高斯公式与斯托克斯公式——习题
Gauss,Stokes公式练习及内容总结
x , 2 2 x +y y , 2 2 x +y
D
∑
向量点积法
−x −y 2 I = ∫∫ { y, − x, z } ⋅ , ,1dxdy x2 + y 2 x2 + y 2 ∑
= ∫∫ z dxdy
2 ∑
= − ∫∫ ( x + y )dxdy [ Dxy : 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 ]
O
x 2 + y 2 + z 2 = 4 所围立体的表面 外侧. 外侧.
如何直接计算 被积函数中有抽象函数, 被积函数中有抽象函数, 故无法直接计算. 高斯公式. 故无法直接计算. 用高斯公式.
分析
x
高斯(Gauss)公式 公式 高斯
解
1 y 3 y 3 f + y , R= f +z , y z z ∂P 1 y 1 y 2 ∂Q 2 ∂R ′ + 3 y , = 3x , = − 2 f ′ + 3 z 2 = 2 f z ∂z ∂y z ∂x z z 故由高斯公式 故由高斯公式
∂u ∂v ∂u ∂v ∂u ∂v = ∫∫∫ u∆vdxdydz + ∫∫∫ + + dxdydz ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z Ω Ω 移项后,即证. 移项后,即证.
高斯(Gauss)公式 公式 高斯
计算曲面积分
1987年研究生考题,计算(10分 1987年研究生考题,计算(10分) 年研究生考题 (10
∂2 ∂2 ∂2 称为拉普拉斯 拉普拉斯( )算子. ∆ = 2 + 2 + 2 ,称为拉普拉斯(Laplace)算子. ∂x ∂y ∂z
高斯公式和斯托克斯公式_681302766
,
a2 − x2 − y2
x
zy =
−y a2 − x2 − y2
∫∫ I = [ a2 − x2 − y2 ⋅
−x
Dxy
a2 − x2 − y2
+ 2 a2 − x2 − y2 ⋅
−y
− y]dxdy
2009-4-3
a2 − x2 − y2
25
z
I = − ∫∫ ( x + 3 y)dxdy
D xy
dz
−
∂Z ∂x
dz^
dx
假设：S : z = z( x, y)二阶偏导连续 , 上侧
S的单位法向量 nv =
1+
1
z
2 x
+
z
2 y
(
−
z
' x
,
−
z
' y
,1)T
= (cos α , cos β , cos γ )T
∂S在 xoy 平面上的投影为 L∗ , L∗所围区域是 D xy
2009-4-3
2009-4-3
3
[证] 先证明第三项
∫∫
S外
Zdx^
dy
=
∫∫∫ Ω
∂Z ∂z
dV
z nv S2 : z = z2(x, y)
•
假设Ω如图所示
nv
∫∫∫ ∫∫ ∫ ∂Z dV= dxdy ∂Z z2 ( x, y) dz
Ω ∂z
D xy
∂z z1 ( x , y ) o
S3
nvS1 : z• = z1(x, y) y
验证斯托克斯公式的正 确性
∫L zdx + xdy + ydz
大学高等数学对坐标曲面积分高斯公式斯托克斯公式习题课
dS n dS (dydz, dzdx, dxdy)
向量形式 A d S A n d S
An A n ( A 在 n 上的投影)
An dS
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例4. 位于原点电量为 q 的点电荷产生的电场为
R(i ,i , i )(Si )xy
曲面的方向用法向量的方向余弦刻画
n
lim
0
i 1
P(i ,i
,
i
) cosi
Q(i,i , i) cosiR(i ,i , i ) cos i Si
Pcos Qcos Rcos d S
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Pdydz Qdzdx Rdxdy Pcos Qcos Rcos d S
z
体的整个表面的外侧
. 解: 利用对称性.
y
原式 3 (z x) d x d y
x
的顶部
1 : z
a 2
(
x
a 2
,
y
a 2
)
取上侧
的底部
2 : z
a 2
(
x
a 2
,
y
a 2
)
取下侧
3 3
1 Dx
(
y
z (
a 2
x) d x)
x d
d x
y d
y
2 (z
Dx y
x) ( a
2
性质: P d y d z Q d z d x R d x d y P d y d z Q d z d x R d x d y
联系: P d y d z Q d z d x R d xdy P cos Q cos R cos dS
8-习题课斯托克斯公式
一、主要内容 二、典型例题
一、主要内容
（一）曲线积分与曲面积分 （二）各种积分之间的联系 （三）场论初步
（一）曲线积分与曲面积分 对弧长的 曲线积分
对面积的 曲面积分 联 计 系 算 对坐标的 曲面积分
曲 线 积 分
联 计 系 算
对坐标的 曲线积分
曲 面 积 分
曲线积分
二、典型例题
例 1 计算 I
L
( x 2 2 xy )dx ( x 2 y 4 )dy ,
其中 L 为由点O ( 0,0) 到点 A(1,1) 的曲线 y sin x . 2
思路:
I
( x, y) ( x0 , y0 )
I Pdx Qdy
L
P Q P Q D y x y x 非闭 补充曲线或用公式 I Pdx Qdy 0 L 闭合
如图曲顶柱体，
z
z f ( x, y)
S (1 1 f x2 f y2 )d
D
f ( x , y )ds
L
o
x
DБайду номын сангаас
L
y
例 3
求柱面 x y 1在球面 x y z 1内
2 2 2
2 3
2 3
的侧面积.
解
由对称性
L
S 8 zds 1 x 2 y 2 ds
2
24
3 3 . 24 3 sin t cos tdt 0 2
2 2
例４
计算
I [ f ( x , y , z ) x ]dydz [2 f ( x , y , z ) y ]dzdx [ f ( x , y , z ) z ]dxdy, 其中 f ( x , y , z ) 为连续函数, 为平面 x y z 1在第一卦限部分的上侧．
大学高等数学_18对坐标曲面积分_高斯公式_斯托克斯公式_习题课教学提纲
曲面分上侧和 下侧
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• 指定了侧的曲面叫有向曲面, 其方向用法向量指向
表示 :
方向余弦 cos
cos
cos 封闭曲面
侧的规定 > 0 为前侧 > 0 为右侧 > 0 为上侧 外侧 < 0 为后侧 < 0 为左侧 < 0 为下侧 内侧
• 设 为有向曲面, 其面元 S 在 xoy 面上的投影记为
3. 性质
(1) 若
之间无公共内点, 则
A d S
i A d S
(2) 用ˉ 表示 的反向曲面, 则
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三、对坐标的曲面积分的计算法
定理: 设光滑曲面 是 上的连续函数, 则
取上侧,
R(x,
y,
z)d
xd
y
D xy
R(x,
n
y,
z(x,
y))
d
xd
y
证:
R(x,
3a d x d y Dx y
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例2. 计算曲面积分 xyz d x d y, 其中 为球面 x2
y2 z2 1 外侧在第一和第八卦限部分.
思考: 下述解法是否正确:
z 2
根据对称性 xyz d x d y 0
解: 把 分为上下两部分
x
o
Dx y 1 1
•若
则有
P(x,
y, z)d
ydz
Dyz
P(x(y, z)
,
y, z) d y d z
(前正后负)
•若
则有
Q(x, y, z) d z d x Dzx Q (x, y(z, x), z )d z d x (右正左负)
22-3高斯公式与斯托克斯公式
七 斯托克斯公式
定理 设 为分段光滑的空间有向闭曲线, 是以 为边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与 的侧符合右手规则, 函数P( x, y, z),Q( x, y, z), R( x, y, z)在包含曲面 在内的一个空间区域内具
有一阶连续偏导数, 则有公式
(R y
Q z
)dydz
(
P z
R x
1
Dxy
R( x, y, z)dxdy R[x, y, z2( x, y)]dxdy,
2
Dxy
R( x, y, z)dxdy 0.
3
于是 R( x, y, z)dxdy
{R[ x, y, z2( x, y)] R[ x, y, z1( x, y)]}dxdy,
Dxy
R z
dv
R(
四 通量与散度
1) 通量的定义: 设有向量场
A( x, y, z) P( x, y, z)i Q( x, y, z) j R( x, y, z)k
沿场中某一有向曲面Σ的第二类曲面积分为
A
dS
A
n 0 dS
Pdydz Qdzdx Rdxdy
称为向量场 A( x, y, z)向正侧穿过曲面Σ的通量.
