2、当a 为正数时a 指a 的 ，而0的算术平方根是 ，负数 ，只有非负数a 才有算术平方根。
所以，在二次根式a 中，字母a 必须满足 , a 才有意义。
3、根据算术平方根意义计算 ：(1) 2)4( (2) （3）2)5.0( （4）2)31(根据计算结果，你能得出结论： ，其中0≥a ,4、由公式)0()(2≥=a a a ，我们可以得到公式a =2)(a ,利用此公式可以把任意一个非负数写成________)(2=a 42)3(一个数的平方的形式。
八年级数学下册 16.1 二次根式导学案(新版)新人教版
八年级数学下册 16.1 二次根式导学案（新
版）新人教版
16、1二次根式学习目标
1、理解二次根式的概念，并利用（a≥0）的意义解答具体题目
2、提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题、重点形如(a≥0)的式子叫做二次根式的概念难点利用
“（a≥0）”解决具体问题、预习引导活动
4、思考下列问题：①的运算结果是3，是不是二次根式？3是不是？②定义中为什么要加≥0？若a<0，表示什么？有无意义？③当 a=0时，表示什么？结果是什么？当 a>0时，表示什么？可不可能为负数？(≥0)是什么样的数呢？
问题导学课本思考
1、当x是怎样的实数时，下列二次根式有意义？
，，课本思考2：当x是怎样的实数时，，有意义？
1、若，则x和m的取值范围是x_____；m______、
2、已知，求的值各是多少？活动
5、完成课本探究1活动
6、对中的运算顺序、运算结果进行分析，归纳出：一个非负数先开方再平方，结果不变、练习：课本例2活动
7、完成课本探究2活动
8、对中的运算顺序、运算结果进行分析，归纳出：一个非负数先平方再开方，结果不变；一个负数先平方再开方结果为相反数、练习：课本例3补充练习：
1、化简：，；
2、直角三角形的三边分别为a，b，c，其中c为斜边，则式子-与式子有什么关系？当堂检测作业P5习题
1、2
3、4板书设计知识与方法的建构教师学生反思小结。
最新课标RJ人教版 八年级数学 下册第二学期(导学案)第十六章 二次根式(第16章全单元 导学案)
第十六章二次根式16.1 二次根式第1课时二次根式的概念第十六章 二次根式16.1 二次根式第2课时 二次根式的性质一、学习目标：1.掌握二次根式的基本性质：（a ）2=a （a ≥0）；a a =2；2.能利用上述性质对二次根式进行化简. 二、学习重点、难点重点：二次根式的性质（a ）2=a （a ≥0）；a a =2．难点：综合运用性质对二次根式进行化简和计算。
三、学习过程（一）自学导航（课前预习）（1）什么是二次根式，它有哪些性质？ （2）二次根式52-x 有意义，则x 。
（3）在实数范围内因式分解：-=-226x x ( )2=（x + ）(y - ) （二）合作交流（小组互助） 1、计算(1) 2)4(= (2)()=23（3）2)5.0( = （4）2)31(= 根据计算结果，能得出结论： （0≥a ） 2.计算：（1）=24 =22.0 =2)54(=220 观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当a ﹥0时，=2a（2） =-2)4( =-2)2.0( =-2)54( =-2)20(观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当a<0时，=2a （3）=20 得到：当a=0时，=2a________)(2=a3.归纳总结将上面做题过程中得到的结论综合起来，得到二次根式的非常重要的性质： 性质一：（a ）2=a （a ≥0）；性质二：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==0a a 0a 00a a 2a a 4. （1）阅读课本思考：什么是代数式？我们前面还学过那些代数式吗？（2）思考、讨论：二次根式的性质)0()(2≥=a a a 与a a =2有什么区别与联系。
四.精讲点评利用a a =2可将二次根式被开方数中的完全平方式“开方”出来，达到化简的目的，进行化简的关键是准确确定“a ”的取值。
五.当堂达标1、化简下列各式（1）（5.1）2 （2）（52）2（3）22)33()10(-+--计算：（4）)0(42≥x x (5)4x2、化简下列各式 （1）)3()3(2≥-a a （2）()232+x （x ＜-2）六.拓展延伸（1）a 、b 、c 为三角形的三条边，则=--+-+c a b c b a 2)(____________.(2) 把(2-x)21-x 的根号外的（2-x ）适当变形后移入根号内，得（ ） A 、x -2 B 、2-x C 、x --2 D 、2--x(3) 已知2＜x ＜3，化简：3)2(2-+-x x七.教后反思16.2 二次根式的乘除第1课时 二次根式的乘法一、学习目标a ≥0，b ≥0）（a ≥0，b ≥0），并利用它们进行计算和化简二、学习重点、难点重点： 掌握和应用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。
新课标人教版第十六章二次根式导学案
2.熟练进行二次根式的乘除法运算；
3.理解同类二次根式的定义，熟练进行二次根式的加减法运算；
4.了解最简二次根式的定义，能运用相关性质进行化简二次根式；
【重点难点】
二次根式的计算和化简；二次根式的混合运算.
