概率论与数理统计PPT课件第一章习题课.ppt
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
求A，B，C三个事件至少发生一个的概率。
解：P( A B C) 1 P( A)P(B )P(C )
P(A B) 1 P(A)P(B) 1 P(A)P(B) 2 3 3
同理
P( A)P(C ) 2
3
P(B )P(C ) 1 3
(P( A)P(B )P(C ))2 2 2 1 4
设B2k表示甲在2k次首次命中，且甲没有命中
k=1,2,3……
P( A) P( A2k1 ) P( A2k1 )
k 1
k 1
(1 p1 )k1(1 p2 )k1 p1 k 1
P(B) 1 P( A)
15
13、袋中有4个红球和一个白球。每次随机地 任取一球不放回，共取5次。求下列事件的概 率： A：前三次取到白球;
P(B)(1 P(B))
13
P( AB) P( AB)P(B) (1 P( A) P(B) P( AB))P(B)
P(B) (P(B))2 P( AB) P( AB)P(B)
P(B) P(B)P( A) (P(B))2 P(B)P( AB) P(B) (P(B))2
解：
P( A)
C C 1
n1
2n1 2n
Cn 4n1
P(B) 1 P(B)
1
Cn 2n1
Cn 4n1
P(C ) 1 P(C )
1
Cn 2n1
Cn 4n1
C C n1 1 2n1 2n Cn 4n1
17
15 将10个球随机地放入12个盒中，每个盒容纳球 的个数不限，求下列事件的概率： （1）“没有球的盒的数目恰好是2”=A； （2）“没有球的盒的数目恰好是10”=B。
P(A)
1 P( A)
b P( AB) c P( AB) b c(1 a) 1a
P( A B) P( A) P(B) P( AB)
a b (b c(1 a))
a c ca
11
P( A | B) P( AB ) P( A) P( AB)
P(B )
1 P(B)
P( AB)
3
4、已知 P(A)=P(B)=P(C)=1/4, P(AB)=0,
P(AC)=P(BC)=1/8, 求事件A，B，C全不发生的概率
解：P( ABC ) P( A B C ) 1 P( A B C) P( A B C) P( A) P(B) P(C) P( AB) P(BC) P( AC) P( ABC )
P( A) P(B) P(C) 1
解： 因为事件AB发生, 则事件C一定发生。
AB C 即：P( AB) P(C) P( A) P(B) P(C) P( A) P(B) P( AB)
P(A B) 1
6
7 设 事 件 A ， B ， C 两 两 独 立 ， 且 ABC=,
1
2 设随机事件A, B及其和事件AB的概率分别为 0.4,0.3和0.6，求 P( AB )
解： P( A B) P( A) P(B) P( AB) P( AB) P( A) P(B) P( A B) 0.4 0.3 0.6 0.1
P( AB ) P( A) P( AB)
23
21、在空战中，甲机先向乙机开火，击落乙机的 概率是0.2，若乙机未被击落，就进行回击，击落 甲机的概率是0.3。若甲机未被击落，则再次进攻 乙机，击落乙机的概率是0.4。求这几个回合中， 甲机被击落的概率及乙机被击落的概率 解：设A表示甲机第一次击落乙机，B表示乙机击 落甲机，C表示甲机第二次击落乙机，D表示甲机 被击落，E表示乙机被击落。
B：第三次取到白球
解：
P( A)
C C2 1 41
3
C3 5
5
P(B) 1 5
16
14、袋中有2n-1个白球，2n个黑球。今随机地不放 回地从袋中任取n个球，求下列事件的概率： （1） n个球中恰有一个球与其 n -1个球颜色不同； （2） n个球中至少有一个黑球； （3） n个球中至少有2个黑球。
a b c(1 a) 1b
12
11 已知 0<P(A)<1, 0< P(B)<1,
P(A| B) P(A | B) 1
问A与B是否独立？ 解：
P( A | B) P( A | B ) P( AB) P( AB ) 1 P(B) P(B)
P( AB)P(B ) P( AB )P(B) P(B)P(B ) P( AB)(1 P(B)) (1 P( A B))P(B)
P(B |
A)
P( AB) P( A)
C42 C120
C
2 4
C61C
1 4
C120
2 3
20
18、假设一批产品中一、二、三等品各占60%， 30%和10%，现从中随意取一件，结果不是三 等品，求取到的是一等品的概率 解：设A表示从中随意取一件产品，不是三等品，
