极坐标系的概念教案.docx
初中数学教案极坐标系
初中数学教案极坐标系初中数学教案一、教学目标通过本节课的学习，学生将能够：1. 理解极坐标系的概念和基本性质；2. 掌握极坐标系中各种图形的绘制方法；3. 运用极坐标系解决实际问题。
二、教学重点和难点1. 教学重点：极坐标系的概念和性质；2. 教学难点：运用极坐标系解决实际问题。
三、教学准备1. 教师准备：- 准备幻灯片或黑板，用于黑板上的绘图；- 准备一些实际问题，用于课堂练习。
2. 学生准备：- 课本、笔记本等学习用具。
四、教学过程导入：1. 教师简要介绍极坐标系的概念，并引导学生回顾直角坐标系的相关知识。
新知呈现：2. 教师通过幻灯片或黑板绘制极坐标系，并解释极坐标系的构造及基本性质。
3. 教师通过实例引导学生理解极坐标系中极角和极径的概念，并解释其表示方法。
示范演示：4. 教师通过绘制圆和其他图形的示范，讲解使用极坐标系绘制图形的方法。
实践演练：5. 学生进行小组活动，按照教师的要求，绘制指定的图形，并在小组内互相讨论、交流。
巩固提高：6. 教师出示一些实际问题，并引导学生运用极坐标系解决问题。
7. 学生进行个人练习，完成课后习题。
拓展延伸：8. 教师引导学生进一步探究极坐标系中其他图形的绘制方法，如椭圆、双曲线等。
五、教学总结本节课我们学习了极坐标系的概念和基本性质，掌握了绘制各种图形的方法，并运用极坐标系解决了一些实际问题。
通过本节课的学习，我们对数学中的极坐标系有了更深入的了解。
六、课后作业1. 完成课后习题；2. 思考：极坐标系在现实生活中有哪些应用？七、板书设计- 极坐标系的构造及基本性质- 极角和极径的概念及表示方法- 绘制图形的方法八、教学反思本节课采用了多种教学方法，如导入、示范演示、实践演练等，帮助学生更好地理解和掌握极坐标系的相关知识。
同时，通过实际问题的引入，培养了学生解决问题的能力。
教学过程中，学生积极参与，课堂氛围较好。
但在讲解极坐标系的性质时，可以增加一些示例图形，以便学生更好地理解。
高中数学同步教案 极坐标系
二极坐标系学习目标：1.理解极坐标系的概念.2.能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别．(难点)3.掌握极坐标和直角坐标的互化关系式,能进行极坐标和直角坐标的互化．(重点、易错点)教材整理1 极坐标系阅读教材P8～P10,完成下列问题．1．极坐标系的概念(1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点O,叫做极点；自极点O引一条射线Ox,叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标：设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为ρ；以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角,记为θ.有序数对(ρ,θ)叫做点M的极坐标,记为M(ρ,θ)．一般地,不作特殊说明时,我们认为ρ≥0,θ可取任意实数．2．点与极坐标的关系一般地,极坐标(ρ,θ)与(ρ,θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一个点．特别地,极点O的坐标为(0,θ)(θ∈R)．如果规定ρ>0,0≤θ<2π,那么除极点外,平面内的点可用惟一的极坐标(ρ,θ)表示；同时,极坐标(ρ,θ)表示的点也是惟一确定的．在极坐标系中,ρ1＝ρ2,且θ1＝θ2是两点M(ρ1,θ1)和N(ρ2,θ2)重合的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]前者显然能推出后者,但后者不一定推出前者,因为θ1与θ2可相差2π的整数倍．[答案] A教材整理2 极坐标和直角坐标的互化阅读教材P11,完成下列问题．1．互化背景：把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示．2．互化公式：设M是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(ρ,θ),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：点M直角坐标(x,y)极坐标(ρ,θ)互化公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θρ2＝x 2＋y 2,tan θ＝yx(x≠0)将点M 的极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫10，π3化为直角坐标是( ) A ．(5,53) B ．(53,5) C ．(5,5)D ．(－5,－5)[解析] x ＝ρcos θ＝10 cos π3＝5,y ＝ρsin θ＝10sin π3＝5 3.[答案] A将点的极坐标化为直角坐标【例1】 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4π3；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2，23π；(3)⎝⎛⎭⎪⎫2，－π3；(4)(2,－2)．[思路探究] 点的极坐标(ρ,θ)―→⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ―→点的直角坐标(x,y)―→判定点所在象限．[自主解答] (1)由题意知x ＝2cos 4π3＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1,y ＝2sin 4π3＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－3, ∴点⎝⎛⎭⎪⎫2，4π3的直角坐标为()－1，－3,是第三象限内的点．(2)x ＝2cos 23π＝－1,y ＝2sin 23π＝3,∴点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，23π的直角坐标为(－1,3),是第二象限内的点．(3)x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝1,y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－3, ∴点⎝⎛⎭⎪⎫2，－π3的直角坐标为(1,－3),是第四象限内的点．(4)x ＝2cos (－2)＝2cos 2,y ＝2sin(－2)＝－2sin 2,∴点(2,－2)的直角坐标为(2cos 2,－2sin 2),是第三象限内的点．1．点的极坐标与直角坐标的互化公式的三个前提条件：(1)极点与直角坐标系的原点重合；(2)极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合；(3)两种坐标系的长度单位相同．2．将点的极坐标(ρ,θ)化为点的直角坐标(x,y)时,运用到求角θ的正弦值和余弦值,熟练掌握特殊角的三角函数值,灵活运用三角恒等变换公式是关键．1．分别把下列点的极坐标化为直角坐标：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6；(2)⎝⎛⎭⎪⎫3，π2；(3)(π,π)．[解] (1)∵x＝ρcos θ＝2cos π6＝3,y ＝ρsin θ＝2sin π6＝1,∴点的极坐标⎝⎛⎭⎪⎫2，π6化为直角坐标为(3,1)．(2)∵x＝ρcos θ＝3cos π2＝0,y ＝ρsin θ＝3sin π2＝3,∴点的极坐标⎝⎛⎭⎪⎫3，π2化为直角坐标为(0,3)．(3)∵x＝ρcos θ＝πcos π＝－π, y ＝ρsin θ＝πsin π＝0,∴点的极坐标(π,π)化为直角坐标为(－π,0)．将点的直角坐标化为极坐标【例2】 (1)(－2,23)；(2)(6,－2)；(3)⎝⎛⎭⎪⎫3π2，3π2.[思路探究] 利用公式ρ2＝x 2＋y 2,tan θ＝y x (x≠0),但求角θ时,要注意点所在的象限．[自主解答] (1)∵ρ＝x 2＋y 2＝(－2)2＋(23)2＝4, tan θ＝yx＝－3,θ∈[0,2π),由于点(－2,23)在第二象限, ∴θ＝2π3,∴点的直角坐标(－2,23)化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，23π. (2)∵ρ＝x 2＋y 2＝(6)2＋(－2)2＝22, tan θ＝y x ＝－33,θ∈[0,2π),由于点(6,－2)在第四象限, ∴θ＝11π6,∴点的直角坐标(6,－2)化为极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，11π6. (3)∵ρ＝x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3π22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3π22＝32π2,tan θ＝yx ＝1,θ∈[0,2π),由于点⎝⎛⎭⎪⎫3π2，3π2在第一象限,∴θ＝π4,∴点的直角坐标⎝⎛⎭⎪⎫3π2，3π2化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32π2，π4.1．将直角坐标(x,y)化为极坐标(ρ,θ),主要利用公式ρ2＝x 2＋y 2,tan θ＝y x (x≠0)进行求解,先求极径,再求极角．2．在[0,2π)范围内,由tan θ＝yx (x≠0)求θ时,要根据直角坐标的符号特征判断出点所在的象限．如果允许θ∈R ,再根据终边相同的角的意义,表示为θ＋2kπ(k∈Z)即可．2．已知下列各点的直角坐标,求它们的极坐标： (1)A(3,3)；(2)B(－2,－23)；(3)C(0,－2)；(4)D(3,0)．[解] (1)由题意可知：ρ＝32＋(3)2＝23, tan θ＝33, 所以θ＝π6,所以点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫23，π6. (2)ρ＝(－2)2＋(－23)2＝4,tan θ＝－23－2＝3,又由于θ为第三象限角,故θ＝43π,所以B 点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，43π.(3)ρ＝02＋(－2)2＝2,θ为32π,θ在y 轴负半轴上,所以C 点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32π.(4)ρ＝32＋02＝3,tan θ＝03＝0,故θ＝0,所以D 点的极坐标为(3,0)．极坐标与直角坐标的综合应用【例3】 在极坐标系中,如果A ⎝⎛⎭⎪⎫2，4,B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4为等边三角形ABC 的两个顶点,求顶点C 的极坐标(ρ>0,0≤θ<2π)．