【知识回顾】
1.二次根式的概念：形如
的式子叫做二次根式。
2.二次根式的性质：
⑴ a 0(a≥0)
1.二次根式乘法运算的法则：
2.化简：
⑴ 200 =
3.计算：
⑵ x3 x2 y =
1
⑴ × 24 =
2
⑵ a3 · ab =
【自主学习】 1.计算并用“>”、“<”或“=”填空.
⑴9 16
9
⑵ 25
16
36
25
⑶ 49
36
64
【合作探究】
1.已知 9 x 9 x ，且 x 为偶数，求 x 1 x2 5x 4 的值．
2
m 3n 2 3m2
⑶· ·
3 mnn
⑵ 1 3 ×2 3 ×（- 1 10 ）
5
2
2
⑷
xy5 ×（- 3
x3y ）×3
x
y
2
y5
16.3 二次根式在加减（1） 【学习目标】
1.理解和掌握二次根式加减的法则； 2.会利用二次根式在加减法则进行计算. 【重点难点】 二次根式在加减法则；熟练进行二次根式在加减运算. 【旧知回顾】 1.最简二次根式：
⑴ 6 8 3
⑵ 4 6 3 2 2 2
⑶
5
6 3
5
⑷
2
5
3 2 5
3
⑸ 3 2 2 2
⑹ 2 5 2 2
人教版数学八年级下册16.1《二次根式(1)》导学案
16.1二次根式〔1〕 学案学习目标：1.了解二次根式的意义；2.会判断二次根式，能求简单的二次根式中字母的取值范围。
学习重点：二次根式的概念及意义。
学习难点：二次根式的判断与字母取值范围确实定。
学习过程：一、温故互查1.什么叫平方根？2.什么叫算数平方根？3.〔算数〕平方根的性质平方根式是二、设问导读 感受新知阅读课本，完成以下问题在课本思考框的问题中，结果分别是 ，结果都分别是表示65，S ，2，5h 的 . 我们知道：一个正数有两个平方根，它们 ；0的平方根是 ；在实数范围内， 数没有平方根。
因此，开平方时，被开方数只能是 .【归纳】一般地，我们把形如〔a≥0〕的式子叫做 ，“〞称为 ．【注意】二次根式应满足两个条件：1.形式．．上必须是a 的形式； .三、自我检测例1.当x 是怎样的实数时，2 x 在实数范围内有意义？例2.当a<0时，a 有意义吗？【归纳】a 的双重非负性：1. a≥0 ; 2.四、稳固训练1.、1x x>0〕、、、1x y+〔x≥0，y ≥0〕．2.当x 是多少时，x 35-在实数范围内有意义？【课本练习】 1、2五、拓展提升1.当x 是怎样的实数时，以下各式在实数范围内有意义？〔1〕48-+x x 〔2〕2x 〔3〕3x2.〔1〕，求x y的值．〔2=0，求a 2021+b 2021的值．六、小结评价1.请你说说对二次根式的认识？〔口述给组长〕2.小组对你这节课表现进展评价：〔较好；好；一般；差；较差〕组长：。
八年级下16.1二次根式导学学案1
16.1二次根式导学学案教学目标：(1) 了解二次根式的概念。
(2) 掌握二次根式的基本性质。
(3) 在学生原有知识的基础上，经历知识产生的过程，探索新知识；(4) 体会用类比的思想研究二次根式，体验研究数学问题的常用方法：由特殊到一般，由简单到复杂．(5) 教学中为学生创造大量的操作.思考和交流的机会，关注学生思考问题的过程，鼓励学生在探索规律的过程中从多个角度进行考虑，品尝成功的喜悦，激发学生应用数学的热情，培养学生主动探索，敢于实践，善于发现的科学精神以及合作精神，树立创新意识。
教学重点：教学难点：教学过程：一.情景创设1．回顾：什么叫平方根? 什么叫算术平方根?2．思考(1)面积为3的正方形边长面积为S正方形边长为。
(2)一个物体做自由落体运动，落地时间t,和高度h满足关h= t25,如果用含h的式子表示t,t=(3)圆的面积为S,则圆的半径是 .(4)正方形的面积为3b,则边长为 .3.对上面（1）~（4）题的结果,你能发现它们有什么共同的特征吗? 3、前面我们学习了平方根和算术平方根的意义，引进了一个新的记号 a ，现在请同学们思考并回答下面两个问题：1. a 表示什么?2.a需要满足什么条件?为什么？教师与学生共同归纳：二.新课讲解1、问题： ( a )2(a≥0)等于什么?说说你的理由并举例验证。
2、判断：(1)0=(0 )2对不对?(2)－5=(－5 )2对不对?教师与学生共同归纳：3、二次根式概念 形如 a (a ≥0)的式子叫做二次根式.【说明】 二次根式必须具备以下特点；(1) ； (2) 。