B表示取到的是一等品
P(B | A) P( AB) P( A)
0.4 0.1 0.3
2
3 设A，B为两个事件，求证 P( AB) 1 P( A) P(B ) P( AB )
解： 1 P( A) P(B ) P( AB ) 1 P(A) P(B) P(A B) 1 P(A) P(B) 1 P(A B) P( A) P(B) P( A B) P( A) P(B) (P( A) P(B) P( AB))
取出黑球放入白球）。求丙取到白球的概率。
解： 设A表示丙取到白球 B表示乙取到白球 C表示甲取到白球
由全概率公式得
解： 设C表示第一次从甲袋中取一红球放入乙袋， B表示从乙袋取一红球放入甲袋，A表示最后从甲 袋任取两个红球。
P( A) P(BC)P( A | BC) P(BC )P( A | BC ) P(BC )P( A | BC ) P(BC )P( A | BC )
P(C )P(B | C )P( A | BC) P(C )P(B | C )P( A | BC) P(C )P(B | C )P( A | BC ) P(C )P(B | C )P( A | BC )
P(A)=P(B)=P(C)<1/2 ， 且 已 知 P(ABC)=9/16, 求P(A)
解：P( A B C) P( A) P(B) P(C) P( AB) P(BC) P( AC) P( ABC )
P( A) P(B) P(C)
P( A)P(B) P(B)P(C) P( A)P(C)
ABC AB P( ABC ) P( AB) 0
P( ABC ) 0
P(A B C) 1 1 1 0 1 1 0 1
444
88
2
4
5 已知 P(A)=p, P(B)=q, P(AB)=r, 求下列各事件的
概率：P( A B ), P( AB), P( A B), P( AB )
5 11 5 5 5 4 10 10 6 10 6 4
15 16 15 15 16 15 15 16 15 15 16 1275
24、袋中有2个白球和8个黑球。今有甲、乙、丙三 人按此顺序和下述规则每人从袋中随机地取出一个 球。规则如下：每人取出球后不放回，再放入一个 与所取的球的颜色相反的球（即取出白球放入黑球；
解：
P( A)
C112010! 1210
P(B)
百度文库
C122 (210 2) 1210
18
16、袋中装有编号1,2,…, n(n2)的n个球，有 返回地抽取 r 次，求： （1）1号球不被抽到的概率； （2）1号球和2号球均被抽到的概率。
解： 设A表示1号球被抽到，B表示2号球被抽到。
（1）
(n 1)r P(A) nr
（2） P( AB) 1 P( AB) 1 P( A B )
1 P(A) P(B) P(AB)
2(n 1)r (n 2)r 1 nr nr
19
17、设10件产品中有4件不合格品，从中任取两 件，已知所取的两件产品中有一件是不合格品， 求另一件也是不合格品的概率
解：设A表示所取的两件产品中有一件是不合格品， B表示另一件不合格品
3P( A) 3(P( A))2 9
16
解得：P( A) 1 4
或 P( A) 3 舍掉 4
7
8 设事件A，B相互独立，且A和B都不发生的概
率为1/9，A发生B不发生的概率与B发生A不发
生的概率相等，求P(A)
解：由题意得
(1
P(AB) P( A))(1
1 P9( BP))( AB1
P( A)
P( A) P(B) P( AB)
0.6
3
0.6 0.5 0.6 0.5 4
22
20、某厂的产品有4%的废品，每100件合格品中 有75件一等品，试求在该厂中任取一件产品是一 等品的概率。 解：设A表示任取一件产品是一等品。B表示任取一
件产品是合格品。
则易知 P(B) 0.96 P( A | B) 0.75 P( A) P( AB) P(B)P( A | B) 0.96 0.75 0.72
P(D) P( AB) P( A)P(B | A) 0.8 0.3 0.24
24
P(E) P(A ABC) P( A) P( ABC ) P( A) P( A)P(B | A)P(C | BA) 0.2 0.8 0.7 0.4 0.424
25
22、设某型号的高炮发射一发炮弹击中飞机的概 率为0.6，现用此型号的炮若干门同时各发射一发 炮弹，问至少需配置几门高射炮才能以不小于0.99 的概率击中来犯的一架敌机。 解：设至少需配置n门高射炮才能以不小于0.99的概
率击中来犯的一架敌机。 设A表示n门高射炮同时各发射一发炮弹至少有 一发炮弹击中来犯的敌机。
P( A) 1 P( A) 1 0.4n 0.99
