1-7：计算问题 数列与数表
数列与数表的规律知识点总结
数列与数表的规律知识点总结数列和数表作为数学中常见的概念，是研究数的排列规律的一种方法。
在数学中，数列是按照一定的规律排列的一组数，而数表则是数列的集合，它们在数学运算、数学模型以及解决实际问题中都有广泛的应用。
本文将总结数列与数表的规律知识点，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、等差数列与等差数表等差数列是指数列中相邻项之间的差值固定的数列，其中公差是指相邻项之间的差值。
等差数表也是类似的概念，只不过它是由多个等差数列组成的表格。
1. 等差数列的通项公式等差数列的通项公式为：an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n个项，a1表示首项，d表示公差。
2. 等差数列的前n项和公式等差数列的前n项和公式为：Sn = (n/2)(a1 + an)，其中Sn表示前n 项的和。
3. 等差数表的构成等差数表可以通过将等差数列依次排列得到，每一行都是一个等差数列，相邻行之间的公差相等。
二、等比数列与等比数表等比数列是指数列中相邻项之间的比值固定的数列，其中公比是指相邻项之间的比值。
等比数表也是类似的概念，只不过它是由多个等比数列组成的表格。
1. 等比数列的通项公式等比数列的通项公式为：an = a1 * r^(n-1)，其中an表示第n个项，a1表示首项，r表示公比。
2. 等比数列的前n项和公式等比数列的前n项和公式为：Sn = (a1 * (r^n - 1)) / (r - 1)，其中Sn表示前n项的和。
3. 等比数表的构成等比数表可以通过将等比数列依次排列得到，每一行都是一个等比数列，相邻行之间的公比相等。
三、斐波那契数列斐波那契数列是一个特殊的数列，它的前两项是1，从第三项开始，每一项都是前两项的和。
1. 斐波那契数列的递推公式斐波那契数列的递推公式为：Fn = Fn-1 + Fn-2，其中Fn表示第n个斐波那契数。
2. 斐波那契数列的性质斐波那契数列具有许多有趣的性质，如黄金分割性质、逼近性质等，在数学和自然科学中有广泛的应用。
数列与数表的规律与应用知识点总结
数列与数表的规律与应用知识点总结数列与数表是数学中常见的重要概念，它们有着广泛的应用。
在本文中，我将总结数列与数表的规律以及它们在实际问题中的应用知识点。
一、数列的规律与性质数列是按照一定的顺序排列的一系列数，其中每个数都称为项。
数列可以用函数的形式表达，例如：an = f(n)。
在数列中，常见的规律与性质包括等差数列、等比数列以及递归关系等。
1. 等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。
它的通项公式为an = a1 + (n - 1)d，其中a1是首项，d是公差，n表示项数。
等差数列的性质包括：（1）第n项的求法：an = a1 + (n - 1)d（2）前n项和的求法：Sn = n/2 [2a1 + (n - 1)d]（3）任意两项之和等于相应等距离两侧项之和：ak + am = ak+1 + am-1 (k < m)2. 等比数列等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列。
它的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1是首项，r是公比，n表示项数。
等比数列的性质包括：（1）第n项的求法：an = a1 * r^(n-1)（2）前n项和的求法：Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，当0 < r < 1 或者r > 1（3）相邻两项之比相等：an/an-1 = r3. 递归关系递归关系是指数列中的每一项都依赖于前一项或多个前一项的关系，而不是通过通项公式直接计算。
递归关系的性质包括：（1）递归关系的转化：将递归关系转化为显式公式，以便求解数列中任意一项的值。
二、数表的规律与性质数表是一个由数字或数据排列形成的表格，在实际问题中经常出现。
它们可以是一维数表、二维数表或更高维度的数表。
1. 一维数表一维数表是指只有一行或一列的数表。
在一维数表中，常规的规律与性质包括：（1）累加：将数表中的数字进行累加，得到一个数值。
（2）平均值：计算数表中的数字的平均值。
数列与数表的规律总结知识点总结
数列与数表的规律总结知识点总结数列和数表是数学中常见的概念，在数学的学习中经常会涉及到它们的应用。
数列是一组按照一定规律排列的数的集合，可以是有限的也可以是无限的；而数表是由数列组成的表格形式。
在这篇文章中，我们将总结数列与数表的规律以及相关的知识点。
一、等差数列与等差数表等差数列是一种常见的数列，其中每一项与它前一项的差值都是相等的。
等差数表是由等差数列按一定规律排列而成的表格。
1. 等差数列的通项公式设等差数列的首项为a₁，公差为d，则第n项的表达式为：aₙ = a₁ + (n - 1) × d2. 等差数列的前n项和公式设等差数列的首项为a₁，公差为d，前n项的和为Sₙ，则有：Sₙ = (n/2) × (a₁ + aₙ)3. 等差数表的规律等差数表的每一行都是一个等差数列，而每一列的数之间也存在等差关系。
可以通过观察数表中每一行或每一列的数之间的关系，推导出其等差数列的通项公式和前n项和公式。
二、等比数列与等比数表等比数列是一种常见的数列，其中每一项与它前一项的比值都是相等的。
等比数表则是由等比数列按一定规律排列而成的表格。
1. 等比数列的通项公式设等比数列的首项为a₁，公比为q，则第n项的表达式为：aₙ = a₁ × q^(n - 1)2. 等比数列的前n项和公式设等比数列的首项为a₁，公比为q，前n项的和为Sₙ，则有：Sₙ = a₁ × (q^n - 1) / (q - 1)，(q ≠ 1)3. 等比数表的规律等比数表的每一行都是一个等比数列，而每一列的数之间也存在等比关系。
可以通过观察数表中每一行或每一列的数之间的关系，推导出其等比数列的通项公式和前n项和公式。
三、特殊数列与数表除了等差数列和等比数列，数列和数表还存在一些特殊的形式。
1. 斐波那契数列斐波那契数列是一种特殊的数列，其中每一项都是前两项之和。
斐波那契数列的通项公式为：fₙ = fₙ₋₁ + fₙ₋₂，(n ≥ 3)2. 杨辉三角杨辉三角是一种特殊的数表，其中的每个数都是由上面的两个数相加而来。
五年级奥数专题 数列数表(学生版)
【题目】有7根竹竿排成一行．第一根竹竿长1米,其余每根长都是前一根的一半． 问：这7根竹竿的总长是几米?
【试题来源】
【题目】在100以内与77互质的所有奇数之和是多少?
【试题来源】
【题目】罗庚金杯少年数学邀请赛,第一届在1986年举行,第二届在1988年举行,第三届在1991年举行,以后每两年举行一届．第一届华杯赛所在年份的各位数字和是 =1+9+8+6=24．前二届所在年份的各位数字和是 =1+9+8+6+1+9+8+8=50．问：前50届华杯赛所在年份的各位数字和 等于多少?
【题目】求1至500中,所有能被7除余3的自然数的和是多少？
【试题来源】
【题目】求1---50以内,所有整除2或整除3的自然数之和？
【试题来源】
【题目】甲、乙两厂生产同一种玩具,甲厂生产的玩具数量每个月保持不变,乙厂生产的玩具数量每个月增加一倍．已知一月份甲、乙两厂生产玩具的总数是98件,二月份甲、乙两厂生产玩具的总数是106件,那么乙厂生产的玩具数量第一次超过甲厂生产的玩具数量在几月份?
【试题来源】
【题目】100这个数最多能写成多少个不同的非零自然数之和?
