第十一章 存储论
第11章--存储论资料讲解
图所示
Q
假定每
足t时间的需求Rt，记订
t
货量为Q，Q=Rt，订购费
为C3，货物单价为K，则 订货费为C3+KRt；t时间
的平均订货费为 C3 KR t
模型一：不允许缺货，补充时间极短
专门研究这类有关存储问题的科学，构成 运筹学的一个分支，叫作存储论(inventory Theory)，也称库存论。
本章所介绍的存储问题，模型并不复杂， 原理也容易掌握，应用这些原理可以从一 个方面改善企业的经营管理，以达到节约 资金，获得更多利润的目的。
1.2 存储论的基本概念
• 存贮系统 是一个由补充、存贮、需求三个环节 紧密构成的运行系统。
备货时间可能很长，也可能很短，可能是随机性 的，也可以是确定性的。
2. 补充(订货或生产)
存储论要解决的问题是：多少时间补充一次， 每次补充的数量应该是多少。决定多少时间 补充一次以及每次补充数量的策略称为存储 策略。
存储策略的优劣如何衡量呢?最直接的衡量 标准，是计算该策略所耗用的平均费用多少。 为此有必要对费用进行详细的分析。
第11章--存储论
第1节 存储论的基本概念 1.1 存储问题的提出
人们在生产和日常生活活动中往往将所需的物资、 用品和食物暂时地储存起来，以备将来使用或消 费。这种储存物品的现象是为了解决供应(生产) 与需求(消费)之间的不协调的一种措施，这种不 协调性一般表现为供应量与需求量和供应时期与 需求时期的不一致性上，出现供不应求或供过于 求。人们在供应与需求这两环节之间加入储存这 一环节，就能起到缓解供应与需求之间的不协调， 以此为研究对象，利用运筹学的方法去解决最合 理、最经济地储存问题。
费用
(3) 生产费，补充存储时，如果不需向外厂订 货，由本厂自行生产，这时仍需要支出两项费 用。一项是装配费用（准备结束费用），如组 织和调整生产线的费用，它是一次性的费用， 或称为固定费用，也用C3表示。另一项是与生 产产品的数量有关的费用如材料费、加工费等 (可变费用)。
存储论获奖课件
存储量 A
0
tp
－R t
• 最大存储量：A • 最大缺货量：B
(到货后立即全部提供） • tp为不缺货时间 • tp=B/R • 周期 t
BБайду номын сангаас
模型四：允许缺货（需要补足），补充时 间很短（立即能够补充P=∞ ）
模型二
t* 2c3 . c1 c2 . P c1R c2 P R
Q* Rt* 2c3R . c1 c2 . P
作用： 协调供需关系，平抑波动，保障供给
问题： 对于特定旳需求模型，怎样拟定最佳补充周期和
补充量。费用分析是基本旳衡量原则
存贮论
二、发展概况
1923年美国经济学家哈里斯(Harris F.）对商业中旳库存问题建立了一种简朴模 型，并求得了最优解，但未被人们注意。1923年威尔逊（Wilson R.H)建立拟 定性库存模型，并重新得出了哈里斯旳公式，被称为威尔逊公式。二次大战后 开始研究随机性库存模型。50年代美国旳经济学家们研究了最优存储策略...
P PR
存储量 Q
斜率P-R
t
T
斜率－R
Q
S/2 时间
2T
3T
0
生产结束时间t3
2C3 R C1 P(P R)
最优库存周期t* 2 C3 P C1 R P R
最小成本C*
2 C1 C3 R
PR P
S
斜率P-R t3
斜率-R T
某企业月需求为30件,需求速度为常数.该商品每件进价 300元,月存贮费为进价旳2%,向工厂订购该商品每次 旳订货费每次20元,订购后需5天才开始到货,到货速度 为2件/天,求最优存贮策略.
t2
运筹学11-存储论
第11章存储论存储论也称库存论（Inventory theory），是研究物资最优存储策略及存储控制的理论。
物资的存储是工业生产和经济运转的必然现象。
任何工商企业，如果物资存储过多，不但积压流动资金，而且还占用仓储空间，增加保管费用。
如果存储的物资是过时的或陈旧的，会给企业带来巨大经济损失；反之，若物资存储过少企业就会失去销售机会而减少利润，或由于缺少原材料而被迫停产，或由于缺货需要临时增加人力和费用。
寻求合理的存储量、订货量和订货时间是存储论研究的重要内容。
§1 确定型经济订货批量模型本节假定在单位时间内（或称计划期）的需求量为已知常数，货物供应速率、订货费、存储费和缺货费已知，其订货策略是将单位时间分成n等分的时间区间t，在每个区间开始订购或生产相同的货物量，形成t循环储存策略。
在建立储存模型时定义了下列参数及其含义。
D：需求速率，单位时间内的需求量（Demand per unit time）。
P：生产速率或再补给速率（Production or replenishment rate）。
A：生产准备费用（Fixed ordering or setup cost）。
C：单位货物获得成本（Unit acquisition cost）。
H：单位时间内单位货物持有（储存）成本（Holding cost per unit per unit time）。
B：单位时间内单位货物的缺货费用（Shortage cost per unit short per unit time）。
π：单位货物的缺货费用，与时间无关（Shortage cost per unit short, independent of time）。
t：订货区间（Order interval），周期性订货的时间间隔期，也称为订货周期。
L：提前期（order lead time），从提出订货到所订货物且进入存储系统之间的时间间隔，也称为订货提前时间或拖后时间。
存储论的基本概念
存储论的基本概念库存管理的对象•库存管理的对象是很多的，广而言之，它可以包括：商业企业库存的商品、图书馆库存的图书、博物馆库存的展品等等。
库存管理的意义•企业作为一个微观的经济系统，它必然要以宏观的经济系统作为自己的依存环境，在供、产、销、储、运等等方面搞好内部与外部的协调和配合，才能获得良好的社会效益和经济效益，才能保持企业的生存与发展。
•企业库存管理的目标可概括为下列两点：–保证企业按科学的计划实现均衡生产，不要因缺少原材料或其他物资而停工停产。
–使库存管理的总费用达到最低。
存储论主要解决两个问题•当我们补充存储物资时，我们每次补充数量是多少？•我们应该间隔多长时间来补充我们的存储物资？存储论的基本概念•需求/输出需求只需要从货存中取出的货物数量，即存储系统的输出•进货/输入补充指需要存入仓库的货物数量，即存储系统的输入•定购费/订货费–进一次货所需要的固定费用–如果供应源来自企业外部，它就包括采购人员工资，差旅费，手续费等，如果供应源来自企业内部，例如工厂，它就包括更换模具、夹具、设备的调整及检验所需的费用。
定购费/订货费与所订货的数量无关。
存储论的基本概念•购进费–是指货物本身的价格、运费等，它与进货多少有关–应该注意的是，如果不考虑折扣，当需求量一定时，无论分几批进货，也无论每批的数量多少，总购进费是一个常数。
•存储费/库存费–有每单位商品的存储费和存储数量决定。
包括两个部分：（1）购买商品或生产商品占用的资金的利息。
若是银行贷款，即贷款利息；如是自有资金，也应考虑占用资金的机会成本，等同于银行的贷款利息。
（2）存储仓库的费用、保险费用、损耗费用、管理费用等。
存储论的基本概念•短缺费–它指的是当需求不能被满足时所引起的损失，如失去销售机会的损失，停工待料的损失，为补足拖欠订货所发生的额外成本支出，以及由于对顾客（如厂矿企业）延期交货而付给的罚金等。
存储模型的类型•确定性存储模型：模型中的数据皆为确定的数值。
《运筹学》课程教学(自学)基本要求
线性规划及其对偶问题的矩阵描述只求读懂
第三章：运输问题
学时要求
主要内容
一、教学基本要求
【了解】
了解如何应用表上作业法求解不平衡的运输问题
【掌握】
运输问题的数学模型；应用（最小元素法）表上作业法求解运输问题，掌握闭回路与位势法的异同，特别注意退化的运输问题的处理方式；
备注
有转运的运输问题不要求
第四章：目标规划
学习建议
正确理解运筹学方法论，掌握运筹学整体优化思想。掌握线性规划、对偶问题、运输问题、整数规划、动态规划、网络计划、排队模型、存贮论等基本模型的功能和特点，熟悉其建模条件、步骤及相应的技巧，能根据实际背景抽象出适当的运筹学模型。掌握与基本模型有关的基本概念及基本原理，做到思路清晰、概念明确。具有初步运用运筹学思想和方法分析、解决实际问题的能力和创新思维与应用的意识。了解运筹学发展的相关动态。
各章节主要学习内容及要求
序言
学时要求
主要内容
一、教学基本要求
【了解】
了解运筹学的发展历史及发展至今形成的内容体系；
了解运筹学的研究对象及方法。
【掌握】
掌握模型的概念，
备注
第一章：线性规划及单纯形法
学时要求
主要内容
一、教学基本要求
【了解】
了解单纯形法的原理
【掌握】
掌握LP模型的建模思路，模型的表述格式；图解法原理、步骤；LP的三定理（不求证明）；LP模型的标准化及单纯形法的步骤，弄清读懂单纯形表的构造及其内容表意。
【掌握】
正确应用0—1变量、整数变量建立整数规划模型；
掌握分支定界技术、割平面法及匈牙利法求解整数规划的步骤，特别搞清分支定界技术及割平面法的原理。
运筹学第11章-存储论
3/7/2020
9
Cycle Stock and Safety Stock
On Hand
Cycle Stock
Cycle Stock
Cycle Stock
Safety Stock
Time
What should my inventory policy be? (how much to order when)
What should my safety stock be? What are my relevant costs?