[思路探究] 解答本题可以先利用极坐标化为直角坐标,再根据等边三角形的定义建立方程组求解点C 的直角坐标,进而求出点C 的极坐标．[自主解答] 对于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4有ρ＝2,θ＝π4,∴x＝2cos π4＝2,y ＝2sin π4＝2,则A(2,2)．对于B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，54π有ρ＝2,θ＝54π,∴x＝2cos 5π4＝－2,y ＝2sin 5π4＝－2,∴B(－2,－2)．设C 点的坐标为(x,y),由于△ABC 为等边三角形, 故|AB|＝|BC|＝|AC|＝4,∴有⎩⎨⎧ (x －2)2＋(y －2)2＝16，(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝16，解之得⎩⎨⎧x ＝6，y ＝－6或⎩⎨⎧x ＝－6，y ＝6，∴C 点的坐标为(6,－6)或(－6,6), ∴ρ＝6＋6＝23,tan θ＝－66＝－1,∴θ＝7π4或θ＝3π4.故点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫23，7π4或⎝ ⎛⎭⎪⎫23，3π4.1．本例综合考查了点的极坐标与直角坐标的互化公式以及等边三角形的意义和性质．结合几何图形可知,点C 的坐标有两解,设出点的坐标寻求等量关系建立方程组求解是关键．2．若设出C(ρ,θ),利用余弦定理亦可求解．3．本例中,如果点的极坐标仍为A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4,B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4,且△ABC 为等腰直角三角形,如何求直角顶点C的极坐标？[解] 对于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4,直角坐标为(2,2),点B ⎝⎛⎭⎪⎫2，5π4的直角坐标为(－2,－2),设点C 的直角坐标为(x,y),由题意得AC⊥BC ,且|AC|＝|BC|, ∴AC →·BC →＝0,即(x －2,y －2)·(x＋2,y ＋2)＝0, ∴x 2＋y 2＝4. ①又|A C →|2＝|B C →|2,于是(x －2)2＋(y －2)2＝(x ＋2)2＋(y ＋2)2,∴y＝－x,代入①,得x 2＝2,解得x ＝±2,∴⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－2，或⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝2，∴点C 的直角坐标为(2,－2)或(－2,2), ∴ρ＝2＋2＝2,tan θ＝－1,θ＝7π4或3π4,∴点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，3π4或⎝ ⎛⎭⎪⎫2，7π4.极坐标[探究问题]1．如图是某校园的平面示意图．假设某同学在教学楼处,请回答下列问题： ①他向东偏北60°方向走120 m 后到达什么位置？该位置惟一确定吗？ ②如果有人打听体育馆和办公楼的位置,他应如何描述？[提示] 以A 为基点,射线AB 为参照方向,利用与A 的距离、与AB 所成的角,就可以刻画平面上点的位置．①到达图书馆,该位置惟一确定；②体育馆在正东方向60 m 处,办公楼在西北方向50 m 处．2．在极坐标系中,⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6,⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6＋2π,⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6＋4π,⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6－2π表示的点有什么关系？你能从中体会极坐标与直角坐标在刻画点的位置时的区别吗？[提示] 由终边相同的角的定义可知,上述极坐标表示同一个点．实际上,⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6＋2kπ(k∈Z)都表示这个点．【例4】 设点A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π3,直线l 为过极点且垂直于极轴的直线,分别求点A 关于极轴,直线l,极点的对称点的极坐标(限定ρ>0,－π<θ≤π)．[思路探究] 欲写出点的极坐标,首先应确定ρ和θ的值． [自主解答] 如图所示,关于极轴的对称点为B2,－π3,关于直线l 的对称点为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，23π, 关于极点O 的对称点为D ⎝⎛⎭⎪⎫2，－23π. 四个点A,B,C,D 都在以极点为圆心,2为半径的圆上．1．点的极坐标不是惟一的,但若限制ρ>0,0≤θ<2π,则除极点外,点的极坐标是惟一确定的． 2．写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前,极角θ在后,不能颠倒顺序．4．在极坐标系中与点A ⎝⎛⎭⎪⎫3，－π3关于极轴所在的直线对称的点的极坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，23πB.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，43π D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，56π [解析] 与点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－π3关于极轴所在的直线对称的点的极坐标可以表示为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，2kπ＋π3(k∈Z)． [答案] B极坐标系—⎪⎪⎪—极坐标的概念—点与极坐标的关系—极坐标与直角坐标的互化1．极坐标系中,点M(1,0)关于极点的对称点为( ) A ．(1,0) B ．(－1,π) C ．(1,π)D ．(1,2π)[解析] ∵(ρ,θ)关于极点的对称点为(ρ,π＋θ), ∴M(1,0)关于极点的对称点为(1,π)． [答案] C2．点A 的极坐标是⎝⎛⎭⎪⎫2，7π6,则点A 的直角坐标为( )A ．(－1,－3)B ．(－3,1)C ．(－3,－1)D ．(3,－1)[解析] x ＝ρcos θ＝2cos 76π＝－3,y ＝ρsin θ＝2sin 76π＝－1.[答案] C3．点M 的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，π2,则点M 的极坐标可以为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0B.⎝⎛⎭⎪⎫0，π2C.⎝⎛⎭⎪⎫π2，π2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，－π2[解析] ∵ρ＝x 2＋y 2＝π2,且θ＝π2,∴M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π2.[答案] C4．将极轴Ox 绕极点顺时针方向旋转π6得到射线OP,在OP 上取点M,使|OM|＝2,则ρ>0,θ∈[0,2π)时点M 的极坐标为________,它关于极轴的对称点的极坐标为___________________(ρ>0,θ∈[0,2π))．[解析] ρ＝|OM|＝2,与OP 终边相同的角为－π6＋2kπ(k∈Z)．∵θ∈[0,2π), ∴k＝1,θ＝11π6,∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，11π6, ∴M 关于极轴的对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，11π6 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π65．在极轴上求与点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫42，π4距离为5的点M 的坐标．[解] 设M(r,0), ∵A ⎝ ⎛⎭⎪⎫42，π4,∴(42)2＋r 2－82rcos π4＝5,即r 2－8r ＋7＝0, 解得r ＝1或r ＝7,∴点M 的坐标为(1,0)或(7,0)．。
(完整word版)《极坐标系》教学设计
(完整word版)《极坐标系》教学设计极坐标系是一种描述平面上点坐标的系统，它以距离和角度作为坐标表示。
在数学和物理学中，极坐标系被广泛应用于描述旋转对称的问题或者平面上点的位置。
本文将从极坐标系的基本概念、转换公式以及应用领域等方面进行介绍。
一、基本概念1. 极坐标系的定义极坐标系是一种平面坐标系，它由极轴、极点和极角组成。
极轴是从极点出发的直线，极角是从极轴开始逆时针旋转的角度。
而极点是坐标系的原点，通常表示为O。
极坐标系中，每个点的位置由极径和极角来确定。
2. 极径和极角极径是从极点到点P的距离，用r表示。
极角是从极轴到OP的角度，用θ表示。
在数学上，极径通常用非负数表示，而极角可以是任意实数。
3. 笛卡尔坐标系与极坐标系的转换极坐标系与笛卡尔坐标系是两种常用的坐标系。
它们之间可以通过一组转换公式相互转换。
在极坐标系中，点P的笛卡尔坐标表示为(x, y)，而点P在极坐标系中的坐标表示为(r, θ)。
转换公式如下：x = r * cos(θ)y = r * cos(θ)这两个公式可以实现从笛卡尔坐标系到极坐标系的转换，也可以实现从极坐标系到笛卡尔坐标系的转换。
二、转换公式的推导1. 从笛卡尔坐标系到极坐标系的转换假设点P在笛卡尔坐标系中的坐标为(x, y)，点P在极坐标系中的坐标为(r, θ)。
由于极径r是点P到极点O的距离，可以根据勾股定理得到r的表达式：r = sqrt(x^2 + y^2)又因为点P与x轴的夹角就是点P在极坐标系中的极角θ，可以应用反正切函数得到θ的表达式：θ = arctan(y / x)2. 从极坐标系到笛卡尔坐标系的转换假设点P在笛卡尔坐标系中的坐标为(x, y)，点P在极坐标系中的坐标为(r, θ)。
可以根据三角函数的定义得到x和y的表达式：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)这两个转换公式可以方便地实现极坐标系和笛卡尔坐标系之间的转换。
三、应用领域极坐标系在数学和物理学中被广泛应用于描述旋转对称的问题或者平面上点的位置。
极坐标系的概念教学设计
