矩阵特征根的有关问题
矩阵特征根的有关问题
矩阵特征根的有关问题吴晗数学系 数学与应用数学 06180226[摘 要] 首先给出了矩阵特征根的定义，接着介绍了矩阵特征根的有关求法，其次讨论了矩阵特征根的性质，最后利用其求法与性质解决一些代数问题。
[关键字] 矩阵 特征根 特征向量 求法 性质 应用矩阵，线性代数研究的基本对象。
按照矩阵的观点，线性代数就是研究矩阵在各种意义下的分类问题及其标准型理论。
在矩阵的有关内容之中其特征根就是一个非常重要的内容，与之相对应的就是在指定特征根下的特征向量。
在多数《高等代数》教材中,特征值与特征向量的引入是为了研究线性空间中线性变换A 的属性,描述为线性空间中线性变换A 的特征值与特征向量;而在大部分《线性代数》教材中,特征值与特征向量的讨论被作为矩阵理论研究的一个重要组成,定义为n 阶矩阵A 的特征值与特征向量。
所以二者有相辅相成之意。
涉及到矩阵特征根的有关问题将在如下文之中列举：1 矩阵的特征根的定义设()ij A a =是数域F 上的一个n 阶矩阵，行列式 ()111212122212......................n n A n n nnx a a a a x a a f x xI A a a x a ------=-=--- 叫做矩阵A 的特征多项式，而在复数域内的根就叫做矩阵A 的特征根。
即在方程中求解出x （x 在复数域内）,其中I 是n 阶单位矩阵。
而在矩阵的特征根研究中，我们不只是就仅仅要知道特征根是什么，它不是一个孤立存在的知识点，往往与它紧密联系在一起的就是特征向量。
就像前面所说特征值与特征向量的引入是为了研究线性空间中线性变换A 的属性,描述为线性空间中线性变换A 的特征值与特列向量。
何为特征向量呢？设0C λ∈是矩阵A 的特征根，而0nx C ∈是一个非零的列向量，使得000Ax x λ=，就是说，0x 是其次线性方程组()00I A X λ-=的一个非零解。
我们称0x 是矩阵A 的属于特征根0λ的特征向量。
特征根与特征向量
程组（ I-A）X= 0的一个基础解系
｛η1，η2，…，ηn｝给出. （其中βi=(α1，α2，…，αn)ηi, i=1,2, …,r）.
2. 矩阵的特征多项式与特征根
定义3 设A=(aij)是数域F上的一个n阶矩阵，
行列式
x a11 a12
称为σ 的属于特征根 的特征子空间． 当 是σ 的特征根时,Vλ ≠{0},因此,Vλ 含有
无限多个向量.但我们只要求出Vλ的一个基.
Vλ就被确定了． 4. 几个例子
例 1 在 V3 中，σ 是关于过 原点的平面 H 的反射，它 是一个线性变换．那么 H 中的每个非零向量都是 σ 的属于特征根 1 的特征向 量，Vλ 就是平面 H．与 H 垂直的非零向量都是 σ 的 属于特征根 -1 的特征向 量，即 V-1 就是直线 L（见 图 6.5）
① 在R内，A只有特征根1，A的属于特征根1 的特征向量为k（2，-1，-1），k∈R，k≠0． ② 在C内，A有特征根λ1＝1，λ2＝i, λ3＝-i. A的属于特征根1的特征向量为k（2，-1，-1），
k∈C，k≠0；A的属于特征根i的特征向量为 K1(-1+2i,1-i,2), k1∈C, k1≠0 A的属于特征根-i的特征向量为k2(-1-2i,1+i,2), k2∈C, k2≠0 注意：求A的特征根时，要考虑给定的数域， 假设没有指定数域，就在C内讨论；表示属于某 个特征根的特征向量(关于基础解系)组合系数 要取自指定的数域F(或C)，且不全为零．
换．假如对应F中的一个数λ，存在V中的非零向
量ξ，使得σ（ξ）=λξ
（1）
那么λ就叫做σ的一个特征根（值），而ξ叫做
组合数学特征根为共轭复根的通解
组合数学是数学的一个重要分支，它研究的是离散对象的组合和排列问题。
在组合数学中，特征根和通解是一些重要的概念，而当特征根为共轭复根时，其通解也具有一些特殊的性质。
本文将结合组合数学的理论知识，对特征根为共轭复根的通解进行深入探讨。
一、特征根和特征向量的概念在矩阵论中，特征根和特征向量是非常基础且重要的概念。
设A是n 阶矩阵，如果存在一个非零向量x使得Ax=λx，其中λ是一个标量，则称λ是矩阵A的特征值，x是对应于特征值λ的特征向量。
二、特征根为共轭复根的矩阵对于一个n阶矩阵A，如果其特征多项式有共轭复根，那么A的特征根也会成对出现。
即如果λ是A的特征根，则其共轭复根必定也是A 的特征根。
这就意味着A的特征根存在复数，且成对出现。
三、特征根为共轭复根的通解对于一个n阶矩阵A，如果其特征根为共轭复根，那么它的通解也会具有一些特殊的性质。
设λ=a+bi是A的特征根，则其共轭复根为λ=a-bi。
根据线性代数的知识，如果λ=a+bi是A的特征根，则其共轭复根λ=a-bi也是A的特征根，则对应于这两个特征根的特征向量x1和x2也分别是共轭复数。
