概率论与数理统计PPT课件第一章习题课.ppt
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《新编概率论与数理统计》第二版课件
基本事件 Basic Event
——由一个样本点组成的单点集 {ω}
必然事件 Certain Event
——每次试验必定发生的事件. 例 全体样本点组成的事件,记为Ω
不可能事件 Impossible Event
——每次试验必定不发生的事件. 例 不包含任何样本点的事件,记为Φ
Probability and Statistics– Chapter 1 Random Events and Probability-liqinggui Tan Kah Kee College 11
随机事件A发生——
随机试验中，当随机事件A的某个样本点出现
例 掷一颗骰子; Ω = {1,2,3,4,5,6}
设随机事件A={1，3，5}，即{出现奇数点} 当1，3，5中任一点数出现，则称事件A发生
Probability and Statistics– Chapter 1 Random Events and Probability-liqinggui Tan Kah Kee College 10
1. 包含关系 Inclusion Relation
A ⊂ B —— A 包含于B
事件 A 发生 必导致事件 B 发生
Ω AB
A 是B的子事件 A ⊂ B
2. 相等关系 Equivalent Relation
A= B
A⊂ B且 A⊃B
Probability and Statistics– Chapter 1 Random Events and Probability-liqinggui Tan Kah Kee College 13
§ 1.1 随机事件及其运算
Random Events and Operation
《概率论与数理统计》高教版PPT
P(A) = A中样本点的个数 / 样本点总数
30 July 2013
华东师范大学
第一章 随机事件与概率
第35页
注 意
• 抛一枚硬币三次 抛三枚硬币一次
• Ω1={(正正正), (反正正), (正反正), (正正反),
(正反反), (反正反), (反反正), (反反反)}
此样本空间中的样本点等可能. • Ω2={(三正), (二正一反), (二反一正), (三反)} 此样本空间中的样本点不等可能.
第一章 随机事件与概率
第30页
注 意
求排列、组合时，要掌握和注意： 加法原则、乘法原则.
30 July 2013
华东师范大学
第一章 随机事件与概率
第31页
加法原理
完成某件事情有 n 类途径， 在第一类途径中有m1种方 法，在第二类途径中有m2种方法，依次类推，在第 n 类 途径中有mn种方法，则完成这件事共有 m1+m2+…+mn种 不同的方法.
事件运算的图示
AB
AB
AB
30 July 2013
华东师范大学
第一章 随机事件与概率
第16页
德莫根公式
A B A B;
A B A B
A A;
i 1 i i 1 i
n
n
A A
i 1 i i 1
n
n
i
30 July 2013
华东师范大学
第一章 随机事件与概率
六根草，头两两相接、 尾两两相接。求成环的概率.
解：用乘法原则直接计算
所求概率为
6 4 4 2 2 1 8 6 5 4 3 2 1 15
概率论与数理统计完整ppt课件
化学
在化学领域，概率论与数理统计被用于研究化学反应的速率和化 学物质的分布，如化学反应动力学、量子化学计算等。
生物
在生物学中，概率论与数理统计用于研究生物现象的变异和分布， 如遗传学、生态学、流行病学等。
在工程中的应用
通信工程
01
概率论与数理统计在通信工程中用于信道容量、误码率、调制
解调等方面的研究。
边缘分布
对于n维随机变量(X_1,...,X_n)，在概 率论中，分别定义了X_1的边缘分布 、...、X_n的边缘分布。
04
数理统计基础
样本与抽样分布
01
02
03
总体与样本
总体是包含所有可能数据 的数据集合，样本是总体 的一个随机子集。
抽样方法
包括简单随机抽样、分层 抽样、系统抽样等。
样本分布
描述样本数据的分布情况 ，如均值、中位数、标准 差等。
参数估计与置信区间
参数估计
利用样本数据估计总体的 未知参数，如均值、方差 等。
点估计
用样本统计量作为总体参 数的估计值。
置信区间
给出总体参数的一个估计 区间，表示对总体的参数 有一个可信的估计范围。
假设检验与方差分析
假设检验
通过样本数据对总体参数提出 假设，然后根据假设进行检验
01
定义
设E是一个随机试验，X，Y是定义在E上，取值分别为实数的随机变量
。称有序实数对(X，Y)为一个二维随机变量。
02
分布函数
设(X，Y)是一个二维随机变量，对于任意实数x,y，二元函数
F(x,y)=P({X<=x,Y<=y})称为二维随机变量(X,Y)的分布函数。
03
边缘分布
对于二维随机变量(X,Y)，在概率论中，分别定义了X的边缘分布和Y的
在化学领域，概率论与数理统计被用于研究化学反应的速率和化 学物质的分布，如化学反应动力学、量子化学计算等。
生物
在生物学中，概率论与数理统计用于研究生物现象的变异和分布， 如遗传学、生态学、流行病学等。
在工程中的应用
通信工程
01
概率论与数理统计在通信工程中用于信道容量、误码率、调制
解调等方面的研究。
边缘分布
对于n维随机变量(X_1,...,X_n)，在概 率论中，分别定义了X_1的边缘分布 、...、X_n的边缘分布。
04
数理统计基础
样本与抽样分布
01
02
03
总体与样本
总体是包含所有可能数据 的数据集合，样本是总体 的一个随机子集。
抽样方法
包括简单随机抽样、分层 抽样、系统抽样等。
样本分布
描述样本数据的分布情况 ，如均值、中位数、标准 差等。
参数估计与置信区间
参数估计
利用样本数据估计总体的 未知参数，如均值、方差 等。
点估计
用样本统计量作为总体参 数的估计值。
置信区间
给出总体参数的一个估计 区间，表示对总体的参数 有一个可信的估计范围。
假设检验与方差分析
假设检验
通过样本数据对总体参数提出 假设，然后根据假设进行检验
01
定义
设E是一个随机试验，X，Y是定义在E上，取值分别为实数的随机变量
。称有序实数对(X，Y)为一个二维随机变量。
02
分布函数
设(X，Y)是一个二维随机变量，对于任意实数x,y，二元函数
F(x,y)=P({X<=x,Y<=y})称为二维随机变量(X,Y)的分布函数。
03
边缘分布
对于二维随机变量(X,Y)，在概率论中，分别定义了X的边缘分布和Y的
概率论与数理统计课件
AU B UC A 2 “恰有一人命中目标” : : ABC U ABC U ABC A 3 “恰有两人命中目标” : : ABC U ABC U ABC A 4 “最多有一人命中目标” BC U AC U AB : :
A 5 “三人均命中目标” : : A 6 “三人均未命中目标” : :
ABC AI B IC
随机试验举例
E1: 抛一枚硬币，用“H” 和“T” 表示出现正面和反面; E2: 将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况； E3: 某城市某年某月内发生交通事故的次数； E4: 掷一颗骰子，可能出现的点数； E5: 记录某网站一分钟内的点击次数； E6: 在一批灯泡中任取一只，测其寿命; E7: 任选一人，记录他的身高和体重 。
A U B = A I B, AB = A U B
可推广
UA
k
k
= I Ak,
k
IA
k
k
= U Ak.
