高中数学竞赛(练习题)
人教版高中数学经典题目练习
❶等比数列｛an｝的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18,求图片中式子的值解:由于{an}为等比数列则:a5a6=a4a7=a3a8=a2a9=a1a10又a5a6+a4a7=18则:2a5a6=18a5a6=9则:log3(a1)+log3(a2)+...+log3(a9)+log3(a10)=log3[a1*a2*a3*...*a10]=log3[(a1a10)*(a2a9)*...*(a5a6)]=log3[9*9* (9)=log3[9^5]=log3[3^10]=10log3[3]=10❷设数列{an}的前n项和为sn,若对于任意的正整数n都有sn=2an-3n。
(1)设bn=an+3,证明:数列｛bn｝是等比数列(2）求数列｛n倍an｝的前n项和(1)Sn=2an-3nn=1时，S1=a1,故有：a1=2a1-3,a1=3n>=2时，an=Sn-S(n-1)＝2an-3n-[2a(n-1)-3(n-1)]＝2an-2a(n-1)-3即：an＝2a(n-1)+3两边+3an+3＝2[a(n-1)+3]而bn=an+3,代入：bn=2b(n-1)所以数列{bn}是等比数列，q=2,首项为b1=a1+3＝6bn=6*2^(n-1)=3*2^nan=bn-3=3*2^n-3(2)设Cn=nan=3n*2^n-3n,为两项和前n项和为TnTn＝3*[1*2^1+2*2^2+3*2^3+……+n*2^n]-[3+6+9+……+3n]2Tn＝3*[1*2^2+2*2^3+3*2^4+……+(n-1)*2^n+n*2^(n+1)]-2[3+6+9+……+3n]上式减去下式：-Tn＝3*[1*2^1+2^2+2^3+2^4+……+2^n-n*2^(n+1)]+[3+6+9+……+3n]＝3*2(2^n-1)/(2-1)-3n*2^(n+1)+n(3+3n)/2＝(3-3n)*2^(n+1)+3n(n+1)/2-6故：Tn＝(3n-3)*2^(n+1)-3n(n+1)/2+6注：求这类n项和，都是用Tn减去qTn，错位相消法。
高中数学竞赛专题讲座---专题训练_(同余部分的例题与习题)
高中数学比赛专题讲座---专题训练_(同余部分的例题与习题)v1.0 可编写可改正同余的见解与应用见解与性质1. 定义：若整数 a,b 被整数 m(m ≥1) 除的余数同样 , 则称 a 同余于 b 模 m,或 a,b 对模 m 同余 . 记为 a ≡b(modm). 余数 r:0 ≤r<1.2. 性质： ( ⅰ)a ≡b(modm)m|a-b, 即 a=b+mk,k ∈Z.( ⅱ) 若 a ≡b(modm),b ≡c(modm),则a ≡c(modm).( ⅲ) 若 a 1≡b 1(modm),a 2≡b 2(modm)，则 a 1±a 2≡b 1±b 2(modm),a 1a 2≡b 1b 2(modm);nnn-1 x n-110n nn-1 x n-110是两个整系数多项式 i≡( ⅳ) 设 f(x)=a x +a+ +a x+a ,g(x)=bx +b+ +b x+b , 知足 ab (modm)(0≤i ≤n). 若 a ≡b(modm),则 f(a) ≡f(b)(modm).( ⅴ)ac ≡bc(modm)a ≡b(modm ),i(c, m)( ⅵ) 若 m ≥1,(a,m)=1, 则存在整数c 使得 ac ≡1(modm).称 c 为 a 对模 m 的逆或倒数 , 记为 c=a -1 (modm);a b(mod m 1 ) ab (mod[m 1,m 2]); ( ⅷ) 若 a ≡b(modm 1),a ≡b(modm 2), 且(m 1,m 2)=( ⅶ)同时建立a b(mod m 2 )1, 则 a ≡b(modm 1m 2).3. 节余类： 设 m 为正整数，把全体整数按对模m 的余数分红 m 类，相应 m 个会合记为： K 0,K 1 , ,K m-1, 此中 K r ={qm+r|q ∈Z,0 ≤余数 r ≤m -1} 称为模 m 的一个 节余类 。
高中数学竞赛讲义-同余(练习题)
- 1 -
课后练习
1、证明：完全平方数模3同余于0或1；
证明：完全平方数模5同余于0、1或4；
证明：完全平方数模8同余于0、1或4；
证明：完全立方数模9同余于-1、0或1；
证明：整数的四次幂模16同余于0或1；
2、设的末两位数码；在十进制中，求，且)(1)10,(20
a a Z a =∈
3、求2999最后两位数码
整除；
可以被个数来，证明它们的和位数中随意挑出得到的这种方法所式重新排列，然后从按位数码以一切可能的方位的数，将它的有一个12012012012120.4
整除吗？能被的数：的两位数，问：所得到到连接写出198079801920218019.5
课后练习答案
- 2 - 1.略
01
)
100(mod 11
)4,25()4(mod 1)4(mod 1)
25(mod 11)10,(.22020202)25(20的末两位位又又为奇数
，解：a a a a a a a a ∴≡∴=≡⇒≡≡=∴∴= ϕ 3.解 考虑用100除2999
所得的余数. ∵∴ 又，∴ ∴
∴2999的最后两位数字为88.。
高三数学竞赛练习题
高三数学竞赛练习题问题1：已知函数f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x，求f(x)的极值点和极值。
问题2：若二次函数f(x) = ax^2 + bx + c的图像经过点(3, 1)，且开口向上，求a，b，c的值。
问题3：已知集合A = {x | -2 ≤ x ≤ 4}，集合B = {y | y = 3x + 2}，求A与B的交集和并集。
问题4：已知等差数列的第一项是6，公差是3，求第10项的值。
问题5：已知等比数列的第一项是2，公比是3/2，求前10项的和。
问题6：已知三角形ABC，AB = AC，∠BAC = 80°，BD是BC边的角平分线，求∠BDC的度数。
问题7：已知函数f(x) = x^3 - 4x^2 + 3x + 2，求f(x)的零点及对称轴。
问题8：已知平行四边形ABCD中，AB = 5cm，BC = 8cm，∠BAD = 120°，求平行四边形的面积。
问题9：已知△ABC中，AB = 6cm，AC = 8cm，BC = 10cm，求△ABC的外接圆的半径。
问题10：已知集合A = {1, 2, 3, 4, 5}，集合B = {3, 4, 5, 6, 7}，求A与B的差集。
以上是一些高三数学竞赛练习题，希望能给同学们提供一些学习和训练的机会。
这些问题涵盖了高中数学中的不同知识点，包括函数、数列、三角形、几何等等。
通过解答这些问题，可以巩固基础知识，提升解题能力。
在解题过程中，不仅要理解题意，还要灵活运用数学定理和方法来解决问题。
祝愿大家在高三数学竞赛中取得好成绩！。
高中数学竞赛第三章函数练习题
高中数学竞赛第三章函数练习题第三章函数一、基础知识例2 求函数f(x)= 的最大值。
五、联赛一试水平训练题1．奇函数f(x)存在函数f-1(x)，若把=f(x)的图象向上平移3个单位，然后向右平移2个单位后，再关于直线=-x对称，得到的曲线所对应的.函数是________.2．若a>0，a 1,F(x)是奇函数，则G(x)=F(x) 是________（奇偶性）.3．若 =x，则下列等式中正确的有________.①F(-2-x)=-2-F(x)；②F(-x)= ；③F(x-1)=F(x)；④F(F(x))=-x.4.设函数f：R→R满足f(0)=1，且对任意x,∈R，都有f(x+1)=f(x)f()-f()-x+2，则f(x)=________.5．已知f(x)是定义在R上的函数，f(1)=1，且对任意x∈R都有f(x+5)≥f(x)+5, f(x+1) ≤f(x)+1。
若g(x)=f(x)+1-x，则g(2002)=________.6. 函数f(x)= 的单调递增区间是________.7. 函数f(x)= 的奇偶性是：________奇函数，________偶函数（填是，非）。
8. 函数=x+ 的值域为________.9．设f(x)= ,对任意的a∈R，记V(a)=ax{f(x)-ax|x∈[1, 3]}-in{f(x)-ax|x∈[1, 3]}，试求V(a)的最小值。
10．解方程组：（在实数范围内）11．设∈N+, f: N+→N+满足：（1）f(x)严格递增；（2）对任意n∈N+, 有f[f(n)]=n，求证：对任意n∈N+, 都有n≤f(n)≤六、联赛二试水平训练题1．求证：恰有一个定义在所有非零实数上的函数f，满足：（1）对任意x≠0, f(x)=xf ；（2）对所有的x≠-且x≠0，有f(x)+f()=1+f(x+).2.设f(x)对一切x>0有定义，且满足：（ⅰ）f(x)在（0，+∞）是增函数；(ⅱ)任意x>0, f(x)f =1，试求f(1).3. f:[0,1]→R满足：（1）任意x∈[0, 1], f(x)≥0；（2）f(1)=1；（3）当x, , x+∈[0, 1]时，f(x)+f()≤f(x+)，试求最小常数c，对满足（1），（2），（3）的函数f(x)都有f(x)≤cx.4. 试求f(x,)=6(x2+2)(x+)-4(x2+x+2)-3(x+)+5(x>0, >0)的最小值。
高中数学竞赛平面几何基础——相似全等和四点共圆练习题
相似全等、四点共圆练习题△ABC 中，点P 是三角形内一点，∠PBA =∠PCA ,PD ⊥BA ,PE ⊥AC ,点M 是BC 中点，求证：MD =ME .解法一：,,,,,,.,BP F PC G FM GM DF EG DF FP MG EG FM DFM DFP PFM MGE PGE MGP PBA PCA DFP PGE DFM MGE DFM MGE MD ME===∠=∠+∠∠=∠+∠∠=∠∴∠=∠∠=∠∴∴=取的中点，的中点，连接，由中位线的性质和直角三角形的性质，同理即，△≌△解法二：,,,,,,.,,,,,,,.DE C B P M DE DE G F H N CGE EHP EG CE FD BD BD CEPBA PCA BPD CPE PH PE HP DP PD PE EG FD FN NG DN EN MDE ∴==∠=∠∴∴=∴==∴=∴连接并延长，过作直线的垂线，交于△∽△，又△∽△△为等腰三角形，得证解法三：,,,,,.BA F DF DB CA G EG EC BPF CPG BPG CPF BPG FPC CF BG ==∠=∠∠=∠≅=延长至，使延长至，使由已知条件可得：所以，所以△△所以得证2：如图，P 为△ABC 外一点，M 是△ABC 中BC 边的中点，D ,E 分别为BA ,CA 延长线上的点，且PE ⊥CE ，PD ⊥BD ，∠PBD =∠PCE ,求证：EM =DM .证明：,,,,,,,,,2,,PB PC G F GM GD FM FE GMFP MF GP GD GM PF EF MGD MGP DGP MFE MFP EFP DGP EFP PBDMGD MFE MFE DGM EM DM====∠=∠-∠∠=∠-∠∠=∠=∠∴∠=∠=取的中点连接则四边形为平行四边形，△≌△ABCD 中，AB //CD ，分别以两腰AD ，BC 为边作正方形ADFE ,正方形BCHG ,连接FG ,取FG 中点M ，求证:MA =MB证明：,,,,,,,,,,2,2:::,2,DA CB N NF NG P Q PM PA QM QB MPNQ MQ PN PA PM BQ MPN MON APN AFN NQB BGQ AN BN AD BD AF BGRt FAN Rt GBN APN NQB AFP AMP BMQ MA MB==∴=∠=∠∠=∠∠=∠==∴∴∠=∠=∠∴∴=延长交点连接并去其中点连接则是平行四边形，△∽△△≌△4.△ABC 的垂心H ，BC ，AH 的中点分别是M ,N ，以AH 为直径作圆和MN 的交点为P .求证AP 平分∠BAC .证明：,,,,,,,,,,,,,119022,,,EH CH BH DH EN DN MD ME E H C B H D BEC M EM BC DM BCMEN MDN ENP DNP BAP CAP ∠=︒∴==⇒∠=∠⇒∠=∠连接由题意易知，共线，共线，是中点，，同理，△≌△得证5.