学生举出二次根式的几个例子 判断－5 ， a (a<0).3a .－a (a<o)是不是二次根式三、例题与练习例1.要使式子x －1 有意义，字母x 的取值必须满足什么条件? （思考：若将式子x －1 改为1－x ，则字母x 的取值必须满足什么条件?）练习：a 取何值时,下列二次根式有意义. (1)1+a (3) a 101- (2) a211- （4）2)1(-a例2：计算：（1）2)3(； （2）2)32(； （3） 2)(b a + （a+b ≥0）练习.（1）=2)32( （2）2)32(教师与学生共同归纳：练习：计算：（1）=4 （2）=-2)5.1( （3）=-2)1(x （x≥1）练习：P8 1，2四、引导学生总结：1、 2、 3、五、作业：P5习题16.1 1题六、教学反思。
16.1二次根式 1课时 导学案-人教版八年级数学下册
16.1 二次根式 1课时导学案-人教版八年级数学下册一、知识回顾在前面的学习中，我们学习了根式的概念和性质，了解了根式的化简、加减乘除等基本运算法则。
本节课我们将学习二次根式的相关知识。
请回顾以下问题：1.什么是根式？2.根式有哪几种运算法则？3.如何对根式进行化简操作？二、学习目标1.理解二次根式的概念；2.掌握二次根式的化简；3.能够利用二次根式的化简规律进行计算。
三、学习内容1. 二次根式的定义在代数中，我们把形如√a（a≥0）的式子称为二次根式，其中a称为被开方数，√称为二次根号。
2. 二次根式的化简对于二次根式的化简，我们可以利用一些化简规律来简化表达式。
（1）同底合并如果两个二次根式的底数相同，那么可以将它们合并为一个二次根式。
例如：√2 + √2 = 2√2（2）相乘化简如果二次根式与非二次根式相乘，可以移动根号进行化简。
例如：2√2 * 3 = 6√2（3）理数根号化简对于能整除被开方数的完全平方数，可以进行化简。
例如：√36 = 63. 二次根式的运算（1）加减运算相同底数的二次根式可以进行加减运算。
例如：√3 + √5 = √3 + √5（2）乘法运算二次根式的乘法运算仍然适用分配律。
例如：（√2 + √3）* (√2 + √3) = √2 * √2 + √2 * √3 + √2 * √3 + √3 * √3 = 2 + 2√6 + 3 = 5 + 2√6（3）除法运算对于二次根式的除法，可以利用有理化分母的方法进行运算。
例如：√6 / √2 = (√6 / √2) * (√2 / √2) = √12 / 2 = 2√24. 二次根式的化简综合运用将以上所学知识综合运用，化简以下二次根式：（1）3√6 + 2√8（2）√12 * √27（3）（√5 + √3）* (√5 - √3)（4）（√3 + √7）/ (√3 - √7)四、学习总结本节课我们学习了二次根式的概念和性质，掌握了二次根式的化简和运算法则。
第16章 二次根式 整章导学案
教师复备栏或学生笔记栏教师复备栏或学生笔记栏二次根式导学案16.1.1二次根式(1)一、学习目标1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。
2、掌握二次根式有意义的条件。
二、学习重点、难点重点：二次根式有意义的条件．难点：掌握二次根式有意义的条件)0(0≥≥aa。
三、学习过程（一）复习回顾：（1）已知ax=2，那么a是x的______;x是a的________,记为______,a一定是_______数。
（2）4的算术平方根为2，用式子表示为4=_________；正数a的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______；式子)0(0≥≥aa的意义是。
（二）探索新知自主学习：二次根式的定义(1)16的平方根是；(2)一个物体从高处自由落下，落到地面的时间是t(单位：秒)与开始下落时的高度h(单位：米)满足关系式25th=。
如果用含h的式子表示t，则t= ；(3)圆的面积为S，则圆的半径是；(4)正方形的面积为3-b，则边长为。
思考：16，5h，πs,3-b等式子的实际意义.说一说他们的共同特征.（阅读看书本P2可以完成）定义: 一般地我们把形如a（0≥a）叫做，a叫做_______。
称为1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？3，16-，34，5-，)0(3≥aa，12+x2、（学生活动）议一议：① -1有算术平方根吗？② 0的算术平方根是多少？③当a<0，a有意义吗？归纳小结：当a为正数时a指a的，而0的算术平方根是，负数，只有非负数a才有算术平方根。
例1：下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？不是二次根式说明理由2、33、1x、x（x>0）、0、42、-2、1x y+、x y+（x≥0，y•≥0）．教师复备栏或学生笔记栏解：属于二次根式是（三）合作探究：在二次根式a 中，字母a 必须满足 ,a 才有意义。
