高斯公式与斯托克斯公式——习题

∫∫ （3） x 2dydz + y 2dzdx + z 2dxdy ，其中 S 是锥面 x2 + y 2 = z 2 与平面 z=h 所围空 S
间区域 (0 ≤ z ≤ h) 的表面，方向取外侧；
∫∫ （4） x3dydz + y3dzdx + z 3dxdy ，其中 S 是单位球面 x2 + y 2 + z 2 = 1的外侧； S
9．若 L 是平面 x cosα + y cos β + z cosγ − p = 0 上的闭曲线，它所包围区域的面积为 S，求
dx dy dz
∫L cosα cos β cosγ
x
y
z
其中 L 依正向进行.
解：因 P = cos β − y cosγ ,Q = x cosγ − z cosα , R = y cosα − x cos β ，故由斯托克斯公式
S
S
由于曲面 S : x = y( y 2 + z 2 ≤ 1) 上任一点 (x, y, z) 处的法向量 n = (cosα , cos β , cosγ ) 中的
∫∫ cosγ = 0 ，从而由定义知 x 2 y 2dxdy = 0 ，因此，原式=0. S (3) ∫L (z − y)dx + (x − z)dy + ( y − x)dz = ∫∫ (1 + 1)dydz + (1 + 1)dzdx + (1 + 1)dxdy S
的三角形沿 ABCA 的方向.
解：(1)记 L 为曲面 S: z = 1 − x − y(x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 1) 的边界，由斯托克斯公式知
原式 = 2∫∫ ( y − z)dydz + (z − x)dzdx + (x − y)dxdy ，且 S
∫∫ ∫ ∫ ∫ ( y − z)dydz =
S
V
x = r cosθ , y = r sinθ , z = z, 0 ≤ θ ≤ 2π ,0 ≤ r ≤ h, r ≤ z ≤ h
∫ ∫ ∫ 原式 = 2
2π dθ
h
dr
h
(r
cosθ
+
r
sin θ
+
z)rdz
=
π
h4
0
0
r
2
∫∫ ∫∫∫ （4） x3dydz + y3dzdx + z 3dxdy = (x2 + y 2 + z 2 )dxdydz
∫∫ （5） xdydz + ydzdx + zdxdy ，其中 S 是单位球面 z = a 2 − x2 + y 2 的外侧 S
解：（1） ∫∫ yzdydz + zxdzdx + xydxdy = ∫∫∫0dxdydz = 0
S
V
∫∫ （2） x2dydz + y 2dzdx + z 2dxdy S
及第一、二型曲面积分之间的关系得
dydz dzdx dxdy
原式 = ∫∫ S
∂ ∂x
∂ ∂y
∂ ∂z
= 2∫∫ cosαdydz + cos βdzdx + cosγdxdy D
PQ R
∫∫ = 2 (cos2 α + cos2 β + cos2 γ )dS = 2S D
4
2
xdx +
3 y 2dy −
−4 z 3dz = −53 7
1
1
1
12
(2) 在球面内有 d ( x 2 + y 2 + z 2 ) = xdx + ydy + zdz ，所给曲线积分与路线无关，且 x2 + y2 + z2
∫ ∫ ∫ 原式 = x2 x1
xdx
+ y2
x 2 + y12 + z12 y1
由一.二型曲面积分之间的关系可得
3
∫∫ cos(n,l)dS = ∫∫ ( cosα cosα / + cos β cos β / + cosγ cosγ / )dS
S
S
= w∫∫ cosα /dydz + cos β /dzdx + cosγ /dxdy.
S
由 l 的方向固定，P = cosα / ,Q = cos β / , R = cosγ / 都是常数，故 ∂P + ∂Q + ∂R = 0 ，由奥 ∂x ∂y ∂z
=
2∫∫∫(x
+
y
+
z)dxdydz
=
∫a
2 0
∫a
dx 0
∫a
dy 0
(x
+
y
+
z)dz
V
∫ ∫ ∫ = 2
a
dx
a
[(x +
y)a + a 2 ]dy = 2
a (a 2 x + a3 )dx = 3a 4
0
0
2
0
∫∫ ∫∫∫ （3） x2dydz + y 2dzdx + z 2dxdy = (x + y + z)dxdydz ，由柱面坐标变换
1[
1
dy
1
(1 −
y 2 ) ydz +
1
dx
1(1 − x 2 )zdz +
1
xdx
1− x2
dy]
20 0
00
0
0
∫ ∫ ∫ = 1 [
1
(1 −
y
2
)
ydy
+
1
1(1 − x 2 )dx +
1
x
1 − x2 dx] = 11
20
20
0
24
3．应用斯托克斯公式计算下列曲线积分：
∫ （1） ( y 2 + z 2 )dx + (x 2 + z 2 )dy + (x 2 + y 2 )dz ，其中 L 为 x + y + z = 1与三坐标面的交线， L
r
r
rFra Baidu bibliotek
∫∫
S
cos(r,
n)ds
=
∫∫
S
1 r
[x
cos(n,
x)
+
y
cos(n,
y)
+
z
cos(n,
z)]ds
=
∫∫
S外
x r
dydz
+
y r
dzdx
+
z r
dxdy
=
∫∫∫[ V
∂ ∂x
(x) r
+
∂ (
∂y
y) r
+
∂ ∂z
( z )]dxdydz r
=
2
∫∫∫ V
1dxdydz r
故公式成立.