【Hale Waihona Puke 题来源】【题目】请将1个1,2个2,3个3,…,8个8,9个9填入右图的表格中,使得相同的数所在的方格都连在一起（相连的两个方格必须有公共边）；现在已经给出了其中8个方格中的数,并且知道A,B,C,D,E,F,G各不相同；那么,七位数 是．
45,45,44,46,45 （3）像上面的这些例子,按一定次序排列的一列数就叫做数列.数列中的每一个数都叫做这个数列的项,其中第1个数称为这个数列的第1项,第2个数称为第2项,…,第n个数就称为第n项.如数列（3）中,第1项是45,第2项也是45,第3项是44,第4项是46,第5项45。根据数列中项的个数分类,我们把项数有限的数列（即有有穷多个项的数列）称为有穷数列,把项数无限的数列（即有无穷多个项的数列）称为无穷数列,上面的几个例子中,（2）（3）是有穷数列,（1）是无穷数列。
六年级奥数-数列与数表(教师版)
第二讲数列与数表1.等差数列：若干个数排成一列,称为数列。
数列中的每一个数称为一项,其中第一项称为首项,最后一项称为末项,数列中数的个数称为项数。
从第二项开始,后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列,后项与前项的差称为公差。
例如:等差数列:3、6、9、…、96,这是一个首项为3,末项为96,项数为32,公差为3的数列。
计算等差数列的相关公式:通项公式:第几项=首项+(项数-1)×公差项数公式:项数=(末项-首项)÷公差+1求和公式:总和=(首项+末项)×项数÷2在等差数列中,如果已知首项、末项、公差,求总和时,应先求出项数,然后再利用等差数列求和公式求和。
某些问题以转化为求若干个数的和解决这些问题时先要判断这些数是否成为等差数列，如果是等差数列才可以运用它的一些公式。
在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。
2.斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34…这个以1，1分别为第1项、第2项，以后各项都等于前两项之和的无穷数列，就是斐波那契数列。
3.周期数列与周期：从某一项开始，重复出现同一段数的数列称为周期数列，其重复出现的这一段数的个数则称为此数列的周期。
例如： 8，1，2，3，8，4，5，7，6，3，8，4，5，7，6，3，8，4，5，7，6……这是一个周期数列，周期为6。
4.寻找数列的规律，通常有以下几种办法：1寻找各项与项数间的关系。
2考虑此项与它前一项之间的关系。
3考虑此项与它前两项之间的关系。
4数列本身要与其他数列对比才能发现其规律，这类情形稍微复杂些。
5有时可以将数列的项恰当分组以寻求规律。
（“分组”是难点）6常常需要根据题中的已知条件求出数列的若干项之后，找到周期，探求规律。
1.逐步了解首项、末项、项数、公差与和之间的关系。
2.在解题中应用数列相关知识。
数列与数表知识点总结
数列与数表知识点总结一、数列的概念和性质数列是指一系列有顺序排列的数所构成的集合。
数列中的每个数称为数列的项。
数列可以有限个项，也可以有无穷个项。
数列一般用a1, a2, a3, …表示，其中ai表示数列的第i项。
数列的性质包括：公差、前n项和、通项公式等。
（一）公差对于数列{an}，如果相邻两项之间的差d是一个常数，即an+1 - an = d，则称数列{an}为等差数列，其中d称为等差数列的公差。
如果数列{an}是一个等差数列，那么第n项可以表示为an = a1 + (n-1)d。
对于等差数列，前n项和Sn可以表示为Sn = (a1 + an) * n / 2。
（二）通项公式对于数列{an}，如果能找到一个与n有关的表达式f(n)，使得an = f(n)，那么f(n)称为数列{an}的通项公式。
通项公式可以帮助我们求出任意项的值，也能够帮助我们计算数列的前n项和、求出第n项等。
（三）基本性质1. 数列的第n项可以用通项公式表示；2. 等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d；3. 前n项和的计算公式为Sn = (a1 + an) * n / 2；4. 等差数列的通项公式可以通过求出前n项和公式和第n项公式进行推导。
二、数列的类型数列根据项之间的关系和性质的不同，可以分为等差数列、等比数列、斐波那契数列和等等。
（一）等差数列等差数列是指数列中相邻的两项之间的差是一个常数。
等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中d为等差公差。
等差数列有以下特点：1. 相邻两项之间的差是一个常数；2. 前n项和的公式为Sn = (a1 + an) * n / 2；3. 通项公式可由前n项和的公式和第n项公式进行推导；4. 等差数列的和可以表示为最大项和最小项之和乘以项数除以2，即Sn = (a1 + an) * n / 2。
（二）等比数列等比数列是指数列中相邻的两项之间的比是一个常数。
六年级奥数-数列与数表(学生版)
第二讲数列与数表1.等差数列：2.斐波那契数列：3.周期数列与周期：4.寻找数列的规律，通常有以下几种办法：1.逐步了解首项、末项、项数、公差与和之间的关系。
2.在解题中应用数列相关知识。
例1：有一个数列：4、7、10、13、…、25，这个数列共有多少项?例2：有一等差数列：2，7,12,17，…，这个等差数列的第100项是多少？例3：计算2+4+6+8+…+1990的和。
例4：计算（1+3+5+...+l99l)-（2+4+6+ (1990)例5：已知一列数：2,5,8,11,14，…，80，…，求80是这列数中第几个数。
例6：小王看一本书第一天看了20页，以后每天都比前一天多看2页，第30天看了78页正好看完。
这本书共有多少页？例7：建筑工地上堆着一些钢管(如图所示),求这堆钢管一共有多少根。
例8：四（1）班45位同学举行一次同学联欢会，同学们在一起一一握手，且每两个人只能握一次手，同学们共握了多少次手？A1.有一个数列:2,6,10,14,…,106,这个数列共有多少项?。
2.求1,5,9,13,…,这个等差数列的第3O项。
3.计算1+2+3+4+…+53+54+55的和。
4.计算(1+3+5+7+...+2003)-(2+4+6+8+ (2002)5.有一列数是这样排列的:3,11,19,27,35,43,51,…,求第12个数是多少。
B6.一等差数列,首项=7,公差=3,项数=15,它的末项是多少?7.计算(2OO1+1999+1997+1995)-(2OOO+1998+1996+1994)。
8.文丽学英语单词,第一天学会了3个，以后每天都比前一天多学会1个，最后一天学会了21个。
文丽在这些天中共学会了多少个英语单词？9.李师傅做一批零件，第一天做了25 个，以后每天都比前一天多做2个，第20天做了63个正好做完。
这批零件共有多少个？10.有60把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多试多少次?C11.一些同样粗细的圆木,像如图所示一样均匀地堆放在一起,已知最下面一层有70根。
数学练习解读数列与数表
数学练习解读数列与数表数学中的数列与数表是我们学习和研究数学问题时经常遇到的重要概念。
它们在代数、几何、概率等数学分支中都有广泛的应用，对于我们理解数学规律、解决问题具有重要的作用。
本文将围绕数列与数表展开详细解读和说明。
一、数列数列是指按照一定规律排列的一组数字。
它可以是有限个数或无限个数，数与数之间有明确的关系。
常见的数列有等差数列和等比数列。
1. 等差数列等差数列是指数与数之间的差值保持一致的数列。
例如，1，3，5，7，9就是一个等差数列，公差为2。
我们可以用一般项公式来表示等差数列的通项公式为：an=a1+(n-1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。
2. 等比数列等比数列是指数与数之间的比值保持一致的数列。
例如，1，2，4，8，16就是一个等比数列，公比为2。
对于等比数列，我们可以用一般项公式来表示，即：an=a1*r^(n-1)，其中an表示第n项，a1表示首项，r表示公比。
