东南大学2014学年工科数学分析(期中)考试卷
东南大学2014学年工科数学分析(期中)考试卷
共 4 页 第 1 页东南大学2014学年工科数学分析（期中）考试卷课程名称 工科数学分析（期中） 考试学期 09-10-3 得分适用专业 选学工科数分的各专业考试形式闭卷考试时间长度 120分钟一．填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分）1．由方程sin()0xyz z π+=确定的隐函数(,)z z x y =在点(1,0,1)处的全微分d z = ； 2．设ln 1i 3z π=+，则Re z = ，Im z = ；3．曲线t z t y t x =-==,cos 1,sin 在点1,1,2π⎛⎫⎪⎝⎭处的法平面方程为 ；4．设曲线C 为球面2222(0)x y z a a ++=>与平面y x =的交线，则曲线积分()222d Cy z z s ++⎰的值等于 ；5．设曲面:1S x y z ++=，则()d Sx y S +=⎰⎰ ．二．单项选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分）6．已知曲面224z x y =--上点P 处的切平面平行于平面2210x y z ++-=，则点P 为 [ ] (A) (1,1,2)- (B) (1,1,2)- (C) (1,1,2) (D) (1,1,2)-- 7．设函数(,)f x y 连续,则二次积分1sin 2d (,)d xx f x y y ππ⎰⎰等于 [ ]（A ）10arcsin d (,)d yy f x y x ππ+⎰⎰ （B ）10arcsin d (,)d yy f x y x ππ-⎰⎰（C ）1arctan 02d (,)d yy f x y x ππ+⎰⎰ （D ）1arctan 02d (,)d yy f x y x ππ-⎰⎰8.设L 是摆线sin 1cos x t ty t =-⎧⎨=-⎩上从0t =到t π=的弧段，则L 的形心的横坐标为 [ ]共 4 页 第 2 页(A)1 (B)43 (C) 34 (D)2π 9．设函数2222222,0(,)0,0x y x y f x y x y x y ⎧+≠⎪=+⎨⎪+=⎩，则(,)f x y 在点(0,0)O 处 [ ](A) 不存在极限 (B) 不连续(C) 可微 (D) 沿所有方向的方向导数都存在 三.计算下列各题(本题共5小题，每小题8分，满分40分)10．设2(2,)z f x y xy =-，其中f 具有二阶连续偏导数，求2zx y∂∂∂.11．计算二重积分(321)d Dx y σ-+⎰⎰，其中{}22(,)221D x y x y x y =+≤+-.12．设调和函数(,)ecos()x yu x y x y y -=++,求(,)u x y 的共轭调和函数(,)v x y ，并求解析函数()(,)i (,)f z u x y v x y =+表达式(自变量单独用z 表示)，且满足(0)1i f =+.共 4 页 第 3 页13．计算d SI z S =⎰⎰，其中S是锥面z =被柱面22z x =所截下的有限部分.14．计算2d d d d Sx y z z x y ∧+∧⎰⎰，其中S为z =与1z =所围成的立体的表面，取外侧.四（15）（本题满分8分）求()esin ()d (e cos )d xx LI y b x y x y ax y =-++-⎰，其中,a b均为正常数，L 为从点(2,0)A a沿曲线y =(0,0)O 的弧.共 4 页 第 4 页五（16）（本题满分10分）平面1x y z ++=被抛物面22z x y =+截得一椭圆， （1）求该椭圆到坐标原点的最长距离和最短距离；（2）求该椭圆所围平面区域的面积.六（17）（本题满分6分）设(,)y f x y 在点00(,)x y 的某邻域内存在且在点00(,)x y 处连续，又00(,)x f x y 存在，证明：(,)f x y 在点00(,)x y 处可微.。
2004工科数分期末试卷(上)(A)
共4页 第1页东 南 大 学 考 试 卷（A 卷）课程名称 工科数学分析 考试学期 04－05－2（期末） 得分适用专业 上课各专业 考试形式 闭考试时间长度 150分钟一．填空题（每小题4分，共20分） 1．设121-=x y ，则)10(y （1）＝ 。
2．设⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+x t dt du u 0sin 141，则='')0(f 。
3．设⎰>+=x xx dt tx f 23)0(11)(,则当=x 时,)(x f 取得最大值。
4．设)(x f 满足1)(1)(-=+'x f xx f ，则)(x f ＝ 。
5．已知)(x F 是)(x f 的一个原函数，且21)()(x x xF x f +=，则=)(x f 。
二．选择题（每小题4分，共16分）1．设,sin )(3xxx x f π-=则)(x f [ ] (A)有无穷多个第一类间断点 (B)只有一个可去间断点 (C )有两个跳跃间断点 ( D)有三个可去间断点2．设当0x x →时，)(),(x x βα都是无穷小量（0)(≠x β），则当0x x →时，下列 表达式不一定是无穷小量的是 [ ](A))()(2x x βα (B)xx x 1sin )()(22βα+ (C)))()(1ln(x x βα+ (D)|)(||)(|x x βα+3．下列反常积分发散的是 [ ] (A)⎰-11sin 1dx x(B)⎰--11211dx x (C)⎰∞+-02dx e x (D) ⎰∞+22ln 1dx x x共4页 第2页4.下列结论正确的是 [ ] (A) 若],[],[d c b a ⊇,则必有⎰⎰≥badcdx x f dx x f )()((B) 若|)(|x f 在区间],[b a 上可积,则)(x f 在区间],[b a 上可积 (C)若)(x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有⎰⎰+=TTa adx x f dx x f 0)()((D)若)(x f 在区间],[b a 上可积,则)(x f 在),(b a 内必定有原函数. 三．（每小题7分，共35分） 1． 设)(x y y =满足222=-+xyye y x ,求曲线)(x y y =在点)2,0(处的切线方程.2． 计算积分⎰-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++116|)2ln(|1sin dx x x x3．计算积分⎰-dx x x 2224.计算反常积分⎰∞+13arctan dx x x共4页 第3页5.设⎰-=221)(x t dt e x f ,求⎰1)(dx x xf .四.(7分) 求微分方程初值问题⎪⎩⎪⎨⎧-='=+=+''21)0(,1)0(sin y y x x y y 的解.五.(8分)在区间],1[e 上求一点ξ,使得图中所示阴影部分绕x 轴旋转所得旋转体的体积最小。
东南大学高等数学期中期末试卷
