《直角三角形的边角关系》特殊角
三角形的边角关系
三角形的边角关系三角形是几何学中最基本的图形之一，它由三条边和三个角组成。
边和角之间存在着一系列重要的关系，这些关系对于解决三角形相关问题和证明三角形性质非常重要。
本文将深入探讨三角形的边角关系，包括角度和边长之间的关系以及三角形中的一些特殊边角关系。
一、角度和边长的关系1. 三角形内角和角度和为180度三角形的三个内角之和恒为180度，即∠A + ∠B + ∠C = 180°。
这一特性是三角形的重要基本属性，可以通过三角形内角和定理来证明。
2. 同位角和对应角当两条平行线被一条截线所穿过时，截线与平行线所夹的内、外角成对应角关系。
同位角是指两条平行线被第三条截线所穿过后所得到的对应内角，它们的度数相等。
对应角是指两条平行线被第三条截线所穿过后所得到的两个内角，它们的度数相等。
3. 三角形的外角和三角形的一个外角等于其余两个内角的和。
假设三角形的内角为∠A、∠B、∠C，其对应的外角为∠D、∠E、∠F，则有∠D = ∠A +∠B，∠E = ∠B + ∠C，∠F = ∠C + ∠A。
二、三角形的特殊边角关系1. 等边三角形等边三角形的三条边长度相等，三个内角也相等，每个角都是60度。
等边三角形具有对称性和稳定性，在建筑、设计和工程等领域有广泛应用。
2. 等腰三角形等腰三角形的两条边长度相等，两个底角也相等。
底角是等腰三角形两边的夹角，顶角是等腰三角形的顶点处的角，它恒为60度。
等腰三角形也常见于建筑和工程设计中。
3. 直角三角形直角三角形的一个内角为90度，称为直角，另外两个内角为锐角。
直角三角形是解决三角函数问题的基础，它的边角关系可以通过勾股定理得到。
4. 三角形边长关系在三角形中，两边之和大于第三边，且两边之差小于第三边。
这一关系称为三角形的两边之和大于第三边定理和两边之差小于第三边定理。
5. 等腰直角三角形等腰直角三角形是一种特殊的三角形，它同时具有等腰和直角的性质。
在等腰直角三角形中，两个锐角相等，且每个锐角为45度。
北师大版初中数学九年级下册《直角三角形的边角关系》全章教材分析教案设计
九年级数学第一章直角三角形的边角关系教案一、本章教学的指导意见：本章内容从梯子的倾斜程度说起，引出第一个三角函数——正切。
因为相比之下，正切是生活当中用得最多的三角函数概念，如刻画物体的倾斜程度、山的坡度等。
正弦和余弦的概念，是在正切的基础上、利用直角三角形、通过学生的说理得到的。
接着，又从学生熟悉的三角板引入特殊角30°、45°、60°角的三角函数值的问题。
对于一般包括锐角三角函数值的计算问题，需要借助计算器。
教科书仔细地介绍了如何从角得值、从值得角的方法，并且提供了相应的训练和解决问题的机会。
利用锐角三角函数解决实际问题，也是本章重要的内容之一。
除“船有触礁的危险吗？”“测量物体的高度”两节外，很多实际应用问题穿插于各节内容之中。
直角三角形中边角之间的关系，是现实世界中应用最广泛的关系之一，锐角三角函数在解决现实问题中有着重要的作用，如在测量、建筑、工程技术和物理学中，人们常常遇到距离、高度、角度的计算问题，一般说来，这些实际问题的数量关系往往归结为直角三角形中边和角的关系问题。
研究图形之中各个元素之间的关系，如边和角之间的关系，把这种关系用数量的形式表示出来，即进行量化，是分析问题和解决问题过程中常用的方法，是数学中重要的思想方法。
通过这一章内容的学习，学生将进一步感受数形结合的思想、体会数形结合的方法。
通过直角三角形中边角之间关系的学习，学生将进一步体会数学知识之间的联系，如比和比例、图形的相似、推理证明等。
直角三角形中边角之间关系的学习，也将为一般性地学习三角函数的知识及进一步学习其它数学知识奠定基础。
（二）教学重点1．使学生经历探索直角三角形中边角之间关系、探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，从中发展学生观察、分析、发现的能力；2．理解锐角三角函数的概念，并能够通过实例进行说明；3．会计算包括30°、45°、60°角的三角函数值的问题；4．能够借助计算器由已知锐角求出它的三角函数值，或由已知三角函数值求出相应的锐角；5．能够运用三角函数，解直角三角形及解决与直角三角形有关的实际问题，培养学生分析问题和解决问题的能力；6．体会数、形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题。
直角三角形的边角关系
编号⒀九年级数学下册《直角三角形的边角关系》复习一班级姓名知识点回顾:1．直角三角形中的边角关系：（如图，在ABC中，∠C为直角）(1)三边之间的关系：(2)锐角之间的关系：(3)边角之间的关系：2．一些特殊角的三角函数值：3．锐角α的三角函数值的符号及变化规律。
(1)锐角α的三角函数值都是正值；(2)若0＜α＜90° 则sinα，tanα随α的增大而，cosα随α的增大而 . 4．常用到下面几个概念：(1)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角.(2)坡度、坡角：坡面的铅直高度h与水平宽度l的比叫做坡度，常用字母i表示，h即i＝lh坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母α表示，则tanα＝i＝l典型例题：1、在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，那么锐角A的正弦值（）A.扩大2倍B.缩小2倍C.扩大4倍D.没有变化2、如图：P是∠α的边OA上一点，且P点的坐标为（3，4），则sin（900 - α）＝_____________.3、计算：tan60°·sin60°－cos30°·tan45°=_____________.4、已知0°＜α＜45° 则sin α，cos α的大小关系为( )A 、sin α＞cos αB 、sin α＜cos αC 、sin α≥cos αD 、sin α≤cos α． 5、已知在Rt △ABC 中∠C＝90° 且tanA ＝31，则cosB 的值为( ) A 、1013 B 、310 C 、1010 D 10103 6、直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，CD ＝10，∠B＝90°，∠C＝30°则AB ＝( )A 、53B 、5C 、25D 2357、一个三角形的一边长为2，这边上的中线长为1，另两边长之和为1＋， 则这个三角形的面积为( )A. 1B.23C. D.43 8、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，AD=2，BC=5，tanC=34． （1）求点D 到BC 边的距离； （2）求点B 到CD 边的距离．9、外国船只，除特许外，不得进入我国海洋100海里以内的区域。
