第四章 平稳过程
第四章 平稳随机过程2
C XY (τ ) = CYX (τ ) = 0 R XY (τ ) = RYX (τ ) = m X mY S XY (ω ) = SYX (ω ) = 2π m X mY δ (ω )
(5) 互谱密度的幅度平方满足
S XY (ω ) ≤ S X (ω ) SY (ω )
2
1 ∗ S XY (ω ) = lim E X T (ω )YT (ω ) T →∞ 2T 1 2 S X (ω ) = lim E X T (ω ) T →∞ 2T 1 2 SY (ω ) = lim E YT (ω ) T →∞ 2T
3、互功谱密度性质 、 X(t)和 Y(t)是实随机过程且联合平稳的。 是实随机过程且联合平稳的。 和 是实随机过程且联合平稳的 1 ∞ （1） ）
PXY =
（2）
2π ∫−∞ = RYX (0) = PYX
S XY (ω )d ω = R XY (0)
S XY (ω) = SYX (−ω) = S (ω) = S (−ω)
2
∫
∞
−∞
Y (ω ) dω
2
上式方括号内恰好是样本函数x 上式方括号内恰好是样本函数 (t) 在单位频带 上的功率。在整个频域内积分给出平均功率， 上的功率。在整个频域内积分给出平均功率， 还给出x(t)的频率分布情况 所以称为 的频率分布情况， 称为样本的 还给出 的频率分布情况，所以称为样本的 功率谱密度。 功率谱密度。
−∞ −∞ ∞ ∞
若输入过程X(t)的每个样本函数，上面的积分 的每个样本函数， 若输入过程 的每个样本函数 都在均方意义下收敛， 这样就整个过程而言， 都在均方意义下收敛 ， 这样就整个过程而言 ， 便有
Y (t ) = X (t ) ∗ h(t ) = ∫ X (τ )h(t − τ )dτ = ∫ h(τ ) X (t − τ )dτ
第四章4节离散平稳信源
, XL) 1
n H (X1, X2, , X L ) 1 H (X ) 1 1
L log D
L log D log D L
2011/3/28
马尽文
11
4.4离散平稳信源
这时， 0 可取 1 ，使得
分大的 L ，满足 1 ，从而 L2
n H(X )
齐次马尔可夫信源的既约性（或不可约性）： 任何两个状态之间，存在有限步路径使得从 一个状态转移到另一个状态的概率大于零。
稳态分布：状态（符号）的概率分布（若在 n
时刻）为 {Pn (aj )} j 1,
2011/3/28
马尽文
15
4.5 马尔可夫信源及其编码
经过转移后保持不变，即在 n 1 时刻有
2011/3/28
马尽文
4
4.4离散平稳信源
（2）
HN (X )
1 N
H ( X1,
, XN )
1 N [H ( X1) H ( X 2 | X1) H ( X N | X1,
1 N [NH ( X N | X1, , X N 1)]
H ( X N | X1, , X N 1)
（3）
HN
1 N
H (X1,
, XN)
lim
N
H(XN
|
X1,
, X N 1 )
lim
N
H(XN
|
X N 1 )
H ( X 2 | X1)
K
P( X1 a j )H ( X 2 | X1 a j ) j
H ( X | S ) H ( X )
注意:(1)马尔可夫信源的熵率是条件熵，与离 散无记忆信源相比，由于马尔可夫信源符号 前后的约束关系使其信息量更小。
随机信号分析第四章习题讲解
4-4设有限时间积分器的单位冲激响应h(t)=U(t)－U(t －0.5) 它的输入是功率谱密度为 210V Hz 的白噪声，试求系统输出的总平均功率、交流平均功率和输入输出互相关函数()()()()()22221:()2[()][()]0Y Y Y Y XY X P E Y t G d D Y t E Y t m E Y R R R h ωωπτττ∞-∞⎡⎤==⎣⎦⎡⎤=-==⎣⎦=*⎰思路()()()10()()10()10[()(0.5)]()()10[()(0.5)]XY X YX XY R R h h h U U R R U U τττδτττττττττ=*=*==--=-=----解：输入输出互相关函数()Y R τ00020.025()0()10()10()0()()()()10(()00[()(0.)()10()()()10()()10101100.55[()5)]](0)X X X Y X Y X Y Y X t m G R m m h d R U R h h h h h h d R h h d d d E Y t R U ωτττττττττλτλδτλλλλλλλμ∞∞∞∞==⇔====**-=*-=+=+=-=-=⋅=⨯==⎰⎰⎰⎰⎰时域法平均功是白噪声，，，率面积法：225[()][()]5Y Y D Y t E Y t m ==-=P 交流：平均功率()()()2141224222Y2(P1313711()2415()()()102424115112522242j j j Y X Y U t U t Sa e H e Sa G G H e Sa Sa G d Sa S d a d ωτωωωτττωωωωωωωωωωωππωωπ---∞∞∞-∞∞--∞⎛⎫--⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭-⎛⎫⇒= ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫===⎛⎫= ⎪ ⎭⎪⎭⎝⎝⎰⎰⎰P 矩形脉冲A 的频谱等于A 信号与线性系统书式域法）频()()2220000[()][()][()]5Y X Y Y m m H H D Y t E Y t m E Y t =⋅=⋅⇒=-===P 交直流分量为平均功率：流4-5 已知系统的单位冲激响应()(1)[()(1)]h t t U t U t =---，其输入平稳信号的自相关函数为()2()9X R τδτ=+，求系统输出的直流功率和输出信号的自相关函数？