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10
库存论发展的里程
➢1915年F．哈里斯就稳定需求，即对供应的情况得出关于存 储费用的“简单批量公式”。
➢1929年，L．梅厄（奥地利人）出版的《仓库业的经营经济 学》是与库存论有关的早期著作之一。
库存的目的：
➢是防止短缺，就象水库里储存的水一样； ➢它还具有保持生产过程连续性、分摊订货费用、快速满
足用户订货需求的作用。
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4
11.1 存储论概述
库存是缓解供给与需求之 间不协调的重要环节
供应
库存
需求
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库存的双重影响
积极影响
➢缓冲作用 ➢制造与购买中的经济性 ➢生产连续运行的媒介 ➢服务水平(Service Level)
多周期需求是在长时间内需求反复发生，库存需要 不断补充，在实际生活中，这种需求现象较为多见。
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14
库存问题的基本术语
需求（demand)
➢确定 ➢随机
补充(订货)（replenishment)
➢Lead time (从订货到进货的时间，备货时间） ➢订货周期（ Order Cycle Time ) ➢订货量（ Order Quantity ）
存储论
1.1.3 存储控制策略
在存储控制中，需求是服务的对象，补充是控制 的对象。 因此，控制并确定输入过程中订货周期和订购批 量，形成不同的控制策略。 最常见的存储策略有以下3种。
(1) t循环策略:每经过一个循环时间t就补充存储量Q，这一方法 也称为经济批量法。 (2)(s，S)策略：每隔一定的时间检查库存量y，当库存量y低于 规定的最低库存量s时就补充库存，把库存量提高到S，反之， 就不作补充。 (3)(q，Q)策略：对库存进行连续性检查，当库存量减少到订购 点q以下，就即刻订货，且每次的订货量都为Q。
该模型的存储状态变化如图1-3所示。
如图1-3所设，每一个订货周期 t内的最大缺货量 为 Q ，实际进库量为 Q ，当进货时，每批的订购 批量为 Q Q Q
2
1
1
2
在这里，我们假定采用“缺货预约”的办法： 未被满足的需求量作为缺货予以登记，进货后 立即进行补偿。 或者在实际问题中也可以如此处理：该存储系统 有一个安全库存量Q （需要支付超存储费，也即缺 货损失费），一旦缺货就动用安全库存量 Q 。当进 货时，被动用的安全库存量Q 应该得到补偿。
bu
a t
2
0
解该方程得
t
由于 t ，
2a bu
0
,
并且对t的二阶导数在 t
2 a / b u 时大于零，
因此最优订货周期
t
*
（1-1）
由Q
ut
，于是最优订购批量
Q
*
2au b
（1-2）
所以，最小平均费用
f
*
2 abu eu
（1-3）
例1-1某电器厂平均每个月需要购入某电子元件100件，
存储论
P PR
PR P
最大存储量 S 0 最大缺货量 B0
PR P
最优费用 C0 2C1C2C3 R P R
练习
对某产品的需求量为350件/年，（一年300 个工作日），每次订货费用为50元，储存 费为13.75元/（件*年），缺货损失为25 元/ （件*年），订货提前期为5天。发货单位 每天发货量为10件。 求经济订货批量及最大缺货量。
库存管理是根据外界对库存的要求、企业订购的 特点，预测、计划和执行一种补充库存的行为， 并对这种行为进行控制，重点在于确定如何订货， 订购多少，何时订货。 面临的问题：
库存多，那么因缺货带来的损失少，但是存储费用高，
占用流动资金多； 库存少，可能造成缺货损失（工厂停工待料的损失， 商店失去销售机会的损失，不能履行合同而缴纳罚 款）。
10, K (Q) 9.8,
Q 800 Q 800
解：首先计算
2C3 R Q0 400 C1
由于400<800，又 C(400)=16040元/年 而 C(800)=15730元/年 可以看出 C(800)<C(400) 所以最佳采购批量是Q=800瓶/次。
再举一例
货物成本费用：与订货数量有关
生产费用：自身生产进行补充时的费用
装配费用（固定费用）
与生产数量有关的费用
存储（库存管理）的主要概念4
存储策略：
t0—循环策略：每隔t0时间补充储存量Q (s,S)策略：
当储存量x>s时，不补充 当储存量x<=s时，补充Q=S-x（补充到S）
分析
设单位缺货费为C2，最初存储量为S。储存 量可以满足t1时间的需求，在(t-t1)时间储存 为0。
2014_第10-11章_存储论与排队论
存 贮 策 略
Байду номын сангаас
10.1.4 存贮策略
根据检查周期t、订货点R，订货批量Q和最 大库存S，基本的订货点存贮管理策略有四 种： 1.（Q，R）策略 该策略是连续性检查，有固定订货点和固 定订货批量的策略。其基本思想是：对库 存进行连续性检查，当库存降低到订货点 水平R时，发出一个订单，每次的订货量 都为Q。该策略适合于需求量大、缺货费 较高、需求波动很大的情形。
与 库 存 相 关 的 成 本
10.1.3 与库存相关的成本
如果企业自行生产产品，则采购成本变为 生产成本。生产成本（Production Costs） 同样由两部分组成：固定成本和变动成本 。固定成本指生产准备成本，即装配费用 ，包括零部件的装配、设备的安装与调试 等费用。变动成本是指与人工成本、材料 费和实际生产有关的管理费用。
库 存 及 库 存 系 统 的 分 类
10.1.2 库存及库存系统的分类
（2）按经济用途来分，可分为， 商品库存。企业购进或生产出来并准备出售的货 物。 制造业库存。指购进后直接用于生产制造的货物 。与商品库存不同的是，制造业库存在出售之前 需要经过生产加工处理。又分为：原材料、在制 品、半成品和制成品。 其他库存。除上述库存外，供企业日常消耗的用 品和为生产经营服务的辅助性物品。
管 理 系 统 建 模 与 优 化
第十章
存贮论
10.1 存贮论概述 10.2 确定型存贮模型 10.3 随机型存贮模型
第 十 章 存 贮 论 概 述
10.1 存贮论概述
10.1.1 库存管理的主要作用 10.1.2 库存及库存系统的分类 10.1.3 与库存相关的成本
第十一章 存储论
第十一章存贮论存贮论（Inventory Theory）是研究存贮系统的性质、运行规律以及最优运营的一门学科，它是运筹学的一个分支.存贮论又称库存理论，早在1915年，哈里斯（F.Harris）针对银行货币的储备问题进行了详细的研究，建立了一个确定性的存贮费用模型，并求得了最优解，即最佳批量公式.1934年威尔逊（R.H.Wilson）重新得出了这个公式，后来人们称这个公式为经济订购批量公式（EQQ公式）.二十世纪50年代以后，存贮论成为运筹学的一个独立分支.§1 存贮问题的提出现代化的生产和经营活动都离不开存贮.为了使生产和经营有条不紊地进行，一般的工商企业总需要一定数量的贮备物资来支持.例如，企业为了连续生产，需要贮备一定数量的原材料和半成品；商店为了满足顾客的需求，需要有足够的商品库存；银行为了进行正常的业务，需要有一定量的货币余额以供周转.在信息时代的今天，人们又建立了各种数据库和信息库，存贮大量的信息等等.因此，存贮问题是人类社会活动，特别是生产经营活动中普遍存在的问题.但是，存贮物资需要占用大量的资金、人力、物力，有时甚至造成资源的严重浪费.此外，大量的库存物资还会引起某些货物劣化变质，造成巨大损失.那么，一个企业究竟应存放多少物资最为合适呢？这个问题很难笼统地给出准确的答案，必须根据企业自身的实际情况和外部的经营环境来决定.若能通过科学的存贮管理，建立一套控制库存的有效方法，这对于一个企业带来的效益是十分可观的.存贮在各行各业的大大小小的系统的运行过程中，是一个不可或缺的重要环节.尤其是随着物流管理研究的兴起，存贮管理将扮演越来越重要的角色.