混沌特性时间序列线性变换理论方法及其应用

文章编号:167422974(2009)022*******混沌特性时间序列线性变换理论方法及其应用Ξ鄂加强,王春华 ,彭　雨,李　娟,龚金科,朱　浩(湖南大学机械与运载工程学院,湖南长沙　410082) 摘　要:通过对时间序列的相空间的重构,用G-P 算法、Wolf 算法证明了混沌时间序列经过线性变换后其关联维数、Lyapunov 指数以及K olmogorov 熵大小不变,从而得出了线性变换后混沌时间序列的混沌特性保持不变的结论.同时将这一理论和热力学中的相似实验相结合,验证了实验模型系统进入混沌则实际系统必也能够在相应时刻进入混沌状态.该结论被成功应用到对汽包水位晃荡幅值的测量当中,验证了汽包水位的晃荡幅值具有混沌特性,并成功地对该时间序列进行了预测.关键词:时间序列;混沌;相空间重构;相似原理中图分类号:O415.5;T K223.13 文献标识码:AAnalysis and Application of the Chaos Character of TimeSeries after Linear TransformationE Jia 2qiang ,WAN G Chun 2hua ,PEN G Yu ,L I J uan ,GON G Jin 2ke ,ZHU Hao(College of Mechanical and Vehicle Engineering ,Hunan Univ ,Changsha ,Hunan 410082,China ) Abstract :Based on the phase space reconstruction ,the conclusion that the correlative dimension and the Lyapunov exponents of the time series remain unchanged has been proved with G-P algorithm and Wolf algo 2rithm.And this new theory has also proved the establishment of similar experiments for chaos system.Such conclusion has been successfully applied to the analysis of the amplitude of the sloshing of the water level of drum boiler with chaos character.Meanwhile ,the time series have been successfully forecasted.K ey w ords :time series ;chaos ;phase space reconstruction ;the similar principle 自Lorenz [1]1963年发现第一个混沌吸引子以来,混沌理论得到了飞速的发展.混沌理论研究复杂系统对于初始状态的极度敏感依赖性[2]、拓扑传递性及其系统内部的复杂结构,已经在医学、电路分析、激光研究等领域取得了广泛的应用[3].系统混沌程度越强,系统越复杂.通常描述系统动力学行为是否具有混沌特性的方法主要有:准相图、poincare 截面、饱和关联维数(系统复杂程度的估计量)、Lya 2punov 指数(系统的特征指数)以及K olmogorov 熵(动力系统的混沌水平)等5种[4].以相似原理为基础的模型实验方法在流体力学等各学科中有着广泛的应用,例如,通过飞机模型在风洞中的实验去探索飞机的气动特性;通过舰船模型在试验水池中的实验去研究舰船的阻力特性;通过推进器模型在水洞中的实验去研究推进器的动力特性[5].在许多情况下,由于各方面条件的限制,不可能对原系统进行混沌特性的分析,只能进行相似实验,然而相似实验中,系统的混沌特性参数是否会发生变化这一问题一直鲜有学者探究.