分析：直流功率＝直流分量的平方解: 输入平稳输出的直流分量 输出的直流功率()2300X X m R σ==±==()()()10332Y X m m h t h t ττ=*=*=⎰=31-d ()()()()()()()()()()()()()()()2'''222'[()(1()(1)(1)F )]12122222j j j j Y h t t t d F j d d F j jd H A A U t U t A Sa ej A Sa e Sa e Sa eG U t U t t j ωωωωωωωωωωωωωωωωωω----⋅↔⇒⋅↔-⇒=-⎛⎫--⇒=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇒==+⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝=-=-⎭⎣-=-⎦变换 频域的微分特性 -jt f t t f t =A t A t 矩形脉冲A 谱t 的频()()()()()()()()()()()2''21920222410001lim 022239024X X Y Y X G H G H H Sa Sa R j H A A j Sa m m H j ωωωωωωωωπδτω*→=⋅⋅⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+⇒ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫⎛⎫---== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⋅=⇒＝＝直流功率294Y m =()Y X m m h t =*4-7 已知如图4.21 所示的线性系统，系统输入信号是物理谱密度为0N 的白噪声，求：①系统的传递函数()H ω？②输出()Z t 的均方值？其中2222[sin()][()]2ax dx a ax dx axSa π∞∞==⎰⎰()()()()()()()112122121212()()()()()()()()()()()F ()(1)()()11()()()()()()()(()j T Y t X t X t T h t t t T t h t d U t Y X H Y H X H H H H H H e H j H h H t h t H ωωωωωωωωωωωωωωωπδωωωωδδωλδλω-∞-∆∆=--=--⇒=⋅==⇒⇒=-=+=⋅=⋅⋅=⎡⎤⎣⎦⎰Z Z 可以分别求冲激响应，输入为冲激函数：输入为冲激函数、，冲激响应＝1(1)()1)[()](1)()j Tj T j T e e e j j ωωωπδωπδωωω----=-+=-＋()2222222220022022102(2)(1)(1)2()(1cos )2sin sin 2sin ((0)()()()21sin 21sin (0)2)()()()[()]j T j T Z X j Z Z Z Z Z Z e e H T j j T TN T G G H H N T N e d T R G R R F G R N ωωωτωωωωωωωωωωωωωωωωωπωωπωωττω+∞-∞----=⋅=-⋅=⇒⋅=⋅⋅=⋅-⋅⇒⋅==⋅⎰＝＝＝求输出Z t 的均方值即，所以有2200000sin 2222j e d N TN N T d T τωωπωπωπ∞-∞∞=⋅⋅=⋅⋅=⎰⎰4-11 已知系统的输入为单位谱密度的白噪声，输出的功率谱密度为2424()109Y G ωωωω+=++求此稳定系统的单位冲激响应()h t ？解：()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()242223211242()41092243311()()12231311112()0231921Y t Y X X t G s s s s s s G H G H s H s H s s j H s H s s j j h t F H F e e U t j j s s j s H G s ωωωωωωωωωωωωωωωωω----⋅==⇒=-=++=⇒=++++⎛⎫ ⎪+=++-+-+====+ ⎪++ ⎪⎝⎭-+-+-+==系统稳定，则零头、极点都＋在左半平面带入4-12 已知系统输入信号的功率谱密度为223()8X G ωωω+=+ 设计一稳定的线性系统()H ω，使得系统的输出为单位谱密度的白噪声？解：()()()()()221()11()Y X X G G H s s H s G s H s H ωωωω=⇒⋅=⇒==⇒==即4-14 功率谱密度为02N 的白噪声作用于(0)2H =的低通网络上，等效噪声带宽为XH MHz 。
第四章 随机过程中的平稳过程
RX ( ) E[ X (t )X (t )] =E[ X (t ) X (t )] RX ( )
R(s, t ) E[ X (s)X (t )] R( )
则称{X(t),t∈T} 为宽（弱、广义）平稳过程，简称宽 平稳过程
2008年12月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