直角三角形的边角关系
直角三角形的边角关系直角三角形是一种特殊的三角形，它的一个角是90度，另外两个角是锐角。
直角三角形的边角关系是指三条边和三个角之间的关系。
边角定义在直角三角形中，我们通常将底边称为底边，直角所对的边称为斜边，另外一个边称为高。
以直角三角形ABC为例，边AB为底边，边AC为高，边BC为斜边。
直角三角形中的两个锐角分别称为锐角A和锐角B。
锐角A位于底边AB的顶点A，锐角B位于直角C的顶点B。
边角关系直角三角形的边角关系非常重要，它们之间存在着多个重要的数学关系。
下面是直角三角形的边角关系的详细介绍：边与角的关系1. 底边与斜边的关系：根据勾股定理，底边的平方加上高的平方等于斜边的平方。
用公式表示为：AB² + AC² = BC²2. 斜边与锐角的关系：在直角三角形中，斜边与锐角的关系可以用三角函数来表示。
以锐角A为例，斜边BC与锐角A的正弦比等于底边AB 与斜边BC的比值，用公式表示为：sin(A) = AB / BC角与角的关系1. 直角和锐角的关系：直角是直角三角形的特殊角，它的度数为90度。
而锐角是小于90度的角。
2. 锐角之间的关系：直角三角形中的两个锐角之和等于90度。
用公式表示为：A +B = 90°边与角之间的关系1. 高与锐角的关系：直角三角形中的高与锐角之间存在正弦和余弦的关系。
以锐角A为例，高AC与锐角A的正弦比等于底边AB与斜边BC的比值，用公式表示为：sin(A) = AC / BC2. 底边与锐角的关系：直角三角形中的底边与锐角之间存在正切关系。
以锐角A 为例，底边AB与锐角A的正切比等于高AC与底边AB的比值，用公式表示为：tan(A) = AC / AB总结直角三角形的边角关系是数学中一种重要的关系，它涉及到边与角之间的联系。
通过掌握这些关系，我们可以在解决三角形相关问题时更加方便和高效。
一个直角三角形中，底边与斜边的关系可以由勾股定理给出，斜边与锐角之间的关系可以用正弦比来表示，高与锐角之间的关系可以用正弦比来表示，底边与锐角的关系可以用正切比来表示。
直角三角形的边角关系(精简版)
直角三角形的边角关系知识点1：锐角三角函数一、知识点讲解： 1．锐角三角函数的概念：锐角三角函数包括正弦函数，余弦函数，和正切函数，如图1－1－1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b ，c ． ∠A 的正弦=A asin A=c∠的对边，即斜边；∠A 的余弦=A b cos A=c∠的邻边，即斜边,∠A 的正切=A a tan=A b∠的对边，即∠的邻边注：三角函数值是一个比值．2．特殊角是指0°，30°，45°，60°，90°的角． 3．特殊角的三角函数值．4．互为余角的三角函数关系．sin （90○－A ）=cosA ， cos （90○－A ）=sin A tan （90○－A ）= cotA cot （90○－A ）=tanA 5．同角的三角函数关系． ①平方关系：sin 2 A+cos 2A=l ②倒数关系：tanA ×cotA=1③商数关系：sin cos tan ,cot cos sin A AA A A A==④sin cos 12sin cos a a a a +=+ ⑤222tan cot (tan cot )2a a a a +=+- 二、经典例题讲解： 类型一、关于特殊的函数值 例题1、计算：()()013222sin 60-︒-+-+⋅（结果保留根号．．．．．．）中考典练1： 024cos 458(3)(1)π-+++-分值6分中考典练2：2(tan 301)____-= 中考典练3：13tan 60|2|22-+-+例题2、 2sin60°－cos30°·tan45°的结果为（ ） A 、 3 33. .22B C -D ．0 例题3、等腰直角三角形一个锐角的余弦为（ ） A 、12 32. .22B C D ．l 例4、点M(tan60°，－cos60°）关于x 轴的对称点M ′的坐标是（ ） 1111.(3,); .(3,); .(3,) .(3,)2222A B C D ----例5、在锐角△ABC 中，如果2sinC=sin90°，则∠C=__。
《直角三角形的边角关系》复习教案
直角三角形的边角关系复习一、知识点总结：1、三角函数定义：sinA= cosA= tanA=2、特殊角的三角函数值：30°：sin 30°= ， cos 30°= ，tan 30°= 45°：sin 45°= ， cos 45°= ，tan 45°= ，60°：sin 60°= ， cos 60°= ，tan 60°= ， 3、三角函数公式： ① sin(90°－A)=cosA ； cos(90°－A)=sinA; ② =+A A 22cossin ；4、在直角三角形中，除直角外，一共有5个因素，即3条边和2个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素（两边或者一边一锐角），求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形5. 坡度与坡角的定义： 6、tanA 的值越大，梯子 ；sinA 的值越大，梯子 ；cosA 的值越大，梯子二、巩固练习1、在Rt △ABC 中，∠C =90°，a ＝1，c ＝4,则sinA 的值是_ __。