本文主要通过计算饱和关联维数、Lyapunov 指数以及K olmogorov 熵证明了混沌序列线性变换后混沌特性不变,并利用Lorenz 混沌系统方程进行了Ξ收稿日期:2008-09-11基金项目:湖南省自然科学基金资助项目(06JJ50103)作者简介:鄂加强(1972-),男,湖南湘潭人,湖南大学副教授,硕士生导师 通讯联系人,E 2mail :wchhx1987@第36卷　第2期2009年2月湖南大学学报(自然科学版)Journal of Hunan University (Natural Sciences )Vol.36,No.2Feb 12009验证,同时成功地将这一理论运用到了对相似试验中模型与实物系统混沌特性的对比分析中,并将结论成功应用于对锅炉汽包水位的分析.1　线性变换混沌时间序列相空间重构由Pacard和Takens提出的重构相空间理论[6-9],将混沌理论引入到非线性时间序列分析中.要诊断非线性时间序列中是否存在混沌现象,需要根据实测非线性时间序列数据重构动力系统相空间.设未知的原动力系统的离散时间演化由以下非线性差分方程表示:x n+1=f(x n)(1)式中x n为系统在时刻n的状态向量,f()为向量函数,时间序列为观察到的系统的输出{x1,x2,…, x n},当嵌入维数为m,延滞时间为τ时,所得的重构向量为:X t={x t,x t+τ,x t+2τ,…,x t+(m-1)τ}(2)但是实际过程中很多时候所得的并不是直接的系统输出,而是将其经过线性变换后所得的序列{ x1, x2, x3,…, x n},其中:x i=ax i+b(3)式中a∈R且a≠0,b∈R.因此所得的重构空间相应地为:X t={ x t, x t+τ,…, x t+(m-1)τ}(4) 111　最佳延滞时间的选择从理论上说,当数据点数无限多时,嵌入的效果与延滞时间(以下简称延时)τ无关.但当数据点数有限时,延时τ对实际重构的影响极大.延时τ太小,吸引子不能充分展开,冗余误差大;延时τ太大,则相关误差大,使得重构吸引子变得十分复杂.一般可以采用自相关函数法进行确定:C L(τ)=∑ni=1(x i+τ- x)(x i- x)∑ni=1(x i- x)2(5)式中 x为{x t}的均值.当C L(τ)首次下降到初值的1/e时所对应的τ即为所求的最佳延时[10-12].112　嵌入维数的选择按照嵌入原理,原则上m应选取得较大.如果要描述整个轨道的性态,应有m>2D(D为关联维数).由于D的后验性,通常针对不同的m值,经过混沌分析方法,确定关联维数,再选择最佳嵌入维数[13].2　线性变换混沌时间序列特性211　线性变换混沌时间序列关联维数关联维数是描述系统复杂程度的一个量,是混沌三大特征参数之一,计算关联维数通常使用G-P 算法[14].定理1　混沌时间序列线性变换后所得的新的时间序列关联维数与原序列相等.证　根据G-P算法求原混沌时间序列的关联维数,步骤如下:Step1　定义原混沌时间序列重构相空间中两重构向量的距离为:r ij=‖X i-X j‖(6)Step2　给定一个正数r,凡是距离小于r的向量称为关联向量,假定一共构造了n个向量,则关联向量的数量在n2种可能出现的配对中所占的比例称为关联积分,表达式如下:C(r,m)=1n2∑ni,j=1θ(r-‖X(i)-X(j)‖)(7)式中θ为Heaviside单位函数.Step3　适当调整r的取值便可以求得:d(m)=limr→0ln[C(r,m)]ln r(8)式中d(m)为对关联维数的很好逼近.实际的求取过程中只需要在ln[C(r,m)]→ln r的曲线上拟合出其线性部分的斜率便可.Step4　定义经线性变换的混沌时间序列重构相空间中两重构向量距离r ij=‖ X i- X j‖=|a|r ij(9)Step5　给定一个正数 r=|a|r,则根据式(7)可得:C(r,m)=C(r,m)(10)根据式(8),可得线性变换后混沌时间序列的关联维数的逼近,可表示为:d(m)=limr→0ln[C(r,m)]ln(|a|)+ln r(11)所以在ln r为横坐标,ln[C(r,m)]为纵坐标的坐标图上,变换后的时间序列相当于把图形沿水平轴平移ln(|a|)个单位,其斜率不变.定理得证.212　线性变换混沌时间序列Lyaponunov指数Lyaponunov指数是混沌系统的三大特性参数73第2期鄂加强等:混沌特性时间序列线性变换理论方法及其应用之一,其反应了相邻轨道分离的速率,通常计算方法有Wolf方法和Jocobian方法,因为Wolf方法最接近原始定义,所以选用Wolf方法计算[15].