极坐标系的概念教学设计一、教学目标：1.了解极坐标系的概念和基本性质；2.掌握如何在直角坐标系和极坐标系之间进行转换；3.掌握在极坐标系下表示点的方法；4.能够用极坐标系描述简单图形。
二、教学重点与难点：1.教学重点：极坐标系的概念和基本性质；2.教学难点：在极坐标系下表示点的方法。
三、教学准备：1.教师准备：PPT、投影仪、白板、黑板笔；2.学生准备：直角坐标系与极坐标系的相关知识。
四、教学过程：Step 1 引入新课 (10分钟)1.引导学生回顾直角坐标系的概念和性质；2.提问：在直角坐标系中，我们如何用两个坐标值x和y来定位一个点？是否能用其他方式来表示点的位置？3.出示极坐标系的图形，引导学生思考极坐标系的概念。
Step 2 极坐标系的概念与性质 (15分钟)1.解释极坐标系的概念：极坐标系是由极轴和极角组成的，极轴是用来表示点到极点的距离的半直线，极角是用来表示点到极点的半直线与固定半直线的夹角；2.引导学生分析极坐标系的性质：极坐标系是二维坐标系，极轴是从极点出发的一条非负半直线，极角的范围是[0,2π)，极坐标系中，每一个点都有唯一的极坐标。
Step 3 直角坐标系与极坐标系的转换 (20分钟)1.提示学生极坐标系直角坐标系的转换方法：- x = r * cosθ- y = r * sinθ2.在白板上画出一个示例图形，并引导学生进行转换练习。
Step 4 极坐标系中点的表示方法 (20分钟)1.解释如何用极坐标表示平面上的点：极坐标的标记方式是(r,θ)，其中，r表示点到极点的距离，θ表示点与固定半直线的夹角；2.在黑板上画出一个示例图形，引导学生练习用极坐标表示点的方法。
Step 5 极坐标系的应用 (20分钟)1.示范用极坐标系描述简单图形；2.引导学生进行实际练习。
Step 6 小结与课堂练习 (15分钟)1.积极小结本课的内容：回顾极坐标系的概念和性质，直角坐标系与极坐标系的转换，极坐标系中点的表示方法，以及极坐标系的应用；2.针对性布置相关课后习题。
《极坐标系》教案新人教A版选修
数学：1.2《极坐标系》教案（新人教A版选修4-4）极坐标系【基础知识导学】1．极坐标系和点的极坐标极点、极轴、长度单位、角度单位和它的方向构成极坐标系的四要素，缺一不可。
规定：当点M在极点时，它的极坐标可以取任意值。
2．平面直角坐标与极坐标的区别在平面直角坐标系内，点与有序实数对（x，y）是一一对应的，可是在极坐标系中，虽然一个有序实数对只能与一个点P对应，但一个点P却可以与无数多个有序实数对对应，极坐标系中的点与有序实数对极坐标不是一一对应的。
3．极坐标系中，点M的极坐标统一表达式。
4．如果规定，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标表示，同时，极坐标表示的点也是唯一确定的。
5．极坐标与直角坐标的互化（1）互化的前提：①极点与直角坐标的原点重合；②极轴与X轴的正方向重合；③两种坐标系中取相同的长度单位。
（2）互化公式，。
【知识迷航指南】【例1】在极坐标系中，描出点，并写出点M的统一极坐标。
【点评】点的统一极坐标表示式为，如果允许，还可以表示为。
【例2】已知两点的极坐标，则|AB|=______,AB与极轴正方向所成的角为________.解:根据极坐标的定义可得|AO|=|BO|=3,∠AOB=600,即?AOB为等边三角形,所以|AB|=|AO|=|BO|=3, ∠ACX=【点评】在极坐标系中我们没有定义两点间的距离,我们只要画出图形便可以得到结果.【例3】化下列方程为直角坐标方程,并说明表示的曲线.(1),((2)【解】(1)根据极坐标的定义,因为,所以方程表示直线. (2)因为方程给定的不恒为0,用同乘方程的两边得:化为直角坐标方程为即,这是以(1,)为圆心,半径为的圆.【点评】①若没有这一条件,则方程表示一条射线.②极坐标方程化为直角坐标方程,方程两边同乘,使之出现2是常用的方法.【解题能力测试】1．已知点的极坐标分别为，，，，求它们的直角坐标。
1．已知点的直角坐标分别为，求它们的极坐标。
高中高三数学《极坐标系》教案、教学设计
3.教师巡回指导，针对每个小组的讨论情况进行点评，引导学生深入思考。
（四）课堂练习
1.设计具有代表性的练习题，涵盖本节课的知识点，让学生在练习中巩固所学。
2.分层次布置练习题，使每个学生都能在适合自己的练习中提高。
3.及时批改反馈，针对学生存在的问题，给予个性化指导。
高中高三数学《极坐标系》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解极坐标系的概念，掌握极坐标与直角坐标之间的转换方法，能够熟练运用互化公式进行坐标变换。
2.掌握极坐标系下点的表示方法，能够准确地绘制极坐标图形，并解决相关几何问题。
3.熟练运用极坐标系解决实际问题，如极坐标下的直线、圆等图形的方程求解，以及极坐标系在物理学、工程学中的应用。
1.基础题：完成课本第十五章的习题1、2、3，要求学生熟练掌握极坐标系的基本概念和转换方法。
2.提高题：解答课本第十五章习题4、5，培养学生运用极坐标系解决几何问题的能力。
3.应用题：结合实际案例，设计一道与极坐标系相关的应用题，要求学生运用所学知识分析问题、解决问题。
4.研究性学习：分组进行课题研究，选择与极坐标系相关的科学问题或实际应用场景，深入探讨并撰写研究报告。
作业布置要求：
1.学生在完成作业时，要认真思考，独立完成，切勿抄袭。
2.对于基础题，要求学生掌握基本概念，注意运算过程的准确性。
3.提高题和应用题旨在培养学生的解题策略和实际应用能力，鼓励学生多角度思考问题。
4.研究性学习要注重团队合作，充分发挥每个成员的作用，提高学生的综合素质。
5.教师在批改作业时，要关注学生的解题思路和过程，给予针对性的评价和建议。
极坐标教案(绝对经典)
极坐标一、极坐标系的概念在平面内取一个定点O ，叫做极点，从极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴，再选一个长度单位和一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个平面极坐标系，简称极坐标系。
对于平面内的任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长度，θ表示从Ox 到OM 的角度，ρ叫做点M 的极径，θ叫做点M 的极角，有序数对(ρ, θ)就叫做点M 的极坐标。
记作M(ρ, θ)。
当M 在极点时，它的极径ρ=0，极角任意。
极坐标有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向．极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数ρ、θ对应惟一点P (ρ，θ)，但平面内任一个点P 的极坐标不惟一．一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，P (ρ，θ)（极点除外）的全部坐标为(ρ,θ＋πk 2)或（ρ-，θ＋π)12(+k ），(∈k Z )．极点的极径为0，而极角任意取．若对ρ、θ的取值范围加以限制．则除极点外，平面上点的极坐标就惟一了，如限定ρ>0，0≤θ＜π2或ρ<0，π-＜θ≤π等．极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的．即一个点的极坐标是不惟一的．即：1、极坐标⇒直角坐标 cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩ 2、直角坐标⇒极坐标222tan (0)x y y x x ρθ⎧=+⎪⎨=≠⎪⎩图1x ⎩（直极互化 图）三、简单曲线的极坐标方程在极坐标系中，曲线可以用含有ρ，θ这两个变量的方程f(ρ,θ)=0来表示，如果曲线C 上的点与一个一元二次方程f(ρ,θ)=0建立了如下的关系：1、曲线C 上的每个点的极坐标中至少有一组(ρ,θ)满足方程f(ρ,θ)=0；2、极坐标满足f(ρ,θ)=0的点都在曲线上。
那么方程f(ρ,θ)=0叫做曲线C 的极坐标方程，曲线C 叫做极坐标方程f(ρ,θ)=0的曲线。
极坐标系教案范文
极坐标系教案范文教案：极坐标系主题：极坐标系的概念和运用目标：1.了解极坐标系的概念和特点。
2.掌握极坐标和直角坐标之间的转换关系。
3.理解和应用极坐标系的运算规则。
教学过程：一、导入（10分钟）1.学生回顾直角坐标系的概念和特点。
2.引入极坐标系的概念：极坐标系是一种使用极径和极角表示点的坐标系统。
二、讲解（30分钟）1.介绍极坐标的表示方法：a.极径：表示点到原点的距离，用正实数表示。
b.极角：表示点与正半轴正方向之间的角度，用弧度制表示。
2.极坐标系和直角坐标系的转换关系：a.极坐标到直角坐标：使用以下公式进行转换：x = r * cosθy = r * sinθb.直角坐标到极坐标：使用以下公式进行转换：r=√(x^2+y^2)θ = arctan(y/x)3.极坐标系的特点：a.极坐标系更适合描述圆形和环状的图形。
b.极坐标系更符合人们对环绕性质的感觉。
三、练习（30分钟）1.根据给定的直角坐标，计算其对应的极坐标。
2.根据给定的极坐标，计算其对应的直角坐标。
3.给定一个点的极坐标，画出对应的图形。
四、拓展（20分钟）1.讲解极坐标系的运算规则：a.极坐标的加法：将极径相加，而极角保持不变。
b.极坐标的减法：将极径相减，而极角保持不变。
c.极坐标的乘法：将极径相乘，将极角相加。
d.极坐标的除法：将极径相除，将极角相减。
2.举例子说明运算规则的应用：a.计算两个点的距离。
b.计算两个点的角度差。
c.计算两个点之间连线的方程等。
五、总结（10分钟）1.回顾极坐标系的概念和特点。
2.总结极坐标和直角坐标的转换公式。
3.强调极坐标系的运算规则和应用。
教学反思：通过本节课的教学，学生们对极坐标系的概念和特点有了更深入的了解，掌握了极坐标和直角坐标之间的转换关系，并能够应用极坐标系的运算规则解决相关问题。
丰富的练习和拓展部分有助于提高学生理解和运用极坐标系的能力。
可以通过在实际生活中找到更多的例子来巩固学生对极坐标系的理解和应用。
人教a版选修4-4极坐标系的概念教案.doc
极坐标系的概念教案前言：《数学新课标》对于极坐标的要求是：(1)能用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系屮刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化。
(2)能在极地标系屮给出简单图形的方程。
通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系屮的方程，体会在用方程刻画平面图形是选择适当坐标系的意义。
教学目标1.知识与技能①理解极坐标系的有关概念；②掌握极坐标平面内点的极坐标的表示。
a)会在极坐标系内描出己知极坐标的点；b)会写出极坐标平面内点的极坐标。
③掌握平面内一点极坐标与平面直角坐标的互化。
2.过程与方法进一步提高学生的观察、归纳、分析和概扌舌能力；学会分类讨论及类比的数学思想方法。