2、已知∠A+∠B=90°,且cosA =1/5，则cosB 的值为____。
3、已知α为锐角，tan （90°－α）α的度数为__ _。
4、在△ABC 中，∠C =90°，BC =5，AB =13，则sin A 的值是 _ _。
5、等腰三角形底边长为10㎝，周长为36cm ，那么底角的余弦等于______6、如右图，沿倾斜角为30︒的山坡植树，要求相邻两棵树的水平距离AC 为2m ，那么相邻两棵树的斜坡距离AB 为 m 。
(精确到0.1m)7、菱形ABCD 的对角线AC=10，BD=6，则 tanA/2= _____8、离旗杆20米处的地方用测角仪测得旗杆顶的仰角为α， 如果测角仪高为1.5米．那么旗杆的高是_________米（用含α的三角函数表示）．9、校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米。
直角三角形边角关系复习
第一章《直角三角形的边角关系》复习指导二、基础知识1．锐角三角函数的定义：如图1，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =c ，BC =a ，AC =c ，则sin A =＿＿，cos A =＿＿，tan A =＿＿，cot A =＿＿，它们统称为＿＿．α)= ＿＿，tan(90°－α)= ＿＿，cot(90°－α)= ＿＿．4．同角三角函数的关系： sin 2α+ cos 2α=＿＿，tanα·cotα=＿＿．5．直角三角形中的边角关系：如图1，在Rt △ABC 中，∠C =90°，三边a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，则∠A +∠B =＿＿°，a 2+b 2=＿＿，sin A =＿＿B ＝＿＿，cos A =＿＿B =＿＿，tan A =＿＿B =＿＿，cot A =＿＿B =＿＿．6．在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的＿＿，在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的＿＿．7．仰角、俯角、坡角、坡度、水平距离、垂直距离、水位、方位角：(1)仰角与俯角：AB图1它们都是在同一铅垂面内视线和水平线间的夹角，视线在水平线上方的叫做＿＿＿，在水平线下方的叫做＿＿． 如图2，∠AOC 就叫做＿＿，∠BOC 就叫做＿＿． (2)坡度与坡角：如图3通常把坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做＿＿，用字母i 表示，即i =＿＿，坡度一般写成＿＿＿的形式．坡面与水平面的夹角叫做＿＿，记作α，则有i =＿＿=＿＿． （3）方位角：如图4，A 点位于O 点的＿＿30°方向，而B 点位于O 点的＿＿60°方向．8．直角三角形的边角关系及其应用：在直角三角形中，除直角外，还有＿＿个基本元素，由直角三角形中的已知元素，即可求出＿＿元素．利用直角三角形的边角关系求其余未知元素通常有下列四种类型：(1)已知斜边和一直角边；(2) 已知两条直角边；(3) 已知一锐角和一直角边；(4) 已知斜边和一锐角．由此，利用直角三角形的边角关系求解时已知的两个元素中，至少要有一条是＿＿．9．处理简单的斜三角形：对于斜三角形通常是利用作＿＿使之构造出直角，从而将简单的斜三角形转化为＿＿三角形．10．利用直角三角形的边角关系的依据是：(1)三边关系：＿＿；(2)两锐角之间的关系：两锐角＿＿；(3)边角关系：四个锐角＿＿的定义及斜边上的中线等于斜边的＿＿和 30°所对的直角边等于斜边的＿＿．三、典题赏析例1 （南通）计算： tan60°·sin60°－cot30°·tan45°． 分析 由特殊角的三角函数值可得： tan60°·sin60°－cot30°·tan45°3122-=-．说明 熟记特殊角的三角函数值是处理此类题目的关键．例2 (兰州)如果sin 2α＋sin 230°＝１，那么锐角α的度数是（ ） A ．15° B ．30° C ．45° D ．60° 分析 对照等式sin 2α+cos 2α=1，可以将sin 2α＋sin 230°＝１利用sin （90°－α）＝cosα变形为sin 2α＋cos 2（90°－30°）＝１，所以α＝60°，故应选D ．说明 等式sin 2α+cos 2α=1及互余角的性质在处理直角三角形的问题中有着十分广泛应用，应注意领会．图2 水平线图3西直角三角形的边角关系练习题一、选择题1. 若α是锐角，且1cos(90)2α-=，且α等于（）Ａ．30 Ｂ．45 Ｃ．60Ｄ．902. R t A B C △中，C D 为斜边A B 上的高，则:C D B C 的值为（）Ａ．sin AＢ．cos AＣ．tan AＤ．cot A3. 已知R t A B C △中，90C ∠= ，A ∠，B ∠，C ∠的对边分别为a ，b ，c ，已知2a =，1cos 3B =，则b 的长为（ ）Ａ．Ｂ．Ｃ．4. 在△ABC 中，AB =AC =4，BC =2，则4cos B 等于 A.1B.2C.15D.4155. △ABC 中，∠A 、∠B 都是锐角，且sin A =21，cos B =23，则△ABC 的形状是A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.不能确定二、填空题6. 在A B C △中，若22cos (tan 1)0B C -+-=，则A ∠=．7. 已知tan α·tan30°＝1，且α为锐角，则α＝______．8. △ABC 中，三个内角之比为1∶2∶3，则对应的三边之比为__________。
直角三角形的边角关系
A
C
13.在梯形ABCD中 ,AD//BC,AB=DC=13,AD=8,BC=18.