共19 页第1 页共 19 页 第 2 页4. 下列结论正确的是 [ ] (A) 若[][]b a d c ,,⊆,则必有()()⎰⎰≤bad cx x f x x f d d .(B) 若()x f 在区间[]b a ,上可积,则()x f 在区间[]b a ,上可积. (C) 若()x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有()()⎰⎰+=TTa ax x f x x f 0d d .(D) 若()x f 在区间[]b a ,上可积,则()x f 在[]b a ,内必有原函数. 三. (每小题7分,共35分)1. ()()3020d cos ln lim x tt t xx ⎰+→. 2. 判断级数∑∞=-1354n n n n的敛散性. 3. x x x x d cos cos 042⎰-π. 4. ⎰∞+13d arctan x xx . 5. 求初值问题 ()()⎪⎩⎪⎨⎧-='=+=+''210,10sin y y xx y y 的解.四.(8分) 在区间[]e ,1上求一点ξ,使得图中所示阴影部分绕x 轴旋转所得旋转体的体积最小五.(7分) 设 b a <<0,求证 ()ba ab a b +->2ln. 六.(7分) 设当1->x 时,可微函数()x f 满足条件()()()0d 110=+-+'⎰xt t f x x f x f且()10=f ,试证:当0≥x 时,有 ()1e≤≤-x f x成立.七.(7分) 设()x f 在区间[]1,1-上连续,且()()0d tan d 1111==⎰⎰--x x x f x x f ,证明在区间()1,1-内至少存在互异的两点21,ξξ,使()()021==ξξf f .xln共 19 页 第 3 页04-05-2高等数学(非电)期末试卷答案及评分标准 05.1.14一. 填空题(每小题4分,共20分) 1. 0,一; 2.21x Cx +; 3. 1e 4-; 4. 1; 5. 343. 二. 单项选择题(每小题4分,共16分) 1. A; 2.B; 3. D; 4.C. 三. (每小题7分,共35分) 1. 原式=()分分分261)2(1cos lim 3131)3(3cos ln lim 20220 =-+=+→→x x x x x x x2. 分515453153154lim 354354lim lim11111 <=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=--=+∞→+++∞→+∞→n nn nn n n n n n nn n a a由比值法知原级数收敛. 分23. 原式 =()()分分分222d cos sin 3d cos sin 220πππππ==⎰⎰x x x x x x4. 原式()分31d arctan 2112212⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=⎰∞+∞+x x x x x=()分分2212d 111218122 =⎪⎭⎫⎝⎛+-+⎰∞+x x xπ5. 对应的齐次方程的通解为 分2sin cos 21 xC x C y +=非齐次方程x y y =+''的一个特解为()分11 x y =,非齐次方程x y y sin =+''的一个特解为()分1cos 22 x x y -=,原方程的通解为 x xx x C x C y cos 2sin cos 21-++=)1(分 ,利用初值条件可求得 1,121-==C C , 原问题的解为分2cos 2sin cos xxx x x y -+-=共 19 页 第 4 页四.(8分)()()()()()()()()()[]()()()()()0e),1(e2,01ln 223ln 4ln 2e 2ln 2ln 2ln 2ln 2)d ln 1(2d ln 212122e212e212>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''==-='-+-=-++--+-=-+=⎰⎰V t t t V t t t t t txx x x x x x x x x x x x x t V tttt 且分得分令分分 πππππ因此21e=t 是()t V 在[]e ,1上的唯一的极小值点,再由问题的实际意义知必存在最小体积,故21e=ξ是最小值点.分1五.(7分) 设t a b =,原不等式等价于()1,112ln >+->t t t t , 即等价于 ()()()分31,012ln 1 >>--+=t t t t t f()()()分101,11ln ,01 ='-+='=f tt t f f()1,0112≥≥-=''t t t t f ,且等号当且仅当1=t 时成立 分1因此()t f '单增,()()1,01>='>'t f t f 从而()t f 单增,()()1,01>=>t f t f ,原不等式得证.分2六.(7分)由题设知()10-='f , 分1 所给方程可变形()()()()()⎰=-++'+xt t f x f x x f x 00d 11两端对x 求导并整理得 ()()()()分1021 ='++''+x f x x f x这是一个可降阶的二阶微分方程,可用分离变量法求得 ()分21e xC x f x+='-由于()10-='f ,得()()x f xx f C x,01e ,1<+-='-=-单减,而(),10=f 所以当0≥x 时,())1(1分 ≤x f ,对()01e <+-='-xx f x在[]x ,0上进行积分共 19 页 第 5 页()()分2e d e 1d 1e 00-0 xx t xtt t t f x f --=-≥+-=⎰⎰七.(7分) 记()()⎰-=xt t f x F 1d ,则()x F 在[]1,1-上可导,且()()分2011 ==-F F若()x F 在()1,1-内无零点,不妨设()()1,1,0-∈>x x F()()()()0d sec d sec tan )(d tan d tan 0112112111111<-=-===⎰⎰⎰⎰-----x x x F x x x F x x F x F x x x x f 此矛盾说明()x F 在()1,1-内至少存在一个零点分2,0 x对()x F 在[][]1,,,100x x -上分别使用Rolle 定理知存在()()1,,,10201x x ∈-∈ξξ,使得()(),021='='ξξF F 即 ()()分3021 ==ξξf f共 19 页 第 6 页东 南 大 学 考 试 卷（A 卷）课程名称 工科数学分析 考试学期 04－05－2（期末） 得分适用专业 上课各专业 考试形式闭 考试时间长度 150分钟4.下列结论正确的是 [ ]3．下列反常积分发散的是 [ ](A)⎰-11sin 1dx x (B)⎰--11211dx x(C)⎰∞+-02dx e x (D) ⎰∞+22ln 1dx x x共 19 页 第 7 页(A) 若],[],[d c b a ⊇,则必有⎰⎰≥badcdx x f dx x f )()((B) 若|)(|x f 在区间],[b a 上可积,则)(x f 在区间],[b a 上可积 (C)若)(x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有⎰⎰+=TTa adx x f dx x f 0)()((D)若)(x f 在区间],[b a 上可积,则)(x f 在),(b a 内必定有原函数. 三．（每小题7分，共35分） 1． 设)(x y y =满足222=-+xyye y x ,求曲线)(x y y =在点)2,0(处的切线方程.2． 计算积分⎰-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++116|)2ln(|1sin dx x x x 3．计算积分⎰-dx xx 222 4.计算反常积分⎰∞+13arctan dx x x5.设⎰-=221)(x t dt e x f ,求⎰10)(dx x xf .四.(7分) 求微分方程初值问题⎪⎩⎪⎨⎧-='=+=+''21)0(,1)0(sin y y x x y y 的解.五.(8分)在区间],1[e 上求一点ξ,使得图中所示阴影部分 绕x 轴旋转所得旋转体的体积最小。