k
例 设A，B，C表示三个随机事件，试以A，B， C的运算来表示以下事件。
（１）仅Ａ发生 （２）Ａ，Ｂ，Ｃ都发生 （３）Ａ，Ｂ，Ｃ都不发生 （４）Ａ，Ｂ，Ｃ不全发生
ABC ，
ABC
A BC ABCLeabharlann ⇔ 试验的结果是子集A中的元素
2. 基本事件与复合事件： 基本事件与复合事件：
基本事件 ⇔ 样本点
3. 特殊事件 特殊事件：必然事件Ω ,不可能事件Φ.(P2)
例如 ：试验E2 将一枚硬币连抛三次， A 、B、C 为三个随机事件 A＝“至少出一个正面” ＝{HHH, HHT, HTH, THH，HTT，THT，TTH}； B＝“ 三次出现同一面 ”＝{HHH,TTT} C＝“恰好出现一次正面”＝{HTT，THT，TTH} 再如：试验E6 在一批灯泡中任取一只，测其寿命 再如 D＝“灯泡寿命超过1000小时” ＝{t:t
概率论与数理统计习题课1
（1）有机床需要工人照管的概率；
（2）机床因无人照管而停工的概率.
解：设 A 机床甲不需要工人照顾， B 机床乙不需要工人照顾， C 机床丙不需要工人照顾，
依题意，A、B、C 相互独立。
2019/7/17
16
第1章 习 题 课
（1） P( A B C ) P( ABC )
)
1
29 90
61 90
.
3
P(B1B2 ) P( Ai )P(B1B2 | Ai )
i 1
1 ( 3 7 7 8 5 20) 2 . 3 10 9 15 14 25 24 9
2019/7/17
21
第1章 习 题 课
从而
P ( B1
|
B2 )
P(B1B2 ) P(B2 )
于是 P( A) p 0.25(1 p) p [0.25(1 p)]2 p .
这是一个几何级数求和问题。由于公比
0 0.25(1 p) 1，该级数收敛。
P( A)
p
.
1 0.25(1 p)
若甲乙胜率相同，则
p
0.5 p 3 .
1 0.25(1 p)
i 1,2,3,.
A 甲获胜，
B 乙获胜，
2019/7/17
18
第1章 习 题 课
则 A A1 A1B2B3 A4 A1B2B3 A4B5B6 A7 ;
P( A1 ) p ; P( A1B2B3 A4 ) 0.25(1 p) p ; P( A1B2B3 A4B5B6 A7 ) [0.25(1 p)]2 p ;
（2）机床因无人照管而停工的概率.
解：设 A 机床甲不需要工人照顾， B 机床乙不需要工人照顾， C 机床丙不需要工人照顾，
依题意，A、B、C 相互独立。
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第1章 习 题 课
（1） P( A B C ) P( ABC )
)
1
29 90
61 90
.
3
P(B1B2 ) P( Ai )P(B1B2 | Ai )
i 1
1 ( 3 7 7 8 5 20) 2 . 3 10 9 15 14 25 24 9
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第1章 习 题 课
从而
P ( B1
|
B2 )
P(B1B2 ) P(B2 )
于是 P( A) p 0.25(1 p) p [0.25(1 p)]2 p .
这是一个几何级数求和问题。由于公比
0 0.25(1 p) 1，该级数收敛。
P( A)
p
.
1 0.25(1 p)
若甲乙胜率相同，则
p
0.5 p 3 .
1 0.25(1 p)
i 1,2,3,.
A 甲获胜，
B 乙获胜，
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第1章 习 题 课
则 A A1 A1B2B3 A4 A1B2B3 A4B5B6 A7 ;
P( A1 ) p ; P( A1B2B3 A4 ) 0.25(1 p) p ; P( A1B2B3 A4B5B6 A7 ) [0.25(1 p)]2 p ;
《概率论与数理统计》浙大内部课件(全套).PPT
S
“和”、“交”关系式
n i 1
A
n
A
Ai＝A1 A2 An；
Ai
n i 1
Ai A1
A2
An；
Ai
n i 1
i 1
例：设A={ 甲来听课 }，B={ 乙来听课 } ，则： A B {甲、乙至少有一人来} A B {甲、乙都来} A B AB {甲、乙都不来} A B AB {甲、乙至少有一人不来}
16
概率统计中研究的对象：随机现象的数量规律
对随机现象的观察、记录、试验统称为随机试验。 它具有以下特性： 1. 可以在相同条件下重复进行 2. 事先知道可能出现的结果 3. 进行试验前并不知道哪个试验结果会发生
例：
抛一枚硬币，观察试验结果； 对某路公交车某停靠站登记下车人数； 对某批电子产品测试其输入电压； 对听课人数进行一次登记；
4
随着18、19世纪科学的发展，人们注意到某些生物、物理 和社会现象与机会游戏相似，从而由机会游戏起源的概率 论被应用到这些领域中，同时也大大推动了概率论本身的 发展。 法国数学家拉普拉斯将古典概率论向近代概率论进行推进， 他首先明确给出了概率的古典定义，并在概率论中引入了 更有力的数学分析工具，将概率论推向一个新的发展阶段。 他还证明了“煤莫弗——拉普拉斯定理”.拉普拉斯于 1812年出版了他的著作《分析的概率理论》，这是一部继 往开来的作品。这时候人们最想知道的就是概率论是否会 有更大的应用价值？是否能有更大的发展成为严谨的学科 概率论在20世纪再度迅速地发展起来，则是由于科学技术 发展的迫切需要而产生的。1906年，俄国数学家马尔科夫 提出了所谓“马尔科夫链”的数学模型。1934年，前苏联 数学家辛钦又提出一种在时间中均匀进行着的平稳过程理有极重要的地位，现 今仍在常用的许多统计方法，就是建立在“所研 究的量具有或近似地具有正态分布”这个假定的 基础上，而经验和理论（概率论中所谓“中心极 限定理”）都表明这个假定的现实性，现实世界 许多现象看来是杂乱无章的，如不同的人有不同 的身高、体重。大批生产的产品，其质量指标各 有差异 。看来毫无规则，但它们在总体上服从正 态分布。这一点，显示在纷乱中有一种秩序存在， 提出正态分布的高斯，一生在多个领域里面有不 少重大的贡献，但在德国10马克的有高斯图像的 钞票上，单只画出了正态曲线，以此可以看出人 们对他这一贡献评价之高。
