2021年广东省揭阳市高考数学模拟试卷及答案解析
广东省揭阳市2021年高考复习数学一模试卷(文科)
A．（﹣2，2）∪（2，3）
B．（﹣2，2）
C．（2，3）
D．[2，3）
【考点】1E：交集及其运算．
【专题】11：计算题；37：集合思想；49：综合法；5J：集合．
【分析】可解出集合 A，然后进行交集的运算即可．
【解答】解：A＝{x|x＞2}；
∴A∩B＝（2，3）．
故选：C．
【点评】考查描述法、区间的定义，对数函数的定义域，以及交集的运算．
【解答】解：z = 3 + 푎푖，则z = 3 ‒ ai，
8
又|푧| = 2，则 3+（﹣a）2＝4，
解得 a＝±1，
a 的值为 1 或﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查了复数的定义与运算问题，是基础题．
→
→
→
→→ →
3．（5 分）（2021•揭阳一模）已知向量a = (1，2)，푏 = (2， ‒ 1)，푐 = (1，휆)，若(푎 + 푏) ⊥ 푐，则 λ 的
（1）求曲线 C 的普通方程和直线 l 的参数方程；
（2）若直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点（点 P 在 A、B 之间），且|PA|•|PB|＝2，求 a 和||PA|﹣|PB||的 值．
[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）
6
23．已知函数 f（x）＝|x+1|﹣|x﹣1|， （1）求函数 f（x）的值域； （2）若 x∈[﹣2，1]时，f（x）≤3x+a，求实数 a 的取值范围．
53 （1）若|AB| = 3 ，求 m 的值；
（2）试求||OA|2﹣|OB|2|（其中 O 为坐标原点）的最大值．
21．（12 分）已知函数f(x)
=
푥
广东省揭阳市2021届新高考数学一月模拟试卷含解析
广东省揭阳市2021届新高考数学一月模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．向量1,tan 3a α⎛⎫= ⎪⎝⎭，()cos ,1b α=，且//a b ，则cos 2πα⎛⎫+=⎪⎝⎭（ ）A ．13B ．3-C ．3-D ．13-【答案】D 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标运算以及诱导公式，即可得出答案. 【详解】//a b ∴1cos tan sin 3ααα∴=⋅= 1cos sin 23παα⎛⎫∴+=-=- ⎪⎝⎭故选：D 【点睛】本题主要考查了由向量平行求参数以及诱导公式的应用，属于中档题.2．已知直线l ：310kx y k --+=与椭圆22122:1(0)x yC a b a b+=>>交于A 、B 两点，与圆2C ：()()22311x y -+-=交于C 、D 两点.若存在[]2,1k ∈--，使得AC DB =，则椭圆1C 的离心率的取值范围为（ ）A ．,33⎣⎦B ．3C ．D ．3【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知直线过定点即为圆心，由此得到,A B 坐标的关系，再根据点差法得到直线的斜率k 与,A B 坐标的关系，由此化简并求解出离心率的取值范围. 【详解】设()(),,,A x y B x y ，且线:310l kx y k --+=过定点3,1即为C 的圆心，因为AC DB =，所以1212236212C D C D x x x x y y y y +=+=⨯=⎧⎨+=+=⨯=⎩，又因为2222221122222222b x a y a b b x a y a b ⎧+=⎨+=⎩，所以()()2222221212b x x a y y -=--， 所以2121221212y y x x b x x a y y -+=-⋅-+，所以[]2232,1b k a=-∈--，所以2212,33b a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以22212,33a c a -⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()2121,33e ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以33e ∈⎣⎦.故选：A. 【点睛】本题考查椭圆与圆的综合应用，着重考查了椭圆离心率求解以及点差法的运用，难度一般.通过运用点差法达到“设而不求”的目的，大大简化运算.3．已知函数()(2)3,(ln 2)()32,(ln 2)xx x e x f x x x ⎧--+≥⎪=⎨-<⎪⎩，当[,)x m ∈+∞时，()f x 的取值范围为(,2]e -∞+，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1,2e -⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(,1]-∞C ．1,12e -⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[ln 2,1]【答案】C 【解析】 【分析】求导分析函数在ln2x ≥时的单调性、极值，可得ln2x ≥时，()f x 满足题意，再在ln2x <时，求解()2f x e ≤+的x 的范围，综合可得结果.【详解】当ln2x ≥时，()()()'12xf x x e =---，令()'0f x >，则ln21x <<；()'0f x <，则1x >， ∴函数()f x 在()ln2,1单调递增，在()1,+∞单调递减. ∴函数()f x 在1x =处取得极大值为()12f e =+， ∴ln2x ≥时，()f x 的取值范围为(],2e -∞+，又当ln2x <时，令()322f x x e =-≤+，则12e x -≥，即1x ln22e-≤<， ∴1e22m ln -≤< 综上所述，m 的取值范围为1,12e -⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选C. 【点睛】本题考查了利用导数分析函数值域的方法，考查了分段函数的性质，属于难题.4．复数2(1)41i z i -+=+的虚部为（ ）A ．—1B ．—3C ．1D ．2【答案】B 【解析】 【分析】对复数z 进行化简计算，得到答案. 【详解】()()2421(1)44213112i i i i z i i i ---+-====-++ 所以z 的虚部为3- 故选B 项. 【点睛】本题考查复数的计算，虚部的概念，属于简单题.5．椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆.现有一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半（玻璃厚度忽略不计），在玻璃杯倾斜的过程中（杯中的水不能溢出），杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．0,6⎛ ⎝⎦B ．5⎫⎪⎪⎣⎭ C ．⎛ ⎝⎦D ．5⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可知当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大，由椭圆的几何性质即可确定此时椭圆的离心率，进而确定离心率的取值范围.当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大. 此时椭圆长轴长为2212665+=，短轴长为6，所以椭圆离心率26251565e ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 所以250,e ⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦. 故选：C 【点睛】本题考查了橢圆的定义及其性质的简单应用，属于基础题.6．已知12,F F 是双曲线222:1(0)x C y a a-=>的两个焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与C 相交于,A B 两点，若2AB =，则2ABF ∆的内切圆半径为（ ）A ．23 B ．33C ．32D ．23【答案】B 【解析】 【分析】 首先由2AB =求得双曲线的方程，进而求得三角形的面积，再由三角形的面积等于周长乘以内切圆的半径即可求解. 【详解】由题意1b =将x c =-代入双曲线C 的方程,得1y a =±则22,2,3a c a===,由2121222AF AF BF BF a -=-==,得2ABF ∆的周长为2211||22||42||62AF BF AB a AF a BF AB a AB ++=++++=+=,设2ABF ∆的内切圆的半径为r ,则11362232,22r r ⨯=⨯⨯=, 故选：B本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的内心的概念，考查了转化的思想，属于中档题. 7．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为120°，则3a b -＝（ ） ABC．D【答案】D 【解析】 【分析】先计算a b ⋅，然后将3a b -进行平方，，可得结果. 【详解】 由题意可得：1cos1201212a b a b ⎛⎫⋅==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭∴()222369163643a ba ab b -=-⋅+=++=∴则343a b -=.故选：D. 【点睛】本题考查的是向量的数量积的运算和模的计算，属基础题。
2021年广东省揭阳市高考一模理科数学试题及参考答案(高考直通车)
F EACB绝密★启用前揭阳市2021年高中毕业班高考第一次模拟考试数学(理科)本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． 留意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必需用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必需填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必需保持答题卡的洁净．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．参考公式：棱锥的体积公式：13V Sh=．其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{4,5,6,8},{3,5,7,8}A B ==，则AB 中元素的个数为A ．8B ．7C ．6D ．5 2．已知复数(87)(3)z i i =---，则z 在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．其次象限C ．第三象限D ．第四象限3．“a b >”是 “22ac bc >”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4．已知双曲线22221x y ab -=(0,0)a b >>的一条渐近线的斜率为12，则该双曲线的离心率为 3 B.5 C.2 D. 525．不等式组5315+15 3.x y y x x y +≤⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩，，表示的平面区域的面积为A. 7B.5C. 3D.14 6．设,l m 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是A.若//,//,//m l m l αα则；B.若,,//m l m l αα⊥⊥则；C.若//,,//,l m l m αβαβ⊥⊥则；D. 若,//,,//,//m m l l αββααβ⊂⊂则；7．将5本不同的书摆成一排，若书甲与书乙必需相邻，而书丙与书丁不能相邻，则不同的摆法种数为A. 48B. 24C. 20D. 128．非空数集A 假如满足：①0A ∉；②若对,x A ∀∈有1Ax ∈，则称A 是“互倒集”.给出以下数集：①2{|10}x R x ax ∈++=； ②2{|410}x x x -+<； ③ln 1{|,[,1)(1,]}x y y x e x e =∈⋃；④22,[0,1)51.[1,2]x x x x x y y +∈+∈⎧⎫⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪=⎨⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎭.其中“互倒集”的个数是 A.4 B. 3 C. 2 D. 1二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9－13题）9．已知(sin ,cos ),2,1a b αα==（-），若a b ⊥，则tan α的值为 ．10．已知函数log a y x =(0,1)a a >≠的图象经过点1(2,)2，则其反函数的解析式y = ．11．在△ABC 中，A B C ∠∠∠、、的对边分别为a b c 、、，若3a =，2B A ∠=∠，cos 6A =，则b =______ ．12．某射击运动员在练习射击中，每次射击命中目标的概率是35，则这名运动员在10次射击中，至少有9次命中的概率是 ．（记1035p =（），结果用含p 的代数式表示）13．已知函数3()f x x =对应的曲线在点(,())()k k a f a k N *∈处的切线与x 轴的交点为1(,0)k a +，若11a =，则333121010()()()21()3f a f a f a +++=- ．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中，直线sin()24πρθ+=被圆=4ρ截得的弦长 为 . 15．（几何证明选讲选做题）如图1，BE 、CF 分别为钝角△ABC的两条高，已知1,AE =3,2,AB CF ==则BC 边的长为 ．图1 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．3648788451162139496612413415910288757145699398109977546196183120703612601 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3080日期（AQI ）指数4012016020016.(本小题满分12分)已知函数()2sin()(0,)6f x x x R ωωπ=+>∈的最小正周期为π.（1）求ω的值；（2）若2()3f α=，(0,)8πα∈，求cos 2α的值. 17.(本小题满分12分)图2是某市今年1月份前30天空气质量指数（AQI ）的趋势图.图2（1）依据该图数据在答题卷中完成频率分布表，并在图3中作出这些数据的频率分布直方图；（2）当空气质量指数（AQI ）小于100时，表示空气质量优良．某人随机选择当月1日至10日中的某一天到达该市，并停留2天，设ξ是此人停留期间空气质量优良的天数，求ξ的数学期望．（图中纵坐标1/300即1300，以此类推）图318．（本小题满分14分）如图4，已知BCD ∆中，90,1BCD BC CD ∠===，6AB =，AB ⊥平面BCD ，E 、F 分别是AC 、AD 的中点．（1）求证：平面BEF ⊥平面ABC ； （2）求四棱锥B-CDFE 的体积V ；（3）求平面BEF 与平面BCD 所成的锐二面角的余弦值．图419. (本小题满分14分) 已知nS 为数列{}n a 的前n 项和，3(1)n n S na n n =--（*n N ∈），且211a =．（1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（3）设数列{}n b 满足n nnb S =122323n b b b n +++<+20. (本小题满分14分)在平面直角坐标系xoy 中，已知点(01)A ，，点B 在直线1:1l y =-上，点M 满足//MB OA ，MA AB MB BA ⋅=⋅，点M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程； （2）设直线2:l y kx m=+与曲线C 有唯一公共点P ，且与直线1:1l y =-相交于点Q ,摸索究，在坐标平面内是否存在点N ，使得以PQ 为直径的圆恒过点N ？若存在，求出点N 的坐标，若不存在，说明理由. 21. (本小题满分14分)已知函数()f x ax =，()ln g x x =，其中a R ∈,（e ≈2.718）． （1）若函数()()()F x f x g x =-有极值1，求a 的值；（2）若函数()(sin(1))()G x f x g x =--在区间(0,1)上为减函数，求a 的取值范围；（3）证明：211sin ln 2(1)nk k =<+∑．揭阳市2021年高中毕业班高考第一次模拟考试数学(理科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，假如考生的解法与本解答不同，可依据试题的主要考 查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步毁灭错误时，假如后续部分的解答未转变该题的内容和难度，可视影响的程度打算给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；假如后续部分的解答有较严峻的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数． 一、选择题：CBBD ACBC解析：7. 不同的摆法种数为:2223224A A ⋅=或43432424A A -=．8. 集合①，当22a -<<时为空集；集合②即{|2323}x x -<+，⇒1123232323x x <<⇒<<+-，故集合②是互倒集；对于集合③当1[,1)x e ∈时， [,0)y e ∈-，当1(1,]x e ∈时1(0,]y e ∈，明显非互倒集；对于集合④，2125[,)[2,]552y ∈25[,]52=且125[,]52y ∈，故集合④是互倒集.