二、数表数表是将一组数按照一定排列方式呈现出来的一种形式。
数表常见的形式有乘法表、加法表等。
1. 乘法表乘法表是将两个数的乘积按照一定规律排列成表格形式。
这种表格以数字为元素，每一行表示乘数a，每一列表示乘数b，表格中的数字表示a和b的乘积。
乘法表在学习乘法运算时非常有用，可以帮助我们快速计算乘法结果。
2. 加法表加法表是将两个数的和按照一定规律排列成表格形式。
这种表格以数字为元素，每一行表示加数a，每一列表示加数b，表格中的数字表示a和b的和。
加法表在学习加法运算时也非常有用，可以帮助我们快速计算加法结果。
三、数列与数表的应用数列与数表在数学中有广泛的应用，我们可以通过它们研究数学问题、解决实际问题。
1. 应用于代数数列的概念在代数中有重要的应用。
通过研究数列的性质和规律，我们可以推导出数列的通项公式，进而求解数列的各项数值。
这在解决各类代数问题中非常有帮助。
2. 应用于几何数表在几何中也有重要的应用。
数列与数表的认识与应用
数列与数表的认识与应用数列是数学中的一个重要概念，指的是按照一定规律排列的一组数。
数列的研究对于数学的发展和应用有着重要的意义。
本文将介绍数列的基本概念、常见类型，以及数表在实际生活中的应用。
一、数列的基本概念与常见类型数列是按照一定规律排列的一组数，其中每个数称为数列的项。
数列的第一个数称为首项，第二个数称为第二项，以此类推。
数列可以用文字来表示，也可以用公式来表示。
例如，数列 {1, 4, 7, 10, 13, ...}可以用公式 an = 3n - 2 表示，其中 n 表示项数。
根据数列的规律和性质，可以将数列分为不同的类型。
常见的数列类型包括等差数列、等比数列、斐波那契数列等。
1. 等差数列：等差数列是指数列中相邻两项之间的差值都相等的数列。
通常用字母 a 表示首项，d 表示公差，等差数列的通项公式为 an =a + (n-1)d。
例如，数列 {1, 3, 5, 7, 9, ...} 就是一个公差为 2 的等差数列。
2. 等比数列：等比数列是指数列中相邻两项之间的比值都相等的数列。
通常用字母 a 表示首项，r 表示公比，等比数列的通项公式为 an = ar^(n-1)。
例如，数列 {1, 2, 4, 8, 16, ...} 就是一个公比为 2 的等比数列。
3. 斐波那契数列：斐波那契数列是指数列中每一项都是前两项的和。
通常用 F(n) 表示第 n 项，斐波那契数列的递推公式为 F(n) = F(n-1) +F(n-2)，其中 F(1)=1，F(2)=1。
例如，数列 {1, 1, 2, 3, 5, 8, ...} 就是一个斐波那契数列。
二、数列在实际生活中的应用数列作为一种有序排列的数学工具，在实际生活中有广泛的应用。
1. 数列在金融领域的应用：金融市场中的股票价格、货币汇率等都可以被看作数列。
通过分析数列的规律和趋势，可以预测未来的变化趋势，从而做出相应的投资决策。
2. 数列在工程领域的应用：工程中的进度安排、资源分配等问题往往可以抽象为数列。
小学数学解决简单的数列和数表问题
小学数学解决简单的数列和数表问题数列和数表问题在小学数学中是一个重要的学习内容，它涉及到数的顺序排列和规律性的发现。
本文将探讨如何解决小学数学中的简单数列和数表问题。
一、数列问题数列是按照一定规律排列的一组数，其中每个数都有特定的位置和值。
解决数列问题的关键是分析数列的规律，找出其中的规律性，并能够通过规律性推导出任意位置的数值。
下面以一个简单的数列问题为例进行说明。
例子：有一个数列，前三项依次为2，4，6，求第十一项的值。
解析：观察前三项的规律，可以发现每一项都是前一项加2得到的。
根据这个规律，我们可以得出数列的通项公式为an=2n。
带入n=11，即可求得第十一项的值为22。
二、数表问题数表是由数列表示的一种形式，通常以二维数组的形式呈现出来。
解决数表问题的关键是分析数表的规律，通过观察数表中的数字间的关系来推导出其他位置的数字。
下面以一个简单的数表问题为例进行说明。
例子：下面是一个数表，求问“？”处应填入的数字。
1 2 3 4 52 4 6 8 103 6 9 12 154 8 ? 16 205 10 15 20 25解析：观察数表中每个数字的位置与值的关系，可以发现每个数字都是由对应位置的行数和列数相乘得到的。
即第n行第m列的数字为n*m。
根据这个规律，我们可以填入“？”处的数字为12。
结语：通过以上两个例子，我们可以看出解决数列和数表问题的关键是观察与分析其中的规律性。
只有通过对规律的发现和理解，才能准确地解答数列和数表问题。
因此，在小学数学学习中，学生需要经常进行这类问题的练习，培养他们的观察力和逻辑推理能力，提高他们解决问题的能力。
希望本文对解决小学数学中的简单数列和数表问题有所帮助。
数列和数表的分析
数列和数表的分析在数学的广袤天地中，数列和数表是两个非常重要的概念，它们不仅在数学理论中有着关键的地位，还在实际生活的诸多领域有着广泛的应用。
先来聊聊数列。
简单来说，数列就是按照一定顺序排列的一组数。
比如说，1，3，5，7，9 这就是一个数列。
数列中的每一个数都被称为这个数列的项，而项所在的位置则被称为项数。
数列有着各种各样的类型。
像我们刚刚提到的那个数列，每一项都比前一项大 2，这就是一个等差数列。
等差数列的特点就是相邻两项的差值是固定的。
再比如说，1，2，4，8，16 这个数列，每一项都是前一项的 2 倍，这就是等比数列，其相邻两项的比值固定。
数列的通项公式是研究数列的重要工具。
通过通项公式，我们可以直接算出数列中任意一项的值。
比如等差数列的通项公式是 an ＝ a1 ＋（n 1)d，其中 a1 是首项，d 是公差，n 是项数。
等比数列的通项公式是 an ＝ a1×q^（n 1)，这里的 a1 是首项，q 是公比。
数列的求和也是一个重要的内容。
对于等差数列，求和公式是 Sn ＝ n(a1 ＋ an) ／ 2，其中 Sn 表示前 n 项的和。
等比数列的求和公式就稍微复杂一些，当公比 q 不等于 1 时，Sn ＝ a1(1 q^n) ／（1 q)。
那数列在生活中有什么用呢？其实很多。
比如在经济领域，我们可以用数列来分析股票价格的走势；在工程中，可以用数列来计算物体的运动轨迹；在计算机科学中，数列也常常被用于算法的设计和优化。
说完数列，再来说说数表。
数表可以看作是数列的一种扩展，它是把数字按照一定的规则排列成表格的形式。
数表通常包含了更多的信息，通过对这些信息的分析和处理，我们可以发现一些规律和趋势。
比如说一个简单的乘法数表，我们可以从中快速找到两个数相乘的结果，同时也能观察到乘法运算的一些规律。
数表的分析方法有很多种。
我们可以通过观察行与行、列与列之间的关系，找到数字的变化规律。
还可以对表中的数据进行计算，比如求和、求平均值等，从而得出更有价值的结论。
六年级下册数学思维强化训练： 数列与数表(下)(解析版)全国通用
第四讲数列与数表（下）1、巩固数列和数表的解题思路,复习前一讲内容；2、进一步体会数学知识在生活中的应用,初步掌握解决生活实际问题的一些方法；3、在对数列数表的学习中,让学员体会到数学的规律性,提高学生对数学学习的兴趣.找规律是解决数学问题的一种手段,而规律的找寻需要敏锐的观察力,又需要严密的逻辑理解能力.在一般情况下,我们可以从以下几个方面找数列或数表的规律.1、根据每相邻几个或相隔几个数之间的关系,找出规律,推断所要填的数.2、从整体上把握数据之间的关系,从而很快找出规律.3、对于那些分布在某些数表中的数,它们之间的变化规律往往与这些数在数表中的特殊位置有关,这有时会是解答的关键.诚然,找数列与数表的规律,没有一成不变的方法,需要综合运用知识,一种不行,及时调整思路,换一种方法再分析.请记住：找到的规律,一定要适合数组中的所有数或所有算式,才能真正成为这题的“规律”,只要有一个不行,这就不成为该题的“规律”.一串数排成一行,它们的规律是这样的：头两个数都是1,从第三个数开始,每一个数都是前两个数的和,也就是：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…．问：这串数的前100个数中有多少个偶数？