“和”、“交”关系式
n i 1
A
n
A
Ai＝A1 A2 An；
Ai
n i 1
Ai A1
A2
An；
Ai
n i 1
i 1
例：设A={ 甲来听课 }，B={ 乙来听课 } ，则： A B {甲、乙至少有一人来} A B {甲、乙都来} A B AB {甲、乙都不来} A B AB {甲、乙至少有一人不来}
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概率统计中研究的对象：随机现象的数量规律
对随机现象的观察、记录、试验统称为随机试验。 它具有以下特性： 1. 可以在相同条件下重复进行 2. 事先知道可能出现的结果 3. 进行试验前并不知道哪个试验结果会发生
例：
抛一枚硬币，观察试验结果； 对某路公交车某停靠站登记下车人数； 对某批电子产品测试其输入电压； 对听课人数进行一次登记；
4
随着18、19世纪科学的发展，人们注意到某些生物、物理 和社会现象与机会游戏相似，从而由机会游戏起源的概率 论被应用到这些领域中，同时也大大推动了概率论本身的 发展。 法国数学家拉普拉斯将古典概率论向近代概率论进行推进， 他首先明确给出了概率的古典定义，并在概率论中引入了 更有力的数学分析工具，将概率论推向一个新的发展阶段。 他还证明了“煤莫弗——拉普拉斯定理”.拉普拉斯于 1812年出版了他的著作《分析的概率理论》，这是一部继 往开来的作品。这时候人们最想知道的就是概率论是否会 有更大的应用价值？是否能有更大的发展成为严谨的学科 概率论在20世纪再度迅速地发展起来，则是由于科学技术 发展的迫切需要而产生的。1906年，俄国数学家马尔科夫 提出了所谓“马尔科夫链”的数学模型。1934年，前苏联 数学家辛钦又提出一种在时间中均匀进行着的平稳过程理有极重要的地位，现 今仍在常用的许多统计方法，就是建立在“所研 究的量具有或近似地具有正态分布”这个假定的 基础上，而经验和理论（概率论中所谓“中心极 限定理”）都表明这个假定的现实性，现实世界 许多现象看来是杂乱无章的，如不同的人有不同 的身高、体重。大批生产的产品，其质量指标各 有差异 。看来毫无规则，但它们在总体上服从正 态分布。这一点，显示在纷乱中有一种秩序存在， 提出正态分布的高斯，一生在多个领域里面有不 少重大的贡献，但在德国10马克的有高斯图像的 钞票上，单只画出了正态曲线，以此可以看出人 们对他这一贡献评价之高。
高等数学 概率论与数理统计课件(一)
高等数学概率论与数理统计课件(一)高等数学概率论与数理统计课件1. 课程简介•高等数学概率论与数理统计是大学数学专业的一门重要课程。
•它是数学学科的基础，也是应用数学的重要工具。
•本课程旨在帮助学生掌握概率论与数理统计的基本概念、理论和方法。
2. 概率论部分2.1 概率的基本概念•概率的定义和性质•随机事件的概率计算方法•条件概率与独立事件2.2 随机变量和概率分布•随机变量的定义和性质•离散型随机变量和连续型随机变量•常见概率分布：离散型和连续型2.3 随机变量的数字特征•期望、方差、标准差的定义和计算•切比雪夫不等式•大数定律和中心极限定理3. 数理统计部分3.1 统计基础•总体和样本的统计特征•参数估计和区间估计•假设检验的基本思想3.2 参数估计•点估计和区间估计的概念•常见的参数估计方法：极大似然估计、矩估计等•置信区间的计算和解释3.3 假设检验•假设检验的基本原理•假设检验的步骤和流程•常见的假设检验方法：单样本、两样本和多样本检验4. 课程学习方法•注重理论和实践相结合，理论指导实践、实践检验理论。
•多做习题，通过刷题巩固知识点。
•参考相关教材和参考书，拓宽知识广度和深度。
•加强课后讨论和交流，与同学共同解决问题。
•关注概率论与数理统计的应用领域，扩展应用实践。
5. 课程考核方式•平时成绩：课堂参与、作业完成情况等。
•期中考试：对课程前半部分的知识进行考核。
•期末考试：对整个课程的知识进行考核。
•课程项目：根据实际情况进行论文、实验等形式进行综合评估。
6. 学习资源推荐•《高等数学》教材，北京大学出版社。
•《概率论与数理统计教程》教材，清华大学出版社。
•《概率论与数理统计习题集》辅导书，高等教育出版社。
•在线学习资源：Coursera、edX、网易云课堂等平台提供的相关课程。
7. 小结•高等数学概率论与数理统计课程是数学专业学生不可或缺的重要课程。
•本课程旨在帮助学生掌握概率论与数理统计的基本概念、理论和方法。
概率论与数理统计书ppt课件
条件概率与独立性
CHAPTER
随机变量及其分布
02
随机变量的概念与性质
定义随机变量为在样本空间中的实值函数，其取值依赖于随机试验的结果。
随机变量
讨论随机变量的可数性、可加性、正态性等性质。
随机变量的性质
离散型随机变量的概念
定义离散型随机变量为只能取可数个值的随机变量。
离散型随机变量的分布
讨论离散型随机变量的概率分布，如二项分布、泊松分布等。
应用
中心极限定理及其应用
CHAPTER
贝叶斯推断与决策分析
07
贝叶斯推断的基本原理
金融风险管理
贝叶斯推断在金融风险管理领域有着广泛的应用，如信用风险评估、投资组合优化等。
医疗诊断
贝叶斯推断在医疗诊断方面也有着重要的应用，如疾病诊断、预后评估等。
机器学习与人工智能
贝叶斯推断在机器学习算法和人工智能领域中也有着广泛的应用，如朴素贝叶斯分类器、高斯混合模型等。
参数估计与置信区间
01
点估计
用单一的数值估计参数的值。
02
区间估计
给出参数的一个估计区间，通常包括一个置信水平。
比较两个或多个组的均值差异，确定因素对结果的影响。
方差分析
检验两个或多个组的方差是否相等。
方差齐性检验
研究变量之间的关系，并预测结果。
回归分析
假设检验与方差分析
CHAPTER
回归分析与线性模型
应用
在现实生活中，大数定律被广泛应用于保险、赌博、金融等领域，通过统计数据来预测未来的趋势和风险。
大数定律及其应用
在独立随机变量序列中，它们的和的分布近似于正态分布，即中心极限定理。这意味着，当样本量足够大时，样本均值近似于正态分布。
概率论与数理统计ppt课件
称这种试验为等可能概型(或古典概型)。