一个系统若无存贮物，会降低系统的效率，但是存贮物品过多，不仅影响资金周转率，从而降低经济效益，而且存贮活动本身也需耗费人、财、物力，因而会提高存贮费用.因此，保持合理的存贮水平，使总的损失费用达到最小，便是存贮论研究的主要问题.§2 基本概念一、存贮系统存贮论的对象，是一个由补充、存贮、需求三个环节紧密构成的现实运行系统，并且以存贮为中心环节，故称为存贮系统，其一般结构如图11-1所示.由于生产或销售等的需求，从存贮点（仓库）取出一定期数量的库存货物，这就是存贮的输出；对存贮点货物的补充，这就是存贮的输入.任一存贮系统都有存贮、补充、需求三个组成部分.补充需求图11-1 存贮系统示意图存贮：存贮的某种货物简称为存贮，它随时间的推移所发生的盘点数量的变化，称为存贮状态.存贮状态随需求过程而减少，随补充过程而增大.需求：对于一个存贮系统而言，需求就是它的输出，即从存贮系统中取出一定数量的物资以满足生产或消费的需要，存贮量因满足需求而减少.需求可以有不同的形式：①间断的或连续的；如商业存贮系统中，顾客对时令商品的需求是间断的，对日用品的需求是连续的；②均匀的（线性的）或不均匀的（非线性的）；如工厂自动流水线对原料的需求是均匀的，而一个城市对电力的需求则是不均匀的；③确定性的或随机的；如生产活动中对原材料的需求一般是确定性的，而销售活动中对商品的需求则往往是随机的.对于随机需求，通过大量观察试验，其统计规律性也是可以认识的.因而无论需求形式如何，存贮系统的输出特笥还是可以明确的.补充：存贮由于需求而不断减少，必须加以补充.补充就是存贮系统的输入.补充有内部生产和外部订购（采购）两种方式.存贮系统对于补充订货的订货时间及每次订货的数量是可以控制的.通常，从订货到交货之间有一段滞后时间，称为拖后时间.为使存贮在某一时刻获得补充，就必须提前一段时间订货，这段时间称为提前时间（订货提前期），它可能是确定性的或随机的.费用：衡量一个存贮策略优劣的常用数量指标就是存贮系统的运营费用（Operating Costs ）.它包括进货费用、存贮费用、缺货费用这三项费用，分述如下：1、进货费用补充存贮而发生的费用，记为0C ，其一般形式为:其中 a ——每次进货的固定费用；跟进货批量Q 的大小无关;c ——单位变动费用；而cQ 则是变动费用，它与进货批量Q 有关.进货费用又分为内部生产与外部订购两种费用：（1）订购费用：订货与购货而发生的费用. 订购费用是指为补充库存，办理一次订货所发生的有关费用，包括：a ——每次订货费用（Ordering costs ）；如手续费、电信费、外出采购的差旅费、最低起运费、检查验收费，等等.订购费只与订购次数有关，而与订货批量Q 无关.c ——单位货物的购置费用；如货物本身的购价，单位运费，等等.而cQ 就是一批货物的购置费用，与订货批量Q 有关. （2）生产费用：生产货物所发生的费用.此处：a ——对于生产企业，每批次的装配费用（或准备、结束费用）；如更换生产线上的器械，添置专用设备等的费用.与生产批量Q 无关.c ——单位产品的生产费用；即单位产品所消耗的原材料、能源、人工、包装等费用之和.而cQ 就是一批产品的变动生产费用，与生产批量Q 有关. 2、存贮费用（Holding or Carrying Costs ）又称为持货费用、保管费用，即因持有这些货物而发生的费用.包括仓库使用费、管理费，货物维护费、保险费、税金，积压资金所造成的损失（利息、占用资金费待），存货陈旧、变质、损耗、降价等所造成的损失，等等.记H C ——存贮费用；与单位时间的存贮量有关.⎩⎨⎧=>+=0,00,0Q Q cQ a Ch ——单位时间内单位货物的存贮费用.3、缺货费用（Shortage Loss Costs, 或Stock ort Cost ）是指因存贮供不应求时所引起的损失.如停工待料所造成的生产损失，失去销售机会而造成的机会损失（少得的收益），延期付货所交付的罚金，以及商誉降低所造成的无形损失，等等.记S C ——缺货费用，与单位时间的缺货量有关.l ——单位时间内缺少单位货物所造成的损失费.运营费用即为上述三项费用之和，故又称为总费用，记为T C ，则S H T C C C C ++=0又记f ——单位时间的平均（或期望）运营费用.能使运营费用f 达到极小的进货批量称为经济批量（Economic Lot size ），记为*Q .对几种确定性存贮系统，人们已经导出了经济批量*Q 的数学表达式，通称为经济批量公式.这些公式也是存贮模型的一种形式，称为经济批量模型. 二、存贮策略对一个存贮系统而言，需求是其服务对象，不需要进行控制.需要控制的是存贮的输入过程.此处，有两个基本问题要做出决策：（1）何时补充？称为“期”的问题；（2）补充多少？称为“量”的问题.管理者可以通过控制补充的期与量这两个决策变量，来调节存贮系统的运行，以便达到最优运营效果.这便是存贮系统的最优运营问题.决定何时补充，每次补充多少的策略称之为存贮策略.常用的存贮策略有以下几种类型： （1）t 循环策略.设t ——运营周期，它是一个决策变量；Q ——进货（补充）批量；它也是一个决策变量.该策略的含义是：每隔t 时段补充存贮量为Q ，使库存水平达到S.这种策略又称为经济批量策略，它适用于需求确定的存贮系统.（2）（s, S ）策略.每当存贮量x>s 时不补充，当x ≤s 时补充存贮，补充量Q=S -x ，使库存水平达到S.其中s 称为最低库存量.（3）（t 0,a,S ）策略.设t 0——固定周期（如一年，一月，一周等），它是一个常数而非决策变量； a ——临界点，即判断进货与否的存贮状态临界值，它是一个决策变量； S ——存贮上限，即最大存贮量，它也是一个决策变量；I ——本周期初（或上周期末）的存贮状态，它是一个参数而非决策变量.该策略的含义是：每隔t 0时段盘点一次，若I ≥a ，则不补充；若I ＜a ，则把存贮补充到S 水平，因而进货批量为Q=S-I .（4）),,(0Q T β策略.设β——订货点，即标志订货时刻的存贮状态，它是一个决策变量.)(τI ——τ时刻的存贮状态，它是一个参量而非决策变量.该策略的含义是：以0T 为一个计划期，期间每当)(τI ≤β时立即订货，订货批量为Q .后两种策略适用于需求随机的存贮系统.其中（2）称为定期盘点策略；而（3）称为连续盘点策略，采用这种策略需要用计算机进行监控，贮存必要的数据并发出何时补充及补充多少的信号.§3 确定性存贮系统的基本模型本节介绍具有连续确定性需求，采用t 循环策略的存贮系统的三种基本模型.它们都是在一些假设条件下建立的，因此实际应用时首先必须检查真实系统是否与这些假设相符或相近.一、模型I ——经典经济批量模型 假设：（1）需求连续均匀，需求率为一常数d ；（2）当库存降至零时，可以立即得到补充，即一订货就交货； （3）缺货损失费为无穷大，即不允许缺货；（4）在每一运营周期t 的初始时刻进行补充，每期进货批量相同，均为Q .图11-2 不允许缺货情况下的存贮状态图不允许缺货情况下的存贮状态图见图11-2所示.根据上述条件可知：],0[,)(t d Q I ∈-=τττ；图中L 是订货提前期，当每个运营周期t 内存贮状态Ld I =)(τ时就立即订货，这样可保证在0)(=t I 时将存贮立即补充到最高水平Q ，易知dt Q =.由图11-2可知，在[0，t ]时段内的存贮量为Qt dt Qt d d Q d I t t 2121)()(200=-=⨯-⎰=⎰ττττ而单位时间内单位货物的存贮费用为h .因此，在一个运营周期t 内的存贮费为而订购费为cQ a C o +=由于不允许缺货，无缺货费用，故一个周期t 内的运营费用T C 只包括上述两项，为cQ a hQt C C C O H r ++=+=21而单位时间的平均hQt C H 21=tcQ t a hQ t C f r ++==21 （11.1） 式中有t Q ,两个决策变量.因d Q t dt Q /,==故，代入上式得cd Qad hQ Q f ++=21)( （11.2） 为了求得)(Q f 的极小点，由一阶条件021)(2=-=Qadh Q f 解得驻点hadQ 2*=（11.3） （根号前取正号是因为0>Q .）