【解析】注意观察不难发现每3个数中有1个偶数,这个规律不难解释,因为第一、二个数均是奇数,而每个数都是前两个数的和,所以第三个数为偶数,则第四个数为奇数,….100÷3＝33……1.解答：这串数的前100个数中有33个偶数.如图：将从5开始的连续自然数按规律排列填入数表中,请问： （1）123应该排在第几列？ （2）第2行第20列的数是多少？【解析】解答：（1）（123－4）÷5＝23……4,所以123在第24列.（2）第2行第20列的数是19×5＋2＋4＝101.第1列第2列 第3列 ... 5 10 15 ... 6 11 16 ... 7 12 17 ... 8 13 18 (9)1419…讲演者： 得分：讲演者： 得分：70个数排成一行,除了两头的两个数以外,每个数的3倍都恰好等于它两边两个数的和.这一行最左边的几个数是这样的：0,1,3,8,21,……,问最右边一个数被6除余几？【解析】观察这些数为0,1,3,8,2l,55,144,377,……,这些数除以6的余数依次为0,1,3,2,3,1,O,5,3,4,3,5,0,1, 3,……,即每12个数一循环,70÷12＝5……lO,即为4.解答：最右边一个数被6除余4.有一串数如下：1,2,4,7,11,16,…….它的规律是：由1开始,加1,加2加3,……,依次逐个产生这串数,直到第50个数为止.那么在这50个数中,被3除余l的数有多少个？【解析】这串数除以3的余数列,与由1开始依次加1,2,0,1,2,0,1,…,所得数串除以3的余数列相同,为1,2,1,1,2,l,1,2,1,…,是以1,2,1三个数为周期的数串.也就是说从第1个数开始,每3个数中有2个数被3除余1.有50÷3＝16……2,16×2＋1＝33.解答：所以有33个数被3除余1.如图,有一个边长为1米的下三角形,在每条边上从顶点开始,每隔2厘米取一个点,然后以这些点为端点,作平行线将大正三角形分割成许多边长为2厘米的小正三角形.求（1）边长为2厘米的小正三角形的个数；（2）所作平行线段的总长度.【解析】（1）从上数到下,共有100÷2＝50行, 第一行1个,第二行3个,第三行5个,……,最后一行99个, 所以共有（1＋99）×50÷2＝2500个；（2）所作平行线段有3个方向,而且相同, 水平方向共作了49条, 第一条2厘米,第二条4厘米,第三条6厘米,……, 最后一条98厘米, 所以共长（2＋98）×49÷2×3＝7350厘米.解答：（1）2500个；（2）7350厘米.如图表中数的排列顺序.请问2015在第几行第几列？第1列第2列第3列第4列第5列……第1行 1 2 5 10 17 ……第2行 4 3 6 11 18 ……第3行9 8 7 12 19 ……第4行16 15 14 13 20 ……第5行25 24 23 22 21 …………………………………………【解析】观察数列,第1列的数字规律是第1行是1×1,第2行是2×2,第3行是3×3,以此类推.44×44＝1936,45×45＝2025.解答：2015在第45行11列.如图,把从1开始的自然数按某种方式排列起来.请问：（1）200排在第几行第几列？ （2）第18行第22列的数是多少？【解析】观察数列：这些自然数按照从右上到左下斜线排列.每条斜线上出现的数的个数依次为：1个,2个,3个,…,我们可以总结出：某个数所在的行数＋列数＝斜线数＋1.（1）1＋2＋……＋19＝190,1＋2＋……＋20＝210,因此200位于第20条斜线上,并且是第10个数.所以200位于第10行,第11列.（2）第18行第22列的数一定位于第39条斜线上,而行数恰好是它在这条斜线上的第几个.所以第18行第22列的数是1＋2＋……＋38＋18＝759.解答：（1）200位于第10行,第11列；（2）第18行第22列的数是759.中国古代的几年方法角“干支纪年”,是在“十天干”和“十二地支”的基础上建立起来的. 天干共十个,其排列顺序为：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支共十二个,其排列顺序为：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.以一个天干和一个地支相配,天干在前,地支在后,每对干支表示一年.在干支纪年中,每六十年纪念方式循环一次.公元纪年则是国际通行的纪念方式.图是1911年到1926年得公园纪年与干支纪年的对照表.请问：（1）中国近代史上的“辛亥革命”发生在公元1911年,是干支纪年的辛亥年,公元2049年是干支纪年的什么年？（2）21世纪的甲子年是公元纪年的哪一年？（3）“戊戌变法”发生在19世纪末的戊戌年,这一年是公元纪年的哪一年？ 公元纪年 1911 1912 1913 1914 1915 1916 1917 1918 1919 1920 1921 1922 1923 1924 1925 1926天干 辛 壬 癸 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 甲 乙 丙 地支亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅12 4 7 11 16 …3 5 8 12 17 6 9 13 … 10 14 … 15 … …【解析】解答：（1）己巳年；（2）2044年；（3）1898年.一串数排成一行,它们的规律是这样的：头两个数都是1,从第三个数开始,每一个数都是前两个数的和,也就是：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,……,问：这串数的前100个数中有多少个偶数？【解析】注意观察不难发现每3个数中有1个偶数,这个规律不难解释,因为第一、二个数均是奇数,而每个数都是前两个数的和,所以第三个数为偶数,则第四个数为奇数,…….100÷3＝33……1.解答：这串数的前100个数中有33个偶数.如图,从4开始的自然数是按某种规律排列的.请问： （1）100在第几行第几列？ （2）第5行第20列的数是多少？【解析】解答：（1）100在第1行第25列；（2）第5行第20列的数是81.如图,把偶数2,4,6,8…排成5列,各列从左到右一次为第1列、第2列、第3列、第4列和第5列.请问：411 12 19 20 ... 5 13 ... 6 10 14 18 ... 7 15 (8)91617…2468（1）100在第几行第几列？ （2）第20行第2列的数是多少？【解析】解答：（1）100在第15行第2列；（2）第20行第2列的数是138.将学员分为两组,做猜谜语的游戏,一组出题,另一组回答,轮流进行.同学们有很多这样的题目,谨举两例,抛砖引玉.身体足有丈二高,瘦长身节不长毛,下身穿条绿绸裤,头戴珍珠红绒帽.(打一植物) 【谜底】高粱麻布衣裳白夹里,大红衬衫裹身体,白白胖胖一身油,建设国家出力气.(打一植物) 【谜底】花生这种训练,对数学审题和逻辑思维能力的培养非常有效.14 12 10 16 18 20 22 28 26 24 … … …。
第10讲 数列与数表-完整版
第10讲数列与数表内容概述通过观察数列或数表中的已知数据，发现规律并进行填补与计算的问题。