*
例1：一袋中有8个球，其中3个为红球，5个为黄球，设摸到每一球的可能性相等，从袋中不放回摸两球， 记A={恰是一红一黄}，求P(A)． 解：
（注：当L>m或L<0时，记 ）
例2：有N件产品，其中D件是次品，从中不放 回的取n件， 记Ak＝{恰有k件次品}，求P(Ak)． 解：
*
第四章 随机变量的数字特征 4.1 数学期望 4.2 方差 4.3 协方差及相关系数 4.4 矩、协方差矩阵 第五章 大数定律和中心极限定理 5.1 大数定律 5.2 中心极限定理 第六章 数理统计的基本概念 6.1 总体和样本 6.2 常用的分布
*
第七章 参数估计 7.1 参数的点估计 7.2 估计量的评选标准 7.3 区间估计 第八章 假设检验 8.1 假设检验 8.2 正态总体均值的假设检验 8.3 正态总体方差的假设检验 8.4 置信区间与假设检验之间的关系 8.5 样本容量的选取 8.6 分布拟合检验 8.7 秩和检验 第九章 方差分析及回归分析 9.1 单因素试验的方差分析 9.2 双因素试验的方差分析 9.3 一元线性回归 9.4 多元线性回归
解： 设 Ai={ 这人第i次通过考核 }，i=1,2,3 A={ 这人通过考核 }，
亦可：
*
例：从52张牌中任取2张，采用(1)放回抽样，（2）不放 回抽样，求恰是“一红一黑”的概率。
利用乘法公式
与 不相容
（1）若为放回抽样：
（2）若为不放回抽样：
解： 设 Ai={第i次取到红牌}，i=1,2 B={取2张恰是一红一黑}
①
②
①
1 2 N
①
②
1 2 N
……
概率论与数理统计图文课件最新版-第1章-第3-5节
(1). 有放回地抽取 设A：取到的两张都是中奖券
n : 第一次从盒中取，不论是否是中奖券，总是
从 6 张中取一张，第二次再从盒中取，仍是 有 6 张券可供抽取，故有：
P61 P61 36 (种)
k : 中奖券有 2 张，第一次取有 2 张可供抽取,
第二次取仍有 2 张可供抽取，故有：
P21 P21 4 (种)
即, 10个球中的任一个被 取出的机会是相等的，
均为1/10.
10个球中的任一个被取 出的机会都是1/10
所以称这类概率模型为古典概型.
概率统计
在此示例中, 若记 A={ 摸到2号球 } 2
则 P(A)=?
显然： P(A)= 1/10
若记 B={ 摸到红球 } 1 2 3 4 5 6
则 P(B)=?
从而: P( A) k 4 1 0.111 n 36 9
概率统计
nn:
（2). 不放回地抽取
n : P61 P51 30
k : P21 P11 2
从而: P( A) k 2 1 0.067 n 30 15
注 ▲ 若在此例中若将取法改为 “一次抽取两张” ，
其它条件不变则有:
概率统计
P(e1) P(e2) L L P(en)
又由于基本事件是两两互不相容的，于是：
P(S) P(e1Ue1UL L en)
P(e1) P(e2) L L P(en)
nP(ei)
而 P(S) 1
又由已知，
P(ei )
1 n
,
i 1, 2,L n
A ei1 U ei2 UL U eik , (1 i1 i2 L ik n)
(2)．若首位数 2, 4, 6, 8 则有: P41 P41 P84
n : 第一次从盒中取，不论是否是中奖券，总是
从 6 张中取一张，第二次再从盒中取，仍是 有 6 张券可供抽取，故有：
P61 P61 36 (种)
k : 中奖券有 2 张，第一次取有 2 张可供抽取,
第二次取仍有 2 张可供抽取，故有：
P21 P21 4 (种)
即, 10个球中的任一个被 取出的机会是相等的，
均为1/10.
10个球中的任一个被取 出的机会都是1/10
所以称这类概率模型为古典概型.
概率统计
在此示例中, 若记 A={ 摸到2号球 } 2
则 P(A)=?
显然： P(A)= 1/10
若记 B={ 摸到红球 } 1 2 3 4 5 6
则 P(B)=?
从而: P( A) k 4 1 0.111 n 36 9
概率统计
nn:
（2). 不放回地抽取
n : P61 P51 30
k : P21 P11 2
从而: P( A) k 2 1 0.067 n 30 15
注 ▲ 若在此例中若将取法改为 “一次抽取两张” ，
其它条件不变则有:
概率统计
P(e1) P(e2) L L P(en)
又由于基本事件是两两互不相容的，于是：
P(S) P(e1Ue1UL L en)
P(e1) P(e2) L L P(en)
nP(ei)
而 P(S) 1
又由已知，
P(ei )
1 n
,
i 1, 2,L n
A ei1 U ei2 UL U eik , (1 i1 i2 L ik n)
(2)．若首位数 2, 4, 6, 8 则有: P41 P41 P84
概率论与数理统计教程_第五版_ppt课件
.
推广：
N元情形
n
称 Ak 为 n 个事件 A1, A2 , , An 的和事件,即 k 1
A1, A2 , , An至少发生一个;
.
3.事件的交（积）
"二事件A, B同时发生"也是一个事件 , 称为 事件A 与事件 B 的积事件,记作A B，显然 A B {e | e A且e B}.
实例 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数。 试验中,骰子“出现1点”, “出现2 点”, … ,“出现6点”, “点数不大于4”, “点 数为偶数” 等都为随机事件.
.
五、随机事件的关系及运算
（1）、随机事件间的关系 设试验 E 的样本空间为 , 而 A, B, Ak (k
1,2, )是 的子集. 1、包含关系 若事件 A 出现, 必然导致 B 出现
若事件 A 、B 满足 A B AB .
则称事件 A与B互不相容.
例 抛掷一枚硬币, “出现花面” 与 “出现字面” 是互不相容的两个事件.
说明 当AB= 时,可将AB记为“直和”形 式A+B 任意事件A与不可能事件为互斥.
.
5.事件的差
事件 “A 出现而 B 不出现”，称为事件 A 与 B 的差. 记作 A- B.
一、随机现象 二、随机试验 三、样本空间 样本点 四、随机事件的概念 五、随机事件的关系
.