又由二阶条件)0(02)(3>>=Q QadQ f 可知：式（11.3）给出的*Q 为f 在),0(∞∈Q 上的全局唯一最小点.而最佳运营周期为hdadQ t 2**== （11.4） 最优值（最小平均运营费用）为cd ahd f +=2* （11.5）（11.3）式即经典经济批量公式，也称为哈里斯-威尔逊公式.例11．1 某建筑公司每天需要某种标号的水泥100吨，设该公司每次向水泥厂订购，需支付订购费100元，每吨水泥在该公司仓库内每存放一天需付0.08元的存贮保管费，若不允许缺货，且一订货就可提货，试问（1）每批订购时间多长，每次订购多少吨水泥，费用最省，其最小费用是多少？（2）从订购之日到水泥入库需7天时间，试问当库存为多少时应发出订货. 解：（1）这里a =100元，c =0.50元，d =100，h =0.08，由公式（11-3）、（11-4）、（11-5），分别有：50008.010010022*=⨯⨯==h ad Q （吨）； 510008.010022*=⨯⨯==hd a t （天）； 90504010050.010008.010022*=+=⨯+⨯⨯⨯=+=cd ahd f （元）（2）因拖后时间l =7天，即订货的提前时间为7天，这7天内的需求量7007100*=⨯==Dl s （吨）故当库存量为700吨时应发出订货.*s 称为再订购点.例11．2 有一个生产和销售图书馆设备的公司，经营一种图书馆专用书架.基于以往的销售记录和今后市场的预测，估计今后一年的需求量为4900个.由于占有的利息以及存贮库房以及其他人力物力的费用，存贮一个书架一年要花费1000元.这种书架是该公司自己生产的，而组织一次生产要花费设备调试等生产准备费500元，该公司为了最大限度降低成本，应如何组织生产？要求求出最优每次的生产量，相应的周期.解：已知a =500元/次，d =4900个/年，h =1000元/个年701000490050022*=⨯⨯==h ad Q 7014900100050022*=⨯⨯==hd a t （年） 二、模型Ⅱ——非即时补充的经济批量模型模型Ⅰ有个前提条件，即每次进货能在瞬间全部入库，可称为即时补充.许多实际存贮系统并非即时补充，例如订购的货物很多，不能一次运到，需要一段时间陆续入库；又如工业企业通过内部生产来实现补充时也往往需要一段时间陆续生产出所需批量的零部件，等等.在这种情况下，假定除了进货时间大于0外，模型Ⅰ的其余假设条件均成立.设T ——进货周期，即每次进货的时间（0< T < t ）； P ——进货速率，即单位时间内入库的货物数量（p > d ）.又设在每一运营周期t 的初始时刻开始进货，且每期开始与结束时刻存贮状态均为0. 根据上述假设条件，可以画出该系统的存贮状态图（图11-3）.由图可见，一个周期[0，t ]被分为两段：[0，T ]内，存贮状态从0开始以p - d 的速率增加，到T图11-3 非即时补充存贮状态图时刻达到最高水平（p - d ）T ，这时停止进货，而p T 就是一个周期t 内的总进货量，即有Q =p T ；在[T ，t ]内，存贮状态从最高水平（p - d ）T 以速率d 减少，到时刻t 降为0.综上可知，在[0，t ]内的存贮状态为⎩⎨⎧∈---∈-=],[)()(],0[)()(t T T d d p T d p I ττττττ 故每一运营周期t 内的存贮量为ττττττd T d T d p d d p d I tT T t )]()[()()(00---⎰+-⎰=⎰它等于图11-3中阴影△的面积，即为Tt d p d I t )(21)(0-=⎰ττ 故每一周期t 的存贮费为Tt d p h C H )(21-=而订购费为cQ a C o +=故每一周期t 的运营费为cQ a Tt d p h C C C O H T ++-=+=)(21而单位时间内的平均运营费用为tcQ t a T d p h t C f T ++-==)(21 （11.6） 式中有三个决策变量Q ，t ，T ，易知它们之间有下述关系：dt pT Q ==故dQt p Q T ==, 代入（11.6）式得cd QadQ p d h Q f ++-=)1(21)( （11.7）由一阶条件0)1(21)(2=--=Qadp d h Q f 解得驻点)1(2*pd h adQ -=（11.8） 由二阶条件易知),0(*∞∈Q f Q 在为上的全局唯一最小点.于是有)1(2**pd hd ad Q t -== （11.9） )(2**d p hp adp Q T -== （11.10）cd pdahd f +-=)1(2* （11.11）当∞→p 时，由上述公式易知：****,,0f t Q T 而→与模型Ⅰ完全一致.例11．3 某电视机厂自行生产扬声器用以装配本厂生产的电视机.该厂每天生产100部电视机，而扬声器生产车间每天可以生产5000个，已知该厂每批电视机装备的生产准备费为5000元，而每个扬声器在一天内的存贮保管费为0.02元.试确定该厂扬声器的最佳生产批量、生产时间和电视机的安装周期.解：此存贮模型显然是一个不允许缺货、边生产边装配的模型.且5000,02.0,5000,100====a h p d .所以由公式（11.8）得)1(2*pd h adQ -=7140)1005000(02.0500010050002≈-⨯⨯⨯⨯= 711007140**≈==d Q t例11．4 承例11-2，若该公司每年书架的生产能力为9800个，求最佳生产批量，生产周期.解：已知a =500元/次，d =4900个/年，h =1000元/个年，p =9800个/年999800)980049001(100049005002)1(2*=≈=-⨯⨯=-=p d h ad Q （个） 每年的生产次数为505.49994900*≈==Q d相应的周期为3.750365=（天） 三、模型Ⅲ——允许缺货的经济批量模型模型Ⅰ的假设条件之一为不允许缺货，现在考虑放宽这一条件而允许缺货的存贮模型，除此以外，其余假设同模型Ⅰ一致.由于允许缺货，所以当存贮告罄时不急于补充，而是过一段时间再补充.这样，虽须支付一些缺货费，但可少付一些订货费和存贮费，因而运营费用或许能够减少.假设在时段[0,t ]内，开始存贮状态为最高水平S ，它可以供应长度为),0(1t t ∈的时段内的需求；在[t 1,t ]内则存贮状态持续为0，并发生缺货，假设这时本系统采取“缺货后补”的办法，即先对需求者进行予售登记，待订货一到立即全部付清.于是有⎩⎨⎧∈∈-=],[,0],0[,)(11t t t d S I ττττ还可画出存贮状态图，如图11-4所示.图中W 为最大缺货量，)(1t t d W -=.图11-4 允许缺货存贮状态图由图11-4可知，[0,t ]内的存贮量为121St ，故存贮费为 121hSt C H =而[t 1,t ]内的缺货量为211)(21)(21t t d t t W -=-，即图11-4中阴影△的面积；因],0[1t 内不缺货， 故],0[t 内的缺货费用为21)(21t t ld C S -=又知订购费为cQ a C O +=则],0[t 内的运营费用为cQ a t t ld hSt C C C C O S H T ++-+=++=211)(2121 而单位时间的平均运营费用为tcQt a t t ld hSt t f ++-+=])(2121[1211 （11.12）式中有1,,,t t S Q 四个决策变量，但自由变量只有两个.