二、填空题：9. 12；10. 4x ；11.26；12.233p ；13. 3；14. 4357. 解析：12.所求概率9910101010323()+C ()555P C =（）91023352310()()455533p p p=⨯⨯+=⨯+=.13.由2'()3f x x =得曲线的切线的斜率23k k a =，故切线方程为323()k k k y a a x a -=-，令0y =得123k k a a +=123k k a a +⇒=，故数列{}n a 是首项11a =，公比23q =的等比数列，又3331210()(()f a f a f a +++101011210(1)3(1)1a q a a a q q -=+++==--，所以333121010()()()321()3f a f a f a +++=-.15．依题意得22BE =BEA ∽△CFA 得AE BE ABAF FC AC ==,所以2,AF =6,AC =2257BC BE EC =+=三、解答题：16．解：（1）由2ππω=得=2ω----------------------------------------------------2分（2）解法1：由π2()2sin(2)63f αα=+= 得π1sin(2)63α+=-----------------------3分 ∵(0,)8πα∈，∴5π2(, )6612ππα+∈， --------------------------------------------4分∴2ππ22cos(2)1sin (2)663αα+=-+=-----------------------------------------6分 ∴cos 2cos[(2)]66ππαα=+-----------------------------------------------------8分 cos(2)cos sin(2)sin6666ππππαα=+++ ----------------------------------------10分 2231126132326=⋅+⋅=----------------------------------------------------12分17．解：（1）频率分布表和频率分布直方图如下图示：--3分 --7分 （2）设iA 表示大事“此人于当月i 日到达该市”（ i =1,2，…，10）.则1()10i P A =（ i =1,2，…，10）-------------------------------------------------8分依题意可知，ξ的全部可能取值为0,1,2且P(ξ=0)= P(A 5)+P(A 6)=21105=, ----------------------------------------------------9分 P(ξ=1)= P(A 1)+P(A 4)+P(A 7)+P(A 10)=42=105，---------------------------------------10分 P(ξ=2)= P(A 2)+P(A 3) +P(A 8)+P(A 9) =42105=，--------------------------------------11分所以ξ的数学期望12260125555E ξ=⨯+⨯+⨯=．-----------------------------------12分 18.（1）证明：AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD AB CD ∴⊥，-------------------1分又BC CD ⊥， AB BC B =， CD ∴⊥平面ABC ，------------------------------2分又E 、F 分别是AC 、AD 的中点，∴//.EF CD ---------------------------------------3分 ∴EF ⊥平面ABC又EF ⊂平面BEF ，∴平面BEF ⊥平面ABC -----------4分 （2）解法1：由（1）知EF //CD ∴AEFACD ∆∆--------------------------------5分1,4AEF ACD S S ∆∆∴= ∴14B AEF B ACD V V --=---------------------6分331444B ACD A BCD BCD V V V S AB --∆∴===⋅11611642=⨯⨯⨯=-------------------8分1611166113423228=⨯+⨯⨯⨯⨯=.-----------------8分]（3）解法1：以点C 为坐标原点，CB 与CD 所在的直线分别为x 、y 轴建立空间直角坐标系如图示，--------------------------------------------------------9分则(000)C ，，,(100),(010),(106)B D A ，，，，，16116(,0(,222E F ， ∴16(,02BE =-，,116(,)22BF =-，,---------------10分 设平面BEF 的一个法向量为(,,)n a b c =，由00n BE n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得 1602116022a a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩令6c =6,0a b ==，∴(6,0,6)n =，------------------12分 ∵6)BA =是平面BCD 的法向量，设平面BEF 与平面BCD 所成的锐二面角大小为θ，则7cos 7||||642n BA n BA θ⋅===⋅⨯,∴所求二面角的余弦值为7．---------------------------------------------------14分19.解：（1）由2122232(21)S a a a =+=-⨯-和211a =可得15a = --------------------2分（2）解法1：当2n ≥时，由1n n n a S S -=-得13(1)(1)3(1)(2)n n n a na n n n a n n -=-------，---------------------------------4分⇒1(1)(1)6(1)n n n a n a n ----=-16(2,)n n a a n n N *-⇒-=≥∈---------------------6分∴数列{}n a 是首项15a =，公差为6的等差数列，∴16(1)61n a a n n =+-=--------------------------------------------------------7分∴21()322n n n a a S n n +==+-----------------------------------------------------8分（3）证明：322323132n n n b S n n n n ===<++-++------------------10分32312(3231)332+313231n n n n n n n n +-=+-+-+--（）（)(）--------------------11分∴122[(52)(85)(3231)]3n b b b n n +++<-+-+++---------------13分22(322)3233n n =+<+----------------------------------------14分20.解：(1)设(,)M x y ,由//MB OA 得(,1)B x -,-------------------------------------1分又(01)A ，，∴(,1)MA x y =--, (0,1)MB y =--, (,2)AB x =-.--------------------3分 由MA AB MB BA ⋅=⋅得()0MA MB AB +⋅=即(,2)(,2)0x y x --⋅-=24x y ⇒=， ∴曲线C 的方程式为24x y =.----------------------------------------------------5分（2）解法1：由曲线C 关于y 轴对称可知，若存在点N ，使得以PQ 为直径的圆恒过点N ， 则点N 必在y 轴上，设(0,)N n ，--------------------------------------------------6分又设点20(,)4x P x ，由直线2:l y kx m =+与曲线C 有唯一公共点P 知，直线2l 与曲线C 相切， 由214y x =得1'2y x =，∴001'|2x x k y x ===，---------------------------------------7分 ∴直线2l的方程为2000()42x xy x x -=-，--------------------------------------------8分令1y =-得2022x x x -=，∴Q 点的坐标为002(,1)2x x --，-----------------------------9分200002(,),(,1)42x x NP x n NQ n x ∴=-=------------------------------------------10分∵点N 在以PQ 为直径的圆上，∴22220002(1)()(1)20(*)244x x x NP NQ n n n n n ⋅=--+-=-++-=---------------12分要使方程(*)对0x 恒成立，必需有21020n n n -=⎧⎨+-=⎩解得1n =，-------------------------13分∴在坐标平面内存在点N ，使得以PQ 为直径的圆恒过点N ，其坐标为(0,1)．---------14分21.解：（1）∵()ln F x ax x =-，(0)x >∴1'()F x a x =-，---------------------------------------------------------------1分①若0a ≤，则对任意的(0,)x ∈+∞都有'()0F x <，即函数()F x 在(0,)+∞上单调递减， 函数()F x 在(0,)+∞上无极值；----------------------------------------------------2分②若0a >，由'()0F x =得1x a =，当1(0,)x a ∈时'()0F x <，当1(,)x a ∈+∞时，'()0F x >，即函数()F x 在1(0,)a 单调递减，在1(,)a +∞单调递增，∴函数()F x 在1x a =处有微小值，∴1()F a 11ln 1a =-=，∴1a =.---------------------------------------------------4分（2）解法1：∵函数()(sin(1))()G x f x g x =--=sin(1)ln a x x --在区间(0,1)上为减函数 且当(0,1)x ∈时，cos(1)0x ->，∴1'()cos(1)0G x a x x =--≤在(0,1)上恒成立1cos(1)a x x ⇔≤-在(0,1)上恒成立，----5分 设1()cos(1)H x x x =-，则()()()()()2222cos 1sin 1sin 1cos 1'()cos (1)cos (1)x x x x x x H x x x x x -------==------7分当()0,1x ∈时，()sin 10x -<，()cos 10x ->所以'()0H x <在()0,1上恒成立，即函数()H x 在()0,1上单调递减，-------------------8分∴当()0,1x ∈时，()(1)1H x H >=，∴1a ≤.-----------------------------------------------------------------------9分（3）证法1：由（2）知，当1a =时，()sin(1)ln G x x x =--(1)0G >=,sin(1)ln x x⇒->1sin(1)lnx x ⇒-<，------------------------------------------10分∵对任意的k N *∈有21(0,1)(1)k ∈+，∴211(0,1)(1)k -∈+∴22211(1)sin ln ln1(1)(2)1(1)k k k k k +<=++-+，--------------------------------------12分∴222 22211123(1) sin sin sin ln ln ln 23(1)1324(2)nn n n+ +++<++++⨯⨯+ 22223(1)2(1)ln[]ln1324(2)2n nn n n++=⋅⋅⋅=⨯⨯++ln2<，即211sin ln2(1)nkk=<+∑．--------------------------------------------------------14分。
2021年广东省揭阳市高考数学模拟试卷(一 )
2021年广东省揭阳市高考数学模拟试卷（一）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知i为虚数单位，若复数z=2−ii+ai(a∈R)为实数，则a=()A. −2B. −1C. 1D. 22.已知集合M={x|y=√(2−x)(x+1)}，N={x|2x<1}，则M∩N=()A. (0,2]B. [−1,0)C. (0,1]D. (−1,2)3.某地市在一次测试中，高三学生数学成绩ξ服从正态分布N(80,σ2)，已知P(60<ξ<80)=0.3，若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析，则应从100分以上的试卷中抽取()A. 10份B. 15份C. 20份D. 30份4.已知倾斜角为θ的直线l与直线3x−4y−1=0垂直，则cosθ的值为()A. −35B. −45C. 35D. 455.若a=0.60.7，b=0.70.6，c=lg3，则下列结论正确的是()A. b>c>aB. c>a>bC. a>b>cD. b>a>c6.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的离心率为√103，双曲线上的点到焦点的最小距离为√10−3，则双曲线上的点到点A(5,0)的最小距离为()A. 1B. √62C. 2D. √67.从包括甲、乙在内的7名学生中选派4名学生排序参加演讲比赛，则甲和乙参加，且演讲顺序不相邻的概率为()A. 221B. 17C. 27D. 128.数学中有些优美的曲线显示了数学形象美、对称美、和谐美，曲线C：(x2+y2)3=16x2y2就是四叶玫瑰线，则不等式(x2+y2)3≤16x2y2表示区域所含的整点(即横、纵坐标均为整数的点)个数为()A. 1B. 4C. 5D. 9二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.已知等比数列{a n}的公比为2，且S1，S2+2，S3成等差数列，则下列命题正确的是()A. a n =2n−1+1B. a 2，a 3，a 4−4成等差数列C. {S n +2}是等比数列D. ∃m ，n ，r ∈N ∗(m ≠r)，a m ，a n ，a r 成等差数列10. 已知二面角α−l −β，不同的两条直线m ，n ，下列命题正确的是( )A. 若m ⊥l ，则m ⊥αB. 若m//l ，则m//αC. 若二面角α−l −β大小为钝角θ，m ⊥α，n ⊥β，则m 与n 所成角为π−θD. 若平面γ∩α=m ，γ∩β=n ，m//n ，则m//l11. 已知函数f(x)=1+2cosxcos(x +2φ)是偶函数，其中φ∈(0,π)，则下列关于函数g(x)=cos(2x −φ)的正确描述是( )A. g(x)在区间[−π12,π3]上的最小值为−12B. g(x)的图象可由函数f(x)的图象向左平移π4个单位长度得到 C. 点(π4, 0)是g(x)的图象的一个对称中心 D. [0, π2]是g(x)的一个单调递增区间12. 已知定义在R 上的函数f(x)>0，满足f(x)⋅f(x +2)=4，且∀x ∈[−1,1]，f(x)⋅f(−x)=4，当−1≤x ≤0时，f(x)=2−x +k(k 为常数)，关于x 的方程f(x)−log a (x +1)=1(a <8且a ≠1)有且只有3个不同的根，则( )A. 函数f(x)的周期T =2B. f(x)在[−1,1]单调递减C. f(x)的图象关于直线x =1对称D. 实数a 的取值范围是(2, 2√2)三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 记(1−x)6=a 0+a 1(1+x)+a 2(1+x)2+a 3(1+x)3+a 4(1+x)4+a 5(1+x)5+a 6(1+x)6，则a 4= ______ ．14. 在四边形ABCD 中，AB =2，单位向量CD⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 平行，P 是BC 的中点，AP ∩DC =Q ，若在AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 、AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 中选两个作为基本向量，来表示向量AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ．15. 焦点为F 的抛物线C ：x 2=3y 的准线与y 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，则|MF||MA|的取值范围是______ ． 16. 在△ABC 中，AB =AC ，BC =4，沿中线AD 折起，使∠BDC =60°，连BC ，所得四面体ABCD 的体积为√3，则此四面体内切球的表面积为______ ． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足6S n =a n ⋅a n+1+2(n ∈N ∗)，a 1<2．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n =(−1)n lg(a n ⋅a n+1)，记数列{b n }的前n 项和T n ，求T 33．18. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为3√1516a ，cosB =1116．(1)求边b 的最小值； (2)若bsinB =−194sinA +14sinC ，求△ABC 的面积．19. 小田开小汽车上班的道路A 要经过5个红绿灯路口，若小田到达每一个路口是相互独立的，到达每一个路口遇到红灯的概率都为25，遇到绿灯的概率都为35．(1)若小田从出门到第一个路口和最后一个路口到办公室各需要5分钟，在路口遇到红灯的平均等待时间为1分钟，每两个路口之间的行驶时间为2分钟，求小田从出门到办公室的时间的平均值； (2)小田骑电动车上班的道路B 只要经过3个红绿灯路口(只有红灯或绿灯)，随机到达第一个路口遇到红灯、绿灯的概率都为12，一个路口遇到红灯时下一个路口遇到红灯和一个路口遇到绿灯时下一个路口遇到绿灯的概率都为23，求小田遇到红灯个数的平均值；(3)若小田骑电动车走道路B ，从出门到第一个路口和最后一个路口到办公室各需要4分钟，在路口遇到红灯的平均等待时间为1分钟，每两个路口之间的行驶时间为5分钟.从时间来考虑，请问小田上班是开小汽车好，还是骑电动车好？20.某直四棱柱被平面AEFG所截几何体如图所示，底面ABCD为菱形．(1)若BG⊥GF，求证：BG⊥平面ACE；(2)若BE=1，AB=2，∠DAB=60°，直线AF与底面ABCD所成角为30°，求直线GF与平面ABF所成角的正弦值．21.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1、F2，上、右顶点分别是A、B，满足∠F1AF2=120°，|AB|=√5．(1)求椭圆C的标准方程；(2)与圆x2+y2=1相切的直线l交椭圆C于P、Q两点，求|PQ|的最大值及此时直线l的斜率．22.已知函数f(x)=(x−1)e x+ax+1，(1)讨论函数f(x)的极值点的个数；(2)当x≥−1时，都有f(x+1)≥ax+esinx，求实数a的取值范围．参考：当x→−∞时，xe x→0，答案和解析1.【答案】D【解析】解：z =2i−i 2i 2+ai =−1−2i +ai =−1+(a −2)i 为实数，所以a =2．故选：D ．利用复数运算方法与复数定义即可解决此题．本题考查复数运算及定义，考查复数运算能力，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：∵M ={x|(2−x)(x +1)≥0}={x|−1≤x ≤2}，N ={x|x <0}， ∴M ∩N =[−1,0)． 故选：B ．可求出集合M ，N ，然后进行交集的运算即可．本题考查了集合的描述法和区间的定义，一元二次不等式的解法，指数函数的单调性，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：∵正态曲线的对称轴为x =80，∴P(80<ξ<100)=P(60<ξ<80)=0.3，P(ξ>100)=0.5−0.3=0.2， ∴应从100分以上的试卷中抽取100×0.2=20． 故选：C ．根据已知条件，结合正态分布的公式，即可求求解．本题考查了正态分布的公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：由垂直知两直线的斜率之积为−1，而直线3x −4y −1=0的斜率为34， 得直线l 的斜率为−43，即tanθ=−43=sinθcosθ，得θ为钝角，再根据sin 2θ+cos 2θ=1，求得cosθ=−35， 故选：A ．由题意利用两直线垂直的性质，求得tanθ的值，再利用同角三角函数的基本关系，求得cosθ的值． 本题主要考查直线的斜率，两直线垂直的性质，同角三角函数的基本关系，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：∵y =x 0.6为增函数，y =0.6x 为减函数， ∴0.70.6>0.60.6>0.60.7>0.61，c =lg3<lg √10=0.5， ∴b >a >c ． 故选：D ．根据已知条件，结合y =x 0.6为增函数，y =0.6x 为减函数，以及c =lg3<lg √10=0.5，即可求解． 本题考查了数值大小的比较，需要学生结合函数的思维，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：ca=√103，c −a =√10−3，可见c =√10, a =3，b 2=c 2−a 2=1，设P(x,y)是双曲线x 29−y 2=1上的点，则|AP|=√(x −5)2+y 2，又y 2=x 29−1，|AP|=√10x 29−10x +24=√10(x 29−x)+24=√10(x 3−32)2+32，又|x|≥3，所以当x =92时，|AP|min =√32=√62；故选：B ．利用双曲线的离心率，点到焦点的最小距离为√10−3，求解a ，b ，得到双曲线方程，利用两点间距离公式转化求解最小值即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．7.【答案】B【解析】解：甲和乙参加的概率为C 52C 74，甲和乙演讲顺序不相邻的概率为A 22⋅A 32A 44，所求概率为P =C 52C 74⋅A 22⋅A 32A 44=107×5⋅2×64×6=17，或直接为P =A 52⋅A 32A 74=17．故选：B ．甲和乙参加的概率为C 52C 74，甲和乙演讲顺序不相邻的概率为A 22⋅A 32A 44，由此能求出甲和乙参加，且演讲顺序不相邻的概率．本小题主要考查古典概率等基础知识，考查运算求解、数据处理能力，体现基础性、创新性、应用性，导向对发展数学运算、数据分析等核心素养的关注，是基础题．8.【答案】C【解析】解：由√x 2y 2≤x 2+y 22，得(x 2+y 2)3≤16(x 2+y 22)2， 得x 2+y 2≤4，圆x 2+y 2≤4含9个整点，经检验，只有(±1,±1)和(0,0)共5个整点满足(x 2+y 2)3≤16x 2y 2． 故选：C ．利用基本不等式得到x 2+y 2≤4，先找出圆上及圆内符合条件的整点，再代入曲线验证即可． 本题考查曲线的轨迹方程，涉及特殊点代入法、均值不等式、圆的方程，属于中档题．9.【答案】BC【解析】解：可得a 2=4，a 1=2，a n =2n ，所以A 不正确； a 3=8，a 4−4=12，a 2，a 3，a 4−4成等差数列，所以B 正确；S n =2n+1−2，所以S n +2=2n+1，所以{S n +2}是等比数列，所以C 正确；若a m ，a n ，a r 即2m ，2n ，2r 成等差数列，不妨设m ≤n <r ，则2m +2r =2⋅2n ，2m (1+2r−m )=2n+1−m ⋅2m ， 即1+2r−m =2n+1−m ，显然左边奇数，右边偶数，不相等，D 错误； 故选：BC ．求出数列的通项公式，以及数列的和，判断选项的正误即可．本题考查数列的的通项公式的应用，等比数列以及等差数列的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．10.【答案】CD【解析】解：对于A：若m⊥l，则m不一定与α垂直，故A不正确；对于B：若m//l，则m//α或m⊂α，故B不正确；对于C：作一个与二面角α−l−β的棱垂直的截面图，可知C正确；对于D：由m//n，可得m//β，又m⊂α，α∩β=l，得m//l，D正确；故选：CD．由线面的位置关系，逐个判断即可得出答案．本题考查立体几何中线面的位置关系，属于基础题．11.【答案】AB【解析】解：由f(−x)=f(x)得2cos(−x)cos(−x+2φ)=2cosxcos(x+2φ)，所以cos(−x+2φ)=cos(x+2φ)恒成立，得x=2φ是曲线y=cosx的对称轴，所以2φ=kπ(k∈Z)，由φ∈(0,π)得φ=π2，g(x)=cos(2x−π2)=sin2x，x∈[−π12,π3]，2x∈[−π6,2π3]，∴g(x)在区间[−π12,π3]上的最小值为−12，所以A正确；f(x)=1+2cosxcos(x+π)=1−2cos2x=−cos2x，函数f(x)的图象向左平移π4个单位长度，可得y=−cos2(x+π4)=sin2x，函数g(x)=cos(2x−π2)=sin2x，所以B正确；x=π4，g(x)=sin2x=1，所以点(π4, 0)不是g(x)的图象的一个对称中心，所以C不正确；x=π4，g(x)=sin2x=1，所以[0, π2]不是g(x)的一个单调递增区间，所以D不正确；故选：AB．利用函数的奇偶性以及函数的对称性，求解φ，求出函数的最值判断A；函数的图象变换，判断B；对称中心判断C；单调区间判断D．本题考查命题的真假的判断，三角函数的图象变换，对称性以及函数的最值的求法，是中档题．12.【答案】BCD【解析】解：由f(x)⋅f(x+2)=4知f(x−2)⋅f(x)=4，∴f(x+2)=f(x−2)，周期T=4，故A错误；取x=0，得f(0)⋅f(0)=4，由f(x)>0，得f(0)=2，又f(0)=1+k，得k=1，∴当−1≤x≤0时，f(x)=2−x+1是个减函数，f(x)≥2；当0<x≤1时，−1≤−x<0，f(−x)=2x+1，f(x)=4 f(−x)=42x+1是减函数，则43≤f(x)<2，可知f(x)在[−1,1]单调递减，故B正确；当x∈[1,3]时，x−2∈[−1,1]，−x+2∈[−1,1]，得f(x−2)⋅f(−x+2)=4，∴f(x)⋅f(−x)=4f(x−2)⋅4f(−x+2)=4，则在区间[−1,3]上，f(x)⋅f(−x)=4，又f(x)⋅f(x+2)=4，得f(−x)=f(x+2)，即f(x)的图象关于直线x=1对称，由周期性可知f(x)在R上的图象关于直线x=1对称，故C正确；由题意知y=f(x)−1与g(x)=log a(x+1)(a<8且a≠1)有且只有3个公共点，画出y=f(x)−1图象，有极大值点x=3，7，11，…，极小值点x=1，5，9，…，极大值为2，极小值为13，g(x)为减函数时不合题意，∴g(x)为增函数，由a<8得g(1)=log a2=ln2lna >ln2ln8=13，由题意知g(3)<2且g(7)>2，即log a4<2且log a8>2，∴2<a<2√2，故D正确．故选：BCD．由已知f(x)⋅f(x+2)=4得f(x−2)⋅f(x)=4，进一步得到f(x+2)=f(x−2)，即可求得函数的周期判断A；由f(0)求得k值，得到函数在−1≤x≤0时的解析式，进一步求出f(x)在0≤x≤1上的解析式，判断函数的单调性可得B；推出f(−x)=f(x+2)，得到函数的对称轴方程判断C；作出y=f(x)−1与g(x)= log a(x+1)的图象，把问题转化为关于a的不等式组求解，得到a的范围判断D．本题考查函数的零点与方程根的关系，考查函数的周期性与对称性的应用，考查推理论证能力与运算求解能力，属难题．13.【答案】60【解析】解：∵(1−x)6=(−1+x)6=[−2+(1+x)]6，∴a 4=C 64(−2)2=4C 62=60；故答案为：60．依题意可得(1−x)6=[−2+(1+x)]6，由计数原理可求得答案． 本题考查二项式定理，考查转化思想与数学运算能力，属于中档题．14.【答案】AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 、AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 、AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +32AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =4DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =4AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −3BC ⃗⃗⃗⃗⃗ (任选一个即可)【解析】解：∵P 为BC 的中点，AB//CD ， ∴P 为AQ 的中点，AB =CQ ， 选择AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ：AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BP ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ； 选择AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ： AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ；选择AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ： AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +32AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ； 选择BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 、DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ：AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ )=BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +2×2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +4DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ； 选择BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 、AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ： ∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，∴AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +32AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +32×2(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=4AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −3BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ．故答案为：AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 、AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 、AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +32AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =4DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =4AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −3BC ⃗⃗⃗⃗⃗ (任选一个即可)．易知P为AQ的中点，AB=CQ，再选择不共线的两个向量作为基底，并结合平面向量的加法、减法和数乘运算法则，即可得解．本题考查平面向量的基本定理与线性运算，熟练掌握平面向量的加法、减法和数乘运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．15.【答案】[√22, 1]【解析】解：作MN垂直准线于N，|MF||MA|=|MN||MA|=sin∠MAN，不妨在第一象限取点M，当MA与抛物线相切时，∠MAN最小，设切点为M(x0,y0)，由y=13x2得y′=23x，可知k AM=23x0，又A(0, −34)，得y0+3 4x0=23x0，得y0+34=23x02，又x02=3y0，所以y0=34，x0=32，所以切线k AM=1，∠MAN=45°，易知∠MAN∈[45°,90°]，所以|MF||MA|=sin∠MAN∈[√22, 1]；故答案为：[√22, 1]．作MN垂直准线于N，|MF||MA|=|MN||MA|=sin∠MAN，不妨在第一象限取点M，当MA与抛物线相切时，∠MAN最小，设切点为M(x0,y0)，利用函数的导数，求解斜率的表达式，然后求解范围即可．本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，函数的导数的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．16.【答案】12(7−4√3)π【解析】解：可知BD=CD=2，AD⊥面BCD，四面体ABCD的体积V ABCD=13×(12×2×2sin60°)⋅AD=√3，得AD=3，AB=√13，所以四面体ABCD的表面积为S=(12×2×3)×2+12×2×√3+12×2×√AB2−1=6+3√3，设内切球的半径为R，由V ABCD=13×S⋅R=(2+√3)R=√3，得R=√32+√3=2√3−3，内切球的表面积为4πR2=12(7−4√3)π．故答案为：12(7−4√3)π．利用四面体ABCD的体积，求出AD=3，设内切球的半径为R，由四面体ABCD的体积为√3，求解内切球的半径，即可求解表面积．本题考查几何体的外接球的表面积的求法，求解外接球的半径是解题的关键，是中档题．17.【答案】解：(1)设等差数列{a n}的公差为d，则由6S n=a n⋅a n+1+2，得6S n−1=a n−1⋅a n+2(n≥2)相减得6(S n−S n−1)=a n(a n+1−a n−1)，即6a n=a n⋅2d(n≥2)，又a n>0，所以d=3，由6S1=a1⋅a2+2，得6a1=a1⋅(a1+3)+2，解得a1=1，(a1=2舍去)由a n=a1+(n−1)d，得a n=3n−2；(2)b n=(−1)n lg(a n⋅a n+1)=(−1)n(lga n+lga n+1)，T33=b1+b2+b3+⋯+b33=−lga1−lga2+lga2+lga3−lga3−lga4+⋯−lga33−lga34=−lga1−lga34=−lg100=−2．