一、随机试验
1.必然现象（确定） 2.偶然现象（不确定）随机
说明： 1.随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系 ,
其数量关系无法用函数加以描述. 2.随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性,
但在大量重复试验或观察中, 这种结果的出现具有 一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现象这 种本质规律的一门数学学科.
推广：
N元情形
n
称 Ak 为 n 个事件 A1, A2 , , An 的和事件,即 k 1
A1, A2 , , An至少发生一个;
.
3.事件的交（积）
"二事件A, B同时发生"也是一个事件 , 称为 事件A 与事件 B 的积事件,记作A B，显然 A B {e | e A且e B}.
实例 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数。 试验中,骰子“出现1点”, “出现2 点”, … ,“出现6点”, “点数不大于4”, “点 数为偶数” 等都为随机事件.
.
五、随机事件的关系及运算
（1）、随机事件间的关系 设试验 E 的样本空间为 , 而 A, B, Ak (k
1,2, )是 的子集. 1、包含关系 若事件 A 出现, 必然导致 B 出现
若事件 A 、B 满足 A B AB .
则称事件 A与B互不相容.
例 抛掷一枚硬币, “出现花面” 与 “出现字面” 是互不相容的两个事件.
说明 当AB= 时,可将AB记为“直和”形 式A+B 任意事件A与不可能事件为互斥.
.
5.事件的差
事件 “A 出现而 B 不出现”，称为事件 A 与 B 的差. 记作 A- B.
一、随机现象 二、随机试验 三、样本空间 样本点 四、随机事件的概念 五、随机事件的关系
.
一、随机试验
1.必然现象（确定） 2.偶然现象（不确定）随机
说明： 1.随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系 ,
其数量关系无法用函数加以描述. 2.随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性,
但在大量重复试验或观察中, 这种结果的出现具有 一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现象这 种本质规律的一门数学学科.
概率论与数理统计ppt课件
P( A) m( A)
m( )
(其中m( ) 是样本空间的度量, m( A) 是构成事件A 的子区域的度量) 这样借助于几何上的度量来合理 规定的概率称为几何概率. 说明 当古典概型的试验结果为连续无穷多个时, 就归结为几何概率.
20
会面问题
例1 甲、乙两人相约在 0 到 T 这段时间内, 在预 定地点会面. 先到的人等候另一个人, 经过时间 t ( t<T ) 后离去.设每人在0 到T 这段时间内各时刻 到达该地是等可能的 , 且两人到达的时刻互不相 关. 求甲、乙两人能会面的概率.
(2) 计算样本点总数n及事件A包含的样本点数k.
(3) 用下列公式计算:
P( A)
SA中中的的基基本本事事件件总数数
k n
16
例1. 袋中装有4只白球和2只红球. 从袋中摸球两次,每次任取一球.有两种式: (a)放回抽样; (b)不放回抽样.
求: (1)两球颜色相同的概率; (2)两球中至少有一只白球的概率.
推广 P(AB)>0, 则有 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB). 一般, 设A1, A2, …,An是n个事件,(n≥2), P(A1A2 ...An-1)>0, 则有乘法公式: P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)…P(An-1|A1A2…An-2) P(An|A1A2…An-1).
28
§5. 条件概率
(一)条件概率: 设试验E的样本空间为S, A, B是事件, 要考虑
在A已经发生的条件下B发生的概率, 这就是条件概 率问题.
例1.老王的妻子一胎生了3个孩子,已知老大是女孩，求另 两个也都是女孩的概率(假设男孩、女孩出生率相同).
1. 定义: 设A, B是两个事件, 且P(A)>0, 称
m( )
(其中m( ) 是样本空间的度量, m( A) 是构成事件A 的子区域的度量) 这样借助于几何上的度量来合理 规定的概率称为几何概率. 说明 当古典概型的试验结果为连续无穷多个时, 就归结为几何概率.
20
会面问题
例1 甲、乙两人相约在 0 到 T 这段时间内, 在预 定地点会面. 先到的人等候另一个人, 经过时间 t ( t<T ) 后离去.设每人在0 到T 这段时间内各时刻 到达该地是等可能的 , 且两人到达的时刻互不相 关. 求甲、乙两人能会面的概率.
(2) 计算样本点总数n及事件A包含的样本点数k.
(3) 用下列公式计算:
P( A)
SA中中的的基基本本事事件件总数数
k n
16
例1. 袋中装有4只白球和2只红球. 从袋中摸球两次,每次任取一球.有两种式: (a)放回抽样; (b)不放回抽样.
求: (1)两球颜色相同的概率; (2)两球中至少有一只白球的概率.
推广 P(AB)>0, 则有 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB). 一般, 设A1, A2, …,An是n个事件,(n≥2), P(A1A2 ...An-1)>0, 则有乘法公式: P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)…P(An-1|A1A2…An-2) P(An|A1A2…An-1).
28
§5. 条件概率
(一)条件概率: 设试验E的样本空间为S, A, B是事件, 要考虑
在A已经发生的条件下B发生的概率, 这就是条件概 率问题.
例1.老王的妻子一胎生了3个孩子,已知老大是女孩，求另 两个也都是女孩的概率(假设男孩、女孩出生率相同).
1. 定义: 设A, B是两个事件, 且P(A)>0, 称
东华大学《概率论与数理统计》课件 第一章 随机事件与概率
(2) P(S)＝1;
(3) 设A1，A何2，…时,P是(A一|列B两)两<互P不(A相)容? 的事件，即AiAj＝
，(ij), i , j＝1, 2, …, 有 P( A1 A2 … )＝ P(A1) ＋P(A2)+….
则称P(A)为事件A的概率。
例 一盒中混有100只新 ,旧乒乓球，各有红、白两 色，分 类如下表。从盒中随机取出一球，若取得的 是一只红球，试求该红球是新球的概率。
1.定义 若对随机试验E所对应的样本空间中的 每一事件A，均赋予一实数P(A)，集合函数P(A)满足 条件：
(1) 非负性: P(A) ≥0；
(2) 规范性: P(S)＝1；
(3) 可列可加性：设A1，A2，…, 是一列两两互不 相容的事件，即AiAj＝，(ij), i , j＝1, 2, …, 有
概率论与数理统计
第一章 随机事件与概率
教材：
《概率论与数理统计》
魏宗舒编
高等教育出版社
本章主要内容：
1. 概率的概念与性质 2. 事件的关系与运算性质 3. 古典概型概率的计算 4. 加法公式、条件概率、乘法公式 5. 事件的独立性、伯努利概型
重点：古典概型、概率的计算 难点：事件的关系和运算
条件概率、伯努利概型
(2) 单调不减性：若事件AB，则 P(A)≥P(B)
(3) 事件差: A、B是两个事件，
则
P(A-B)=P(A)-P(AB)
(4) 加法公式：对任意两事件A、B，有 P(AB)＝P(A)＋P(B)－P(AB)
该公式可推广到任意n个事件A1，A2，…，An的情形 ；
(5) 互补性：P(A)＝1－ P(A); (6) 可分性：对任意两事件A、B，有
(3) 设A1，A何2，…时,P是(A一|列B两)两<互P不(A相)容? 的事件，即AiAj＝
，(ij), i , j＝1, 2, …, 有 P( A1 A2 … )＝ P(A1) ＋P(A2)+….