东南大学附中2014届高考数学一轮单元复习练习直线与圆含答案
东南大学附中2014三维设计高考数学一轮单元复习精品练习：直线与圆本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．由圆x 2+y 2=4外一动点P 向该圆引两条切线PA 和PB ，若保持∠APB=60°，则点P 的轨迹方程为（ ）A ． x 2+y 2=8B ． x 2+y 2=16C ． x 2+y 2=32D ． x 2+y 2=64 【答案】B2．直线0Ax By +=，若从0,1,2,3,5,7这六个数字中每次取两个不同的数作为A,B 的值，则表示成不同直线的条数是( ) A ．2 B ．12C ．22D ．25【答案】C 3．由直线1y x =+上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为( )A ．1BC ．D ．3【答案】B4．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线034=-y x 和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A ． 1)37()3(22=-+-y x B ．1)1()2(22=-+-y x C ． 1)3()1(22=-+-y x D ．1)1()23(22=-+-y x 【答案】B5．下列四个命题中，正确命题有( )①直线方程的一般式为Ax + By + C = 0 ②k 1·k 2 = –1为两直线垂直的充要条件③k 1 = k 2为两直线平行的必要非充分条件 ④l ：A 1x + B 1y + C 1 = 0和l 2：A 2x + B 2y + C 2 = 0，（B 1≠0，B 2≠0，A 1A 2 + B 1B 2≠0），则直线l 1到l 2的角θ的正切值为21211221tan B B A A B A B A +-=θA ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】B6．圆22:420C x y x y +-+=关于直线1y x =+对称的圆的方程是( )A ． 22(1)(2)5x y ++-= B ． 22(4)(1)5x y ++-= C ． 22(2)(3)5x y ++-= D ． 22(2)(3)5x y -++=【答案】B7．若圆221x y +=与直线340x y m -+=相切，则m 的值等于( )A ．5B ．5-C ．5或5-D ．15或15- 【答案】C 8．已知两点()()7,4,5,6AB --，则线段AB 的垂直平分线的方程为( )A ．56110x y ++=B ．6510x y --=C ．56110x y +-=D ．6510x y -+=【答案】B 9．直线3x +2y= 1的倾斜角是( ) A ．arctan 23B ．arctan ( –23) C ．π + arctan 23D ．π + arctan ( –23) 【答案】D10．设圆222)5()3(r y x =+++上有且只有两点到直线234=-y x 的距离等于1，则圆的半径r 的取值范围为( ) A ．561<<r B ．54>r C ．5654<<r D ．1>r【答案】C11．圆122=+y x 上的点到直线02543=-+y x 的距离的最小值为( )A ．6B ．2C ．3D ．4【答案】D12．在平面直角坐标系xOy 中，直线3x+4y-5=0与圆2x +2y =4相交于A 、B 两点，则弦AB 的长等于( )A ．B ．C ．D ． 1【答案】C第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．若三条直线1l ：032=-+y x ，2l ：023=+-y x 和3l ：0=+y ax 不能构成三角形，则a 的值为【答案】13a =-或2a =或3a =-14．在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥+a x y x y x 040，（a 为常数）表示的平面区域的面积是9，那么a 的值为____________. 【答案】115．若方程02222=++-y x my x 表示两条直线，则m 的取值是 ． 【答案】116．过原点O 作圆x 2+y 2-－6x －8y ＋20=0的两条切线，设切点分别为P 、Q ，则线段PQ 的长为 。
东南大学高数(B)06-07-3期中试卷参考答案及评分标准
高等数学（B ）06-07-3期中试卷参考答案及评分标准一．填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分） 1．设(),2,3,2,,3π=+=-===a m n b m n m n m n ，则以,a b 为边的三角形的面22．幂级数(1)nn n a x ∞=-∑在1x =-处条件收敛，幂级数11(1)n nn na x ∞-=-∑的收敛半径2R =；3．曲线25240x y z ⎧-=⎨=⎩绕y 轴旋转一周所生成的旋转曲面的方程为225254x y z -+=；4．设空间两直线11112x y z λ-+-==与117x y z +=-=-相交，则3λ=； 5．幂级数13ln(1)n n n x n ∞=+∑的收敛域为11,33⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.二．单项选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分） 6．下列反常积分中收敛的是 [C ]（A ）+2d ln x x x ∞⎰（B ）1502arctan d x x x ⎰（C）+1∞⎰（D ）21d ln x x ⎰. 7．级数1sin (0)n k n k n ππ∞=⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭∑ [B ]（A ）发散（B ）条件收敛（C ）绝对收敛 （D ）敛散性与有关.8．