例1：当x 是怎样的实数时，2-x 在实数范围内有意义？解：由02≥-x ，得 2≥x当2≥x 时，2-x 在实数范围内有意义。
16章 二次根式全章导学案
16.1二次根式(1)学习目标：1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式,掌握二次根式有意义的条件。
2、掌握二次根式的基本性质：)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a· ·预 习 案（一）复习回顾：（1）已知a x =2，那么a 是x 的_ ____;x 是a 的___ _, 记为_ ___,a 一定是__ __数。
（2）4的算术平方根为2，用式子表示为 =______；正数a 的算术平方根为_____， 0的算术平方根为____；式子)0(0≥≥a a 的意义是 。
思考：16 ，πs,3-b 等式子.说一说他们的共同特征.定义: 一般地我们把形如a （0≥a ）叫做二次根式，a 叫做______。
“”称为 。
1、判断下列各式，哪些是二次根式在后面“√”，哪些不是在后面“×”？为什么？3（ ），16-（ ），34（ ） ），)0(3≥a a （ ），12+x （ ）2、当a 为正数时a 指a 的 ，而0的算术平方根是 ，负数 ，只有非负数a 才有算术平方根。
所以，在二次根式a 中，字母a 必须满足 , a 才有意义。
3、根据算术平方根意义计算 ：(1) 2)4( = (2) = （3）2)5.0( = （4）2)31(=根据计算结果，你能得出结论：（0≥a ） 4、由公式)0()(2≥=a a a ，我们可以得到公式a =2)(a ,利用此公式可以把任意一个非负数写成一个数的平方的形式。
如(5)2=5或5=(5)2.练习：(1)把下列非负数写成一个数的平方的形式：6= 0.35=合 作 探 究例1：当x 是怎样的实数时，2-x 在实数范围内有意义？________)(2=a 42)3(练习1:x 取何值时，下列各二次根式有意义？①②③例2：在式子xx+-121中，x 的取值范围是什么？练习2:x 取何值时，下列各二次根式有意义？① ② ③训练案1、计算： 2)3(= 2)5.0(= 2= 2= 2、二次根式1-a 中，字母a 的取值范围是（ ）A 、 a ＜lB 、a ≤1C 、a ≥1D 、a ＞1 3、已知03=+x 则x 的值为（ ）A 、 x >-3B 、x <-3C 、x =-3D 、 x 的值不能确定4、则a 的值为_______．若xx+-121有意义，x 的取值范围是________. 5、当x = 时，代数式有最小值，其最小值是 。
2023年春八下数学 16-1-1 二次根式的概念 导学案(人教版)
人教版初中数学八年级下册16.1.1 二次根式的概念导学案一、学习目标：1.理解二次根式的概念.2.掌握二次根式有意义的条件.3.会利用二次根式的非负性解决相关问题.重点：形如 (a≥0)的式子叫做二次根式的概念.难点：利用“ (a≥0)”双重非负性解决具体问题.二、学习过程：课前自测1.什么叫做一个数的平方根？如何表示？___________________________________________________________________ 2.什么是一个数的算术平方根？如何表示？___________________________________________________________________ 3.(1) 16的平方根是________,算术平方根是________.(2) 0的平方根是________,算术平方根是________.(3) -7有没有平方根？______,有没有算术平方根？_______.平方根的特征：______________________________________________________ ___________________________________________________________________自主学习思考：用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：(1)面积为3的正方形的边长为____，面积为 S 的正方形的边长为____.(2)一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130m2，则它的宽为_____m.(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位:s)与开始落下时离地面的高度h(单位:m)满足关系h=5t2.