┌ BE
┌ FD
求:sinB,cosB,tanB,cotB.
小结 拓展
定义中应该注意的几个问题:
1.sinA,cosA,tanA 是在直角三角形中定义的,∠A 是锐角(注意数形结合,构造直角三角形).
1 根据下列条件求∠θ的大小: (1)tanθ=2.988 8;(2)sinθ=0.395 7; (3)cosθ=0.785 0;(4)tanθ=0.897 2.
怎 么解?
老师提示:上表的显示结果是以度为 单位的,再按 dms 键即可显示以 “度,分,秒”为单位的结果.
例题欣赏P159
洞察力与内秀
按键的顺序
SinA=0.9816 2ndf Sin 0 . 9 8 1 6 =
CosA=0.8607 2ndf cos 0 . 8 6 0 7 =
tanA=0.1890 2ndf tan 0 . 1 8 9 0 =
tanA=56.78 2ndf tan 5 6 . 7 8 =
tan 键的第二
显示结果
小结 拓展
1.锐角三角函数定义:
tanA=
A的对边 A的邻边
sinA=
A的对边 斜边
cosA=
A的邻边 斜边
B
斜边 ∠A的对边
┌ A ∠A的邻边 C
请思考:在Rt△ABC中, sinA和cosB有什么关系?
30°、45°、60°角的三角函数值
例1 计算：（1）sin30°+ cos45°；
（21） 3 cos 30
直角三角形的边角关系
E 公路 R F
O 车站
2、(2006年甘肃省武威市 10分)一架长5米的梯 子AB斜立在一竖直的墙上，这时梯子底端距墙 底3米．如果梯子的顶端沿墙下滑1米，梯子的 底端在水平方向沿一条直线也将滑动1米吗？ 用所学知识，论证你的结论．
A D C
解：是 证明：∵在Rt △ACB中，BC=3、AB=5，∴AC=4米. ∴DC=4-1=3米 . 在Rt △DCE中，DC=3、DE=5，∴CE=4米. BE=CE-BC=1米.即梯子底端也滑动了1米．
苏武乡羊路中学 王国文
课标要求：
1、理解锐角三角函数（sinA、cosA、 tanA、cotA）定义，知道300，450，600 角的三角函数值。 2、会由已知锐角求它的三角函数， 由已知三角函数求它对应的锐角。 3、会运用锐角三角函数解决与直角 三角形有关的简单实际问题。
必记知识1：锐角三角函数的意义
勇攀高峰
在山脚C处测得山顶A的仰角为45°。问题如下： 1.沿着水平地面向前300米到达D点，在D点测得山顶A的 仰角为60 °，求山高AB。 2.沿着坡角为30 °的斜坡前进300米到达D点，在D点测 得山顶A的仰角为60 ° ，求山高AB。
A A
咋办
3x
D 45° 60°
3x
60 ° F x
?