则称P(A)为事件A的概率。
例 一盒中混有100只新 ,旧乒乓球，各有红、白两 色，分 类如下表。从盒中随机取出一球，若取得的 是一只红球，试求该红球是新球的概率。
1.定义 若对随机试验E所对应的样本空间中的 每一事件A，均赋予一实数P(A)，集合函数P(A)满足 条件：
(1) 非负性: P(A) ≥0；
(2) 规范性: P(S)＝1；
(3) 可列可加性：设A1，A2，…, 是一列两两互不 相容的事件，即AiAj＝，(ij), i , j＝1, 2, …, 有
概率论与数理统计
第一章 随机事件与概率
教材：
《概率论与数理统计》
魏宗舒编
高等教育出版社
本章主要内容：
1. 概率的概念与性质 2. 事件的关系与运算性质 3. 古典概型概率的计算 4. 加法公式、条件概率、乘法公式 5. 事件的独立性、伯努利概型
重点：古典概型、概率的计算 难点：事件的关系和运算
条件概率、伯努利概型
(2) 单调不减性：若事件AB，则 P(A)≥P(B)
(3) 事件差: A、B是两个事件，
则
P(A-B)=P(A)-P(AB)
(4) 加法公式：对任意两事件A、B，有 P(AB)＝P(A)＋P(B)－P(AB)
该公式可推广到任意n个事件A1，A2，…，An的情形 ；
(5) 互补性：P(A)＝1－ P(A); (6) 可分性：对任意两事件A、B，有
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P( AB)
3
4、已知 P(A)=P(B)=P(C)=1/4, P(AB)=0,
P(AC)=P(BC)=1/8, 求事件A，B，C全不发生的概率
解：P( ABC ) P( A B C ) 1 P( A B C) P( A B C) P( A) P(B) P(C) P( AB) P(BC) P( AC) P( ABC )
设B2k表示甲在2k次首次命中，且甲没有命中
k=1,2,3……
P( A) P( A2k1 ) P( A2k1 )
k 1
k 1
(1 p1 )k1(1 p2 )k1 p1 k 1
P(B) 1 P( A)
15
13、袋中有4个红球和一个白球。每次随机地 任取一球不放回，共取5次。求下列事件的概 率： A：前三次取到白球;
P( A) P(B) P(C) 1
解： 因为事件AB发生, 则事件C一定发生。
AB C 即：P( AB) P(C) P( A) P(B) P(C) P( A) P(B) P( AB)
P(A B) 1
6
7 设 事 件 A ， B ， C 两 两 独 立 ， 且 ABC=,
求A，B，C三个事件至少发生一个的概率。
解：P( A B C) 1 P( A)P(B )P(C )
P(A B) 1 P(A)P(B) 1 P(A)P(B) 2 3 3
同理
P( A)P(C ) 2
3
P(B )P(C ) 1 3
(P( A)P(B )P(C ))2 2 2 1 4
P(D) P( AB) P( A)P(B | A) 0.8 0.3 0.24
24
P(E) P(A ABC) P( A) P( ABC ) P( A) P( A)P(B | A)P(C | BA) 0.2 0.8 0.7 0.4 0.424
25
22、设某型号的高炮发射一发炮弹击中飞机的概 率为0.6，现用此型号的炮若干门同时各发射一发 炮弹，问至少需配置几门高射炮才能以不小于0.99 的概率击中来犯的一架敌机。 解：设至少需配置n门高射炮才能以不小于0.99的概
1
2 设随机事件A, B及其和事件AB的概率分别为 0.4,0.3和0.6，求 P( AB )
解： P( A B) P( A) P(B) P( AB) P( AB) P( A) P(B) P( A B) 0.4 0.3 0.6 0.1
P( AB ) P( A) P( AB)
P(B)(1 P(B))
13
P( AB) P( AB)P(B) (1 P( A) P(B) P( AB))P(B)
P(B) (P(B))2 P( AB) P( AB)P(B)
P(B) P(B)P( A) (P(B))2 P(B)P( AB) P(B) (P(B))2
（2） P( AB) 1 P( AB) 1 P( A B )
1 P(A) P(B) P(AB)
2(n 1)r (n 2)r 1 nr nr
19
17、设10件产品中有4件不合格品，从中任取两 件，已知所取的两件产品中有一件是不合格品， 求另一件也是不合格品的概率
解：设A表示所取的两件产品中有一件是不合格品， B表示另一件不合格品
P(B |
A)
P( AB) P( A)
C42 C120
C
2 4
C61C
1 4
C120
2 3
20
18、假设一批产品中一、二、三等品各占60%， 30%和10%，现从中随意取一件，结果不是三 等品，求取到的是一等品的概率 解：设A表示从中随意取一件产品，不是三等品，
B表示取到的是一等品
P(B | A) P( AB) P( A)
1 设事件A, B满足 P( AB) P( AB) ，且知
P(A) p,(0 p 1), 求P(B)
解： P( AB ) P( A B) 1 P( A B) 1 (P( A) P(B) P( AB)) P( AB) P( A) P(B) 1
P(B) 1 P( A) 1 p
P(A)
1 P( A)
b P( AB) c P( AB) b c(1 a) 1a
P( A B) P( A) P(B) P( AB)
a b (b c(1 a))
a c ca
11
P( A | B) P( AB ) P( A) P( AB)
P(B )
1 P(B)
P(B) 0.6 2 P( A) 0.9 3
21
19、设甲、乙两人独立地向同一目标射击，其 命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中， 求它是甲射中的概率
解：设A，B分别表示甲、乙命中目标，C表示目标 被命中。
P( A | C ) P( AC) P( A) P(C ) P( A B)
ABC AB P( ABC ) P( AB) 0
P( ABC ) 0
P(A B C) 1 1 1 0 1 1 0 1
444
88
2
4
5 已知 P(A)=p, P(B)=q, P(AB)=r, 求下列各事件的
概率：P( A B ), P( AB), P( A B), P( AB )
B：第三次取到白球
解：
P( A)
C C2 1 41
3
C3 5
5
P(B) 1 5
16
14、袋中有2n-1个白球，2n个黑球。今随机地不放 回地从袋中任取n个球，求下列事件的概率： （1） n个球中恰有一个球与其 n -1个球颜色不同； （2） n个球中至少有一个黑球； （3） n个球中至少有2个黑球。