四、特征根为共轭复根的通解的表达式当A的特征根为共轭复根时，其通解的表达式可以表示为：x(t)=C1*e^(a*t) * cos(b*t) * v1 + C2*e^(a*t) * sin(b*t) * v2其中C1和C2是任意常数，v1和v2是对应于特征根λ=a+bi和λ=a-bi的特征向量。
五、特征根为共轭复根的通解的几何解释特征根为共轭复根的通解有着非常重要的几何意义。
从上面的通解表达式可以看出，通解可以表示为两个分量的线性组合，其中一个分量是指数函数与余弦函数的乘积，另一个分量是指数函数与正弦函数的乘积。
这就意味着通解是由两个振动频率相同，幅值和初相位不同的振动组成。
六、特征根为共轭复根的通解的物理意义特征根为共轭复根的通解在物理学中有着广泛的应用。
振动是自然界中非常常见的现象，而共轭复根的特征根恰好可以描述振动的幅值和相位的变化规律。
矩阵特征根
X = (x1, x2 ,..., xn )T
(ξ ≠ 0) AX = λ0 X ( X ≠ 0)
4
T (ξ ) = λ0ξ
§5.3 特征值与特征向量
( λ0 E − A) X = 0
也即
λ0 − a11 − a21 L an1
− a12 λ0 − a22 L an 2
L − a1n x1 L − a 2 n x2 =0 O L M L λ0 − ann xn
f (λ) = ( λ − λ1 )( λ − λ2 )L( λ − λn ) = λ n − (λ1 + λ2 +L+ λn )λ n−1 +L+ (−1)n λ1λ2 Lλn
的特征向量， (3) 如果 ξ 是 T 的属于特征值 λ0 的特征向量，则ξ 的任何一 个非零倍数 kξ 也是 T 的属于特征值λ0 的特征向量
T (kξ ) = kT (ξ ) = k (λ0ξ ) = λ0 (kξ )
零向量构成一个线性子空间 属于特征值λ0 的全部特征向量 + 零向量构成一个线性子空间
3
§5.3 特征值与特征向量
记
V λ 0 = {ξ T ( ξ ) = λ 0 ξ , ξ ∈ V
}
定义5.6 定义 子空间. 子空间
V λ 0 称为线性变换 T 的属于特征值λ0 的特征
二 特征值与特征向量的求法 的一个基， 设 ε1, ε2,…, εn 是数域 P 上 n 维线性空间 V 的一个基， 在该基下的矩阵为A 线性变换 T 在该基下的矩阵为 ，λ0 为 T 的一个特征 值，属于特征值 λ0 的特征向量ξ 在该基下的坐标为 因为
f (λ) = λE − A
特征方程的根与特征值的计算方法
特征方程的根与特征值的计算方法特征方程常常在矩阵计算和微分方程中出现。
在这两个重要的数学领域中，特征方程的使用是非常重要的。
对于矩阵问题，特征方程的解决有助于找到矩阵的特征值，而针对微分方程，它可以用来描述一个微分方程的稳定性。
在本篇文章中，我们将会介绍特征方程的根与特征值的计算方法。
一、特征方程的定义特征方程是指一个矩阵减去一个标量矩阵后的行列式，表示为det(A-λI)=0。
其中，A是一个n阶方阵，λ是一个标量，I是一个n 阶单位矩阵。
二、特征值与特征向量在特征方程中，一个标量λ称为矩阵A的特征值，而特征向量则是指矩阵A与它的特征值所对应的非零向量。
特征方程的根与特征值有很大的关联性，因为特征值就是特征方程的根。
三、特征方程的解法要求解特征方程，必须要先计算出它的根，也就是特征值。
一般来说，根据求解特征值的方式，可以将特征方程的计算方式分为以下两种：1. 直接求解根据特征方程的定义，即求出A-λI的行列式，并令其等于0。
这个过程中，λ相当于是一个未知的变量，因此该方程式是一个关于λ的一元多项式，而根据代数基本定理，不存在大于n阶的关于λ的一元多项式。
因此，该方程式的根的个数正好等于它的次数。
举个例子：对于一个2阶矩阵的特征方程det(A-λI)=0，可以列出一个2次的关于λ的一元多项式。
这个方程式的根有可能是实数，但也有可能是复数。
对于一个n阶矩阵来说，这个特征方程是一个n次的关于λ的一元多项式，它也有可能有实数根与复数根。
2. 利用迭代计算法求解以幂迭代法为例来说明。
Step 1：初始化随机生成一个n维向量x0，并将其归一化。
不妨先令i=0，然后执行以下的迭代计算法：Step 2：迭代求解i. 计算矩阵和向量的乘积。
y=Axiii. 求得y中的最大值yi和对应的下标iiii. 创建一个新的向量x，并计算x=1/yi*yiv. 计算向量x与扰动项之和的范数，并判断其是否已经收敛若范数小于一个给定的精度，则停止迭代计算法；反之，则转到Step 2并令i=i+1，继续循环迭代计算。
第七章—矩阵的特征值问题
1 p仍是B的主特征值，且使 2 p 2 1 p 1
对B应用幂法，使得在计算B的主特征值1 p的过程中 得到加速。这种方法通常称为原点平移法。
若A的特征值满足
1 2
希望p
n，
且2，n能估计时，我们就能确定P的近似值。
2 n
2
使得应用幂法计算加速。
a21 an1 n (a11 a22 为A的特征多项式.