由于在许多工程技术问题中，常常仅在相关理论(一、二
阶矩)的范围内讨论问题，因此划分出广义平稳随机过程来。
而相关理论之所以重要，是因为在实际中，一、二阶矩能给出 有关平稳随机过程平均功率的几个主要指标，比如，如果随机
过程如果代表噪声电压信号，那么在相关理论范围内就可以给
出直流分量、交流分量，平均功率及功率在频域上的分布(我 们将在后面讨论功率谱密度)等。另外，在电子系统中经常遇
到最多的是正态随机过程，对于正态随机过程而言，它的任意
若令 t 2 ，得
f (t1 , t 2；x1 , x2 ) f (t1 t 2 ,0；x1 , x2 ) f (；x1 , x2 )
其中 同理
t1 t2
二维分布函数也仅与时间差 而与时间起点无关，即
t1 t2
有关，
F (t1 , t 2；x1 , x2 ) F (；x1 , x2 )
j [ l ( t ) k t ] E X X e k l k 1 l 1
bk e jk
k 1
RY ( )
所以， {Y (t ), t }具有平稳性。
2008年12月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
P
k 0
现代信号处理第4章循环平稳信号分析
引言
机械循环平稳信号具有以下特点：
(1) 正常无故障的机械信号一般是平稳随机信号，统计 量基本不随时间变化。
(2) 故障信号产生周期成分或调制现象，其统计量呈现 周期性变化，此时信号成为循环平稳信号。
(3) 统计量中的某些周期信息反映机械故障的发生。
因此研究循环平稳信号处理和特征信息的提取方法， 对机械故障诊断具有重要的意义。
4.3.1调频信号的解调分析
x(t) Acos[2f zt sin(2fnt)]
4.3.2 多载波调频信号的解调
x(t) cos(2 fc1t sin(2 f0t)) cos(2 fc2t sin(2 f0t))
多载波调频信号的解调
4.3.3 多调制源调幅信号的解调
x(t) 1 cos2 f01t cos2 f02tcos2 fct
4.3.4 多载波调幅信号的解调
x(t) [1 cos(2 f0t)]cos(2 fc1t) [11.5cos(2 f0t)]cos(2 fc2t) n(t)
多载波调幅信号的解调
多载波调幅信号的解调
4.3.5 循环相关解调法识别信号有用信息
和混频信息的规律
(1) 如果循环频率高频段的循环谱切片图的循环频率信息与 该图片相对应的频率信息具有2倍的关系，并且切片图中相 应的循环频率信息（或频率信息）表现为中心频率，其两边 均有明显的调制边频带，则说明此循环频率（或频率）具有 载波频率特征，循环频率是载波频率的2倍，并且图中所对 应的边频带频率信息就是调制频率信息。
4.2.1 一阶循环统计量
循环统计方法是研究信号统计量的周期结构，它直 接对时变统计量进行非线性变换得到循环统计量， 并用循环频率——时间滞后平面分布图来描述信号， 抽取信号时变统计量中的周期信息。
(解答)《随机过程》第四章习题
第四章 二阶矩过程、平稳过程和随机分析 习题解答1、 设∑=-=Nk k k kn U n X 1)cos(2ασ，其中k σ和k α为正常数，)2,0(~πU U k ，且相互独立，N k ,,2,1 =，试计算},1,0,{ ±=n X n 的均值函数和相关函数，并说明其是否是平稳过程。
解：计算均值函数和相关函数如下0)}{cos(2)cos(2}{)(11=-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-==∑∑==Nk k k k N k k k k n X U n E U n E X E n ασασμ∑∑∑∑∑∑======-=--=--=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=Ni i i N i i i i i i Ni Nj j j i i j i N j j j j N i i i i X m n U m U n E U m U n E U m U n E m n R 12121111)](cos[)}cos(){cos(2)}cos(){cos(2)cos(2)cos(2),(ασαασαασσασασ因此可知，},1,0,{ ±=n X n 是平稳随机过程。
2、 设有随机过程))(cos()(t t A t X πηω+=，其中0>ω为常数，}0),({≥t t η是泊松过程，A 是与)(t η独立的随机变量，且2/1}1{}1{===-=A P A P 。
（1） 试画出此过程的样本函数，并问样本函数是否连续？ （2） 试求此过程的相关函数，并问该过程是否均方连续？ 解：（1）样本函数不连续。
（2）令：012≥>t t ，下面求相关函数：)(221)(212210)(1212211212121211212212122112221122121121212cos cos )]}(cos[)]({cos[21!)]([)]}(cos[)]({cos[)1(21))]}()(()(cos[))]()(()(2)({cos[21))]}()(()(cos[))]()(()({cos[21))}(cos())({cos(}{))}(cos())(cos({)}()({),(t t t t k t t k kX e t t e t t t t e k t t t t t t t t t t t t t t t E t t t t t t t t E t t t t E A E t t t t A E t X t X E t t R ----∞=--⋅=⋅-++=⋅-⋅-++-=-+-+-+++=-+-++++=++⋅=++==∑λλλωωωωλωωηηπωηηππηωηηπωηηπωπηωπηωπηωπηω因为：t t t R ωξ2cos ),(=因此该过程是均方连续的随机过程。