一 问题的提出
格林公式表达了平面区域上二重积 分与其边界曲线上的曲线积分之间的 关系。而在空间上，也有同样类似的 结论，这就是高斯公式，它表达了空 间区域上三重积分与区域边界曲面上 曲面积分之间的关系。
二 高斯公式
设空间闭区域 由分片光滑的闭曲面Σ围成, 函
数 P( x, y, z)、Q( x, y, z)、R( x, y, z)在 上具有
2. 是封闭曲面； 3. P,Q, R在上具有一阶连续偏导数.
高等数学高斯公式和斯托克斯公式
(3) 轮换对称性适用于:二重积分,三重积分,两类曲线 积分,两类曲面积分.
高斯 目录 上页 下页 返回 结束
内容小结
1. 高斯公式及其应用
公式: P d y d z Q d z d x R d x d y
P x
Q y
R z
d xd
ydz
应用: (1) 计算曲面积分
a2
取前侧
o 1
故由Gauss公式得
z
x 0
I 0
0
0 Dyz2(1 e2a )dydz
2 a2
e2a 1
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例4. 求 I y ln x2 y2 z2 d y d z
x ln x2 y2 z2 d z d x z d x d y
其中 为
(Gauss 公式)
注：①Gauss公式表达了空间闭域上的三重积分与其 边界曲面上的曲面积分之间的关系.
②Green公式，Gauss公式均反映了区域“内部” 与其“边界”上的积分关系.
高斯 目录 上页 下页 返回 结束
例1. 用Gauss 公式求
其中 为边长为1 的正方体表面，取外侧.
解: 这里 P x2 yz, Q y2 zx, R z2 xy
高斯 目录 上页 下页 返回 结束
三、对称性在积分学中的应用
1、奇偶对称性 (1) 二重积分中若积分区域关于y轴对称,而被积函数
关于x是奇函数,则积分结果为0. 三重积分中若积分区域关于xoy面对称,而被积函
数关于z是奇函数,则积分结果为0. (2) 奇偶对称性适用于:定积分,二重积分,三重积分,
(2) 假设空间闭域 具有轮换对称性,则在 上的积分 关于被积表达式轮换相等.
曲面积分-习题课2共35页文档
解 设(X,Y,Z)为上任意,一 则点 得 出的方程为
xX yYzZ1 22 由点O到平面的距离公式,得
(x, y,z)
1 x2 y2 z2 44
设 S为椭球 x2面 y2z21的上半部 22
由z 1 x2 y2
22
一、教学要求
1. 了解两类曲面积分的概念及高斯 Gauss) 斯托克斯(Stokes)公式, 并会 、 计算两类曲面积分.
2.了解散度、旋度的概念及其计算 方法.
3. 会用曲面积分求一些几何量与物 理量.
理论上的联系
1.定积分与不定积分的联系
b
a f ( x ) d F x ( b ) F ( a )( F ( x ) f ( x ))
牛顿--莱布尼茨公式
2.二重积分与曲线积分的联系
D( Q x P y)dx d L Py dQ xd (沿 y L 的)正向
格林公式
3.三重积分与曲面积分的联系
( P x Q y R z)d v P d Q yd d R zzd dx xd
高斯公式
4.曲面积分与曲线积分的联系
z
x
,
x
x2 y2
2 1
22
得
z
y
y 2 1 x2 y2
22
dS 1x z2 yz2dxdy 4 x2 y2 dxdy 2 1 x2 y2 22
所以
dS 4x2 y2 dxdy
z dS
S (x, y,z)
1 (4x2y2)dxdy
4 Dxy
2 1 x2 y2
22
(x, y,z)
(1 ) 若P,Q,R在闭曲面 所围成的空间 中域
高等数学9-6高斯公式与斯托克斯公式
2 答案： a 5 . 5
试题链接：
(2012) 计算曲面积分 I 2 x 3 xy 2 dydz 2 y 3 yz 2 dzdx 2 z 3 zx 2 dxdy，
其中 为z a 2 x 2 y 2 (a 0) 的上侧（答案： . 2 a 5 .）
0 Dz
1 4 h . 2
1 : z h, 上侧 cos cos 0, cos 1
2 2 2 2 ( x cos y cos z cos )d S z dS 1 1
h2 d xdy h4 .
Dxy
故所求积分为
1. P , Q , R 是对什么变量求偏导数;
2.是否满足高斯公式的条件;
3.Σ 是取闭曲面的外侧.
Guass公式应用之一:简化曲面积分计算
课 例1 计算曲面积分 ( x y )dxdy ( y z ) xdydz 本 其中 Σ 为柱面 x 2 y 2 1 及平面 z 0, z 3 例 2 所围成的空间闭区域 的整个边界曲面的外侧. 解 P ( y z ) x, Q 0, R x y,
二、高斯公式物理意义--通量与散度
1. 通量的定义: 有向量场
A( x , y, z ) P ( x , y, z )i Q( x , y, z ) j R( x , y, z )k
A d S A n 0dS
沿场中某一有向曲面Σ 的第二类曲面积分
32 其中：z x 2 y 2 位于平面z 2下方的部分的下侧.（答案： ） 3 (2007) 计算曲面积分 xz 2 dydz x 2 y z 2 dzdx 2 xy y 2 z dxdy，
高斯公式和斯托克斯公式
S
V
P x
Q y
R z
d
xd
ydz
首页 ×
2. 斯托克斯公式
L P d x Q d y Rd z
d ydz dzdx dxd y
x
y
z
SP
Q
R
cos
x
SP
cos
y
Q
cos
z
dS
R
首页 ×
例 计算 x d S 其中 S 为球面在第一卦限部分
首页 ×
例3 验证曲线积分 ( y z) d x (z x) d y (x y)dz
与路径无关, 并求函数
u(x,
y,
z)
(x,y,z) (0,0,0)
(y
z)d
x
(z
x) d
y
(x
y) d
z
解令 P yz, Qzx, Rxy
P 1 Q , y x
1
dxd y
z
z
首页 ×
d ydz dzdx dxd y
x
y
z
S x2 y3
1
z
(0 0)d y d z (0 0)d z d x (0 3x2 y2 )d x d y
S
3x2 y2 d x d y 0
S
首页 ×
例 为柱面 轴正向看为顺时针, 计算
P x
Q y
R z
d
xd
ydz
P d y d z Q d z d x R d xdy
高斯公式与斯托克斯公式
P d y d z Q d z d x Rdx d y
(Gauss 公式)
下面先证: R R d x d y d x d y d z z
©
证明: 设
为XY型区域 , 1 2 3 , 1 : z z1 ( x, y ) ,
三式相加, 即得斯托克斯公式 ;
©
情形2 曲面 与平行 z 轴的直线交点多于一个, 则可
通过作辅助线面把 分成与z 轴只交于一点的几部分, 在每一部分上应用斯托克斯公式, 然后相加,由于沿辅助
曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消, 所以对这
类曲面斯托克斯公式仍成立. 证毕
注意: 如果 是 xoy 面上的一块平面区域,则斯托克斯
设 为场中任一有向曲面, 则由对坐标的曲面积分的物 理意义可知, 单位时间通过曲面 的流量为
P d y d z Q d z d x Rdx d y
由两类曲面积分的关系, 流量还可表示为
P cos Q cos R cos d S
v n d S
©
若 为方向向外的闭曲面, 则单位时间通过 的流量为
P d y d z Q d z d x Rdx d y
n n
当 > 0 时, 说明流入 的流体质量少于
流出的, 表明 内有泉; 当 < 0 时, 说明流入 的流体质量多于流出的, 表明
内有洞 ;
当 = 0 时, 说明流入与流出 的流体质量相等 .