a12 a 22 an 2
a1n a2 n
a nn
ann ) n 1 (次级 n 2的项)
A的特征方程
( ) det( I A) 0 (1.1) 的根称为A的特征值. ( A)表示A的所有特征值的集合. 设为A的特征值, 相应的齐次方程组 ( I A )x 0 (1.2) 的非零解x称为A的对应于的特征向量.
x1 [1 -1 1]T , x2 [1 0 -1]T , x3 [1 2 1]T
定理1 设是矩阵A R nn的特征值, x是对应的非零特征 向量，则 (1) c是cA的特征值(常数c 0)； (2) p为A pI的特征值,即 (A pI)x ( p)x； (3) k 是A k的特征值,即 A k x k x； 1 1 1 1 (4) 设A非奇异，则 0且 为A 的特征值,即 A x x.
物理、力学和工程技术中很多问题在数学上都归结为求矩阵 的特征值问题。例如，振动问题(大型桥梁或建筑物的振动、 机械的振动、电磁震荡等)，结构屈曲，物理学中的某些临界 值的确定。它们都归结为下述数学问题。
定义1 已知A (aij ) nn , 则称
a 11 ( ) det( I A)
13-层次分析法特征根以及其他特别问题
P1,P2只作教学 P4只作科研 只作教学, 只作科研, P3兼作教学、科研。 兼作教学、科研。 C1,C2支配元素的数目不等
重要性相同, 若C1,C2重要性相同 w(2)=(1/2,1/2)T, P1~P4能力相同 w1(3)=(1/3,1/3,1/3,0)T,w2(3)=(0,0,1/2,1/2)T 能力相同, 公正的评价应为： 公正的评价应为： P1:P2:P3:P4=1:1:2:1 • 不考虑支配元素数目不等的影响 仍用 w ( 3 ) = W ( 3 ) w ( 2 ) 计算 • 支配元素越多权重越大 w(3)=(1/6,1/6,5/12,1/4)T 教学、 教学、科研任务由上级安排
用拟合方法确定w 用拟合方法确定
wi min , n ) ∑ ∑ a ij − w ( i = 1 ,L i =1 j =1 wj
n n
i
2
非线性 最小二乘
2
线性化—— 线性化 对数最小பைடு நூலகம்乘
wi min , n ) ∑ ∑ ln a ij − ln w ( i =1 ,L i =1 j =1 wj
A w = λw
mi~A第i 行 第 中θ的个数
6. 更复杂的层次结构 • 递阶层次结构：层内各元素独立，无相互影响和 递阶层次结构：层内各元素独立， 支配；层间自上而下、逐层传递，无反馈和循环。 支配；层间自上而下、逐层传递，无反馈和循环。 • 更复杂的层次结构：层内各元素间存在相互影响 更复杂的层次结构： 或支配；层间存在反馈或循环。 或支配；层间存在反馈或循环。 例
2 6 列向量 1 例 A = 1/ 2 1 4 归一化 1/ 6 1/ 4 1
特征方程特征根
特征方程特征根
特征方程特征根是线性代数中一个重要的概念，它在矩阵的谱分析和特征值问题中发挥着重要作用。
特征方程是一个关于未知量λ的方程，它的解称为特征根，它的形式通常为|A-λE|=0，其中A是n阶矩阵，E是n阶单位矩阵。
特征根可以用来求解矩阵的特征向量，从而得到矩阵的谱分解。
谱分解是一种将矩阵分解为特征向量和特征值的方法，它在许多应用中都有重要的作用，如图像处理、傅里叶分析、信号处理等。
特征方程和特征根还有许多重要的性质和定理，如特征根的代数重数和几何重数相等定理、矩阵可对角化的充要条件等，这些定理和性质也是线性代数中不可或缺的部分。
总之，特征方程和特征根是线性代数中一个重要的概念，它在矩阵的谱分析和特征值问题中具有重要作用，熟练掌握这些概念和定理对于深入理解线性代数的内容有很大帮助。
- 1 -。
第五专题 矩阵的数值特征(行列式、范数、条件数、迹、秩、相对特征根)讲解
第五专题矩阵的数值特征（行列式、迹、秩、相对特征根、范数、条件数）一、行列式已知A p×q, B q×p, 则|I p+AB|=|I q+BA|证明一：参照课本194页，例4.3.证明二：利用AB和BA有相同的非零特征值的性质；从而I p+AB，I q+BA中不等于1的特征值的数目相同，大小相同；其余特征值都等于1。
行列式是特征值的乘积，因此|I p+AB|和|I q+BA|等于特征值（不等于1）的乘积，所以二者相等。