△ABC 的内切圆与BC ,CA ,AB 相切与D ,E ,F ,过F 作BC 的平行线交AD 于G ，交DE 的延长线于H ，求证FG =GH .','',,''',A BC l DF l F DH l E AF F BDF BD BF AF AF AE AE AF AF FG GH=∴====∴=证明：过作的平行线，并延长交于延长交于则△∽△同理，6.△ABC 不是Rt △，O 是外心，H 为垂心，直线OH 交AC 于K ，交ABA 于L ,若HL =OK ,求证AL =AK .,,,,ALK AOK AO HL OK S S AL AH AK AO AL AO AK AH AO AH AHO AOH AHL AOK AL AK=∴=⋅=⋅⋅=⋅∴=∴∠=∠⇒∴=△△连接，△≌△7.P A ，PB ,分别切圆O 于A ,B ，DE 切圆O 于C ，交P A ,PB 于D ,E ,CF ⊥AB ,求证：∠CFD =∠CFE .,t ,,,PAB PBA Rt AMD R BNE DM AD DC MF AD AFDFA EFB DFA EFB EN EB CE FN EB BF∠=∠∴===⇒=∴⇒∠=∠如图作辅助线，△∽△△∽△ AM =弧MC ,MD ⊥BC 于D ，求证AB +BD =DC,,,,180180,,,,DB E BE BA ACM CAM MA MC AB BE BM BM ABM ACM EBM MBC MBC MAC MCA ABM EBM EM MA MC MD EC ED DC AB BD DC=∠=∠===∠+∠=︒∠+∠=︒∠=∠=∠∴∴==⊥∴=+=延长至，使，由题意，，，△≌△即 ,DB DC E DE BD =法一是延长，法二可以在上取一点，使过程略△ABC 中，AB >AC ，∠A 的外角的角平分线交△ABC 外接圆于D ，DE ⊥AB 于E ，求证：2AC AB AE -=,','',,DBA DCA DE DE Rt BDE Rt CDE BE CE AB AE AC AE ∠=∠=∴∴=-=+如图作辅助线，△≌△，即得证托勒密定理：在四边形ABCD 中，有AB CD BC AD AC BD ⋅+⋅≥⋅，并且当且仅当四边形ABCD 内接于圆时，等式成立。
11高一数学竞赛练习题九
最新高中数学奥数竞赛高一数学竞赛练习题九1、称有限集S 的所有元素的乘积为S 的“积数”。
给定数集M=⎭⎬⎫⎩⎨⎧1001,,31,21Λ，则数集M 的所有含偶数个元素的子集的“积数”之和为（）（A ）2004851（B ）2004851-（C ）10099-（D ）)10011()311)(211(+++Λ 2、已知定义在R 上且周期为T 的函数f （x ）满足f （1+x ）=f （1-x ）和f （8+x ）=f （8-x ），则T 的值为 （ ） （A ）16 （B ）14 （C ）8 （D ）23、若方程2x 2+px+q=0的两根为sin θ和（ ）4、二次函数f （x ）=ax 2+bx+c ，a ∈N*，c ≥1，a+b+c ≥1，方程ax 2+bx+c=0有两个小于1的不等正根，则a 的最小值为 （ ） （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）55、在下列四个函数中以π为周期，在⎪⎭⎫⎝⎛2,0π上单调递增的偶函数是 （ ）（A ）y=sin|x|（B ）y=cos|x|（C ）y=|cotx|（D ）y=lg|sinx|6、设f （x ）=x x 24cos 4sin +x x 24sin 4cos +-，则函数f （x ）的一个等价形式为 （A ）cos2x -sin 2x （B ）cosx-sinx （ ）（C ）cos2x（D ）sin2x7、已知⎪⎭⎫ ⎝⎛=32sin ,32cosππa ，b a -=，b a +=，若△OAB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB 的面积等于（）（A ）1（B ）21（C ）2（D ）23 8、⊙O 1与⊙O 2相切，它们的半径分别为3和7，若恰存在3个半径为r 的圆与⊙O 1、⊙O 2都相切，则r 的所有可能取值为 （ ） （A ）10 （B ）3、4、7 （C ）4 （D ）3、49、设集合M={-1，0，1}，N={2，3，4，5，6}，映射f ：M →N ，则对任意的x ∈M ，x+f （x ）+xf （x ）恒为奇数的映射f 的个数为________________。
最新的高中数学竞赛函数练习题
最新的高中数学竞赛函数练习题高中数学竞赛函数练题（幂函数、指数函数、对数函数）一、选择题1.定义在R上的任意函数f(x)都可以表示为一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和，若f(x)=lg(10x+1)，则答案：C解析：将XXX(10x+1)拆分为XXX(10x)和XXX(1+1/10x)，前者是x的一次函数，后者是x的负一次函数，即为奇函数和偶函数之和。
所以，g(x)=x。
h(x)=lg(10x+1)－x。
2.若(log23)x－(log53)x≥(log23)-y－(log53)-y，则答案：C解析：将不等式化简，得到x/y≥(log23-log5)/(log25)，即x/y≥2/(log25)。
因为x>y>0，所以x/y>1，即2/(log25)>1，所以(log23)-y<(log53)-y，即y<(log53)/(log25)-(log23)/(log25)，即y<(log25)/(log5)-(log23)/(log5)，即y<(log23)/(log5)-1.3.已知f(x)=ax2－c满足－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，那么f(3)应该是答案：B解析：由题意，得到以下不等式组：a-c≥-4，a-c≤-1，4a-c≤5，a-c≤1.将这些不等式组合起来，可得-4≤a-c≤1，即-3≤a≤2.因为f(x)是一个开口向上的抛物线，所以f(3)一定在f(1)和f(2)之间，即-1≤f(3)≤5.因此，B选项正确。
4.已知f(n)=logn(n+1) (n N*且n≥2)，设∑p n=2logf(n)=100 (p,q N*且(p,q)=1)，则p+q=答案：D解析：根据对数的性质，有logn(n+1)=logn+log(n+1)，所以f(n)=logn+log(n+1)。
因此，∑p n=2 logf(n)=∑p n=2logn+log(n+1)=∑p n=2 (logn+log(n+1))=plog2+∑p n=2 log(n+1)。
高中数学竞赛混合运算练习题
高中数学竞赛混合运算练习题
题目一
某公司的年手续费总额为1,000,000元。
公司A占该公司手续
费总额的1/5，公司B占剩余手续费的1/2，公司C占剩余手续费
的3/10。
问公司A、B、C分别获得多少手续费？
题目二
一辆汽车从A地到B地开了120公里，再从B地返回A地开
了160公里。
已知这辆汽车在开往B地的过程中的速度是在开往A
地的过程中速度的2倍，并且汽车在开往B地的过程中用时3小时。
求汽车在开往A地的过程中所用的时间。
题目三
已知函数 $f(x) = 3x^2 + 4x - 2$，求其顶点坐标和对称轴的方程式。
题目四
一群学生参加了一次数学竞赛，其平均成绩为85分。
如果去掉最高分和最低分后，剩下的学生平均成绩为82分。
已知参加竞赛的学生人数不少于5人，求参加竞赛的学生人数。
题目五
用一支长度为100厘米的杆，从一个半径为2厘米的半圆上剪下一个扇形来。
该扇形的圆心角是120度，求该扇形的周长。
题目六
已知三角形ABC的边长分别为3、4、5，求其内切圆的半径和外接圆的半径。
题目七
一条船顺水航行12公里，逆水航行8公里，船在静水中的速度是多少？
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以上就是我为您准备的高中数学竞赛混合运算练习题，希望能对您有所帮助。
如果您有任何问题或需要更多练习题，请随时告诉我。
高中数学 竞赛四点共圆专题试题
四点共圆四点共圆的定义四点共圆的定义：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，那么称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆〞。
证明四点共圆有下述一些根本方法：【方法1】从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，假设能证明这一点，即可肯定这四点共圆．或利用圆的定义，证各点均与某一定点等距。
【方法2 】如果各点都在某两点所在直线同侧，且各点对这两点的张角相等，那么这些点共圆．〔假设能证明其两张角为直角，即可肯定这四个点共圆，且斜边上两点连线为该圆直径。
〕【方法3 】把被证共圆的四点连成四边形，假设能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆．【方法4】把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，假设能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，假设能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也共圆．即利用相交弦、切割线、割线定理的逆定理证四点共圆。
【方法5】证被证共圆的点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆．【方法6】根据托勒密定理的逆定理，在四边形ABCD中，假设AC*BD=AB*CD+AD*BC，那么A，B，C，D四点共圆。
或根据西姆松定理的逆定理证四点共圆。
【方法7】证明五点或五点以上的点共圆，可以分别证各四点共圆，且四点中有三点相同。
【方法8】证连结各点所得凸多边形与某一圆内接凸多边形相似。
上述六种根本方法中的每一种的根据，就是产生四点共圆的一种原因，因此当要求证四点共圆的问题时，首先就要根据命题的条件，并结合图形的特点，在这8种根本方法中选择一种证法，给予证明．一．某些知识的补充1．：ABCD共圆，AB中点为E、CD中点为F，EF中点为G，过E点分别作AD、 BC的垂线，垂足为H、I求证：GH=GI首先可这样转化图形：作E点关于AD、BC边的轴对称点S、T，显然I、H分别是ES、ET中点。
东北育才高中(科高)数学竞赛练习卷(牟欣)