3.情感、态度与价值观通过生活中的具体事例引入极坐标系使学生认识极坐标的作用及应用极坐标来描述实际问题的方便性及实用性，体验数学的实际应用价值。
通过对问题的探究使学生享受到成功的喜悦。
教学重点、难点：1.重点：平面内点的极坐标。
2.难点：极坐标的作用及英意义的理解。
教学过程设计例题2： 坐标。
问题1:以前我们建立的平面坐标系是直角坐标系。
它是常用的坐标系。
那么它是唯一的坐 标系吗？比如说，衡东一中在衡东汽车站的正东方向200米处。
我们用数学语言可以怎样描 述。
在生活中我们经常用距离和方向来表示一点的位置。
用距离和方向表示平面内一点的位 置，这就是今天我们要学习的极坐标系的问题。
（出示课题:“极坐标系②设M 是平血内一点，极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径，记为p ；以极轴 Ox 为始边,射线为终边的叫xOM 叫做点的极角，记为0。
有序实数对（°,&）叫做点M 的极坐标，记为M （p,&）-般地，不作特别说明时，我们认为p>0, &可取任意实数（三）极坐标的应用例题1：写出A, B, C 三点的极坐标。
止方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系。
极坐标教案
（直极互化 图）
l P(ρ，θ) ρ ρ0 θ0 O θ
M(ρ0，θ0) α x
经过定点 M(b， )，且与极轴 2 平行 ρsinθ = b
M(b，2 ) α O(M) a x O M x O a
l x
2．圆的极坐标方程 若圆的圆心为 M(ρ0，θ0)，半径为 r，求圆的极坐标方程。 设 P(ρ，θ)为圆上任意一点，由余弦定理，得 PM2 = OM2 +OP2 −2OM· OPcos∠POM，
M
O
图1
x
2、极坐标有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向．极坐 标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数 、 对 应惟一点 P( ， )，但平面内任一个点 P 的极坐标不惟一．一个点可以有无数个坐标，这 些坐标又有规律可循的，P( ， )（极点除外）的全部坐标为( , ＋ 2k )或（ ，
评述:对于给出的极坐标方程相对于极坐标系而言不是标准的,一般将其等价转 化为直角坐标方程来判断其曲线类型. 类题:1(1991 年三南)极坐标方程 4sin2 =3 表示的曲线是 (A)二条射线 (B)二条相交直线 (C) 圆 (D) 抛物线 (答案:B) 2(1987 年全国)极坐标方程 =sin +2cos 所表示的曲线是 (A)直线 (B)圆 (C)双曲线 (D) 抛物线 (答案:B)
2
6
6
2 )8 0； （2） 15 cos(
6
) 50 0
2 , 0 ，代入可得。 ） 5 2 2 17．在平面直角坐标系中已知点 A（3，0） ，P 是圆 x y 1 上一个运点，且 AOP 的
极坐标系教案
极坐标系教案一、教学目标：1.了解极坐标系的概念和基本性质。
2.掌握在极坐标系中表示点的方法。
3.了解极坐标系与直角坐标系之间的转换关系。
二、教学重点：1.极坐标系的概念和基本性质。
2.在极坐标系中表示点的方法。
三、教学难点：1.极坐标系与直角坐标系之间的转换关系。
四、教学准备：1.教师准备黑板、彩色粉笔和教学课件。
2.学生准备铅笔和笔记本。
五、教学过程：Step 1 引入新课教师通过引导学生回忆直角坐标系的表示方法，让学生了解到直角坐标系的局限性，引出极坐标系的概念和意义。
Step 2 讲解极坐标系的概念和基本性质教师通过板书和课件向学生讲解极坐标系的概念和基本性质：极坐标系是以原点O和极轴为基准建立的坐标系，点P的位置用距离r和角度θ来表示。
极半径r是点P到原点O的距离，极角θ是以极轴的正方向为起点，逆时针旋转到点P所过的角。
Step 3 示范和练习教师通过示范和练习帮助学生掌握在极坐标系中表示点的方法。
首先，教师示范在极坐标系中表示一个点的步骤：先确定点的位置，然后确定点的极坐标。
随后，教师让学生在极坐标系中表示给定的点，进行练习。
Step 4 讲解极坐标系与直角坐标系的转换教师通过板书和课件向学生讲解极坐标系与直角坐标系之间的转换关系：在直角坐标系中，点P的坐标是( x，y)，在极坐标系中，点P的坐标是( r，θ )。
直角坐标系到极坐标系的转换公式为： r = sqrt( x^2 + y^2 )，θ = arctan( y / x )。
Step 5 示范和练习教师通过示范和练习帮助学生掌握直角坐标系和极坐标系之间的转换关系。
首先，教师示范将直角坐标系中的点转换为极坐标，然后将极坐标系中的点转换为直角坐标。
随后，教师让学生进行练习，巩固转换关系的理解和运用。
Step 6 小结和作业布置教师通过让学生回答问题和归纳总结的方式对本节课的内容进行小结，然后布置作业：完成课后练习题，做好笔记。
六、板书设计：极坐标系1.概念：以原点O和极轴为基准建立的坐标系，点P的位置用距离r和角度θ来表示。
极坐标系的概念学案
极坐标系的概念学案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN§2极坐标系2．1极坐标系的概念课标解读1.了解极坐标系的概念．2.理解点的极坐标的不唯一性．3.能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置. 1．极坐标系的概念图1－2－1如图1－2－1所示，在平面内取一个定点O，叫作极点，从O 点引一条射线Ox，叫作极轴，选定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向)．这样就确定了一个平面极坐标系，简称极坐标系．2．极坐标的概念对于平面内任意一点M，用ρ表示线段OM的长，θ表示以Ox 为始边、OM为终边的角度，ρ叫作点M的极径，θ叫作点M的极角，有序实数对(ρ，θ)叫作点M的极坐标，记作M(ρ，θ).特别地：当点M在极点时，它的极径ρ＝0，极角θ可以取任意值．3．点与极坐标的关系一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一个点，特别地：极点O的坐标为(0，θ)(θ∈R)．和点的直角坐标的唯一性不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示．如果规定ρ＞0，0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ)表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是唯一确定的．1．建立极坐标系需要哪几个要素？【提示】建立极坐标系的要素是(1)极点；(2)极轴；(3)长度单位；(4)角度单位和它的正方向，四者缺一不可．极轴是以极点为端点的一条射线，它与极轴所在的直线是有区别的；极角θ的始边是极轴，它的终边随着θ的大小和正负而取得各个位置；θ的正方向通常取逆时针方向，θ的值一般是以弧度为单位的量数；点M 的极径ρ表示点M 与极点O 的距离|OM |，因此ρ≥0.但必要时，允许ρ＜0.2．为什么点的极坐标不唯一？【提示】 根据我们学过的任意角的概念：一是终边相同的角有无数个，它们相差2π的整数倍，所以点(ρ，θ)还可以写成(ρ，θ＋2k π)(k ∈Z )；二是终边在一条直线上且互为反向延长线的两角的关系，所以点(ρ，θ)的坐标还可以写成(－ρ，θ＋2k π＋π)(k ∈Z )．3．试探究M (ρ，θ)关于极轴、极点及过极点且垂直于极轴的直线的对称点坐标．【提示】 (ρ，θ)关于极轴的对称点为(ρ，2π－θ)，关于极点的对称点为(ρ，π＋θ)，关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点为(ρ，π－θ).根据点的位置确定点的极坐标设点A (2，π3)，直线l 为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点A 关于极轴，直线l ，极点的对称点的极坐标(限定ρ>0,0<θ≤2π)．【思路探究】 欲写出点的极坐标，首先应确定ρ和θ的值．【自主解答】如图所示，关于极轴的对称点为B(2，53π)．关于直线l的对称点为C(2，23π)．关于极点O的对称点为D(2，4π3)．四个点A，B，C，D都在以极点为圆心，2为半径的圆上．1．点的极坐标不是唯一的，但若限制ρ>0,0≤θ<2π，则除极点外，点的极坐标是唯一确定的．2．写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前，极角θ在后，不能颠倒顺序．若使正六边形的一个顶点为极点，极轴通过它的一边，试求正六边形各顶点的坐标．【解】建立如图所示的极坐标系，则正六边形各顶点的坐标为：A(0,0)，B(a,0)，C(3a，π6)，D(2a，π3)，E (3a ，π2)，F (a ，23π).由极坐标确定点的位置在极坐标系中，作出以下各点：A (4,0)，B (3，π4)，C (2，π2)，D (3，7π4)．【思路探究】 建立极坐标系――→极径作出极 角的终边――→极角以极点O 为圆心， 以极径为半径 分别画弧―→点的 位置【自主解答】 如图，A ，B ，C ，D 四个点分别是唯一确定的．由极坐标确定点的位置的步骤： ①取定极点O ；②作方向为水平向右的射线Ox 为极轴；③以极点O 为顶点，以极轴Ox 为始边，通常按逆时针方向旋转极轴Ox 确定出极角的终边；④以极点O 为圆心，以极径为半径画弧，弧与极角终边的交点即是所求点的位置．在同一个极坐标系中，画出以下各点： A (1，π4)，B (2，32π)，C (3，－π4)，D (4，94π)． 【解】 如图所示．极坐标系的实际应用某大学校园的部分平面示意图如图1－2－2所示．图1－2－2用点O、A、B、C、D、E、F分别表示校门、器材室、公寓、教学楼、图书馆、车库、花园，建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标．(限定ρ≥0,0≤θ＜2π且极点为(0,0))．【思路探究】解答本题先选定极点作极轴，建立极坐标系，再求出各点的极径和极角，即可得出各点的极坐标．【自主解答】以点O为极点，OA所在的射线为极轴Ox(单位长度为1 m)，建立极坐标系，如图所示．由|OB |＝600 m ，∠AOB ＝30°，∠OAB ＝90°，得 |AB |＝300 m ，|OA |＝300 3 m ， 同样求得|OD |＝2|OF |＝3002m ， 所以各点的极坐标分别为O (0,0)，A (3003，0)，B (600，π6)，C (300，π2)， D (3002，3π4)，E (300，π)，F (1502，3π4)．在极坐标系中，由点的位置求极坐标时，随着极角的范围的不同，点的极坐标的表示也会不同，只有在ρ＞0，θ∈[0,2π)的限定条件下，点的极坐标才是唯一的．(1)若A (3，4π3)，B (5，π6)，O 为极点，求△AOB 的面积； (2)在极坐标系中，A (2，34π)与B (3，74π)，求A 、B 两点间的距离．