二、矩阵的迹矩阵的迹相对其它数值特征简单些，然而，它在许多领域，如数值计算，逼近论，以及统计估计等都有相当多的应用，许多量的计算都会归结为矩阵的迹的运算。
下面讨论有关迹的一些性质和不等式。
定义：n nii ii1i1tr(A)a====λ∑∑，etrA=exp(trA)性质：1. tr(A B)tr(A)tr(B)λ+μ=λ+μ，线性性质；2. Ttr(A )tr(A)=；3. tr(AB)tr(BA)=；4. 1tr(P AP)tr(A)-=；5. H Htr(x Ax)tr(Axx ),x =为向量；6. nnk ki i i 1i 1tr(A),tr(A )===λ=λ∑∑;从Schur 定理（或Jordan 标准形）和（4）证明； 7. A 0≥,则tr(A)0≥,且等号成立的充要条件是A=0；8. A B(A B 0)≥-≥即,则tr(A)tr(B)≥，且等号成立的充要条件是A=B （i i A B (A)(B)≥⇒λ≥λ）；9. 对于n 阶方阵A ，若存在正整数k,使得A k =0,则tr(A)=0（从Schur 定理或Jordan 标准形证明）。
若干基本不等式对于两个m ×n 复矩阵A 和B ，tr(A H B)是m ×n 维酉空间上的内积，也就是将它们按列依次排成的两个mn 维列向量的内积，利用Cauchy-schwarz 不等式[x,y]2≤[x,x]﹒[y,y]得定理：对任意两个m ×n 复矩阵A 和B |tr(A H B)|2≤tr(A H A)﹒tr(B H B)这里等号成立的充要条件是A=cB,c为一常数。
矩阵的特征根的求法及应用（DOC）
矩阵的特征根的求法及应用摘要 本文主要讨论关于矩阵特征值的求法及矩阵特征值一些常见的证明方法。
对于一般矩阵，我们通常是采用求解矩阵特征多项式根的方法。
关键字 矩阵 特征值 特征多项式1.特征值与特征向量的定义及其性质；1 矩阵特征值与特征向量的概念及性质1.1 矩阵特征值与特征向量的定义设A 是n 阶方阵，如果存在数λ和n 维非零向量x ，使得x Ax λ=成立，则称λ为A 的特征值，x 为A 的对应于特征值λ的特征向量.1.2 矩阵特征值与特征向量的性质矩阵特征值与特征向量的性质包括：（1）若i i r A 的是λ重特征值，则i i s A 有对应特征值λ个线性无关的特征向量，其中i i r s ≤.（2）若线性无关的向量21,x x 都是矩阵A 的对应于特征值0λ的特征向量，则当21,k k 不全为零时，2211x k x k +仍是A 的对应于特征值0λ的特征向量.（3）若A n 是矩阵λλλ,,,21 的互不相同的特征值，其对应的特征向量分别是n x x x ,,,21 ，则这组特征向量线性无关. （4）若矩阵()nn ija A ⨯=的特征值分别为n λλλ,,,21 ，则nn n a a a +++=+++ 221121λλλ，A n =λλλ 21. （5）实对称矩阵A 的特征值都是实数，且对应不同特征值的特征向量正交. （6）若i λ是实对称矩阵A 的i r 重特征值，则对应特征值i λ恰有i r 个线性无关的特征向量.（7）设λ为矩阵A 的特征值，()x P 为多项式函数，则()λP 为矩阵多项式()A P 的特征值.2．特征值与特征向量的常规求法；1.一般教科书[求特征值的传统方法是令特征多项式| λE- A| = 0, 求出A 的特征值, 对于A 的任一特征值λ, 特征方程(λE- A)X= 0的所有非零解X 即为矩阵A 的属于特征值的特征向量. 两者的计算是分割的, 一个是计算行列式, 另一个是解齐次线性方程组, 且计算量都较大.下面介绍利用矩阵的初等变换求特征值与特征向量的两种方法.1：特征方程(λE- A)X= 0进行行列式计算，求特征值与特征向量。
13-层次分析法特征根以及其他特别问题汇总
2 1 例 A 1 / 2 1 1 / 6 1 / 4
6 列向量 4 归一化 1
0.6 0.615 0.545 算术 0.587 0.3 0.308 0.364 平均 0.324 w 0.089 0.1 0.077 0.091
n 1
= n是A为一致阵的充要条件。
一致性指标 CI 定义合理
2. 正互反阵最大特征根和特征向量的简化计算