第四章 平稳随机过程的谱分析
1 2
S
X
(
)e
j
d
自相关函数和功率谱密度皆为偶函数
若随机过程X t是平稳的，自相关函数绝对可积，则自相关函数
jt
ddt
1
2
XX
()
x(t)e jt dtd
1
2
X
X
()X
* X
()d
1
2
X
X
()
2d
4.1、平稳随机过程的功率谱密度 ❖功率谱
功率型信号：能量无限、平均功率有限的信号
P lim 1 T s(t) 2 dt T 2T T 其能谱不存在，而功率谱存在
持续时间无限长的信号一般能量无限
4.1、平稳随机过程的功率谱密度
❖如何计算随机信号的平均功率？
2）时域计算方法
任一样本函数的平均功率为
W
lim
T
1 2T
T x2(t, )dt
T
随机过程的平均功率为
W
E[W
]
lim
T
1 2T
T E{X 2(t)}dt
T
若为各态历经过程：
W =W
4.1、平稳随机过程的功率谱密度 ❖如何计算随机信号的平均功率？
2020/5/20
6
4.1、平稳随机过程的功率谱密度
❖傅立叶变换
则 x(t)的傅立叶变换为：
X () x(t)e jt dt
其反变换为：
x(t) 1 X ()e jt d
2
频谱密度存在的条件为：
频谱密度
x(t)dt
2020/5/即20 信号为绝对可积信号
包含：振幅谱 相位谱
求各样本函数功率谱密度的统计平均
循环平稳信号分析
0
A
21
功率谱密度函数
由式（4.2.17）可以求出该仿真信号的循环谱密度 为
14Sa(f f0)14Sa(f f0) Sx(f ) 14ej2Sa(f )
0
=0;
=2f0; 其它
A
22
功率谱密度函数
给式（4.2.14）所示仿真信号叠加平稳遍历白噪声 n(t),各参数取值与上述计算二阶循环自相关函数 时的取值完全相同。循环谱如图4.2.4所示
A
27
4.3.1调频信号的解调分析
x ( t) A c2 o fz t ss [2 ifn n t)] (
A
28
4.3.2 多载波调频信号的解调
x ( t ) c o s ( 2 f c 1 t s i n ( 2 f 0 t ) ) c o s ( 2 f c 2 t s i n ( 2 f 0 t ) )
A
29
多载波调频信号的解调
A
30
4.3.3 多调制源调幅信号的解调
x ( t ) 1 c o s 2 f 0 1 t c o s 2 f 0 2 t c o s 2 f c t
A
31
A
32
4.3.4 多载波调幅信号的解调
x ( t ) [ 1 c o s ( 2 f 0 t ) ] c o s ( 2 f c 1 t ) [ 1 1 . 5 c o s ( 2 f 0 t ) ] c o s ( 2 f c 2 t ) n ( t )
lim 1 N(2N1)T0
N nN
TT00//22x(tnT0)ej2tdt
lim1
TT
T/2 x(t)ej2tdt
应用随机过程课后习题解答 毛用才 胡奇英
第一章习题解答1． 设随机变量X 服从几何分布，即：(),0,1,2,k P X k pq k ===。
求X 的特征函数，EX 及DX 。
其中01,1p q p <<=-是参数。
解()()jtxjtkk X k f t E eepq ∞===∑()k jtkk p q e∞==∑ =0()1jt kjtk pp qe qe ∞==-∑又200()kkk k q qE X kpq p kq p p p ∞∞======∑∑222()()[()]q D X E X E X P =-=〔其中 00(1)nnn n n n nxn x x ∞∞∞====+-∑∑∑〕令 0()(1)n n S x n x ∞==+∑那么 1000()(1)1xxnn k n xS t dt n t dt x x∞∞+===+==-∑∑⎰⎰22201()()(1)11(1)1(1)xn n dS x S t dt dxx xnx x x x ∞=∴==-∴=-=---⎰∑同理 2(1)2kkkk k k k k k x k x kx x ∞∞∞∞=====+--∑∑∑∑令20()(1)k k S x k x ∞==+∑ 那么211()(1)(1)xkk k k k k S t dt k t dt k xkx ∞∞∞+====+=+=∑∑∑⎰〕2、〔1〕 求参数为(,)p b 的Γ分布的特征函数，其概率密度函数为1,0()0,0()0,0p p bxb x e x p x b p p x --⎧>⎪=>>Γ⎨⎪≤⎩（2） 其期望和方差；（3） 证明对具有一样的参数的b 的Γ分布，关于参数p 具有可加性。
解 〔1〕设X 服从(,)p b Γ分布，那么10()()p jtxp bxX b f t ex e dx p ∞--=Γ⎰ 1()0()p p jt b x b x e dx p ∞--=Γ⎰101()()()()(1)p u p p p p p b e u b u jt b x du jt p b jt b jt b∞----==Γ---⎰ 10(())x p p e x dx ∞--Γ=⎰ 〔2〕'1()(0)X p E X f j b∴== 2''221(1)()(0)X p p E X f j b +== 222()()()PD XE X E X b∴===（4） 假设(,)i i X p b Γ 1,2i = 那么121212()()()()(1)P P X X X X jt f t f t f t b-++==-1212(,)Y X X P P b ∴=+Γ+同理可得：()()iiP X b f t b jt∑=∑-3、设X 是一随机变量，()F x 是其分布函数，且是严格单调的，求以下随机变量的特征函数。