解不等式得：n=6
26
23、甲袋中放有5只红球，10只白球；乙袋中放 有5只白球，10只红球。今先从甲袋任取一球放 入乙袋，然后再从乙袋任取一球放入甲袋。最后 从甲袋任取两个球，求它们全是红球的概率。
解： P( A B ) P( A B) 1 P( AB) 1 r
P( AB) P(B A) q r
P( A B) P( A) P(B) P( AB) 1 p r P(AB ) 1 P(A B) 1 p q r
5
6 已知事件AB发生, 则事件C一定发生。证明：
P(B) 0.6 2 P( A) 0.9 3
21
19、设甲、乙两人独立地向同一目标射击，其 命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中， 求它是甲射中的概率
解：设A，B分别表示甲、乙命中目标，C表示目标 被命中。
P( A | C ) P( AC) P( A) P(C ) P( A B)
3 3 3 27
9
2 P( A)P(B)P(C )
33 P( A B C) 1 P( A)P(B )P(C )
1 2 33
10
10 已知 P( A) a, P(B) b, P(B | A) c
且a<1，b<1。求 P( A B), P( A | B)
解： P(B | A) P(BA) P(B) P( AB)
1 设事件A, B满足 P( AB) P( AB) ，且知
P(A) p,(0 p 1), 求P(B)
解： P( AB ) P( A B) 1 P( A B) 1 (P( A) P(B) P( AB)) P( AB) P( A) P(B) 1
P(B) 1 P( A) 1 p
P( AB) P( A)P(B)
即A和B互相独立
14
12、设甲、乙两名射手轮流独立地向同一目标射击， 其命中率分别为p1和p2。甲先射，谁先命中谁获胜， 试分别求甲获胜的概率和乙获胜的概率。
解： 设A表示甲获胜，B表示乙获胜
设A2k-1表示甲在2k-1次首次命中，且乙没有命中 k=1,2,3……
)
P( AB)
9
P( A)(1 P(B )) (1 P( A)P(B)
P( A) P(B)
(1 2P( A)) (P( A))2 1
9
解得： P( A) 2 3
或 P( A) 4 舍掉 3
8
9、设事件A，B，C相互独立，且 P(AB)=1/3, P(AC)=1/3，P(BC)=2/3，
解：P( A B C) 1 P( A)P(B )P(C )
P(A B) 1 P(A)P(B) 1 P(A)P(B) 2 3 3
同理
P( A)P(C ) 2
3
P(B )P(C ) 1 3
(P( A)P(B )P(C ))2 2 2 1 4
设B2k表示甲在2k次首次命中，且甲没有命中
k=1,2,3……
P( A) P( A2k1 ) P( A2k1 )
k 1
k 1
(1 p1 )k1(1 p2 )k1 p1 k 1
P(B) 1 P( A)
15
13、袋中有4个红球和一个白球。每次随机地 任取一球不放回，共取5次。求下列事件的概 率： A：前三次取到白球;
P(B)(1 P(B))
13
P( AB) P( AB)P(B) (1 P( A) P(B) P( AB))P(B)
P(B) (P(B))2 P( AB) P( AB)P(B)
P(B) P(B)P( A) (P(B))2 P(B)P( AB) P(B) (P(B))2
解：
P( A)
C C 1
n1
2n1 2n
Cn 4n1
P(B) 1 P(B)
1
Cn 2n1
Cn 4n1
P(C ) 1 P(C )
1
Cn 2n1
Cn 4n1
C C n1 1 2n1 2n Cn 4n1
17
15 将10个球随机地放入12个盒中，每个盒容纳球 的个数不限，求下列事件的概率： （1）“没有球的盒的数目恰好是2”=A； （2）“没有球的盒的数目恰好是10”=B。
P(A)
1 P( A)
b P( AB) c P( AB) b c(1 a) 1a
P( A B) P( A) P(B) P( AB)
a b (b c(1 a))
a c ca
11
P( A | B) P( AB ) P( A) P( AB)
P(B )
1 P(B)
P( AB)
3
4、已知 P(A)=P(B)=P(C)=1/4, P(AB)=0,
P(AC)=P(BC)=1/8, 求事件A，B，C全不发生的概率
解：P( ABC ) P( A B C ) 1 P( A B C) P( A B C) P( A) P(B) P(C) P( AB) P(BC) P( AC) P( ABC )