如果用含有h的式子表示t，则t=_____.【归纳】二次根式的概念：___________________________________________________________________ 【深度理解】________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________________________________________ 典例解析例1.下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？))(1)(2)6;(3)(4)0(5)(6),;(7)(8)(9) m x y ≤；异号【针对练习】判断下列式子，哪些是二次根式？(1)√13 (2)√−3 (3)−√x 2+1 (4)√73 (5)√(−13)2 例2.当x 是怎样的实数时,? 【针对练习】当x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？1（【总结提升】1.________2....+有意义的条件：_________3.有意义的条件：________ 4.C B有意义的条件：_______________ 合作探究思考： 1.当x 是怎样的实数时，2x 在实数范围内有意义？3x 呢？2.a 的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？ 典例解析例3.若22(4)0a c --=，求a-b+c 的值.【针对练习】已知|3x-y-1|x+4y 的平方根．例4.已知8y =,求3x+2y 的算术平方根.【针对练习】已知a ，b 为等腰三角形的两条边长，且a ，b 满足4b =，求此三角形的周长．达标检测1.下列式子：①√13；②√1−2；③√x 2+1；④√273；⑤√(−4)2，是二次根式的有（ ）A ．①③⑤B ．①③C ．①②③D ．①②③⑤2.使分式√x+3x 有意义的x 的取值范围是（ ）A ．x ≥−3B ．x ≥−3且x ≠0C ．x ≠0D ．x >03.x 值有（ ）A.0个B.1个C.无数个D.以上都不对4.x 的取值范围在数轴上表示为（ ）5．已知y =√x −2+√2−x +4，y x 的平方根是（ ）A ．16B ．8C ．±4D ．±26．若x 、y 为实数，且|x +2|+√y −2=0，则(x y )2019的值（ ）A ．-2B ．1C ．2D ．-1 11.要画一个面积为18cm 2的长方形，使它的长与宽之比为3:2，它的长、宽各应取多少？12．先化简，再求值：(1x+y −2x 2+xy )÷x−22x ，其中实数x 、y 满足y =√x −3−√6−2x +1．。
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§16.1.1《二次根式》导学案【学习目标】1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。
2、掌握二次根式有意义的条件。
【学习重点】二次根式有意义的条件． 【学习过程】【活动一】知识链接（5分钟）这些知识你还记得吗（先独立完成1分钟，后同桌互查1分钟。
） 1、如果对于任意数x ,有x 2= a ，那么x 叫a 的________, 记为______,其中 a 是x 的______;所以a 一定是_______数。
2、如果对于一个正数x ,有x 2 = a ，那么x 叫a 的________, 记为______,其中 a 仍是x 的______;所以a 一定是_______数。
3、正数a 的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______；式子)0(0≥≥a a 的意义是 。
4的算术平方根为2，用式子表示为 =__________；【活动二】自主交流 探究新知（25分钟）1、二次根式定义的学习：（12分钟）完成P2—思考中的内容，阅读例1以上的内容，尝试完成下面的问题：1） 思考：如何判定一个式子是否是二次根式2 3，16-，34 ，12+x3）已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是 。
4）下列各式一定是二次根式的是（ ）A 、12+xB 、12-xC 、1--xD 、x 总结：二次根式应满足的条件： 。
2、 二次根式有意义的条件的学习：（13分钟）自学课本P--2页例1后，模仿例题的解答过程合作完成练习 ：1）x 取何值时，下列各二次根式有意义①43-x ③x--2140)a ≥2）（1a 的值为___________．（2在实数范围内有意义，则x 为（ ）。