四章平稳过程
顺便指出，今后凡提到“平稳过程”，通常 是指宽平稳过程。
例4.1 设Y是随机变量，试分别考虑随机过 程 X1(t) Y, X2(t) tY 的平稳性。 解 ∵Y是随机变量，∵ X1(t) Y 这一过程 是一个与时间无关的特殊的过程，它的任何 n维概率密度函数 PY ( y1, , yn ) 与时间无关， 所以是一个严平稳。
即
PX (x1;t1) PX (x1)
∴
E [X (t)] M X 常数
又因严平稳的二维概率密度只与时间间隔
有关，即
PX (x1, x2;t1,t2 ) PX (x1, x2; )
t2 t1
∴ RX (t1,t2 ) RX ( )
E [X 2 (t)]
xi (t),i 1, 2,
用一个样本函数xi(t)的均值和相关函数来近似随 机过程的均值和相关函数，如果能，这为我们求 随机过程的数学特征就带来了很大方便。
这里提出一个问题：怎样表示一个样本函数如 x1(t)的均值呢？我们以下式来表示
1T
显然x1(t)不同其M积x1 分2结T 果T 一x1(t般) d不r 同。
第四章 平稳过程
在随机过程的大家族中，有一类随机过程，它的 统计特性或者说统计变化规律与所选取的时间起 点无关。或者说，整个随机过程的统计特性不随 时间的推移而变化。
例如，飞机在某一水平高度h上飞行时，由于受 到气流的影响，实际飞行高度H(t)总是在理论设 计高度h水平上下随机波动，此时飞机的实际飞 行高度H(t)是一个随机过程，显然此过程可看作 不随机推移面变化的过程，这个随机过程，我们 把它看作是平衡的随机过程。
为
E
[X
(t1)]
线性ARMA模型专题知识讲座
注意到 var(rt ) (1 12 ) 2 , 我们有
0 1,
1
1 1 12
,
l 0
(l 1)
MA(1)模型在间隔为1后来旳是截尾旳
MA(2)模型
rt t 1t1 2t2
自协方差函数
1
(1
1
2
)
2 e
,
2
2
2 e
,
自有关系数是
l 0(l 2)
1
这个成果称为平稳AR(2)模型旳矩方程
平稳AR(2)模型旳自有关系数函数满足
0 1,
1
1 1 2
l 1l1 2l2 , l 1
上面旳成果表白平稳AR(2)序列旳ACF满足二阶差分方程
(1 1B 2 B 2 )l 0
其中，B是向后推移（延迟，滞后）算子，即 Bl l1
有时用L表达延迟算子，如 Lrt rt1
1 1 2
1 12
2 2
,
2
2
1 12
2 2
,
l 0(l 2)
MA(2)模型在间隔为2后来旳是截尾旳
MA(q)模型
自有关系数 rt t 1t1 qtq
k
k
1 k1 2 k2 qk q
1 12
2 q
0
for k 1,2,, q for k q
MA(q)模型在间隔为q步后来旳是截尾旳， MA(q)模型具有有限记忆性
MA过程
ACF图
基本结论 MA(q)过程旳自有关函数q步截尾
练习题
P59. 4.19 P59. 4.20 P58. 4.4 P58. 4.1 P58. 4.2 5. 计算 rt t 0.6t1 0.3t2 0.5t3 0.5t4
(解答)《随机过程》第四章习题
（2）如果 X ~ N (0,1) ，问过程 (t) 是否均方可微？说明理由。
解：计算随机过程 (t) 的相关函数：
R (s,t) E{ (s) (t)} E{( X cos 2s Y sin 2s)(X cos 2t Y sin 2t)} cos 2s cos 2tE{X 2} sin 2s sin 2tE{Y 2} [cos 2s sin 2t sin 2s cos 2t]E{XY}
4、 设有随机过程 X (t) 2Z sin(t ) ， t ，其中 Z 、 是相互独立的随机 变量，Z ~ N (0,1) ，P( / 4) P( / 4) 1/ 2 。问过程 X (t) 是否均方可积
过程？说明理由。
解：由 Z 、 的相互独立性，计算随机过程 X (t) 的均值函数和相关函数： E{X (t)} E{2Z sin(t )} 2E{Z}E{sin(t )} 0
Y (t) 2X (t) 1， t 0 。试求过程{Y (t), t 0} 的相关函数 RY (s,t) 。
解：由相关函数的定义，有：
RY (s,t) E{Y (s)Y (t)} E{(2X (s) 1)(2X (t) 1)} 4E{X (s) X (t)} 2E{X (s)} 2E{X (t)} 1 4E{X (s) X (t)} 4 1
0
T 2 T T E{X (s) X (u)}dsdu m2 00
T 2
T 0
T 0
R
X
(
s
u
)dsdu
m
2
T 2
T 0
T 0
[C
第四章平稳随机过程的非线性变换
第四章平稳随机过程的非线性变换引言：在前几章中，我们已经学习了平稳随机过程的基本概念和性质，以及一些线性变换对平稳过程的影响。
在本章中，我们将进一步研究平稳随机过程的非线性变换，并分析其对平稳过程的影响。
一、非线性变换的基本概念和性质1.非线性变换的定义：非线性变换是指将一个随机变量或随机过程通过非线性函数进行变换的过程。
一般而言，非线性变换会使得原始随机过程的统计特性发生变化。
2.非线性变换的性质：(1)非线性变换可逆性：与线性变换不同，非线性变换并不保证可逆性，即经过非线性变换之后，难以从变换后的结果恢复出原始的随机过程。
(2)非线性变换的稳定性：与线性变换类似，非线性变换也有稳定性的概念。
