第一章误差-精选
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1.模型误差 实际问题的解与数学模型的解之差称为
“模型误差”。 2.观测误差
数学问题中总包含一些参量，它们的值往 往是由观测得到的, 而观测不可能绝对准确， 由此产生的误差称为“观测误差”。
4
误差的来源
3.截断误差
由于实际问题建立起来的数学模型,在很多情况 下得到准确解是困难的,通常要用数值方法求它的 近似解.
x * 的第一位非零数字共有q位，则称近似值 x * 有q
位有效数字。
16
绝对误差、相对误差和有效数字
例如， 2 的近似值1.414准确到小数点后第3位， 它具有4位有效数字。
1.4142136作为 2 的近似值精确到小 数点后第7位，有8位有效数字。
数值分析 (54学时)
主 讲： 董 亚 丽
理学院 数学系
教材：《数值计算方法》， 第2版， 丁丽娟 程杞元 编著 北京理工大学 出版社
参考书目： 1、《数值分析原理》，封建湖等 科学出版社
2、《数值计算方法》，吕同富等，清华大学出版社
3、《数值计算方法》，合肥工业大学出版社
误差的来源
第一章误差
§1.1 误差的来源
准确值之比为近似值 x * 的相对误差，记为 er ( x* )
即
erx*exx*xxx*
(1-3)
relative error
11
绝对误差、相对误差和有效数字
由于在计算过程中准确值x总是未知的，
故一般取相对误差为
er x*
ex* x*
xx* x*
可以证明当 er
x*
e x*
个相对误差限。
例 取3.14作为 的四舍五入的近似值,试求其
相对误差限.
13
绝对误差、相对误差和有效数字
解:
3.14 0.00 116 1 02
相对误差限
x*
1102 2
3.பைடு நூலகம்4
2 0.159%
又如
由实验测得光速近似值为 c*2.99792 15 05公里/秒， 其误差限为0.1公里/秒， 于是
1 nx2n
cosx1 L 2 4! 6!
2n!
L
当 x 很小时，可以用 1 x 2 作为 coxs 近似值。
2
由交错级数判断的莱布尼兹（Leibniz）准则， 它的截断误差的绝对值不超过 x 4
24
6
误差的来源
4.舍入误差 在计算过程中往往要对数字进行舍入。 如受机器
字长的限制，无穷小数和位数很多的数必须舍入成 一定的位数。 这样产生的误差称为“舍入误差”。
3.140.0016 1 1 0 2
2
若取 3.142, 则
3.142 0.000 1411 0 3
2
10
绝对误差、相对误差和有效数字
误差限的大小不能完全反映近似值的精确程度。 要刻画近似值的精确程度，不仅要看绝对误差的
大小，还必须考虑所测量本身的大小， 由此引出 了相对误差的概念。
定义2 设 x *为准确值 x 的近似值，称绝对误差与
数值计算方法是应用数学研究的一个重要分 支(又称数值分析或计算方法)， 是研究科学与 工程技术中数学问题的数值解及其理论的,
或者说是“研究用于求得数学问题近似解的 方法和过程”。
用数学方法解决实际问题，常按以下过程 进行：
实际问题 抽象、简化 数学模型 数值计算 问题近似解
3
误差的来源
因此，在计算过程中，误差是不可避免的。 在此过程中，引起误差的因素很多，主要有以 下几种：
当 e(x*) 0时 ,称 x * 为强近似值或盈近似值. 一般情况下 准确值 x难以求出，从而也不
能算出绝对误差 e ( x * ) 的准确值，但可以根据测量 工具或计算的情况估计出它的取值范围，
8
绝对误差、相对误差和有效数字
即估计出误差绝对值的一个上界
e(x*)xx*
(1-2)
通常称为近似值 x * 的绝对误差限，简称误差限。
0.1 41 07
c* 2.997 912505
所以，4107是 c * 的一个相对误差限。
14
绝对误差、相对误差和有效数字
1.2.2 有效数字 有效数字是近似值的一种表示法。它既能表
示近似值的大小，又能表示其精度程度。 在计算过程中，常常按四舍五入的原则取数
x的前几位数 x *为其近似值。
例如，x 21.414213562L ,取前四位数得 x* 1.414. 取前八位数得近似值 x* 1.4142136
本课程只讨论截断误差与舍入误差对计算结 果的影响。
§1.2 绝对误差、相对误差和有效数字
7
绝对误差、相对误差和有效数字
1.2.1 绝对误差与相对误差
定义1 设 x * 为准确值 x 的一个近似值，称
e(x*)xx*
(1-1)
为近似值 x * 的绝对误差，简称误差。
当 e(x*) 0 时 ,称 x * 为弱近似值或亏近似值.