2017年高中数学竞赛练习卷编制单位：东北育才学校科学高中部牟欣学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共32小题，共160.0分)1.已知矩形ABCD的周长为18，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为（）A.13πB.12πC.11πD.10π2.设f（x）是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间（-2，1]上的图象，则f（2011）+f（2013）=（）A.3B.2C.1D.03.已知全集U=R，集合A={y|y=，x＞0}，B={y|y=2x，x＜1}则A∩（∁R B）=（）A.（0，2）B.[2，+∞）C.（-∞，0]D.（2，+∞）4.在射击训练中，某战士连续射击了两次，设命题p是“第一次射击击中目标”，命题q是“第二次射击击中目标”，则命题“两次射击至少有一次没有击中目标”可表示为（）A.（￢p）∨（￢q）B.p∨（￢q）C.（￢p）∧（￢q）D.p∨q5.不等式3tanx+＞0的解集是（）A.，B.，C.，D.，6.已知函f（x）是定义在的奇函数，其最小正周期为当x∈-0）时，（）=log（1-x）则（04）+f（2016）=（）A.-1B.-2C.1D.27.双曲线-=-1的渐近线方）A. B.y=±2x C. D.8.在△AC中，若2，b=2，B=60，则角A的小为（）A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°9.已知方程x2-（3m+2）x+2（m+6）=0的两个实根都大于3，则m的取值范围是（）A.（，-2]B.（-∞，-2]C.[2，）D.[2，+∞）10.（1-i）2016+（1+i）2016的值是（）A.21008B.21009C.0D.2201611.如果一个圆锥的侧面展开图恰是一个半圆，那么这个圆锥轴截面三角形的顶角为（）A. B. C. D.12.用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax-b=0，至少有一个实根”时，要做的假设是（）A.方程x3+ax-b=0没有实根B.方程x3+ax-b=0至多有一个实根C.方程x3+ax-b=0至多有两个实根D.方程x3+ax-b=0恰好有两个实根13.如图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是（）A.（1）（2）B.（2）（3）C.（3）（4）D.（1）（4）14.数列{a n}中，a1=1，a n，a n+1是方程x2-（2n+1）x+的两个根，则数列{b n}的前n项和S n=（）A. B. C. D.15.水平放置的正方体的六个面分别用“前面，后面，上面，下面，左面，右面”表示，如图是正方体的表面展开图，若图中“成”表示正方体的前面，“功”表示正方体的右面，“你”表示正方体的下面，则“孝”“高”“助”分别表示正方体的（）A.左面，后面，上面B.后面，上面，左面C.上面，左面，后面D.后面，左面，上面16.若关于x的方程x2-2mx+m+6=0的两实根为x1，x2，y=（x1-1）2+（x2-1）2的取值范围是（）A.y≥B.y≥8C.y≥18D.y＞-17.一元二次方程2x2-6x-3=0的两根为x1，x2，则（1+x1）（1+x2）的值为（）A.3B.6C.-3D.18.一正方体的各顶点都在同一球面上，用过球心的平面去截这个组合体，截面图不能是（）A. B. C. D.19.已知向量=（2，3），=（-4，7），则向量在向量的方向上的投影为（）A. B. C. D.20.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，其最小正周期为3，当x∈（-，0）时，f（x）=log2（1-x），则f（2014）+f（2016）=（）A.-1B.-2C.1D.221.已知函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ=（）A. B. C. D.22.若x为复数，则方程x4=1的解是（）A.l或lB.i或-iC.1+i或1-iD.1或-1或i或-i23.已知一个正四面体和一个正八面体的棱长相等，把它们拼接起来，使一个表面重合，所得多面体的面数有（）A.7B.8C.9D.1024.求满足2x（2sinx-）≥0，x∈（0，2π）的角α的集合（）A.（0，）B.[，]C.[，]D.[，]25.若将如图的展开图还原成成正方体，则∠ABC的度数为（）A.120°B.90°C.60°D.45°26.设f（x）=x（ax2+bx+c）（a≠0）在x=1和x=-1处有极值，则下列点中一定在x轴上的是（）A.（a，b）B.（a，c）C.（b，c）D.（a+b，c）27.如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为（）A.πB.C.D.π28.下列各式的因式分解中正确的是（）A.-a2+ab-ac=-a（a+b-c）B.9xy-6x2y2=3xy（3-2xy）C.3a2x-6bx+3x=3x（a2-2b）D.+xy（x-y）29.若sinθ=，θ∈R，则方程的解集为（）A.{θ|θ=+2k，k∈Z}B.{θ|θ=+2k，k∈Z}C.{θ|θ=+2k或+2kπ，k∈Z}D.{θ|θ=+2k或+2kπ，k∈Z}30.把x3-9x分解因式，结果正确的是（）A.x（x2-9）B.x（x-3）2C.x（x+3）2D.x（x+3）（x-3）31.-1+2i是下列哪个实系数方程的一个根（）A.x2-4x+5=0B.x2+4x+5=0C.x2-2x+5=0D.x2+2x+5=032.展开式中的常数项为（ ）A.15B.20C.-1D.-20二、填空题(本大题共24小题，共120.0分) 33.= ______ ．34.已知函数f （x ）=， ＞，，则f （2）= ______ ． 35.设f （x ）=x 8+3，求f （x ）除以x +1所得的余数为 ______ ． 36.用（x +2）（x -1）除多项式x 6+x 5+2x 3-x 2+3所得余式是 ______ ．37.一个圆锥的轴截面为正三角形，则该圆锥的侧面展开图是扇角为 ______ （填扇角的度数）的扇形． 38.方程sin 2x =cosx ，x ∈[0，2π]的解集是 ______ ． 39.已知函数，， ＞则的值为 ______ ． 40.因式分解：x 3-2x 2+x -2= ______ ．41.集合{x |cos （πcosx ）=0，x ∈[0，π]}= ______ （用列举法表示） 42.若0≤x ＜π，则满足方程tan （4x -）=1的角的集合是 ______ ． 43.分解因式：5x 2+6xy -8y 2= ______ ．44.设f （x ）是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[-1，1）上，f （x ）=，其中a ∈R ，若f （- ）=f （），则f （5a ）的值是 ______ ．45.当0≤x ≤2π时，则不等式：sinx -cosx ≥0的解集是 ______ ．46.已知tan α，tan β是方程x 2+6x +7=0的两个根，且α，β∈（，），则α+β= ______ ． 47.已知tan α、tan β是方程x 2+6x +7=0的两根，则tan （α+β）= ______ ．48.已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ∈[0，1）时，f （x ）=x ，则= ______ ． 49.观察分析下表中的数据：______ ．50.已知θ∈（0，2π）且sin θ，cos θ是方程x 2-kx +k +1=0的两根，则k 的值为 ______ ． 51.已知z = ，i 是虚数单位，则1+z 50+z 100= ______ ．52.定义在R 上的函数f （x ）既是奇函数又是以2为周期的周期函数，则f （1）等于 ______ ． 53.设f （x ）是定义在R 上的函数，且f （x +3）=-f （x ），f （-1）=2，则f （2012）= ______ ．54.若f（x+1）=x2，则f（3）= ______ ．55.已知函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是______ ．56.若sinx=，，，则x= ______ ．（结果用反三角函数表示）三、解答题(本大题共14小题，共168.0分)57.已知函数＞，图象上任意两条相邻对称轴间的距离为．（1）求函数f（x）的单调区间，对称中心；（2）若关于x的方程2cos2x+mcosx+2=0在，上有实数解，求实数m的取值范围．58.已知等差数列{a n}中，a3+a7＜2a6且a3，a7是方程x2-18x+65=0的两根，数列{b n}的前项和S n=1-b n．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）记c n=a n b n，求数列{c n}的前n项的和T n，并证明＜．59.解方程：cos2x=cosx+sinx．60.分解下列因式（1）5x2+6xy-8y2（2）x2+2x-15-ax-5a．61.为了解心肺疾病是否与年龄相关，现随机抽取了40名市民，得到数据如表：已知在全部的40人中随机抽取1人，抽到不患心肺疾病的概率为（3）能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为患心肺疾病与年龄有关？下面的临界值表供参考：（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）62.f（x）=ax2+bx+c，且f（1）=-，3a＞2c＞2b，求证：（I）a＞0且-3＜＜-；（Ⅱ）函数f（x）在区间（0，2）内至少有一个零点；（III）设x1，x2是函数f（x）的两个零点，则≤|x1-x2|＜．63.已知函数（a＞0）．（1）若函数f（x）有三个零点分别为x1，x2，x3，且x1+x2+x3=-3，x1x2=-9，求函数f（x）的单调区间；（2）若，3a＞2c＞2b，证明：函数f（x）在区间（0，2）内一定有极值点；（3）在（2）的条件下，若函数f（x）的两个极值点之间的距离不小于，求的取值范围．64.已知关于x的方程cos2（x+π）-sinx+a=0．（1）若x=是此方程的解，求a的值；（2）若此方程有解，求a的取值范围．65.已知x1=1-i（i为虚数单位）是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，求a，b的值．66.已知复数z=1-sinθ+icosθ（＜θ＜π），求z的共轭复数的辐角主值．67.已知曲线C x 2-y2=1及直线l：y=kx-1．（1）若l与C左支交于两个不同的交点，求实数k的取值范围；（2）若l与C交于A、B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值．68.已知在区间[-1，1]上是增函数（I）求实数a的取值范围；（II）记实数a的取值范围为集合A，且设关于x的方程的两个非零实根为x1，x2．①求|x1-x2|的最大值；②试问：是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1＞|x1-x2|对∀a∈A及t∈[-1，1]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．69.已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b为实常数）的零点与函数g（x）=2x2+4x-30的零点相同，数列{a n}，{b n}定义为：a1=，2a n+1=f（a n）+15，b n=（n∈N*）．（1）求实数a，b的值；（2）若将数列{b n}的前n项和与数列{b n}的前n项积分别记为S n，T n证明：对任意正整数n，2n+1T n+S n为定值；（3）证明：对任意正整数n，都有2[1-（）n]≤S n＜2．70.已知函数，a为常数（1）若f（x）＞2的解集为（2，3），求a的值（2）若f（x）＜x-3对任意的x∈（2，+∞）恒成立，求a的取值范围．2017年高中高三年级数学竞赛试题评分标准1.A2.C3.B4.A5.D6.A7.A8.A9.C 10.B 11.C 12.A 13.B 14.D 15.B 16.B 17.D 1 8.A 19.B 20.A 21.A 22.D 23.A 24.B 25.C 26.A 27.C 28.B 29.D 30.D 31.D 32.D33.034.035.436.-x+537.180°38.{，，，}39.-40.（x-2）（x2+1）41.{，}42.{，，，}43.（x+2y）（5x-4y）44.-45.，46.47.148.49.F+V=E+250.-151.i52.053.-254.455.56.57.解：（1）∵函数＞，图象上任意两条相邻对称轴间的距离为．∴=，，．令2kπ-π≤2x+≤2kπ，求得kπ-≤x≤kπ-，可得函数的单调递增区间，；同理，令2kπ≤2x+≤2kπ+π，求得kπ-≤x≤kπ+，可得函数的调递减区间，．令2x+=kπ+，求得x=+，可得函数的对称中心为，．（2）令t=cosx，t∈（0，1）则2t2+mt+2=0在（0，1）上有解，m=-2（t+），令，任取0＜t1＜t2＜1，有＞，因此在（0，1）上单调递减，因此m＜-2k（1）=-4，所以m范围{m|m＜-4}．58.（1）解：由a3+a7=2a5＜2a6得a5＜a6，所以数列{a n}是递增数列．…（1分）所以a3＜a7．由x2-18x+65=0解得a3=5，a7=13…（2分）公差，所以a n=a3+（n-3）d=2n-1（n∈N*）…（3分）由S n=1-b n得，当n=1时，；…（4分）当n≥2时，b n=S n-S n-1，得…（5分）所以{b n}是首项为，公比为的等比数列，所以…（6分）（2）证明：由（1）得，…（7分）所以由错位相减法得＜…（9分）因为＞所以{T n}是递增数列，所以故＜…（13分）59.