如果对于任意的平稳随机过程，通过非线性变换得到的随机过程仍然是平稳的，则称该非线性变换为稳定的非线性变换。
(3)非线性变换的矩特性：非线性变换会改变随机过程的矩特性，即均值、方差等统计特性会发生变化。
因此，通过非线性变换可以得到更多的统计信息。
二、非线性变换对平稳随机过程的影响1.非线性变换的影响：(1)直观影响：非线性变换通常会使得随机过程的波形更为复杂，振幅变化更大，同时也可能改变波形的周期性。
(2)统计特性的变化：非线性变换会改变平稳过程的矩特性，如均值、方差等统计特性将发生变化。
此外，非线性变换也可能增加过程的相关性，使之更接近于高斯分布。
(3)动力学特性的变化：非线性变换可能改变平稳随机过程的动力学行为，使之呈现更加复杂的行为，包括分岔、混沌等现象。
这些变化对于描述实际系统的行为非常重要。
2.非线性变换的实际应用：(1)数据压缩与表示：非线性变换可以对数据进行压缩和表示，通过保留数据的重要特征，可以减小数据的维度，提高数据处理的效率。
(2)信号处理与滤波：非线性变换可以改变信号的频谱特性和功率分布，并通过滤波等操作来实现信号处理的目标。
(3)图像处理与识别：非线性变换可以提取图像中的纹理、形状、边缘等特征，并用于图像识别、分类等应用。
《随机过程答案》第四章习题
第四章 二阶矩过程、平稳过程和随机分析 习题完整答案，请搜淘宝1、 设∑=-=N k k k k n U n X 1)cos(2ασ，其中k σ和k α为正常数，)2,0(~πU U k ，且相互独立，N k ,,2,1 =，试计算},1,0,{ ±=n X n 的均值函数和相关函数，并说明其是否是平稳过程。
2、 设有随机过程))(cos()(t t A t X πηω+=，其中0>ω为常数，}0),({≥t t η是泊松过程，A 是与)(t η独立的随机变量，且2/1}1{}1{===-=A P A P 。
（1） 试画出此过程的样本函数，并问样本函数是否连续？（2） 试求此过程的相关函数，并问该过程是否均方连续？3、 设}0),({≥t t X 是一实的零初值正交增量过程，且),(~)(2t N t X σμ。
令1)(2)(-=t X t Y ，0≥t 。
试求过程}0),({≥t t Y 的相关函数),(t s R Y 。
4、 设有随机过程)sin(2)(Θ+=t Z t X ，+∞<<∞-t ，其中Z 、Θ是相互独立的随机变量，)1,0(~N Z ，2/1)4/()4/(=-=Θ==ΘππP P 。
问过程)(t X 是否均方可积过程？说明理由。
5、 设随机过程t Y t X t 2sin 2cos )(+=ξ，+∞<<∞-t ，其中随机变量X 和Y 独立同分布。
（1） 如果)1,0(~U X ，问过程)(t ξ是否平稳过程？说明理由；（2） 如果)1,0(~N X ，问过程)(t ξ是否均方可微？说明理由。
6、 设随机过程});({+∞<<∞-t t X 是一实正交增量过程，并且0)}({=t X E ，及满足：{}+∞<<∞--=-t s s t s X t X E ,,)]()([2；令：+∞<<∞---=t t X t X t Y ),1()()(，试证明)(t Y 是平稳过程。
第四章平稳过程课件
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随机过程(西电版） 4.3 平稳过程的各态历经性
第4章 平稳过程
_______
X (t) X (t ) l i m
1
T ______
X (t) X (t )dt
l i m 1
T
a
2
T
cos(t
2T T
) cos(t
)dt
T 2T T
a2 l i m 1
4.1 平稳过程的概念
第4章 平稳过程
（1） mX (t) m （常数）
（2） RX (s,t) RX ( ), t s
则称 {X (t),t T }为宽平稳过程。
显然，一个严平稳过程如果存在二阶矩，则必为宽平稳过 程。以后平稳过程均指宽平稳过程。
例1、设 { X n , n 1,2, }是不相关的随机变量序列，且
1
2
a cos(t )d 0
2 0
RX (t1,t2 ) E[ X (t1) X (t2 )]
E[a cos(t1 )a cos(t2 )]
a2 2
cos
, 其 中
t2
t1.
2024年6月19日星期三
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随机过程(西电版） 4.2 平稳过程相关函数的性质 第4章 平稳过程
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随机过程(西电版） 4.3 平稳过程的各态历经性
第4章 平稳过程
lim
T
证明：E[
1 2T
X (t
)
22TT1
2T
] E[l i
C
精品文档-随机过程——计算与应用(研究生)(冯海林)-平稳过程1
平稳过程的定义 定义 5.1.1 设X={Xt,t∈T}是随机过程,如果对任意的
n 1, t1, t2 , , tn T和实数，当t1 ,t2 , , tn T时，
n维随机变量 (Xt1 , Xt2 , , Xtn )和 (Xt1 , Xt2 , , Xtn ) 有相同的联合分布函数,即
则
mX (t)
xdFt (x)
xdF (x)与t无关，为常数
RX (s,t )
x1x
2d
Fs,t (x1, x2 )
x1
x2
dF0,t
s
(
x1,
x2
)，仅与时间间隔有关系
随机过程引论——西安电子科技大学数学与统计学院 冯海林
用定义判断一个过程的严平稳性是困难的. 在理论与应用上多的是宽平稳过程.