根据高斯公式, 流量也可表为
③
©
为了揭示场内任意点M 处的特性, 设 是包含点 M 且
曲面积分习题课
′x 2 + z ′y 2 dxdy = 1 + ( 2 x ) 2 + ( 2 y ) 2 dxdy dS = 1 + z 原式 = ∫∫ | xyz | dS = 4 ∫∫ xyz dS
= 4 ∫∫ xy ( x 2 + y 2 ) 1 + ( 2 x )2 + ( 2 y )2 dxdy
[ r 2 sin θ cos θ + r 2 (cos θ + sin θ )]rdr
=4
2 π 2a 4 2π (sin θ − 2
∫
cos 5 θ + cos 5 θ + sin θ cos 4 θ )dθ
y
64 = 2a 4 15
o
2a
x
或 ∫ ∫ ( xy + yz + zx )dS = 2 ∫ ∫ [ xy + ( x + y ) x 2 + y 2 ]dxdy
1. 若曲面Σ :
则
z = z( x, y)
′x 2 + z′y 2 dxdy; 1+ z
∫∫ f ( x , y , z )dS Σ = ∫∫ f [ x , y , z ( x , y )]
D xy
2. 若曲面 Σ： y = y( x, z)
则
∫∫
Σ
′ 2 + y′ 2dxdz f ( x , y , z )dS = ∫∫ f [ x, y( x, z),z] 1 + yx z
∫∫ Pdydz+Qdzdx+ Rdxdy = ∫∫(Pcosα+Qcosβ+ Rcosγ)dS
Σ Σ
第六章--习题课(曲面积分)
dzdx dxdy
=
cos dS
cosγdS
=
zy 1
dzdx
=
z y dxdy.
所以 dydz = zxdxdy, dzdx = z ydxdy
因此有 Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = (Pcosα + Qcosβ + Rcosγ)dS
Σ
Σ
= zx P zyQ + Rdxdy.
(y z) Dyz{(y z)| 0 y1 0 z 3} 故
o 1y
x1
xdyz
1
y2dydz
31
0 dz 0
1 y2dy
D yz
1
30
1 y2dy
= 3 π. 4
可表示为： y 1 x2
z
(z x)Dzx{(z x)|0z3 0x1} 故
2
ydzdx 1 x2dzdx
用重心公式
利用对称性
(曲面关于xoz面对称）
2(x z) d S 0
逐个投影法计算二型面积分
例 7 zdxdy xdydz ydzdx 其中∑是柱面 x2y21 被平面
z0 及 z3 所截得的第一卦限内的部分的前侧.
z
解 在xOy面的投影为零 故 zdxdy 0
3
： x 1 y2
Dyz
2. 利用对称性计算一型面积分
设f x, y,z在闭区域D上连续,I = f(x, y,z)dS
1）若曲面∑关于yoz面对称,∑1 是∑∑的x ≥ 0 的部分, 则
(1)当f x, y,z = f x, y,z时, I 0.
(2)当f x, y,z = f x, y,z时, I = 2 f x, ydσ. 1
大学高等数学_18对坐标曲面积分_高斯公式_斯托克斯公式_习题课
•若
则有
P(x,
y,
z)d
ydz
Dyz
P(x( y,
z)
,
y, z) d y d z
(前正后负)
•若
则有
Q(x, y, z) d z d x Dzx Q (x, y(z, x), z )d z d x (右正左负)
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例1. 计算 (x y) d y d z ( y z) d z d x (z x) d x d y
(z2 x) cos dS
(z2
x)
cos cos
d
xd
y
cos cos
oy x x 1 x2 y2 1 1 x2 y2
∴ 原式 = ( z2 x)(x) z d x d y
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将
z
1 2
曲面分上侧和 下侧
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• 指定了侧的曲面叫有向曲面, 其方向用法向量指向
表示 :
方向余弦 cos
cos
cos 封闭曲面
侧的规定 > 0 为前侧 > 0 为右侧 > 0 为上侧 外侧 < 0 为后侧 < 0 为左侧 < 0 为下侧 内侧
• 设 为有向曲面, 其面元 S 在 xoy 面上的投影记为
i z(i , i )
n
lim
0
i 1
R(i ,i ,
) ( i )xy
Dxy R(x, y, z(x,y)) d x d y
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第二十二章 曲面积分§3 高斯公式与斯托克斯公式授课章节：ch22---§3-高斯公式与斯托克斯公式（P290--297） 教学目的：1）掌握高斯公式与斯托克斯公式的应用 教学重点：定理22.3, 定理22.4 教学难点：定理22.3,定理22.4 教学方法：讲练结合． 教学程序：1．引导2．定理22.3,定理22.4 3．例题及部分习题练习4．作业．P295习题1(1、3),2,3(2),4(1),5(1)。
一 高斯公式格林公式建立了沿封闭曲线的曲线积分与二重积分的关系，沿空间闭曲面的曲面积分和三重积分之间也有类似的关系，这就是本段所要讨论的高斯（Gauss ）公式。
定理22.3 设空间区域V 由分片光滑的双侧封闭曲面S 围成。
若函数P ， Q ，R 在V 上连续，且有一阶连续偏导数，则⎰⎰⎰⎰⎰++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂SV RdxdyQdzdx Pdydz dxdydzz R y Q x P ， （1）其中S 取外侧。
（1）式称为高斯公式。
证 下面只证.⎰⎰⎰⎰⎰=∂∂SV Rdxdy dxdydz z R读者可类似地证明.,⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=∂∂=∂∂SV S V Qdzdx dxdydz y QPdydz dxdydz x P这些结果相加便得到了高斯公式（1）。
先设V 是一个xy 型区域，即其边界曲面S 由曲面 ①若S 为封闭曲面，则曲面积分的积分号用⎰⎰表示。
()()()()xyxy D y x y x z z S D y x y x z z S ∈=∈=,,,:,,,,:1122及以垂直于xy D 的边界的柱面3S 组成（图22－6），其中()()y x z y x z ,,21≤。
于是按三重积分的计算方法有()()()()()()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,1212211212,,⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+=-=-=-=∂∂=∂∂S S S S D D D y x z y x z D V dxdy z y x R dxdy z y x R dxdy z y x R dxdy z y x R dxdy y x z y x R dxdy y x z y x R dxdyy x z y x R y x z y x R dz z R dxdy dxdydz z Rxyxyxyxy其中21,S S 都取上侧。
数学分析22.3高斯公式与斯托克斯公式(含习题及参考答案)
第二十二章 曲面积分 3 高斯公式与斯托克斯公式一、高斯公式定理22.5：设空间区域V 由分片光滑的双侧封闭曲面S 围成. 若函数P , Q, R 在V 上连续，且有一阶连续偏导数，则有(高斯公式)dxdydz z R y Q x P V ⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=⎰⎰++S Rdxdy Qdzdx Pdydz , S 取外侧.证：设V 是xy 型区域, 即其边界曲面S 由曲面S 2:z=z 2(x,y),(x,y)∈D xy , S 1:z=z 1(x,y),(x,y)∈D xy 及以垂直于D xy 的边界柱面S 3组成,z 1(x,y)≤z 2(x,y). ∴⎰⎰⎰∂∂Vdxdydz z R=⎰⎰⎰∂∂xyD y x z y x z dz z R dxdy ),(),(21=⎰⎰-xy D dxdyy x z y x R y x z y x R ))),(,,()),(,,((12=⎰⎰xyD dxdy y x z y x R )),(,,(2-⎰⎰xyD dxdyy x z y x R )),(,,(1=⎰⎰2),,(S dxdy z y x R -⎰⎰1),,(S dxdy z y x R =⎰⎰2),,(S dxdy z y x R +⎰⎰-1),,(S dxdy z y x R .其中S 1,S 2取上侧，又⎰⎰3),,(S dxdy z y x R =0,∴⎰⎰⎰∂∂Vdxdydz z R=⎰⎰2S Rdxdy +⎰⎰-1S Rdxdy +⎰⎰3S Rdxdy =⎰⎰SRdxdy . 同理，⎰⎰⎰∂∂Vdxdydz x P=⎰⎰SPdydz ; ⎰⎰⎰∂∂V dxdydz y Q=⎰⎰SQdydz . ∴dxdydz z R y Q x P V⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=⎰⎰++SRdxdy Qdzdx Pdydz .注：对于不是xy 型区域的情形，可用有限个光滑曲面将其分割成若干个xy 型区域来讨论.例1：计算⎰⎰+++-Sdxdy xz y dzdx x dydz z x y )()(22，其中S 是边长为a 的正方体表面并取外侧. 