解：∵cos2x=cosx+sinx，∴cos2x-sin2x=cosx+sinx，∴（cosx+sinx）（cosx-sinx）-（cosx+sinx）=0，∴（cosx+sinx）（cosx-sinx-1）=0．如果cosx+sinx=0，则得1+tanx=0，tanx=-1，解x=kπ-（k为整数）．如果cosx-sinx-1=0则得cosx-sinx=1，∴cos（x+）=，∴x+=2kπ±，∴x=2kπ或2kπ-（k为整数）．综上，x=kπ-或2kπ或2kπ-（k为整数）．60.解：（1）5x2+6xy-8y2=（5x-4y）（x+2y）（2）x2+2x-15-ax-5a=（x+5）（x-3）-a（x+5）=（x+5）（x-3-a）61.解：（1）在全部的40人中随机抽取1人，抽到不患心肺疾病的概率为，可得不患心肺疾病的人共有16人．大于40的有4人．患心肺疾病有24人，小于等于40岁有8人．将2×2列联表补充完整如图；患心肺疾病不患心肺疾病合计大于40岁16 4 20小于等于40岁8 12 20合计24 16 40（2）K2===＞6.635．所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为患心肺疾病与年龄有关．62.证明：（1）∵∴3a+2b+2c=0又3a＞2c＞2b∴3a＞0，2b＜0∴a＞0，b＜0…（2分）又2c=-3a-2b由3a＞2c＞2b∴3a＞-3a-2b＞2b∵a＞0∴＜＜…（4分）（2）∵f（0）=c，f（2）=4a+2b+c=a-c…（6分）①当c＞0时，∵a＞0，∴f（0）=c＞0且＜∴函数f（x）在区间（0，1）内至少有一个零点…（8分）②当c≤0时，∵a＞0∴＜且＞∴函数f（x）在区间（1，2）内至少有一个零点．综合①②得f（x）在（0，2）内至少有一个零点…（10分）（3）∵x1，x2是函数f（x）的两个零点则x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两根∴，…（12分）∴∵＜＜∴＜…（15分）63.（1）因为函数=x（）（a＞0），又x1+x2+x3=-3，x1x2=-9，则x3=0，x1+x2=-3，x1x2=-9（1分）因为x1，x2是方程=0的两根，则，，得，，（3分）所以=a（x2+2x-3）=a（x-1）（x+3）．令f （x）=0 解得：x=1，x=-3故f（x）的单调递减区间是（-3，1），单调递增区间是（-∞，-3），（1，+∞）．（5分）（2）因为f （x）=ax2+bx+c，，，所以a+b+c=，即3a+2b+2c=0．又a＞0，3a＞2c＞2b，，所以3a＞0，2b＜0，即a＞0．b＜0．（7分）于是＜0，f （0）=c，f （2）=4a+2b+c=4a-（3a+2c）+c=a-c．（8分）①当c＞0时，因为f （0）=c＞0，＜0，而f （x）在区间（0，1）内连续，则f （x）在区间（0，1）内至少有一个零点，设为x=m，则在x∈（0，m），f （x）＞0，f（x）单调递增，在x∈（m，1），f （x）＜0，f（x）单调递减，故函数f（x）在区间（0，1）内有极大值点x=m；（9分）②当c≤0时，因为＜0，f （2）=a-c＞0，则f （x）在区间（1，2）内至少有一零点．同理，函数f（x）在区间（1，2）内有极小值点．综上得函数f（x）在区间（0，2）内一定有极值点．（10分）（3）设m，n是函数的两个极值点，则m，n也是导函数f （x）=ax2+bx+c=0的两个零点，由（2）得3a+2b+2c=0，则m+n=-，mn==．所以|m-n|===由已知，，则两边平方≥3，得出≥1，或≤-1，即≥-1，或≤-3又2c=-3a-2b，3a＞2c＞2b，所以3a＞-3a-2b＞2b，即-3a＜b＜-a．因为a＞0，所以-3＜＜-．综上分析，的取值范围是[-1，-）．64.解：（1）若x=是此方程的解，则cos2（+π）-sin+a=0，∴-+a=0，∴a=-；（2）∵cos2（x+π）-sinx+a=0，∴a=-cos2x+sinx=sin2x+sinx-1=（sinx+）2-，∵-1≤sinx≤1，∴-≤a≤1．65.解：∵x1=1-i是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，∴x2=1+i也是此方程的一个虚根，∴a=-（x1+x2）=-（1+i+1-i）=-2．b=x1x2=（1+i）（1-i）=2．故答案为：a=-2，b=266.解：z=1+cos（+θ）+isin（+θ）=2cos2+2isin cos=2cos（cos+isin）．当＜θ＜π时，＜＜．∴=-2cos（-cos+isin）=-2cos（+）（cos（-）+isin（-））．∴辐角主值为-．67.解：（1）由消去y，得（1-k2）x2+2kx-2=0．∵l与C左支交于两个不同的交点∴＞且x1+x2=-＜0，x1x2=-＞0∴k的取值范围为（-，-1）（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2），由（1）得x1+x2=-，x1x2=-．又l过点D（0，-1），∴S△OAB=|x1-x2|=．∴（x1-x2）2=（2）2，即（-）2+=8．∴k=0或k=±．68.解：（I）…1分）∵f（x）在[-1，1]上是增函数∴f'（x）≥0即x2-ax-2≤0，在x∈[-1，1]恒成立（1）（3分）设φ（x）=x2-ax-2，则由（1）得解得-1≤a≤1 所以，a的取值范围为[-1，1]．…（6分）（II）①由（I）可知A={a|-1≤a≤1}由即得x2-ax-2=0∵△=a2+8＞0∴x1，x2是方程x2-ax-2=0的两个非零实根∴x1+x2=a，x1x2=-2，又由（1）-1≤a≤1∴（9分）∴|x1-x2|的最大值为3．②要使m2+tm+1＞|x1-x2|对∀a∈A及t∈[-1，1]恒成立即m2+tm+1＞3即m2+tm-2＞0对∀t∈[-1，1]恒成立（2）（11分）设g（t）=m2+tm-2=mt+（m2-2），则由（2）得＞＞解得m＞2或m＜-2故存在实数m∈（-∞，-2）∪（2，+∞）满足题设条件（14分）69.（1）解：设方程2x2+4x-30=0的两个实根为α，β，则α+β=-2，αβ=-15，∵函数f（x）=x2+ax+b（a，b为实常数）的零点与函数g（x）=2x2+4x-30的零点相同，∴x2+ax+b=0的两个实根为α，β，由韦达定理得a=-（α+β）=2，b=αβ=-15．（2）证明：由（1）知f（x）=x2+2x-15，从而2a n+1=a n（a n+2），即，，∵2a n+1=a n（a n+2），∴===，，∴T n=b1•b2•b3…b n==．S n=b1+b2+…+b n=（）+（）+…+（）=，n∈N*．∴对任意正整数n，2n+1T n+S n=+=2为定值．（3）证明：∵a1＞0，，∴a n+1＞a n＞0，n∈N*即{a n}为单调递增的正数数列，∵，，∴{b n}为递减的正数数列，且，∴，，∵，，∴对任意正整数n，都有2[1-（）n]≤S n＜2．70.解：（1）由解集为（2，3），知x-2＞0，即x＞2①，所以f（x）＞2即＞可化为a（x-1）＞2（x-2），即（a-2）x＞a-4，由解集形式知：a-2＜0，所以x＜②，由①②得2＜x＜，所以=3，解得a=1，；（2）f（x）＜x-3即＜x-3对任意的x∈（2，+∞）恒成立，等价于a＜对任意的x∈（2，+∞）恒成立，又=（x-1）+-3≥2-3=2-3，当且仅当x=+1时取等号，所以a＜2-3；【解析】1. 解：设正六棱柱的底面边长为x，高为y，则6x+y=9，0＜x＜1.5，正六棱柱的体积V==•3x•3x•（9-6x）≤=，当且仅当x=1时，等号成立，此时y=3，可知正六棱柱的外接球的球心是其上下底面中心连线的中点，则半径为=，∴外接球的表面积为4=13π．故选A．正六棱柱的底面边长为x，高为y，则6x+y=9，0＜x＜1.5，表示正六棱柱的体积，利用基本不等式求最值，求出正六棱柱的外接球的半径，即可求出外接球的表面积．本题考查外接球的表面积，考查基本不等式的运用，确定正六棱柱的外接球的半径是关键．2. 解：设f（x）是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间（-2，1]上的图象，∴f（2011）+f（2013）=f（1）+f（0）=1+0=1．故选：C．利用函数的周期性结合函数在在区间（-2，1]上的图象，能求出f（2011）+f（2013）的值．本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．3. 解：∵集合A={y|y=，x＞0}=（0，+∞），B={y|y=2x，x＜1}=（0，2），∴∁R B=（-∞，0]∪[2，+∞），∴A∩（∁R B）=[2，+∞），故选：B根据求出集合A，B，结合集合的交集及补集运算定义，可得答案．本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，难度不大，属于基础题．4. 解：∵命题p是“第一次射击击中目标”，命题q是“第二次射击击中目标”，∴命题“两次射击至少有一次没有击中目标”（￢p）∨（￢q），故选：A由已知，结合容斥定理，可得答案．本题考查的知识点是事件的表示，容斥定理，难度不大，属于基础题．5. 解：由3tanx+＞0，可得tanx＞-，再结合函数y=tanx的图象可得-+kπ＜x＜kπ+，k∈z，故选D．由条件可得tanx＞-，再结合函数y=tanx的图象求得x的范围．本题主要考查正切函数的图形特征，属于基础题．6. 解：∵20÷3=67…1，0163=672，∵当∈（-，0），f（=log2（1-），f（2014）==-f（-1），f（206）0）=0，∵函数f（x）定在R的奇函数，其最周期为3，故选：函的周期性把f204）f（2016）变形，再利用奇偶及当∈（-，0）时，fx）og2（1-x），定出求式的值即可．此题考了周期数，函数的偶性和周期性及简单的对数运熟练掌握函数的解本题的关键．7. 解：令，得，即双曲渐近线为，故选：根双曲线渐近方程的求法行解即可．题主考查双曲渐近线方的求解，令-1变0是解决的关键．8. 解：a=2，b=2，B60°，∴由正弦理，得=°，又a＜b，∴A0°．故选：接利用正弦理求sn A，结合三角的大边对大角得答案．本题查弦定的应用，考查了三形解法，是中档题．9. 解：令x2-（3m+2）x+2（m+6）=f（x），由题意可得＞，＞解得2≤m＜，故选C．由题意可得＞，解不等式组求得m的取值范围．＞本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．10. 解：（1-i）2016+（1+i）2016=（-2i）1008+（2i）1008=[（-i）1008+i1008]•21008=21009，故选：B．利用复数的周期性即可得出．本题考查了复数的运算法则、复数的周期性，考查了计算能力，属于基础题．11. 解：设圆锥的母线长为R，则圆锥的底面周长为πR，则圆锥的底面直径为R，所以圆锥的顶角为．故选：C．圆锥的侧面展开图是半圆，半圆的弧长就是圆锥的底面圆的周长，设出母线，求出圆锥的底面直径，可求圆锥的顶角．本题考查圆锥的结构特征，旋转体的侧面展开图，考查计算能力，空间想象能力，是基础题．12. 解：用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax-b=0，至少有一个实根”时，应先假设是命题的否定成立，即假设方程x3+ax-b=0没有实根，故选：A．用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立，由此可得结论．本题主要考查用反证法证明数学命题的思路，命题的否定，属于基础题．13. 解：（1）图还原后，①⑤对面，②④对面，③⑥对面；（2）图还原后，①④对面，②⑤对面，③⑥对面；（3）图还原后，①④对面，②⑤对面，③⑥对面；（4）图还原后，①⑥对面，②⑤对面，③④对面；综上，可得还原成正方体后，其中两个完全一样的是（2）（3），故选：B分别判断出还原成正方体后，相对面的标号，可得答案．本题考查的知识点是正方体的几何特征，正方体的表面展开图，难度中档．