定理2　混沌时间序列线性变换后所得的新的时间序列Lyaponunov指数与原时间序列相等.证　运用Wolf方法计算原混沌时间序列步骤如下:Step1　在原混沌时间重构空间中选择基准向量X0,在其余向量中选择距离最近向量X00,记此时距离为L0.Step2　追踪其演化,直至两点距离超过ε,此时X0→X1,X00→X01,L′0=‖X1-X01‖>ε.Step3　保留点X1,在其余向量中选择一向量X10,使得两向量距离小于ε,并且尽量使两向量夹角最小,记:L1=‖X1-X10‖(12)Step4　重复上述步骤直至演化结束,设所用时间为t m-t0,则所求Lyaponunov指数λ为:λ=1t m-t0∑i=mt=0lnL′iL i(13)Step5　在线性变换后的序列重构空间中选择与X0相应的基准向量 X0,在其余向量中选择距离最近向量 X00,可得其距离:L0=|a|L0(14)Step6　追踪演化过程,直至两点距离超过 ε= aε,此时 X00→ X01, X0→ X1, L′0=‖ X1- X01‖=|a|L′0> ε,重复上述步骤,根据式(13)可得 λ=λ.定理得证.213　线性变换混沌时间序列K olmogorov熵K olmogorov熵是混沌系统的三大参数之一,它是混度特征识别及其混沌程度的整体度量.其定义如下:取边长为r的盒子覆盖于相空间,设完全覆盖相空间吸引子轨道所需盒数n个,考察m维动力系统在奇怪吸引子上的轨道X t={x t,x t+τ,…, x t+(m-1)τ},每隔Δt的时间测量系统状态,设P(i1, i2,i3,…,i n)是轨道t=τ时在第1个盒子中,t= 2τ时候在第2个盒子中,…,t=nτ在第n个盒子中的概率,则K olmogorov熵为:K=-limτ→0limr→01nτ∑i1,i2,…,inP(i1,i2,…,i n)× ln P(i1,i2,…,i n)(15)定理3　时间序列线性变换前后所得的K olmogorov熵分别相等.证　对原始时间序列,K olmogorov熵与二阶瑞利熵近似相等,二阶瑞利熵定义如下:K2=-limτ→0limr→01nτln P(i1,i2,…,i n)(16)则K2=-limτ→0limr→0limn→∞1nτln C2m(r,m)(17)其中m为嵌入维数.K olmogorov熵K的估计值K2,能从一系列相关积分函数C m(r,m)中得到.在对数坐标中,求当m →∞时,在连续相关曲线C m(r,m)和C m+1(r,m +1)之间的距离的极限,即:K=K2=1mτlnC m(r,m)C m+1(r,m)(18)在实际计算过程中,在嵌入维数按等间隔增加的时候对关系图ln r→ln C2m(r,m)中的点,在无标度区间做等斜率线性回归,便可以得到所求的K olmogorov熵.对变换后的序列,从定理1可知:当 r=|a|r 的时候 C m(ar,m)与变换前相同.故定理得证.3　实例验证美国气象学家Lorenz通过对对流实验的研究,得到了第一个表现奇异吸引子的连续动力系统,该系统经过傅立叶变换,截断,并无量纲化,便可以得到一个三维的常微分方程组:d xd t=a(y-x)d yd t=(b-z)x-yd zd t=-cz+xy(19)初始化系统参数,选取(a,b,c)=(10,28, -3/8),初值(x0,y0,z0)=(12,2,9),采样时间10～30s,采样周期T=0.01s,采样所得由x分量的2000个点构成的时间序列见图1.将所得时间序列进行如式(3)的线性变换,线性变换系数为(2,3),将变换后与变换前的时间序列进行相空间重构,为了方便显示,嵌入维数为3,延时为17,相空间重构图见图2.83 湖南大学学报(自然科学版)2009年n /次(a )线性变换前的时间序列n /次(b )线性变换后的时间序列图1　Lorenz 方程x 分量时间序列Fig.1　Time series of x component in Lorenz formula(a )线性变换前时间序列相空间重构(b )线性变换后时间序列相空间重构图2　线性变换前后时间序列相空间重构图Fig.2　Phase space reconstruction of time series beforeand after linear transformation从图1,图2可以看出线性变换之前和之后的相空间图直观上没有差别,只是在坐标上有所扩大.311　延时时间的选择根据自相关法求延时,当自相关系数第一次达到其初值的1/e 时候,所对应的延时为最佳延时,本例中的最佳延时见图3,为τ=17.