设011,02(),()cos ,1222,12n n x x a f x S x a n x x x x π∞=⎧≤≤⎪⎪==+-∞<<+∞⎨⎪-<<⎪⎩∑,其中 102()cos d (0,1,2,)n a f x n x x n π==⎰，则52S ⎛⎫-= ⎪⎝⎭[C ]（A ）12 （B ）12- （C ）34 （D ）34- 9.函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 , 0 0 ,),(2222242y x y x y x yx y x f 在)0 ,0(点处[ C ]（A ）连续且偏导数存在（B ）连续但偏导数不存在（C ）不连续但偏导数存在（D ）不连续且偏导数不存在 三.计算下列各题(本题共5小题，每小题8分，满分40分) 10．求过点()1,2,3A -，垂直于直线5220:320x y L x z --=⎧⎨-+=⎩且平行于平面:789100x y z ∏+++=的直线方程.解L 的方向向量{}2,5,6=a ，∏的法向量{}7,8,9=n ，所求直线的方向向量{}3,24,19⨯=--a n ，所求直线的方程：12332419x y z +--==-- 11.设平面∏经过原点及点()6,3,2A -，且与平面1:428x y z ∏-+=垂直，求∏的方程. 解设∏的方程：0Ax By Cz ++=，由题设条件得6320420A B C A B C -+=⎧⎨-+=⎩，解得3,2A B C B ==-，取2B =得∏的方程：2230x y z +-= 12．设),(),,(y x g y x f 有连续的二阶偏导数，令2()(,(,))x f x g x x ϕ=，求22d d xϕ.解1212d (2)d f f g xg xϕ=+⋅+ 2221112122212211122222d 2(2)(2)(442)d f f g xg f g xg f g xg x g g xϕ=+⋅++⋅++⋅+++ 13.将()2322x f x x x-=-展成1x -的幂级数，并写出收敛域.解1212()21(1)1(1)f x x x x x =+=--+---()0(1)2(1)n n n x ∞==---∑(0,2)x ∈14．求级数2111nn x∞=+∑的收敛域.解记21()1n n u x x =+，当1x ≤时，lim ()0n n u x →∞≠，级数2111n n x ∞=+∑发散； 当1x >时，2211()1n n nu x x x ⎛⎫=≤ ⎪+⎝⎭，而级数211nn x ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑收敛，由比较判别法得知级数2111nn x∞=+∑收敛.收敛域为(,1)(1,)-∞-+∞四（15）．（本题满分8分）将()(0)2xf x x ππ-=≤≤展成正弦级数.解首先对()f x 在0x π-≤<上作奇延拓,再以2π为周期作周期延拓,得0(0,1,2,)n a n ==,021sin d (1,2,)2n xb nx x n nπππ-===⎰， 11()sin (0)2n xf x nx x nππ∞=-==<≤∑ 五（16）.（本题满分8分）求数项级数11(1)1(21)3nn n n n -∞=-⎛⎫⎪-⎝⎭∑的和.解设121(1)()(21)n nn S x x n n -∞=-=-∑，其收敛域为[1,1]-，()12212()21n n S x x x ∞-=''=-=+∑, (1,1)x ∈-,(0)(0)0S S '==，()2arctan S x x'=，()2()2arctan ln 1S x x x x =-+11(1)14ln (21)33nn n S n n -∞=-⎛⎫== ⎪-⎝⎭∑ 六（17）.（本题满分8分）设级数1n ∞=∑，其中常数0a >，且1a ≠，讨论当a 满足什么条件时，该级数收敛；当a 满足什么条件时，该级数发散？解1ln 22221111111e 1ln ln 228a nn u a a o n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-+=-+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（1）当1l n02a -≠时，即a ≠11ln ()2a n n ⎛⎫-→∞ ⎪⎝⎭，当1l n 02a ->时，为正项级数，当1ln 02a -<时，为负项级数，由11n n ∞=∑发散，得级数1n ∞=∑发散；（2）当1ln02a -=时，即a =22111ln ()28a n n ⎛⎫+→∞ ⎪⎝⎭，由211n n ∞=∑收敛，得级数1n ∞=∑收敛。
工科数学分析学期期中考试卷(附解答) (2)
sin2xdx y⎰2分()2212124046271221171104612r zdv d rdr zdz d rr r dr ππθθππΩ==--⎛⎫=--=⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰分分5. 设()()+f x ∞∞在－，内有连续导数，L 是从点233A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，到点()12B ，的直线段，计算曲线积分()()2221+1L y f xy x I dx y f xy dy y y⎡⎤=+-⎣⎦⎰。
解：()()()()22221+,11,D D y f xy x P Q y f xy D y y Q Pf xy xyf xy x y y⎡⎤==-⎣⎦∂∂'=+-=∂∂选为第一象限区域，则是单连通的，在内有一阶连续偏导，且从而积分与路径无关，4分 法一：22:,:2,3L x y y =选 6分则()()2222331+222228410y f I dy f dyy y yy ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⋅-+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦=-⎰分分法二：记213C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则()()()()()2222221222331+1+116421+193823410AC CB y f xy y f xy x x I dx y f xy dy dx y f xy dy y y y y f x dx f y dxy ⎡⎤⎡⎤=+-++-⎣⎦⎣⎦⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭+- ⎪⎝⎭=-⎰⎰⎰⎰分＝分分6. 