注意数表形式的多样性，许算时常常考虑周期性，或进行合理估算．典型例题兴趣篇1．观察数组(1，2，3)，(2，3，4)，(3，4，5)，…的规律，求：(l)第10组中三个数的和；(2)前10组中所有数的和．答案：(1) 33 (2) 195解析：发现每组都有三个数，而且这三个数是连续的．第1组三个数中，中间的那个数是2，第2组中间的数是3，第3组中间的数是4……第几组中间那个数就是几加1．又每组三个数是连续的，所以这三个数的平均数就是中间那个数，这三个数的和就是中间那个数的3倍．(1)第10组的三个数中，中间那个数是10+1= 11．所以第10组就是(1O，11，12)，那么这三个数的和为11×3=33．(2)可以分析出每组三个数的和是这组中间数的3倍，那么前：O组的所有数的和是2×3+3×3+4×3+…+1l×3=3×(2+3+…+11)=195．2．请观察下列数列的规律：1,1,4,2,7,3, 10,1,13,2,16,3,19,1,22,2,25,3,…,100.问：(1)这个数列一共有多少项？(2)这个数列所有数的总和是多少？答案:(1)67项(2) 1783解析:观察发现数列中两种规律交替出现，也就是说，题中数列的第2项、第4项、第6项……即偶数项是：1，2，3，1，2，3，…，以“1，2，3”为一个周期，循环出现，周期的长度为3．再来看奇数项，把第1、3、5、7……项列出来是：1，4，7，10，13，16，…，显然，这是一个首项为1、公差为3的等差数列．(1)数列最后一项是100，这肯定不是“1，2，3”周期数列中的一项，而是等差数列中的一项．等差数列的项数是（100-1）÷3+1= 34，由于是等差开头，等差结尾，所以周期数列的项数比等差数列的步1，原数列的项数是34×2-1= 67.因此这个数列一共有67项．(2)在这个数列的67项中，周期数列有33项，每个周期内3个数的和是1+2+3=6，共有33÷3=11个周期，所以周期数列的总和就是11×6=66.等差数列有34项，首项为1，末项为100，项数是34，各项的和为(1+ 100)×34÷2=1717．综上，题中数列各项的总和是66+1717=1783.3．一个数列的第一项是1，之后的每一项是这样得到的：如果前一项是一位数，接着的一项就等于前一项的两倍；如果前一项是两位数，接着的一项就等于前一项个位数字的两倍．请问：(l)第100项是多少？(2)前100项的和是多少？答案:(1)8 (2) 975解析:(1)根据题意写出数列：1，2，4，8，16，12，4,8, 16, 12,4,8,16, 12,4,…可以看出，此数列是从第3项起，以“4，8，16，12”这4个数为一个周期的周期数列．前100项中，除去前2项还有98项，98÷4=24……2，这意味着98项里有24个周期，最后还多出来2项，如图所示：所以数列的第100项是8．(2)前100项的和是1+2+(4+8T16+12)×24+4+8=975.4．如图10-1，方格表中的数是按照一定规律填入的．请观察方格表，并填出“？”处的数．答案:105解析:观察表中的数，发现最小的数是1，其次是3，6，10，15，…，把这些数从小到大连接起来，可以看出，这些数从小到大按照螺旋的形状排列．“？”处的数就是91之后，120之前的数，这些数从小到大依次是1，3，6，10，15，21，28，36，…，可以看出：每两个数的差依次加1．从图上的“66”开始看，从小到大，按照“螺旋”的排列规律，由于所以“？”就是105.5．如图10 -2，数阵中的数是按一定规律排列的，请问：(1) 100在第几行第几列？(2)第20行第3列的数是多少？答案:(1)第25行，第6列(2) 79解析:每一个奇数行都有4个数，在右面的第3、4、5、6列；每一个偶数行也有4个数，在左面的第1、2、3、4列．所有的数从1开始，由小到大按自然数的顺序从左向右排列．可以看到，如果把每一个奇数行和它下面的偶数行看作一个“奇偶组”，那么一个“奇偶组”有8个数，每个“奇偶组”中8个数对应的排列方式是相同的．(1)首先，100就是从小到大的第100个数，每个“奇偶组”有8个数，100÷8=12……4，于是100之前有12个“奇倡组”，100是这12个“奇偶组”后的第4个数．12个“奇偶组”就占24行，第24行为偶数行，100就在从第25行开始数第4个数的位置，如图1所示：所以100在第25行，第6列．(2) 20行有2C÷2—10个“奇偶组”，每个“奇偶组”有8个数，一共有8×10=80个数，第80个数就是80，它是隽20行最后一个数．第20行为偶数行，偶数行都有4个数，在左面的第1、2、3、4列．如图2所示：所以第20行第3列的数就是79.6．如图10 -3，从4开始的自然数是按某种规律排列的．请问：(1) 100在第几行第几列？(2)第5行第20列的数是多少？答案:(1)第1行，第25列(2) 81解析:数阵中的数是从4开始，由小到大排列的．从左边第一列开始，奇数列都有5个数，是从上到下排列的；偶数列都有3个数，是从下到上排列的，每个奇数列和它后面相邻的偶数列组成一个“奇偶组”，每个“奇偶组”有8个数．(1)方法一：100是数列中第100-3=97个数，每个“奇偶组”有8个数，97÷8=12……1．所以前100个数中有12个“奇偶组”，还多出1个数．每个“奇偶组”包含一奇一偶两列，12个“奇偶组”有12×2=24列．于是第97个数就是第25列的第1个数，也就是说100在第1行，第25列．方法二：第1列第1行的数是4，第3列第1行的数是12，第5列第1行是20……可以发现，第奇数列第1行的数是这个奇数的4倍．因为100÷4=25，所以100就是第25列第1行上的数．(2)方法一：前20列有20÷2=10个“奇偶组”．每个“奇偶组”有8个数，一共有8×10=80个数，第80个数是前20列最后一个数．20是偶数，第20列最后一个数在第1衍．因此第20列第5行上的数是第80-2=78个数．第78个数就是78+3=81.方法二：找规律，第2列第5行是9，2×4+1=9．第4列第5行是17，4×4+1=17.第6列第5行是25，6×4+1=25．于是第20列第5行是20×4+1=81．7．如图10 -4所示，把偶数2，4，6，8，…排成5列，各列从左到右依次为第1列、第2列、第3列、第4列和第5列．请问：(1) 100在第几行第几列？(2)第20行第2列的数是多少？答案:(1)第15行，第2列(2) 138解析:先观察数阵中数的排列规律，发现数阵中的数是从2开始的连续的偶数，奇数行有4个数，在右面的第2、3、4、5列，从左向右排列；偶数行有3个数，在左面的第1、2、3列，从右向左排列，把一个奇数行和它相邻的偶数行看作一个周期，那么一个周期包含7个数．(1) 100是从2开始的第100÷2=50个数．每7个数为一个周期，50÷7=7……1. 50个数包含7个周期，并多出来一个数．7个周期就占据7×2—14行．所以数100是第15行的第！个数．第：5行是奇数行，奇数行第1个数是在第2列．因此100在第15行，第2列．(2)两行为一个周期，前20行有20÷2=10个周期，每个周期7个数，前20行共有10×7=70个数．所以第20行最后一个数就是第70个数，即第20行第1列是第70个数，那么第20行第2列的数是第69个数，第69个数是69×2=138.8．如图10 -5，从1开始的连续奇数按某种方式排列起来，请问：(l)第10行左起3个数是多少？(2) 99在第几行左起第几个数？答案:(1)167(2)第8行左起第1个数解析:(1)前9行有1+3+5+…+17=81个数，因此第10行第3个数是表中的第81+3=84个数，表中的数都是奇数，第84个奇数是84×2-1=167.(2) 99是第50个奇数，前7行有1+3+5+-+13=49个数，因此表中第50个数是第8行左起第1个数.9．如图10 -6，从1开始的自然数按某种方式排列起来．请问：(1) 100在第几行？100是这一行左起第几个数？(2)第25行左起第5个数是多少？答案:(1)第14行，左起第9个数(2) 321解析:从图中可看出，自然数排成了“S”形，且第1行有1个数，第2行有2个数……第几行就有几个数；奇数行是从右向左排列，偶数行则是从左向右排列．(1)数100是第100个数，因为1+2+3+…+13=91，前13行有91个数；1+2+3+…+14=105，前14行有105个数，所以100在第14行，第14行是偶数行，是从左向右排列的，100是第14行的第100-91=9个数．于是，100在第14行，是这一行左起第9个数．(2)前25行有1-l-2+3+-+25=(1+20)×25÷2=325个数，奇数行是从右向左排列的，所以第25行最后一个数即是左起第1个数，为325．那么第25行左起第5个数就是325-4=321.10．如图10-7，把从1开始的自然数排成数阵．试问：能否在数阵中放入一个3×3的方框，使得它围住的九个数之和等于：(1)1997; (2)2016; (3)2349.如果可以，请写出方框中最大的数．答案:只有2349是可以的，最大的数为269解析:可以看到，数阵中的行和列为等差数列，数列排列非常规律．然后可以观察到方框中9个数的平均数就是正中间的数，因此方框中的9个数之和必为正中间数字的9倍．1997÷9=221……8（不符合题意）；2016÷9=224（暂时符合题意）；2349÷9=261（暂时符合题意）．又由于每行都是7个数，而224÷7=32, 261÷7=37……2.