• 精确计算的复杂和不必要 • 简化计算的思路——一致阵的任一列向量都是特征向量， 一致性尚好的正互反阵的列向量都应近似特征向量，可取 其某种意义下的平均。 和法——取列向量的算术平均
求Ak的行和
Ak e w 定理1 lim T k k e Ae
特征向量体现多步累积效应
4.不完全层次结构中组合权向量的计算
完全层次结构：上层每一元素与下层所有元素相关联
不完全层次结构
设第2层对第1层权向量 w(2)=(w1(2),w2(2))T已定
例: 评价教师贡献的层次结构
贡献O 教学C1 科研C2
C1,C2支配元素的数目不等
考察一个特例：
若C1,C2重要性相同, w(2)=(1/2,1/2)T,
P1~P4能力相同, w1(3)=(1/3,1/3,1/3,0)T,w2(3)=(0,0,1/2,1/2)T 公正的评价应为： P1:P2:P3:P4=1:1:2:1 • 不考虑支配元素数目不等的影响 仍用 w
第3层对第2层权向量 w1(3)=(w11(3),w12(3),w13(3),0)T w2(3)=(0,0,w23(3),w24(3)T已得 讨论由w(2),W(3)=(w1(3), w2(3)) 计算第3层对第1层权向量 w(3）的方法
矩阵特征值问题的计算方法
det( I A) 0
称之为矩阵A的特征方程，所以特征值也称为特征根。 注2 特征向量不唯一，若x是特征向量，则对任意非零 实数k, kx也是特征向量。但特征值是唯一的。 注3 若为A的一个特征值，相应的特征向量为x，则1/ 为A-1的对应于特征向量x的特征值。
§5.3 幂迭代法和反幂迭代法
| i / 1 | < 1
Av
(k )
作迭代
显然, v Av
(k ) k 1 ( k 1 )
v ( k ) Av ( k 1) , k 1,2
Av
2 1 2 ( k 2 )
A v
k k 2
Ax
k 1 1 (k ) 1
1
(0)
λ λ λ [α x α ( ) x α ( ) x ] λ λ
1
数值分析
1 > 1 … n n 1 1
A的模最小的特征根
(0) 反幂法的迭代格式： v 0 作迭代 k 1,2, z A v , Az ( k ) v ( k 1) , m max( z ), 避免求逆 m ( k ) max( z ( k ) ), z z(k ) v , v(k ) (k ) , m
数值分析
一、 幂法--计算按模最大的特征值及其对应的特征向量
条件：A 有特征根 |1| > |2| … |n| 0， 对应n个线性无关的特征向量 x1 , x2 ,... , xn 思路：从 v ( 0 ) 0 出发，v ( 0) i xi ,
i 1 n
1 0.
xi v ( k ) i 对应的特征向量 。 max( xi )
特征值与特征根求法
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三、特征值与特征向量的求法
三、特征值与特征向量的求法
例5 设A是 n 阶方阵，其特征多项式为 是 阶方阵， f A (λ ) = λE − A = λn + an−1λn−1 + ⋯ + a1λ + a0
求 AT 的特征多项式 .
解
f AT (λ ) = λE − AT
(λE − A)T =
故 λ 是矩阵 A 的特征值 , 且 x 是 A 对应于 λ 的特
m m m m
征向量 .
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(2) 当A可逆时 , λ ≠ 0,
由Ax = λx可得
A−1 ( Ax ) = A−1 (λx ) = λA−1 x
⇒ A −1 x = λ − 1 x
故 λ 是矩阵 A 的特征值 , 且x是A 对应于 λ
= λE − A
= λn + an−1λn−1 + ⋯ + a1λ + a0
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四、小结
四、小
结
求矩阵特征值与特征向量的步骤： 求矩阵特征值与特征向量的步骤：
1. 计算 A的特征多项式 det ( A − λE );
2. 求特征方程 det ( A − λE ) = 0的全部根 λ1 , λ2 , ⋯ , λn , 就是A的全部特征值 ;
所以A 所以 的特征值为 λ 1 = 2, λ 2 = 4.