设∑是锥面z =被平面0z =及1z =所截部分的下侧，计算第二类曲面积分2d d d d (2)d d I x y z y z x z z x y ∑=++-⎰⎰解： 法一：221111,z x y ∑=+≤∑∑Ω补：，取上侧，记与围成区域为， 单独 2分1112222222+11d d d d (2)d d d d d d (2)d d 22d d 52+93+1022x y z x y I x y z y z x zz x y x y z y z x z z x yzdv x y zdzdxdy dxdy πππ∑∑∑Ω∑+≤+≤=++-++-==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-分＝－－分分＝分法二：221111,z x y ∑=+≤∑∑Ω补：，取上侧，记与围成区域为， 单独 2分1112222+1224cos 01d d d d (2)d d d d d d (2)d d 22d d 5cos sin +93+1022x y I x y z y z x z z x y x y z y z x z z x yzdv x yd d r r dr dxdy ππϕθϕϕϕπππ∑∑∑Ω∑+≤=++-++-=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-分＝－－分分＝分法三： 221111,z x y ∑=+≤∑∑Ω补：，取上侧，记与围成区域为， 2分利用Gauss 公式得到12222+10d d d d (2)d d 252782x y z x y z y z x z z x y zdvzdzdxdy π∑∑Ω+≤++-==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰＝分分分又122121d d d d (2)d d d d 2x y x y z y z x zz x yx y dxdy π∑∑+≤++-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰－＝－＝－单独分所以1122+d d d d (2)d d d d d d (2)d d 3102I x y z y z x zz x y x y z y z x z z x yπ∑∑∑=++-++-⎰⎰⎰⎰－＝分三、证明题（每小题15分，共30分）7. 设函数()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,222222y x y x yx xy y x f证明：1）(),f x y 在点()0,0处偏导数存在 2）(),f x y 在点()0,0处不可微证明：1）因为()()()00,00,0000,0limlim 0x x x f x f f xx ∆→∆→∆--===∆∆ ()()()000,0,0000,0lim lim 0y y y f y f f yy ∆→∆→∆--===∆∆所以(),f x y 在点()0,0处偏导数存在 4分 2）因为()()22000,00,0limlimx x y y z f x f yx yx y ∆→∆→∆→∆→∆-∆-∆∆∆=∆+∆当取y k x ∆=∆时()()222222000limlim 11x x y x yk k k k x y ∆→∆→∆→∆∆==++∆+∆ 随k 之不同极限值也不同，即0,00,0lim0x y z f x f y∆→∆→∆-∆-∆≠所以此函数在()0,0处不可微。
东南大学《高等数学》2008-2009学年期中试卷A卷
东南大学考试卷课程名称高等数学（A）期中考试学期 08 - 09 - 3 得分适用专业选学高数（A）的各专业考试形式闭卷考试时间长度120 分钟54200 y 2 4 4 y1．交换积分次序- 2 dyf(x, y)dxdyf(x, y)dx ；2设e z 1 i 0 ，则Re z Im z ；3设z z ( x , y ) 是由方程y z xf ( y2 z2 ) 所确定的隐函数，其中f可微，则全微分dz ；4设C为由x y与x轴, y轴围成的三角形的边界, e x y d s；C5设f ( x , y ) 连续，D ( x , y ) 0 x 1, 0 y x2 ，且f(x ,y ) y f(y, d y d 则Df(x,y)dxdy 。
．D4416xy6函数f ( x , y ) x2 y2 , ( x , y ) ( 0 , 0 )在点( 0 , 0 ) 处0 , ( x , y ) ( 0 , 0 )(A)连续且偏导数存在(B) 连续但偏导数不存在(C)不连续但偏导数存在(D) 不连续且偏导数不存在7设D ( x , y ) x2 y2 1 , D1为D在第一象限部分,则下列各式中不成立的是（A） d x d y 4 d x d yD D1 （B）xy d x d y 4 xy d x d yD D1（C）( x x3 y2 ) d x d y 0 D （D）x2 y3 d x d y x3 y2 d x d yD D8设f ( t ) C [ 0 , ) , I ( R ) f ( x2 y2 z2 ) d v,则当R 0 时, I ( R )2 2 2 2x y z R（A）是R的一阶无穷小（C）是R的三阶无穷小（B）是R的二阶无穷小（D）至少是R的三阶无穷小9．设f ( x , y ) 在原点的某邻域内连续，且lim a 0 ，则x 0 x 1 x s in y c o s yy0（A）f ( x , y ) 在原点处取得极大值（B）f ( x , y ) 在原点处取得极小值（C）不能断定f ( x , y ) 在原点处是否取得极值（D）原点一定不是f ( x , y ) 的极值点(5840)10计算二重积分 d ，其中D ( x , y ) x 2 y2 1 , x y 1 .x yD11计算曲面积分( z y ) d A，其中是由z 0 , z 1 与z2 1 x2 y2 所围成的立体的表面.12求，其中为圆柱体y2 z2 R2 ，x R ( R 0 ) 的表面，x y z取外侧.13求由曲面x2 z 1 , y2 z 1 和z 0 所围成的质量均匀分布的立体的质心坐标.14已知解析函数f ( z ) 的实部u ( x , y ) 2 xy ,求f ( z ) 的表达式（用变量z 表示）和f ( i ) ．158求函数u x2 2 y2 3 z2 在球面x2 y2 z2 1 和平面x y 0 的交线上的最大值与最小值.x y 2 0168试求过直线x 5 y z 3 0面方程.，且与曲面z x2 y2 相切的平2 2178设ab 0 , f ( x , y ) 具有二阶连续偏导数，且a2 b2 0 ,x y2f ( ax , bx ) ax，f x( ax , bx) bx，求fxx ( ax , bx) ，fxy( ax , bx ) ，f yy( ax , bx ) .08-09-3A54202 4 xe( 2 ) 2C5、44 166 、 C7 、 B8 、 D9 、 B .