于是224是第32行最后一个数，224不可能是方框正中间的数．而261是第38行的第2个数，261可以作为方框正中间的数．因此只有2349是可能的，其中方框中的最大数比中间数大8，是261+8=269．拓展篇1．请观察下列数列的规律：1, 100,2,98,3,96,2,94,1,92,2,90,3,88,2,86,1,84, 0请问：(l)这个数列中有多少项是2？(2)这个数列所有项的总和是多少？答案:(l) 26项(2) 2652解析:题中的数列是由两个数列合成的，它的奇数项是以“1，2，3，2”为周期的周期数列，偶数项是首项为100、公差为2的递减的等差数列！数列最后一项为O，因周期数列中没有O，所以它是等差数列中的一项．(1)只要分别找出奇数项和偶数项中的2，把它们的项数相加就是数列中2的项数．在从100递减到O的等差数列中，项数为(100 -O)÷2+1= 51.由于是周期开始，等差结束，所以周期数列的项数也是51.由51÷4=12…3可知，51项里共有12个完整的周期，除此以外还剩3项：1，2，3．每个周期有两项是2，所以周期数列里有2×12+1= 25项是2，等差数列中只有一项是2，所以数列里一共有25+1=26项是2．(2)可以分别算出奇数项之和与偶数项之和，把它们相加就是数列所有项的总和．周期数列51项之和为(1+2+3+2)×12+1+2+3 =102，等差数列51项之和为(O +100)×51÷2=2550.所以数列的所有项之和为2550+102=2652.2．观察数组(1，2，3)，(3，4，5)，(j，6，7)，(7，8，9)，…的规律，求：(1)第20组中三个数的和；(2)前20组中所有数的和．答案:(1) 120 (2) 1260解析:(1)笫20组的三个数中，中间那个数是20×2=40.所以第20组就是(39，40，41)，三个数的和为40×3=120．(2)可以分析出每组三个数的和是组数的6倍，那么前20组的所有数的和是6×1+6×2+6×3+…+6×20=6×(1+2+3+…+20)=6×(1+20)×20÷2 = 1260．3．一列由两个数组成的数组：(1，1)，(1，2)，(2，2)，(1，3)，(2，3)，(3，3)，(1，4),(2,4),(3,4),(4,4),(1,5),…，请问：(1)第100组内的两数之和是多少？(2)前55组中“5”这个数出现了多少次？答案:(l) 23 (2) 11次解析:观察数组可以发现，如果有某些组括号里的第2个数相同，那这些组都紧挨着．如果按从左到右的顺序，把各组括号里的第2个数写成一行：1，2，2，3，3，3，…，可发现各组的第2个数排列得很有规律，从1开始逐渐变大，所以可以把数组按括号中的第2个数分成若干大组：观察这些大组可发现，第1大组有1个括号，第2大组有2个括号……第几大组就有几个括号，在每一组里，括号中的第1个数排成了从1开始递增的连续自然数数列．(1)1+2+3+…+13=91<100,1+2+…+14=105>100，所以第100个括号在第14大组．前13大组有91个括号，由100-91=9知，第100个括号是第14大组中的第9个．根据组的特点可知，第100个括号内的数为(9，14)，它们的和是14+9=23．(2)方法一：因为1+2+-+10=55，所以前55个括号恰好被分为l0大组．前4大组没有出现5，从第5大组起，括号中的第1个数出现5的次数是每大组1次，所以第1个数中出现5的次数为104=6次．因为只有在第5组里，括号里的第2个数才能是5，所以括号中的第2个数出现5的次数是5次．综上，前55个括号中出现5的次数为6+5=11（次）．方法二：观察前3个括号（也就是前2个大组）可发现，括号里正好一共有3个1，3个2．再看前6个括号（也就是前3个大组），类似地列出1、2、3，可发现正好一共有4个1，4个2，4个3．如图所示：也就是说，在前咒个完整的大组中，每个数都出现了n+l次，那么按照这种写法依次写下去可发现，前10个完整的大组中1，2，…，10出现的次数相同，都是10+1=11次，所以5出现的次数也是11次．4．有一列数，第一个数是3，第二个数是4，从第三个数开始，每个数都是它前面两个数的和的个位数．从这列数中取出连续的50个数，并求出它们的和，所得的和最大是多少？如果从中取出连续的500个数，这500个数的和最大又是多少？答案:257；2510解析:根据题意，把数列的前面若干项写出来就是：3,4,7,1,8,9,7,6,3,9,2,1,3,4,7,1,8,9,7,6,3,9,2,1,3,4,7,1,…容易发现这是一个周期数列，每连续12个数为一个周期，每个周期的和是60．50÷12=4……2，即取4个周期和连续的2个数．连续4个周期的数，无论从数列中哪个数开始，它们的和是一定的：60×4=240．让多出来的2个连续的数的和尽量大就可以了．数列中，连续2个数的和最大是8+9=17，取法如图1：和最大就是60×4+17=257.500÷12=41……8，取41个周期和连续的8个数．要选8个连续的数，让它们的和最大．因为每连续12个数的和是一定的，所以选4个连续的数,使他们的和最小，剩下的8个数的和一定最大．如果取连续的4个数，使其和最小，很明显是“2，1，3，4”这4个，余下的8个数的和一定最大，是60-3-4-2-1=50.取法如图2：这样连续的500个数，其和就是最大的，是60×41+50=2510.5．如图10-8，把从l开始的自然数填在图上，1在射线OA上，2在射线OB上，3在射线OC上，4在射线OD上，5在射线OE上，6在射线OF上，7在射线OG 上，8在射线OH上，9又回到射线OA上……如此循环下去．问：78在哪条射线上？射线OE上的第30个数是多少？答案:射线OF上；237解析:如图所示标出了自然数从1开始在射线上排列的规律：可以发现，排成的是从里到外逆时针的螺旋形．从射线OA开始，排8个数之后，第9个数又排到OA上，所以我们可以把8个数看做一个周期，而且在同一条射线上，相邻的两数相差8，也就是说落在同一条射线上昀数形成一个以8为公差的等差数列．(l)由78÷8=9……6可知，78落在从OA开始4逆时针数的第6条射线OF 上．(2)射线OE上的数形成了以8为公差的等差数列，第1个数是5，第30个数和第1个数相差29个公差，所以0E上第30个数是5+8×29=237.6．如图10 -9，将从5开始的连续自然数按规律填人数阵中，请问：(1) 123应该排在第几列？(2)第2行第20列的数是多少？答案:(1)第24列(2) 101解析:数列5，6，7，8，9，10，…是从5开始的自然数数列，按从小到大的顺序观察这个数阵中的自然数，可以发现它们是竖着排的，每一列的顺序都是从上至下，如果把每一列看作1个周期，一个周期里有5个数．(1)方法一：数阵中的数构成一个以5为首项的果把数阵中的一列看作一周期，那窟泣该是以5个数为一个周期．由119÷5=23……4可知，119个数包含23个周期，还多出4个数来. 23个周期就占据23列，所以数列的第119个数在第24列，也即123在第24列．方法二：注意到每一列第1行的数都是5的倍数，在第几列就是5的几倍．和123最接近的5的倍数是5×25=125，它在第25列第1行，123比它少2．所以在它的前一列，也就是第24列．(2)方法一：一个周期包含5个数，所以前19个周期共有19×5=95个数，第20列第2行的数也就是数列的第95+2=97个数．所以这个数是97+4=101．方法二：第20列第1行的数是5的20倍，也就是5×20=100．所以第2行的数是100+1=101.7．如图10 - 10所示，将自然数有规律地填入方格表中．请问：(1) 500在第几行第几列？(2)第100行第2列是多少？答案: (l)第111行，第5列(2) 448解析:(1)数表中的数构成一个从1～999的自然数数列，500是这个数列的第500个数，每一个奇数行和它下面的偶数行可看成一个周期．由500÷9=55……5可知，前500个数里包含了55个周期，还余下5个数．因为每个周期有2行，所以55个周期共占据55×2=110行，所以第500个数在数表的第11O+1=111衍，500在第111行的第5列．