Ft1,t2 , ,tn (x1, x2 , , xn ) Ft1 ,t2 , ,tn ( x1, x2 , , xn )
则称X是严平稳过程.
随机过程引论——西安电子科技大学数学与统计学院 冯海林
例5.1.1 设N={Nt,t≥0}是参数为λ 的泊松过程，对任意固定 的常数a>0,令
Xt =Nta Nt ,
例5.1.6 设{An,n=1,2,…N} 和{Bn,n=1,2,…N}是两列实值 随机变量序列.且
E[An ] E[Bn ] 0, E[AnBm ] 0,
E[AnAm ] E[BnBm ] n2mn , 设n >0,定义随机过程：
N
Xt [Ak cos(kt) Bk sin(kt)], t (, ), k 1
2[a 2 min(0, ) min(a, ) min(0, a)]
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0
T
E [X (t)] 1 tT S()d 1 T S()d 常数
Tt
T0
❖ 又∵
RX (t1,t2 ) RX (t,t ) E [ X (t) X (t )] E [S(t ) S(t )]
T
0 S(t )S(t ) f ( )d
❖令 t ,
E [X (t)] 1
本函数的积数结果可能不同。此时显然用一个样
本函数的数字特征如 M x1 ，近似 E [X (t)]是不正确 的。但是如果当时间区间T充分大时，如果X(t)的
绝大多数样本函数的均值
xT
T
T x1(t) dt
x2 (t)
lim
T
1 2T
T
T x2 (t) dt
xn (t)
❖ 性质4.1 若X(t)为平衡过程，则它的一维概 率密度与时间无关
证 设X(t)的一维概率密度函数为 由于X(t)为平稳过程
PX
(
x1;
t1
)
，
∴ PX (x1;t1) PX (x1;t1 )
令 t1 则PX (x1;t1) PX (x1;0) PX (x1)
由此我们可求平稳过程X(t)的均值、均方值、
❖ 用一个样本函数xi(t)的均值和相关函数来近似随 机过程的均值和相关函数，如果能，这为我们求 随机过程的数学特征就带来了很大方便。
❖ 这里提出一个问题：怎样表示一个样本函数如 x1(t)的均值呢？我们以下式来表示
显然x1(t)不同其M积x1 分21结T 果TT 一x1(t般) d不r 同。
于是对一个随机过程， X (t) {x1(t),L , xn(t),L }，其样
❖ 2. 平均随机过程的各态历经性
要回答上述的问题，我们设当X(t)为平稳过程且 满足一定条件时，可用一个样本函数的均值和协 方差函数作为过程X(t)的数字特征近似，为此我 们给出如下定义：
前面已经介绍过，对于一个随机过程X(t)，我 们当然希望能建立起它的多维分布函数，因 为随机过程的多维分函数能较完整地描述随 机过程的统计特性，但是要建立多维分布函 数往往很困难，因此我们一般在相关理论范 围内也就是用数字特征来描述过程的重要特 性，这种用数字特征来描述过程X(t)统计特性 变化规律，对很多实际问题往往已能获得很 好的效果，可以提取到所需的参数。
对样本函数x(t)取不同时刻，如 t0,t1L ,tn ，得所 对应的结果 x(t0), x(t1),L , xn (tn ) ，即此时随机过程 可表示为 X (t) {x(t0),L , x(tn ),L }。
❖ 对任意指定时刻 t1, X (t) 的数学期望可近似表示
为
E
[X
(t1)]
1 n
x1x2PX (x1x2; )dx1dx2 RX ( )
又∵
CX (t1, t2 ) RX (t1, t2 ) M X (t1)M X (t2 )
RX ( ) M X
MX
RX
(
)
M
2 X
CX ( )
∴
CX
(
)
RX
(
)
M
2 X
顺便指出，由一个随机过程的平稳性研究可推 广到关于两个随机过程的平稳性研究，可以这样 说，若两个随机过程的联合概率密度函数不随时 间的平移而变化，与时间的起点无关，则可称这 两个随机过程是联合平衡的，或称平稳相依。
❖ 此外当我们知道一个随机过程是平稳过程 时，它应不随时间的推移而变幻无常。例 如当我们要测定一个电阻的热噪声的统计 特性，由于它是平稳过程，因而我们在任 何时间进行测试都能得到相同的结果。
§4.1 定义和例子
❖ 定义严平稳随机过程：对于任意的t，随机过程 X(t)的任意n维概密度都有
PX (x1, x2 L , xn;t1,t2,L , tn )
lim
T
1 2T
T
T xn (t) dt
都有
x1(t) x2(t) L xn (t) L
则我们可用其中一个样本函数的均值 xn (作t)
为 [X(t)]的近似，即 xn (t) E [X (t)], n 1, 2L
定义随机过程的时间均值和时间相关函数：称
X (t)X (t ) lim 1
PX (x1, x2; )
❖ 此式表明，平稳随机过程的二维概率密度 函数仅依赖于 ，而时间的个别值 t1,t2 无关。由此，我们可以进一步来讨论平稳 过程X(t)的协方差函数应具有什么样的表 达形式。