A.正数B.负数C.非负数D.非正数总结：二次根式有意义的条件是：【活动三】课内小结 (学生归纳总结) （3分钟） 1．非负数a 的算术平方根a (a ≥0)叫做二次根式.二次根式的概念有两个要点：一是从形式上看，应含有二次根号；二是被开方数的取值范围有限制：被开方数a 必须是非负数。
200a ≥⎧⎪≥。
【活动四】拓展延伸（独立完成3分钟，班级展示2分钟） 1、在式子xx+-121中，x 的取值范围是____________.2、已知42-x +y x +2＝0，则x-y ＝ _____________.3、已知y ＝x -3+23--x ,则x y = _____________。
【活动五】快乐达标（学生先独立完成5分钟，后组内互查2分钟。
）1、下列式子中，哪些是二次根式哪些不是二次根式2，33，x1，x （x ＞0），0，42，y x +1，y x +（x ≥0,y≥0）2、当x 是怎样的实数时，13-x 在实数范围内有意义3、若20a -+=，则 2a b -= 。
【补充练习】1、式子112-+x x 有意义的x 的取值范围是 。
2、已知：yx x x y 求,522+-+-=的值。
§ 《二次根式的性质》导学案【学习目标】1、理解二次根式的性质，能运用二次根式的性质进行二次根式的运算和化简；22=a （a ≥0）的过程，培养分类的数学思想。
【活动一】知识链接（1＇理解记忆，1＇组内交流）1、当a≥0既是一个二次根式，又是非负数a的算术平方根0（a≥0）2、a取何值时下列各式有意义，;【活动二】自主交流探究新知（3＇自主完成，2＇组内交流，2＇大组展示）1、探究二次根式性质根据算术平方根的意义填空⑴=；=_______；=________ ；=_______⑵2=；2=_______；2=________；2=_______=；根据（2）算式其结果与根号内被开方数的关系，归纳得到：2=_______（其中，a的取值范围是___________）根据（3）算式其结果与根号内幂的底数关系，归纳得到：（其中，a的取值范围是___________）2、代数式：阅读教材4页练习上面的内容，理解代数式定义代数式：【活动三】自主应用巩固新知（3＇自主完成，2＇组间互查）1、化简：（12（22（3）2（4）2(-2、求下列各式的值。
（122⑶2)21(-_____________________⎧⎪⎨⎪⎩(0)a<(0)a>(0)a=【活动四】拓展提升（3＇自主完成，2＇组内交流，2＇大组展示）例1实数a、b在数轴上的位置如图：化简2、若代数式22)4()2(-+-aa的值是一个常数2，则a的取值范围是。
3、已知10361216822=+-+++xxxx，化简：|6|2)82(2-++xx。
【活动五】当堂检测（5＇自主完成,2＇组内互批）1、2(-=_____；2=_____；2=_____；2、如果2)2(2-=-xx，那么x的取值范围是。
3、若1<x<2，则2)1(|3|-+-xx的值为§16.2.1《二次根式的乘除（1）》导学案【学习目标】1、掌握二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。
2、熟练进行二次根式的乘法运算及化简。
【学习重点】掌握和应用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。
【学习过程】【活动一】知识链接（5分钟）（先独立完成1分钟，后同桌互查1分钟。
）2=_______ 。
计算：2(-=_____；2=_____；2=_____；【活动二】自主交流探究新知（25分钟）一、探究二次根式的乘法法则：（12分钟）1、计算：. .a（1）4×9=______ 94⨯=_______（2）16×25 =_______ 2516⨯=_______（3）100×36 =_______ 36100⨯=_______2、根据上题计算结果，用“>”、“<”或“=”填空：（1）4×9_____94⨯（2）16×25____2516⨯（3）100×36__36100⨯总结：用符号表示二次根式的乘法法则：。
二、二次根式的乘法法则的应用：（13分钟）1、自学P6--例1后，依照例题进行计算：（1（2）25×32（3）a5（4）5·a3·b312、自学P7—例2、例3后，完成下列问题：（1）用式子表示积的算术平方根的性质：ab= ·（其中ba,的取值范围是：a；b。
