不变子群判别条件

不变子群判别条件

摘要：不变子群是一类重要的子群，它在群的理论中起着重要的作用.判断一个子群是否不变子群，除了应用定义外，也可以应用其判别条件，本文在就对这些判别条件进行归纳，同时证明诸判别条件的等价性并给出一些应用.

关键词：不变子群，陪集，共轭，正规化子，同余关系

1.判断一个子群为不变子群的条件.

1.1．与定义等价的判别条件

1.H G，即∀a∈G, 有aH=Ha

2.∀a∈G,有aHa1-=H

3.∀a∈G,有aHa1-⊆H

4.∀a∈G,∀h∈H,有aha1-∈H

5.∀a∈G,有aH⊆Ha

6.∀a∈G,有H⊆a1-Ha

7.aHbH=abH, ∀a,b∈G 即两个左陪集的乘积仍是左陪集

8.H在G中的每个左陪集都是一个右陪集

9.∀a∈G,有a1-Ha=H

10.∀a∈G,有a1-Ha⊆H

11.∀a∈G,∀h∈H,有a1-ha∈H

12.∀a∈G,有Ha⊆aH

13.∀a∈G,有H⊆aHa1-

14.HaHb=Hab, ∀a,b∈G 即两个右陪集的乘积仍是右陪集

15.H在G中的每个右陪集都是一个左陪集

16.以群G之子集H为模的G之剩余类（即陪集）之集合关于陪集之

积运算构成群.（即商群存在）

17.H是G的子群，则G中由aRb,当a1-b∈H，所定义的关系R为同余

关系

18.N

(H)=G

G

19.若n∈N，则所属的G的共轭元素C(n)⊆H。即H由G的若干整个

的共轭类组成。

1.2.直接判断一个子群为不变子群的条件

1．指数为2的子群为不变子群.

证明:设群G，H是G的子群，由题设[G:H]=2 ∴G=eH∪aH=He∪Ha ⇒aH=Ha ∀a∈G, 即H G

2．设G为群，H是G的子群,∀a∈G, a1-ha⊆H, 则H是G的不变子群.

证明:a1-ha⊆H ⇒ a(a1-Ha)a1-⊆aHa1-⇒ H⊆aHa1-又

(a1-)1-Ha1-⊆H 即aHa1-⊆H ∴∀a∈G,a1-Ha=H ⇒ aH=Ha

∀a∈G 即H G

3.群G的中心C是G的一个不变子群.

证明:∵C与G中的每个元素都可交换∴对∀a∈G,有aC=Ca ∴C G

4.交换群的子群都是不变子群.

证明:设G是交换群,H是G的子群,有aH={ah︱h∈H}={ha︱h∈H }=Ha ∀a∈G ∴H G

5.设A,B都是G的不变子群，则A∩B 是G的不变子群.

证明:显然 A ∩B 是G 的子群1,∀a ∈G,∀x ∈A ∩B, axa 1-∈A, axa 1-∈B

∴axa 1-∈A ∩B 即A ∩B G

推论1:群G 中任意多个（有限或无限）不变子群之交也都是G 的不

变子群.

6.设A,B 都是G 的不变子群，则AB 是G 的不变子群.

证明:显然 AB 是G 的子群2, ∀g ∈G, ∀x ∈AB, 设x=ab

gxg 1-=g(ab)g 1-=gag 1-gbg 1-∈AB 故AB G

推论2:群G 中任意多个（有限或无限）不变子群之积也都是G 的不变子群.

7.设H 是G 的真子群，︱H ︱=n ,且G 的阶数为n 的子群仅有一个，则H 是G 的不变子群.

证明:∀x ∈G 显然xHx 1-是H 的子群, 又知 f ：h→xh x 1- ∀h ∈H, f

是H 到xHx 1-的双射, 故 ︱xHx 1-︱=︱H ︱=n, 由唯一性,

xHx 1-=H ∀x ∈G 因而H 的G 不变子群.

8. 设A,B,H 都是G 的不变子群,且A ⊂B ，则AH 是BH 的不变子群. 证明：AH,BH 显然都是G 的不变子群，∵A ⊂B ，∴AH ⊂BH

而AH 是G 的不变子群，故AH 是BH 的不变子群.

2.举例应用判别条件

2.1判断一个子群是不是不变子群，除了用定义外，还可用其等价条件，

例1：设 G={⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛10s r ︱r,s∈Q r≠0 } , G 对于方阵乘法作成一个群,

H={⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛101t ︱t∈Q } , 则H 是G 的不变子群.

证明：法1（利用定义）：

∀⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10s r ∈G, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10s r H=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+10s rt r , H ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10s r =⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛+10t s r r≠0 r,s 是取定的有理数,故对∀s+t, 方程 rx+s=s+t 在Q 中有解, 即x=t/r

故对 A∈H ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10s r ⇒ A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+10s t r ⇒ A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+10

/s r rt r ⇒ A∈⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛10s r H

即 H ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10s r ⊆⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛10s r H , 反之,对 rt+s 方程 rt+s=x+s 在Q 中有

解 x=rt

故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10s r H ⊆H ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛10s r 从而有

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10s r H=H ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛10s r r≠0 ∀r,s∈Q 即H 是G 的不变子群.

法2：（利用等价条件4）：

∀⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛10s r ∈G, 110-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛s r =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1011s r r ∈G, 对∀⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101t ∈H 有 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10s r ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101t 110-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛s r =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+10s rt r ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---10

11

s r r =⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛101rt 显然 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101rt ∈H , 故H 是G 的不变子群.

例2：设G 是一个群，a,b∈G 符号 [a b]表示G 中元素a 1-b 1-ab ，称之