RX (t1,t2 ) E [ X (t1) X (t2 )]
x1x2PX (x1x2;t1, t2 )dx1dx2
❖ 定义宽平稳过程：给定随机过程X(t)，如
果 E [X (t)] M X 常数
❖ 且 E [X 2 (t)] , RX (t1,t2 ) E [X (t1)X (t2)] RX ( )
t2 t1
则称X(t)为宽平稳过程（广义平稳过程）。
显然由宽平稳定义可知，要求 E [E(t)], RX (t1,t2) 就要考虑X(t)的一维概率密度函数PX (x1,t1)和二
T
X (t)X (t ) dt
T 2T T
为随机过程的时间相关函数。
❖ 注意：定义中 X (t), X (t)X (t ) 一般都是随机变量 （常数可看作特殊的随机变量）。
❖ 由上述分析可知，是不是任何一个随机过 程 X (t) {x1(t),L , xn (t)} ，它的数学期望、相关 函数都可用其中的一个样本函数的均值和协方差 函数来近似呢，显然不一定，一个自然的问题是 X(t)在什么条件下可用一个样本函数的均值和协 方差函数作为整个过程X(t)的均值，协方差函数 的近似呢？
dx1
2 X
综上所述，严平稳一定是宽平稳
反之不一定成立，除非是高斯过程（正态过程）。 类似地，我们还可以给出两个随机过程联合宽平稳 定义。 定义联合宽平稳：对于平稳过程 X (t1),Y (t) 若
RXY (t1,t2 ) RXY ( ), t2 t1
则称 X (t),Y (t) 联合宽平稳。
即
PX (x1;t1) PX (x1)
∴
E [X (t)] M X 常数
又因严平稳的二维概率密度只与时间间隔
有关，即
PX (x1, x2;t1,t2 ) PX (x1, x2; )
t2 t1
∴ RX (t1,t2 ) RX ( )
E [X 2 (t)]
x12 PX
( x1 )
❖ 从上面介绍的严平稳随机过程的定义知，要判断 一个随机过程是否是严平稳，需要确定该随机过 程的任意n维概率密度函数族，它的变化是否与 时间的平稳无关，这本身就是一个十分困难的工 作，然而在工程上根据实际需要，我们往往只在 所谓的相关理论范围内考虑随机过程的平稳性问 题，这里所指的相关理论，就是指随机过程的数 字特征，即数学期望、相关函数和今后要介绍的 功率普密度等。当在相关理论又可指研究随机过 程的一、二阶矩理论。
t
S()S( ) d
Tt
1
T
T
0 S()S( ) d RX ( )
§4.2 遍历性定理
❖ 1. 各态历经问题的提出
对于一个随机过程X(t)，我们当然希望知道它们 的分布函数，但很困难，于是我们退而求其次， 考虑求它的数字特征即数学期望、相关函数等。 但要求X(t)的数字特征，首先需要知道它的一、 二维概率密度函数，即
第四章 平稳过程
❖ 在随机过程的大家族中，有一类随机过程，它的 统计特性或者说统计变化规律与所选取的时间起 点无关。或者说，整个随机过程的统计特性不随 时间的推移而变化。
❖ 例如，飞机在某一水平高度h上飞行时，由于受 到气流的影响，实际飞行高度H(t)总是在理论设 计高度h水平上下随机波动，此时飞机的实际飞 行高度H(t)是一个随机过程，显然此过程可看作 不随机推移面变化的过程，这个随机过程，我们 把它看作是平衡的随机过程。
维概率密度函数 PX (x1, x2 ; t1,t2)。
❖ 下面我们来分析一下严平稳和宽平稳之间 的关系。对于一个随机过程X(t)，如果它 是严平稳的，且它的二阶矩存在及均方有 界 E [X 2(t)] ，则由严平稳
PX (x1,L , xn ; t1,L ,tn ) PX (x1,L x2 ; t1 ,t2 ) 双因严平稳的一维概率密度与时间无关，
需要求 E [X (t)], RX (t1,t2) 。
❖ 当取定 t 时, X (t) X (t )为一随机变量 的
函数 Y g(X ) ，由求随机变量函数的数学
期望公式知
∵ E [Y ] g(x) f (x)dx
令
T
E [X (t)] 0 (t )
t ，则
f ( )d
T S(t ) 1 d
PX (x1;t1), PX (x1, x2;t1,t2 )
这实际上又很难办，进而为我们求数字特征又带 来困难。怎么解决这个问题呢？实际上，在工程 中，要求X(t)的数字特征，我们自先是通过试验 来产生一族时间样本函数 x1(t),L , xn (t),L
❖ X(t)或者是做试验产生一个样本函数x(t)，然后再
顺便指出，今后凡提到“平稳过程”，通常 是指宽平稳过程。
例4.1 设Y是随机变量，试分别考虑随机过 程 X1(t) Y, X2(t) tY 的平稳性。 解 ∵Y是随机变量，∵ X1(t) Y这一过程是 一个与时间无关的特殊的过程，它的任何n 维概率密度函数 PY ( y1,L , yn ) 与时间无关， 所以是一个严平稳。
n h1
xk (t1)
协方差函数可近似表示为
来计算，显然这RX种(t1用,t2近) 似1n计kn算1 xk的(t1方)x法k (t来2 ) 估计随机过
程的数学期望及协方差函数要求n很大，即样本函数