14. 解：依题意，a n+a n+1=2n+1，∴a n+1+a n+2=2（n+1）+1，两式相减得：a n+2-a n=2，又a1=1，∴a3=1+2=3，a5=5，…∵a n+a n+1=2n+1，a1=1，∴a2=3-1=2，a4=2+2=4，…∴a n=n；又=a n a n+1=n（n+1），∴b n==-，∴S n=b1+b2+…+b n=（1-）+（-）+…+（-）=1-=．故选D．利用韦达定理可求得a n+a n+1=2n+1，而a1=1，从而可求得a n=n；再由=a n a n+1，可求得b n，从而可得答案．本题考查数列的求和，突出考查等差关系的确定，考查韦达定理的应用，属于中档题．15. 解：由题意可知正方体的直观图如图：则“孝”“高”“助”分别表示正方体的：后面，上面，左面．故选：B．画出正方体的直观图，使得图中“成”表示正方体的前面，“功”表示正方体的右面，“你”表示正方体的下面，推出结果．本题考查几何体的表面展开图的应用，考查空间想象能力．16. 解：∵方程x2-2mx+m+6=0的两实根为x1，x2，∴△=4m2-4（m+6）≥0，即m≤-2，或m≥3，且x1+x2=2m，x1•x2=m+6，则y=（x1-1）2+（x2-1）2=（x1+x2）2-2x1•x2-2（x1+x2）+2=4m2-2（m+6）-4m+2=4m2-6m-10，故当m=3时，y取最小值8，无最大值，即y=（x1-1）2+（x2-1）2的取值范围是y≥8，故选：B由方程x2-2mx+m+6=0的两实根为x1，x2，可得：△≥0，即m≤-2，或m≥3，且x1+x2=2m，x1•x2=m+6，进而可将y=（x1-1）2+（x2-1）2化为：y=4m2-6m-10（m≤-2，或m≥3）的形式，结合二次函数的图象和性质可得答案．本题考查的知识点是一元二次方程根与系数的关系，二次函数的图象和性质，难度中档．17. 解：∵方程2x2-6x-3=0的两根为x1，x2，∴x1+x2=3，x1•x2=，∴（1+x1）（1+x2）=x1•x2+x1+x2+1=+3+1=，故选：D根据一元二次方程的根与系数的关系x1+x2=3，x1•x2=，然后将其代入所求的代数式（1+x1）（1+x2）求值即可．本题考查了一元二次方程的根与系数的关系．解题时，务必弄清楚根与系数的关系x1+x2=-，x1•x2=中的a、b、c所表示的意义．18. 解：B是经过正方体对角面的截面；C是经过球心且平行于正方体侧面的截面；D是经过一对平行的侧面的中心，但不是对角面的截面．故选：A．对选项进行分析，即可得出结论．本题考查用过球心的平面去截这个组合体的截面图，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．19. 解：根据投影的定义可得：向量在向量的方向上的投影||cos＜，＞===．故选：B．根据投影的定义，应用公式向量在向量的方向上的投影||cos＜，＞=求解．本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．解答关键在于要求熟练应用公式．20. 解：∵2014÷3=671…1，2016÷3=672，∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，其最小正周期为3，∴f（2014）=f（1）=-f（-1），f（2016）=f（0）=0，∵当x∈（-，0）时，f（x）=log2（1-x），∴原式=-f（-1）+0=-f（-1）=-1．故选：A．利用函数的周期性把f（2014）与f（2016）变形，再利用奇偶性及当x∈（-，0）时，f（x）=log2（1-x），确定出所求式子的值即可．此题考查了周期函数，函数的奇偶性和周期性，及简单的对数运算，熟练掌握函数的性质是解本题的关键．21. 解：∵函数y=cosx与y=sin（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点，∴sin（π+ϕ）=cos=．∵0≤φ＜π，∴≤π+ϕ≤，∴π+ϕ=，解得φ=．故选：A．由题意可得sin（π+ϕ）=cos=．根据φ的范围和正弦函数的单调性即可得出．本题考查了三角函数的图象与性质、三角函数求值，属于基础题22. 解：因为：x4-1=（x2+1）（x2-1）=（x+i）（x-i）（x-1）（x+1）．所以x4-1=0即（x+i）（x-i）（x-1）（x+1）=0．解得x=1，-1，i，-i．即在复数集中，方程x4=1的解为1，-1，i，-i故选：D．方程x4=1可化为方程x4-1=0．对方程的左边直接运用平方差公式分解即可求得此方程的解，注意要分解彻底本题考查运用平方差公式分解因式的能力．平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）．本题需注意，第一次运用平方差公式分解以后，余下的多项式仍然可以运用平方差公式再次分解．23.解：如图：几何体的图形，P-ABE是正四面体，ABCDEF是正八面体，组合后，平面PAB与平面ABC是同一个平面，平面PBE与平面BDE是同一个平面，所以结合体共有7个平面．故选：A．画出几何体的图形判断多面体的面数即可．本题考查几何体的平面个数的判断，基本知识的考查．24. 解：∵满足2x（2sinx-）≥0，2x＞0．∴，∵x∈（0，2π），∴，故选：B．满足2x（2sinx-）≥0，化为，由于x∈（0，2π），利用正弦函数的单调性即可得出．本题考查了指数函数的单调性、正弦函数的单调性，属于基础题．25. 解：还原正方形，连接ABC三个点，可得图形如图所示．可知AB=AC=BC，所以角的大小为60°故选：C．将展开图还原成正方体，进行求解即可．本题看出棱柱的结构特征，是基础题．本题考查学生的空间想象能力．26. 解：∵f（x）=x（ax2+bx+c）=ax3+bx2+cx，∴f （x）=3ax2+2bx+c，∵f（x）在x=1和x=-1处有极值，∴1，-1是方程3ax2+2bx+c=0的两根，∴1+（-1）=-，=-1，故b=0，c=-3a≠0；可排除B、C、D．故选A．根据题意先对f（x）=x（ax2+bx+c）求导，导函数为二次函数，再利用韦达定理求得b=0，从而可解决问题．本题考查根与系数的关系及函数在某点取得极值的条件，着重考查根与系数的关系中韦达定理的使用，属于中档题．27. 解：根据题意知，平面ACD1是边长为的正三角形，且球与以点D为公共点的三个面的切点恰为三角形ACD1三边的中点，故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积，则由图得，△ACD1内切圆的半径是×tan30°=，则所求的截面圆的面积是π××=．故选：C根据正方体和球的结构特征，判断出平面ACD1是正三角形，求出它的边长，再通过图求出它的内切圆的半径，最后求出内切圆的面积本题考查了正方体和它的内接球的几何结构特征，关键是想象出截面图的形状，考查了空间想象能力，数形结合的思想28. 解：A．-a2+ab-ac=-a（a-b+c），因此不正确；B.9xy-6x2y2=3xy（3-2xy），正确；C.3a2x-6bx+3x=3x（a2-2b+1），因此不正确；D.=xy（x+y），因此不正确．故选：B．A．-a2+ab-ac=-a（a-b+c），即可判断出；B.9xy-6x2y2=3xy（3-2xy），即可判断出；C.3a2x-6bx+3x=3x（a2-2b+1），即可判断出；D.=xy（x+y），即可判断出．本题考查了因式分解的方法，属于基础题．29. 解：当θ∈[0，2π）时，由sinθ=，可得或．∴sinθ=，θ∈R，此方程的解集为{θ|或2k，k∈Z}．故选：D．当θ∈[0，2π）时，方程sinθ=的解为或．再利用三角函数的周期性即可得出．本题考查了三角方程的解法、三角函数的周期性，属于基础题．30. 解：x3-9x=x（x2-9）=x（x+3）（x-3）．故选：D．提取公因式，然后利用平方差公式分解即可．本题考查因式分解，平方差公式的应用，考查计算能力．31. 解：若-1+2i是x2+bx+c=0的根，则-1-2i也是x2+bx+c=0的根，由韦达定理可得：（-1+2i）+（-1-2i）=-2=-b，（-1+2i）（-1-2i）=5=c，故所求方程为x2+2x+5=0，故选：D根据实系数二次方程虚根成对定理，可得若-1+2i是x2+bx+c=0的根，则-1-2i也是x2+bx+c=0的根，进而由韦达定理可求出系数b，c．本题考查的知识点是实系数二次方程虚根成对定理，韦达定理，难度不大，属于基础题．32. 解：（x-）6的二项展开式的通项公式为：T r+1=（-1）r•x6-r•x-r=（-1）r•x6-2r．令6-2r=0，求得r=3，故展开式的常数项为：-=-20，故选：D．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．33. 解：=+0=0，故答案为0．直接计算相应的反三角函数的值，即可得出结论．本题考查反三角函数，考查学生的计算能力，比较基础．34. 解：f（2）=22-4=0．故答案为0．把x=2代入函数解析式计算．本题考查了函数值的求解，是基础题．35. 解：由余数定理得：f（-1）=（-1）8+3=4，故答案为：4．根据余数定理计算f（-1）的值即可．本题考查了余数定理的应用，求出f（-1）的值是解题的关键，本题是一道基础题．36. 解：由题意，x6+x5+2x3-x2+3=（x+2）（x-1）（x4+2x2+1）+（-x+5），∴用（x+2）（x-1）除多项式x6+x5+2x3-x2+3所得余式是-x+5．故答案为-x+5．利用多项式的除法，可得x6+x5+2x3-x2+3=（x+2）（x-1）（x4+2x2+1）+（-x+5），即可得出结论．本题考查多项式的除法，考查学生的计算能力，比较基础．37. 设圆锥母线长为R，底面圆半径为r，扇角为α，扇形弧长为c截面为正三角形，所以R=2r又2πr=c，c=αR联立解得α=π故扇角为180°圆锥的母线长对应扇形的半径，圆锥底面圆周长对应扇形的弧长．列出方程组求解．考查圆锥的侧面展开图，扇形弧长公式，各量之间的对应关系．属于基础题．38. 解：方程sin2x=cosx，即2sinxcosx=cosx，即cosx=0或sinx=．由cosx=0，x∈[0，2π]，可得x=或；由sinx=，x∈[0，2π]，可得x=或x=，综上可得，方程sin2x=cosx，x∈[0，2π]的解集是{，，，}，故答案为：{，，，}．方程即cosx=0或sinx=，结合正弦函数、余弦函数的图象以及x∈[0，2π]，分别求得x的值，可得结论．本题主要考查三角方程的解法，正弦函数、余弦函数的图象，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．39. 解：∵函数，，＞，则=f（-）=3×（-）=-，故答案为-．由题意可得=f（-）=3×（-），运算求得结果．本题主要考查求函数的值，体现了转化的数学思想，属于基础题．40. 解：原式=x2（x-2）+（x-2）=（x-2）（x2+1）．故答案为：（x-2）（x2+1）．分组提取公因式即可得出．本题考查了分组提取公因式法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．41. 解：∵集合{x|cos（πcosx）=0，x∈[0，π]}，∴，或，∴cosx=或cosx=-，∴x=或x=，∴集合{x|cos（πcosx）=0，x∈[0，π]}={，}．故答案为：{，}．由已知得，或，由此能求出结果．本题考查集合的表示，是基础题，解题时要认真审题，注意三角函数性质的合理运用．42. 解：由题意，4x-=kπ+，k∈Z∴x=kπ+，∵0≤x＜π，∴x=，，，，故答案为{，，，}．由题意，4x-=kπ+，求出x，根据0≤x＜π，即可得出结论．本题考查正切函数的图象与性质，考查学生的计算能力，比较基础．43. 解：5x2+6xy-8y2=（x+2y）（5x-4y）．故答案为：（x+2y）（5x-4y）．将多项式第三项分为2y与-4y的乘积，第一项分为x与5x，利用十字相乘法，得到分解结果．本题考查了因式分解-十字相乘法，弄清题中的阅读材料是解本题的关键．44. 