【解】(1)S △AOB ＝12×|3×5×sin(43π－π6)|＝154. (2)A 、B 在极坐标系中的位置如图： 则|AB |＝5.(教材第18页习题1—2A 组第2题)在极坐标系中，已知A (ρ，θ)，B (ρ，－θ)，C (－ρ，－θ)，D (－ρ，θ)，则点A 和B 、C 和D 分别有怎样的相互位置关系？(2013·福州模拟)如图1－2－3，如果对点的极坐标定义如下：点M (ρ，θ)(ρ＞0，θ∈R )，关于极点O 的对称点M ′(－ρ，θ)．例如，M (3，π3)关于极点O 的对称点M ′(－3，π3)，也就是说(3，π3＋π)与(－3，π3)表示同一点．图1－2－3已知点A 的极坐标是(6，5π3)，分别在下列给定条件下，写出点A 关于极点O 的对称点A ′的极坐标：(1)ρ＞0，－π＜θ≤π； (2)ρ＜0,0≤θ＜2π； (3)ρ＜0，－2π＜θ≤0.【命题意图】 本题以极坐标系中点的对称为载体，主要考查极坐标系中点的极坐标的确定，同时考查应用极坐标系解决问题的能力．【解】 如图所示，|OA |＝|OA ′|＝6， ∠xOA ′＝2π3，∠xOA ＝5π3，即A 与A ′关于极点O 对称，由极坐标的定义知 (1)当ρ＞0，－π＜θ≤π时，A ′点的坐标为(6，2π3)； (2)当ρ＜0,0≤θ＜2π时，A ′点的坐标为(－6，5π3)；(3)当ρ＜0，－2π＜θ≤0时，A ′点的坐标为(－6，－π3).1．在极坐标系中与点P (2，π3)表示同一点的是( ) A ．(－2，π3) B ．(2，－π3) C ．(－2, 4π3)D ．(－2，－π3)【解析】 在极坐标系中将点P 确定，再逐个验证知C 正确． 【答案】 C2．点P (2，π3)关于极轴的对称点的极坐标为( ) A ．(－2，π3) B ．(2，2π3) C ．(2，4π3)D ．(2，5π3)【解析】 在极坐标系中确定点P 位置，再作出其关于极轴的对称点P ′知D 正确．【答案】 D3．(2013·南阳模拟)关于极坐标系的下列叙述： ①极轴是一条射线； ②极点的极坐标是(0,0)； ③点(0,0)表示极点；④点M (4，π4)与点N (4，5π4)表示同一个点． 其中，叙述正确的序号是________．【解析】 设极点为O ，极轴就是射线Ox ，①正确；极点O 的极径ρ＝0，极角θ是任意实数，极点的极坐标应为(0，θ)，②错误；给定极坐标(0,0)，可以在极坐标平面内确定唯一的一点，即极点，③正确；点M 与点N 的极角分别是θ1＝π4，θ2＝5π4，二者的终边互为反向延长线，④错误．【答案】 ①③4．已知边长为2的正方形ABCD 的中心在极点，且一组对边与极轴Ox 平行，求正方形的顶点的极坐标(限定ρ≥0,0≤θ＜2π)．【解】 如图所示，由题意知|OA |＝|OB |＝|OC |＝|OD |＝2，∠xOA ＝π4，∠xOB ＝3π4，∠xOC ＝5π4，∠xOD ＝7π4.∴正方形的顶点坐标分别为A (2，π4)，B (2，3π4)，C (2，5π4)，D (2，7π4)．一、选择题1．在极坐标系中，点M (－2，π6)的位置 ，可按如下规则确定( )A ．作射线OP ，使∠xOP ＝π6，再在射线OP 上取点M ，使|OM |＝2B ．作射线OP ，使∠xOP ＝7π6，再在射线OP 上取点M ，使|OM |＝2C ．作射线OP ，使∠xOP ＝7π6，再在射线OP 的反向延长线上取点M ，使|OM |＝2D ．作射线OP ，使∠xOP ＝－π6，再在射线OP 上取点M ，使|OM |＝2【解析】 当ρ＜0时，点M (ρ，θ)的位置按下列规定确定：作射线OP ，使∠xOP ＝θ，在OP 的反向延长线上取|OM |＝|ρ|，则点M 就是坐标(ρ，θ)的点，故选B.【答案】 B2．若ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，则点M 1(ρ1，θ1)与点M 2(ρ2，θ2)的位置关系是( )A ．关于极轴所在直线对称B ．关于极点对称C ．关于过极点垂直于极轴的直线对称D ．关于过极点与极轴成π4角的直线对称【解析】 因为点(ρ，θ)关于极轴所在直线对称的点为(－ρ，π－θ)，由此可知点(ρ1，θ1)和(ρ2，θ2)满足ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，是关于极轴所在直线对称，故选A.【答案】 A3．(2013·商丘模拟)在极坐标系中，已知A (2，π6)、B (6，－π6)，则OA 、OB 的夹角为( )A.π6 B ．0 C.π3 D.5π6【解析】 如图所示，夹角为π3.【答案】 C4．在极坐标系中，若等边△ABC 的两个顶点是A (2，π4)，B (2，5π4)，那么顶点C 的坐标可能是( )A ．(4，3π4)B ．(23，3π4) C ．(23，π) D ．(3，π)【解析】 如图，由题设，可知A ，B 两点关于极点O 对称，即O 是AB 的中点．又|AB |＝4，∠AOC ＝π2，C 对应的极角为θ＝π4＋π2＝3π4或5π4＋π2＝7π4，即C 点的极坐标可能为(23，3π4)或(23，7π4)，故应选B.【答案】 B 二、填空题5．点M (6，5π6)到极轴所在直线的距离为________．【解析】 依题意，点M (6，5π6)到极轴所在的直线的距离为d ＝6×sin 5π6＝3.【答案】 36．已知极坐标系中，极点为O,0≤θ＜2π，M (3，π3)，在直线OM 上与点M 的距离为4的点的极坐标为________．【解析】 如图所示，|OM |＝3，∠xOM ＝π3，在直线OM 上取点P ，Q ， 使|OP |＝7，|OQ |＝1，显然有|PM |＝|OP |－|OM |＝7－3＝4， |QM |＝|OM |＋|OQ |＝3＋1＝4. 点P ，Q 都满足条件． 且∠xOP ＝π3，∠xOQ ＝4π3. 【答案】 (7，π3)或(1，43π) 三、解答题7．在极坐标系中作下列各点，并说明每组中各点的位置关系． (1)A (2,0)、B (2，π6)、C (2，π4)、D (2，π2)、E (2，32π)、F (2，54π)、G (2，116π)；(2)A (0，π4)、B (1，π4)、C (2，54π)、D (3，54π)、E (3，π4)． 【解】 (1)所有点都在以极点为圆心，半径为2的圆上．(2)所有点都在与极轴的倾斜角为π4，且过极点的直线上．8．已知A 、B 两点的极坐标分别是(2，π3)、(4，5π6)，求A 、B 两点间的距离和△AOB 的面积．【解】 求两点间的距离可用如下公式： |AB |＝4＋16－2×2×4×cos (5π6－π3)＝20＝2 5.S △AOB ＝12|ρ1ρ2sin(θ1－θ2)|＝12|2×4×sin(5π6－π3)|＝12×2×4＝4.9．已知△ABC 三个顶点的极坐标分别是A (5，π6)，B (5，π2)，C (－43，π3)，试判断△ABC 的形状，并求出它的面积．【解】 ∵C (43，4π3)，∠AOB ＝π2－π6＝π3， 且|AO |＝|BO |，所以△AOB 是等边三角形， |AB |＝5， |BC |＝52＋(43)2－2×5×43×cos (4π3－π2)＝133，|AC |＝52＋(43)2－2×5×43cos (2π3＋π6)＝133， ∵|AC |＝|BC |，∴△ABC 为等腰三角形，AB 边上的高为43＋5×32＝1332， ∴S △ABC ＝12×5×1332＝6534.教师备选10．在极坐标系中，B (3，π4)，D (3，74π)，试判断点B ，D 的位置是否具有对称性，并求出B ，D 关于极点的对称点的极坐标(限定ρ>0，θ∈[0,2π))．【解】 由B (3，π4)，D (3，7π4)，知|OB |＝|OD |＝3，极角π4与7π4的终边关于极轴对称． 所以点B ，D 关于极轴对称．设点B (3，π4)，D (3，7π4)关于极点的对称点分别为E (ρ1，θ1)，F (ρ2，θ2)，且ρ1＝ρ2＝3.当θ∈[0,2π)时，θ1＝5π4，θ2＝3π4，∴E (3，5π4)，F (3，3π4)为所求.。
极坐标系教案
《极坐标系》教学设计方案教学目标知识与技能1.认识极坐标,能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置；2。
体会极坐标系与平面直角坐标系的区别，能进行极坐标和直角坐标间的互化。
过程与方法1。
通过观看图片，让学生直观感受引进极坐标的必要性;2.运用类比方法，经历极坐标的建立过程;3。
通过学生动手描点,得出极坐标的多值性。
情感、态度与价值观1。
培养学生的类比思想，培养探究,研讨,综合自学应用能力；2。
培养学生分析问题，解决问题的能力.重点难点重点：能用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标与直角坐标的互化。
难点：理解用极坐标刻画点的位置的基本思想；点与极坐标之间的对应关系的认识教学过程一、新课导入1。
平面直角坐标系是最常用的一种坐标系,但不是唯一的一种坐标系。
有时用别的坐标系比较方便.还有什么坐标系呢？我们先看下面的问题：(投影图片,让学生直观感受引进极坐标的必要性。
)2.在以上问题中,位置是用什么方法确定的?3.在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置：如台风预报、地震预报、测量、航空、航海等.这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想,就是极坐标的基本思想。
二、探究新知问题：类比建立平面直角坐标系的过程,怎样建立极坐标系?(学生思考，抽生回答，并补充，最后教师总结。
)1。
极坐标系的概念（1）概念：在平面内取一个定点O，叫做极点;自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位,一个角度单位(通常用弧度）及其正方向（通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。
（2)点的极坐标的规定:如图:设M是平面内一点，极点O与点M的距离｜OM｜叫做点M的极径，记为;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为；有序实数对（）叫做点M的极坐标，记为；一般地，不做特殊说明时,我们认为。
（3)极坐标系下点与它的极坐标的对应情况:问题:在同一极坐标系中描点这些点有什么关系？你能从中体会直角坐标与极坐标在刻画点的位置时的区别吗？从以下方面探究：①平面上一点的极坐标是否唯一?②若不惟一，那有多少种表示方法？③坐标不惟一是由谁引起的？④同一点不同的极坐标是否可以写出统一表达式?结论：1)给定（ρ,θ）,在极坐标平面内确定惟一的一点M；2)给定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应；原因在于：极角有无数个;3)一般地，极坐标(ρ,θ)与(ρ，θ+2kπ）表示同一个点；4）特别地，极点O的坐标为(0,θ）(θ∈R)；5)如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点和极坐标就可以一一对应了。
