最 经典的 三角函数的不定积分

三角函数有理式的不定积分

由u(x)、v(x)及常数经过有限次四则用算所得到的函数称为关于u(x)、v(x)的有理式，并用R(u(x),v(x))表示.

⎰dx x x R )cos ,(sin 是三角函数有理式的不定式.一般通过变换t=tan 2x

,可把他化为有理函数的不定积分。这是因为

Sinx=2

222122tan

12tan

22cos 2sin 2cos 2sin 2t t x x x x x x +=+=+ (8) Cosx=2

22

2

2222112tan 12tan 12cos 2sin 2sin 2cos t t x x x x x x +-=+-=+- (9) dx=dt t

2

12

+ 所以dt t t t t t R dx x x R 2

22212

)11,12()cos ,(sin ++-+=⎰⎰ （10）

例3 求dx x x x

⎰

++)

cos 1(sin sin 1

解 令t=tan 2

x

,将(8)、（9）、（10）代入被积表达式，

dx x x x ⎰++)cos 1(sin sin 1=dt t

t t t t t t 2

2

22212)111(12121+∙+-++++

⎰ =)ln 22(21)12(212

t t t dt t t ++=++⎰+C

=C x

x x +++2

tan ln 212tan 2tan 412

注意 上面所用的交换t=tan 2

x

对三角函数有理式的不定积分虽然总是有效的，

但并不意味着在任何场合都是简便的.

例4 求)0(cos sin 2

222≠+⎰

ab x

b x a dx

解 由于

tan )

(tan tan sec cos sin 2

2222222222⎰⎰⎰+=+=+b x a x d dx b x a x x b x a dx 故令t=tanx,就有

tan )

(tan tan sec cos sin 22222222222⎰⎰⎰+=+=+b x a x d dx b x a x x b x a dx =

C b

at

ab +arctan 1 适当当被积函数是x x 22cos ,sin 及sinxcosx 的有理式时，采用变换t=tanx 往往比较方便.其他特殊情形可因题而异，选择合适的变换。

三 某些无理根式的不定积分

1.dx d cx b ax x R ),

(⎰++型不定积分（ad-bc ≠0）.对此只需令t=,d

cx b

ax ++就可化为有理函数的不定积分。 例5 求dx x x x 2

2

1-+⎰

解 令t=,22-+x x 则有x=,)

1(8,1)1(22

222dt t t

dx t t --=-+ dt t t t dx x x x ⎰⎰+-=-+)1)(1(4221222

,

=dt t

t )12

12(2

2+--⎰ =ln

C t t

t

+--+arctan 211 =C x x x x x x +-+--+-++2

2

arctan

22

2

2

21ln . 例6 求⎰-++2

2)1(x

x x dx

解 由于

,21)1(12)1(1

22

x

x

x x x x -++=

-++

故令t=,21x x -+则有x=,16,1122

22dt t t

dx t t +=+-

⎰-++2

2)

1(x x x dx =dx x

x

x -++⎰

21)1(12

=dt t dt t t t t ⎰⎰=+⋅+2

2222232

)1(69)1( =.123232C x

x C t ++--=+-

2. dx c bx ax x R ),(2⎰++型不定积分（a>0时.2b -4ac o ≠时，)042>-ac b 由于

,442(2

222

⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-++=++a b ac a b x a c bx ax 若记u=,2a b x +,442

22

a b ac k -=则此二次三项式必属于以下三种情形之一：

).(),(),(222222u k a k u a k u a -++

因此上述无理式的不定积分也就转化为以下三种类型之一:

du k u u R ),(22⎰±, .),(22du u k u R ⎰-

例7 求⎰

--=4

22

x x x dx I

解 【解法一】 按上述一般步骤，求的 I=

⎰

⎰+=--)

14

)1(2u du

x x

dx （ x=u+1） =⎰

⋅+θ

θθ

θtan 2)1sec 2tan sec 2d θ (u=2sec θ)

=dt t t t d ⎰⎰+-+=++

2

2

221112cos 2θθ (t=)2tan θ

C +=

)2tan 3

1

arctan(

3

2θ