τ(a )线性变换前时间序列求延时τ(b )线性变换后时间序列求延时图3　线性变换前后时间序列求延时Fig.3　E ffective time delay of time series312　关联维数的确定G-P 算关联维数,随着嵌入维数的增加,所得曲线线性部分斜率趋于饱和,从图4和图5可以看出,线性变换前后其关联维数不变,其关联维数为2.3461,则相应根据Takens 原理可以求得最佳嵌入维数为5.ln r图4　线性变换前时间序列关联维数Fig.4　Correlation dimension of time seriesbefore linear transformationln r图5　线性变换后时间序列的关联维数Fig.5　Correlation dimension of time seriesafter linear transformation313　求Lyapunov 指数根据W olf 算法计算Lyapunov 指数,通过matlab 编程计算,可得变换前后Lyapunov 指数不变,为e 0.0127.从该Lorenz 时间序列线性变换可以看出,线性变换前后混沌时间序列的特性不变.4　理论应用411　混沌相似4.1.1　基本概念以相似原理为基础的模型实验方法在流体力学中有着广泛的应用.例如,通过飞机模型在风洞中的实验去探索飞机的气动特性;通过舰船模型在试验水池中的实验去研究舰船的阻力特性;通过推进器模型在水洞中的实验去研究推进器的动力特性.相似条件可以概括为:凡属于同一类的流动,当单值条件相似,而且由单值条件中的物理量所组成的相似准则数相等时,这些流动必定相似.具体的相似条件分为几何相似、运动相似以及动力相似.几何相似是指模型与原型的全部对应线性长度93第2期鄂加强等:混沌特性时间序列线性变换理论方法及其应用的比例相等:K l=l′/l(20)其中l′为模型的长度,l为实物的长度,K l称为长度比例尺.运动相似是指模型与原型的流场对应时刻、对应点流速的方向相同,大小比例相等:K v=v′/v(21)K t=t′/t(22)其中v′,t′分别为模型的对应速度以及对应路程所需要的时间;v,t为相应的实物的速度与实际路程所需时间;K v,K t为速度比例尺和时间比例尺.动力相似是指模型与原型的流场对应点作用在流体微团上的各类力中的同类力的方向相同,大小的比例彼此相等:K F=F′/F(23)其中F′为模型所受的力,F为实物在相应的时刻所受到的力.4.1.2　时间序列分析设在t时刻于模型中测量的时间序列为(V′1, V′1+t,…,V′1+nt),采样间隔为t′,则相应的实物中所对应的速度为(V1,V1+t,…,V1+nt),采样周期为t,根据式(21),(22)可得:t′=K t t(24)V′=K v V(25)实物中的时间序列是模型中的时间序列的线性变换,根据定理1～定理3可知:定理　在相似实验中,若模型系统在某时刻达到了混沌状态,则在相应的时刻实物系统也达到混沌状态,并且混沌特性参数并不随相似系数的改变而变化.412　锅炉汽包水位应用联合循环汽包水位控制一直是国内外备受关注的研究,由于余热锅炉汽包水位传感器之间晃荡的存在,给水位控制系统带来了很大的负面影响,即水位周期性的动作造成水位测量失真,从而导致控制系统产生错误判断和动作,并且控制系统和控制阀等因水位频繁的晃荡产生频繁动作,从而产生不必要的损耗.另外水位晃荡幅值一般保持在10-1mm 级上,这给测量带来了很大的不便.测量水位晃荡所设计的实验台架见图6,水槽长为1.3m,宽为0.2m,高为0.4m.两端底部开有两个直径为26mm圆孔,用来连接下降管以及流量计.同时设计了一个给水分配管,长度为1m,并在分配管的两侧均匀布置了两组小孔,其直径为2 mm.采样周期为0.02s,即每秒采样50次,运行环境为水位为0.16m时,给水流量和下降管流量为3.6L/s,采样所得数据都已被线性放大,数据见图7.