( 5 840 )DdD11 、1 x2 y 22 D : 0z 1( z y ) d A z d A z d A z d A z d A 2 2 ( x2y 2) 1d x d yD53312 、 y 2 z2R21 :x Ry 2z 2R 2取后侧， 2 : 取前侧，x Ry 2 z 2R2x R取外侧， D zx( z , x )z R , x R ，1R y z 2R y z3x R2 2R21 x13 、由对称性知x y 0 ， 质量m 8d x 0(1 x 2) d y 2 ，对xO y 平面的静力矩M xy 81 d x 0xd y01 x2z d z ， z21 、 0 dx x 2f (x , y )dy 2 、R e z ln 2 ，Im z32 k , k 0 , 1, 2 ,d 02dco 1ss in( c o s s in ) d 5f 2 xyf 1d z d x d y1 2 xzf 1 2 xzff ( x , y ) d x d yD x 2 y 22 2 : z 1 x 2y 211 :z 0x 2 y 2 1 z 2 3 : 2 2 23 、 4、 22 1 d0 2 Dzx2 21x d y d z y d z d xe x yd s ， ， ， 10 、x y zz 0 3 :222231R z2 2d z d x x R2 2x y 0 ，用切片法 M xyz 2 d z1 1 214 、v u y x2 y2 y22y2 2( x ) ，v 2 xy( x ) u 2 x 2 xy ，( x ) x2C ，x x2y 2 y x 2 y 2f ( z ) i z2C ， f ( i ) 3因为解析，所以 f ( z ) u x iu y ( 2 y) i ( 2 x )从而 f ( z )i 2 zf ( z ) iz2C8 首先根据条件得u x22 y23 z23 y22 x23 3 x23 ，且在点( 0 , 0 , 1) 处，u m a x3 ，继续由条件得u 3 x 2 z 221 z2 3，且在点 2 2 2,, 0 处， u m i n8 x y 2 0设过直线 的平面方程为(1)x (1 5 ) y z 2 3 0 ，x 5 y z 3 0(1 ) x 0(1 5 ) y 0z 0 2 3 0 (1)设切点为( x 0 , y 0 , z 0 ) ，则 2 x 02 y 0 1( 2 )1 1 52 2z 0x 0y 0 ( 3 )2 21 1 5 (1 ) (1 5 )2 2 4代入（1）得7 28 1 0 ，解得11,2，从而两切平面方程分别为2 x 4 y z 5 0 和8 x 2 y z 1 7 0 。
东南大学附中2014届高考数学一轮单元复习精品练习：数系的扩充与复数的引入 Word版含答案
东南大学附中2014三维设计高考数学一轮单元复习精品练习：数系的扩充与复数的引入 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知i 为虚数单位，=1+2iz i，则复数z 对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 2．若，则复数z 在平面内所对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D3．复数(2m – 3m) + mi ()m ∈R 是纯虚数，则实数m 的值是( )A ．3B ．0C ．0或3D ．0或1或3 【答案】A 4．如果复数21ai i--是实数，（i 为虚数单位，R a ∈），则实数a 的值是( ) A ．-4 B ．2C ．-2D ．4【答案】D5．设z 的共轭复数是z ，若4z z +=，8z z∙=，则zz等于( )A ．iB ．i -C ．1±D ．i ±【答案】D6．设i 是虚数单位，则复数(1－i)2－ii2124-+等于( )A ．0B ．2C ．4iD ．4i -【答案】D7．已知i 是虚数单位，则复数32ii -+的虚部为( ) A ．i B ．i - C ．1-D ． 1【答案】C8．已知i 为虚数单位，则i 1i+所对应的点位于复平面内点( )A ． 第一象限B ． 第二象限C ． 第三象限D ． 第四象限【答案】A9．2(1)i i -=( ) A ．2 B ．-2 C ．2i D ．-2i【答案】A10．下面是关于复数21z i=-+的四个命题：其中的真命题为( ) 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-A ． 23,p p B ． 12,p pC ． ,p p 24D ．,p p 34【答案】C11．若sin 211)i θθ-++是纯虚数（其中i 是虚数单位），且[0,2)θπ∈，则θ的值是( ) A ．4π B ．34π C ．54π D ．4π或54π 【答案】A12．i 是虚数单位，若()(1)12,,,a bi i i a b R a b ++=+∈+则的值是( )A ．12-B ．-2C ．2D ．12【答案】C第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．若复数z =____________【答案】10014．设a 、b ∈R ，“a=O ”是“复数a+bi 是纯虚数”的____________ 【答案】必要不充分条件 15．定义运算a cad bc b d=-，复数z 满足11z i i i=+，则复数z 的模为____________16．已知复数z 满足2230,z z --=则复数z 对应点的轨迹是 ； 【答案】1个圆三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．已知z 为虚数，92z z +-为实数． (1）若2z -为纯虚数，求虚数z ； (2）求|4|z -的取值范围．【答案】（1）设i(,,0)z x y x y y =+∈≠R ，则22i z x y -=-+， 由2z -为纯虚数得2x =，∴2i z y =+，则 9992i 2()i 2i z y y z y y+=++=+-∈-R , 得90y y-=，3y =±， 所以23i z =+或23i z =-. (2）∵2222999(2)9i []i 2i 2(2)(2)x y z x y x y z x y x y x y-+=++=++-∈-+--+-+R , ∴2290(2)yy x y-=-+， 0y ≠,∴22(2)9x y -+=， 由2(2)9x -<得(1,5)x ∈-,∴|4||i 4|z x y -=+-==(1,5)=.18．已知ai +2，i b +（其中R b a ∈,）是实系数一元二次方程02=++q px x 的两个根. (1）求a ，b ，p ，q 的值；(2）计算：qip bia ++.【答案】（1）2=b ，1-=a ；4-=p ，5=q . (2）413142516)54)(21(5421ii i i i -=+--+-=+-+-. 19．已知复数i z 21-=（i 为虚数单位）(Ⅰ）把复数z 的共轭复数记作z ，若i z z 341+=⋅，求复数1z ；(Ⅱ）已知z 是关于x 的方程022=++q px x 的一个根，求实数p ，q 的值。
东南大学《高等数学》2011-2012学年第二学期期末试卷B卷
东 南 大 学成 贤 学 院考试卷 （A 卷）课程名称 高等数学B （上） 适 用 专 业 11级工科各专业 考试学期 11 - 12 - 2 考 试 形 式 闭 卷 考 试 时 间 长 度 120 分钟 学 号 姓 名 得 分题 号 一二三四五得 分一、 选择题： （每小题 3 分）1、设 f (x ) = x (x − 1)2 (x − 2)3 ，则 f ′ 0() 等于A 、 − 6B 、 6C 、 8D 、 − 82、曲线 y = ln(x 2 − 1) 是区间(−∞,− 1) 内( )。