5 11 5 5 5 4 10 10 6 10 6 4
15 16 15 15 16 15 15 16 15 15 16 1275
24、袋中有2个白球和8个黑球。今有甲、乙、丙三 人按此顺序和下述规则每人从袋中随机地取出一个 球。规则如下：每人取出球后不放回，再放入一个 与所取的球的颜色相反的球（即取出白球放入黑球；
取出黑球放入白球）。求丙取到白球的概率。
解： 设A表示丙取到白球 B表示乙取到白球 C表示甲取到白球
由全概率公式得
23
21、在空战中，甲机先向乙机开火，击落乙机的 概率是0.2，若乙机未被击落，就进行回击，击落 甲机的概率是0.3。若甲机未被击落，则再次进攻 乙机，击落乙机的概率是0.4。求这几个回合中， 甲机被击落的概率及乙机被击落的概率 解：设A表示甲机第一次击落乙机，B表示乙机击 落甲机，C表示甲机第二次击落乙机，D表示甲机 被击落，E表示乙机被击落。
3P( A) 3(P( A))2 9
16
解得：P( A) 1 4
或 P( A) 3 舍掉 4
7
8 设事件A，B相互独立，且A和B都不发生的概
率为1/9，A发生B不发生的概率与B发生A不发
生的概率相等，求P(A)
解：由题意得
(1
P(AB) P( A))(1
1 P9( BP))( AB1
率击中来犯的一架敌机。 设A表示n门高射炮同时各发射一发炮弹至少有 一发炮弹击中来犯的敌机。
P( A) 1 P( A) 1 0.4n 0.99
解不等式得：n=6
26
23、甲袋中放有5只红球，10只白球；乙袋中放 有5只白球，10只红球。今先从甲袋任取一球放 入乙袋，然后再从乙袋任取一球放入甲袋。最后 从甲袋任取两个球，求它们全是红球的概率。
3 3 3 27
9
2 P( A)P(B)P(C )
33 P( A B C) 1 P( A)P(B )P(C )
1 2 33
10
10 已知 P( A) a, P(B) b, P(B | A) c
且a<1，b<1。求 P( A B), P( A | B)
解： P(B | A) P(BA) P(B) P( AB)
P( AB) P( A)P(B)
即A和B互相独立
14
12、设甲、乙两名射手轮流独立地向同一目标射击， 其命中率分别为p1和p2。甲先射，谁先命中谁获胜， 试分别求甲获胜的概率和乙获胜的概率。
解： 设A表示甲获胜，B表示乙获胜
设A2k-1表示甲在2k-1次首次命中，且乙没有命中 k=1,2,3……
解：
P( A)
C112010! 1210
P(B)
C122 (210 2) 1210
18
16、袋中装有编号1,2,…, n(n2)的n个球，有 返回地抽取 r 次，求： （1）1号球不被抽到的概率； （2）1号球和2号球均被抽到的概率。
解： 设A表示1号球被抽到，B表示2号球被抽到。
（1）
(n 1)r P(A) nr
P(A)=P(B)=P(C)<1/2 ， 且 已 知 P(ABC)=9/16, 求P(A)
解：P( A B C) P( A) P(B) P(C) P( AB) P(BC) P( AC) P( ABC )
P( A) P(B) P(C)
P( A)P(B) P(B)P(C) P( A)P(C)
解： P( A B ) P( A B) 1 P( AB) 1 r
P( AB) P(B A) q r
P( A B) P( A) P(B) P( AB) 1 p r P(AB ) 1 P(A B) 1 p q r
5
6 已知事件AB发生, 则事件C一定发生。证明：
解：
P( A)
C C 1
n1
2n1 2n
Cn 4n1
P(B) 1 P(B)
1
Cn 2n1
Cn 4n1
P(C ) 1 P(C )
1
Cn 2n1
Cn 4n1
C C n1 1 2n1 2n Cn 4n1
17
15 将10个球随机地放入12个盒中，每个盒容纳球 的个数不限，求下列事件的概率： （1）“没有球的盒的数目恰好是2”=A； （2）“没有球的盒的数目恰好是10”=B。
3
4、已知 P(A)=P(B)=P(C)=1/4, P(AB)=0,
P(AC)=P(BC)=1/8, 求事件A，B，C全不发生的概率
解：P( ABC ) P( A B C ) 1 P( A B C) P( A B C) P( A) P(B) P(C) P( AB) P(BC) P( AC) P( ABC )
设B2k表示甲在2k次首次命中，且甲没有命中
k=1,2,3……
P( A) P( A2k1 ) P( A2k1 )
k 1
k 1
(1 p1 )k1(1 p2 )k1 p1 k 1
P(B) 1 P( A)
15
13、袋中有4个红球和一个白球。每次随机地 任取一球不放回，共取5次。求下列事件的概 率： A：前三次取到白球;
P( A) P(B) P(C) 1
解： 因为事件AB发生, 则事件C一定发生。
AB C 即：P( AB) P(C) P( A) P(B) P(C) P( A) P(B) P( AB)
P(A B) 1
6
7 设 事 件 A ， B ， C 两 两 独 立 ， 且 ABC=,
求A，B，C三个事件至少发生一个的概率。
解：P( A B C) 1 P( A)P(B )P(C )
P(A B) 1 P(A)P(B) 1 P(A)P(B) 2 3 3
同理
P( A)P(C ) 2
3
P(B )P(C ) 1 3
(P( A)P(B )P(C ))2 2 2 1 4
P(D) P( AB) P( A)P(B | A) 0.8 0.3 0.24
24
P(E) P(A ABC) P( A) P( ABC ) P( A) P( A)P(B | A)P(C | BA) 0.2 0.8 0.7 0.4 0.424
25
22、设某型号的高炮发射一发炮弹击中飞机的概 率为0.6，现用此型号的炮若干门同时各发射一发 炮弹，问至少需配置几门高射炮才能以不小于0.99 的概率击中来犯的一架敌机。 解：设至少需配置n门高射炮才能以不小于0.99的概
1
2 设随机事件A, B及其和事件AB的概率分别为 0.4,0.3和0.6，求 P( AB )
解： P( A B) P( A) P(B) P( AB) P( AB) P( A) P(B) P( A B) 0.4 0.3 0.6 0.1
P( AB ) P( A) P( AB)
P(B)(1 P(B))
13
P( AB) P( AB)P(B) (1 P( A) P(B) P( AB))P(B)
P(B) (P(B))2 P( AB) P( AB)P(B)
P(B) P(B)P( A) (P(B))2 P(B)P( AB) P(B) (P(B))2