教案121极坐标系的概念
1.2.1 极坐标系的概念一、教材分析：本节内容是人教A版高中数学选修4—4《坐标系与参数方程》第一讲第二节极坐标系的第一课时，教学目的是使学生认识极坐标系，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别。
二、学情分析：本班为高二（3）理科班，女生与男生的比例大约是2:3，基础知识较薄弱，思维能力较好，学习态度端正。
三、教学目标：1、知识与技能：认识极坐标系，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置.2、过程与方法：借助生活中的实际问题体会建立极坐标系的必要性，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别.3、情感态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
四、教学重难点：1、教学重点：认识极坐标系的重要性，能用极坐标刻画点的位置。
2、教学难点：理解用极坐标刻画点的位置的基本思想，认识点与极坐标之间的对应关系。
五、教学方法：启发、诱导发现、学案教学.六、教学过程：（一）、、创设情境，激发兴趣，导入新课情境1：现在假设一友人走到了清镇市七砂中学的校门口，他要去食堂找人，于是问路，我用这样的方式告诉他，以校大门与墙所在的直线为x轴，以这条马路为y轴，建立直角坐标系…，友人无语…那么，你会怎样告诉他呢？情境2：如图为某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处。
（1）他向东偏北60°方向走120M后到达什么位置？该位置唯一确定吗？答：图书馆，该位置唯一确定。
（2）如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？答：体育馆：向正东方向走60m办公楼：北偏东45º方向走50m。
或南偏西45º方向走50m。
（二）、探究活动，生成新知：从情境中探索出：在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。
这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。
1、极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系。
(完整word版)《极坐标系》教学设计
1.2 极坐标系(谷杨华)一、教学目标（一）核心素养通过这节课学习，认识极坐标系、能在极坐标系下用极坐标表示点的位置，会进行极坐标和直角坐标的互化，在直观想象、数学抽象中感受极坐标的特点．（二）学习目标1．通过实例，认识极坐标系，体会用极坐标表示点的特点．2．了解用极坐标系表示点的不唯一性．3．能进行极坐标系与平面直角坐标系的互化，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别．（三）学习重点1．认识极坐标系的重要性．2．用极坐标刻画点的位置．3．会进行极坐标与直角坐标的互化．（四）学习难点1．理解用极坐标刻画点的位置的基本思想．2．认识点与极坐标之间的对应关系．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第8页至第11页，填空：极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．极坐标系内一点的极坐标的规定：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为M ),(θρ．一般地，不作特殊说明时，我们认为0≥ρ，θ可取任意实数．（2）想一想：点与极坐标有什么关系？一般地，极坐标),(θρ与)2,(πθρk +)(Z k ∈表示同一个点．特别地，极点O 的坐标为))(,0(R ∈θθ．如果规定πθρ20,0<≤>，那么除极点外，平面内的点可用惟一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是惟一确定的．（3）写一写：极坐标系与直角坐标系如何转化？把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度.设M 是平面内任意一点,它的直角坐标是),(y x ，极坐标是),(θρ，则：=x θρcos ， =y θρsin=2ρ22y x +， =θtan )0(≠x xy2．预习自测（1）在极坐标系中，下列各点中与)3,2(π表示的不是同一个点的是( )A ．)35,2(π-B ．)37,2(πC ．)35,2(πD ．)313,2(π 【知识点】极坐标系【解题过程】由于极坐标),(θρ与)2,(πθρk +)(Z k ∈表示同一个点，检验得，选项C 不是同一个点【思路点拨】根据点的极坐标定义代入验证可得 【答案】C（2）已知点A 的直角坐标为)2,0(，则点A 的极坐标为（ ）A ．)2,2(π B ．)0,2( C ．)2,2(π D ．)2,2(π-【知识点】极坐标与直角坐标互化【解题思路】根据极坐标与直角坐标互化公式可得：22022=+=ρ，显然2πθ=【思路点拨】由极坐标与直角坐标互化可得 【答案】A（3）已知点M 的极坐标为)4,3(π，则点M 的直角坐标为（ ）A ．)3,3(B ．)223,223(C ．)233,23( D ．)33,3( 【知识点】极坐标与直角坐标互化【解题思路】根据极坐标与直角坐标互化公式可得：223sin ,223cos ====θρθρy x 【思路点拨】由极坐标与直角坐标互化可得 【答案】B（4）已知A 、B 两点极坐标为)32,6(),3,4(ππ-B A ，则线段AB 中点的极坐标为________．【知识点】极坐标与直角坐标互化、中点坐标公式【解题过程】 将A,B 两点化为直角坐标得 )33,3(),32,2(--B A ，所以中点的直角坐标为)23,21(--，化为极坐标得)34,1(π【思路点拨】先化为直角坐标，利用在直角坐标系下的中点坐标公式求出中点，再化为极坐标 【答案】)34,1(π(二)课堂设计1．知识回顾（1）平面直角坐标系中的点P 与坐标(a ,b)是一一对应的. 2．问题探究探究一 结合实例，认识极坐标系★ ●活动① 提出问题，创设情境如右图1是某校园教学平面示意图，假设某同学在教学楼处，请回答下列问题： (1)他向东偏北 60方向走m 120后到达什么位置？该位置唯一确定吗？(2)如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？（学生回答）(1) 他向东偏北 60方向走m 120后到达是点C 图书馆的位置，该位置唯一确定.(2)如果去体育馆向正东方向走m 60，去办公楼向北偏西 45走m 50.上面刻画位置是以A 作为基点，并以射线AB 为参照方向，然后利用与A 距离和与AB 所成角度来描述位置，例如“东偏北 60，距离m 120”，即利用“距离”和“角度”来刻画平面上点的位置.在上一节中，我们用“在信息中心的西偏北 45方向，距离m 10680处”描述了巨响的位置.即以信息中心为基点，以正西方向为参照，用与信息中心的距离与正西方向所成的角来刻画巨响的位置.有时候它比直角坐标更方便，在现实生活中，有很多的应用，例如台风预报，地震预报，测量、航空、航海中主要采用这种方法.【设计意图】从生活实例到数学问题，引入学习极坐标系概念的必要性，形成用角和距离刻画点的位置的直觉.●活动② 互动交流，类比提炼概念图1我们类比建立平面直角坐标系的过程，怎样建立用距离与角度确定平面上点的位置的坐标系？（学生讨论交流）平面直角坐标系的建立是在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称直角坐标系.通常，两条数轴分别置于水平位置与垂直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向.水平的数轴叫做x 轴或横轴，垂直的数轴叫做y 轴或纵轴，它们的公共原点O 称为直角坐标系的原点，以点O 为原点的平面直角坐标系记作平面直角坐标系xOy .类比上述过程，我们在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．极坐标建立后，如何来定义平面中的点的极坐标呢？ 如右图2，设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为M ),(θρ．一般地，不作特殊说明时，我们认为0≥ρ，θ可取任意实数．【设计意图】从特殊到特殊，类比得到极坐标系，让学生不会觉得极坐标系来得太突然，顺其自然得到点在极坐标系中的定义. ●活动③ 巩固基础，检查反馈 例1 在极坐标系里描出下列各点.)0,3(A ，)2,3(πB ,)34,5(πC ,)65,3(πD ,)35,6(πE【知识点】极坐标系的定义、点在极坐标系中的表示图24π Ox2π 65ππB 【数学思想】数形结合【解题过程】根据点在极坐标的表示，ρ表示的是点到极点的距离，θ表示射线与极轴所成的角，所以个点在极坐标的位置如图．【思路点拨】欲确定点的位置，需先确定ρ和θ的值．【答案】如右图．同类训练 在右图3的极坐标系中描出下列点的位置：)4,3(πF ，),4(πG【知识点】极坐标系的定义、点在极坐标系中的表示 【数学思想】数形结合【解题过程】根据点在极坐标的表示，ρ表示的是点到极点的距离，θ表示射线与极轴所成的角，所以个点在极坐标的位置如图3．【思路点拨】欲确定点的位置，需先确定ρ和θ的值． 【答案】如右图3．探究二 探究点与极坐标的对应关系 ●活动① 认识差异、辨析极坐标系在图1中，用点E D C B A ,,,,分别表示教学楼，体育馆，图书馆，实验楼，办公楼的位置.建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标.我们以点A 为极点，AB 所在的射线为极轴（单位长度为m 1），建立极坐标系，则E D C B A ,,,,的极坐标分别为GFAD CE4π Ox2π 65ππ34π 35π 图3 x图4)43,50(),2,360(),3,120(),0,60(),0,0(πππ建立极坐标系后，给定ρ和θ，就可以在平面内惟一确定点M ，反过来，给点平面内任意一点，也可以找到她的极坐标),(θρ.但是否和平面直角坐标系中的点和直角坐标一样，极坐标和点事一一对应的关系呢？【设计意图】通过对点的极坐标的认识，为后面点的极坐标不惟一做好铺垫． ●活动② 合作探究，解决问题我们来观察下列极坐标表示的点之间有何关系呢？)26,4(),46,4(),26,4(),6,4(πππππππ-++由终边相同的角的定义可知，上述极坐标表示的是同一个点，于是：一般地，极坐标),(θρ和))(2,(Z k k ∈+πθρ表示同一个点，所以，极坐标和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示.特别地，极点O 的极坐标为))(,0(R ∈θθ如果我们规定πθρ20,0<≤>，那么除极点外，平面内的点可用惟一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是惟一确定的．