解：x ∂∂y(x-z)=y, y ∂∂x 2=0, z∂∂(y 2+xz)=x, 应用高斯公式，该曲面积分为：dxdydz x y V⎰⎰⎰+)(=⎰⎰⎰+aaadz x y dy dx 0)(=a 4.注：若高斯公式中P=x, Q=y, R=z, 则有dxdydz V⎰⎰⎰++)111(=⎰⎰++Szdxdy ydzdx xdydz , 即有应用第二型曲面积分计算空间区域V 的体积公式：△V=⎰⎰++Szdxdy ydzdx xdydz 31.二、斯托克斯公式右手法则：设人站在曲面S 上指定的一侧，沿S 的边界曲线L 行走，指定的侧总在人的左方，则人前进的方向为边界线L 的正向；若沿L 行走，指定的侧总在人的右方，则人前进的方向为边界线的负向.定理22.6：设光滑曲面S 的边界L 是按段光滑的连续曲线. 若函数P ,Q,R 在S(连同L)上连续, 且有一阶连续偏导数，则有(斯托克斯公式)⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂S dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R =⎰++LRdz Qdy Pdx ， 其中S 的侧与L 的方向按右手法则确定.证：曲面S 由方程z=z(x,y)确定, 其正侧法线方向数为(-z x ,-z y ,1), 方向余弦为(cos α,cos β,cos γ), ∴xz ∂∂=-γαcos cos , y z ∂∂=-γβcos cos .若S 在xy 平面上投影区域为D xy , L 在xy 平面上的投影曲线记为Г. 由第二型曲线积分定义及格林公式有⎰Ldx z y x P ),,(=⎰Γdx y x z y x P )),(,,(=dxdy y x z y x P y xyD )),(,,(⎰⎰∂∂-. ∵dxdy y x z y x P y )),(,,(∂∂=y P ∂∂+yzz P ∂∂∂∂, ∴⎰L dx z y x P ),,(=dxdy y x z y x P y xy D )),(,,(⎰⎰∂∂-=dxdy y z z P y P S ⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂-=dxdy z P y P S⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂-γβcos cos =γβγcos cos cos dxdy z Py P S ⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-=dS z Py P S⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂-βγcos cos =⎰⎰∂∂-∂∂Sdxdy y P dzdx z P ; 同理，对于曲面S 表示为x=x(y,z)和y=y(z,x)时，分别可证得⎰LQdy =⎰⎰∂∂-∂∂Sdydz z Q dxdy x Q 和⎰L Rdz =⎰⎰∂∂-∂∂Sdzdx x Rdydz y R . ∴⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂Sdxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R =⎰++L Rdz Qdy Pdx .注：1、若曲面S 不能以z=z(x,y)的形式给出，则可用一些光滑曲线把S 分割为若干小块，使每一小块能用这种形式来表示.2、斯托克斯公式也写为：⎰⎰∂∂∂∂∂∂SRQ P z y x dxdydzdx dydz =⎰++L Rdz Qdy Pdx .例2：计算⎰-+-++L dz x y dy z x dx z y )()()2(, 其中L 为平面x+y+z=1与各坐标面的交线，取逆时针方向为正向.解：(2y+z)y =2, (2y+z)z =1, (x-z)z =-1, (x-z)x =1, (y-x)x =-1, (y-x)y =1,∴⎰-+-++L dz x y dy z x dx z y )()()2(=⎰⎰-+--+--Sdxdydzdx dydz )21()]1(1[)]1(1[=⎰⎰-+Sdxdy dzdx dydz 22=1+1-21=23.概念：若V 内任一封闭曲线皆可不经过V 以外的点而连续收缩于属于V 的一点，则称区域V 为单连通区域, 否则称为复连通区域. 如球体属于单连通区域，而环状区域属于复连通区域.定理22.7：设Ω∈R 3为空间单连通区域. 若函数P , Q, R 在Ω上连续，且有一阶连续偏导数，则以下四个条件是等价的：(1)对于Ω内任一按段光滑的封闭曲线L 有⎰++L Rdz Qdy Pdx =0. (2)对于Ω内任一按段光滑的封闭曲线L, 曲线积分⎰++L Rdz Qdy Pdx 与路线无关.(3)Pdx+Qdy+Rdz 是Ω内某一函数u 的全微分，即du=Pdx+Qdy+Rdz. (4)x Q y P ∂∂=∂∂, y R z Q ∂∂=∂∂, zPx R ∂∂=∂∂. 在Ω内处处成立.例3：验证曲线积分⎰+++++L dz y x dy x z dx z y )()()(与路线无关，并求被积表达式的原函数u(x,y,z). 解：P=y+z, Q=z+x, R=x+y, ∵x Q y P ∂∂=∂∂=y R z Q ∂∂=∂∂=zPx R ∂∂=∂∂=1, ∴曲线积分与路线无关.取空间折线M 0(x 0,y 0,z 0)→(x,y 0,z 0)→(x,y,z 0)→(x,y,z), 则u(x,y,z)=⎰+++++M M dzy x dy x z dx z y 0)()()(=⎰⎰⎰+++++zz x x y y dry x dt x z ds z y 0)()()(000=(y 0+z 0)(x-x 0)+(z 0+x)(y-y 0)+(x+y)(z-z 0)=xy+xz+yz+C. 其中C=-x 0y 0-x 0z 0-y 0z 0. 若取M 0为原点，则u(x,y,z)=xy+xz+yz.习题1、应用高斯公式计算下列曲面积分：(1)⎰⎰++Sxydxdy zxdzdx yzdydz ，其中S 为球面x 2+y 2+z 2=1的外侧；(2)⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 222，其中S 是立方体0≤x,y,z ≤a 表面的外侧；(3)⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 222，其中S 是锥面x 2+y 2=z 2与平面z=h 所围空间区域的表面，方向取外侧；(4)⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 333，其中S 为球面x 2+y 2+z 2=1的外侧；(5)⎰⎰++Szdxdy ydzdx xdydz ，其中S 为上半球面z=222y x a --的外侧.解：(1)⎰⎰++Sxydxdy zxdzdx yzdydz =⎰⎰⎰Vdxdydz 0=0.(2)⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 222=2⎰⎰⎰++Vdxdydzz y x )(=2⎰⎰⎰++aa a dz z y x dy dx 000)(=3a 4.(3)⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 222=2⎰⎰⎰++Vdxdydzz y x )(=2⎰⎰⎰++hr h rdz z r r dr d )sin cos (020θθθπ=24h π.(4)⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 333=3⎰⎰⎰++Vdxdydzz y x )(222=3⎰⎰⎰104200sin dr r d d ϕθϕππ=512π.(5)⎰⎰++Szdxdy ydzdx xdydz =3⎰⎰⎰Vdxdydz =2πa 3.2、应用高斯公式计算三重积分：dxdydz zx yz xy V⎰⎰⎰++)(, 其中V 是由x ≥0, y ≥0, 0≤z ≤1与x 2+y 2≤1所确定的空间区域. 解：dxdydz zx yz xy V⎰⎰⎰++)(=⎰⎰++Sxdxdy z zdzdx y ydydz x 22221=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰dxdy x zdzdx x ydydz y xyzx yz D D D )1()1(2122=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰-210101021010210)1()1(21x xdy dx zdx x dz ydz y dy =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+-⎰⎰⎰1021021021)1(21)1(21dx x x dx x ydy y =⎪⎭⎫ ⎝⎛++31314121=2411.3、应用斯托克斯公式计算下列曲线积分：(1)⎰+++++L dz y x dy z x dx x y )()()(222222，其中L 为x+y+z=1与三坐标面的交线，它的走向使所围平面区域上侧在曲线的左侧； (2)⎰++L dz dy dx y x 32，其中L 为y 2+z 2=1, x=y 所交的椭圆的正向； (3)⎰-+-+-L dz x y dy z x dx y z )()()(，其中S 是以A(a,0,0), B(0,a,0), C(0,0,a)为顶点的三角形沿ABCA 的方向. 