易知dt Q dt S ==,1代入（11-12）式得cd tat t ld hSt t t t f ++-+=])(2121[1),(21211 （11.13）其极小点的一阶条件为0)]([1111=--=∂∂t t ld hdt tt f ① 0)(1])(21[12121212=--+-+=∂∂tat t ld t t t ld hdt t t f ② 由①式得tlh lt +=1 ③ 而②式可化简为2212)(2121tadt l h t ld t f -+--=∂∂ ④ 把③代入④，可得0)(22=-+tal h hld由此可得hldl h a t )(2*+=（11.14）)(2**1l h hd al t l h l t +=+=（11.15）hll h ad dt Q )(2**+== （11.16）)(2*1*l h h alddt S +== （11.17）)(2****l h l ahdQ l h h S Q W +=+=-= （11.18） cd l h ahldf ++=2* （11.19）另外，把③式代入（11.13）中，可得cd tat l h hld t f +++=)(2)( （11.20）或cd Qad l h l hQ Q f +++=21)( （11.21）若不允许缺货，则1,→+∞→lh ll ，易见这时模型Ⅲ就成了模型Ⅰ了. 例11．5 承例11-2，若此图书馆设备公司只销售书架而 生产书架，其所销售的书架是靠订货来提供的.若允许缺货，设一个书架缺货一年的缺货费为2000元，求出使一年总费用最低的最优每次订货量，相应的最大缺货量及相应的周期.解：由题意知 l =2000，已知a =500元/次，d =4900个/年，h =1000元/个年，p =9800个/年. 按（11.14）~（11.19）式得：8520001000)20001000(49005002)(2**=⨯+⨯⨯=+==hl l h ad dt Q （个）28)20001000(1000490020005002)(2*1*≈+⨯⨯⨯=+==l h h ald dt S （个）34.4490020001000)20001000(5002)(2*≈⨯⨯+⨯=+=hld l h a t （天）§4 其他模型选介一、模型Ⅳ——允许缺货、非即时补充的经济批量模型 本模型为模型Ⅱ、Ⅲ的综合.其存贮状态如图11-5所示.图11-5 允许缺货、非即时补充的存贮状态图在每一周期],0[t 内，从0=τ时刻开始以速率p 进货，但因此刻有累计缺货量W ，因此在开始一段时间],0[1τ：无存贮，进货除满足该段内的需求外，还清偿予售的缺货.[1τ，2τ]：为进货时间.从1τ时刻起，存贮以d p -的速率由0递增，到2τ时刻达到最高水平S 并停止进货.],[32ττ：为纯消耗期.存贮以速率d 由S 递减，到3τ时刻降为0.],[3t τ为缺货期，不进货但预售，直到t 时刻开始进货，从而又开始新一周期的运行.图11-5中的每一周期t 都对应于图11-4（模型Ⅲ）中的一个周期t ，相应的需求率记做1d ，则有t d Q 11=又由图11-5及假设条件可知dt p Q t d W d S ==-=-=2323),(),(ττττ则有t pdd t p d t d t d W S Q )1()()(21-=-=-=+=τ故)1(1pdd d -=用1d 取代（11.14）式中的d ，即得)1()(2)()(2*pd hld l h a d p hld l h ap t -+=-+=（11.22） 类似可得其他公式))((2)()(**3l h d p hlpd alp hd t l h p lp hd +-+=++=τ （11.23） ))((2)(**1l h d p lp at l h p hd +-=+=τ （11.24） )()(2**2d p hlp l h ad t p d -+==τ （11.25） )1()(2**pd hl l h ad dt Q -+== （11.26） )1()(2)1(**p d l h l ahd t p d l h hd W -+=-+= （11.27） )1()(2*p dl h h ald S -+= （11.28）cd pdl h ahld f +-+=)1(2* （11.29） cd tat p d l h hld t f ++-+=)1()(2)( （11.30）cd Qad p d l h l hQ Q f ++-+=)1(21)( （11.31）易见：当∞→p 时，模型Ⅳ就成为模型Ⅲ；当∞→l 时，模型Ⅳ就成为模型Ⅱ；而当∞→p 且∞→l 时，则模型Ⅳ就成为模型Ⅰ.例11．6 某车间每年能生产本厂日常所需的某种零件80000个，全厂每年均匀地需要这种零件约20000个.已知每个零件存贮一个月所需的存贮费是0.1元，每批零件生产前所需的安装费是350元.当供货不足时，每个零件缺货的损失费为0.2元/月.所缺的货到货后要补足.试问应采取怎样的存贮策略最合适？解：已知：a =350元，，d =20000/12，p =80000/12，h =0.1元，l =0.2元，则9.2)80000200001(12/200002.01.0)2.01.03502)1()(2)()(2*≈-⨯⨯+⨯=-+=-+=（p d hld l h a d p hld l h ap t （月） 48339.21220000**=⨯==dt Q （个） 2415)80000200001()2.01.0(1.012/200002.03502)1()(2*≈-+⨯⨯⨯=-+=p d l h h ald S （个）二、模型Ⅴ——订价有折扣的存贮模型所谓“订价有折扣”，是指供方采取的一种鼓励用户多订货的优惠政策，即根据订货量的大小规定不同的购价，订货越多则购价越低.换言而之，购价为关于订货量Q 的分段函数c (Q ).通常c (Q )是一个阶梯函数，其一般形式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞∈∈∈=-],[,],[,],0[)(12121,1m m Q Q c Q Q Q c Q Q c Q c其中 且),,2,1(,m i Q c i i =均为常数.上式也可简写成：m i Q Q Q c Q c i i i ,,2,1],,[)(1,=∈=-下面仅就模型Ⅰ为例加分析，其方法也适用于模型Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ.按（11.2）式，令m i d c QadhQ f i i ,,2,1,21 =++=则目标函数为m i Q Q Q f Q f i i i ,,2,1],,[,)(1 =∈=- （11.32）如图11-6所示， )(Q f 由以m Q Q Q ,,,21 为分界点的几条不连续的曲线段（实线）所构成，因而也是一个分段函数.图11-6,0,121021∞=<<<<<=>>>-m m m Q Q Q Q Q c c c由于d c i 为常数，所以每一i f 的极小点都是hadQ 2*=如果],[21*Q Q Q ∈，则由（11-5）式可得d c ahd Q f 2*2)(+=对于一切),0(2Q Q ∈，都有)()(*Q f Q f ≤即*Q 为)(Q f 在（0，Q 2）上的极小点.但当Q =Q 2时，由于购价由2c 降为3c ，所以可能有)()(*2Q f Q f <.类似地，对*Q 右侧的每一分界点)(*Q Q i >，都可能有)()(*Q f Q f i <.所以应依次计算*Q 右侧各分界点i Q 的目标函数值：)(,21)(*Q Q d c Q adhQ Q f i i ii i >++= （11.33）并与)(*Q f 一起加以比较，从中选出最小值 {}**)(),(min )~(Q Q Q f Q f Q f i i >= 而它所对应的Q ~即最优订购量.例11．7 某仪表厂今年拟生产某种仪表30000个，该仪表中有个元件需向仪表元件厂订购，每次订货费用为50元，该元件购价为每只0.5元，全年保管费为购价的20%.假设仪表元件厂规定该元件的购价为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=30000,46.03000015000,48.015000,50.0)(Q Q Q Q c试求仪表厂对该元件的最优存贮策略及最小费用.