当 λ 1 = 2时, 对应的特征向量应满足 3 − 2 − 1 x1 0 = , − 1 3 − 2 x 2 0
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x 1 − x 2 = 0, 即 − x 1 + x 2 = 0. 1 解得 x1 = x 2 , 所以对应的特征向量可 取为 p1 = . 1 当 λ 2 = 4时,由
第五章矩阵特征值问题
设i (i = 1, 2, …, n)为矩阵B 的特征值，则B与A特征值之间
应有关系式：
i i 0
Bv ( A I ) v Av v ( ) v i 0 i i 0 i i 0 i
(i = 1, 2, …, n)
(Ax , x) （2） n min x0 (x , x)
(Ax , x) （3） 1 max x0 (x, x)
定理5 （Gerschgorin圆盘定理） 设AR nn，则
（1）A的每一个特征值必属于下述某个圆盘之中，
z a a 1 ,2 , ,n ii ij , i
令
( , ) ,
2 2 2 11 2
，则 1为单位长度的向量，再令 1 1 1 2
2 2 2
可以验证（1, 2）= 0，即1与2正交。若令
3
( , ) ( , )
( , ) ( , ) 0 3 1 3 2
QR
其中Q = [1, 2, 3]为正交矩阵，R是上三角阵。
对n维向量空间，设1, …, n为Rn上n个线性无关的向量， 类似有
1 1
( , ) ( , )
3 3 3 11 3 22
( , ) 2 2 2 1 1
3 3 11 3 22
则
即与1, 2正交，将其单位化为
3 2 3 3
于是向量组1, 2, 3构成R3上一组标准正交基，且
( , ) 12 2 1 [ , , ] [ , , ] 1 2 3 1 2 3 22 ( , ) 3 1 ( , ) 3 2 32
计算成对比较矩阵最大特征根及特征向量
计算成对比较矩阵最大特征根及特征向量比较矩阵是一种用于判断两个对象之间优劣关系的工具，通常用于决策分析和判断问题的关键因素。
在使用比较矩阵时，需要将优劣关系量化为数值，并将这些数值组成成对比较矩阵。
然后，通过计算最大特征根和特征向量，可以得出比较矩阵的权重分配，从而实现决策或问题解决。
计算比较矩阵最大特征根和特征向量的方法有多种，最常用的是特征值法和特征向量法。
特征值法是通过求解矩阵的特征值来计算最大特征根，然后通过特征值计算特征向量。
而特征向量法则是通过求解矩阵的特征向量来计算最大特征根和特征向量。
在进行计算时，需要先将成对比较矩阵标准化，使得每一行的元素之和为1。
然后，通过特征值法或特征向量法计算最大特征根和特征向量。
最后，通过特征向量的值来计算比较矩阵的权重分配，以实现决策或问题解决。
计算成对比较矩阵最大特征根及特征向量是决策分析和问题解决的重要工具，能够帮助人们更科学、客观地进行决策和判断。
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特征根
以下内容整理自课堂笔记咱们先来复习一下简单的，热热身：一：A(n+1)=pAn+q, p,q为常数.（1）通常设：A(n+1)-λ＝p(An-λ), 则λ=q／(1-p).（2）此处如果用特征根法：特征方程为：x=px+q，其根为 x=q/（1-p）注意：若用特征根法，λ的系数要是-1例一：A（n+1)=2An+1 , 其中 q=2,p=1,则λ =1/（1-2）= -1那么A（n+1）+1=2（An+1）。
二：再来个有点意思的,三项之间的关系：A(n+2)=pA(n+1)+qAn， p,q为常数（1）通常设： A(n+2)-mA(n+1)=k[pA(n+1)-mAn],则 m+k=p, mk=q（2）此处如果用特征根法：特征方程是y×y=py+q（※）注意：① m n为（※）两根。
② m n可以交换位置，但其结果或出现两种截然不同的数列形式，但同样都可以计算An，而且还会有意想不到的惊喜，嘿嘿③ m n交换位置后可以分别构造出两组An和A(n+1)的递推公式，这个时侯你会发现，这是一个关于An和A(n+1)的二元一次方程组，那么不就可以消去A（n+1），留下An，得了，An求出来了。
例二：A1=1,A2=1,A(n+2)= - 5A（n+1）+6An，特征方程为：y×y= - 5y+6那么，m=3,n=2,或者m=2，n=3于是，A（n+2）-3A（n+1）=2[A（n+1）-3A] (1)A（n+2）-2A（n+1）=3[A（n+1）-2A] (2)所以，A（n+1）-3A（n）= - 2 ^ n (3)A（n+1）-2A（n）= - 3 ^ (n-1) (4)you see 消元消去A（n+1），就是An勒例三：【斐波那挈数列通项公式的推导】斐波那契数列：0，1，1，2，3，5，8，13，21……如果设F(n)为该数列的第n项(n∈N+)。
那么这句话可以写成如下形式：F(0) = 0，F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3)显然这是一个线性递推数列。
对称矩阵的特征根
对称矩阵的特征根
对称矩阵的特征根都是实数。
这使得对称矩阵在许多应用中具有独特的优势。
此外，对于任意一个n阶对称矩阵，都存在n个线性无关的特征向量，这意味着对称矩阵一定能够被相似对角化。
这种性质使得对称矩阵在解决线性代数问题时更加方便和高效。
此外，对称矩阵还有许多其他的性质和应用。
例如，在物理学、工程学、经济学等领域中，对称矩阵被广泛用于描述各种系统和现象。