15
绝对误差、相对误差和有效数字
前面已经提到,通过四舍五入得到的数,其绝对
误差均不超过末位数字的半个单位，
21.4141103 2
3.14161104
2
如果近似值 x *
的误差限是
1 2
1
0
n
,
则称
x*
准
确到小数点后第n位,并从第一个非零数字到这
一位的所有数字均称为有效数字。
定义： 若x的某一近似值 x * 的绝对误差限是某一位 的半个单位， 则称其“准确”到这一位，且从该位直到
很小时， x
e x* x*
是 er
x*
的高阶无穷小，可以忽略不计。
所以，取绝对误差与近似值之比为相对误 差是合理的。
12
绝对误差、相对误差和有效数字
同样，相对误差也只能估计其上限。 如果存在正
数 r ， 使得
erx*
ex*
x*
r
(1-4)
则称 r为 x *的相对误差限。
显然，误差限与近似值绝对值之比 x * 为 x *的 一
显然误差限不是唯一的。
有了误差限及近似值，就可以得到准确值
的范围
x * x x *
即准确值 x 必定在区间 x*,x*内，
也常记作:
xx*
9
绝对误差、相对误差和有效数字
容易看出，经过四舍五入得到的数，其误差必定 不超过被保留的最后数位上的半个单位， 即 最后数位上的半个单位为其误差限。 例如若取 的近似值为3.14，则
例如,常用有限过程逼近无限过程,
用能计算的问题代替不能计算的问题. 这种数学模型的精确解与由数值方法求出的
近似解之间的误差称为截断误差。
由于截断误差是数值方法固有的, 故又称方法误差.
如求一个收敛的无穷级数之和， 总是用它
的部分和作为近似值，也就是截去该级数后面
的无穷多项。
5
误差的来源
例如
x2 x4 x6
“模型误差”。 2.观测误差
数学问题中总包含一些参量，它们的值往 往是由观测得到的, 而观测不可能绝对准确， 由此产生的误差称为“观测误差”。
4
误差的来源
3.截断误差
由于实际问题建立起来的数学模型,在很多情况 下得到准确解是困难的,通常要用数值方法求它的 近似解.
x * 的第一位非零数字共有q位，则称近似值 x * 有q
位有效数字。
16
绝对误差、相对误差和有效数字
例如， 2 的近似值1.414准确到小数点后第3位， 它具有4位有效数字。
1.4142136作为 2 的近似值精确到小 数点后第7位，有8位有效数字。
数值分析 (54学时)
主 讲： 董 亚 丽
理学院 数学系
教材：《数值计算方法》， 第2版， 丁丽娟 程杞元 编著 北京理工大学 出版社
参考书目： 1、《数值分析原理》，封建湖等 科学出版社
2、《数值计算方法》，吕同富等，清华大学出版社
3、《数值计算方法》，合肥工业大学出版社
误差的来源
第一章误差
§1.1 误差的来源
准确值之比为近似值 x * 的相对误差，记为 er ( x* )
即
erx*exx*xxx*
(1-3)
relative error
11
绝对误差、相对误差和有效数字
由于在计算过程中准确值x总是未知的，
故一般取相对误差为
er x*
ex* x*
xx* x*
可以证明当 er
x*
e x*
个相对误差限。
例 取3.14作为 的四舍五入的近似值,试求其
相对误差限.
13
绝对误差、相对误差和有效数字
解:
3.14 0.00 116 1 02
相对误差限
x*
1102 2
3.பைடு நூலகம்4
2 0.159%
又如
由实验测得光速近似值为 c*2.99792 15 05公里/秒， 其误差限为0.1公里/秒， 于是
1 nx2n
cosx1 L 2 4! 6!
2n!