解：(1)⎰+++++L dzy x dy z x dx x y )()()(222222 =2⎰⎰-+-+-Sdxdy y x dzdx x z dydz z y )()()(. 其中⎰⎰-Sdydz z y )(=⎰⎰--ydz z y dy 1010)(=⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛--10221232dy y y =0， 同理，⎰⎰-Sdzdx x z )(=⎰⎰-Sdxdy y x )(=0. ∴原积分=0.(2)⎰++L dz dy dx y x 32=⎰⎰-Sdxdy y x 223=⎰⎰-xyD dxdy y x 223=0. (注：D xy 的面积为0)(3)⎰-+-+-L dz x y dy z x dx y z )()()(=2⎰⎰++Sdxdy dzdx dydz =3a 2.4、求下列全微分的原函数：(1)yzdx+xzdy+xydz ；(2)(x 2-2yz)dx+(y 2-2xz)dy+(z 2-2xy)dz. 解：(1)∵d(xyz)=yzdx+xzdy+xydz, ∴原函数为：u(x,y,z)=xyz+C. (2)∵d(31(x 3+y 3+z 3)-2xyz)=(x 2-2yz)dx+(y 2-2xz)dy+(z 2-2xy)dz, ∴原函数为：u(x,y,z)=31(x 3+y 3+z 3)-2xyz+C.5、验证下列线积分与路线无关，并计算其值； (1)⎰-++)4,3,2()1,1,1(32dz z dy y xdx ； (2)⎰++++),,(),,(222222111z y x z y x z y x zdz ydy xdx , 其中(x 1,y 1,z 1), (x 2,y 2,z 2)在球面x 2+y 2+z 2=a 2上.解：(1)P=x, Q=y 2, R=z 3, 有x Q y P ∂∂=∂∂=y R z Q ∂∂=∂∂=zPx R ∂∂=∂∂=0, ∴原积分与路线无关.⎰-++)4,3,2()1,1,1(32dz z dy y xdx =⎰⎰⎰-++41331221dz z dy y xdx =425532623-++=-53127(2)∵d(222z y x ++)=222zy x zdz ydy xdx ++++, ∴原积分与路线无关.原式=⎰++),,(),,(222222111z y x z y x z y x d =212121222222z y x z y x ++-++=0.6、证明：由曲面S 所围的立体V 的体积 △V=⎰⎰++SdS z y x )cos cos cos (31γβα,其中cos α, cos β, cos γ为曲面S 的外法线方向余弦. 证：⎰⎰++S dS z y x )cos cos cos (31γβα=⎰⎰++Szdxdy ydzdx xdydz 31=dxdydz z z y y x x V ⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂31=⎰⎰⎰Vdxdydz =V.7、证明：若S 为封闭曲面, l 为任何固定方向, 则⎰⎰∧SdS l n ),cos(=0,其中n 为曲面S 的外法线方向.证：设n 和l 的方向余弦分别是cos α, cos β, cos γ和cos α’, cos β’, cos γ’. 由第一、二型曲面积分之间的关系可得：⎰⎰∧SdS l n ),cos(=⎰⎰'+'+'Sds)cos cos cos cos cos (cos γγββαα=⎰⎰'+'+'Sdxdy dzdx dydz γβαcos cos cos . 由L 的方向固定知,P=cos α’, Q=cos β’, R=cos γ’都是常数，∴zRy Q x P ∂∂+∂∂+∂∂=0. 由奥高公式得： ⎰⎰∧S dS l n ),cos(=⎰⎰++S Rdxdy Qdzdx Pdydz =⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂V dxdydz z R y Q x P =0.8、证明公式：⎰⎰⎰Vr dxdydz =⎰⎰∧SdS n r ),cos(21=0, 其中S 是包围V 的曲面，n 为曲面S 的外法线方向, |r|=222z y x ++, r=(x,y,z).证：∵),cos(∧n r =),cos(),cos(∧∧x n x r +),cos(),cos(∧∧y n y r +),cos(),cos(∧∧z n z r ,且),cos(∧x r =r x , ),cos(∧y r =ry, ),cos(∧z r =r z ,由第一, 二型曲面积分的关系及奥高公式可得：⎰⎰∧SdS n r ),cos(21=⎰⎰∧∧∧++S dS z n z y n y x n x r )],cos(),cos(),cos([121 =⎰⎰++S dxdy r z dzdx r y dydz r x 21=⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂V dxdydz r z z r y y r x x 21=⎰⎰⎰Vrdxdydz.9、若L 是平面xcos α+ycos β+zcos γ-p=0上的闭曲线，它所包围区域的面积为S ，求⎰L zyxdz dy dx γβαcos cos cos , 其中L 依正向进行. 解：∵P=zcos β-ycos γ, Q=xcos γ-zcos α, R=ycos α-xcos β, 由斯托克斯公式及第一, 二型曲面积分之间的关系得：原式=⎰⎰---∂∂∂∂∂∂Sx y z x y z z yxdxdy dzdx dydz βααγγβcos cos cos cos cos cos =2⎰⎰++Ddxdy dzdx dydz γβαcos cos cos =2⎰⎰++Dds )cos cos (cos 222γβα=2s.。
数学分析22.3高斯公式与斯托克斯公式(含习题及参考答案)
第二十二章 曲面积分 3 高斯公式与斯托克斯公式一、高斯公式定理22.5：设空间区域V 由分片光滑的双侧封闭曲面S 围成. 若函数P , Q, R 在V 上连续，且有一阶连续偏导数，则有(高斯公式)dxdydz z R y Q x P V ⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=⎰⎰++S Rdxdy Qdzdx Pdydz , S 取外侧.证：设V 是xy 型区域, 即其边界曲面S 由曲面S 2:z=z 2(x,y),(x,y)∈D xy , S 1:z=z 1(x,y),(x,y)∈D xy 及以垂直于D xy 的边界柱面S 3组成,z 1(x,y)≤z 2(x,y). ∴⎰⎰⎰∂∂Vdxdydz z R=⎰⎰⎰∂∂xyD y x z y x z dz z R dxdy ),(),(21=⎰⎰-xy D dxdyy x z y x R y x z y x R ))),(,,()),(,,((12=⎰⎰xyD dxdy y x z y x R )),(,,(2-⎰⎰xyD dxdyy x z y x R )),(,,(1=⎰⎰2),,(S dxdy z y x R -⎰⎰1),,(S dxdy z y x R =⎰⎰2),,(S dxdy z y x R +⎰⎰-1),,(S dxdy z y x R .其中S 1,S 2取上侧，又⎰⎰3),,(S dxdy z y x R =0,∴⎰⎰⎰∂∂Vdxdydz z R=⎰⎰2S Rdxdy +⎰⎰-1S Rdxdy +⎰⎰3S Rdxdy =⎰⎰SRdxdy . 同理，⎰⎰⎰∂∂Vdxdydz x P=⎰⎰SPdydz ; ⎰⎰⎰∂∂V dxdydz y Q=⎰⎰SQdydz . ∴dxdydz z R y Q x P V⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=⎰⎰++SRdxdy Qdzdx Pdydz .注：对于不是xy 型区域的情形，可用有限个光滑曲面将其分割成若干个xy 型区域来讨论.例1：计算⎰⎰+++-Sdxdy xz y dzdx x dydz z x y )()(22，其中S 是边长为a 的正方体表面并取外侧. 解：x ∂∂y(x-z)=y, y ∂∂x 2=0, z∂∂(y 2+xz)=x, 应用高斯公式，该曲面积分为：dxdydz x y V⎰⎰⎰+)(=⎰⎰⎰+aaadz x y dy dx 0)(=a 4.注：若高斯公式中P=x, Q=y, R=z, 则有dxdydz V⎰⎰⎰++)111(=⎰⎰++Szdxdy ydzdx xdydz , 即有应用第二型曲面积分计算空间区域V 的体积公式：△V=⎰⎰++Szdxdy ydzdx xdydz 31.二、斯托克斯公式右手法则：设人站在曲面S 上指定的一侧，沿S 的边界曲线L 行走，指定的侧总在人的左方，则人前进的方向为边界线L 的正向；若沿L 行走，指定的侧总在人的右方，则人前进的方向为边界线的负向.定理22.6：设光滑曲面S 的边界L 是按段光滑的连续曲线. 若函数P ,Q,R 在S(连同L)上连续, 且有一阶连续偏导数，则有(斯托克斯公式)⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂S dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R =⎰++LRdz Qdy Pdx ， 其中S 的侧与L 的方向按右手法则确定.证：曲面S 由方程z=z(x,y)确定, 其正侧法线方向数为(-z x ,-z y ,1), 方向余弦为(cos α,cos β,cos γ), ∴xz ∂∂=-γαcos cos , y z ∂∂=-γβcos cos .若S 在xy 平面上投影区域为D xy , L 在xy 平面上的投影曲线记为Г. 