数值计算方法课件_xutao_update

数值计算方法只能用算数运算和逻辑运算； 数值计算方法需要速度快、精度高。
程序设计需要最简练、最快、最少存储空间。
上机计算 分析结果
检验是否与实际相符，是否可推广； 找出原因，继续研究。
二、 算法
1、算法的概念 当我们用数值计算方法求解一个比较复杂的数
学问题时，常常要事先拟定一个计算方案，规划 一下计算的步骤，所谓算法，就是指在求解数学 问题时，对求解方案和计算步骤的完整而明确的 描述。
三、误差
2） 方法误差 在计算过程中，由数学方法产生的误差，称为方法误差。
• 例如，在计算指数函数的值时，常用到如下幂级数展开式：
ex
x2 1x
xn
2! n!
这是一个无穷级数。计算时，只能取有限项。
Sn(x)1xx22!xnn!
用有限项逼近无穷级数，会产生一个误差，这个误差是由 数学方法产生的，所以是一种方法误差。
否则 D 0
x1
a22b1 a12b2 D
S4 输出计算的结果 x1, x2
x2
a11b2 a21b1 D
二、算法
2、算法的优劣 求解一个数学问题，可以采用不同的算法，比如：
线性方程组，可用克莱姆法则，高斯消元法等多 种方法求解。但是每一种方法的优劣不同，评价 一个 算法的好坏有以下几个标准： 1） 算法的计算量（时间复杂性） 2） 算法的空间复杂性 3） 算法逻辑结构的复杂性
e x x x —真值， x —近似值，
2） 误差限 在许多情况下，我们不知道某个量的真实值是多少，因
此也不知道它的近似值的误差。但是我们能估计出误差不 会超过某个确定的数值。这个数值就称为近似值的误差限。
我们能用误差限定量的衡量一个近似值的误差。
三、误差
如果某近似值的误差限是ε，我们就说，在允许误差ε 的条件下，近似值是准确的。
输出计算的结果x1，x2。
2）如果D= 0，则或是无解，或有无穷多组解。
例2：求解二元一次联立方程组
令 D a11a22 a21a12
通过求解过程，可以总结出算法步骤如下：
S1 输入 S2 计算 S3 如果
a11, a12, a21, a22,b1,b2 D a11a22 a21a12 D 0 则输出原方程无解或有无穷多ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ解的信息;
三、误差
3) 舍入误差 在计算过程中，当我们表示一个数时，常常只能取有
限位。超出的尾数将会舍去，从而造成误差，这种误差称 为舍入误差。
舍入误差时我们数值计算中重点研究的对象，将贯穿 整个课程之中。
三、误差
2、 误差的概念
1）误差 某个量的真值与近似值的差的绝对值，称为近似值的误
差，又称绝对误差，用e表示。
例2：求解二元一次联立方程组
a11x1 a12 x2 b1 a21x1 a22 x2 b2
用行列式解法：首先判别
D a11a22 a21a12
是否为零，存在两种可能：
（1）如果 D 0 ，则令计算机计算
x1 b1a22 b2a12 D , x2 b2a11 b1a21 D
与过去相比，现代数值计算方法有两个显著特点： 数值计算的方法和理论都结合数字计算机的特点来研 究。在进行算法研究时，注意算法与计算速度，计算 内存消耗的关系 在研究算法时，注重算法误差分析，注意数值解的收 敛性和数值计算的稳定性问题。
实际问题 数学模型 数值方法 程序设计
真实、准确地反映实际工程问题的本质； 数学模型所用的数学算法能在计算机上实现。
数值计算方法课件_xutao_update
课程安排
• 算法和误差 • 非线性方程 • 线性方程组 • 特征值与特征向量 • 插值和多项式逼近 • 曲线拟合 • 数值积分 • 常微分方程
一、概述
数值计算是求解数学问题的常用方法，随着计算机技术的飞 速发展，数值计算方法在现代科学研究中的作用越来越广 泛。数值计算的算法的研究越来越受到人们的重视。 数值计算是应用数学一个重要分支,比如:微分方程,现代 物理. 新的数学,混沌理论(迭代法求非线性方程的根).
三、误差
1、误差的来源： 在研究算法时，要进行误差分析，能估计误差的算法才
是有实用价值的算法。 引起计算误差的原因是多方面的。
1）模型误差 当解决一个工程实际问题时，常常需要用一定的数学表达 式来描述，即建立一个数学模型。建立数学模型时，通常 要根据实际需要做一些简化，忽略一些次要因素，是模型 不致过分复杂，又能满足精度要求。这样建立起来的数学 模型是客观现象的近似描述。这种近似必然产生误差。
一只小兔增加 2条腿，
应该有
48 17 2 7 只小兔 2
10只小鸡
设有x只小鸡，y只小兔 ，
(I)
x y 17 2x 4 y 48
(i) (ii)
(-2)*(i) +(ii) , 得
高斯消
x y 17 去法 (II) (4 2) y 48 -17 2
y 48 17 2 7 只小兔 42
描述一个算法可以采用许多方法，最常用的一 个方法是程序流程图。算法也可以用人的自然语 言来描述。如果用计算机能接受的语言来描述算 法，就称为程序设计。
例1：一群小兔一群鸡，两群合到一群里，要数腿共 48，要数脑袋整17，多少小兔多少鸡？
算术方法 ：
代数方法 ：
若没有小兔，则鸡应是17只
总腿数 ：2＊17＝34
二、算法
• 1） 算法的时间复杂性 计算机运行时间
例：用行列式解法求解线性方程组: n阶方程组，要计算n + 1个n阶行列式的值，
总共需要做n! (n - 1) (n + 1) 次乘法运算。
当n=20时，需要运算？？ 当n=100时，需要运算？？
二、算法
2） 算法的空间复杂性 占据计算机存储空间的多少
• 当使用计算机求解一个数学问题时，计算程序要 占用许多工作单元（内存）。当计算一个大型的 数学问题时，内存的消耗量是很大的。因此，算 法占用内存数量的多少，是衡量算法优劣的另一 个标准。
二、算法
3）算法逻辑结构的复杂性 影响程序开发的周期以及维护
• 设计算法时应该考虑的另一个因素是逻辑结构问 题，虽然计算机能自动执行极其复杂的计算程序， 但是计算程序的每个细节都需要编程人员制定， 因此算法的逻辑结构应尽量简单，才能使程序的 编制、维修和使用比较方便。