因此，对于学习这些学科的学生来说，理解对称矩阵的性质和特征向量是非常重要的。
总之，对称矩阵作为一种特殊的矩阵类型，其特征根和特征向量的性质以及应用领域都非常广泛。
通过对称矩阵的学习，我们可以更好地理解线性代数的原理和思想，同时也可以在各个领域中更好地应用数学知识。
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矩阵特征根的有关问题吴晗数学系 数学与应用数学 06180226[摘 要] 首先给出了矩阵特征根的定义，接着介绍了矩阵特征根的有关求法，其次讨论了矩阵特征根的性质，最后利用其求法与性质解决一些代数问题。
[关键字] 矩阵 特征根 特征向量 求法 性质 应用矩阵，线性代数研究的基本对象。
按照矩阵的观点，线性代数就是研究矩阵在各种意义下的分类问题及其标准型理论。
在矩阵的有关内容之中其特征根就是一个非常重要的内容，与之相对应的就是在指定特征根下的特征向量。
在多数《高等代数》教材中,特征值与特征向量的引入是为了研究线性空间中线性变换A 的属性,描述为线性空间中线性变换A 的特征值与特征向量;而在大部分《线性代数》教材中,特征值与特征向量的讨论被作为矩阵理论研究的一个重要组成,定义为n 阶矩阵A 的特征值与特征向量。
所以二者有相辅相成之意。
涉及到矩阵特征根的有关问题将在如下文之中列举：1 矩阵的特征根的定义设()ij A a =是数域F 上的一个n 阶矩阵，行列式 ()111212122212......................n n A n n nnx a a a a x a a f x xI A a a x a ------=-=--- 叫做矩阵A 的特征多项式，而在复数域内的根就叫做矩阵A 的特征根。
即在方程中求解出x （x 在复数域内）,其中I 是n 阶单位矩阵。
而在矩阵的特征根研究中，我们不只是就仅仅要知道特征根是什么，它不是一个孤立存在的知识点，往往与它紧密联系在一起的就是特征向量。
就像前面所说特征值与特征向量的引入是为了研究线性空间中线性变换A 的属性,描述为线性空间中线性变换A 的特征值与特列向量。
何为特征向量呢？设0C λ∈是矩阵A 的特征根，而0nx C ∈是一个非零的列向量，使得000Ax x λ=，就是说，0x 是其次线性方程组()00I A X λ-=的一个非零解。
我们称0x 是矩阵A 的属于特征根0λ的特征向量。
下面就通过例子来看看矩阵的特征根与特征向量。
例 1 分别在实数域R 和复数域C 内求矩阵3732524103A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭的特征根与特征向量。
解：()()()()()()23732521114103A x f x x x x x x i x i x --=+-=-+=--+- 在R 内，A 只有特征根1，A 的属于特征根1的特征向量为()2,1,1k --，,0k R k ∈≠在C 内，A 的特征根有1231,,i i λλλ===-，A 的属于特征根1的特征向量为()2,1,1k --，,0k R k ∈≠；A 的属于特征根i 的特征向量为()11112,1,2,,0k i i k C k -+-∈≠；A 的属于特征根-ide 特征向量为()22212,1,2,,0k i i k C k --+∈≠。
注意：求矩阵A 的特征根时候，要考虑给定的数域，若没有指定数域，则就在C 内讨论；表示属于某个特征值的特征向量（关于基础解系的）组合系数要取自指定的数域F （或者C ）,且不全为零。
以上例子只是对给出的矩阵特征根的定义做一个实例介绍，它着重强调的还是矩阵特征根的定义以及在指定特征根下的特征向量，不但如此，此例中的特征根还是直接给出来的，而对于如何求解一个具体的实矩阵的特征根没有做任何说明，那么实矩阵特征根是如何求得的呢？下面就介绍矩阵特征根的求法。
2 矩阵特征根的求法我们知道求解矩阵特征根就是求相对应的矩阵特征多项式在给定数域内的根，而对于给出的矩阵特征多项式，它实际上是一个行列式，我们是不能直接得出它的根的，因为我们必须要将对应的行列式转换成纯粹的代数式，然后得出其根。
特征根求解的难处就在于如何求出行列式。
初等行列变换法由于三角形行列式的值可以直接写出，所以在计算行列式的时候，其基本思想就是运用行列式的性质（把行列式中某一行或者列的所有元素同乘以一个数后，加到另一行或者列的对应元素上，所得的行列式与原行列式相等），把行列式化成上（下）三角形行列式，然后直接写出结果。
例 2 求矩阵460350361A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭的特征多项式解：()460350361A x f x xI A x x --=-=+-=B 把行列式第二行乘以-1加到第三行得：460350011x B x x x --=+-+- 把第一行乘以34x --加到第二行得：()()46021004011x x x B x x x --+-=--+- 把第二行乘以()()()()4121x x x x --+-加到第三行得：()()()()()24602100124001A x x x B f x x x x x --+-===-+--这就是通过初等行列变换求得的行列式，其结果就是几个代数式的乘积。
那么再求矩阵特征根的话就很容易了。
只需令每个单项式为零就可以得出其特征根。
比如在上例中的特征根就是1（二重根），-2.（所谓重根就是指由单项式求出的根是相等）。