L
当 x 很小时，可以用 1 x 2 作为 coxs 近似值。
2
由交错级数判断的莱布尼兹（Leibniz）准则， 它的截断误差的绝对值不超过 x 4
24
6
误差的来源
4.舍入误差 在计算过程中往往要对数字进行舍入。 如受机器
字长的限制，无穷小数和位数很多的数必须舍入成 一定的位数。 这样产生的误差称为“舍入误差”。
3.140.0016 1 1 0 2
2
若取 3.142, 则
3.142 0.000 1411 0 3
2
10
绝对误差、相对误差和有效数字
误差限的大小不能完全反映近似值的精确程度。 要刻画近似值的精确程度，不仅要看绝对误差的
大小，还必须考虑所测量本身的大小， 由此引出 了相对误差的概念。
定义2 设 x *为准确值 x 的近似值，称绝对误差与
数值计算方法是应用数学研究的一个重要分 支(又称数值分析或计算方法)， 是研究科学与 工程技术中数学问题的数值解及其理论的,
或者说是“研究用于求得数学问题近似解的 方法和过程”。
用数学方法解决实际问题，常按以下过程 进行：
实际问题 抽象、简化 数学模型 数值计算 问题近似解
3
误差的来源
因此，在计算过程中，误差是不可避免的。 在此过程中，引起误差的因素很多，主要有以 下几种：
当 e(x*) 0时 ,称 x * 为强近似值或盈近似值. 一般情况下 准确值 x难以求出，从而也不
能算出绝对误差 e ( x * ) 的准确值，但可以根据测量 工具或计算的情况估计出它的取值范围，
8
绝对误差、相对误差和有效数字
即估计出误差绝对值的一个上界
e(x*)xx*
(1-2)
通常称为近似值 x * 的绝对误差限，简称误差限。
0.1 41 07
c* 2.997 912505
所以，4107是 c * 的一个相对误差限。
14
绝对误差、相对误差和有效数字
1.2.2 有效数字 有效数字是近似值的一种表示法。它既能表
示近似值的大小，又能表示其精度程度。 在计算过程中，常常按四舍五入的原则取数
x的前几位数 x *为其近似值。
例如，x 21.414213562L ,取前四位数得 x* 1.414. 取前八位数得近似值 x* 1.4142136
本课程只讨论截断误差与舍入误差对计算结 果的影响。
§1.2 绝对误差、相对误差和有效数字
7
绝对误差、相对误差和有效数字
1.2.1 绝对误差与相对误差
定义1 设 x * 为准确值 x 的一个近似值，称
e(x*)xx*
(1-1)
为近似值 x * 的绝对误差，简称误差。
当 e(x*) 0 时 ,称 x * 为弱近似值或亏近似值.
15
绝对误差、相对误差和有效数字
前面已经提到,通过四舍五入得到的数,其绝对
误差均不超过末位数字的半个单位，
21.4141103 2
3.14161104
2
如果近似值 x *
的误差限是
1 2
1
0
n
,
则称
x*
准
确到小数点后第n位,并从第一个非零数字到这
一位的所有数字均称为有效数字。
定义： 若x的某一近似值 x * 的绝对误差限是某一位 的半个单位， 则称其“准确”到这一位，且从该位直到
很小时， x
e x* x*
是 er
x*
的高阶无穷小，可以忽略不计。
所以，取绝对误差与近似值之比为相对误 差是合理的。
12
绝对误差、相对误差和有效数字
同样，相对误差也只能估计其上限。 如果存在正
数 r ， 使得
erx*
ex*
x*
r
(1-4)
则称 r为 x *的相对误差限。
显然，误差限与近似值绝对值之比 x * 为 x *的 一
显然误差限不是唯一的。
有了误差限及近似值，就可以得到准确值
的范围
x * x x *
即准确值 x 必定在区间 x*,x*内，
也常记作:
xx*
9
绝对误差、相对误差和有效数字
容易看出，经过四舍五入得到的数，其误差必定 不超过被保留的最后数位上的半个单位， 即 最后数位上的半个单位为其误差限。 例如若取 的近似值为3.14，则
例如,常用有限过程逼近无限过程,
用能计算的问题代替不能计算的问题. 这种数学模型的精确解与由数值方法求出的
近似解之间的误差称为截断误差。
由于截断误差是数值方法固有的, 故又称方法误差.
如求一个收敛的无穷级数之和， 总是用它
的部分和作为近似值，也就是截去该级数后面
的无穷多项。
5
误差的来源
例如
x2 x4 x6