【解析】(1)直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式；(2)利用数列的递推关系式求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法及应用，数列的求和，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．18.【答案】解：(1)∵sinB=√1−cos2B=3√1516，S△ABC=12acsinB=3√1532ac=3√1516a，∴c=2，由bsinB =csinC≥c，得b≥c⋅sinB=3√158，∴b的最小值为3√158．(2)∵bsinB=−194sinA+14sinC，，∴运用正弦定理可得b2=−194a+14c，由余弦定理及c=2，可得b2=a2+4−4a⋅cosB=a2+4−114a，∴−194a+28=a2+4−114a，即a2+2a−24=0，解得a=4．∴S△ABC=12acsinB=3√154．【解析】(1)根据已知条件，运用三角函数的同角公司、以及正弦定理，即可求解．(2)由bsinB=−194sinA+14sinC，运用正弦定理，可推得b2=−194a+14c，再结合余弦定理及c=2，即可求解．本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．考查了学生对三角函数基础知识的综合运用，属于中档题．19.【答案】解：(1)设小田开车遇到红灯的个数为ξ，则ξ～B(5, 25)，设小田开车从出门到办公室的时间为X，则X=5+2×4+1×ξ+5，平均值E(X)=18+E(ξ)=18+5×25=20；……………………(4分)(2)设小田骑车遇到红灯的个数为η，则η可能为0，1，2，3，P(η=0)=P(绿绿绿)=12×23×23=29，P(η=1)=12×13×23+12×13×13+12×23×13=518，P(η=2)=12×23×13+12×13×13+12×13×23=518，P(η=3)=12×23×23=29，∴E(η)=1×518+2×518+3×29=2718=32；……………………(9分)(3)设小田骑车从出门到办公室的时间为Y，则Y=4+2×5+1×η+4，平均值E(Y)=18+E(η)=19.5<E(X)，所以小田上班骑电动车较好．…………(12分)【解析】(1)设小田开车遇到红灯的个数为ξ，则ξ～B(5, 25)，然后利用期望公式求解即可．(2)设小田骑车遇到红灯的个数为η，则η可能为0，1，2，3，求出概率，即可求解期望．(3)半径期望的大小，即可判断小田上班骑电动车较好．本题考查离散型随机变量的期望的求法，考查发现问题解决问题的能力，是中档题．20.【答案】(1)证明：连BD，由底面ABCD为菱形，得AC⊥BD，由直四棱柱得GD⊥底面ABCD，又AC⊂平面ABCD，∴GD⊥AC，又BD ∩GD =D ，∴AC ⊥平面BDG ， ∴AC ⊥BG ，①……………………(3分) 由直四棱柱底面ABCD 为菱形， 易知平面ABE//平面CFGD ， 又平面AEFG ∩平面ABE =AE ， 平面AEFG ∩平面CFGD =GF ， ∴AE//GF ，又BG ⊥GF ，∴BG ⊥AE ，②……………………(5分) 由①②及AC ∩AE =A ，得BG ⊥平面ACE ；……………(6分) (2)设AC ∩BD =O ，由直四棱柱得FC ⊥底面ABCD ，得直线 AF 与底面ABCD 所成角为∠FAC ，即∠FAC =30°，tan∠FAC =FCAC ， 由菱形ABCD 边长为2，∠DAB =60°， 得BD =2，AC =2√3，又FCAC =tan30°，∴FC =2，……………………(7分) 在平面ACF 内作Oz//CF ，可知Oz ⊥底面ABCD ，如图，以O 为原点，建立空间直角坐标系O −xyz ，则A(√3, 0, 0)，B(0,1，0)，E(0,1，1)，F(−√3, 0, 2)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3, 1, 0)，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2√3, 0, 2)，GF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3, 1, 1)，设平面ABF 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x, y, z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ m ⃗⃗⃗ ⊥AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，{m ⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−√3x +y =0m ⃗⃗⃗ ⋅AF⃗⃗⃗⃗⃗ =−2√3x +2z =0，取x =1，得y =√3，z =√3，得m ⃗⃗⃗ =(1, √3, √3)，……………………(10分)设直线GF 与平面ABF 所成的角为θ， 则sinθ=|cos <GF ⃗⃗⃗⃗⃗ , m ⃗⃗⃗ >|=|GF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||GF ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|m ⃗⃗⃗ |=√3√5×√7=√10535.……………………(12分)【解析】(1)连BD ，证明AC ⊥BD ，GD ⊥AC ，推出AC ⊥平面BDG ，即可证明AC ⊥BG ，BG ⊥AE ，推出BG ⊥平面ACE ．(2)设AC ∩BD =O ，说明AF 与底面ABCD 所成角为∠FAC ，以O 为原点，建立空间直角坐标系O −xyz ，求出平面ABF 的法向量，利用空间向量的数量积求解直线GF 与平面ABF 所成角的正弦函数值， 本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．21.【答案】解：(1)因为tan∠OAF 2=cb ，|AB|=√a 2+b 2，得tan60°=cb ，√a 2+b 2=√5，……………………(2分)又a 2=b 2+c 2，所以c =√3b ，a 2=4b 2，5b 2=5，解得b =1，a =2， 椭圆的标准方程为C ：x 24+y 2=1；……………………(4分)(2)法一：由题意知直线l 不能平行于x 轴，所以设为x =ty +m ， 由已知得(0,0)到x −ty −m =0的距离为1，即√1+t 2=1，所以m 2=t 2+1，……………………(6分)联立直线和椭圆得(ty +m)2+4y 2=4，即(t 2+4)y 2+2tmy +m 2−4=0，得△=(2tm)2−4(t 2+4)(m 2−4)=−4(4m 2−4t 2−16)=16(t 2−m 2+4)=16×3， 设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，则|y 2−y 1|=√△t 2+4=4√3t 2+4，|PQ|=√1+t 2|y 2−y 1|=4√3√t 2+1t 2+4，……………………(9分)设√1+t 2=n ，则n ≥1，|PQ|=4√3n n 2+3=4√3n+3n≤√32√3=2，当n =3n ，即n =√3时，得|PQ|max =2，……………………(11分) 此时t =±√2，直线l 的斜率为1t =±√22.……………………(12分)法二：当直线l 垂直于x 轴时，为x =±1，代入椭圆得y =±√32，得|PQ|=√3①；当直线l 不垂直于x 轴时，设y =kx +m ，由题意知k ≠0， 由已知得(0,0)到kx −y +m =0的距离为1，即√k 2+1=1，所以m2=k2+1，……………………(6分)联立直线和椭圆得x2+4(kx+m)2=4，即(4k2+1)x2+8kmx+4m2−4=0，得△=(8km)2−16(4k2+1)(m2−1)=−16(−4k2+m2−1)=16×3k2，设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则|x2−x1|=√△4k2+1=4√3k4k2+1，|PQ|=√1+k2|x2−x1|=4√3k√k2+14k2+1，……………………(9分)设4k2+1=n，则n>1，则|PQ|2=3×4k2×4(k2+1)(4k2+1)2=3(n−1)(n+3)n2=3(1+2n−3n2)，|PQ|2=3[−3(1n2−23⋅1n)+1]=3[−3(1n−13)2+43]≤3×43=4，得|PQ|≤2，结合①，得|PQ|max=2，……………………(11分)此时n=3，直线l的斜率为k=±√22.……………………(12分)【解析】(1)通过tan∠OAF2=cb，|AB|=√a2+b2，转化求解a，b，得到椭圆方程．(2)法一：由题意知直线l不能平行于x轴，设为x=ty+m，由已知得(0,0)到x−ty−m=0的距离为1，得到m2=t2+1，联立直线和椭圆(t2+4)y2+2tmy+m2−4=0，设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，利用韦达定理，弦长公式，结合基本不等式，求解最大值．转化求解直线的斜率．法二：当直线l垂直于x轴时，验证即可，当直线l不垂直于x轴时，设y=kx+m，由题意知k≠0，由已知得(0,0)到kx−y+m=0的距离为1，得到m2=k2+1，联立直线和椭圆方程，设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，利用韦达定理，弦长公式，转化求解|PQ|的表达式，利用二次函数的性质求解最值，推出直线的斜率即可．本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．22.【答案】解：(1)f′(x)=xe x+a，设g(x)=f′(x)，则g′(x)=(x+1)e x，又g′(x)>0⇔x>−1，可知g(x)即f′(x)在(−∞,−1)上单调递减，在(−1,+∞)上单调递增，所以f′(x)min=f′(−1)=−1e+a，当x→−∞时，f′(x)→a；当x→+∞时，f′(x)→+∞；……………………(3分)①当f′(x)min=−1e +a≥0，即a≥1e时，f′(x)≥0，f(x)在R上单调递增，无极值点；②当a≤0时，f′(x)先负后正，f(x)先减后增，有1个极值点；③当−1e +a<0且a>0，即0<a<1e时，f′(x)先正再负又正，f(x)先增再减又增，有2个极值点．……………………(6分)(2)设ℎ(x)=f(x+1)−ax−esinx(x≥−1)，则∀x≥−1，ℎ(x)=xe x+1−esinx+a+1≥0ℎ′(x)=(x+1)e x+1−ecosx，ℎ′′(x)=(x+2)e x+1+esinx，……………………(8分)易知ℎ′′(x)在(−1,0)上单调递增，又ℎ′′(0)=2e>0，ℎ′′(−1)=1−esin1<0(∵esin1>esinπ4=√22e>√2)，∴∃x0∈(−1,0)，ℎ′′(x0)=0，当x≥0时，ℎ′′(x)≥2e+esinx>0，因此当x∈(−1,x0)时，ℎ′′(x)<0；当x∈(x0,+∞)时，ℎ′′(x)>0；得ℎ′(x)在(−1,x0)上单调递减，在(x0,+∞)上单调递增，……………………(10分)又ℎ′(−1)=−ecos1<0，ℎ′(0)=e−e=0，因此当x∈(−1,0)时，ℎ′(x)<0；当x∈(0,+∞)时，ℎ′(x)>0；所以ℎ(x)min=a+1，由已知得ℎ(x)min≥0，所以a≥−1.……………………(12分)【解析】(1)对函数f(x)求导，设g(x)=f′(x)，再对g(x)求导，进而可判断f′(x)的单调性及最值情况，进一步讨论可得f(x)的极值点个数；(2)设ℎ(x)=f(x+1)−ax−esinx(x≥−1)，对ℎ(x)求导，研究其最小值，由此可得实数a的取值范围．本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的恒成立问题，考查分类讨论思想以及转化思想，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．。
广东省揭阳市2021届新高考数学五模试卷含解析
广东省揭阳市2021届新高考数学五模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．根据散点图，对两个具有非线性关系的相关变量x ，y 进行回归分析，设u= lny ，v=(x-4)2，利用最小二乘法，得到线性回归方程为ˆu=-0.5v+2，则变量y 的最大值的估计值是（ ） A ．eB ．e 2C ．ln2D ．2ln2【答案】B【解析】【分析】 将u= lny ，v=(x-4)2代入线性回归方程ˆu=-0.5v+2，利用指数函数和二次函数的性质可得最大估计值. 【详解】解：将u= lny ，v=(x -4)2代入线性回归方程ˆu=-0.5v+2得： ()2ln 0.542y x =--+，即()20.542x y e --+=， 当4x =时，()20.542x --+取到最大值2，因为x y e =在R 上单调递增，则()20.542x y e --+=取到最大值2e .故选：B.【点睛】本题考查了非线性相关的二次拟合问题，考查复合型指数函数的最值，是基础题,.2．德国数学家莱布尼兹(1646年-1716年)于1674年得到了第一个关于π的级数展开式,该公式于明朝初年传入我国.在我国科技水平业已落后的情况下,我国数学家､天文学家明安图(1692年-1765年)为提高我国的数学研究水平,从乾隆初年(1736年)开始,历时近30年,证明了包括这个公式在内的三个公式,同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式,著有《割圆密率捷法》一书,为我国用级数计算π开创了先河.如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于π的级数展开式”计算π的近似值(其中P 表示π的近似值),若输入10n ＝,则输出的结果是( )A ．11114(1)35717P =-+-+⋅⋅⋅+ B ．11114(1)35719P =-+-+⋅⋅⋅- C ．11114(1)35721P =-+-+⋅⋅⋅+ D ．11114(1)35721P =-+-+⋅⋅⋅- 【答案】B【解析】【分析】 执行给定的程序框图，输入10n =，逐次循环，找到计算的规律，即可求解.【详解】由题意，执行给定的程序框图，输入10n =，可得：第1次循环：1,2S i ==；第2次循环：11,33S i =-=；第3次循环：111,435S i =-+=；第10次循环：11111,1135719S i =-+-+-=， 此时满足判定条件，输出结果111144(1)35719P S ==-+-+⋅⋅⋅-， 故选：B.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出，其中解答中认真审题，逐次计算，得到程序框图的计算功能是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.3．执行如图所示的程序框图，当输出的2S =时，则输入的S 的值为( )A ．-2B ．-1C ．12-D ．12【答案】B【解析】 若输入2S =-，则执行循环得1313,2;,3;2,4;,5;,6;3232S k S k S k S k S k =====-===== 132,7;,8;,9;32S k S k S k =-=====结束循环，输出32S =，与题意输出的2S =矛盾； 若输入1S =-，则执行循环得11,2;2,3;1,4;,5;2,6;22S k S k S k S k S k =====-===== 11,7;,8;2,9;2S k S k S k =-=====结束循环，输出2S =，符合题意； 若输入12S =-，则执行循环得212,2;3,3;,4;,5;3,6;323S k S k S k S k S k =====-===== 12,7;,8;3,9;23S k S k S k =-=====结束循环，输出3S =，与题意输出的2S =矛盾； 若输入12S =，则执行循环得12,2;1,3;,4;2,5;1,6;2S k S k S k S k S k ===-======-= 1,7;2,8;1,9;2S k S k S k =====-=结束循环，输出1S =-，与题意输出的2S =矛盾； 综上选B.4．已知等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++=，则357a a a ++=（ ）A ．21B ．42C ．63D ．84【答案】B【解析】由a 1+a 3+a 5=21得242421(1)21172a q q q q q ++=∴++=∴=∴a 3+a 5+a 7=2135()22142q a a a ++=⨯=，选B.5．若202031i izi+=+，则z的虚部是（）A．i B．2i C．1-D．1【答案】D【解析】【分析】通过复数的乘除运算法则化简求解复数为：a bi+的形式，即可得到复数的虚部. 【详解】由题可知()()()()2020221313131232 11111i ii i i i iz ii i i i i+-+++-=====+ +++--，所以z的虚部是1.故选：D.【点睛】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，属于基础题.6．函数3222x xxy-=+在[]6,6-的图像大致为A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由(4)f的近似值即可得出结果．【详解】设32()22x x x y f x -==+，则332()2()()2222x x x x x x f x f x ----==-=-++，所以()f x 是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C ．又34424(4)0,22f -⨯=>+排除选项D ；36626(6)722f -⨯=≈+，排除选项A ，故选B ．