图6　水位晃荡实验台架示意图Fig.6　Schematic of experiment bench ofsloshing of waterleveln/次图7　水位晃荡幅值时间序列Fig.7　Time series of amplitude ofsloshing of water level求解相关参数步骤如下:1)确定延滞时间.用自相关法求延时见图8.当自相关系数下降到初值的1/e时,所对应的延时便为最佳延时,采样数据中所对应的最佳延时τ=1.2)求解关联维数.τ图8　自相关法求最佳延时Fig.8　The solving of the optimal delay timewith autocorrelation algorithm04 湖南大学学报(自然科学版)2009年关联维数可通过最小二乘法拟合其直线部分的斜率得到,见图9.关联维数为2.3457.3)确定最佳嵌入维数.嵌入维数根据m ≥2D 的原则,其中D 为关联维数,则最佳嵌入维数为6.ln r图9　G-P 算法求关联维数Fig.9　The solving of the Correlation Dimension with G-P algorithm4)根据wolf 方法确定指数为0.8269.5)时间序列预测.①重构相空间:假设嵌入维数为m ,时间延迟为τ,则状态向量为:X N =(x N +(m -1)τΔt ,x N +(m -2)τΔt ,…,x N )(26)②选择合适的半径r :寻找X N 邻域中距离与其小于r 的范围U (X N )中的点X n ,其中n <N ,计算这些点的数量,计为|U (X N )|,记录下这些点的将来的第m 个值X n +m .③计算点X N +m 预测值:X N +m =1|U (X N )|∑X n∈U (X N)X n +m(27)为说明这一预测方法的合理性,采用了Lorenz 方程进行检验,取Lorenz 方程:d xd t=10(-x +y )d yd t=28x -y-xz d zd t=xy -8z/3(28)取x 第1000～3000个点,采样周期0.01s ,初值(12,2,9),取前500个点作为已知点,对后1500个点进行预测,邻域取0.1,通过图10可以看出这种方法是符合预测要求的,其绝对误差始终保持在0.05以下.根据测得的水位晃荡信号时间序列,对其后1000个时间序列点进行预测,所得结果如图11.图10　对Lorenz 时间序列的预测Fig.10　The prediction of Lorenz time seriesn /次图11　水位晃荡信号晃荡幅值时间序列预测Fig.11　The prediction of the time series ofamplitude of sloshing of water level5　结　论通过对混沌信号线性变换前后的关联维数、李雅普诺夫指数进行对比分析可以得出:1)混沌信号经线性变换后仍然保留了其混沌特性,其吸引子的关联维数、李雅普诺夫指数都不发生变化.当微小波动不易测量时,可采用信号线性放大,并可以直接针对放大以后的信号进行分析.2)相似实验中,模型系统进入混沌状态,则实物系统在相应的时刻也会进入混沌状态,并且三大混沌特性参数不变.当实际系统中混沌特性不易分析时,可根据相似实验原理适当放大或缩小系统比例,直接对放大或缩小后的系统进行分析,结果不变.3)水位晃荡的幅值信号具有混沌与分形的特性,其关联维数为2.3457,L E 指数为0.8269,为建模和预测提供了很好的依据,同时关于水位晃荡的14第2期鄂加强等:混沌特性时间序列线性变换理论方法及其应用控制将在他文中叙述.参考文献[1]　LORENZ E N.Deterministic non2periodic flow[J].Journal ofthe Atmospheric Sciences,1963,20:130-141.[2]　鄂加强,梅炽,刘春洋,等.炼铜转炉粗铜成分时间序列的混沌分形[J].中南大学学报:自然科学版,2005,36(2):238-241.E J Q,MEI C,L IU C Y,et,al.Chaos and fractal of crude 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