解：54771.0300005022*≈⨯⨯==h ad Q （只） 155********.0300001.05022)(2*≈⨯+⨯⨯⨯=+=d c ahd Q f （元/年）又按（11-33）式得)/(152503000048.025*******.021)15000(年元=⨯+⨯+⨯⨯=f )/(153503000046.0150300001.021)30000(年元=⨯+⨯+⨯⨯=f 故年元次只/15250~,2~~,15000~====f Qd n Q . 三、模型Ⅵ——),,(0S a t 策略模型假设：（1）需求随机.但在每一固定周期0t （如一年，一季，一个月，一周等）内的需求量X 的概率分布P （X ）可知.（2）订货与交货之间的时滞很短.在模型中取作0，即被视为无时滞. （3）进货时间很短，在模型中也取作0，即被视为即时补充.（4）采用),,(0S a t 策略，即每隔0t 周期盘点一次，若存贮状态I <a ，则立即补充到S 水平；否则不补充.该系统的存贮状态示意图如图11-7所示.图中第4周期初的存贮状态0<I ，这时I 表示最大缺货量；而进货量为)(,a I I S Q <-=.由于每期初的存贮状态I 各不相同，因此每次进货量Q 也各不同.图11-7 ),,(0S a t 策略系统的存贮状态示意图1、需求量X 为离散随机变量的情况用一个典型例子——报童问题来分析这类模型的解法.报童问题：有一报童每天售报数量是一个离散型随机变量.设销售量r 的概率分布P(r)为已知，每张报纸的成本为u 元，售价为v 元（v>u ）.如果报纸当天卖不出去，第二天就要降价处理，设处理价为w 元（w<u ）.问报童每天最好准备多少份报纸？此问题就是要确定报童每天报纸的订货量Q 为何值时，使赢利的期望值最大或损失的期望值最小？以下用损失的期望值最小来确定订货量. 设售出的报纸数量为r ，其概率P(r)为已知，∑∞==01)(r r P ，设报童订购报纸数量为Q ，这时，损失有两种：（1）当供大于求（Q ≥r ）时，这时报纸因当天不能售完，第二天需降价处理，其损失的期望值为：∑∞=--0)())((r r P r Q w u（2）当供不应求（Q< r ）时，因缺货而失去销售机会，其损失的期望值为：∑∞=--0)())((r r P Q r u v故总损失的期望值为：∑∑=∞+=--+--=Q r Q r r P Q r u v r P r Q w u Q C 01)()()()()()()( （11.34）要从上式中决定Q 的值，使C （Q ）最小.由于报纸订购的份数Q 只能取整数值，需求量r 也只能取整数，所以不能用微积分的方法求（11-34）式的极值.为此，用差分法.设报童每天订购报纸的最佳批量为Q *，则必有 C （Q *）≤ C （Q *+1）； （11.35） C （Q *）≤ C （Q *-1）； （11.36） 同时成立.故将上述两式联立求解可得最佳批量Q *.由（11.35）式，有∑∑=∞+=--+--Qr Q r r P Q r u v r P r Q w u 01)()()()()()(∑∑+=∞+=---+-+-≤12)()1()()()1()(Q r Q r r P Q r u v r P r Q w u ，经化简后，得 ∑=≥---Qr u v r P w v 00)()()(，即∑=--≥Qr wv uv r P 0)( （11.37） 由（11-36）式，有∑∑=∞+=--+--Qr Q r r P Q r u v r P r Q w u 01)()()()()()(∑∑-=∞=+--+---≤10)()1()()()1()(Q r Qr r P Q r u v r P r Q w u ∑-=≤---100)()()(Q r u v r P w v即∑-=--≤1)(Q r wv uv r P （11.38） 综合（11.37）和（11.38）式，可得∑∑=-=≤--≤Qr Q r r P w v u v r P 010)()( （11-39） 由（11-39）式可以确定最佳订购批量Q *，其中wv u v --称为临界值.例11．8 设某货物的需求量在17件至26件之间，已知需求量r 的概率分布如下表（表11-1）所示：表11-1并知其成本为每件5元，售价为每件10元，处理价为每件2元，问应进货多少，能使总利润的期望值最大？解：此题属于单时期需求是离散随机变量的存贮模型，已知2,10,5===w v u ，由公式∑∑=-=≤--≤Qr Q r r P r P 17117)(210510)( 得∑∑=-=≤≤Qr Q r r P r P 17117)(625.0)(因为13.0)20(,23.0)19(,18.0)18(,12.0)17(====P P P P ， 所以,625.066.0)20()19()18()17(;625.053.0)19()18()17(>=+++<=++P P P P P P故最佳订货批量*Q =20（件）.2、需求量X 为连续随机变量的情况设有某种单时期需求的物资，需求量r 为连续型随机变量，已知其概率密度为ϕ(r), 每件物品的成本为u 元，售价为v 元（v>u ），如果当期销售不出去，下一期就要降价处理，设处理价为w 元（w<u ）.求最佳订货批量Q *.同需求为离散型随机变量一样，如果订货量大于需求量（Q ≥r ），其赢利的期望值为⎰----Qdr r r Q w u r u v 0)()])(()[(ϕ.如果订货量小于需求量（Q ≤r ），其赢利的期望值为⎰∞-Qdr r Q u v )()[(ϕ故总利润的期望值为⎰⎰∞-+----=QQdr r Q u v dr r r Q w u r u v Q C 0)()[()()])(()[()(ϕϕ])()([)()()(0⎰⎰⎰⎰∞-++-+-=QQ Qdr r Q dr r Q v dr r Q w dr r r w v uQ ϕϕϕϕ⎰⎰---+-=QQdr r Q w v dr r r w v Q u v 0)()()()()(ϕϕ.利用含参变量积分的求导公式，有⎰+---+-=Q Q Q dr r w v Q Q w v u v dQQ dC 0)]()()[()()()()(ϕϕϕ⎰---=Qdr r w v u v 0)()()(ϕ.令0)(=dtQ dC ，得 ⎰--=Qwv uv dr r 0)(ϕ 记 ⎰=Qdr r Q F 0)()(ϕ，则有wv uv Q F --=)( （11.40） 又因0)()()(22<--=Q w v dQQ C d ϕ 故由（11.40）式求出的Q *为C （Q ）的极大值点，即Q *是使总利润的期望值最大的最佳经济批量.（11.40）式与（11-39）式是一致的.例11．9 书亭经营某种期刊杂志，每册进价0.8元，售价1.00元，如过期，处理价为0.50元.根据多年统计表明，需求服从均匀分布，最高需求量b=1000册，最低需求量a=500册，问应进货多少，才能保证期望利润最高？解：由概率论可知，均匀分布的概率密度为;,1b r a ab ≤≤- ϕ(r) =0， 其它. 由公式（11.40），得40.050.000.180.000.1)(=--=--=w v u v Q F 即⎰=Qdr r 040.0)(ϕ.又⎰⎰--=-=QQaab a Q dr a b dr r 01)(ϕ， 所以40.05001000500=--Q由此解得最佳订货批量为Q *= 700（册）.第十一章习题1、某个食品批发站，用经济订货批量模型处理某种品牌啤酒的存贮策略，当存贮每箱啤酒一年的费用为每箱啤酒价格的22%，即每年存贮成本率为22%时，该批发站确定的经济订货批量Q* =8000箱.由于银行贷款利息的增长，每年存贮成本率增长为27%.请问：（1）这时其经济订货批量应为多少？（2）当每年存贮成本率从i 增长到i’时，请推出经济订货批量变化的一般表达式.2、某出版社要出版一本工具书，估计其每年的需求率为常量，每年需求18000套，每套的成本为150元，每年的存贮成本率为18%.