信号与系统实验

实验一 连续时间系统的模拟

一. 实验目的

了解用集成运算放大器构成基本运算单元——标量乘法器、加法器和积分器，以及它们的组合全加积分器的方法。

掌握用以上基本运算单元以及它们的组合构成模拟系统，模拟一阶和二阶连续时间系统的原理和方法，并用实验测定模拟系统的特性。

实验原理说明

1模拟连续时间系统的意义

由于自然界的相似性，许多不同的系统具有相同的特性。不论是物理系统还是非物理系统，不论是电系统还是非电系统，只要是连续的线性时不变系统，都可以用线性常系数微分方程来描述。把一具体的物理设备经过数学处理，抽象为数学表示，从而便于研究系统的性能，这在理论上是很重要的一步；有时，也需要对一系统进行实验模拟，通过实验观察研究当系统参数或输入信号改变时，系统响应的变化。这时并不需要在实验里去仿制真实系统，而只要根据系统的数学描述，用模拟装置组成实验系统，它可以与实际系统完全不同，只要与实际系统具有同样的微分方程数学表示，即输入输出关系（也即传输函数或系统响应）完全相同即可。系统的模拟是指数学意义上的模拟。

本实验即由微分方程的相似性出发，用集成运算放大器组成的电路来模拟一阶系统（RC 低通电路）和二阶系统（RLC 带通谐振电路） ２． 2集成运算放大器构成基本运算单元——标量乘法器、加法器和积分器，以及它们的组

合全加积分器

连续时间系统的模拟，通常由三个基本运算单元——标量乘法器、加法器和积分器构成，实际上还常常用到它们的组合全加积分器，这些运算单元都可以用集成运算放大器构成。

（1） 标量乘法器（又称比例放大器）

图2-1（a ） 反相标量乘法器 图2-1（b ） 同相标量乘法器电路 反相标量乘法器电路如图2-1(a)所示： i i F

o u k u R R u ⋅=-

=1

式中比例系数k 为：1

R R k F

-

= 当R 1=R F 时，k = -1，则u o = - u i ，成为反相跟随器。 同相标量乘法器电路如图2-1(b)所示，有： i i F

o u k u R R u ⋅=+

=)1(1

式中：1

1R R k F

+=

标量乘法器符号如图2-1(c)所示。

u

i o = ku

图2-1(c) 标量乘法器符号

（2） 积分器

反相积分器电路如图2-2(a)所示，有： ⎰

-

=dt u RC

u i o 1

积分符号如图2-2 (b)

u o

u i ⎰

=dt u u i o

图2-2(a) 反相积分器 图2-2(b) 积分符号

（3） 加法器

u i1 u i1o u i2 u o = -(u i1+ u i2

i2

图2-3(a) 反相加法器 图2-3(b) 同相加法器符号

反相加法器电路如图2-3(a)所示，有： )(

22

11i F i F o u R R

u R R u +-= 当R F = R 1 = R 2

有：u o = - (u i1 + u i2 )

可见，输出电压u o 为两个输入电压之和取反相，若再加一个反相器或改变反馈网络的接法，可得到同相加法器，其符号如图2-3(b)所示。

加法器电路中R P = R 1//R 2//R F 用于保证外部电路平衡对称，以补偿运放本身偏置电流及漂移的影响。

（4） 全加积分器

u i1

u i2 u o

图2-4(a) 全加积分器电路

全加积分器电路如图2-4(a)所示，有：

⎰+-=dt u C

R u C R u i i o )1

1(

2211 全加积分器符号如图2-4(b)所示。

u i1dt C R u C R u i i ⎰⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛+-2211

i2

图2-4(b) 全加积分器符号

3一阶和二阶连续时间系统的模拟方法 （1） 一阶系统微分方程运算的模拟

+ u i (t) - 对图2-5(a)的RC 低通电路，可用一阶微分方程描述：

dt

C R u u R R C R o i F ⎰⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-+⋅-2111

图2-5(b) 一阶系统模拟框图

R F = 10k

u i o TPGND

图2-5(c) 一阶系统的实验电路图

此一阶系统微分方程运算可用图2-5(b)的框图模拟，可用图2-5(c)的实际电路来实现，有：

i F

o o u R R RC u RC u 1

11⋅=+

' 与原系统相比，输出响应放大了，放大倍数1

R R A F =

，截止频率RC f o π21

=，时间常

数RC =τ。电路中+U 和-U 作为运放的直流供电电源。

该模拟系统实际上是一个有源滤波器，它与只由R 、L 、C 无源元件组成的无源滤波器相比，无需体积大的电感器和大的电容器，所以整体的电路体积小了，而且具有信号放大作用，带负载的能力也加强了，而频率特性相同。 （2） 二阶系统微分方程运算的模拟

u u o

对图2-6(a)的RLC 带通谐振电路，可用二阶微分方程描述：

i o o o

u L R u C L u L R u '=+'+''0

000001

此二阶系统微分方程运算可用图2-6(b)的框图模拟，可用图2-6(c)的实际电路来实现，

有：

整理得：⎰⋅-+⋅--='dt u C R C R u R R R R R C R u C R u o

o a b b i o

2

2111111111

1////11

i o o a b b o u C R u C R C R u R R R R R C R u '-=⋅+'+⋅+

''1

1221111111

11////1

与原系统相比：

2

211001111001

11////1

C R C R C L R R R R R C R L R a

b b ⋅

=+⋅=

可以看出：输出响应放大了，且反相放大倍数

b

a

b R R R R R A ////11+-

= ，中心频率