解：f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[-1，1）上，f（x）=，∴f（-）=f（-）=-+a，f（）=f（）=|-|=，∴a=，∴f（5a）=f（3）=f（-1）=-1+=-，故答案为：-根据已知中函数的周期性，结合f（-）=f（），可得a值，进而得到f（5a）的值．本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的周期性，根据已知求出a值，是解答的关键．45. 解：如图所示，∵0≤x≤2π时，当sinx=cosx时，x或．∴不等式：sinx≥cosx的解集是，．故答案为：，．如图所示，即可得出不等式的解集．本题考查了三角函数的单调性、数形结合思想方法，属于基础题．46. 解：∵tanα，tanβ是方程x2+6x-7=0的两个根，∴tanα+tanβ=-6，tanαtanβ=7，有tanα、tanβ均小于零，则α，β∈（，0）；则tan（α+β）===1．又由α，β∈（，0），则α+β∈（-π，0）则故答案为：由tanα，tanβ为已知方程的两根，利用韦达定理表示出tanα+tanβ及tanαtanβ的值，然后把所求的角的正切利用两角和的正切函数公式化简后，将tanα+tanβ及tanαtanβ的值代入即可求出值．此题考查了韦达定理，以及两角和与差的正切函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．47. 解：∵tanα、tanβ是方程x2+6x+7=0的两根，∴由一元二次方程根与系数的关系，得tanα+tanβ=-6，tanα•tanβ=7．由此可得tan（α+β）===1．故答案为：1由一元二次方程根与系数的关系，可得tanα+tanβ=-6且tanα•tanβ=7．由此利用两角和的正切公式加以计算，可得tan（α+β）的值．本题给出一元二次方程的两根恰好是α、β的正切之值，求tan（α+β）．着重考查了两角和的正切公式、一元二次方程根与系数的关系等知识，属于基础题．48. 解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈[0，1）时，f（x）=x，∴=-f（）=，故答案为：根据函数奇偶性的性质进行转化求解即可．本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性的性质进行转化是解决本题的关键．比较基础．49. 解：由表格可知：三棱柱：5+6=9+2；五棱锥，6+6=10+2，立方体，6+6=10+2，猜想一般凸多面体中，面数、顶点数、棱数：F、V、E所满足的等式是：F+V=E+2．故答案为：F+V=E+2．直接利用表格的数据，找出面数、顶点数、棱数的关系即可．本题考查欧拉定理的基本知识的应用，是基础题．50. 解：∵sinθ，cosθ是方程x2-kx+k+1=0的两根，∴①②，①平方得，1+2sinθcosθ=k2，将②代入得，k2-2k-3=0，解得k=3或-1，当k=3时，sinθcosθ=4，这与sinθcosθ＜1矛盾，故舍去，当k=-1时，经验证符合条件．则k的值为-1，故答案为：-1．根据题意和韦达定理列出方程组，由平方关系化简联立列方程，求出k的值，最后要验证三角函数值的范围．本题考查了韦达定理（根与系数的关系），以及平方关系的灵活应用，主要验证三角函数值的范围．51. 解：∵z=，∴z2=i，z4=-1，∴1+z50+z100=1+i-1=i．故答案为：i．由z=，可得z2=i，z4=-1，即可求出1+z50+z100．本题考查复数及其指数形式，考查学生的计算能力，比较基础．52. 解：由于定义在R上的函数f（x）是奇函数，又是以2为周期的周期函数，所以-f（1）=f（-1）=f（-1+2）=f（1），所以f（1）=0．故答案为：0．根据奇函数和周期函数的性质可以知道，由于定义在R上的函数f（x）是奇函数，又是以2为周期的周期函数，可得-f（1）=f（-1）=f（-1+2）=f（1），f（1）=0．本题主要考查奇函数和周期函数的定义，考查学生的推理能力．53. 解：∵f（x+3）=-f（x），f（-1）=2，。
[推荐学习]高中数学 竞赛四点共圆专题试题
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四点共圆四点共圆的定义四点共圆的定义：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。
证明四点共圆有下述一些基本方法：【方法1】从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，即可肯定这四点共圆．或利用圆的定义，证各点均与某一定点等距。
【方法2 】如果各点都在某两点所在直线同侧，且各点对这两点的张角相等，则这些点共圆．（若能证明其两张角为直角，即可肯定这四个点共圆，且斜边上两点连线为该圆直径。
）【方法3 】把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆．【方法4】把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也共圆．即利用相交弦、切割线、割线定理的逆定理证四点共圆。
【方法5】证被证共圆的点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆．【方法6】根据托勒密定理的逆定理，在四边形ABCD中，若AC*BD=AB*CD+AD*BC，那么A，B，C，D四点共圆。
或根据西姆松定理的逆定理证四点共圆。
【方法7】证明五点或五点以上的点共圆，可以分别证各四点共圆，且四点中有三点相同。
【方法8】证连结各点所得凸多边形与某一圆内接凸多边形相似。
上述六种基本方法中的每一种的根据，就是产生四点共圆的一种原因，因此当要求证四点共圆的问题时，首先就要根据命题的条件，并结合图形的特点，在这8种基本方法中选择一种证法，给予证明．一．某些知识的补充1．已知：ABCD共圆，AB中点为E、CD中点为F，EF中点为G，过E点分别作AD、 BC的垂线，垂足为H、I求证：GH=GI首先可这样转化图形：作E点关于AD、BC边的轴对称点S、T，显然I、H分别是ES、ET中点。
高中数学竞赛平面几何基础——三角形的心练习题
三角形的心一、鸡爪定理设I 为△ABC 的内心，BC =a ,AC =b ,AB =c ，∠A 的平分线交BC 于K ,交△ABC 的外接圆于D ， 证明：（1）ID =DB =DC （2）acDK DI DI AD KI AI +===b(1)∠DIC =∠IAC +∠ICA =∠BCD +∠ICB =∠ICD∴ID =IC ,同理ID =IB (2)~~ADC ABKAD AB AD ABDC BK DI BK ABK CDK DC AB DI AB DK BK DK BK AD DI AD DI AI AB AC b c DI DK DI DK KI BK KC a ∴=⇒=∴=⇒=-+∴======-△△△△ 二、欧拉线△ABC 的外接圆圆心为O ，H 为△ABC 的垂心，M 为BC 中点，直线OC 交圆O 于D 点，G 为△ABC 重心，求证O ,G ,H 三点共线，且OG :GH =1:2.',////11,//221'2,2'1'''1;.'2OH AM G OM DB DA DB BC AH BC DB AH AD BH APBH DB AH OM OM DB AH OM AH OM AG AH G M G G G OG OG GH G H ⊥⊥∴∴=∴===∴=∴∴==证：设与交于，连接，，，，同理，为平行四边形，又为中位线为重心，与重合；得证三、欧拉公式△ABC 的外接圆圆心为O ，半径为R ，内切圆圆心为I ，圆心为r ,求证：)(r R R OI -=222222,,, d.d ()()rsin22R sin22rR r 2,(2)AI O OI O E F BD BI OI R R d R d EI IF AI ID I AI A BID BAD ABI DBI DBC CBIDBC DAC BAD DBI BIDAID BD ID AI R Rr OI R R r =-=+-=⋅=⋅∴=∠=∠+∠∠=∠+∠∠=∠=∠∴∠=∠==⋅∴⋅=∴-==-证：连接并延长交圆于，延长交圆于连接设为内心，即四、垂心性质 A ,B ,C ,D ,E ,F ,HHF CH HE BH HD AH ⋅=⋅=⋅性质：|cos |2|,cos |2|,cos |2C R CH B R BH A R AH ===性质：H 关于三边的对称点在外接圆上，关于三边中点的对称点也在外接圆上.性质：∠BAO =∠HAC ,∠ABO =∠HBC ,∠ACO =∠HCB .∠HAB =∠HCB ,∠HBC =∠HAC . ∠BHC =180°-∠A五、九点圆定理三角形三条高的垂足，三边的中点，以及垂心与顶点的三条连线段的中点，这九点共圆.90//,//.90,,,.90,.LDP PM CH LM AB PML P L D M PL PQL Q QM N E R F ∠=︒∠=︒∠=︒，所以所以：在以为直径的圆上同理，所以也在该圆上，也为直径所以也在该圆上，同理，也在,''''.OL OH O OLO HPO O OH ≅连接，设交点为，则△△于是为中点，即九点圆圆心在欧拉线上且到垂心和外心距离相等1.∠C =60°，N 是弧AB 中点，H 为垂心，求证:CN ⊥OH .2.∠C =30°，O 是外心，I 是内心，AD =BE =AB ,求证：OI ⊥DE ，且OI =DE .,,302sin30,,.,,.,30,AI M OM OB DB BI C AB R R BE OM AD CAB MOB ADB OMB BD BM MIB MAB ABI MBI MBC CBI MIB MBI MI MB DB OMB OMI AMB ADB C CBD C AMB CBD OMIDEB IOM ∠=︒=︒====∠=∠∴∴=∠=∠+∠∠=∠+∠∴∠=∠==∠=∠+∠∠=∠+∠∠=∠=∴∠=∠∴如图：连接并延长，交圆于，连接，，，△≌△，又而，△≌△,,OI DE OM BE OI DE∴=⊥∴⊥3.P △ABC 内一点，D ,E ,为△ABP 和△ACP 的内心，∠APB -∠ACB =∠APC -∠ABC ,求证： AP ,BD ,CE 三线共点.6030'60'90',',C CAH COH COH H HCB B HCB HAB BCH CH CH R ON N AB ON CH OCHN CN OH ∠=∴∠=∠=∴∠+∠=∴∠=∠=∠∴===∴⊥⊥如图做辅助线，，，，△为正△是垂心，，是弧的中点，四边形为菱形，,,,,,,,,,sin sin ,,,,,.P R S P R P S A T P R B APB ACB PAC PBC PRS PRT TRS APC ABC RSTPB PC TR TS PB B PC C AB AC BD AP M CE AP N MP PBPC NP M N MA AB AC NA ∠-∠=∠+∠=∠+∠=∠∠-∠=∠======过作三边垂线，垂足则：共圆，共圆，同理：于是，即设交于交于，重合 sin sin sin sin sin sin PBC AP G PAB PCB PAB PGB PAC PBC PAC PGC ABG ACG AB AG AG ACAGB ABG ACG AGC AB AGB PB AC AGC PC ∠+∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠=∠===∠∠∠∠∠==∠作△的外接圆，交延长线于，易得所以即4.I 为内心，D ,E 为切点，BI 与DE 延长线相交于G ，求证AG ⊥BG .5.在三角形ABC 中，∠A =60°，AB >AC ，点O 是外心，高BE ，CF 交于点H ，点M ，N ，分别在线段BH ，HF 上且满足BM =CN ，求OHNHMH +的值.,,,,,60120180120,,,,,,1203,.BM BK CH OB OK OM OC OH ON A O BOC BHC FHE A BOC BHC B C H O OBK OCH OBK OCH OK OH BOK COH KOH BOC HK OHKM HN =∠=∴∠=∠=∠=-∠=∴∠=∠∴∴∠=∠∴∴=∠=∠∴∠=∠=∴==在上取，连接，为外心，，，四点共圆，△≌△，得证,,,,,33,3B C H O OB CH OH BC BH OC CH OH BH CN CH OH BM MH CH MH OH⋅+⋅=⋅+=-+=+∴+=共圆由托勒密定理180180()902290,90,,,,1IDE ,,2,,90C CBIA BDG IDG IDC IEC I D C E ICE C BIA BDG ABI GBD AB BI AB BGABG IBD AGB BG BD BI BD -∠∠∠=-=+∠=+∠∠==∴∴∠=∠=∠⇒∠=∠⇒∴=⇒=⇒∠=如图作辅助线；四点共圆△∽△△∽△6.P 为圆外一点，P A ,PB 切圆于A ,B ，PO 交AB 于Q ，过Q 作弦CD ，求证，△P AB 与△PCD 有相同的内心。