A 、单增的凸弧段B 、单增的凹弧段C 、单减的凸弧段D 、单减的凹弧段x →+∞A 、 0B 、C 、 ∞D 、不存在24、下列广义积分收敛的是( )。
C 、dx D 、xdx)。
x = t − 1 5、平面2x − y + z = 3 与直线 y = t + 2 的夹角是(z = 2t − 3π π π 6 4 3二、 填空题： （每小题3分）1、 lim = ( x →a x − a、2)。
2、设 f (x ) = xe − x，则 f(2012)0() = ( )。
3、∫dx = ( )。
π 4、∫−2π(x 2 sin x + cos 5 x )dx = ( )。
25、曲线 绕 z 轴旋转一周所成的旋转面方程是( )。
x = 0三、 计算题： （每小题 7 分）1、计算极限 lim 3 。
2、求 y = x 3 − 3x 2 − 9x +14 的单调区间及极值点。
3、计算不定积分 ∫x sin(3x + 2)dx 。
4、计算定积分∫5、设 f (x ) = 1 (x + 1)2x x≤ 1 > 1 ，求 xf (x − 1)dx 。
- 1 -密 封线自觉遵守考场 纪律如考试作弊 此答 卷无 效D t cos t 2dt 2B 、 A 、A 、B 、C 、arctan x − arctan a πx1 2 x 1 − x 2 z 2 = 5 + y 2x →0 x3、 lim (− x ) = ( )。
东南大学附中2014届高考数学一轮单元复习精品练习：函数概念与基本处等函数I Word版含答案
东南大学附中2014三维设计高考数学一轮单元复习精品练习：函数概念与基本处等函数I 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．给定正数,,,,p q a b c ，其中p q ≠，若,,p a q 是等差数列，,,,p b c q 是等比数列，则一元二次方程220bx ax c -+=( ) A ．无实根 B ．有两个相等实根 C ．有两个同号相异实根 D ．有两个异号实根【答案】C2．不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 对一切R x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ． )2,(-∞B ．[]2,2-C ． ]2,2(-D ．)2,(--∞.【答案】C3．函数f （x ）=lg （x 3－x 2）的定义域是( )A ．（2，+∞）B ．（1，+∞）C ． [1，+∞）D ． [2，+∞）【答案】C4．已知函数f(x)＝ex －1，g(x)＝－x2＋4x －3.若有f(a)＝g(b)，则b 的取值范围为( ) A ．[]2－2，2＋2 B ．()2－2，2＋2 C ．[1,3] D ．(1,3) 【答案】A5．已知0a >，函数2()f x ax bx c =++，若实数0x 满足关于x 的方程02223=+++b ax bx ax ，则下列选项的命题中为假命题的是( )A ．)()(,0x f x f R x ≤∈∃B ．)()(,0x f x f R x ≥∈∃C ．)()(,0x f x f R x ≤∈∀D ．)()(,0x f x f R x ≥∈∀【答案】C 6．函数221()2x x y -=的值域为( )A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．(]0,2 【答案】A7．设b>0,二次函数221y ax bx a =++-的图像为下列之一，则a 的值为( )A ． 1B ．12- C ． 1- D ．12-+ 【答案】C 8．函数)65(log 221+-=x x y 的单调区间为( )A ．⎪⎭⎫⎝⎛+∞,25 B ．()+∞,3C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-25,D ．()2,∞-【答案】B9．在下列区间中，函数()43x f x e x =+-的的零点所在的区间为( )A ．（-14，0） B ．（0，14） C ．（14，12） D ．（12，34） 【答案】C10．下列各式中成立的是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B11．已知22()(1)a x x f x f x ⎧--=⎨-⎩(0)(0)x x <≥且函数()y f x x =-恰有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,)+∞ B ．[1,0)- C ．[1,)-+∞ D ．[2,)-+∞【答案】C12．函数y ＝ln(x ＋1)－x 2－3x ＋4的定义域为( )A ．(－4，－1)B ．(－4,1)C ．(－1,1)D ．(－1,1]【答案】C第Ⅱ卷(非选择题 共90分) 二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．不等式1327x>的解集为 【答案】),3(+∞-14．已知函数()()()210220x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，若()10f x =，则x = ． 【答案】36-或15．若函数()(01)xf x a x a a a =-->≠且有两个零点，则实数a 的取值范围是 .【答案】1a >16．若函数()f x x =()0a >没有零点，则a 的取值范围为____________【答案】()0,1()2,+∞三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．设函数132)(++-=x x x f 的定义域为A ，函数)1()],2)(1lg[()(<---=a x a a x x g 的定义域为B 。
东南大学07-08-2高数(A、B)期中试卷
共2页 第1页07-08-2(A 、B )期中试卷参考答案及评分标准一.填空题（每小题4分，满分24分）1．当n →∞时，111k k n n --与1cos (0)a a n->是等价无穷小，则k =，a =； 2．已知21lim 01x x ax b x →∞⎛⎫+--= ⎪+⎝⎭，则a =，b =； 3．函数1()1x f x x-=+带Peano 余项的4阶Maclaurin 公式是 ；4．()222e sin d d 31x x x π-⎛⎫++= ⎪+⎝⎭；5．当某质点沿曲线y =运动到点0M 处时, 该质点的x 坐标和y 坐标关于时间的变化率相等，点0M 的坐标为；6．函数21()ln f x x x=的单调增加区间为，极大值为. 二.单项选择题（每题4分，满分12分）7．设对x ∀∈R , 有()()()h x f x g x ≤≤, lim[()()]0x g x h x →∞-=, 则lim ()x f x →∞[ ] (A ) 存在且等于零 (B ) 存在且不等于零 (C ) 一定不存在 (D ) 不一定存在8．极限1ln 1lim 2sin x x x x→-∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-+ [ ] (A ) 2- (B ) 2 (C) 3- (D ) 39．