A
A B D
1 2
· O
B C
· O
C
O A C B x
7、如图，⊙O 是 △ABC外接圆，AD是⊙O 的直径，连结CD， 若⊙O 的半径r=3，AC=4，则sinB的值是_____ 。 8、如图，在直角坐标XOY中，二次函数y=ax2+bx+c交x轴于 A、B两点，交y轴于C点，且tan ∠ACO=1:2，OC=OB， AB=3，则C点坐标为_____ 。
直角三角形边角关系总复习
1第一章 直角三角形的边角关系1.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，如果锐角A 确定， =A sin , A cos = , A tan = .2.特殊角的三角函数值2.锐角三角函数的关系互余两角的三角函数关系(A 为锐角):cos sin =A ,sin cos =A . 3.锐角三角函数的性质当角度在0°～90°之间变化时：正弦值随角度的增大(或减小)而 (或 )； 余弦值随角度的增大(或减小)而 (或 )； 正切值随角度的增大(或减小)而 (或 )； 4.解直角三角形的定义在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即3条边和2个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形。
5.在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别是c b a ,,。
①三边之间的关系： ；②锐角之间的关系： 。
③边角之间的关系：=A sin ,=A cos ,=A tan , =B sin ,=B cos ,=B tan , ④面积公式：ch ab S ABC 2121==△(h 为斜边上的高). 6.解直角三角形应用题中常见的概念①坡角：坡面与水平的夹角叫做坡角，用字母α表示。
坡度：坡面的铅垂高度h 和水平宽度l 的比叫 做坡度，用字母i 表示，则αtan ==lhi 。
如图②仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角。
如图方法1：利用锐角三角函数的概念求三角函数值例1.在Rt △ABC 中，∠C=90°，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A 的正弦值( )A.扩大2倍B.缩小2倍C.扩大4倍D.不变 方法2：利用锐角三角函数的概念进行计算的方法 例2.在△ABC 中，∠C=90°，54sin =A ，则B tan =( ) 视线视线2A.34B.43C.53D.54方法3：利用特殊角三角函数值进行计算的方法例3.01-)20082009(2-60sin30cos4--+︒︒）（= 。
直角三角形的边角关系(教材分析)课件
直角三角形是一种特殊的三角形，具有许多有趣和有用的性质和关系。在本 次演示中，我们将探讨直角三角形的定义、特征以及与边角关系相关的内容。
直角三角பைடு நூலகம்的定义
直角三角形是一种具有一个直角（90度）的三角形。它的独特之处在于其中 一个角度是直角。
直角三角形的特征
角度关系
直角三角形的两个锐角相加等于90度。
这种直角三角形的三个角度分别为30度、60度和90度，其边长之间有特定的比例 关系。
3
45-45-90特殊直角三角形
这种直角三角形的两个直角边的长度相等，其余边长也有特定的比例关系。
总结与应用
应用数学中的重要性
直角三角形的边角关系在数学和 实际应用中都扮演着重要角色， 对解决各种问题非常有帮助。
工程领域中的应用
勾股数是指满足勾股定理 的三个正整数，它们构成 了一个直角三角形的边长。
通过勾股定理的应用，可 以确定满足条件的勾股数。
勾股数之间存在着特定的 关系，例如较短的直角边 是其中两个勾股数的公倍 数。
特殊直角三角形
1
等腰直角三角形
等腰直角三角形是一种直角三角形，其中两条直角边的长度相等。
2
30-60-90特殊直角三角形
边长关系
直角三角形的三条边有特定的比例关系。
边角关系
直角三角形的两个锐角相互补充，即它们的和为90度。
勾股定理
1 定理表述
在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
2 应用案例
勾股定理可以用来求解各种实际问题，例如测量地面距离、建筑设计和导航。
勾股数
1 什么是勾股数
2 如何确定勾股数
3 勾股数的性质
直角三角形的性质在工程测量和 设计中具有广泛的应用，如建筑 设计和地理测量。
特殊直角三角形边角关系的探索与研究
特殊直角三角形边角关系的探索与研究作者：赵亚双来源：《学校教育研究》2017年第13期一、问题提出的背景京教版八年级数学上册第十二章三角形的内容包括三角形及其性质、全等三角形、等腰三角形与直角三角形、尺规作图及轴对称。
其中等腰三角形中介绍了等腰三角形和等边三角形的定义、性质、判定。
直角三角形中介绍了“斜边直角边”定理和勾股定理。
介绍完等腰三角形、等边三角形和直角三角形后我们在习题中经常会遇到含有特殊角（30°45°60°角）的直角三角形，因为教材内容的限制，每当遇到这样的三角形时，总让我们有隔纱观景不能尽兴的感觉，能不能在直角三角形这一节中增加一节课，把两个特殊的直角三角形研究透？于是在教学中我们做了这样一个大胆的尝试，以学生活动为主线设计一节特殊直角三角形的探究课，打开天窗说亮话。
二、本节课的教学目标（一）知识与能力1.初步认识含有特殊角的直角三角形，了解图形边、角各具有哪些关系。
2.会根据已知条件，求解其他边长。
（二）数学思考借助活动手册，让学生在活动中经历特殊直角三角形的三边关系的探究过程，培养观察、分析、抽象、概括的能力。