【点睛】本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．7．若复数211i z i =++（i 为虚数单位），则z 的共轭复数的模为（ ）A B ．4 C ．2 D 【答案】D【解析】【分析】由复数的综合运算求出z ，再写出其共轭复数，然后由模的定义计算模．【详解】()()()212112111i i i z i i i i -=+=+=+++-，2,z i z ∴=-∴= 故选：D ．【点睛】本题考查复数的运算，考查共轭复数与模的定义，属于基础题．8．已知函数()()f x x R ∈满足(1)1f =，且()1f x '<，则不等式()22lg lg f x x <的解集为（ ） A ．10,10⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．10,10,10 C ．1,1010⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()10,+∞ 【答案】B【解析】【分析】构造函数()()g x f x x =-,利用导数研究函数的单调性，即可得到结论.【详解】设()()g x f x x =-,则函数的导数()()1g x f x ''=-,()1f x '<，()0g x '∴<，即函数()g x 为减函数,(1)1f =,(1)(1)1110g f ∴=-=-=，则不等式()0<g x 等价为()(1)g x g <，则不等式的解集为1x >,即()f x x <的解为1x >，22(1)1f g x g x <，由211g x >得11gx >或11gx <-，解得10x >或1010x , 故不等式的解集为10,(10,)10⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭.故选:B . 【点睛】 本题主要考查利用导数研究函数单调性，根据函数的单调性解不等式，考查学生分析问题解决问题的能力,是难题.9．已知全集，，则（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】C【解析】【分析】先求出集合U ，再根据补集的定义求出结果即可．【详解】由题意得，∵， ∴． 故选C ．【点睛】本题考查集合补集的运算，求解的关键是正确求出集合和熟悉补集的定义，属于简单题．10．已知i 是虚数单位，则(2)i i +=（ ）A ．12i +B ．12i -+C ．12i --D ．12i - 【答案】B【解析】【分析】根据复数的乘法运算法则，直接计算，即可得出结果.【详解】 () 22112i i i i +=-=-+.故选B【点睛】本题主要考查复数的乘法，熟记运算法则即可，属于基础题型.11．在ABC ∆中,,A B C ∠∠∠所对的边分别是,,a b c ，若3,4,120a b C ︒==∠=，则c =（ ）A ．37B ．13CD 【答案】D【解析】【分析】直接根据余弦定理求解即可．【详解】解：∵3,4,120a b C ︒==∠=，∴2222cos 9161237c a b ab C =+-=++=，∴c =故选：D ．【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，属于基础题．12．i 是虚数单位，若17(,)2i a bi a b R i +=+∈-，则乘积ab 的值是( ) A ．－15B ．－3C ．3D ．15【答案】B【解析】 17(17)(2)1325i i i i i +++==-+-，∴1,3,3a b ab =-==-，选B ． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省揭阳市2021届高三第二次模拟数学理试题(WORD解析版)
广东省揭阳市2021届高三第二次模拟数学理试题（WORD解析版） 2021年广东省揭阳市高考数学二模试卷（理科）一、多项选择题：本主题共有8个子题，每个子题得5分，满分40分。
每个子问题中给出的四个选项中只有一个符合问题的要求1．（5分）（2021?揭阳二模）已知全集u=r，然后ua=（）a．[0，+∞）b．（∞，0）c．（0，+∞）d．（∞，0]考点：其他不等式的解法；补集及其运算．专题：函数的性质及应用．分析：求函数的定义域求得a，再利用补集的定义求得则?ua．解答：x解：集合a即函数y=的定义域，由21≥0，求得x≥0，a=[0，+∞），故?ua=（∞，0），故选b．点评：本题主要考查对数不等式的解法，求集合的补集，属于基础题．2．（5分）（2021?揭阳二模）若（1+2ai）i=1bi，其中a、b∈r，i是虚数单位，则|a+bi|=（）a．b．c．d．考点：复数求模；复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：首先进行复数的乘法运算，根据复数相等的充要条件，得到复数的实部和虚部分别相等，得到a，b的值，求出复数的模长．解答：解：∵（1+2ai）i=1bi，∴i2a=1bi∴2a=1，b=1∴a=，b=1∴|a+bi|=故选c．点评：本题考查复数的代数形式的乘除运算和复数的求模，本题解题的关键是求出复数中的字母系数，本题是一个基础题．3．（5分）（2021?揭阳二模）已知点a（1，5）和向量=（2，3），若，然后是B点的坐标（）a．（7，4）b．（7，14）c．（5，4）d．（5，14）考点：平面向量的坐标运算．专题：平面向量及应用．分析：设b（x，y），由得（x+1，y5）=（6，9），求得x、y的值，即可求得点b的坐标．答案：B：第二个模拟考试是：设置一个x（y），从（x+1，Y5）=（6，9）中得到结果，所以选择D。
注释：主要问题是检查两个向量在坐标形式下的运算，这属于基本问题。
4.（5分）（2022揭阳两模式）在算术级数{an}中，第一个a1=0，公共差d0，如果am=a1+a2+。
广东省揭阳市古溪中学2021年高三数学文模拟试题含解析
广东省揭阳市古溪中学2021年高三数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数，则=（）A．B．C．D．参考答案：B考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：首先求出的函数值，然后判断此函数值所在范围，继续求其函数值．解答：解：因为＞0，所以f（）==﹣2，又﹣2＜0，所以f（﹣2）=2﹣2=；故选：B．点评：本题考查了分段函数的函数值求法；关键是明确自变量所属的范围，代入对应的解析式计算即可．2. 已知F是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，O是双曲线C的中心，直线y=x是双曲线C的一条渐近线，以线段OF为边作正三角形AOF，若点A在双曲线C上，则m的值为（）A．3+2B．3﹣2C．3+D．3﹣参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据正三角形的性质，结合双曲线的性质求出，m=，A（c， c），将A点的坐标代入双曲线方程可得到关于m的方程，进行求解即可．【解答】解：∵F（c，0）是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，直线y=是双曲线C 的一条渐近线，又双曲线C的一条渐近线为y=x，∴m=，又点A在双曲线C上，△AOF为正三角形，∴A（c， c），∴﹣=1，又c2=a2+b2，∴﹣=1，即+m﹣﹣=1，∴m2﹣6m﹣3=0，又m＞0，∴m=3+2．故选：A．3. 若=-，a是第三象限的角，则=（）（A）（B）-（C）（D）参考答案：B略4. 已知i为虚数单位，则的实部与虚部之积等于（）A．B．C．I D．i参考答案：A【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【分析】先对所给的复数分子分母同乘以1+i，再进行化简整理出实部和虚部，即求出它们的乘积，【解答】解：∵==，∴所求的实部与虚部之积是．故选A．5. 将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为A. B. C. D.参考答案：C6. 已知函数,，若对任意的,存在实数a,b满足，使得，则k的最大值为( )A. 2B. 3C. 4D. 5参考答案：B当时，作函数与的图象，，对，存在实数满足，使得成立，正确；当时，作函数与的图象，，对，存在实数满足，使得成立，正确；当时，作函数与的图象，，对，存在实数满足，使得成立，正确；当时，作函数与的图象，，不存在实数满足，使得成立，的最大值为，故选B.7. 已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点，直线PO，PF2分别交双曲线C左、右支于另一点M，N，|PF1|=2|PF2|，且∠MF2N=60°，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】由题意，|PF1|=2|PF2|，|PF1|﹣|PF2|=2a，可得|PF1|=4a，|PF2|=2a，由∠MF2N=60°，可得∠F1PF2=60°，由余弦定理可得4c2=16a2+4a2﹣2?4a?2a?cos60°，即可求出双曲线C的离心率．【解答】解：由题意，|PF1|=2|PF2|，|PF1|﹣|PF2|=2a，∴|PF1|=4a，|PF2|=2a，∵∠MF2N=60°，∴∠F1PF2=60°，由余弦定理可得4c2=16a2+4a2﹣2?4a?2a?cos60°，∴c=a，∴e==．故选：B．8. 如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，CE⊥平面ABCD，CE=AB，PD=λCE（λ＞1）（1）求证：PE⊥AD（2）若该几何体的体积被平面BED分成V B﹣CDE：V多面体ABDEP=1：4的两部分，求λ的值．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）证明：AD⊥平面PDCE，即可证明PE⊥AD；（2）分别求出体积，利用V B﹣CDE：V多面体ABDEP=1：4，求λ的值．【解答】（1）证明：∵ABCD是正方形，∴AD⊥CD，∵PD⊥平面ABCD，∴AD⊥PD，∵PD∩CD=D，∴AD⊥平面PDCE，∵PD?平面PDCE，∴PE⊥AD（2）解：设AB=a，则AD=CE=a，V B﹣CDE==，V多面体ABDEP=V B﹣PDE+V P﹣ABD==，∵V B﹣CDE：V多面体ABDEP=1：4，∴λ=2．9. 将一枚硬币连续抛掷n次，若使得至少有一次正面向上的概率不小于，则n的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．7参考答案：A【考点】CA：n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【分析】由题意，1﹣≥，即可求出n的最小值．【解答】解：由题意，1﹣≥，∴n≥4，∴n的最小值为4，故选A．10. 已知某几何体的三视图，则该几何体的体积是( )A．12 B．24 C．36 D．48参考答案：A【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】利用三视图判断几何体的形状，通过三视图是数据，求出几何体的体积即可．【解答】解：三视图复原的几何体是底面为边长4、3的矩形，高为3的棱锥，高所在棱垂直底面矩形的一个得到，所以棱锥的体积为：=12．故选：A．【点评】本题主要考查关于“几何体的三视图”与“几何体的直观图”的相互转化的掌握情况，同时考查空间想象能力．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设的最大值是____________.参考答案：略12. 不等式的解集为____________．参考答案：【知识点】不等式的解法.E4【答案解析】｛x|x<-1或x>2｝解析：原不等式等价于设，则在R 上单调增.所以，原不等式等价于所以原不等式解集为｛x|x<-1或x>2｝【思路点拨】利用函数的单调性转化为等价命题，得到结果。
广东省揭阳市2021届新高考适应性测试卷数学试题(3)含解析
广东省揭阳市2021届新高考适应性测试卷数学试题（3）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知六棱锥P ABCDEF -各顶点都在同一个球（记为球O ）的球面上，且底面ABCDEF 为正六边形，顶点P 在底面上的射影是正六边形ABCDEF 的中心G ，若6PA =，2AB =，则球O 的表面积为（ ） A ．163πB ．94π C ．6πD ．9π【答案】D 【解析】 【分析】由题意，得出六棱锥P ABCDEF -为正六棱锥，求得222PG PA AG =-=，再结合球的性质，求得球的半径32R =，利用表面积公式，即可求解. 【详解】由题意，六棱锥P ABCDEF -底面ABCDEF 为正六边形，顶点P 在底面上的射影是正六边形ABCDEF 的中心G ，可得此六棱锥为正六棱锥， 又由2AB =，所以2AG =，在直角PAG ∆中，因为6PA =，所以222PG PA AG =-=，设外接球的半径为R ，在AOG ∆中，可得222AO AG OG =+，即222(2)(2)R R =-+，解得32R =， 所以外接球的表面积为249S R ππ==. 故选:D.【点睛】本题主要考查了正棱锥的几何结构特征，以及外接球的表面积的计算，其中解答中熟记几何体的结构特征，熟练应用球的性质求得球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与计算能力，属于中档试题.2．过椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点F 的直线过C 的上顶点B ，且与椭圆C 相交于另一点A ，点A 在y 轴上的射影为A '，若34FO AA ='，O 是坐标原点，则椭圆C 的离心率为（ ） A．2B．3C ．12D．2【答案】D 【解析】 【分析】求得点B 的坐标，由34FO AA ='，得出3BF FA =，利用向量的坐标运算得出点A 的坐标，代入椭圆C 的方程，可得出关于a 、b 、c 的齐次等式，进而可求得椭圆C 的离心率. 【详解】由题意可得()0,B b 、(),0F c -.由34FO AA ='，得34BF BA =，则31BF FA =，即3BF FA =. 而(),BF c b =--，所以,33cb FA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以点4,33b A c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.因为点4,33b A c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在椭圆2222:1x y C a b+=上，则22224331b c a b ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=， 整理可得2216899c a ⋅=，所以22212c e a ==，所以2e =. 即椭圆C故选：D. 【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，解答的关键就是要得出a 、b 、c 的齐次等式，充分利用点A 在椭圆上这一条件，围绕求点A 的坐标来求解，考查计算能力，属于中等题.3．已知函数2()(2)g x f x x =+为奇函数，且(2)3f =，则(2)f -=（ ）A ．2B ．5C ．1D ．3【答案】B 【解析】 【分析】由函数2()(2)g x f x x =+为奇函数,则有(1)(1)0(2)1(2)10g g f f -+=⇒-+++=,代入已知即可求得.【详解】(1)(1)0(2)1(2)10(2)5g g f f f -+=⇒-+++=⇒-=-.故选:B . 【点睛】本题考查奇偶性在抽象函数中的应用,考查学生分析问题的能力,难度较易.4．设{}n a 是等差数列，且公差不为零，其前n 项和为n S ．则“*n N ∀∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列的前n 项和公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】{}n a 是等差数列，且公差d 不为零，其前n 项和为n S ，充分性：1n n S S +>，则10n a +>对任意的n *∈N 恒成立，则20a >，0d ≠，若0d <，则数列{}n a 为单调递减数列，则必存在k *∈N ，使得当n k >时，10n a +<，则1n n S S +<，不合乎题意；若0d >，由20a >且数列{}n a 为单调递增数列，则对任意的n *∈N ，10n a +>，合乎题意. 所以，“*n N ∀∈，1n n S S +>”⇒“{}n a 为递增数列”；必要性：设10n a n =-，当8n ≤时，190n a n +=-<，此时，1n n S S +<，但数列{}n a 是递增数列. 所以，“*n N ∀∈，1n n S S +>”⇐/“{}n a 为递增数列”.因此，“*n N ∀∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的充分而不必要条件. 故选：A.本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差数列的前n 项和公式是解决本题的关键，属于中等题． 5．函数()()sin f x A x ωϕ=+（0A >， 0>ω， 2πϕ<）的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别为（ ）A ．2，0B ．2，4πC ．2， 3π-D ．2，6π 【答案】D 【解析】 【分析】由题意结合函数的图象，求出周期T ，根据周期公式求出ω，求出A ，根据函数的图象过点16π⎛⎫⎪⎝⎭，，求出ϕ，即可求得答案 【详解】 由函数图象可知：311341264T πππ=-= T π=， 21A ω∴==，函数的图象过点16π⎛⎫⎪⎝⎭， 1sin 26πϕ⎛⎫∴=⨯+ ⎪⎝⎭，2πϕ<，则6πϕ=故选D 【点睛】本题主要考查的是()sin y A x ωϕ=+的图像的运用，在解答此类题目时一定要挖掘图像中的条件，计算三角函数的周期、最值，代入已知点坐标求出结果6．