1 1− y
dy ( y − z)dz =
1
[
y(1
−
y)
−
1
(1 −
y
2
)]dy
S
00
0
2
∫=
1
(2 y
−
3
y2
−
1 )dy
=
0
0
22
同理 ∫∫ (z − x)dzdx =∫∫ (x − y)dxdy = 0 ，故原积分=0
S
S
(2) 视 L 为该椭圆的边界，则
∫∫ ∫∫ 原式= 0dydz + 0dzdx + (0 − 3x2 y 2 )dxdy = 3 x2 y 2dxdy
=
3V
故原公式成立.
∫∫ 7．证明：若 S 为封闭曲面, l 为任何固定方向，则 cos(n,l)dS = 0 ，其中 n 为曲面 S 的外法 S
线方向.
证：设 n 和 l 的方向余弦分别是 cosα , cos β , cosγ 和 cosα / , cos β / , cosγ / ，则
cos(n,.l) = cosα cosα / + cos β cos β / + cosγ cosγ /
数为 u(x, y, z) = 1 (x3 + y3 + z 3 ) − 2xyz + C 3
5．验证下列线积分与路线无关,并计算其值：
∫ (1) (2,3,−4) xdx + y 2dy − z 3dz ; (1,1,1)
∫ (2)
( x2 , y2 ,z2 ) ( x1 , y1 ,z1 )
xdx + ydy x2 + y2
高公式得
原式
=
w∫∫ S
Pdydz
+
Qdzdx
+
Rdxdy
=
∫∫∫( V
∂P ∂x
+
∂Q ∂y
+
∂R )dxdydz ∂z
=
0
∫∫∫ w∫∫ 8．证明公式： dxdydz = 1 cos(r, n)dS ，其中 s 是包围 V 的曲面，n 是 S 的外法线方
V
r
2S
向, r = x2 + y2 + z2 , r = (x, y, z)
证：因为 cos(r, n) = cos(r, x) cos(n, x) + cos(r, y) cos(n, y) + cos(r, z) cos(n, z) ，而
cos(r, x) = x , cos(r, y) = y , cos(r, z) = z ，则由第一、二型曲面积分的关系及奥高公式可得
2
解：(1) 因 d (xyz) = yzdx + xzdy + xydz ,故原函数为: u(x, y, z) = xyz + c
(2) 由于 d[1 (x3 + y 3 + z 3 ) − 2xyz] = (x 2 − 2 yz)dx + ( y 2 − 2xz)dy + (z 2 − 2xy)dz ，故原函 3
ydy
+ z2
x2 2 + y 2 + z12
z1
zdz
x2 2
+
y
2 2
+
z2
=
x2
+
y12
+ z12
x2 x1
+
x22
+
y2
+ z12
y2 y1
+
x22
+
y22
+ z2
z2 z1
=0
∫∫ 6．证明：由曲面 S 所包围的立体 V 的体积 ΔV 为 ΔV = 1 (x cosα + y cos β + z cosγ )dS ，
3S
其中 cosα , cos β , cosγ 为曲面 S 的外法线方向余弦
证：因为 ∫∫ (x cosα + y cos β + z cosγ )dS = ∫∫ xdydz + ydzdx + zdxdy
S
S
=
∫∫∫ V
(
∂ ∂x
x
+
∂ ∂y
y
+
∂ ∂z
z)dxdydz
=
3∫∫∫d V
xdydz
x 2 + y 2 ≤ 1 所确定的空间区域。
∫∫ 解：原式 = 1 (x2 ydydz + y 2 zdzdx + z 2dxdy 2S
1
∫∫ ∫∫ ∫∫ = 1 [ (1 − y 2 ) ydydz + (1 − x2 )zdzdx + xdxdy]
2 Dyz
Dzx
Dxy
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ =
S
V
∫ ∫ ∫ = 3 π dϕ 2π dθ 1r4 sinϕdr = 12 π
0
0
0
5
（5）原式 = ∫∫∫(1 + 1 +1)dxdydz = 3∫∫∫dxdydz = 2π a3
V
V
∫∫∫ 2．应用高斯公式计算三重积分 (xy + yz + zx)dxdydz ，其中 V 由 x ≥ 0, y ≥ 0,0 ≤ z ≤ 1与 V
+ zdz + z2
，其中 (x1, y1, z1 ), (x2 ,
y2 , z2 ) 在球面 x 2
+
y2
+
z2
=
a 2 上.
解：(1) 因在 R 2 内有 d ( 1 x 2 + 1 y 3 − 1 z 4 ) = xdx + y 2dy − z 3dz ，所给曲线积分与路线无关， 234
从而
∫ ∫ ∫ 原积分 =
它的走向使所围平面区域上侧在曲线的左侧；
∫ （2） x 2 y 3dx + dy + zdz ，其中 L 为 z2 + y2 = 1, x = y 所交的椭圆的正向. L
∫ (3) (z − y)dx + (x − z)dy + ( y − x)dz ，其中 L 为以 A(a,0,0), B(0, a,0),C(0,0, a) 为顶点 L
∫∫ = 2 dydz + dzdx + dxdy = 2(1 a 2 + 1 a 2 + 1 a 2 ) = 3a 2
S
222
4．求下列全微分的原函数:
(1) yzdx + xzdy + xydz ;
(2) (x 2 − 2 yz)dx + ( y 2 − 2xz)dy + (z 2 − 2xy)dz
§3 高斯公式与斯托克斯公式
1．应用高斯公式计算下列曲面积分：
∫∫ （1） yzdydz + zxdzdx + xydxdy ，其中 S 是单位球面 x2 + y 2 + z 2 = 1的外侧； S
∫∫ （2） x 2dydz + y 2dzdx + z 2dxdy ，其中 S 是立方体 0 ≤ x, y, z ≤ a 表面的外侧； S