数值分析期末试题

数值分析期末试题

一、填空题（20102=⨯分）

（1)设⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=283012251

A ，则

=∞A ______13_______。

（2)对于方程组⎩⎨

⎧=-=-3

4101522121x x x x ，Jacobi 迭代法的迭代矩阵是=J B ⎥

⎦⎤

⎢⎣⎡05.25.20。 （3)3*x 的相对误差约是*

x 的相对误差的

3

1

倍。 （4）求方程)(x f x =根的牛顿迭代公式是)

('1)

(1n n n n n x f x f x x x +--

=+。

（5）设1)(3

-+=x x x f ，则差商=]3,2,1,0[f 1 。

（6）设n n ⨯矩阵G 的特征值是n λλλ,,,21 ，则矩阵G 的谱半径=)(G ρi n

i λ≤≤1max 。

（7）已知⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡=1021A ，则条件数=∞)(A Cond 9

（8）为了提高数值计算精度，当正数x 充分大时,应将)1ln(2--

x x 改写为

)1ln(2++-x x 。

（9）n 个求积节点的插值型求积公式的代数精确度至少为1-n 次。

（10）拟合三点))(,(11x f x ，))(,(22x f x ，))(,(33x f x 的水平直线是)(313

1

∑==i i x f y 。

二、（10分）证明：方程组⎪⎩⎪

⎨⎧=-+=++=+-1

2112321

321321x x x x x x x x x 使用Jacobi 迭代法求解不收敛性。

证明：Jacobi 迭代法的迭代矩阵为

⎥⎥

⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎣⎡---=05.05.01015.05.00J B

J B 的特征多项式为

)25.1(5

.05.0115

.05.0)det(2+=---=

-λλλ

λλ

λj B I

J B 的特征值为01=λ，i 25.12=λ，i 25.13-=λ，故25.1)(=J B ρ＞1，因而迭

代法不收敛性。

三、（10分）定义内积

⎰

=

1

)()(),(dx x g x f g f

试在{}x Span H ,11=中寻求对于x x f =)(的最佳平方逼近元素)(x p 。

解：1)(0≡x ϕ，x x ≡)(1ϕ，

1

),(1

00==

⎰

dx ϕϕ，

2

1),(1

01=

=

⎰

xdx ϕϕ，

3

1),(1

211=

=

⎰

dx x ϕϕ，

3

2

),(1

0=

=

⎰

dx x f ϕ，5

2),(1

1=

=⎰

dx x x f ϕ。 法方程

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=

⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢

⎢⎣⎡5232312

1211

10c c 解得1540=

c ，15

121=c 。所求的最佳平方逼近元素为 x x p 15

12

154)(+=

，10≤≤x 四、（

试用三次多项式以最小二乘法拟合所给数据。

解:3

32210)(x c x c x c c x y +++=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=84211111000111118421A ， ⎥⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡=

130034003401034010001005A A T

T T y A )4.14,7,2.4,9.2(=

法方程

y A Ac A T T =

的解为4086.00=c ，39167.01=c ，0857.02=c ，00833.03=c 得到三次多项式

3200833.00857.039167.04086.0)(x x x x y +++=

误差平方和为000194.03=σ

五. (10分) 依据如下函数值表

建立不超过三次的Lagrange 插值多项式，用它计算)2.2(f ，并在假设1)()4(≤x f 下，估计计算误差。 解:先计算插值基函数

147

8781)40)(20)(10()4)(2)(1()(230+-+-=------=

x x x x x x x l

x x x x x x x l 38

231)41)(21)(01()4)(2)(0()(231+-=------=

x x x x x x x l -+-=------=

2324

5

41)42)(12)(02()4)(1)(0()(

x x x x x x x l 12

1

81241)24)(14)(04()2)(1)(0()(233+-=------=

所求Lagrange 插值多项式为

12

1

445411)(3)(23)(9)()()()(2332103

03+-+-

=+++==∑=x x x x l x l x l x l x l x f x L i i i 从而0683.25)2.2()2.2(3=≈L f 。

据误差公式))()()((!

4)

()(3210)4(3x x x x x x x x f x R ----=

ξ及假设1)()4(≤x f 得误差估计：