函数3()sin f x x x x =-的不可导点的个数为 [ ](A ) 0 (B) 1 (C) 2 (D ) 3三.计算题（每小题8分，满分32分）10．0cos sin ln(1)x x x x →⋅+11. 设32ln(1)x t t y t t=-+⎧⎨=+⎩，求22d d y x .共2页 第2页 12．设()2()sin 2f x x x x =+，求(10)()f x . 13.试确定常数a 、b 的值，使得曲线2y x ax b =++和321y xy =-+在点(1,1)-处相切，并求切线方程.四(14).（8分）讨论2()0)n n f x x +=≥的连续性，并指出间断点的类型（应说明理由）.五(15).（8分）设函数()f x 在(,)-∞+∞上定义，(0)1f '=,并对任意实数x 和h ,恒有()()()2f x h f x f h hx +=++, 证明()f x 在(,)-∞+∞上处处可导,并求()f x '. 六(16). (8分) 设1p >, 1q >, 且111p q +=，证明：当0x >时，11p x x p q+≥. 七(17)．(8分) 设()f x 在闭区间[,]a b 上具有一阶连续导数，在开区间(,)a b 内二阶可导，且()()f a f b =，()()0f a f b +-''>， 试证：至少存在一点(,),a b ξ∈ 使得()0f ξ''=.。
2013-2014年工科数分(1)期末试题A答案
x
x
＋ 1
sin xp
x
(1
1)x x
dx
(
p
0)
收敛。
------------2 分
（1）
当
p
> 1时，|
sin x xp
(1
1)x x
|
e xp
,
-----------2 分
由于
1
e xp
dx 收敛，
所以由比较判别法，
1
|
sin x xp
(1
1 x
)
x
|
dx
收敛，因此当
3
2
x
dx
3
2
t
2tdt
4
1
3
3
t
dt
4t 12ln 3 t C
4 x 12ln 3 x C
建议：根式带换 2 分，剩下计算每行各 1 分。
2、
x
2x2 2 (x2
1 1)
dx
解：
2x2 x2 (x2
11)dx
四、（本题 15 分）
设直线 y = ax 与抛物线 y = x2 所围成的图形面积为 S1，它们与直线 x =1所围成图形的面
积为 S2 , 且 a <1,
（1） 确定 a 的值，使得 S1 + S2 达到最小，并求出最小值；
（2） 求该最小值所对应的平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积.
解：（1）
S1
+
S2
|min
=
1 3
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东南大学2014学年工科数学分析（期中）考试卷
课程名称 工科数学分析（期中） 考试学期 09-10-3 得分
适用专业 选学工科数分的各专业
考试形式
闭卷
考试时间长度 120分钟
一．填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分）
1．由方程sin()0xyz z π+=确定的隐函数(,)z z x y =在点(1,0,1)处的全微分d z = ； 2．设ln 1i 3
z π
=+，则Re z = ，Im z = ；
3．曲线t z t y t x =-==,cos 1,sin 在点1,1,
2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
处的法平面方程为 ；
4．设曲线C 为球面2222(0)x y z a a ++=>与平面y x =的交线，则曲线积分
(
)
222d C
y z z s ++⎰的值等于 ；
5．设曲面:1S x y z ++=，则
()d S
x y S +=⎰⎰ ．
二．单项选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分）
6．已知曲面224z x y =--上点P 处的切平面平行于平面2210x y z ++-=，则点P 为 [ ] (A) (1,1,2)- (B) (1,1,2)- (C) (1,1,2) (D) (1,1,2)-- 7．设函数(,)f x y 连续,则二次积分1sin 2
d (,)d x
x f x y y π
π
⎰⎰
等于 [ ]
（A ）10
arcsin d (,)d y
y f x y x π
π
+⎰⎰ （B ）
1
0arcsin d (,)d y
y f x y x π
π
-⎰⎰
（C ）
1arctan 0
2
d (,)d y
y f x y x ππ
+⎰
⎰ （D ）1arctan 0
2
d (,)d y
y f x y x ππ
-⎰⎰
8.设L 是摆线sin 1cos x t t
y t =-
⎧⎨
=-⎩
上从0t =到t π=的弧段，则L 的形心的横坐标为 [ ]
共 4 页 第 2 页
(A)1 (B)
43 (C) 34 (D)2
π 9．设函数22222
22,0(,)0,0x y x y f x y x y x y ⎧+≠⎪=+⎨⎪+=⎩
，则(,)f x y 在点(0,0)O 处 [ ]
(A) 不存在极限 (B) 不连续
(C) 可微 (D) 沿所有方向的方向导数都存在 三.计算下列各题(本题共5小题，每小题8分，满分40分)
10．设2
(2,)z f x y xy =-，其中f 具有二阶连续偏导数，求2z
x y
∂∂∂.
11．计算二重积分(321)d D
x y σ-+⎰⎰
，其中{}
22
(,)221D x y x y x y =+≤+-.
12．设调和函数(,)e
cos()x y
u x y x y y -=++,求(,)u x y 的共轭调和函数(,)v x y ，并求
解析函数()(,)i (,)f z u x y v x y =+表达式(自变量单独用z 表示)，且满足(0)1i f =+.
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13．计算d S
I z S =⎰⎰，其中S
是锥面z =
被柱面22z x =所截下的有限部分.
14．计算
2
d d d d S
x y z z x y ∧+∧⎰⎰，
其中S
为z =与1z =所围成的立体的表面，
取外侧.
四（15）（本题满分8分）求()e
sin ()d (e cos )d x
x L
I y b x y x y ax y =
-++-⎰，其中,a b
均为正常数，L 为从点(2,0)A a
沿曲线y =(0,0)O 的弧.
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五（16）（本题满分10分）平面1x y z ++=被抛物面22z x y =+截得一椭圆， （1）求该椭圆到坐标原点的最长距离和最短距离；（2）求该椭圆所围平面区域的面积.
六（17）（本题满分6分）设(,)y f x y 在点00(,)x y 的某邻域内存在且在点00(,)x y 处连续，又00(,)x f x y 存在，证明：(,)f x y 在点00(,)x y 处可微.。