已知12log 13a =131412,13b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，13log 14c =，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．b c a >>D ．a c b >>【答案】D【分析】由指数函数的图像与性质易得b 最小，利用作差法，结合对数换底公式及基本不等式的性质即可比较a 和c 的大小关系，进而得解.【详解】根据指数函数的图像与性质可知1314120131b ⎛⎫<= ⎪⎭<⎝，由对数函数的图像与性质可知12log 131a =>，13log 141c =>，所以b 最小； 而由对数换底公式化简可得1132log 13log 14a c -=-lg13lg14lg12lg13=- 2lg 13lg12lg14lg12lg13-⋅=⋅ 由基本不等式可知()21lg12lg14lg12lg142⎡⎤⋅<+⎢⎥⎣⎦，代入上式可得()2221lg 13lg12lg14lg 13lg12lg142lg12lg13lg12lg13⎡⎤-+⎢⎥-⋅⎣⎦>⋅⋅221lg 13lg1682lg12lg13⎛⎫- ⎪⎝⎭=⋅11lg13lg168lg13lg16822lg12lg13⎛⎫⎛⎫+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⋅((lg13lg13lg 0lg12lg13+⋅-=>⋅所以a c >， 综上可知a c b >>， 故选：D. 【点睛】本题考查了指数式与对数式的化简变形，对数换底公式及基本不等式的简单应用，作差法比较大小，属于中档题.7．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x 的值为2，则输出的v 值为( )A ．10922⨯-B ．10922⨯+C ．11922⨯+D ．11922⨯-【答案】C 【解析】 【分析】由题意，模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的k ，v 的值，当1k =-时，不满足条件0k ，跳出循环，输出v 的值． 【详解】解：初始值10v =，2x =，程序运行过程如下表所示：9k =，1029v =⨯+，8k，2102928v =⨯+⨯+，7k =， 2310292827v =⨯+⨯+⨯+，6k =， 4321029282726v =⨯+⨯+⨯+⨯+，5k =， 4325102928272625v =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+，4k =， 6543210292827262524v =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+，3k =， 6574321029282726252423v =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+，2k =， 7654328102928272625242322v =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+，1k =， 4987653210292827262524232221v =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+，0k =，98765432101029282726252423222120v =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+，1k =-，跳出循环，输出v 的值为其中98765432101029282726252423222120v =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+① 10987651143221029282726252423222120v =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+②①—②得41711098653210212121212121212121212v -=-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ ()111021210212v --=-⨯+-11922v =⨯+．故选：C ． 【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到k ，v 的值是解题的关键，属于基础题．8．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，指数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在第三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（ ） A ．12种 B ．24种 C ．36种 D ．48种【答案】C 【解析】 【分析】根据“数”排在第三节，则“射”和“御”两门课程相邻有3类排法，再考虑两者的顺序，有222A =种，剩余的3门全排列，即可求解. 【详解】由题意，“数”排在第三节，则“射”和“御”两门课程相邻时，可排在第1节和第2节或第4节和第5节或第5节和第6节，有3种，再考虑两者的顺序，有222A =种， 剩余的3门全排列，安排在剩下的3个位置，有336A =种，所以“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有32636⨯⨯=种不同的排法. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了排列、组合的应用，其中解答中认真审题，根据题设条件，先排列有限制条件的元素是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.9．ABC ∆中，BC =D 为BC 的中点，4BAD π∠=，1AD =，则AC =（ ）A．B．C．6D ．2【答案】D 【解析】 【分析】在ABD ∆中，由正弦定理得sin 10B =；进而得cos cos 45ADC B π⎛⎫∠=+= ⎪⎝⎭，在ADC ∆中，由余弦定理可得AC . 【详解】在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin 4AD BD B π=，得sin B =，又BD AD >，所以B为锐角，所以cos B =cos cos 45ADC B π⎛⎫∴∠=+= ⎪⎝⎭， 在ADC ∆中，由余弦定理可得2222cos 4AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠=，2AC ∴=.故选：D 【点睛】本题主要考查了正余弦定理的应用，考查了学生的运算求解能力.10．已知曲线24x y =，动点P 在直线3y =-上，过点P 作曲线的两条切线12,l l ，切点分别为,A B ，则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为（ ） AB ．2C ．4D．【答案】C 【解析】 【分析】设221212,,,,(,3)44x x A x B x P t ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据导数的几何意义，求出切线斜率，进而得到切线方程，将P 点坐标代入切线方程，抽象出直线AB 方程，且过定点为已知圆的圆心，即可求解. 【详解】圆22650x y y +-+=可化为22(3)4x y +-=.设221212,,,,(,3)44x x A x B x P t ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12,l l 的斜率分别为1212,22x xk k ==，所以12,l l 的方程为()21111:24x x l y x x =-+，即112x y x y =-，()22222:24x x l y x x =-+，即222x y x y =-，由于12,l l 都过点(,3)P t -，所以11223232x t y x t y ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，即()()1122,,,A x y B x y 都在直线32xt y -=-上， 所以直线AB 的方程为32xt y -=-，恒过定点(0,3)， 即直线AB 过圆心(0,3)，则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为4. 故选:C. 【点睛】本题考查直线与圆位置关系、直线与抛物线位置关系，抛物线两切点所在直线求解是解题的关键，属于中档题.11．已知全集{},1,2,3,4,U Z A ==()(){}130,B x x x x Z =+->∈，则集合()U A C B ⋂的子集个数为（ ） A ．2 B ．4C ．8D ．16【答案】C 【解析】 【分析】先求B.再求U C B ，求得()U A C B ⋂则子集个数可求 【详解】由题()(){}{}130,1x 3,U C B x x x x Z x x Z =+-≤∈=-≤≤∈={}1,0,1,2,3=-, 则集合(){}1,2,3U A C B ⋂=,故其子集个数为328=故选C 【点睛】此题考查了交、并、补集的混合运算及子集个数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键，是基础题12．使得()3nx n N +⎛∈ ⎝的展开式中含有常数项的最小的n 为( )A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B 【解析】二项式展开式的通项公式为r -n 3x n r r C （），若展开式中有常数项，则3--=02n r r ，解得5=2n r ，当r 取2时，n 的最小值为5，故选B 【考点定位】本题考查二项式定理的应用．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省揭阳市2021届新高考数学二模考试卷含解析
广东省揭阳市2021届新高考数学二模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数12iz i-=-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点的坐标是（ ） A ．31,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．31,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．31,55⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．31,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求得z 的坐标得出答案. 【详解】 解：1(1)(2)312(2)(2)55i i i z i i i i --+===---+， z ∴在复平面内对应的点的坐标是31,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：A. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题． 2．已知m ∈R ，复数113z i =+，22z m i =+，且12z z ⋅为实数，则m =（ ） A ．23-B ．23C ．3D ．-3【答案】B 【解析】 【分析】把22z m i =-和 113z i =+代入12z z ⋅再由复数代数形式的乘法运算化简，利用虚部为0求得m 值． 【详解】因为()()()()12132632z z i m i m m i ⋅=+-=++-为实数，所以320m -=，解得23m =. 【点睛】本题考查复数的概念，考查运算求解能力.3．集合{2,1,1},{4,6,8},{|,,}A B M x x a b b B x B =--===+∈∈,则集合M 的真子集的个数是 A ．1个 B ．3个C ．4个D ．7个【答案】B 【解析】【分析】由题意，结合集合,A B ，求得集合M ，得到集合M 中元素的个数，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，集合{2,1,1},{4,6,8}A B =--=，,x A ∈ 则{}{|,,,}4,6M x x a b x A b B x B ==+∈∈∈=， 所以集合M 的真子集的个数为2213-=个，故选B ． 【点睛】本题主要考查了集合的运算和集合中真子集的个数个数的求解，其中作出集合的运算，得到集合M ，再由真子集个数的公式21n -作出计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．4．已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}2,3,4B =，则集合()UB A =( )A ．{}1,2,6B ．{}1,3,6C ．{}1,6D ．{}6【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的混合运算，即可容易求得结果. 【详解】{}1,2,3,4,5A B ⋃=，故可得()UB A ={}6.故选：D. 【点睛】本题考查集合的混合运算，属基础题.5．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，平面α与此正方体相交.对于实数(0d d <<，如果正方体1111ABCD A B C D -的八个顶点中恰好有m 个点到平面α的距离等于d ，那么下列结论中，一定正确的是 A ．6m ≠ B ．5m ≠ C ．4m ≠ D ．3m ≠【答案】B 【解析】 【分析】此题画出正方体模型即可快速判断m 的取值. 【详解】如图（1）恰好有3个点到平面α的距离为d ；如图（2）恰好有4个点到平面α的距离为d ；如图（3）恰好有6个点到平面α的距离为d . 所以本题答案为B.【点睛】本题以空间几何体为载体考查点，面的位置关系，考查空间想象能力，考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力和知识方法的迁移能力，属于难题. 6．已知复数z 满足()14i z i -=，则z =（ ） A ．2B ．2C ．4D ．3【答案】A 【解析】 【分析】由复数除法求出z ，再由模的定义计算出模． 【详解】44(1)22,221(1)(1)i i i z i z i i i +===-+=--+ 故选：A ． 【点睛】本题考查复数的除法法则，考查复数模的运算，属于基础题．7．金庸先生的武侠小说《射雕英雄传》第12回中有这样一段情节，“……洪七公道：肉只五种，但猪羊混咬是一般滋味，獐牛同嚼又是一般滋味，一共有几般变化，我可算不出了”.现有五种不同的肉，任何两种（含两种）以上的肉混合后的滋味都不一样，则混合后可以组成的所有不同的滋味种数为（ ） A ．20 B ．24 C ．25 D ．26【答案】D 【解析】 【分析】利用组合的意义可得混合后所有不同的滋味种数为23455555C C C C +++，再利用组合数的计算公式可得所求的种数.【详解】混合后可以组成的所有不同的滋味种数为23455555205126C C C C +++=++=（种），故选：D. 【点睛】本题考查组合的应用，此类问题注意实际问题的合理转化，本题属于容易题.8．如图，已知三棱锥D ABC -中，平面DAB ⊥平面ABC ，记二面角D AC B --的平面角为α，直线DA 与平面ABC 所成角为β，直线AB 与平面ADC 所成角为γ，则（ ）A ．αβγ≥≥B ．βαγ≥≥C ．αγβ≥≥D ．γαβ≥≥【答案】A 【解析】 【分析】作'DD AB ⊥于'D ,DE AC ⊥于E ,分析可得'DED α,'DAD β=∠,再根据正弦的大小关系判断分析得αβ≥,再根据线面角的最小性判定βγ≥即可. 【详解】作'DD AB ⊥于'D ,DE AC ⊥于E .因为平面DAB ⊥平面ABC ,'DD ⊥平面ABC .故,'AC DE AC DD ⊥⊥, 故AC ⊥平面'DED .故二面角D AC B --为'DED α.又直线DA 与平面ABC 所成角为'DAD β=∠,因为DA DE ≥, 故''sin 'sin 'DD DD DED DAD DE DA.故αβ≥,当且仅当,A E 重合时取等号.又直线AB 与平面ADC 所成角为γ,且'DAD β=∠为直线AB 与平面ADC 内的直线AD 所成角,故βγ≥,当且仅当BD ⊥平面ADC 时取等号.故αβγ≥≥.故选：A 【点睛】本题主要考查了线面角与线线角的大小判断,需要根据题意确定角度的正弦的关系,同时运用线面角的最小性进行判定.属于中档题.9．已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩，若函数()y f x ax b =--恰有三个零点，则（ ） A ．1,0a b <-< B ．1,0a b <-> C ．1,0a b >-< D ．1,0a b >->【答案】C 【解析】 【分析】当0x <时，()(1)y f x ax b x ax b a x b =--=--=--最多一个零点；当0x 时，32321111()(1)(1)3232y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=-++--=-+-，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画函数草图，根据草图可得． 【详解】当0x <时，()(1)0y f x ax b x ax b a x b =--=--=--=，得1bx a=-；()y f x ax b =--最多一个零点；当0x 时，32321111()(1)(1)3232y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=-++--=-+-， 2(1)y x a x =+-'，当10a +，即1a -时，0y '，()y f x ax b =--在[0，)+∞上递增，()y f x ax b =--最多一个零点．