高中数学竞赛讲义-集合(练习题)新人教A版
课后练习1．下列八个关系式:①{0}=φ②φ=0 ③φ{φ} ④φ∈{φ}⑤{0}⊇φ⑥0∉φ⑦φ≠{0} ⑧φ≠{φ} 其中正确的个数（）（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）72．设A 、B 是全集U 的两个子集，且A ⊆B ，则下列式子成立的是（）（A ）C U A ⊆C U B （B ）C U A C U B=U （C ）A C U B=φ（D ）C U A B=φ3．已知M=},13|{},,13|{},,3|{Z n n x x P Z n n x x N Z n n x x ∈-==∈+==∈=，且P c N b M a ∈∈∈,,，设c b a d +-=，则∈d （ ）（A ）M （B ）N （C ）P （D ）P M4．设集合},214|{},,412|{Z k k x x N Z k k x x M ∈+==∈+==，则（） （A ）N M ⊆（B ）M N ⊆（C ）N M =（D ）Φ=N M5．设M={1,2,3,…,1995}，A 是M 的子集且满足条件: 当x ∈A 时,15x ∉A ，则A 中元素的个数最多是_______________.6．集合A,B 的并集A ∪B={a 1,a 2,a 3}，当且仅当A≠B 时，(A,B)与(B,A)视为不同的对，则这样的(A,B)对的个数有_________________.7．若非空集合A={x|2a+1≤x≤3a -5}，B={x|3≤x≤22},则能使A ⊆A∩B 成立的a 的取值X 围是_______________.8．若A={x|0≤x 2+ax+5≤4}为单元素集合，则实数a 的值为___________________.9．设A={n|100≤n≤600,n ∈N}，则集合A 中被7除余2且不能被57整除的数的个数为______________.10．己知集合A={x|x=f(x)}，B={x|x=f(f(x))},其中f(x)=x 2+ax+b (a,b ∈R)，证明：（1）A ⊆B （2）若A 只含有一个元素，则A=B .11．集合A={（x,y ）022=+-+y mx x },集合B={（x,y ）01=+-y x ,且02≤≤x }， 又A φ≠B ，某某数m 的取值X 围.≠⊂课后练习答案1-4 C C B A5．解：由于1995=15⨯133，所以，只要n>133，就有15n>1995.故取出所有大于133而不超过1995的整数. 由于这时己取出了15⨯9=135, … 15⨯133=1995. 故9至133的整数都不能再取，还可取1至8这8个数，即共取出1995—133+8=1870个数, 这说明所求数≥1870。
高中数学竞赛讲义 立体图形、空间向量(练习题) 新人教A版
ABCDE FCDFABOCD EOA§19立体图形，空间向量课后练习1．甲烷分子由一个碳原子和四个氢原子组成,其空间构型为一正四面体,碳原子位于该正四 面体的中心,四个氢原子分别位于该正四面体的四个顶点上.若将碳原子和氢原子均视为一 个点(体积忽略不计),且已知碳原子与每个氢原子间的距离都为a ,则以四个氢原子为顶点 的这个正四面体的体积为( )A,3827aB,327a C,313a D,389a 2．夹在两个平行平面之间的球,圆柱,圆锥在这两个平面上的射影都是圆,则它们的体积之比为( )A,3:2:1 B,2:3:1 C,3:6:2 D,6:8:33．设二面角a αβ--的大小是060,P 是二面角内的一点,P 点到,αβ的距离分别为1cm, 2cm,则点P 到棱a 的距离是( )A,3cmB,3cm C,23cmD,3cm 4．如图,E,F 分别是正三棱锥A -BCD 的棱AB,BC的中点,且DE ⊥EF.若BC=a ,则此正三棱锥的体积是( )A,324aB,324a335．棱长为的正八面体的外接球的体积是( )A,6πB,27C,3D,3 6．若线段AB 的两端点到平面α的距离都等于2,则线段AB 所在的直线和平面α的位置关系是 .7．若异面直线,a b 所原角为060,AB 是公垂线,E,F 分别是异面直线,a b 上到A,B 距离为 2和平共处的两点,当3EF =时,线段AB 的长为 .8．如图(1),在直四棱柱1111A B C D ABCD -中,当底面四边形ABCD 满足条件 时,有1A C ⊥1B 1D (注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形)9．如图(2),是一个正方体的展开图,在原正方体中,有下列命题:①AB 与EF 所连直线平行; ②AB 与CD 所在直线异面; ③MN 与BF 所在直线成060; ④MN 与CD 所在直线互相垂直.其中正确命题的序号为 .(将所有正确的都写出)10．如图,在ABC ∆中,AB=AC=13,BC=10,DE//BC 分别交AB,AC 于D,E.将ADE ∆沿 DE 折起来使得A 到1A ,且1A DE B --为060的二面角,求1A 到直线BC 的最小距离.11．如图,已知矩形ABCD 中,AB=1,BC=a (0)a >,PA ⊥平面ABCD,且PA=1. A BCDA BC D图(1)ABENM 图(2)A B CDP Q(1)问BC 边上是否存在点Q 使得PQ ⊥QD?并说明理由;(2)若边上有且只有一个点Q,使得PQ ⊥QD,求这时二面角Q PD A --的正切.课后习题答案1．过顶点A,V 与高作一截面交BC 于点M,点O 为正四面体的中心,1O 为底面ABC 的中心, 设正四面体VABC 的棱长为m ,则AM=2m =VM,1O M=136AM m =, 1233O A AM m ==,13VO m ==,得113OO VO VO a =-=-在1Rt AOO ∆中,22211AO OO AO =+,即222()()33a m a m =-+,得3m a =. 则1VO =43a ,有203111(sin 60)32V ABC V m VO -=⋅⋅⋅⋅=.选B. 温馨提示:正四面体外接球的半径VO :内切球的半径1OO =1:3:13a a =.2． 32212341::():(2):(2)2:3:133V V V R R R R R πππ=⋅⋅⋅=,选B.3．设PA ⊥棱a 于点A,PM ⊥平面α于点M,PN ⊥平面β于点N,PA=t ,PAM θ∠=,则sin 1sin(60)2t t αα=⎧⎨-=⎩,5sin αα=,有sin α=或(舍去),所以1sin 3t α==cm ,选B. 4．由DE ⊥EF,EF//AC,有DE ⊥AC,又AC ⊥BD,DE BD=D,得AC ⊥平面ABD.由对称性得090BAC CAD BAD ∠=∠=∠=,于是2AB AC AD a ===. 311()3222224B ACD V a a -=⋅⋅⋅⋅=,选B.5．可由两个相同的四棱锥底面重合而成,有2r =得r =外接球的体积3433V r π==,选D. 6．当2AB <时,AB//α;当2AB =时,AB//α或AB ⊥α;当2AB >时,AB//α或与α斜交. 7．由EF EA AB BF =++,得22222cos EFEA AB BF EA BF θ=+++⋅⋅(1)当060θ=时,有219412212AB =+++⋅⋅⋅,得2AB =(2)当0120θ=时,有219412212AB=++-⋅⋅⋅,得6AB =8． AC ⊥BD.(或ABCD 是正方形或菱形等)9．将展开的平面图形还原为正方体NACF EMBD -,可得只②,④正确.10．解:设ABC ∆的高AO 交DE 于点1O ,令1AO x =, 由12=,有112OO x =-,在11A OO ∆中,01160A O O ∠=,有222011111112cos 60A O A O O O A O O O =+-⋅⋅⋅得1AO =当6x =时,1A 到直线BC 的最小距离为6.11．解:(1)(如图)以A 为原点建立空间直角坐标系,设BQ x =,则 Q (1,,0)x ,P(0,0,1),D (0,,0)a 得(1,,1)PQ x =-,(1,,0)QD a x =--由PQ QD ⊥,有(1,,1)(1,,0)0x a x -⋅--=,得210x ax -+= ①若方程①有解,必为正数解,且小于a .由2()40a ∆=--≥,0a >,得2a ≥. (i)当2a ≥时,BC 上存在点Q,使PQ ⊥QD;(ii)当02a <<时, BC 上不存在点Q,使PQ ⊥QD.(2)要使BC 边上有且只有一个点Q,使PQ ⊥QD,则方程①有两个相等的实根,这时,2()40a ∆=--=,得2a =,有1x =.又平面APD 的法向量1(1,0,0)n =,设平面PQD 的法向量为2(,,)n x y z = 而(1,1,0)QD =-,(0,2,0)(0,0,1)(0,2,1)PD =-=-,由2200n QD n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,得(,,)(1,1,0)0(,,)(0,2,1)0x y z x y z ⋅-=⎧⎨⋅-=⎩,解得,2x y z y ==有2(1,1,2)n =,则121212cos ,n n n n n n ⋅<>===⋅,则12tan ,n n <>=Q PD A --的正切为。
高中数学竞赛(练习题)
练习题1.在ABC ∆中，∠C =90°，AD 和BE 是它的两条内角平分线，设L 、M 、N 分别为AD 、AB 、BE 的中点，X =LM ∩BE ，Y =MN ∩AD ，Z =NL ∩DE ．求证：X 、Y 、Z 三点共线．(2000年江苏省数学冬令营)证明：作ΔABC 的外接圆，则M 为圆心． ∵ MN ∥AE ， ∴ MN ⊥BC ．∵ AD 平分∠A ，∴ 点Y 在⊙M 上，同理点X 也在⊙M 上．∴ MX =MY ．记NE ∩AD =F ，由于直线DEZ 与ΔLNF 的三边相交，直线AEC 与ΔBDF 三边相交，直线BFE 与ΔADC 三边相交，由梅氏定理，可得：LZ ZN ·NE EF ·FD DL =1．⇒NZ ZL =NE EF ·FD DL =BE EF ·FD DA ；FE EB ·BC CD ·DA AF =1，AF FD ·DB BC ·CEEA =1．三式相乘得NZ ZL =BD DC ·CE AE =AB AC ·BC AB =BCAC ． 另一方面，连结BY 、AX ，并记MY ∩BC =G ，AC ∩MX =H ， 于是有∠NBY =∠LAX ，∠MYA =∠MAY =∠LAC ， ∴∠BYN =∠ALX ． ∴ ΔBYN ∽ΔALX ．∴ LX NY =AF BG =AC BC ， ∴ NZ ZL ·LX XM ·MY YN =NZ ZL ·LX NY =1．由梅氏定理可得，X 、Y 、Z 三点共线．2．如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 均是锐角，D 是BC 边上的内点，且AD 平分∠BAC ，过点D 分别向两条直线AB 、AC 作垂线DP 、DQ ，其垂足是P 、Q ，两条直线CP 与BQ 相交与点K ．求证：AK ⊥BC ； 证明：作高AH ．则由∆BDP ∽∆BAH ，⇒BH PB =BA BD ，由∆CDQ ∽∆CAH ，⇒CQ HC =DCCA ．由AD 平分∠BAC ，⇒DC BD =ACAB ，由DP ⊥AB ，DQ ⊥AC ，⇒AP=AQ ．∴ AP PB ·BH HC ·CQ QA =AP QA ·BH PB ·CQ HC =BA BD ·DC CA =DC BD ·BA CA=1，据塞瓦定理，AH 、BQ 、CP 交于一点，故AH 过CP 、BQ 的交点K ，∴ AK 与AH 重合，即AK ⊥BC ．3.设P 是△ABC 内任一点，在形内作射线AL ，BM ，CN ，使得∠CAL ＝∠PAB ，∠MBC ＝∠PBA ，∠NCA ＝∠BCP ，求证：AL 、BM 、CN 三线共点。