（2） P( AB) 1 P( AB) 1 P( A B )
1 P(A) P(B) P(AB)
2(n 1)r (n 2)r 1 nr nr
19
17、设10件产品中有4件不合格品，从中任取两 件，已知所取的两件产品中有一件是不合格品， 求另一件也是不合格品的概率
解：设A表示所取的两件产品中有一件是不合格品， B表示另一件不合格品
P(B |
A)
P( AB) P( A)
C42 C120
C
2 4
C61C
1 4
C120
2 3
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18、假设一批产品中一、二、三等品各占60%， 30%和10%，现从中随意取一件，结果不是三 等品，求取到的是一等品的概率 解：设A表示从中随意取一件产品，不是三等品，
B表示取到的是一等品
P(B | A) P( AB) P( A)
1 设事件A, B满足 P( AB) P( AB) ，且知
P(A) p,(0 p 1), 求P(B)
解： P( AB ) P( A B) 1 P( A B) 1 (P( A) P(B) P( AB)) P( AB) P( A) P(B) 1
P(B) 1 P( A) 1 p
P(A)
1 P( A)
b P( AB) c P( AB) b c(1 a) 1a
P( A B) P( A) P(B) P( AB)
a b (b c(1 a))
a c ca
11
P( A | B) P( AB ) P( A) P( AB)
P(B )
1 P(B)
P(B) 0.6 2 P( A) 0.9 3
21
19、设甲、乙两人独立地向同一目标射击，其 命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中， 求它是甲射中的概率
解：设A，B分别表示甲、乙命中目标，C表示目标 被命中。
P( A | C ) P( AC) P( A) P(C ) P( A B)
ABC AB P( ABC ) P( AB) 0
P( ABC ) 0
P(A B C) 1 1 1 0 1 1 0 1
444
88
2
4
5 已知 P(A)=p, P(B)=q, P(AB)=r, 求下列各事件的
概率：P( A B ), P( AB), P( A B), P( AB )
B：第三次取到白球
解：
P( A)
C C2 1 41
3
C3 5
5
P(B) 1 5
16
14、袋中有2n-1个白球，2n个黑球。今随机地不放 回地从袋中任取n个球，求下列事件的概率： （1） n个球中恰有一个球与其 n -1个球颜色不同； （2） n个球中至少有一个黑球； （3） n个球中至少有2个黑球。
5 11 5 5 5 4 10 10 6 10 6 4
15 16 15 15 16 15 15 16 15 15 16 1275
24、袋中有2个白球和8个黑球。今有甲、乙、丙三 人按此顺序和下述规则每人从袋中随机地取出一个 球。规则如下：每人取出球后不放回，再放入一个 与所取的球的颜色相反的球（即取出白球放入黑球；
取出黑球放入白球）。求丙取到白球的概率。
解： 设A表示丙取到白球 B表示乙取到白球 C表示甲取到白球
由全概率公式得
23
21、在空战中，甲机先向乙机开火，击落乙机的 概率是0.2，若乙机未被击落，就进行回击，击落 甲机的概率是0.3。若甲机未被击落，则再次进攻 乙机，击落乙机的概率是0.4。求这几个回合中， 甲机被击落的概率及乙机被击落的概率 解：设A表示甲机第一次击落乙机，B表示乙机击 落甲机，C表示甲机第二次击落乙机，D表示甲机 被击落，E表示乙机被击落。
3P( A) 3(P( A))2 9
16
解得：P( A) 1 4
或 P( A) 3 舍掉 4
7
8 设事件A，B相互独立，且A和B都不发生的概
率为1/9，A发生B不发生的概率与B发生A不发
生的概率相等，求P(A)
解：由题意得
(1
P(AB) P( A))(1
1 P9( BP))( AB1
率击中来犯的一架敌机。 设A表示n门高射炮同时各发射一发炮弹至少有 一发炮弹击中来犯的敌机。
P( A) 1 P( A) 1 0.4n 0.99
解不等式得：n=6
26
23、甲袋中放有5只红球，10只白球；乙袋中放 有5只白球，10只红球。今先从甲袋任取一球放 入乙袋，然后再从乙袋任取一球放入甲袋。最后 从甲袋任取两个球，求它们全是红球的概率。
3 3 3 27
9
2 P( A)P(B)P(C )
33 P( A B C) 1 P( A)P(B )P(C )
1 2 33
10
10 已知 P( A) a, P(B) b, P(B | A) c
且a<1，b<1。求 P( A B), P( A | B)
解： P(B | A) P(BA) P(B) P( AB)
P( AB) P( A)P(B)
即A和B互相独立
14
12、设甲、乙两名射手轮流独立地向同一目标射击， 其命中率分别为p1和p2。甲先射，谁先命中谁获胜， 试分别求甲获胜的概率和乙获胜的概率。
解： 设A表示甲获胜，B表示乙获胜
设A2k-1表示甲在2k-1次首次命中，且乙没有命中 k=1,2,3……
解：
P( A)
C112010! 1210
P(B)
C122 (210 2) 1210
18
16、袋中装有编号1,2,…, n(n2)的n个球，有 返回地抽取 r 次，求： （1）1号球不被抽到的概率； （2）1号球和2号球均被抽到的概率。
解： 设A表示1号球被抽到，B表示2号球被抽到。
（1）
(n 1)r P(A) nr
P(A)=P(B)=P(C)<1/2 ， 且 已 知 P(ABC)=9/16, 求P(A)
解：P( A B C) P( A) P(B) P(C) P( AB) P(BC) P( AC) P( ABC )
P( A) P(B) P(C)
P( A)P(B) P(B)P(C) P( A)P(C)
解： P( A B ) P( A B) 1 P( AB) 1 r
P( AB) P(B A) q r
P( A B) P( A) P(B) P( AB) 1 p r P(AB ) 1 P(A B) 1 p q r
5
6 已知事件AB发生, 则事件C一定发生。证明：
解：
P( A)
C C 1
n1
2n1 2n
Cn 4n1
P(B) 1 P(B)
1
Cn 2n1
Cn 4n1
P(C ) 1 P(C )
1
Cn 2n1
Cn 4n1
C C n1 1 2n1 2n Cn 4n1
17
15 将10个球随机地放入12个盒中，每个盒容纳球 的个数不限，求下列事件的概率： （1）“没有球的盒的数目恰好是2”=A； （2）“没有球的盒的数目恰好是10”=B。