（三）解决问题能够利用已知条件求解其他边长。
（四）情感态度培养积极思考和勇于探索的精神，形成良好的学习习惯.重点：能够利用已知条件求解其他边长难点：推导特殊直角三角形边、角各具有哪些关系三、学生情况分析初二的学生具有强烈的好奇心和求知欲，他们思维活跃，敢于发表自己的见解，并希望得到别人的认可。
经过初一的平行线和初二三角形部分的学习，他们已经具备了初步的几何学习能力，善于观察，能够独立思考一些问题，并具有一定的识图、分析图的能力，借助前边学习过的有关知识应该能够快速解决本节课的有关问题。
四、教学呈现形式借助活动手册，教师引导学生借助手中的一副三角板直观演示，通过推理和证明得出正确结论，并应用这些结论解决问题。
活动一与观察你手中的三角板，你对它们了解多少？五、教学效果及反思几何学习即要重视基本概念、定理的认知，又要重视基本图形的学习，在教学中，应当把“形”放在重要位置上，逐步培养学生对几何图形的识别、组合与分解的能力。
___版数学九年级下册：第一章《直角三角形的边角关系》知识点整理复习
___版数学九年级下册：第一章《直角三角形的边角关系》知识点整理复习锐角三角函数的概念在直角三角形ABC中，∠C=90°。
根据三角函数的定义，可以得到以下公式：邻边/斜边 = cosA对边/斜边 = sinA对边/邻边 = ___一些特殊角的三角函数值根据三角函数表，可以得到30°、45°和60°角的正弦、余弦和正切值。
各锐角三角函数之间的关系1) 互余关系：sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A)；2) 平方关系：sinA+cosA=1；3) 倒数关系：___(90°—A)=1；4) 商的关系：___。
锐角三角函数的增减性当角度在0°~90°之间变化时，正弦值随着角度的增大而增大，余弦值随着角度的增大而减小，正切值随着角度的增大而增大。
解直角三角形解直角三角形就是根据已知元素求解未知元素的过程。
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c。
1) 三边之间的关系：a²+b²=c²（勾股定理）；2) 锐角之间的关系：tanA=b/a，tanB=a/b；3) 边角之间的关系：sinA=b/c，cosA=a/c，tanA=b/a；4) 面积公式：s=1/2ab=1/2ch（hc为c边上的高）。
解直角三角形应用将实际问题转化为直角三角形，利用锐角三角函数、代数和几何知识综合求解。
另外，仰角、俯角和坡面知识也是解题的重要点。
1) 仰角是视线在水平线上方的角，俯角是视线在水平线下方的角；2) 坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或坡比），用字母i表示，即i=h/l；3) 坡面与水平面的夹角叫做坡度角（或坡角）。
解直角三角形的类型与解法根据已知元素的不同，直角三角形可以分为三种类型：已知两边，已知一边和一锐角，已知两锐角。
对于不同类型的直角三角形，需要采用不同的解法来求解未知元素。
直角三角形的边角关系
直角三角形的边角关系直角三角形是一种特殊的三角形，其中一条边与另外两条边直角相交。
在直角三角形中，边角关系非常重要，它们描述了三角形的性质和特点。
本文将详细介绍直角三角形中的边角关系。
首先，我们来讨论直角三角形中的两个锐角，也就是除了直角以外的两个角。
这两个锐角的和等于90度，因为三角形中所有角的和为180度。
所以我们可以得到一个重要的关系式：锐角1 + 锐角2 = 90度。
此外，直角三角形中的两条直角边（非斜边）之间也存在一些特殊的关系。
这两条直角边分别称为直角边1和直角边2。
根据勾股定理，直角三角形的斜边的长度等于两条直角边长度的平方和的平方根。
换句话说，斜边的长度等于直角边1的长度的平方加上直角边2的长度的平方的平方根。
这个关系式可以表示为：斜边的长度 = sqrt(直角边1的长度^2 + 直角边2的长度^2)。
除了以上提到的关系外，直角三角形中的边角关系还包括边长比和三角函数。
由于直角三角形中的一个角是90度，所以可以使用三角函数（正弦、余弦、正切）来描述角与边的关系。
在直角三角形中，角A、B、C分别对应三条边a、b、c。
根据三角函数，我们可以得到以下边角关系：1. 正弦定理：sin(A) = a / c，sin(B) = b / c，sin(C) =a / b；2. 余弦定理：cos(A) = b / c，cos(B) = a / c，cos(C) =b / a；3. 正切定理：tan(A) = a / b，tan(B) = b / a，tan(C) =a / b。
除了边角关系外，直角三角形中还有一些重要的性质。
例如，直角三角形中的任意两条边（包括斜边和直角边）的比值都是有理数，即可以表示为两个整数的比。
这是由于直角三角形中的边长之间存在一些整数关系，例如3-4-5三角形、6-8-10三角形等。
综上所述，直角三角形的边角关系包括锐角的和为90度、直角边之间的关系、边长比和三角函数。
这些关系不仅可以帮助我们计算直角三角形的边长和角度，还可以应用于日常生活和实际问题中。
数学教师手册_直角三角形的边角关系
三角壹﹑教学目标与节数贰﹑教材地位分析参﹑教学摘要本章由锐角的正弦﹑余弦﹑正切函数开始介绍﹐进而了解正弦﹑余弦﹑正切函数之间的基本关系﹐并逐步引入广义角三角函数的概念。
其次﹐再由三角形的边角关系导出正弦定理与余弦定理及海龙公式。
接着介绍差角公式与和角公式﹐并引进倍角及半角公式。
最后介绍基本的三角测量。
本章共分五节﹐内容重点如下：1-1直角三角形的边角关系1. 直角三角形边的比例：固定θ之直角三角形﹐不论大小﹐其任两边长的比值恒为定值﹐依此定义正弦﹑余弦及正切；介绍30°﹐45°﹐60°之正弦﹑余弦﹑正切值及一些简单求值问题。