P( A) P(B) P(C) 1
解： 因为事件AB发生, 则事件C一定发生。
AB C 即：P( AB) P(C) P( A) P(B) P(C) P( A) P(B) P( AB)
P(A B) 1
6
7 设 事 件 A ， B ， C 两 两 独 立 ， 且 ABC=,
1
2 设随机事件A, B及其和事件AB的概率分别为 0.4,0.3和0.6，求 P( AB )
解： P( A B) P( A) P(B) P( AB) P( AB) P( A) P(B) P( A B) 0.4 0.3 0.6 0.1
P( AB ) P( A) P( AB)
23
21、在空战中，甲机先向乙机开火，击落乙机的 概率是0.2，若乙机未被击落，就进行回击，击落 甲机的概率是0.3。若甲机未被击落，则再次进攻 乙机，击落乙机的概率是0.4。求这几个回合中， 甲机被击落的概率及乙机被击落的概率 解：设A表示甲机第一次击落乙机，B表示乙机击 落甲机，C表示甲机第二次击落乙机，D表示甲机 被击落，E表示乙机被击落。
B：第三次取到白球
解：
P( A)
C C2 1 41
3
C3 5
5
P(B) 1 5
16
14、袋中有2n-1个白球，2n个黑球。今随机地不放 回地从袋中任取n个球，求下列事件的概率： （1） n个球中恰有一个球与其 n -1个球颜色不同； （2） n个球中至少有一个黑球； （3） n个球中至少有2个黑球。
a b c(1 a) 1b
12
11 已知 0<P(A)<1, 0< P(B)<1,
P(A| B) P(A | B) 1
问A与B是否独立？ 解：
P( A | B) P( A | B ) P( AB) P( AB ) 1 P(B) P(B)
P( AB)P(B ) P( AB )P(B) P(B)P(B ) P( AB)(1 P(B)) (1 P( A B))P(B)
P(B |
A)
P( AB) P( A)
C42 C120
C
2 4
C61C
1 4
C120
2 3
20
18、假设一批产品中一、二、三等品各占60%， 30%和10%，现从中随意取一件，结果不是三 等品，求取到的是一等品的概率 解：设A表示从中随意取一件产品，不是三等品，
B表示取到的是一等品
P(B | A) P( AB) P( A)
0.4 0.1 0.3
2
3 设A，B为两个事件，求证 P( AB) 1 P( A) P(B ) P( AB )
解： 1 P( A) P(B ) P( AB ) 1 P(A) P(B) P(A B) 1 P(A) P(B) 1 P(A B) P( A) P(B) P( A B) P( A) P(B) (P( A) P(B) P( AB))
取出黑球放入白球）。求丙取到白球的概率。
解： 设A表示丙取到白球 B表示乙取到白球 C表示甲取到白球
由全概率公式得
解： 设C表示第一次从甲袋中取一红球放入乙袋， B表示从乙袋取一红球放入甲袋，A表示最后从甲 袋任取两个红球。
P( A) P(BC)P( A | BC) P(BC )P( A | BC ) P(BC )P( A | BC ) P(BC )P( A | BC )
P(C )P(B | C )P( A | BC) P(C )P(B | C )P( A | BC) P(C )P(B | C )P( A | BC ) P(C )P(B | C )P( A | BC )
P(A)=P(B)=P(C)<1/2 ， 且 已 知 P(ABC)=9/16, 求P(A)
解：P( A B C) P( A) P(B) P(C) P( AB) P(BC) P( AC) P( ABC )
P( A) P(B) P(C)
P( A)P(B) P(B)P(C) P( A)P(C)
ABC AB P( ABC ) P( AB) 0
P( ABC ) 0
P(A B C) 1 1 1 0 1 1 0 1
444
88
2
4
5 已知 P(A)=p, P(B)=q, P(AB)=r, 求下列各事件的
概率：P( A B ), P( AB), P( A B), P( AB )
5 11 5 5 5 4 10 10 6 10 6 4
15 16 15 15 16 15 15 16 15 15 16 1275
24、袋中有2个白球和8个黑球。今有甲、乙、丙三 人按此顺序和下述规则每人从袋中随机地取出一个 球。规则如下：每人取出球后不放回，再放入一个 与所取的球的颜色相反的球（即取出白球放入黑球；
解：
P( A)
C112010! 1210
P(B)
百度文库
C122 (210 2) 1210
18
