离散数学(A)答案2015

杭州师范大学钱江学院2014 —2015 学年第二学期期末试卷
_ 班《 离散数学 》（A ）卷
命题教师_田正平_
一、判断题（对的打∨，错的打⨯；每空2分，共20分）
1、 “若鸟不会飞，则地球比太阳大。

” 是假命题。

（ ⨯ ）
2、 q q p p ⌝⇒→∧⌝)(。

（ ⨯ ）
3、 )()())()((x xB x xA x B x A x ∃∧∃⇒∧∃（ ∨ ）
4、 有限偏序集),(≤X 必定存在最小元。

（ ⨯ ）
5、 对称关系不一定是反对称关系。

（ ∨ ）
6、 设集合},,{c b a X =上的关系R 的关系矩阵是⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=100111101R M ，则关系R 是等
价关系。

（ ⨯ ）
7、 图G 是n 阶简单图，若对所有的1)(>⇒∈v d V v ，则在G 中有回路。

（ ∨ ） 8、 在哈密顿图G 中若顶点u 和v 不相邻，则必有n v d u d ≥+)()(。

（ ⨯ ）
9、平面图G 是n 阶简单连通图，它有e 条边，则63-≤n e 。

（ ∨ ） 10、有n —1条边的n 阶图是树。

（ ⨯ ）
题目 一 二 三 四 五 总分 分值 20 20 20 20 20 100 得分
得分
班级： 学号： 姓名： 装 订 线
二、填空题（每空4分，共20分）
1、将命题：“每列火车都比某些汽车快。

”符号化。

设个体域为交通工具。

P(x)：x 是火车；Q(x)：x 是汽车；R(x,y)：x 比y 快。

则“每列火车都比某些汽车快。

”可以符号化为：
)),()()((y x R y Q x P y x →∧∃∀ 2、全序关系),(≤X 。

集合X 上的自反，反对称和传递关系称为X 上的偏序关系，如果对于X 中的任意两个元素都是可以比较的，那么就称为全序关系。

3、简单回路。

图的一条回路，如果其中所有的边都不相同，那么就称为简单回路。

4、超立方图n Q 的色数=)(n Q χ2。

5、在简单图),(E V G 中，3-=V E ，则图),(E V G 的联通分支数=)(G ω3。

三、选择题（每题4分，共20分）
1、下面命题公式中，矛盾式是（ C ）
（A ）)(Q P P ∨→ (B)P P P ⌝→⌝→)(
(C) )()(R Q Q P P ∧⌝∧→⌝∨ (D) )()(Q P Q P ⌝↔⌝→↔
2、设集合}12,10,6,4,3,2,1{=X 上的关系R 是整除关系，则关系R （ C ） （A ）有最大元，有最小元 (B)有最大元，无最小元
(C) 无最大元，有最小元 (D) 无最大元，无最小元
得分
得分
3、图G 的邻接矩阵⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=0110110010100100110110010A ，则图G （ C ）
（A ）无欧拉通路，有哈密顿回路 (B)有欧拉回路，无哈密顿通路
(C) 有欧拉通路，无哈密顿回路 (D) 无欧拉回路，有哈密顿通路 4、设*
R 是非零实数集，下面关系中是等价关系的是（ C ）
（A ）}0),{(>+y x y x (B) }0),{(<+y x y x
(C) }0),{(>xy y x (D) }0),{(<xy y x 5、 和谓词公式))((B x A x →∀等值的是（ C ）
（A ）B x xA →∀)( (B) )(x xA B ∃→
(C ) B x xA →∃)( (D) )(x xA B ∀→
四、计算题（每题4分，共20分）
1、 化简命题公式))((p q p q ⌝→→→⌝。

解：
1
11)()()()())(())(())(()
)(())((=∧=⌝∨⌝∨∧∨⌝∨=⌝∧∨⌝∨=⌝∨⌝∧∨=⌝∨∨⌝⌝∨=⌝∨→⌝∨=⌝→→∨=⌝→→→⌝q p q p p q q p p q p q p q p q p q p q p q p q p q p q p q
2、集合},,,,{e d c b a X =上的关系)},(),,(),,(),,{(e d d b c b b a R =，求关系R 的传递闭包
)(R t 。

得分
解：
∅
===== 5432)}
,{()}
,(),,(),,{(R R e a R e b d a c a R
所以：
)}
,(),,(),,(),,(),,(),,(),,{),,{(,
)(321
e a e b d a c a e d d b c b b a R R R R R t n n =⋃⋃==⋃+∞
=
3、在复数集C 上定义关系}),{(d b di c bi a R =++=，给出这个等价类的几何说明。

解：}|{][R x bi x bi a R ∈+=+
所以等价类是复平面上平行于实轴的直线。

4、图G 的邻接矩阵⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=0110110010100100110110010A ，求从顶点1v 到顶点2v 长度为3的不同通路的个数。

解：
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=06606600606006006606600603
A
所以顶点1v 到顶点2v 长度为3的不同通路的个数是6。

5、设集合}20,6,4,3,2{=X 上的关系R 是整除关系, 写出偏序关系R 的极大元、极小元。

解：偏序关系R 的极大元是6和20；极小元是2和3。

五、证明题（每题10分，共20分）
1、 图G 是简单图，若它的最小度数1)(≥≥k G δ。

证明：图G 有长度为k 的基本通路。

证明：因为G 至少有k 条边，所以有基本通路存在。

由定理知基本通路的长度不大于n-1。

设P 是所有基本通路中长度最长的一条，u 和v 分别是基本通路的起点和终点。

若P 的长度不小于k,则问题已经解决。

若P 的长度小于k ，因为k G v d ≥≥)()(δ，从顶点v 出发至少有k 条边，而基本通路P 上异于v 的点仅有k-1个；在图G 中还有另外一个点w 和点v 相邻接,这样我们得到一条新的基本通路P+{v,w},它比基本通路P 还要长，这和P 是所有基本通路中长度最长的一条这一事实相矛盾。

所以G 中最长的基本通路的长度一定不小于k 。

2、 证明：有限全序集),(≤X 必有最大元存在。

证明：有限全序集),(≤X 是偏序集，由定理知必有极大元存在 ，设为a 。

任意取X x ∈，因为),(≤X 是全序集，所以a x ≤和x a ≤至少有一个成立。

由a 是极大元知x a <是 不可能成立的。

这样由x a ≤可得x a =，即a x ≤。

所以a 就是全序集),(≤X 的最大元。

得分。