2. sin θ﹐cos θ﹐tan θ的性质：根据正弦﹑余弦及正切函数之定义﹐引出商数关系﹑平方关系﹑余角关系﹐利用这些关系式﹐能处理求值问题及证明简单三角恒等式。
3. 锐角的三角函数：透过特殊角函数值及四分之一单位圆的图形﹐能了解θ为锐角时﹐当θ增加﹐正弦值变大﹐余弦值变小﹐正切值变大之事实；并建立当θ确定时﹐正弦﹑余弦及正切唯一确定之函数关系。
1-2广义角与极坐标1. 广义角：介绍广义角之定义﹐再介绍标准位置角及同界角之定义。
2. 广义角的三角函数：在标准位置角之终边上取一点﹐利用该点坐标及其至原点的距离来定义广义角的三角函数；并能判断正弦﹑余弦及正切函数在不同象限之正负情形并求值。
3. 广义角三角函数的性质：根据正弦﹑余弦及正切函数之广义角定义﹐可得商数关系及平方关系；接着再利用负角关系﹑补角关系﹑余角关系及同界角关系﹐得将任意角度以参考角来表示的公式。
4. 极坐标：介绍极坐目标表示法﹐并能将极坐标所表示的点与直角坐目标点互相转换。
5. 弧度：藉由观察弧長半徑的大小与圆心角的大小成正比，且这个比值与单位无关，也与圆形的大小无关，因此我们可以利用此值来衡量角度的大小，此即弧度的概念；其次让学生了解角度有弧度量与度度量两种表示方式，并能熟练单位换算。
北师大版九年级数学《直角三角形边角关系》 回顾与思考(1)教案
北师大版九年级下册第一章直角三角形的边角关系《回顾与思考（第1课时）》教学设计一、学生知识状况分析学生的认知水平：学生在本章以前的学习中，已经掌握了直角三角形三边之间的关系（勾股定理），三角之间的关系（两锐角之和为900），以及有30°角的特殊直角三角形的边角关系，即；直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半.而通过本章的学习，学生已更深入的学到了直角三角形的边角关系，基本掌握了特殊角（30°，45°，60°）的三角函数值，并能用三角函数将直角三角形的边与角联系起来，解直角三角形.还会应用三角函数知识解决生活中的实际问题.学生活动感知基础：，学生已经经历了对特殊角三角函数值的探究及总结过程，利用计算器进行任意锐角的度数与其对应的三角函数值的互换的操作，也能把简单的实际问题转化为数学问题.因此，学生能熟练使用计算器，具备了一定的探究能力，解决实际问题的能力也有了一定的提升.二、教学目标本节课是本章的复习课，主要是让学生熟练掌握本章各知识点并能解决实际问题，同时逐步渗透“转化思想、数形结合思想、方程思想、从特殊到一般的思想、数学的建模思想.”加深学生对本章知识的理解，提升学生应用本章知识的能力.知识与技能：1．以问题的形式梳理本章的内容，通过实例进一步掌握锐角三角函数的定义，并能熟练掌握特殊角的三角函数值.使学生进一步会运用三角函数知识解直角三角形，并能解决与直角三角形有关的实际问题.2．提升学生操作计算器解决实际问题的能力.过程与方法：在练习过程中，使学生进一步体会数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题.情感与态度：通过本节课的学习，让学生在熟练掌握知识的基础上提升他们解决实际问题能力，培养学生学习数学的兴趣.重点：能综合运用直角三角形的边角关系解决实际问题.提高知识的理解水平和综合能力.突出策略：通过例题讲解和练习的分析与知识归纳，加深学生对本章知识的理解. 难点；能根据实际问题设计活动方案.及时地把有关知识上升为数学经验，形成个性化的学习技能.突破策略：通过例题及练习的思考与分析提升学生的能力.本章主要数学思想方法：数形结合思想：此部分内容经常用到数形结合思想，对于每一个题都可结合图形分析，会更清楚简捷.数与形相结合，是问题清晰，思路简捷有条理，是几何知识中最常用的思想方法之一，也是最应该坚持实施的方法.从特殊到一般的思想；锐角三角函数中包含了特殊角的三角函数值，对于三角函数之间的关系和转化，都可从特殊角开始.转化思想：把直角三角形的线段比，转化为三角函数值.数学的建模思想：解直角三角形的实际应用，即将实际问题“数学化”，构建直角三角形 来解决问题.教学方法：启发式、合作交流式.教学手段：多媒体课件、三、教学过程分析本节课教学环节：知识归纳+练习巩固1——知识归纳+练习巩固2——知识归纳+练习巩固3——归纳与总结.知识归纳+巩固练习1设计内容：总结归纳直角三角形的边、角、边与角的关系，以及本章基础知识点.1、直角三角形三边的关系: 勾股定理 a 2+b 2=c 2.2、直角三角形两锐角的关系:两锐角互余 ∠A +∠B =90°.3、直角三角形边与角之间的关系:锐角三角函数,sin c a A =∠正弦,cos cb A =∠余弦.tan b a A =∠正切 ,sinc b B =∠正弦,cos c a B =∠余弦.tan a b B =∠正切 4、互余两角之间的三角函数关系:当∠A +∠B =90°.sin ∠A =cos ∠B ，cos ∠A =sin ∠B ，tan ∠A × tan ∠B =15、同角之间的三角函数关系: sin 2A+cos 2A=1，.cos sin tan A A A = 巩固练习： 练习1.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，下列等式中成立的是（ ）b a A A =sin .c a B B =cos . c b B C =tan . a b A D =tan .练习2.在正方形网格中，△ABC 的三个顶点均在网格的格点上。
特殊角
7 便是欣赏P11
例2 如图:一个小孩荡秋千,秋千链子的 长度为2.5m,当秋千向两边摆动时,摆角 恰好为600,且两边摆动的角度相同,求它 摆至最高位置时与其摆至最低位置时的 高度之差(结果精确到0.01m).