由第二型曲线积分定义及格林公式有⎰Ldx z y x P ),,(=⎰Γdx y x z y x P )),(,,(=dxdy y x z y x P y xyD )),(,,(⎰⎰∂∂-. ∵dxdy y x z y x P y )),(,,(∂∂=y P ∂∂+yzz P ∂∂∂∂, ∴⎰L dx z y x P ),,(=dxdy y x z y x P y xy D )),(,,(⎰⎰∂∂-=dxdy y z z P y P S ⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂-=dxdy z P y P S⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂-γβcos cos =γβγcos cos cos dxdy z Py P S ⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-=dS z Py P S⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂-βγcos cos =⎰⎰∂∂-∂∂Sdxdy y P dzdx z P ; 同理，对于曲面S 表示为x=x(y,z)和y=y(z,x)时，分别可证得⎰LQdy =⎰⎰∂∂-∂∂Sdydz z Q dxdy x Q 和⎰L Rdz =⎰⎰∂∂-∂∂Sdzdx x Rdydz y R . ∴⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂Sdxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R =⎰++L Rdz Qdy Pdx .注：1、若曲面S 不能以z=z(x,y)的形式给出，则可用一些光滑曲线把S 分割为若干小块，使每一小块能用这种形式来表示.2、斯托克斯公式也写为：⎰⎰∂∂∂∂∂∂SRQ P z y x dxdydzdx dydz =⎰++L Rdz Qdy Pdx .例2：计算⎰-+-++L dz x y dy z x dx z y )()()2(, 其中L 为平面x+y+z=1与各坐标面的交线，取逆时针方向为正向.解：(2y+z)y =2, (2y+z)z =1, (x-z)z =-1, (x-z)x =1, (y-x)x =-1, (y-x)y =1,∴⎰-+-++L dz x y dy z x dx z y )()()2(=⎰⎰-+--+--Sdxdydzdx dydz )21()]1(1[)]1(1[=⎰⎰-+Sdxdy dzdx dydz 22=1+1-21=23.概念：若V 内任一封闭曲线皆可不经过V 以外的点而连续收缩于属于V 的一点，则称区域V 为单连通区域, 否则称为复连通区域. 如球体属于单连通区域，而环状区域属于复连通区域.定理22.7：设Ω∈R 3为空间单连通区域. 若函数P , Q, R 在Ω上连续，且有一阶连续偏导数，则以下四个条件是等价的：(1)对于Ω内任一按段光滑的封闭曲线L 有⎰++L Rdz Qdy Pdx =0. (2)对于Ω内任一按段光滑的封闭曲线L, 曲线积分⎰++L Rdz Qdy Pdx 与路线无关.(3)Pdx+Qdy+Rdz 是Ω内某一函数u 的全微分，即du=Pdx+Qdy+Rdz. (4)x Q y P ∂∂=∂∂, y R z Q ∂∂=∂∂, zPx R ∂∂=∂∂. 在Ω内处处成立.例3：验证曲线积分⎰+++++L dz y x dy x z dx z y )()()(与路线无关，并求被积表达式的原函数u(x,y,z). 解：P=y+z, Q=z+x, R=x+y, ∵x Q y P ∂∂=∂∂=y R z Q ∂∂=∂∂=zPx R ∂∂=∂∂=1, ∴曲线积分与路线无关.取空间折线M 0(x 0,y 0,z 0)→(x,y 0,z 0)→(x,y,z 0)→(x,y,z), 则u(x,y,z)=⎰+++++M M dzy x dy x z dx z y 0)()()(=⎰⎰⎰+++++zz x x y y dry x dt x z ds z y 0)()()(000=(y 0+z 0)(x-x 0)+(z 0+x)(y-y 0)+(x+y)(z-z 0)=xy+xz+yz+C. 其中C=-x 0y 0-x 0z 0-y 0z 0. 若取M 0为原点，则u(x,y,z)=xy+xz+yz.习题1、应用高斯公式计算下列曲面积分：(1)⎰⎰++Sxydxdy zxdzdx yzdydz ，其中S 为球面x 2+y 2+z 2=1的外侧；(2)⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 222，其中S 是立方体0≤x,y,z ≤a 表面的外侧；(3)⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 222，其中S 是锥面x 2+y 2=z 2与平面z=h 所围空间区域的表面，方向取外侧；(4)⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 333，其中S 为球面x 2+y 2+z 2=1的外侧；(5)⎰⎰++Szdxdy ydzdx xdydz ，其中S 为上半球面z=222y x a --的外侧.解：(1)⎰⎰++Sxydxdy zxdzdx yzdydz =⎰⎰⎰Vdxdydz 0=0.(2)⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 222=2⎰⎰⎰++Vdxdydzz y x )(=2⎰⎰⎰++aa a dz z y x dy dx 000)(=3a 4.(3)⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 222=2⎰⎰⎰++Vdxdydzz y x )(=2⎰⎰⎰++hr h rdz z r r dr d )sin cos (020θθθπ=24h π.(4)⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 333=3⎰⎰⎰++Vdxdydzz y x )(222=3⎰⎰⎰104200sin dr r d d ϕθϕππ=512π.(5)⎰⎰++Szdxdy ydzdx xdydz =3⎰⎰⎰Vdxdydz =2πa 3.2、应用高斯公式计算三重积分：dxdydz zx yz xy V⎰⎰⎰++)(, 其中V 是由x ≥0, y ≥0, 0≤z ≤1与x 2+y 2≤1所确定的空间区域. 解：dxdydz zx yz xy V⎰⎰⎰++)(=⎰⎰++Sxdxdy z zdzdx y ydydz x 22221=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰dxdy x zdzdx x ydydz y xyzx yz D D D )1()1(2122=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰-210101021010210)1()1(21x xdy dx zdx x dz ydz y dy =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+-⎰⎰⎰1021021021)1(21)1(21dx x x dx x ydy y =⎪⎭⎫ ⎝⎛++31314121=2411.3、应用斯托克斯公式计算下列曲线积分：(1)⎰+++++L dz y x dy z x dx x y )()()(222222，其中L 为x+y+z=1与三坐标面的交线，它的走向使所围平面区域上侧在曲线的左侧； (2)⎰++L dz dy dx y x 32，其中L 为y 2+z 2=1, x=y 所交的椭圆的正向； (3)⎰-+-+-L dz x y dy z x dx y z )()()(，其中S 是以A(a,0,0), B(0,a,0), C(0,0,a)为顶点的三角形沿ABCA 的方向. 解：(1)⎰+++++L dzy x dy z x dx x y )()()(222222 =2⎰⎰-+-+-Sdxdy y x dzdx x z dydz z y )()()(. 其中⎰⎰-Sdydz z y )(=⎰⎰--ydz z y dy 1010)(=⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛--10221232dy y y =0， 同理，⎰⎰-Sdzdx x z )(=⎰⎰-Sdxdy y x )(=0. ∴原积分=0.(2)⎰++L dz dy dx y x 32=⎰⎰-Sdxdy y x 223=⎰⎰-xyD dxdy y x 223=0. (注：D xy 的面积为0)(3)⎰-+-+-L dz x y dy z x dx y z )()()(=2⎰⎰++Sdxdy dzdx dydz =3a 2.4、求下列全微分的原函数：(1)yzdx+xzdy+xydz ；(2)(x 2-2yz)dx+(y 2-2xz)dy+(z 2-2xy)dz. 解：(1)∵d(xyz)=yzdx+xzdy+xydz, ∴原函数为：u(x,y,z)=xyz+C. (2)∵d(31(x 3+y 3+z 3)-2xyz)=(x 2-2yz)dx+(y 2-2xz)dy+(z 2-2xy)dz, ∴原函数为：u(x,y,z)=31(x 3+y 3+z 3)-2xyz+C.5、验证下列线积分与路线无关，并计算其值； (1)⎰-++)4,3,2()1,1,1(32dz z dy y xdx ； (2)⎰++++),,(),,(222222111z y x z y x z y x zdz ydy xdx , 其中(x 1,y 1,z 1), (x 2,y 2,z 2)在球面x 2+y 2+z 2=a 2上.