(2)方法一：前100行共有100÷2=50个周期，所以排到第100行第2列时，已经排了49个周期，还多出了7个数，所以，第100行第2列的数是数列的第49×9+7=448个数，也就是448.方法二：经仔细观察，每个周期的最后一个数都是9的倍数，在第几个周期就是9的几倍，前100行一共有100÷2=50个周期，那么第100行的最后一个数为9×50=450.450是第100行第6列的数，所以第100行第2列的数是450-2=448.8．如图10-11所示，数阵中的数字是按一定规律排列的．这个数阵中第60行左起第4个数字是多少？答案:9解析:横着看数阵，数阵的第1行是从1开始排到8，的连续自然数，第2行排了9后，接下来的数字是“1”，“0”，“1”，“1”，“1”，“2”，…．观察发现，是把从1开始连续的自然数的各位数字依次排到了数阵中．在数阵中，自然数的每位数字都占一个位置．一位数每个占1个位置，两位数每个占2个位置，三位数每个占3个位置，所以我们先要确定排到第60行数列的第48餐59+4=476个数字，因为在自然数中，一位数有9个，两位数有90个，所以一位数和两位数共有9+90×2=189个数字．那么肯定是排到三位数了．由(476-189)÷3=95…2可知，数阵排到60行第4个数字时，已经排了95个三位数，并且还多排了2个数字．于是第63行第4个数字属于隽96个三位数，也就是195，并且是195的第2位数字，所以它是9．9．中国古代的纪年方法叫“干支纪年”，是在“十天干”和“十二地支”的基础上建立起来的．天干共十个，其排列顺序为：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支共十二个，其排列顺序为：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．以一个天干和一个地支相配，天干在前，地支在后，每对干支表示一年．在干支纪年中，每六十年纪年方式循环一次．公元纪年则是国际通行的纪年方式．图10 - 12是1911年到1926年的公元纪年与干支纪年的对照表，请问： (l)中国近代史上的“辛亥革命”发生在公元1911年，是于支纪年的辛亥年，公元2049年是干支纪年的什么年？(2) 21世纪的甲子年是公元纪年的哪一年？(3)“戍戌变法”发生在19世纪末的戊戌年，这一年是公元纪年的哪一年？答案:(l)己已年(2) 2044年(3) 1898年解析:(1)注意到2049–1919=10×13，所以2049年和1919年的天干相同，都为“己”，又因为2049-1917=12×11，所以2049年和1917年的地支相同，都为“巳”．综上所述，得2049年为“己已”年．(2) 60年为一个大周期，因为它是10和12的公倍数，所以相隔60年的整数倍数的年份，天干和地支的名称都不变，只要知道20世纪的甲子年，就很容易求出21世纪的甲子年了．因为1924年是甲子年，所以21世纪的甲子年的公元纪年年份和1924之差是60的倍数．由1924+60=1984<2000, 1924+60×2=2044可知，21世纪的甲子年是204/年．又因为2044+60=2104，已经到了22世纪，所以21世纪只有一个甲子年．(3)由1918年是戊年可知，1898、1888、1878、1868、1858年都是戊年．由1922年是戌年可知，1898、1886年都是戌年．所以“戊戌变法”发生在1898年，10．如图10 - 13，将1～400这400个自然数顺次填入20×20的方格表中，请问：(1) 246在第几行第几列？(2)第14行第13列的数是多少？(3)所有阴影方格中数的总和是多少？答案:(1)第13行，第6列(2) 273 (3) 8020解析:数表是从1开始，依次写下去．每行20个数，一共400个数．(1)因为第1个数是1，所以246就是第246个数．246÷20=12…6，于是246前面有12行，它是第13行的第6个数，也就是在第13行，第6列．(2)前13行有13×20=260个数，于是第14行的第13个数就是第260+13=273个数．因为第1个数是1，所以第273个数就是273.(3)把数表旋转180。
数列与数表的认识与应用
数列与数表的认识与应用数列和数表是数学中常见的概念，它们在各个领域中都有着重要的应用。
本文将从数列和数表的定义、性质以及实际应用等方面进行介绍和讨论。
一、数列的定义与性质1. 数列的定义：数列是指按照一定规律排列起来的一串数。
数列中的每个数称为该数列的项，用第n项表示。
2. 数列的常见表示形式：（1）通项公式：若数列的每一项都可以由n表示，且可以找到一个公式把每一项与n联系起来，则这个公式称为数列的通项公式。
（2）递推公式：若数列的每一项都可以由前一项表示，则这个关系式称为数列的递推公式。
3. 数列的分类：（1）等差数列：数列中任意两个相邻项之差都相等的数列。
（2）等比数列：数列中任意两个相邻项之比都相等的数列。
（3）斐波那契数列：数列中每一项都是前两项之和的数列。
4. 数列的性质：数列有许多重要性质，包括有界性、单调性、极限等。
二、数列的应用数列在不同领域中都有广泛的应用，下面将介绍一些典型的应用场景。
1. 经济学中的数列应用：（1）GDP增长率：GDP（国内生产总值）的年增长率可以看作是一个数列，在宏观经济研究中具有重要意义。
（2）股票价格变化：股票的价格变化可以看作是一个数列，通过分析数列的特点，可以预测股票未来走势。
2. 自然科学中的数列应用：（1）物理学中的运动学问题：在物理学中，运动的速度、加速度等量可以构成数列，通过分析数列的规律，可以解决各种运动学问题。
（2）生态学中的种群模型：种群的数量随时间变化可以构成数列，通过研究数列的特点，可以预测种群数量的变化趋势。
3. 信息科学中的数列应用：（1）密码学中的序列生成：生成一串随机数列是密码学中重要的问题，随机数列的生成受到密码学安全性的限制。
（2）信号处理中的滤波器设计：滤波器的频率响应可以看作是一个数列，通过控制数列的性质来实现信号的处理与滤波。
三、数表的定义与应用1. 数表的定义：数表是指按照一定规律排列起来的数字表格，通常以行和列的形式展现。
六年级下册数学思维强化训练： 数列与数表(上)(解析版)全国通用
第三讲数列与数表（上）1、了解数列和数表的周期性,发现周期,利用周期求解；2、感受数学知识在生活中的应用,认识到熟练掌握数学知识可以高效简便地解决生活实际问题的作用；3、在对数列数表的学习中,让学员体会到数学的规律性,提高学生对数学学习的兴趣。
找规律是解决数学问题的一种手段,而规律的找寻需要敏锐的观察力,又需要严密的逻辑理解能力。
在一般情况下,我们可以从以下几个方面找数列或数表的规律。
1、根据每相邻几个或相隔几个数之间的关系,找出规律,推断所要填的数。
2、从整体上把握数据之间的关系,从而很快找出规律。
3、对于那些分布在某些数表中的数,它们之间的变化规律往往与这些数在数表中的特殊位置有关,这有时会是解答的关键。
将从1到60的60个自然数排成一行,成为111位自然数,即 12345678910111213…5960。
在这111个数字中划去100个数字,余下数字的排列顺序不变,那么剩下的11位数最小可能是多少？【解析】为了使剩下的数尽可能小,那么除留下第一个1外,后面应尽可能多的留下0,1~60共有6个0,并且有一个是在最后,所以,第一个1后面只能留下5个0,也就是说,到50为止,前面除第一个1外只留下0,这时便成10000051525354555657585960；除了第一个1和6个0外,还要留下4个数,不难看出,应该留下51525354中的1234。
解答：剩下的11位数最小可能是10000012340。
把自然数从1开始,排列成如图所示的三角阵：第1列为1,；第2列为2,3,4；第3列为5,6,7,8,9；……,每一列比前一列多排两个数,依次排下去,“以1开头的行”是这个三角阵的对称轴。
在以1开头的行中,第204个数除以7的余数是多少？【解析】根据题意可以看出此题要先求出末项,即：1＋2＋4＋6＋……＋2×（204－1）＝41413,再用41413÷7＝5916……1。
解答：第204个数除以7的余数是1。
数列与数表的特征与计算
数列与数表的特征与计算在数学的广袤天地中，数列与数表是两个非常重要的概念，它们不仅在数学理论中有着关键的地位，还在实际生活的各个领域有着广泛的应用。