其每次生产准备费为1600元，印制该书的设备生产率为每年30000套，假设该出版社每年250个工作日，要组织一次生产的准备时间为10天，请用不允许缺货的经济生产批量的模型，求出：（1）最优经济生产批量；（2）每年组织生产的次数；（3）两次生产间隔时间；（4）每次生产所需时间；（5）最大存贮水平；（6）生产和存贮的全年总成本；（7）再订货点.3、某公司生产某种商品，其生产率与需求率都为常量，年生产率为50000件.年需求率为30000件；生产准备费用每次为1000元，每件产品的成本为130元，而每年的存贮成本率为21%，假设该公司每年工作日为250天，要组织一次生产的准备时间为5天.请用不允许缺货的经济生产批量的模型，求出：（1）最优经济生产批量；（2）每年组织生产的次数；（3）两次生产间隔时间；（4）每次生产所需时间；（5）最大存贮水平；（6）生产和存贮的全年总成本；（7）再订货点.4、对于习题3所提出的问题，假如允许缺货，并假设每件商品缺货一年的缺货量为30元，请求出此问题的：（1）最优订货批量；（2）再订货点；（3）两次订货所间隔的时间；（4）每年订货、存贮与缺货的总费用.5、某公司经理一贯采用不允许缺货的经济订货批量公式确定订货批量，因为他认为缺货虽然随后补上总不是好事.但由于激烈竞争使他不得不考虑采用允许缺货的策略.已知该公司所销售产品的需求为D=800件/年，每次的订货费用为150元.存贮费为3元/件.年，发生缺货时的损失为20元/件.年，试分析：。
存储论-确定性存储模型
储存原料
不足: 停工待料 过多：积压资金；存储保管费用
存储论: 专门研究有关存储问题的科学，
是构成运筹学的一个分枝
第5页
存储问题的提出
存储特点: (1)储存生产能力 (2)便于安排生产作业进度计划 (3)是企业的一项投资,占用一定资金
(4)需要支付存储费用 存储功能: (1)预期的库存 (2)调节市场需求的库存
记号： 单位存储费C1 单位缺货费C2 每次订购费C3
t 时间内的
需求量为Rt
第31页
确定性模型四(2)
如图，设[0,t]为一周期，t1时刻开始生产，t3时刻生产结束
2C3 R Q0 C1
模型2：
2C3 P t0 C1R P R
Q0 2C3 R C1 P PR
模型3：
t0 2C3 C1 C2 C1 R C2
2C3 R C1 C2 Q0 C1 C2
C0 2C1C3 R
C0 2C1C3 R
PR P
C0 2C1C3 R
C2 C1 C2
2C 3 t0 C1 R
2C3 R Q0 C1
( P R) PR C0 2C1C3 R C0 2C1C3 R 2C1C3 R P P
2C3 R R 2C3 R P R T0 t0 S0 Q0 Rt0 P C1 P ( P R ) C1 P
第20页
存储物资 使用和消费 供应(生产)与需求(消费)之间的不协调
供应量 ——— 需求量 供应时间——— 需求时间
现象
供不应求 供过于求
存储作用: 缓解供需之间的不协调
第4页
存储问题的提出
运筹学第3版熊伟编著习题答案
1.5炼油厂计划生产三种成品油,不同的成品油由半成品油混合而成,例如高级汽油可以由中石脑油、重整汽油和裂化汽油混合,辛烷值不低于94,每桶利润5元,见表1－26.
表1－26
成品油
高级汽油
一般汽油
航空煤油
一般煤油
半成品油
中石脑油
基本最优解 ,最优解的通解可表示为 即
〔4〕
[解]单纯形表：
C<j>
3
2
1
0
0
R. H. S.
Ratio
Basis
C<i>
X1
X2
X3
X4
X5
X4
0
5
4
6
1
0
25
5
X5
0
[8]
6
3
0
1
24
3
C<j>-Z<j>
3
2
1
0
0
0
X4
0
0
1/4
33/8
1
-5/8
10
X1
3
1
3/4
3/8
0
1/8
3
C<j>-Z<j>
方案四：在三年内投资人应在第三年年初投资,一年结算一次,年收益率是30％,这种投资最多不超过1万元．
投资人应采用怎样的投资决策使三年的总收益最大,建立数学模型.
[解]是设xij为第i年投入第j项目的资金数,变量表如下
项目一
项目二
项目三
项目四
第1年
第2年
运筹学教材习题答案详解
显然用料最少的方案最优。
1.4A、B两种产品，都需要经过前后两道工序加工，每一个单位产品A需要前道工序1小时和后道工序2小时，每一个单位产品B需要前道工序2小时和后道工序3小时．可供利用的前道工序有11小时，后道工序有17小时．
3
B1：2.0
3
需要量（套）
200
150
问怎样下料使得（1）用料最少；（2）余料最少．
【解】第一步：求下料方案，见下表。
方案
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
十一
十二
十三
十四
需要量
B1:2.7m
2
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
300
B2:2m
0
1
0
0
3
2
2
1
1
1
0
0
0
0
450
A1:1.7m
0
0
1
0
0
1
0
2
1
0
3
2
1
0
《运筹学》
第1章线性规划
第2章线性规划的对偶理论
第3章整数规划
第4章目标规划
第5章运输与指派问题
第6章网络模型
第7章网络计划
第8章动态规划
第9章排队论
第10章存储论
第11章决策论
第12章对策论
习题一
1.1讨论下列问题：
运筹学教学大纲
《运筹学》课程教学大纲一、教学对象本课程大纲适用于工商企业管理专业三年制高职学生。
二、学分与学时本课程共68学时三、课程模块类别及课程属性课程模块：专业课课程属性：必修课四、课程性质、任务和目的性质：《运筹学》是工商企业管理专业的专业基础课程，它广泛应用现有的科学技术知识和数学方法，解决实际工作中提出的专门问题，为决策者选择满意方案提供定量依据。
任务:使学生获得系统最优化的基本知识、必要的基础理论和常用的思维方式及运算方法，培养学生的分析思维能力和比较熟练的运算能力，为提高学生的基本素质和后继课程的学习以及进一步扩大应用数学知识解决实际问题奠定良好的基础。
目的：通过这门课程的学习，使学生掌握整体优化的基本思想，培养学生的逻辑思维能力和创新素质；使学生掌握运筹学的工作步骤，培养学生运用模型和算法并借助计算机手段解决实际问题的能力；使学生了解本领域的发展动态。
五、主要先修与后续课程先修课程：高等数学、概率论与数理统计、管理学后续课程：生产运作与管理、人力资源管理、采购管理、管理会计六、教学目的要求和主要内容第一章线性规划与单纯形法【目的要求】1.掌握线性规划数学模型的基本特征和标准形式，以及线性规划问题数学模型的建立方法，学会用图解法求解简单的线性规划问题；掌握运用单纯形法求解线性规划问题；2.熟悉线性规划问题的解的概念；3.了解线性规划的基本理论，了解单纯形表的构成。
【主要内容】●讲授内容1.问题的提出2.图解法3.线性规划问题解的标准形式4.线性规划问题解的概念5.单纯形法的解题思路6.单纯形表7.线性规划应用举例●自学内容1.初始可行基的求法---人工变量法第二章对偶理论与灵敏度分析（自学）【目的要求】1.掌握原问题与对偶问题的关系；掌握运用对偶单纯形法求解线性规划问题；2.熟悉对偶单纯形法的计算步骤；3.了解线性规划的对偶理论【主要内容】1.单纯形法的矩阵描述2.对偶问题的概念3.对偶问题的基本性质4.影子价格5.对偶单纯形法6.灵敏度分析第三章运输问题【目的要求】1.掌握运输问题表上作业法，产销不平衡的运输问题及其求解方法；2.熟悉表上作业法的理论依据；3.了解运输问题的经济含义，表上作业法与单纯形法的关系。
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存储论
解：如果该店订货4千张，可能获利的数值
市场需求(千张) 获利 (元)
0
1 2 3 4
(-400)×4=-1600
(-400)×3+700=-500 (-400)×2+700×2=600 (-400)×1+700×3=1700 (-400)×0+700×4=2800
5
(-400)×0+700×4=2800
假设：
•需求是连续均匀的，即单位时间的需求量R为常数 •补充可以瞬时实现，即补充时间近似为零
•单位存储费C1，单位缺货费C2=∞，订购费用C3；货物单