）（2）化简：①4925⨯= ②2212ba（其中a＞0，b＞0）=③64100⨯=④1560⨯= （3）思考：对于9×27的运算中不必把它变成243后再进行计算，你有什么好办法【活动三】课堂小结 (学生归纳总结)（3分钟）1、当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘以单项式法则进行计算：即系数之积作为积的系数，被开方数之积为被开方数。
2、化简二次根式达到的要求：（1）被开方数进行因数或因式分解。
（2）分解后把能开尽方的开出来。
【活动四】拓展延伸（独立完成3分钟，班级展示2分钟）1、判断下列各式是否正确并说明理由。
（1）)9()4(-⨯-＝94-⨯-（2）323ba=ab b3（3）×（）=68)2(6⨯-⨯=4812- （4）161694⨯ =161694⨯⨯＝34⨯＝122、不改变式子的值，把根号外的非负因式适当变形后移入根号内。
(1) -332 (2) aa212- 【活动五】快乐达标（学生先独立完成5分钟，后组内互查2分钟。
） 1、化简：（1）360= ；（2）432x =2、计算：（1）3018⨯= ；（2）7523⨯= 。
《二次根式的乘除（2）》导学案【学习目标】1、理解二次根式的除法法则，二次根式的除法运算和二次根式的化简，理解最简二次根式的概念。
2、通过二次根式的计算和化简，培养学生对根式的运算兴趣，并掌握运算的技巧【活动一】知识链接（1＇理解记忆，1＇组内交流） 问题1：二次根式乘法法则是什么完成下列填空：=-⨯-)25.0()09.0( ；=⨯2332 。
问题2：已知一个三角形的面积为21521cm ，一条边长为5cm ，求这条边上的高【活动二】自主交流 探究新知1、 二次根式的除法法则：（3＇自主完成，2＇组内交流，1＇大组展示）要求：自学课本8页内容，完成下列问题：（1）二次根式的除法法则_____________________ 思考：①你能用文字语言叙述这一法则吗②二次根式的乘法与除法法则中b 的取值范围不同，你知道为什么吗（2）商的算术平方根的运算法则_________________________ 思考：该法则与二次根式的除法法则有什么关系跟踪演练：模仿例4、例5的解答过程完成练习 ：（3＇自主完成，2＇组间互查）计算（1（2（3（4化简：（1（2a>0，b ≥0 ） （32、 最简二次根式（5＇自主完成，2＇组内交流，3＇大组展示）要求：自学课本9页内容，完成下列问题：（1）、最简二次根式必须满足：①_____________ ②__________________________（2）、判断下列二次根式，哪些是最简二次根式为什么 ①8；②a1；③5.2；④22y x +；⑤22b a -；⑥342；⑦23跟踪演练：模仿例6的解答过程完成（3＇自主完成，2＇组间互查）计算 ①②③④总结：化最简二次根式的方法：【活动三】自主应用，拓展提升（3＇自主完成，2＇组内交流，2＇大组展示） 1．等式2121++=++a a a a 成立的条件是( ) A ．a ＞-1 B ．a ＞-2 C ．a ≥-1 D ．a ≥-22、=324___；=232a ___（a>0）；= ______；=220xy_____(x<0) 活动四：快乐达标（学生先独立完成5分钟，后组内互查2分钟。
）1．下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A ．51B ．5.0C ．5D ．502、计算与化简 （1）aa 62 （2）a28 （3）2724 （4）818二次根式的加减（1） 【学习目标】1、能进行二次根式的加减运算，掌握其运算步骤。
2、通过实际实际问题理解并掌握二次根式的加减法法则，通过与整式的加减法进行比较及动手练习掌握二次根式的加减法的运算技巧。
【活动一】知识链接（1＇理解记忆，1＇组内交流） 问题1:计算下列各式．（1）2x +3x ； （2）2x 2-3x 2+5x 2； （3）x +2x +3y ； （4）3a 2-2a 2+a 3问题2：有一个三角形，它的两边长分别为cm 20和cm 80，如果该三角形的周长为cm 59，你能求出第三边长吗【活动二】自主交流 探究新知1、二次根式的加减运算：（3＇自主完成，2＇组内交流，1＇大组展示）要求：自学课本12页内容，完成下列问题：归纳：二次根式的加减运算步骤：跟踪演练：（5＇自主完成，2＇组内交流，2＇大组展示）1、 下列运算错在哪里如何改正（1）325=- ⑵3223=- ⑶5353=+ （4）3963==+ ⑸653332=+ 2、计算下列各式．（1）2+3=___________ （2）2-3+5=________（3）+2+3 =_________ （4）=__________3、把下列二次根式化简，根据化简结果说明哪些二次根式可以合并。