数列，简单来说，就是按照一定规律排列的一组数。
比如我们熟悉的等差数列，它的每一项与前一项的差值是一个固定的常数；再比如等比数列，每一项与前一项的比值是一个固定的值。
数列的规律可以多种多样，有的可能是周期性的，有的可能是由某个特定的公式所决定。
等差数列的特征非常明显。
假设一个等差数列的首项为\（a_1\），公差为\（d\），那么它的第\（n\）项就可以表示为\（a_n ＝ a_1 ＋（n 1)d\）。
通过这个公式，只要我们知道了首项、公差和项数，就能轻松求出任意一项的值。
例如，一个等差数列的首项是\（2\），公差是\（3\），要计算第\（10\）项的值，就可以这样计算：＼（a_{10} ＝ 2 ＋（10 1)×3 ＝ 2 ＋ 27 ＝ 29\）。
等比数列也有其独特的性质和计算方法。
如果一个等比数列的首项是\（b_1\），公比是\（q\），那么第\（n\）项就是\（b_n ＝ b_1×q^｛n 1}＼）。
比如一个等比数列的首项是\（3\），公比是\（2\），要算第\（5\）项，即\（b_5 ＝ 3×2^｛5 1} ＝ 3×16 ＝ 48\）。
除了等差数列和等比数列，还有很多其他类型的数列。
比如斐波那契数列，它的特点是从第三项开始，每一项都是前两项的和。
这个数列在自然界中有着神奇的出现，比如植物的生长规律、兔子的繁殖数量等。
数表则是将数列以表格的形式呈现出来，使得数据更加直观和清晰。
数表中的每一行或每一列可能构成一个特定的数列，或者数表中的数字之间存在着某种隐藏的规律等待我们去发现。
在解决数列和数表的问题时，关键是要找出它们的规律。
这需要我们仔细观察数字之间的关系，进行大胆的猜测和验证。
有时候，可以通过计算相邻两项的差值或比值来寻找规律；有时候，可能需要对数字进行一些变形或转换，才能发现其中的奥秘。
小学五年级逻辑思维学习—数列数表
小学五年级逻辑思维学习—数列数表知识定位日常生活中，我们经常接触到许多按一定顺序排列的数，如： 自然数：1，2，3，4，5，6，7，… （1） 年份：1990，1991，1992，1993，1994，1995，1996 （2） 某年级各班的学生人数（按班级顺序一、二、三、四、五班排列） 45，45，44，46，45 （3）像上面的这些例子，按一定次序排列的一列数就叫做数列.数列中 的每一个数都叫做这个数列的项，其中第 1 个数称为这个数列的第 1 项，第 2 个数称为第 2 项，…，第 n 个数就称为第 n 项.如数列（3）中，第 1 项是 45，第 2 项也是 45，第 3 项是 44， 第 4 项是 46，第 5 项 45。
根据数列中项的个数分类，我们把项数有限的数列（即有有穷多个 项的数列）称为有穷数列，把项数无限的数列（即有无穷多个项的数列）称为无穷数列，上 面的几个例子中，（2）（3）是有穷数列，（1）是无穷数列。
知识梳理一、数列规律 等差数列，简单的等比数列，周期规律，递推规律是数列中常见的形式，在小学阶段的奥数 题中，比较多的项数进行计算基本都是可以找到相应规律的。
二、数表规律 通过观察数表中的已知数据，发现规律并进行补填与计算的问题．这里要注意数表结构的差 异，它们通常是按行、按列、沿斜线或螺旋线逐步形成的．涉及小数的，或与其他方面知识 相综合的数列问题．三、递推思想 奥数学习需要的是思维的积累，其中递推归纳的思想应用十分广泛。
而在数列数表中，递推 的规律体现的淋漓尽致，需要学生用心体会。
注意： 1.等差数列及相对应的数学解题思想，倒序相加，递推，对应等。
2.数列求和技巧，简单等比数列求和中措项相消得思想。
3.数表中如何发现规律并转化成已知知识。
4.措项相消思想的运用 5.数表与计数数论相联系 6.分数数列的计算 7.数表的求和例题精讲【题目】0，1，2，3，6，7，14，15，30，________，________，________。
小学数学四年级 数列与数表 PPT带答案带作业
（1）第10组中的第2个数是： 4×10第=410 组内的三个数是：（38、40、42）
第10组内的三个数之和是：38+40+42=120
（2）前10组内所有数之和： （12+120）×10÷2=660
例题3
如下表：将从1 开始的连续自然数填入下面的数表中。 请问：（1） 147 排在第几行、第几列？
（2） 第15 行、第4列的数是多少？
（1）147÷5=29……2
（2）14×5+4=74
147排在第29+1=30行，第2 第15 行、第4列的数是74. 列。
练习3 如下表：将从1 开始的连续自然数填入下面的数表中。
请问：第17 行、第3 列的数是多少？
16×6+3=99 第17 行、第3列的数是99.
奇数项：3、2、1、3、2、1……。周期数列，共101项，周期长度是3.
101÷3=33……2；说明奇数项中共有33组3、2、1并余下2个数 3、2。奇数项中有33+1=34个3. 34+1=35，原数列中一共有35个3.
例题2
观察数组：（1，2，3），（4，5，6），（7，8，9），… 请问：（1） 第20 组内的三个数之和是多少？
…… …… …… …… …… …… …… …… ……
这个时候他们的爸爸大亮也过来了，看到小小亮写的数后，一眼就看出了 规律，并向小亮预测了最后小小亮书写100的位置。最终的结果真的像爸 爸大亮预测的那样。聪明的小朋友们，你们知道小小亮最终会把100书写 在哪个位置上吗？
123456789 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
（1） “十”字框中的五个数的平均数 与中间数有什么关系？
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第1行
1234
第2行 5 6 7 8
第3行
9 10 11 12
第4行 13 14 15 16
第5行
17 . . .
...
... ... ... ... ... ...
6、如图，从4开始的自然数是按照一定 规律排列的.请问：(1)100在第几行第几 列？(2)第5行第20列的数是多少？
4 11 12 19 20 ...
4、如图，方格表中的数是按照一定规 律填入的.请观察方格表，并填出“？” 处的数.
91 78 66 55
？6
3 45
120 10 1 36
136 15 21 28
5、如图，数阵图中的数是按照一定规 律排列的.请问：(1)100在第几行第几列？ (2)第20行第3列的数是多少？
第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第6列
பைடு நூலகம்
；
(2)求第10组中三个数的和；
(3)求前10组中所有数的和.
2、请观察下列数列的规律： 1,1,4,2,7,3,10,1,13,2,16,3,19,1,22,2,25,3， ...，100. (1)这个数列一共有多少项？ (2)这个数列所有数的总和是多少？
3、一个数列的第一项是1，之后的每一 项是这样得到的：如果前一项是一位数， 接着的一项就等于前一项的两倍；如果 前一项是两位数，接着的一项就等于前 一项个位数字的两倍.请问： (1)第100项是多少？ (2)前100项的和是多少？
GS数学
第一部分
数 与 运算
“一分耕耘一分收获。”
第七讲
数列与数表
通过观察数列或数表中的已知数据， 发现规律并进行填补与计算的问题. 注意数表形式的多样性，计算时常 常考虑周期性，或进行合理估算.
典型问题
1、观察数组(1,2,3)，(2,3,4)，(3,4,5)，...
的规律，则(1)第4组中三个数为
5
13
...
6 10 14 18 ...
7
15
...
8 9 16 17 ...
7、如图，把偶数2,4,6,8,...排成5列，各 列从左到右依次为第1列、第2列、第3 列、第4列和第5列.请问：(1)100在第几 行第几列？(2)第20行第2列的数是多少？
2468
14 12 10
16 18 20 22
28 26 24
...
...
...
8、如图，从1开始的连续奇数按某种方 式排列起来.请问：(1)99在第几行起第 几个数？(2)第10行左起第3个数是多少？
1
357
9 11 13 15 17
19 21 23 25 27 29 31
...
...
...