价K
存储论
主要参数有：
需求率 ：
R
c1
单位货物单位时间的存储费： 每次订货费： 每次订货量： c3 Q
这些量都是确定的、不变的数值。各参量之间的关系： 订货量 Q 越小 越大 单位存储费 c1 每次订购费 c3
存储论
三、存储问题及其基本概念
存储系统 是一个由补充、存储、需求三个环节紧密构成的运行 系统。
存储由于需求（输出）而减少，通过补充（输入）而增加， 其中心可视为仓库。
定购进货 输入
仓库 (库存量)
供给需求
输出
存储论
需求: 由于需求，从存储中取出一定数量的存货，使存储 量减少，即存储的输出。 需求类型：间断的, 连续的; 确定性的, 随机性的 Q Q
存储论
订购量为4千张时获利的期望值
E［C(4)］=(-16) ×0.05 + (-5) ×0.10
+ 6×0.25 + 17×0.35 + 28 ×0.15
+28 ×0.10=13.15（元）
存储论
获利 订货量
需求量
获利 0 1 2 3 4 5 期望值 0 645 1180 1440* 1315 1025
存储论
存储类型
存储模型 确定性存储模型
随机性存储模型
确定型存储摸型: 如果存储模型被模型中的需求、补充等 一些数据为确定的数值时，称为确定型存储摸型。 随机型存储模型：如果含有随机变量，称为随机型存储模 型。
存储论
二、确定型存储模型 模型Ⅰ：不允许缺货，补充时间极短（ 经济订购 批量 or E.O.Q )
-610 -900
该店订购3千张可使损失的期望值最小。 结论同前
说明对同一问题可从两个不同的角度考虑：
获利最大、损失最小
存储论
模型Ⅵ：需求是离散随机变量 典型例—报童问题：报童每天售出的报纸份数r 是一个离散随机变量， • 每天售出 r 份报纸的概率为P(r) (根据经验已 知) ，且 p(r)=1； • 每售出一份报纸能赚K元； • 如售剩报纸，每剩一份赔h元。 问报童每天应准备多少份报纸？
（Newsboy Problem），它是由报童卖报演变而来的， 在存储论和供应链的研究中有广泛地应用。
存储论
基本的订货策略 按决定是否订货的条件划分：
订购点订货法、定期订货法
按订货量的决定方法划分：
定量订货法、补充订货法
存储论
单周期的存储模型：
周期中只能提出一次订货 发生短缺时也不允许再提出订货 周期结束后，剩余货可以处理 存储策略的优劣，通常以赢利的期望值的大小作 为衡量标准
（t，S）策略
（s，S）策略
存储论
t－循环策略：不论现在库存数量为多少，每隔一个 固定时间补充一个固定的存储量Q。 （t，S）策略：每隔一个固定的时间t补充一次，补 充的数量以补足一个固定的贮存量S为准。 （s，S）策略：库存余额为I，若I＞s，则不对库存进 行补充；若I≤s，则对库存进行补充，数量Q＝s－I。
最大存储量 平均总费用
Q* Rt*
2C3 RP C1 ( P R)
R * t3 t P
*
A* R(t * t3 )
*
R( P R) * t P
C * 2C3 t *
存储论
模型Ⅳ：允许缺货，补充时间极短
最优存储周期
2C3 (C1 C2 ) t C1C2 R
S W
S W
t0 间断需求
T
连续需求
T
存储论
补充(订货和生产)：由需求存货减少，必须加以补充， 这是存储的输入。 拖后时间(订货时间): 补充存储的时间或备货时间 订货时间：可长，可短， 确定性的, 随机性的
存储费用
存储费： 占用资金利息\货物损坏支出等 订货费: 固定费用: 手续费\电信往来 可变费用: 货物本身价格,运费 生产费: 生产准备费、材料费用与加工费 缺货费： 缺货损失
存储论
该店订购3千张日历画片获利期望值最大 本例也可从相反的角度考虑求解，即计算损失期望 值最小的办法求解 当订货量为Q时，可能发生
•滞销赔损（供大于求） •缺货损失（供小于求）
因缺货而失去销售机会的损失
存储论
当该店订购量为2千张时，损失的可能值 供货大于需求时滞销损失 市场需求量为0时滞销损失 (-400)×2=-800 (元) 市场需求量为1时滞销损失 (-400)×1=-400 (元) 市场需求量为2时滞销损失 0 ( 元) 供货小于需求时缺货损失 市场需求量为3时缺货损失 (-700)×1=-700 (元) 市场需求量为4时缺货损失 (-700)×2=-1400 (元) 市场需求量为5时缺货损失 (-700)×3=-2100 (元)
C1R * B t C1 C2
*
平均总费用
C 2C3 t
*
*
存储论
三、单周期的随机性存储模型 在前面讨论的模型中，我们把需求看成是固定不变的已
知常量。但是，在现实世界中，更多的情况却是需求为一 特别是需求服从均匀分布和正态分布这两种简单情况的存
个随机变量。为此，在本节中我们将介绍需求是随机变量， 储模型。典型的单周期存储模型是“报童问题”
存储论
例：某商店拟出售一批日历画片，每售出一千张可赢利700 元。如果在新年期间不能售出，必须削价处理。由于削价， 一定可以售完，此时每千张赔损400元。 根据以往经验，市场需求的概率见表：
需求量(千张) 0 1 2 3 4 5
概率P(r)
0.05
0.1
0.25
0.35
0.15
0.1
每年只能订货一次，问应订购日历画片几千张才能使获利 的期望值最大？
0 1
2 3 4 5
0 -400
-800
0 700
300
0 700
1400
0 700
1400 2100 1700 1300
0 700
0 700
1400 1400 2100 2100 2800 2800 2400 3500
-1200 -100 1000 -1600 -500 -2000 -900 600 200
存储论
本章主要内容： （1）存储问题及其基本概念 （2）确定型存储模型 （3）单周期的随机型存储模型
存储论
一、问题的提出
水库蓄水问题
生产用料问题 商店存货问题 …………
？ ？ ？
存储是解决供需不协调的一种措施.
存储论
两方面的矛盾：
短缺造成的损失和存储形成的费用
作用： 协调供需关系，平抑波动，保障供给 问题： 对于特定的需求模型，如何确定最佳补充周期和 补充量。费用分析是基本的
C * C (t * ) 2C1C3 R
存储论
模型Ⅱ：允许缺货，补充时间较长
•需求是连续均匀的，即单位时间的需求量R为常数。
•补充需要一定时间。只考虑生产时间，生产连续均匀的，
即生产速度P为常数。
设P＞R
•单位存储费C1，单位缺货费C2，订购费C3。不考虑货物
存储论
当订购量为2千张时，滞销和缺货两种损失之和的期望值
E［C(2)］=(-800) ×0.05 + (-400) ×0.10+ 0×0.25 + (-700)×0.35 + (-1400) ×0.15+(-2100)×0.10=-745（元）
存储论
订货量（千张） 损失的期望值 0 -1925 1 -1280 2 -745 3 -485* 4 5
P(r ) 0.35＜0.4286 P(r ) 0.55
r 0 r 0
r =0 r =0
2
3
应订购日历画片3千张
存储论
一般情况下有 P(r<Q*) ≤ k/(k+h) ≤ P(r≤Q*)
可以推出： P(r≤Q*) ＝ k/(k+h) 均匀分布 U[a, b] 情况: P(r≤Q*) = (Q*-a)/(b-a) = k/(k+h) 正态分布 N( ) 情况：
存储费用越小 订货费用越大 存储费用越大 订货费用越小
存储论
研究目的： 1．补充存储物资时，每次补充数量(Q)是多少？ 2．应该间隔多长时间( t )来补充这些存储物资？ 使得总费用最少
存储量 Q
存储状态图
Q/2
0
t
t
t
时间 t
存储论
采用t - 循环策略
2C3 t C1 R
*
2C3 R Q Rt C1
价值。
存储论
模型Ⅱ的最优存储策略各参数值 最优存储周期 经济生产批量
2C3 R C1 C2 P Q Rt C1 C1 PR
* *
2C3 C1 C2 P t C1R C2 PR
*
平均总费用
C 2 C3 t
*
*
存储论
模型Ⅱ的最优存储策略各参数值 缺货补足时间 开始生产时间 结束生产时间 最大存储量 最大缺货量