初等行列变换求矩阵特征根主要的思想就是求对应的行列式，对于阶数相对而言比较多的矩阵，通过初等行列变换是相当困难的，因为行列式中含有不是纯数字的x,在求解时往往会出现计算错误。
如果在求解特征根时不涉及含有不是纯数字的运算，那么其过程应该是比较容易的。
2.2 阶迹表达式法求特征根对于矩阵的特征多项式当然也可以不通过初等行列变换而得，接下来就介绍一种完全借助于矩阵中的纯数字来求解特征多项式而得出其特征根的方法。
首先看一个定义：在n 阶方阵A 中任取行次和列次相同的k 行和k 列，位于这k 行和k 列交叉处的2k 个元素按原来的位置组成的阶行列式之和，称为方阵A 的k 阶迹，记为[]()k tr A ，即[]()1111211............k k k k k i i i i k i i i n i i i i a a tr A a a ≤≤≤≤≤=∑ （k=1,2,…,n ）。
n 阶方阵A 的k 阶迹[]()k tr A 为kn C 个k 阶行列式之和（k=1,2,…,n ）.例如，A 的1阶迹为[]()111221...niinn i tr A a a a a ===+++∑A 的2阶迹为[]()21ii iji j nji jj a a tr A a a ≤≤≤=∑1,11,11131111112,1313312122......n n n n n n n nn n nn a a a a a a a a a a a a a a a a ----=++++ A 的n 阶迹为[]()1111.........n n n nn a a tr A A a a == 了解了什么是阶迹，对于我们所要解决的求特征根有什么联系呢？通过下面的这个定理，我们将逐步得到答案。
定理 n 阶方阵A 的特征多项式()f I A λλ=-可写成如下形式()()[]()01kn k n k k f tr A λλ-==-∑ ()* 其中 []()01tr A =，公式()*称为A 的特征多项式的阶迹表达式。
通过上面的定理我们清楚的知道，方阵的特征多项式与方阵的k 阶迹联系在一起了，特征多项式的系数与k 阶迹息息相关，而计算k 阶迹时只会用到方阵A 的元素ij a 组成的顺序主子式的和，计算起来就比较规范。
求出了特征多项式，从而也能轻松的求出特征根。
看下面一个例子：例 3 在实数范围内求3阶矩阵110430102A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭的特征根与特征向量。
解 按照特征多项式的阶迹表达式，有()f I A λλ=-[]()[]()[]()12332tr A tr A tr A λλλ=-+- ()32132λλ=--++110111030430431202102λ-⎛--⎫+++-- ⎪-⎝⎭32452λλλ=-+-()()221λλ=-- 令()A f λ=0,得A 的特征根为 1232,1λλλ===对于12λ=，齐次线性方程组1212130400x x x x x --=⎧⎪=⎨⎪-=⎩的基础解系为()0,0,1T与此根相关的全部特征向量为()0,0,1Tk ，其中0k ≠。
对于231λλ==，齐次线性方程组121213204200x x x x x x -=⎧⎪-=⎨⎪--=⎩的基础解系为 ()1,2,1T -与二重根231λλ==相对应的全部特征向量为()1,2,1Tk -，其中0k ≠。
通过此例可以看出，在求实矩阵的特征根与特征向量时利用k 阶迹是非常方便的，纯数字的行列式比较容易计算且不容易出错。
对比前面介绍的两种求矩阵特征根与特征向量的方法--初等行列变换法，k 阶迹表达式法，二者有相同之处也有相异之处。
相同之处在于，他们都是将特征多项式转换成代数多项式，从而将一个很复杂的式子简单化。
不同之处在于他们将其转换成代数式时所走的“路径”不一样。
对于任意的一个实矩阵我们都可以通过初等行列变换求其特征多项式，也可以通过k 阶迹表达式求其特征多项式，只是在实际的问题中我们往往都是选择解决问题较为容易的方式。
比如在阶数较低时二者均可以选择，在阶数较高时后者比较容易。
3 矩阵特征根的性质性质3.1 特征根与V 的基无关线性变换σ与取定V 的一个基12,,,n K εεε的矩阵A 具有一一对应关系,如果12,,,n L ααα是V 的另一个基，记这个基的矩阵是B 。
因为 σ在不同基的矩阵A 与B 相似,而相似矩阵具有相同的特征多项式,所以A 与B 必有相同的特征根。
因此，可知特征根与线性空间的基的选取是无关的但是，特征根与数域有关，因为特征根是矩阵的特征多项式()A f x 的根，而多项式的根与系数域是有关的,所以说特征根与数域F 有关。
性质3.2 特征根被特征向量唯一确定设β是属于特征根1λ，同时又属于特征根2λ的特征向量，则有()()12,σβλβσβλβ==两式相减得()()()120σβσβλλβ=-=-，当12λλ≠时，必有0β=，这是不可能的，所以12λλ=。
即特征根被特征向量唯一确定。
相反地，特征向量β却不是被特征根λ所唯一确定。
因为当β是属于个特征向量时，对于F α∈且0α≠，显然αβ也是属于λ的特征向量。
由此可以看出属于特征根λ的一切特征向量构成一个线性空间：(){},U F αβσβλβα==∈。
性质 3.3 属于矩阵A 的不同特征值的特征向量是线性无关的。
性质 3.4 若β是A 的属于特征根λ的特征向量，则（1） k λ是kA 的特征根；（2） m λ是m A 的特征根；（3） A 是可逆矩阵，1λ-是1A -的特征根；且β分别是kA ,m A ，1A -的属于特征根k λ,m λ,1λ-的特征向量。