不合题意；当10a +>，即1a >-时，令0y '>得[1x a ∈+，)+∞，函数递增，令0y '<得[0x ∈，1)a +，函数递减；函数最多有2个零点；根据题意函数()y f x ax b =--恰有3个零点⇔函数()y f x ax b =--在(,0)-∞上有一个零点，在[0，)+∞上有2个零点，如图：∴01b a <-且3211(1)(1)(1)032b a a a b ->⎧⎪⎨+-++-<⎪⎩， 解得0b <，10a ->，310(116,)b a a >>-+∴>-． 故选C ．【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及,a b 两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底.10．《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.某“堑堵”的三视图如图，则它的外接球的表面积为（ ）A ．4πB ．8πC ．642+D ．83π【答案】B 【解析】 【分析】由三视图判断出原图，将几何体补形为长方体，由此计算出几何体外接球的直径，进而求得球的表面积. 【详解】根据题意和三视图知几何体是一个底面为直角三角形的直三棱柱，底面直角三角形的斜边为2，侧棱长为2且与底面垂直，因为直三棱柱可以复原成一个长方体，该长方体外接球就是该三棱柱的外接球，长方体对角线就是外接球直径，则2222(2)4228R R ==+=，那么248S R ππ==外接球.故选：B 【点睛】本小题主要考查三视图还原原图，考查几何体外接球的有关计算，属于基础题.11．如图，2AB =是圆O 的一条直径，,C D 为半圆弧的两个三等分点，则()AB AC AD ⋅+=（ ）A ．52B ．4C ．2D ．13+【答案】B 【解析】 【分析】连接CD 、OD ，即可得到60CAB DOB ︒∠=∠=，1AC =，再根据平面向量的数量积及运算律计算可得； 【详解】解：连接CD 、OD ，C ，D 是半圆弧的两个三等分点， //CD AB ∴，且2AB CD =，60CAB DOB ︒∠=∠=所以四边形AODC 为棱形，1cos 1212AC AB AC AB BAC ∴=∠=⨯⨯= ∴()11222AB AC AD AB AC AC AB AB AC AB ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2122AC AB AB =+． 2121242=⨯+⨯=故选：B【点睛】本题考查平面向量的数量积及其运算律的应用，属于基础题.12．已知集合{|lg }M x y x =，2{|40}N x N x =∈-≥，则M N ⋂为( ) A ．[1,2] B ．{0,1,2}C ．{1,2}D ．(1,2)【答案】C 【解析】 【分析】分别求解出,M N 集合的具体范围，由集合的交集运算即可求得答案. 【详解】因为集合{}|1M x x =≥，{}{}220,1,2N x N x =∈-≤≤=， 所以{}1,2M N =故选：C 【点睛】本题考查对数函数的定义域求法、一元二次不等式的解法及集合的交集运算，考查基本运算能力. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省揭阳市2021届新高考数学三模考试卷含解析
广东省揭阳市2021届新高考数学三模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()ln f x x =，()()23g x m x n =++，若()0,x ∀∈+∞总有()()f x g x ≤恒成立.记()23m n +的最小值为(),F m n ，则(),F m n 的最大值为（ ）A ．1B ．1eC ．21eD ．31e【答案】C 【解析】 【分析】根据()0,x ∀∈+∞总有()()f x g x ≤恒成立可构造函数()()ln 23h x x m x n =-+-,求导后分情况讨论()h x 的最大值可得最大值最大值()1ln 23123h m n m ⎛⎫=-+-- ⎪+⎝⎭,即()ln 2310m n -+--≤.根据题意化简可得()()()2323ln 231m n m m +≥+-+-⎡⎤⎣⎦,求得()()(),23ln 231F m n m m =+-+-⎡⎤⎣⎦,再换元求导分析最大值即可.【详解】由题, ()0,x ∀∈+∞总有()ln 23x m x n ≤++即()ln 230x m x n -+-≤恒成立. 设()()ln 23h x x m x n =-+-,则()h x 的最大值小于等于0. 又()()1'23h x m x=-+, 若230m +≤则()'0h x >,()h x 在()0,∞+上单调递增, ()h x 无最大值. 若230m +>,则当123x m >+时,()'0h x <,()h x 在1,23m ⎛⎫+∞⎪+⎝⎭上单调递减, 当1023x m <<+时,()'0h x >,()h x 在10,23m ⎛⎫ ⎪+⎝⎭上单调递增.故在123x m =+处()h x 取得最大值()11ln 1ln 2312323h n m n m m ⎛⎫=--=-+-- ⎪++⎝⎭. 故()ln 2310m n -+--≤,化简得()()()2323ln 231m n m m +≥+-+-⎡⎤⎣⎦.故()()(),23ln 231F m n m m =+-+-⎡⎤⎣⎦,令()23,0t m t =+>,可令()()ln 1k t t t =-+, 故()'ln 2k t t =--,当21t e >时, ()'0k t <,()k t 在21,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递减；当210t e <<时, ()'0k t >,()k t 在210,e ⎛⎫⎪⎝⎭递增. 故在21t e =处()h t 取得极大值,为22221111ln 1=k e e e e⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故(),F m n 的最大值为21e. 故选：C 【点睛】本题主要考查了根据导数求解函数的最值问题,需要根据题意分析导数中参数的范围,再分析函数的最值,进而求导构造函数求解()23m n +的最大值.属于难题.2．已知数列{}n a 是公差为()d d ≠0的等差数列，且136,,a a a 成等比数列，则1a d=（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列和等比数列公式直接计算得到答案. 【详解】由136,,a a a 成等比数列得2316a a a =⋅，即()()211125a d a a d +=+，已知0d ≠，解得14a d=. 故选：A . 【点睛】本题考查了等差数列，等比数列的基本量的计算，意在考查学生的计算能力.3．已知ABC ∆为等腰直角三角形，2A π=，BC =M 为ABC ∆所在平面内一点，且1142CM CB CA =+，则MB MA ⋅=（ ）A ．4B ．72-C ．52-D ．12-【答案】D 【解析】 【分析】以AB,AC 分别为x 轴和y 轴建立坐标系，结合向量的坐标运算，可求得点M 的坐标，进而求得,MB MA ，由平面向量的数量积可得答案. 【详解】如图建系，则()0,0A ，()2,0B ，()0,2C ，由1142CM CB CA =+，易得11,22M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则31111,,22222MB MA ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D 【点睛】本题考查平面向量基本定理的运用、数量积的运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.4．已知函数1,0()ln ,0x xf x x x x⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，若函数()()F x f x kx =-在R 上有3个零点，则实数k 的取值范围为（ ） A ．1(0,)eB ．1(0,)2eC ．1(,)2e-∞ D ．11(,)2e e【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数，分当0x <，0x >，将问题转化为()f x k x=的零点问题，用数形结合的方法研究. 【详解】 当0x <时，()21f x k xx==，令()()2312g ,'0x g x x x ==->，()g x 在()0x ∈-∞，是增函数，0k >时，()f x k x=有一个零点， 当0x >时，()2ln f x xk xx==，令()()23ln 12ln h ,x x x h x x x -'== 当)x e ∈时，'()0h x ＞，∴()h x 在)e 上单调递增， 当,)x e ∈+∞时，'()0h x ＜，∴()h x 在,)e +∞上单调递减， 所以当x e =()h x 取得最大值12e， 因为()()F x f x kx =-在R 上有3个零点， 所以当0x >时，()f x k x=有2个零点， 如图所示：所以实数k的取值范围为1 (0,)2e综上可得实数k的取值范围为1 (0,)2e，故选：B【点睛】本题主要考查了函数的零点问题，还考查了数形结合的思想和转化问题的能力，属于中档题.5．已知x,y满足不等式组220210x yx yx+-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩,则点(),P x y所在区域的面积是( )A．1 B．2 C．54D．45【答案】C【解析】【分析】画出不等式表示的平面区域，计算面积即可. 【详解】不等式表示的平面区域如图：直线220x y +-=的斜率为2-，直线21x y --的斜率为12，所以两直线垂直，故BCD ∆为直角三角形，易得(1,0)B ，1(0,)2D -，(0,2)C ，52BD =，5BC =所以阴影部分面积115552224BCD S BD BC ∆=⋅=⨯⨯=. 故选：C. 【点睛】本题考查不等式组表示的平面区域面积的求法，考查数形结合思想和运算能力，属于常考题. 6．某四棱锥的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ）A ．8B ．83C ．4D ．43【答案】D 【解析】 【分析】根据三视图知，该几何体是一条垂直于底面的侧棱为2的四棱锥，画出图形，结合图形求出底面积代入体积公式求它的体积． 【详解】根据三视图知，该几何体是侧棱PA ⊥底面ABCD 的四棱锥，如图所示：结合图中数据知，该四棱锥底面为对角线为2的正方形， 高为PA=2，∴四棱锥的体积为21242323V =⋅⋅=.故选：D. 【点睛】本题考查由三视图求几何体体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．属于中等题.7．为了进一步提升驾驶人交通安全文明意识，驾考新规要求驾校学员必须到街道路口执勤站岗，协助交警劝导交通.现有甲、乙等5名驾校学员按要求分配到三个不同的路口站岗，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有( ) A ．12种 B ．24种 C ．36种 D ．48种【答案】C 【解析】 【分析】先将甲、乙两人看作一个整体，当作一个元素，再将这四个元素分成3个部分，每一个部分至少一个，再将这3部分分配到3个不同的路口，根据分步计数原理可得选项. 【详解】把甲、乙两名交警看作一个整体，5个人变成了4个元素，再把这4个元素分成3部分，每部分至少有1个人，共有24C 种方法，再把这3部分分到3个不同的路口，有33A 种方法，由分步计数原理，共有234336C A ⋅=种方案。
广东省揭阳市2021届新高考数学四模试卷含解析
广东省揭阳市2021届新高考数学四模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知l 为抛物线24x y =的准线，抛物线上的点M 到l 的距离为d ，点P 的坐标为()4,1，则MP d +的最小值是（ ） A ．17 B ．4C ．2D ．117+【答案】B 【解析】 【分析】设抛物线焦点为F ，由题意利用抛物线的定义可得，当,,P M F 共线时，MP d +取得最小值，由此求得答案. 【详解】解：抛物线焦点()0,1F ，准线1y =-， 过M 作MN l ⊥交l 于点N ，连接FM由抛物线定义MN MF d ==，244MP d MP MF PF ∴+=+≥==，当且仅当,,P M F 三点共线时，取“＝”号， ∴MP d +的最小值为4. 故选：B. 【点睛】本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题. 2．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x =-，且在(0,)+∞上是增函数，不等式()()21f ax f +≤-对于[]1,2x ∈恒成立，则a 的取值范围是A ．3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]0,1【解析】 【分析】根据奇偶性定义和性质可判断出函数为偶函数且在(),0-∞上是减函数，由此可将不等式化为121ax -≤+≤；利用分离变量法可得31a x x -≤≤-，求得3x -的最大值和1x-的最小值即可得到结果. 【详解】()()f x f x =- ()f x ∴为定义在R 上的偶函数，图象关于y 轴对称又()f x 在()0,∞+上是增函数 ()f x ∴在(),0-∞上是减函数()()21f ax f +≤- 21ax ∴+≤，即121ax -≤+≤121ax -≤+≤对于[]1,2x ∈恒成立 31a xx∴-≤≤-在[]1,2上恒成立312a ∴-≤≤-，即a 的取值范围为：3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦本题正确选项：A 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，涉及到恒成立问题的求解；解题关键是能够利用函数单调性将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，从而利用分离变量法来处理恒成立问题. 3．已知定义在R 上的函数||()21x m f x -=-（m 为实数）为偶函数，记()0.5log 3a f =，()2log 5b f =，(2)c f m =+则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】B 【解析】 【分析】根据f （x ）为偶函数便可求出m ＝0，从而f （x ）＝2x ﹣1，根据此函数的奇偶性与单调性即可作出判断. 【详解】解：∵f （x ）为偶函数； ∴f （﹣x ）＝f （x ）； ∴2x m --﹣1＝2x m -﹣1； ∴|﹣x ﹣m|＝|x ﹣m|； （﹣x ﹣m ）2＝（x ﹣m ）2； ∴mx ＝0；∴f （x ）＝2x ﹣1；∴f （x ）在[0，+∞）上单调递增，并且a ＝f （|0.5log 3|）＝f （2log 3）， b ＝f （2log 5），c ＝f （2）； ∵0＜2log 3＜2＜2log 5； ∴a<c<b ． 故选B ． 【点睛】本题考查偶函数的定义，指数函数的单调性，对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间[0，+∞）上，根据单调性去比较函数值大小．4．如图所示点F 是抛物线28y x =的焦点，点A 、B 分别在抛物线28y x =及圆224120x y x +--=的实线部分上运动， 且AB 总是平行于x 轴， 则FAB ∆的周长的取值范围是（ ）A ．(6,10)B ．(8,12)C ．[6,8]D ．[8,12]【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线方程求得焦点坐标和准线方程，结合定义表示出AF ；根据抛物线与圆的位置关系和特点，求得B 点横坐标的取值范围，即可由FAB ∆的周长求得其范围. 【详解】抛物线28y x =，则焦点()2,0F ，准线方程为2x =-，根据抛物线定义可得2A AF x =+，圆()22216x y -+=，圆心为()2,0，半径为4，点A 、B 分别在抛物线28y x =及圆224120x y x +--=的实线部分上运动，解得交点横坐标为2.点A 、B 分别在两个曲线上，AB 总是平行于x 轴，因而两点不能重合，不能在x 轴上，则由圆心和半径可知()2,6B x ∈，则FAB ∆的周长为246A B A B AF AB BF x x x x ++=++-+=+， 所以()68,12B x +∈， 故选：B. 【点睛】本题考查了抛物线定义、方程及几何性质的简单应用，圆的几何性质应用，属于中档题.5．抛物线方程为24y x =，一直线与抛物线交于A B 、两点，其弦AB 的中点坐标为(1,1)，则直线的方程为（ ） A ．210x y --= B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ---=【答案】A 【解析】 【分析】设()11,A x y ，()22,B x y ，利用点差法得到1212422y y x x -==-，所以直线AB 的斜率为2，又过点(1,1)，再利用点斜式即可得到直线AB 的方程. 【详解】解：设()()1122,,,A x y B x y ，∴122y y +=，又21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，两式相减得：()2212124y y x x -=-， ∴()()()1212124y y y y x x +-=-，∴1212422y y x x -==-，∴直线AB 的斜率为2，又∴过点(1,1)，∴直线AB 的方程为：12(1)y x -=-，即2 10x y --=， 故选：A. 【点睛】本题考查直线与抛物线相交的中点弦问题，解题方法是“点差法”，即设出弦的两端点坐标，代入抛物线方程相减后可把弦所在直线斜率与中点坐标建立关系． 6．若()()()32z i a i a R =-+∈为纯虚数，则z ＝（ ）A ．163i B ．6i C ．203i D ．20【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算以及纯虚数的概念，可得结果. 