16、袋中装有编号1,2,…, n(n2)的n个球，有 返回地抽取 r 次，求： （1）1号球不被抽到的概率； （2）1号球和2号球均被抽到的概率。
解： 设A表示1号球被抽到，B表示2号球被抽到。
（1）
(n 1)r P(A) nr
（2） P( AB) 1 P( AB) 1 P( A B )
1 P(A) P(B) P(AB)
2(n 1)r (n 2)r 1 nr nr
19
17、设10件产品中有4件不合格品，从中任取两 件，已知所取的两件产品中有一件是不合格品， 求另一件也是不合格品的概率
解：设A表示所取的两件产品中有一件是不合格品， B表示另一件不合格品
3P( A) 3(P( A))2 9
16
解得：P( A) 1 4
或 P( A) 3 舍掉 4
7
8 设事件A，B相互独立，且A和B都不发生的概
率为1/9，A发生B不发生的概率与B发生A不发
生的概率相等，求P(A)
解：由题意得
(1
P(AB) P( A))(1
1 P9( BP))( AB1
P( A)
P( A) P(B) P( AB)
0.6
3
0.6 0.5 0.6 0.5 4
22
20、某厂的产品有4%的废品，每100件合格品中 有75件一等品，试求在该厂中任取一件产品是一 等品的概率。 解：设A表示任取一件产品是一等品。B表示任取一
件产品是合格品。
则易知 P(B) 0.96 P( A | B) 0.75 P( A) P( AB) P(B)P( A | B) 0.96 0.75 0.72
P(D) P( AB) P( A)P(B | A) 0.8 0.3 0.24
24
P(E) P(A ABC) P( A) P( ABC ) P( A) P( A)P(B | A)P(C | BA) 0.2 0.8 0.7 0.4 0.424
25
22、设某型号的高炮发射一发炮弹击中飞机的概 率为0.6，现用此型号的炮若干门同时各发射一发 炮弹，问至少需配置几门高射炮才能以不小于0.99 的概率击中来犯的一架敌机。 解：设至少需配置n门高射炮才能以不小于0.99的概
率击中来犯的一架敌机。 设A表示n门高射炮同时各发射一发炮弹至少有 一发炮弹击中来犯的敌机。
P( A) 1 P( A) 1 0.4n 0.99
解不等式得：n=6
26
23、甲袋中放有5只红球，10只白球；乙袋中放 有5只白球，10只红球。今先从甲袋任取一球放 入乙袋，然后再从乙袋任取一球放入甲袋。最后 从甲袋任取两个球，求它们全是红球的概率。
解： P( A B ) P( A B) 1 P( AB) 1 r
P( AB) P(B A) q r
P( A B) P( A) P(B) P( AB) 1 p r P(AB ) 1 P(A B) 1 p q r
5
6 已知事件AB发生, 则事件C一定发生。证明：
P(B) 0.6 2 P( A) 0.9 3
21
19、设甲、乙两人独立地向同一目标射击，其 命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中， 求它是甲射中的概率
解：设A，B分别表示甲、乙命中目标，C表示目标 被命中。
P( A | C ) P( AC) P( A) P(C ) P( A B)
3 3 3 27
9
2 P( A)P(B)P(C )
33 P( A B C) 1 P( A)P(B )P(C )
1 2 33
10
10 已知 P( A) a, P(B) b, P(B | A) c
且a<1，b<1。求 P( A B), P( A | B)
解： P(B | A) P(BA) P(B) P( AB)
1 设事件A, B满足 P( AB) P( AB) ，且知
P(A) p,(0 p 1), 求P(B)
解： P( AB ) P( A B) 1 P( A B) 1 (P( A) P(B) P( AB)) P( AB) P( A) P(B) 1
P(B) 1 P( A) 1 p
P( AB) P( A)P(B)
即A和B互相独立
14
12、设甲、乙两名射手轮流独立地向同一目标射击， 其命中率分别为p1和p2。甲先射，谁先命中谁获胜， 试分别求甲获胜的概率和乙获胜的概率。
解： 设A表示甲获胜，B表示乙获胜
设A2k-1表示甲在2k-1次首次命中，且乙没有命中 k=1,2,3……
)
P( AB)
9
P( A)(1 P(B )) (1 P( A)P(B)
P( A) P(B)
(1 2P( A)) (P( A))2 1
9
解得： P( A) 2 3
或 P( A) 4 舍掉 3
8
9、设事件A，B，C相互独立，且 P(AB)=1/3, P(AC)=1/3，P(BC)=2/3，