解：(1)P=x, Q=y 2, R=z 3, 有x Q y P ∂∂=∂∂=y R z Q ∂∂=∂∂=zPx R ∂∂=∂∂=0, ∴原积分与路线无关.⎰-++)4,3,2()1,1,1(32dz z dy y xdx =⎰⎰⎰-++41331221dz z dy y xdx =425532623-++=-53127(2)∵d(222z y x ++)=222zy x zdz ydy xdx ++++, ∴原积分与路线无关.原式=⎰++),,(),,(222222111z y x z y x z y x d =212121222222z y x z y x ++-++=0.6、证明：由曲面S 所围的立体V 的体积 △V=⎰⎰++SdS z y x )cos cos cos (31γβα,其中cos α, cos β, cos γ为曲面S 的外法线方向余弦. 证：⎰⎰++S dS z y x )cos cos cos (31γβα=⎰⎰++Szdxdy ydzdx xdydz 31=dxdydz z z y y x x V ⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂31=⎰⎰⎰Vdxdydz =V.7、证明：若S 为封闭曲面, l 为任何固定方向, 则⎰⎰∧SdS l n ),cos(=0,其中n 为曲面S 的外法线方向.证：设n 和l 的方向余弦分别是cos α, cos β, cos γ和cos α’, cos β’, cos γ’. 由第一、二型曲面积分之间的关系可得：⎰⎰∧SdS l n ),cos(=⎰⎰'+'+'Sds)cos cos cos cos cos (cos γγββαα=⎰⎰'+'+'Sdxdy dzdx dydz γβαcos cos cos . 由L 的方向固定知,P=cos α’, Q=cos β’, R=cos γ’都是常数，∴zRy Q x P ∂∂+∂∂+∂∂=0. 由奥高公式得： ⎰⎰∧S dS l n ),cos(=⎰⎰++S Rdxdy Qdzdx Pdydz =⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂V dxdydz z R y Q x P =0.8、证明公式：⎰⎰⎰Vr dxdydz =⎰⎰∧SdS n r ),cos(21=0, 其中S 是包围V 的曲面，n 为曲面S 的外法线方向, |r|=222z y x ++, r=(x,y,z).证：∵),cos(∧n r =),cos(),cos(∧∧x n x r +),cos(),cos(∧∧y n y r +),cos(),cos(∧∧z n z r ,且),cos(∧x r =r x , ),cos(∧y r =ry, ),cos(∧z r =r z ,由第一, 二型曲面积分的关系及奥高公式可得：⎰⎰∧SdS n r ),cos(21=⎰⎰∧∧∧++S dS z n z y n y x n x r )],cos(),cos(),cos([121 =⎰⎰++S dxdy r z dzdx r y dydz r x 21=⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂V dxdydz r z z r y y r x x 21=⎰⎰⎰Vrdxdydz.9、若L 是平面xcos α+ycos β+zcos γ-p=0上的闭曲线，它所包围区域的面积为S ，求⎰L zyxdz dy dx γβαcos cos cos , 其中L 依正向进行. 解：∵P=zcos β-ycos γ, Q=xcos γ-zcos α, R=ycos α-xcos β, 由斯托克斯公式及第一, 二型曲面积分之间的关系得：原式=⎰⎰---∂∂∂∂∂∂Sx y z x y z z yxdxdy dzdx dydz βααγγβcos cos cos cos cos cos =2⎰⎰++Ddxdy dzdx dydz γβαcos cos cos =2⎰⎰++Dds )cos cos (cos 222γβα=2s.。
高斯公式与斯托克斯公式
Φ = ∫∫ A dS
Σ
dS = dydz i + dzdx j + dxdy k
穿过曲面Σ这一侧的 通量. 为向量场 A( x , y , z ) 穿过曲面 这一侧的 通量.
通量的计算公式
Φ = ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy
Σ
高斯(Gauss)公式 通量与散度 公式 高斯
2.散度 . Σ 设有向量场 A( x , y , z ), P ( x , y , z )为场中任一点 为场中任一点, 点的某邻域内作一包含P点在其内的闭曲面 在P点的某邻域内作一包含 点在其内的闭曲面 点的某邻域内作一包含 Σ , 它所围成的小区域及其体积记为 V , 以Φ 表示 从Σ 内穿出的通量 若当 V → 0, 即V 内穿出的通量, 缩成P点时 极限 缩成 点时, 点时
外侧. Σ为球面 x 2 + y 2 + z 2 = a 2的外侧. 因被积函数中的 解 能否直接用 高斯公式 在曲面上, 点(x,y,z)在曲面上 可先用曲面方程将被积 在曲面上 可先用曲面方程将被积 函数化简， 函数化简， 然后再用高斯公式 高斯公式. 然后再用高斯公式. z 1 I = ∫∫ xdydz + ydzdx + zdxdy a∑ O 3 3 4 3 2 = ∫∫∫ dxdydz = πa = 4πa x a a 3
Σ1 : z = h, ( x + y ≤ h )
2 2 2
Σ1
∵ ∫∫ ( x 2 cos α + y 2 cos β + z 2 cos γ )dS = ∫∫ z 2dS
Σ1
= ∫∫ h dS = πh4 cosα = 0, cos β = 0, cosγ = 1
河海大学高数习题二十四 高斯公式与斯托克斯公式(2012)汇总
习题二十四高斯公式与斯托克斯公式一、1、有向曲面见右图所示：由高斯公式得：。
2、由高斯公式得：。
3、由高斯公式得：。
4、。
二、1、有向曲面见右图所示：由高斯公式得：。
52、有向曲面见右图所示：添加有向曲面：，，下侧。
添加有向曲面：，，上侧。
2222设由∑、∑1和∑2所围成的区域为Ω 。
由高斯公式得： =I1=⎰⎰xdydz∑+∑1+∑2+ydzdx+zdxdy=⎰⎰⎰3dvΩ∑1=12π 。
+ydzdx+zdxdy=⎰⎰xdydz=-⎰⎰dxdy=-π 。
I2=⎰⎰xdydz∑2+ydzdx+zdxdy==5⎰⎰dxdy=5π 。
x+y≤1x+y≤1⎰⎰xdydz∑+ydzdx+zdxdy=12π-I1-I2=12π+π-5π=8π 。
3、有向曲面∑见右图所示：添加有向曲面∑1 ∑1：y=0，x+z ≤4，左侧。
设由∑和∑1所围成的区域为Ω 。
由高斯公式得：⎰⎰∑+∑1yzdydz+x+z(22)ydzdx+xydxdy==4⎰⎰⎰(xΩ+z)dv+y40=42π4-yπ4()4-ydy⎰0=⎰dyx+z≤4-y⎰⎰(x22)dxdz3=⎰dy⎰dϑ⎰rdr=3==-I1=π6(4-y)3=32π 。
⎰⎰∑1yzdydz+x+z()ydzdx+xydxdy=-⎰⎰0dxdz=0 。
x+z≤4⎰⎰∑yzdydz+x+z(22)ydzdx+xydxdy=323π-I=323π 。
4、有向曲面∑见右图所示：添加有向曲面∑1 ∑1：z=e，x+y ≤4，下侧。
设由∑和∑1所围成的区域为Ω 。
由高斯公式得：⎰⎰4zxdydz-2yzdzdx+1-z(2)dxdy=∑+∑1=-⎰⎰⎰(4z-2z-2z)dv=0 。
ΩI1=⎰⎰∑14zxdydz-2yzdzdx+1-z(2)dxdy=-2⎰⎰(1-e)dxdy42=-4π(1-e4) 。
x+y≤4⎰⎰∑14zxdydz-2yzdzdx+1-z(2)dxdy=0-I1=4π1-e(4) 。
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=
2∫∫∫(x
+
y
+
z)dxdydz
=
∫a
2 0
∫a
dx 0
∫a
dy 0
(x
+
y
+
z)dz
V
∫ ∫ ∫ = 2
a
dx
a
[(x +
y)a + a 2 ]dy = 2
a (a 2 x + a3 )dx = 3a 4
0
0
2
0
∫∫ ∫∫∫ （3） x2dydz + y 2dzdx + z 2dxdy = (x + y + z)dxdydz ，由柱面坐标变换
∫∫ （3） x 2dydz + y 2dzdx + z 2dxdy ，其中 S 是锥面 x2 + y 2 = z 2 与平面 z=h 所围空 S
间区域 (0 ≤ z ≤ h) 的表面，方向取外侧；
∫∫ （4） x3dydz + y3dzdx + z 3dxdy ，其中 S 是单位球面 x2 + y 2 + z 2 = 1的外侧； S
§3 高斯公式与斯托克斯公式
1．应用高斯公式计算下列曲面积分：
∫∫ （1） yzdydz + zxdzdx + xydxdy ，其中 S 是单位球面 x2 + y 2 + z 2 = 1的外侧； S
∫∫ （2） x 2dydz + y 2dzdx + z 2dxdy ，其中 S 是立方体 0 ≤ x, y, z ≤ a 表面的外侧； S
2
xdx +
3 y 2dy −
−4 z 3dz = −53 7
1
1
1
12
(2) 在球面内有 d ( x 2 + y 2 + z 2 ) = xdx + ydy + zdz ，所给曲线积分与路线无关，且 x2 + y2 + z2
∫ ∫ ∫ 原式 = x2 x1
xdx
+ y2
x 2 + y12 + z12 y1
=
3V
故原公式成立.