同类训练 在极坐标系中，写出下图中各点的极坐标(πθρ20,0<≤>)A （4，0）B （ ）C （ ）D （ ） F （ ） G （ ） 【知识点】极坐标系的定义、点在极坐标系中的表示【数学思想】数形结合【解题过程】根据点A 的极坐标，可以得到其它点的极坐标)4,2(πB ，)2,3(πC ,)65,1(πD ,)34,6(πF ,)35,5(πG ．【思路点拨】(1)写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前，极角θ在后，不能把顺序颠倒了． (2)点的极坐标是不惟一的，但若限制ρ＞0，0≤θ＜2π，则除极点外，点的极坐标是惟一确定的．【答案】)4,2(πB ，)2,3(πC ,)65,1(πD ,)34,6(πF ,)35,5(πG ．【设计意图】通过辨析认识点的极坐标是不唯一的，加深对极坐标系的认识． 探究三 实现极坐标与直角坐标的互化★▲ ●活动① 归纳梳理、理解实质平面内的一个点既可以用直角坐标表示，也可以用极坐标来表示，那么这两种坐标之间有何联系呢？把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图5所示．设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是),(y x ，极坐标是),(θρ，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下：⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x ⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=)0(tan 222x x y y x θρ 这就是极坐标和直角坐标的互化公式.【设计意图】得到直角坐标与极坐标之间的关系． 活动② 巩固基础，检查反馈例2 分别把下列点的极坐标化为直角坐标图5（1）)6,2(π （2）)2,3(π【知识点】极坐标与直角坐标互化． 【解题过程】（1）由cos 2cos 6sin 2sin16x y πρθπρθ======)6,2(π化为直角坐标为)1,3(．（2）由cos 3cos 02sin 3sin32x y πρθπρθ======所以点的极坐标)2,3(π化为直角坐标为)3,0(．【思路点拨】将点的极坐标),(θρ化为点的直角坐标),(y x 时，运用到求角θ的正弦值和余弦值，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活运用三角恒等变换公式是关键． 【答案】（1） )1,3( （2） )3,0(． 同类训练 分别把下列点的极坐标化为直角坐标（1）)32,4(π（2）),(ππ 【知识点】极坐标与直角坐标互化． 【数学思想】【解题过程】（1）3232sin4sin 232cos 4cos ===-===πθρπθρy x 所以点的极坐标)32,4(π化为直角坐标为)32,2(-． （2）由cos cos sin sin 0x y ρθπππρθππ===-===所以点的极坐标),(ππ化为直角坐标为)0,(π-．【思路点拨】将点的极坐标),(θρ化为点的直角坐标),(y x 时，运用到求角θ的正弦值和余弦值，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活运用三角恒等变换公式是关键． 【答案】（1） )32,2(- （2） )0,(π-．例3 已知点B 、C 的直角坐标为)2,2(-,)15,0(-,求它的极坐标(ρ>0,0≤θ<2π).【知识点】极坐标与直角坐标互化． 【解题过程】∵ρ=,22)2(22222=-+=y x ＋122tan -=-=θ,且点位于第四象限∴θ=47π,点B 的极坐标为(22,47π).又∵x =0,y <0,ρ=15,∴点C 的极坐标为(15,23π).【思路点拨】化点的直角坐标为极坐标时，一般取πθρ20,0<≤≥，即θ取最小正角,由tanθ=xy 求θ时，还需结合在直角坐标系下点),(y x 所在的象限来确定θ的值. 【答案】B(22,47π) C(15,23π)． 同类训练 分别把下列点的直角坐标化为极坐标(限定ρ≥0，0≤θ<2π)（1） )3,3(； （2） )1,1(-- ；（3） )0,3(-． 【知识点】极坐标与直角坐标互化． 【数学思想】【解题过程】（1）333tan ,323)3(22===+=θρ 又因为点在第一象限，所以3πθ=.所以点)3,3(的极坐标为)3,32(π．（2）111tan ,2)1()1(22=--==-+-=θρ 又因为点在第三象限，所以45πθ=.所以点)1,1(--的极坐标为)45,2(π． （3）30)3(22=+-=ρ，极角为π，所以点)0,3(-的极坐标为),3(π．【思路点拨】化点的直角坐标为极坐标时，一般取πθρ20,0<≤≥，即θ取最小正角,由tanθ=xy求θ时，还需结合在直角坐标系下点),(y x 所在的象限来确定θ的值.【答案】（1）)3,32(π （2）)45,2(π（3）),3(π．【设计意图】巩固检查极坐标与直角坐标互化公式． 3.课堂总结 知识梳理（1）极坐标系的建立：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．（2）极坐标系内一点的极坐标的规定：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为M ),(θρ．一般地，不作特殊说明时，我们认为0≥ρ，θ可取任意实数．（3）如果规定πθρ20,0<≤>，那么除极点外，平面内的点可用惟一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是惟一确定的．（4）把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图所示．设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是),(y x ，极坐标是),(θρ，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下：⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x ⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=)0(tan 222x x y y x θρ 重难点归纳（1）极坐标系就是用长度和角度来确定平面内点的位置.极坐标系的建立有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向.四者缺一不可．（2）写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前，极角θ在后，不能颠倒顺序（3）若两个坐标系符合三个前提条件：(1)极点与直角坐标系的原点重合; (2) 极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合; (3) 两种坐标系的单位长度相同.则其相互转化：（三）课后作业 基础型 自主突破1．极坐标系中，点)1,2(πP 到极点的距离是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．π2【知识点】极坐标的定义．【解题过程】由极坐标定义)1,2(πP 已知πρ2=，故P 到极点的距离为2π． 【思路点拨】根据极坐标的定义进行判断． 【答案】D ．2．下列各点中与极坐标)7,5(π表示同一个点的是( )．A ．(5，67π) B ．(5，157π) C ．(5，67π-) D ．(5，7π-) 【知识点】点在极坐标系中的表示． 【数学思想】【解题过程】根据极坐标)7,5(π和))(27,5(Z k k ∈+ππ表示同一个点，取1=k ，得选项B ．【思路点拨】极坐标),(θρ和))(2,(Z k k ∈+πθρ表示同一个点． 【答案】B ．3．在直角坐标系中点()3,1-P ，则它的极坐标是A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛3,2π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛34,2π C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,2π D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-34,2π【知识点】极坐标与直角坐标互化．【解题过程】因为313tan ,21)3(22-=-==+-=θρ，且点在第四象限，所以选C 【思路点拨】根据极坐标与直角坐标互化来求解． 【答案】C ．4．已知O 为极点，π23A ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ，7π56B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，则AOB S ∆= ( ) A.2 B.3 C.4 D.5【知识点】极坐标和直角坐标的互化，三角形面积． 【数学思想】数形结合思想【解题过程】因为π23A ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ，7π56B ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ，所以π2AOB ∠= ，则三角形为直角三角形，则面积为12552⨯⨯= ，所以选D. 【思路点拨】根据极坐标的点对应的直角坐标系中的点解析分析其几何关系计算即可． 【答案】D ．5．规定R ∈>θρ,0，则极轴上极点以外的点的极坐标为________． 【知识点】点与极坐标系的关系． 【数学思想】【解题过程】因为在极轴上且不是极点，所以极角,,2Z k k ∈=πθ极径0>ρ，所以极坐标为))(2,(Z k k ∈πρ．【思路点拨】根据极坐标的定义来处理． 【答案】))(2,(Z k k ∈πρ．6．极坐标系中，与点)3,3(π-关于极轴所在直线对称的点的极坐标是________．【知识点】点的极坐标．【解题过程】因为)3,3(π-关于极轴所在直线对称的点为)3,3(π．【思路点拨】将点描在极坐标系中来求解．【答案】)3,3(π．能力型 师生共研7．在极坐标系中，到极点的距离等于到极轴的距离的点可以是（ ）A ．)0,1(B ．)4,2(π C ．)2,3(πD ．),4(π【知识点】极坐标的定义、点的极坐标． 【数学思想】数学结合【解题过程】由题意知y =ρ，又由θρρθρsin ,sin =∴=y ，所以1sin =θ，所以选C 【思路点拨】结合极坐标的定义和极坐标与直角坐标的转化． 【答案】C8．