1 咋办 ∠AOD 60 0 30 0 , 2 0 OC
解:如图,根据题意可知,
真知在实践中诞生
驶向胜 利的彼 岸
?
OD=2.5m, cos 30
老师提示 :将实际问 题数学化.
O
●
3 OC OD cos30 2.5 2.165(m). 2 B ┌C D ∴AC=2.5-2.165≈0.34(m). A ∴最高位置与最低位置的高度差约为
做一做P11 4
驶向胜利 的彼岸
特殊角的三角函数值表
锐角α
三角函数
300
450
600
正弦sinα 余弦cosα 正切tanα
这张表还可以看出许 多知识之间的内在联系
5 例题欣赏P11
行家看“门道”
驶向胜利 的彼岸
例1 计算: (1)sin300+cos450;(2) sin2600+cos2600-tan450. 解: (1)sin300+cos450 老师提示: 1 2 1 2 . Sin2600表示 2 2 2 0 2 怎样 (2) sin2600+cos2600-tan450 (sin60 ) ,
450
300
450
┌
600
┌
请与同伴交流你是怎么想的?又是怎 么做的?
《直角三角形边角关系》知识点
《直角三角形边角关系》知识点 姓名____________一、锐角三角函数的概念1、如图，在△ABC 中，∠C=90°①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记为sinA ，即ca sin =∠=斜边的对边A A ②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记为cosA ，即cb cos =∠=斜边的邻边A A ③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记为tanA ，即b a tan =∠∠=的邻边的对边A A A 2、锐角三角函数的概念： 锐角A 的正弦、余弦、正切 都叫做∠A 的锐角三角函数3、一些特殊角的三角函数值三角函数 30° 45° 60°si nα21 22 23 cos α23 22 21 tan α33 1 3 4、各锐角三角函数之间的关系 (以下 ∠A+∠B=90°)（1）互余关系: sinA = cosB ， cosA = sinB（2）平方关系: 1cos sin 22=+A A（3）倒数关系 tanA •tanB=1（4）弦切关系: tanA=AA cos sin 5、锐角三角函数的增减性: 当角度在0°~90°之间变化时，（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）∠A 的对边二、解直角三角形1、解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。
2、解直角三角形的理论依据在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c（1）三边之间的关系：222c b a =+（勾股定理）（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°（3）边角之间的关系： ,tan ,cos ,.sin ,tan ,cos ,sin ab Bc a B c b B b a A c b A c a A ====== 三．解直角三角形的应用，解直角三角形的应用，主要是测量两点间的距离，测量物体的高度等，常用到下面几个概念：(1)仰角、俯角视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角(2)坡度=坡面的铅直高度h 与水平宽度l 的比叫做坡度，常用字母i 表示，即lh i = (3)坡角:坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母α表示，则tan α＝l h四、直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余；可表示如下：∠C=90°⇒∠A+∠B=90°2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
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《直角三角形的边角关系》限时训练（二）
一、知识要点 1、三角函数定义：sinA= cosA= tanA= cotA= 2、特殊角的三角函数值：30°：sin 30°= ， cos 30°= ，tan 30°= ，cot 30°=
45°：sin 45°= ， cos 45°= ，tan 45°= ，cot 45°=
60°：sin 60°= ， cos 60°= ，tan 60°= ，cot 60°=
3、三角函数公式： ① sin(90°－A)=cosA ； cos(90°－A)=sinA ；
tan(90°－A)=cotA ； cot(90°－A)=tanA
② =+A A 22cos sin ；=∙A A cot tan ； 4、在直角三角形中，除直角外，一共有5个因素，即3条边和2个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素（两边或者一边一锐角），求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形
二、巩固练习
1、在Rt △ABC 中，∠C =90°，a ＝1，c ＝4,则sinA 的值是___。
2、已知∠A+∠B=90°,且cosA =1/5，则cosB 的值为____。
3、已知α为锐角，tan （90°－α）
α的度数为___。
4、在△ABC 中，∠C =90°，BC =5，AB =13，则sin A 的值是 _ _。
5、等腰三角形底边长为10㎝，周长为36cm ，那么底角的余弦等于
______ 6、如右图，沿倾斜角为30︒的山坡植树，要求相邻两棵树的水平距离AC 为
2m ，那么相邻两棵树的斜坡距离AB 为 m 。
(精确到0.1m)
7、菱形ABCD 的对角线AC=10，BD=6，则 tan （A/2）= _____
8、离旗杆20米处的地方用测角仪测得旗杆顶的仰角为α， 如果测角仪高为1.5米．那么旗杆的
高是_________
米（用含α的三角函数表示）．
9、校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米。
一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞__________米。
10、（1）︒+︒+︒45tan 30tan 330sin 2； （2）︒⋅︒+︒30cos 60tan 45cos 2。
(3) 6tan 2 30°－3sin 60°＋2tan45°（4）︒∙︒+︒∙+︒∙︒60tan 60sin 45cos 245tan 30sin
11、下图为住宅区内的两幢楼，它们的高m CD AB 30==，现需了解 甲楼对乙楼的采光的影响情况。
当太阳光与水平线的夹角为30（1）若两楼间的距离m AC 24=时，甲楼的影子，落在乙楼上有多高？ （2）若甲楼的影子，刚好不影响乙楼，那么两楼的距离应当有多远？
斜边
的对边
A ∠A
A
A cos sin tan =。