∫∫ 7．证明：若 S 为封闭曲面, l 为任何固定方向，则 cos(n,l)dS = 0 ，其中 n 为曲面 S 的外法 S
线方向.
证：设 n 和 l 的方向余弦分别是 cosα , cos β , cosγ 和 cosα / , cos β / , cosγ / ，则
cos(n,.l) = cosα cosα / + cos β cos β / + cosγ cosγ /
x 2 + y 2 ≤ 1 所确定的空间区域。
∫∫ 解：原式 = 1 (x2 ydydz + y 2 zdzdx + z 2dxdy 2S
1
∫∫ ∫∫ ∫∫ = 1 [ (1 − y 2 ) ydydz + (1 − x2 )zdzdx + xdxdy]
2 Dyz
Dzx
Dxy
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ =
它的走向使所围平面区域上侧在曲线的左侧；
∫ （2） x 2 y 3dx + dy + zdz ，其中 L 为 z2 + y2 = 1, x = y 所交的椭圆的正向. L
∫ (3) (z − y)dx + (x − z)dy + ( y − x)dz ，其中 L 为以 A(a,0,0), B(0, a,0),C(0,0, a) 为顶点 L
的三角形沿 ABCA 的方向.
解：(1)记 L 为曲面 S: z = 1 − x − y(x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 1) 的边界，由斯托克斯公式知
原式 = 2∫∫ ( y − z)dydz + (z − x)dzdx + (x − y)dxdy ，且 S
∫∫ ∫ ∫ ∫ ( y − z)dydz =
3S
其中 cosα , cos β , cosγ 为曲面 S 的外法线方向余弦
证：因为 ∫∫ (x cosα + y cos β + z cosγ )dS = ∫∫ xdydz + ydzdx + zdxdy
S
S
=
∫∫∫ V
(
∂ ∂x
x
+
∂ ∂y
y
+
∂ ∂z
z)dxdydz
=
3∫∫∫d V
xdydz
9．若 L 是平面 x cosα + y cos β + z cosγ − p = 0 上的闭曲线，它所包围区域的面积为 S，求
dx dy dz
∫L cosα cos β cosγ
x
y
z
其中 L 依正向进行.
解：因 P = cos β − y cosγ ,Q = x cosγ − z cosα , R = y cosα − x cos β ，故由斯托克斯公式
由一.二型曲面积分之间的关系可得
3
∫∫ cos(n,l)dS = ∫∫ ( cosα cosα / + cos β cos β / + cosγ cosγ / )dS
S
S
= w∫∫ cosα /dydz + cos β /dzdx + cosγ /dxdy.
S
由 l 的方向固定，P = cosα / ,Q = cos β / , R = cosγ / 都是常数，故 ∂P + ∂Q + ∂R = 0 ，由奥 ∂x ∂y ∂z
∫∫ = 2 dydz + dzdx + dxdy = 2(1 a 2 + 1 a 2 + 1 a 2 ) = 3a 2
S
222
4．求下列全微分的原函数:
(1) yzdx + xzdy + xydz ;
(2) (x 2 − 2 yz)dx + ( y 2 − 2xz)dy + (z 2 − 2xy)dz
S
V
x = r cosθ , y = r sinθ , z = z, 0 ≤ θ ≤ 2π ,0 ≤ r ≤ h, r ≤ z ≤ h
∫ ∫ ∫ 原式 = 2
2π dθ
h
dr
h
(r
cosθ
+
r
sin θ
+
z)rdz
=
π
h4
0
0
r
2
∫∫ ∫∫∫ （4） x3dydz + y3dzdx + z 3dxdy = (x2 + y 2 + z 2 )dxdydz
∫∫ （5） xdydz + ydzdx + zdxdy ，其中 S 是单位球面 z = a 2 − x2 + y 2 的外侧 S
解：（1） ∫∫ yzdydz + zxdzdx + xydxdy = ∫∫∫0dxdydz = 0
S
V
∫∫ （2） x2dydz + y 2dzdx + z 2dxdy S
+ zdz + z2
，其中 (x1, y1, z1 ), (x2 ,
y2 , z2 ) 在球面 x 2
+
y2
+
z2
=
a 2 上.
解：(1) 因在 R 2 内有 d ( 1 x 2 + 1 y 3 − 1 z 4 ) = xdx + y 2dy − z 3dz ，所给曲线积分与路线无关， 234
从而
∫ ∫ ∫ 原积分 =
2
解：(1) 因 d (xyz) = yzdx + xzdy + xydz ,故原函数为: u(x, y, z) = xyz + c
(2) 由于 d[1 (x3 + y 3 + z 3 ) − 2xyz] = (x 2 − 2 yz)dx + ( y 2 − 2xz)dy + (z 2 − 2xy)dz ，故原函 3
S
V
∫ ∫ ∫ = 3 π dϕ 2π dθ 1r4 sinϕdr = 12 π
0
0
0
5
（5）原式 = ∫∫∫(1 + 1 +1)dxdydz = 3∫∫∫dxdydz = 2π a3
V
V
∫∫∫ 2．应用高斯公式计算三重积分 (xy + yz + zx)dxdydz ，其中 V 由 x ≥ 0, y ≥ 0,0 ≤ z ≤ 1与 V
数为 u(x, y, z) = 1 (x3 + y3 + z 3 ) − 2xyz + C 3
5．验证下列线积分与路线无关,并计算其值：
∫ (1) (2,3,−4) xdx + y 2dy − z 3dz ; (1,1,1)
∫ (2)
( x2 , y2 ,z2 ) ( x1 , y1 ,z1 )
xdx + ydy x2 + y2
1[
1
dy
1
(1 −
y 2 ) ydz +
1
dx
1(1 − x 2 )zdz +
1
xdx
1− x2
dy]
20 0
00
0
0
∫ ∫ ∫ = 1 [
1
(1 −
y
2
)
ydy
+
1
1(1 − x 2 )dx +
1