已知点的极坐标分别为A (3，4π-)，B (2，23π)，C ，π)，D (－4，2π)，求它们的直角坐标．【知识点】直角坐标与极坐标互化．【解题过程】根据x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得A，B (－1)，C (0)，D (0，－4)【思路点拨】利用极坐标与直角坐标互化公式求解．【答案】A，B (－1，C (0)，D (0，－4) 探究型 多维突破9．已知点的直角坐标分别为A (3)，B (0，，C (－2，-)，求它们的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．【知识点】直角坐标与极坐标互化．【解题过程】(2)根据ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x得A (23,6π)，B 33(,)36π，C (4，43π)． 【思路点拨】利用极坐标与直角坐标互化公式求解．【答案】A (23,6π)，B 33(,)36π，C (4，43π)．10．某大学校园的部分平面示意图如图：用点O A B C D E F G ，，，，，，， 分别表示校门，器材室，操场，公寓，教学楼，图书馆，车库，花园，其中AB BC = ，600OC = m.建立适当的极坐标系，写出除点B 外各点的极坐标（限定002πρθ≥≤<， 且极点为（0，0））.【知识点】极坐标系的建立、极坐标刻画点的位置．【解题过程】以O 为极点，OA 所在射线为极轴建立极坐标系，因为600OC = ，π6AOC ∠= ，故π6006C ⎛⎫ ⎪⎝⎭， . 又π600cos30036OA =⨯=，π600sin 3006OD =⨯= ，3002OE = ，300OF = ，1502OG = . 故()30030A ， ，π3002D ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ，3π24E ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ，()300πF ， ，3π15024G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，【思路点拨】解决问题的关键是根据极坐标系计算即可．【答案】()3003A ， ，π3002D ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ，3π30024E ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ，()300πF ， ，3π15024G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，自助餐1．在极坐标系中，已知)6,6(),6,2(ππ-B A ，则OB OA ,的夹角为( )．A.6π B ．0 C.3π D.56π【知识点】极坐标的定义． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】如图所示，夹角为3π.【思路点拨】将B A ,两点的极坐标标在极坐标系中可得． 【答案】C2．设点P 对应的复数为－3＋3i ，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标为( )A ．⎝⎛⎭⎪⎪⎫32，34πB ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32，54πC ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3，54πD ．⎝⎛⎭⎪⎪⎫－3，34π【知识点】复数、极坐标与直角坐标互化．【解题过程】复数i 33+-对应的点的直角坐标为)3,3(-， 由133tan ,323)3(22-=-==+-=θρ，且点在第二象限，所以选A ． 【思路点拨】先把复数化为直角坐标，再化为极坐标． 【答案】A ．3．在直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x 正半轴为极轴建立极坐标系,且在两种坐标系中取相同的单位长度,将点P 的极坐标π2,4⎛⎫⎪⎝⎭化成直角坐标 .【知识点】极坐标与直角坐标互化．【解题过程】由点P 的极坐标为π2,4⎛⎫⎪⎝⎭ ,设点P 的直角坐标为(x,y),所以ππ2cos2sin 44x y ====． 【思路点拨】根据极坐标与直角坐标互化公式求解．【答案】．4．以极点为原点，极轴的方向为x 轴的正方向，建立直角坐标系，则极坐标M )35,2017(π表示的点在第________象限．【知识点】极坐标与直角坐标互化． 【解题过程】根据2201735cos 2017cos ===πθρx ，23201735sin 2017sin -===πθρy ， 所以点在第四象限．【思路点拨】根据极坐标与直角坐标互化公式求解． 【答案】四5．在极坐标系中,分别求下列条件下点)3,3(πM 关于极轴的对称点M '的极坐标:(1)[)πθρ2,0,0∈≥.(2)R ∈≥θρ,0 【知识点】极坐标系中点的刻画．【解题过程】1)当[)πθρ2,0,0∈≥时,点)3,3(πM 关于极轴的对称点M '的极坐标为)35,3(π.(2)R ∈≥θρ,0时,点)3,3(πM 关于极轴的对称点M '的极坐标为))(352,3(Z k k ∈+ππ．【思路点拨】根据点在极坐标的刻画来求解． 【答案】（1）)35,3(π；（2）))(352,3(Z k k ∈+ππ． 6．在极坐标系中，已知三点)6,32(),0,2(),3,2(ππP N M -.(1)将M ，N ，P 三点的极坐标化为直角坐标；(2)判断M ，N ，P 三点是否在一条直线上． 【知识点】极坐标与直角坐标互化【解题过程】(1)由公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得M 的直角坐标为(1，－3)；N 的直角坐标为(2,0)；P 的直角坐标为(3，3)．(2)∵k MN ＝32－1＝3，k NP ＝3－03－2＝3，∴k MN ＝k NP ，∴M ，N ，P 三点在一条直线上． 【思路点拨】根据极坐标与直角坐标互化公式求解． 【答案】（1）M(1，－3)， N(2,0)， P(3，3)；（2）在同一条直线上．。
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课题: 选修 4-4 《1.2.1极坐标系的概念》
执教人：高朝孟
执教班级：高二年级（18,26,27 ）班
执教时间： 2016 年 06 月 18 日
一、教学目标：
1、知识与技能：
（1）理解极坐标的概念，弄清极坐标系的结构（建立极坐标系的四要素）；（2）理解广义极坐标系下点的极坐标（ρ，θ）与点之间的多对一的对应关系；（3）已知一点的极坐标会在极坐标系中描点，以及已知点能写出它的极坐标。
2、过程与方法：
能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系中刻画点的位置.
3、情感、态度与价值观：
通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
二、学情分析
学生在学习了数轴、平面直角坐标系、空间直角坐标系的初步知识的基础
上，积累了一定类比、归纳推理等数学思维方法，对极坐标思想有一定的了解。
三、教学重点难点：
教学重点：理解极坐标的意义。
教学难点：能够在极坐标系中用极坐标确定点位置。
三、教学过程：
一、问题情境，导入新课：
情境 1：钓鱼岛问题：中国海警如何确定日本渔船？
3：利用数学建模，从问题情境中发现数学问题：分析利用方向、距离确定位置，
引出另一种更简单的坐标思想—极坐标的思想。
二、讲解新课：
1、合作探究，概念形成。
（1）学生阅读教材 P8-P10 页；
（2）学生表述极坐标的建立，教师结合学生表述，展示 PPT 对极坐标的概念作
深入分析。
极坐标系的建立：
在平面上取一个定点 O，自点 O 引一条射线 OX，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。
（其中 O称为极点，射线 OX称为极轴。
）
强调 : 极点、极轴、长度单位、角度单位和它的方向构成极坐标系的四要素，
缺一不可。
极坐标系就是用长度和角度来确定平面内点的位置。
2、极坐标系内一点的极坐标的表示
对于平面上任意一点M ，用表示线段OM的长度，用表示从OX到OM的角度，叫做点 M 的，叫做点 M 的，有序数对( , )就叫做 M 的.强调 : 一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥ 0，θ可取任意实数．特别地，当点 M在极点时，它的极坐标为 (0 ，θ) ，θ可以取任意实数．
3、典型例题
例 1 写出下图中各点的一个极坐标
A（）B（）C（）
D（）E（）F（）G（）
【反思感悟】(1) 写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前，极角θ在后，不能
把顺序搞错了．
变式训练 . 在极坐标系里描出下列各点
A(3,0), B(6,2 ), C (3,) , D (5, 4
), E(3,
5
) , F (4 ,),G (6 ,
5
)
2363
4、思考：通过例子，对比平面直角坐标系，平面上的点与极坐标有何关系？（1）. 平面上一点的极坐标是否惟一？若不惟一，那有多少种表示方法？
（2）. 坐标不惟一是由谁引起的？不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
强调：点与极坐标的关系：一般地，极坐标 ( ρ，θ ) 与____________________
表示同一个点．特别地，极点 O 的坐标为 (0 ，θ )( θ∈ R)．和点的直角坐标的
唯一性不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示．
（3）想一想：我们是否能限制一些条件使得平面上的点与极坐标一一对应呢？
（如果限定：＞0,0＜2，那么除了极点外，平面内的点就和极坐标一一对应了！）
（1）探究：极坐标是否对应惟一的一点
答：
规律总结：建立极坐标系后，给定( ρ，θ ) ，就可以在平面内唯一确定一点M；
巩固练习
1、已知极坐标M54，下列所给出的不能表示点 M的极坐标的是（）
（，）
3
10
A（.5，）
3
2
B（.5，-）
C（.5，-）
3
8
D.(5,)
四、课堂小结，反思感悟。
通过这节课的学习，我们有哪些收获和感想？
五、分层作业，发展深化：
（1）必做题：P12习题 1.2 第 1、2 题
选做题： 2、已知Q (2,) ，分别按下列条件求出点P 的极坐标。
3
（1） P 是点 Q关于极点 O的对称点；
（2） P 是点 Q关于直线的对称点；
2
（3） P 是点 Q关于极轴的对称点。
六、板书设计
极坐标的概念
1、极坐标的概念
2、例 1
3、例 2
4、练习巩固
5、反思总结
七、教学反思：。