【详解】()()()32326z i a i a a i =-+=++-∵()()()32z i a i a R =-+∈为纯虚数， ∴320a +=且60a -≠ 得23a =-，此时203z i =故选：C. 【点睛】本题考查复数的概念与运算，属基础题.7．欧拉公式为cos sin ix e x i x =+,(i 虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，3i e π表示的复数位于复平面中的（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A 【解析】 【分析】计算31cossin 3322πππ=+=+i ei ，得到答案. 【详解】根据题意cos sin ixe x i x =+，故31cossin 3322πππ=+=+i e i ，表示的复数在第一象限. 故选：A . 【点睛】本题考查了复数的计算， 意在考查学生的计算能力和理解能力.8．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点()1,2P ，则cos2θ=（ ） A ．35B ．45-C ．35D ．45【答案】A【分析】由已知可得sin θ，根据二倍角公式即可求解. 【详解】角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点()1,2P ，则||OP θ==23cos 212sin 5θθ∴=-=-.故选：A. 【点睛】本题考查三角函数定义、二倍角公式，考查计算求解能力，属于基础题.9．已知复数2(1)(1)i z a a =-+-（i 为虚数单位，1a >），则z 在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】 【分析】分别比较复数z 的实部、虚部与0的大小关系，可判断出z 在复平面内对应的点所在的象限. 【详解】因为1a >时，所以10a -<，210a ->，所以复数z 在复平面内对应的点位于第二象限. 故选：B. 【点睛】本题考查复数的几何意义，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 10．集合{|20}N A x x B =-≤=，，则A B =（ ）A ．{}1B ．{}1,2C ．{}0,1D ．{}0,1,2【答案】D 【解析】 【分析】利用交集的定义直接计算即可. 【详解】{}|2A x x =≤，故{}0,1,2A B =，故选：D.本题考查集合的交运算，注意常见集合的符号表示，本题属于基础题. 11．执行程序框图，则输出的数值为（ ）A ．12B ．29C ．70D ．169【答案】C 【解析】 【分析】由题知：该程序框图是利用循环结构计算并输出变量b 的值，计算程序框图的运行结果即可得到答案. 【详解】0a =，1b =，1n =，022b =+=，5n <，满足条件，2012a -==，2n =，145b =+=，5n <，满足条件， 5122a -==，3n =，21012b =+=，5n <，满足条件，12252a -==，4n =，52429b =+=，5n <，满足条件，295122a -==，5n =，125870b =+=，5n =，不满足条件，输出70b =. 故选：C 【点睛】本题主要考查程序框图中的循环结构，属于简单题. 12．已知2cos(2019)πα+=，则sin(2)2πα-=（ ）A ．79B ．59C ．59-D ．79-【答案】C 【解析】利用诱导公式得cos(2019)cos παα+=-，sin(2)cos 22παα-=，再利用倍角公式，即可得答案.【详解】由cos(2019)3πα+=-可得cos()3πα+=-，∴cos 3α=，∴225sin(2)cos22cos 121299πααα-==-=⨯-=-. 故选：C. 【点睛】本题考查诱导公式、倍角公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意三角函数的符号.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省揭阳市2021届新高考数学二月模拟试卷含解析
广东省揭阳市2021届新高考数学二月模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图所示的程序框图输出的S 是126，则①应为（ ）A ．5?n ≤B ．6?n ≤C ．7?n ≤D ．8?n ≤【答案】B 【解析】试题分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加S=2+22+…+2n 的值，并输出满足循环的条件． 解：分析程序中各变量、各语句的作用， 再根据流程图所示的顺序，可知： 该程序的作用是累加S=2+22+…+2n 的值， 并输出满足循环的条件． ∵S=2+22+…+21=121， 故①中应填n≤1． 故选B点评：算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．2．数列{a n }，满足对任意的n ∈N +，均有a n +a n+1+a n+2为定值.若a 7=2，a 9=3，a 98=4，则数列{a n }的前100项的和S 100=( ) A ．132 B ．299C ．68D ．99【答案】B 【解析】 【分析】由12n n n a a a ++++为定值，可得3n n a a +=，则{}n a 是以3为周期的数列，求出123,,a a a ，即求100S . 【详解】对任意的n ∈+N ，均有12n n n a a a ++++为定值，()()123120n n n n n n a a a a a a +++++∴++-++=，故3n n a a +=，{}n a ∴是以3为周期的数列，故17298392,4,3a a a a a a ======，()()()100123979899100123133S a a a a a a a a a a a ∴=+++++++=+++()332432299=+++=.故选：B . 【点睛】本题考查周期数列求和，属于中档题.3．斜率为1的直线l 与椭圆22x y 14+=相交于A 、B 两点，则AB 的最大值为( )A ．2B ．5C ．5D ．5【答案】C 【解析】 【分析】设出直线的方程，代入椭圆方程中消去y ，根据判别式大于0求得t 的范围，进而利用弦长公式求得|AB|的表达式，利用t 的范围求得|AB|的最大值． 【详解】解：设直线l 的方程为y ＝x+t ，代入24x +y 2＝1，消去y 得54x 2+2tx+t 2﹣1＝0，由题意得△＝（2t ）2﹣1（t 2﹣1）＞0，即t 2＜1．弦长|AB|＝55≤． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了椭圆的应用，直线与椭圆的关系．常需要把直线与椭圆方程联立，利用韦达定理，判别式找到解决问题的突破口．4．若0,0a b >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取,a b 的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查. 【详解】当0, 0a >b >时，2a b ab +≥，则当4a b +≤时，有24ab a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件. 【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取,a b 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.5．元代数学家朱世杰的数学名著《算术启蒙》是中国古代代数学的通论，其中关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.下图是源于其思想的一个程序图，若32a =，12b =，则输出的n =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B 【解析】分析：根据流程图中的2a a a =+可知，每次循环a 的值应是一个等比数列，公比为32；根据流程图中的2b b =可知，每次循环b 的值应是一个等比数列，公比为2，根据每次循环得到的,a b 的值的大小决定循环的次数即可.详解： 记执行第n 次循环时，a 的值记为有n a ，则有3322nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭； 记执行第n 次循环时，b 的值记为有n b ，则有122nn b =⨯.令3321222n n ⎛⎫≤⨯ ⎪⎝⎭，则有3348n⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，故 4n ≥，故选B.点睛：本题为算法中的循环结构和数列通项的综合，属于中档题，解题时注意流程图中蕴含的数列关系（比如相邻项满足等比数列、等差数列的定义，是否是求数列的前n 和、前n 项积等）.6．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一个焦点为F ，点,A B 是C 的一条渐近线上关于原点对称的两点，以AB 为直径的圆过F 且交C 的左支于,M N 两点，若|MN|=2，ABF ∆的面积为8，则C 的渐近线方程为（ ） A．y = B．3y x =± C ．2y x =± D ．12y x =±【答案】B 【解析】 【分析】由双曲线的对称性可得'ABF AFF S S ∆∆=即8bc =，又222b MN c==，从而可得C 的渐近线方程.【详解】设双曲线的另一个焦点为'F ，由双曲线的对称性，四边形'AFBF 是矩形，所以'ABF AFF S S ∆∆=，即8bc =，由22222221x y c x y ab ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，得：2b yc =±，所以222b MN c ==，所以2b c =，所以2b =，4c =，所以a =C的渐近线方程为y x =. 故选B 【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，考查直线与圆的位置关系，考查数形结合思想与计算能力，属于中档题.7．已知焦点为F 的抛物线2:4C y x =的准线与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，则当||||MA MF 取得最大值时，直线MA 的方程为（ ） A ．1y x =+或1y x =--B ．1122y x =+或1122y x =-- C ．22y x =+或22y x =--D ．22y x =-+【答案】A 【解析】 【分析】过M 作MP 与准线垂直，垂足为P ，利用抛物线的定义可得11cos cos MA MA MF MP AMP MAF===∠∠，要使||||MA MF 最大，则MAF ∠应最大，此时AM 与抛物线C 相切，再用判别式或导数计算即可. 【详解】过M 作MP 与准线垂直，垂足为P ，11cos cos MA MA MF MP AMP MAF===∠∠， 则当||||MA MF 取得最大值时，MAF ∠最大，此时AM 与抛物线C 相切，易知此时直线AM 的斜率存在，设切线方程为(1)y k x =+，则2(1)4y k x y x =+⎧⎨=⎩.则221616011k k k ∆=-===±，，， 则直线AM 的方程为(1)yx .故选：A. 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及到抛物线的定义，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题. 8．已知向量(,1)a m =，(1,2)b =-，若(2)a b b -⊥，则a 与b 夹角的余弦值为（ ） A ．1313-B ．21313C ．1365-D ．61365【答案】B 【解析】 【分析】直接利用向量的坐标运算得到向量2a b -的坐标，利用(2)=0a b b -⋅求得参数m ，再用cos ,||||a ba b a b ⋅〈〉=计算即可. 【详解】依题意，2(2,3)a b m -=+-， 而(2)=0a b b -⋅， 即260m ---=， 解得8m =-， 则cos ,||||5a b a b a b ⋅〈〉===⋅故选：B. 【点睛】本题考查向量的坐标运算、向量数量积的应用，考查运算求解能力以及化归与转化思想.9．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(),0F c ，若F 到直线20bx ay -=，则E 的离心率为( )A B ．12C ．2D ．3【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得到直线20bx ay -=的倾斜角为45，有21ba=，再利用222a b c =+即可解决. 【详解】由F 到直线20bx ay -=，得直线20bx ay -=的倾斜角为45，所以21ba=，即()2224a c a -=，解得e =. 故选：A. 【点睛】本题考查椭圆离心率的问题，一般求椭圆离心率的问题时，通常是构造关于,,a b c 的方程或不等式，本题是一道容易题. 10．231+=-ii（ ）A ．15i 22-+ B ．1522i -- C ．5522i + D ．5122i - 【答案】A 【解析】 【分析】分子分母同乘1i +,即根据复数的除法法则求解即可. 【详解】解:23(23)(1)151(1)(1)22i i i i i i i +++==-+--+, 故选:A 【点睛】本题考查复数的除法运算,属于基础题.11．若函数()3cos 4sin f x x x =+在x θ=时取得最小值，则cos θ=（ ） A ．35B ．45-C ．45D ．35【答案】D 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简()f x 的解析式，再根据正弦函数的最值，求得()f x 在x θ=函数取得最小值时cos θ的值． 【详解】解：34()3cos 4sin 5cos sin 5sin()55f x x x x x x α⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，其中，3sin 5α=，4cos 5α=， 故当22k πθαπ+=-()k ∈Z ，即2()2k k Z πθπα=--∈时，函数取最小值()5fθ=-，所以3cos cos(2)cos()sin 225k ππθπααα=--=--=-=-， 故选：D 【点睛】本题主要考查辅助角公式，正弦函数的最值的应用，属于基础题．12．已知抛物线2:4(0)C y px p =>的焦点为F ，过焦点的直线与抛物线分别交于A 、B 两点，与y 轴的正半轴交于点S ，与准线l 交于点T ，且||2||FA AS =，则||||FB TS =（ ） A ．25B ．2C ．72D ．3【答案】B 【解析】 【分析】过点A 作准线的垂线，垂足为M ，与y 轴交于点N ，由2FA AS =和抛物线的定义可求得TS ，利用抛物线的性质1122AF BF p+=可构造方程求得BF ，进而求得结果. 【详解】过点A 作准线的垂线，垂足为M ，AM 与y 轴交于点N ，由抛物线解析式知：(),0F p ，准线方程为x p =-.2FA AS =，13SASF ∴=，133p AN OF ∴==，43AM p ∴=， 由抛物线定义知：43AF AM p ==，1223AS AF p ∴==，2SF p ∴=， 2TS SF p ∴==.由抛物线性质11212AF BF p p +==得：3114p BF p+=，解得：4BF p =， 422FB p TS p∴==. 故选：B . 【点睛】本题考查抛物线定义与几何性质的应用，关键是熟练掌握抛物线的定义和焦半径所满足的等式. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试
数学
本试卷共5页，22小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的市（县、区）、学校、班级、姓名、考场号、座位号和考生号填写在答题卡上。
将条形码横贴在每张答题卡右上角“条形码
粘贴处”。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项
的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不
能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目
指定区域内相应位置上；如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新答案；
不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4.考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）集合A＝{x|y=√x(2−x)}，B＝{y|y＝2x，x＞0}，则A∩B＝（）A．[0，2]B．（1，2]C．[1，2]D．（1，+∞）
2．（5分）5
2−i
+i=（）
A．﹣2+i B．2+2i C．﹣2﹣i D．2﹣2i
3．（5分）武汉疫情爆发后，某医院抽调3名医生，5名护士支援武汉的三家医院，规定每家医院医生一名，护士至少一名，则不同的安排方案有（）
A．900种B．1200种C．1460种D．1820种
4．（5分）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子研究数．他们根据沙粒和石子所排列的形状把数分成许多类，如：三角形数1，3，6，10，…；正方形数1，4，9，16，…等等．如图所示为五边形数，将五边形数按从小到大的顺序排列成数列，则此数列的第7项为（）
A．35B．51C．70D．92
5．（5分）如图八面体中，有公共边的两个面称为相邻的面，若从上半部分的4个面和下半部分的4个面中各随机选取1个面，这两个面相邻的概率为（）
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