高中数学竞赛四点共圆专题试题
四点共圆四点共圆的定义四点共圆的定义：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。
证明四点共圆有下述一些基本方法：【方法1】从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，即可肯定这四点共圆．或利用圆的定义，证各点均与某一定点等距。
【方法 2 】如果各点都在某两点所在直线同侧，且各点对这两点的张角相等，则这些点共圆．（若能证明其两张角为直角，即可肯定这四个点共圆，且斜边上两点连线为该圆直径。
）【方法 3 】把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆．【方法4】把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也共圆．即利用相交弦、切割线、割线定理的逆定理证四点共圆。
【方法5】证被证共圆的点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆．【方法6】根据托勒密定理的逆定理，在四边形ABCD中，若AC*BD=AB*CD+AD*BC，那么A，B，C，D四点共圆。
或根据西姆松定理的逆定理证四点共圆。
【方法7】证明五点或五点以上的点共圆，可以分别证各四点共圆，且四点中有三点相同。
【方法8】证连结各点所得凸多边形与某一圆内接凸多边形相似。
上述六种基本方法中的每一种的根据，就是产生四点共圆的一种原因，因此当要求证四点共圆的问题时，首先就要根据命题的条件，并结合图形的特点，在这8种基本方法中选择一种证法，给予证明．一．某些知识的补充1．已知：ABCD共圆，AB中点为E、CD中点为F，EF中点为G，过E点分别作AD、 BC的垂线，垂足为H、I求证：GH=GI首先可这样转化图形：作E点关于AD、BC边的轴对称点S、T，显然I、H分别是ES、ET中点。
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练习题1.在ABC ∆中，∠C =90°，AD 和BE 是它的两条内角平分线，设L 、M 、N 分别为AD 、AB 、BE 的中点，X =LM ∩BE ，Y =MN ∩AD ，Z =NL ∩DE ．求证：X 、Y 、Z 三点共线．(2000年江苏省数学冬令营)证明：作ΔABC 的外接圆，则M 为圆心． ∵ MN ∥AE ， ∴ MN ⊥BC ．∵ AD 平分∠A ，∴ 点Y 在⊙M 上，同理点X 也在⊙M 上．∴ MX =MY ．记NE ∩AD =F ，由于直线DEZ 与ΔLNF 的三边相交，直线AEC 与ΔBDF 三边相交，直线BFE 与ΔADC 三边相交，由梅氏定理，可得：LZ ZN ·NE EF ·FD DL =1．⇒NZ ZL =NE EF ·FD DL =BE EF ·FD DA ；FE EB ·BC CD ·DA AF =1，AF FD ·DB BC ·CEEA =1．三式相乘得NZ ZL =BD DC ·CE AE =AB AC ·BC AB =BCAC ． 另一方面，连结BY 、AX ，并记MY ∩BC =G ，AC ∩MX =H ， 于是有∠NBY =∠LAX ，∠MYA =∠MAY =∠LAC ， ∴∠BYN =∠ALX ． ∴ ΔBYN ∽ΔALX ．∴ LX NY =AF BG =AC BC ， ∴ NZ ZL ·LX XM ·MY YN =NZ ZL ·LX NY =1．由梅氏定理可得，X 、Y 、Z 三点共线．2．如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 均是锐角，D 是BC 边上的内点，且AD 平分∠BAC ，过点D 分别向两条直线AB 、AC 作垂线DP 、DQ ，其垂足是P 、Q ，两条直线CP 与BQ 相交与点K ．求证：AK ⊥BC ； 证明：作高AH ．则由∆BDP ∽∆BAH ，⇒BH PB =BA BD ，由∆CDQ ∽∆CAH ，⇒CQ HC =DCCA ．由AD 平分∠BAC ，⇒DC BD =ACAB ，由DP ⊥AB ，DQ ⊥AC ，⇒AP=AQ ．∴ AP PB ·BH HC ·CQ QA =AP QA ·BH PB ·CQ HC =BA BD ·DC CA =DC BD ·BA CA=1，据塞瓦定理，AH 、BQ 、CP 交于一点，故AH 过CP 、BQ 的交点K ，∴ AK 与AH 重合，即AK ⊥BC ．3.设P 是△ABC 内任一点，在形内作射线AL ，BM ，CN ，使得∠CAL ＝∠PAB ，∠MBC ＝∠PBA ，∠NCA ＝∠BCP ，求证：AL 、BM 、CN 三线共点。
证明：设AL 交BC 于L ，BM 交CA 于M ，CN 交AB 于N ，则由正弦定理得：CAL AC BAL AB LC BL ∠∠=sin sin PABAC PACAB ∠∠=sin sinPBC AB PBA BC MA CM ∠∠=sin sin ，PCABC PCBAC NB AN ∠∠=sin sin 将上述三式相乘得：HKQ PD CB AA CB Y XZ M N L EDF G H1sin sin sin sin sin sin =⋅⋅=∠⋅∠⋅∠∠⋅∠⋅∠=⋅⋅PC PB PB PA PA PC PCA PBC PAB PCB PBA PAC NB AN MA CM LC BL 由塞瓦定理逆定理知：AL 、BM 、CN 三线共点。
4.圆心为O 的一个圆经过△ABC 的顶点A 和C ，并与AB ，BC 分别交于不同的两点K 、N ，△ABC 的外接圆和△KBN 的外接圆相交于两个不同的点B 、M ，求证：∠OMB 是直角。
（26届IMO 试题）证明：如图，设AC 与KN 相交于点P ，连结PB 与弧BNK 相交于点M ’， 则由圆幂定理知：PA PC ⋅=PK PN ⋅=PB PM ⋅'又PA PC ⋅=PB PM ⋅ 所以PB PM ⋅'=PB PM ⋅ 从而知点M 与M ’重合。
因为A ，K ，N ，C 四点共圆，所以∠BNK =∠A 又∠BNK =∠BMK ， 所以∠BMK =∠A又由外心的性质可知：∠A+∠KCO=090 下证：∠KCO=∠KMO 又∠BMN =∠AKN =∠NCP 所以M ，N ，C ，P 四点公圆又∠CMK =∠KMN+∠NMC=∠KBN+∠NPC=0360-2∠A-∠ACB-∠AKN=0180-2∠A=0180-∠KOC所以K ，O ，C ，M 四点共圆，从而结论成立。
5．锐角△ABC ，H 为自A 向边BC 所引高的垂足，以AH 为直径的圆分别交边AB ，AC 于M ，N （不同于A ），过点A 作直线L A 垂直于MN ，类似地作出L B ，L C ，求证：L A ，L B ，L C 三线共点。
证明：连结HN ，则HN ⊥AC ，过点B 作BG ⊥AB ，交L A 于G 由AG ⊥MN ，因为∠AMN=∠AHN=∠C 所以∠BAG=090-∠AMN=090-∠C=∠HAC 又∠ABG=090=∠AHC所以ABG ∆∽AHC ∆⇒∠AGB=∠ACB ⇒A ，B ，G ，C 四点共圆， 即点G 在△ABC 的外接圆上。
因为∠ABG=090，故AG 是△ABC 外接圆的直径，就是说L A 经过△ABC 的外心A同理可证：L B ，L C 经过△ABC 的外心。
故结论成立。
6．如图，△ABC 为锐角三角形，且BC>AC ，O 是它的外心，H 是它的垂心，F 是高CH 的垂足，过F 作OF 的垂线交边CA 于P ，证明：∠FHP=∠BAC证明：延长CF 交圆O 于D ，连结BD ，BH ，由垂心性质可知F 为HD 的中点。
设FP 所在直线交圆O 于M ，N ，交BD 于点T ，由OF ⊥MN ，知F 为MN 中点，由蝴蝶定理知：F 为PT 中点；又F 为HD 中点，故HP//TD ，于是∠FHP=∠BDC=∠BAC 7．如图，在⊿ABC 中，AB≠AC ，I 是它的内心，过I 作一圆与边AB 切于B ，与直线AC 交于D 、E ，求证：IC 平分∠DIE.【分析】I 是⊿ABC 的内心→∠ICD=∠ICB ，要证∠CID=∠CIE ，只需证∠IDC=∠IFC ，即证∠IDA=∠B 、I 、D 、E 共圆→∠IDA=∠IBE ， AB 是圆的切线→∠IBA=∠IEB ， I 是⊿ABC 的内心→∠IBA=∠IBF ，∴∠IEB=∠IBF ，∴∠IFB=∠IBE=∠IDA ，得证.8．M 是△ABC 边AB 上的任意一点.r 1，r 2，r 分别是△AMC ，△BMC ，△ABC 内切圆的半径，q 1，q 2，q 分别是上述三角形在∠ACB 内部的旁切圆半径.证明：11q r ·22q r =qr.(IMO -12) 分析：对任意△A ′B ′C ′，由正弦定理可知OD =OA ′·2'sin A=A ′B ′·'''sin 2'sinB O A B ∠·2'sin A =A ′B ′·2''sin2'sin2'sin B A B A +⋅， A ...'B 'C 'OO 'EDO ′E = A ′B ′·2''sin2'cos 2'cosB A B A + ∴2'2''B tg A tg E O OD =. 亦即有11q r ·22q r =2222B tg CNB tg CMA tg A tg ∠∠=22B tg A tg =qr . 9.如图，从半圆上的一点C 向直径AB 引垂线，设垂足为D ，作⊙O 1切︿BC ，CD ，DB 分别于点E ，F ，G ，求证：AC=AGB证明：设半圆的圆心为O ，则O ，O 1，E 共线，连O 1F ，知O 1F ⊥CD ，得O 1F//AB ，连结EF ，AE ，由∠FEO 1=21∠FO 1O=21∠EOB=∠OEA ，知E ，F ，A 三点共线。
又因为∠ACB=090，CD ⊥AB ，有∠ACF=∠ABC=∠AEC ，从而AC 是⊙CEF 的切线，故点A 对⊙CEF 的幂AC 2等于点A 对⊙O 1的幂AG 2，即有AC=AGB10.如图，PAB 、PCD 为圆O 割线，AD 交BC 于E ，AC 交BD 于F ，则EF 为P 的极线。
（1997年CMO 试题等价表述）证法一：作AEB 外接圆交PE 于M ，则PE*PM=PA*PB=PC*PD ，故CDME 共圆（其实P 为三圆根心且M 为PAECBD 密克点），从而∠BMD=∠BAE+∠BCD=∠BOD ， BOMD 共圆。
∠OMT=∠OMB+∠BMT=∠ODB+∠BAE=90°故M 为ST 中点，PS*PT= PA*PB=PE*PM ，由定理2（3）知E 在P 极线上，同理F 亦然，故EF 为P 的极线。
证法二：如图，设PS 、PT 为圆O 切线。
在△ABT 中，可以得到**AU BV TWUB VT WA =sin sin sin sin sin sin AS AST BD BDA TC TCB BS BST DT TDA AC ACB ∠∠∠⋅⋅=∠∠∠1AS BD TC PS PB PC BS AC DT PB PC PT⋅⋅=⋅⋅=由塞瓦定理逆定理知ST 、AD 、BC 三线共点于E ，同理F 亦然，故EF 为P 的极线。
至此，点P 在圆O 外时，我们得到了P 点极线的四种常见的等价定义： 1、过P 反演点做的OP 的垂线。
2、过P 任意作割线PAB ，AB 上与PAB 构成调和点列的点的轨迹所在的直线。
3、P 对圆O 的切点弦。
4、过P 任意做两条割线PAB 、PCD ，AD 、BC 交点与AC 、BD 交点的连线。
(注：切线为割线特殊情形，故 3、4是统一的)11. △ABC 内切圆I 分别切BC 、AB 于D 、F ，AD 、CF 分别交I 于G 、H 。
求证：3DF GHFG DH⨯=⨯(2010年东南数学奥林匹克)证明：如图，由定理13知GFDE 为调和四边形，据托勒密定理有GD*EF=2FG*DE ，同理HF*DE=2DH*EF 相乘得 GD*FH= 4DH*FG 又由托勒密定理GD*FH= DH*FG+FD*GH ，代入即得 3DF GHFG DH⨯=⨯12.已知：如图，△ABC 内切圆切BC 于D ，AD 交圆于E ，作CF=CD ，CF 交BE 于G 。