八年级初二数学第二学期平行四边形单元 易错题测试综合卷检测试题

八年级初二数学第二学期平行四边形单元 易错题测试综合卷检测试题

一、解答题

1．如图，在ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 、F 分别为OB 、OD 的中点，延长AE 至G ，使EG AE =，连接CG ．

（1）求证：AOE COF ∆≅∆；

（2）四边形EGCF 是平行四边形吗？请说明理由；

（3）若四边形EGCF 是矩形，则线段AB 、AC 的数量关系是______．

2．如下图1，在平面直角坐标系中xoy 中，将一个含30的直角三角板如图放置，直角顶点与原点重合，若点A 的坐标为()1,0-，30ABO ∠=︒．

（1）旋转操作：如下图2，将此直角三角板绕点O 顺时针旋转30时，则点B 的坐标为 ． （2）问题探究：在图2的基础上继续将直角三角板绕点O 顺时针60︒，如图3，在AB 边上的上方以AB 为边作等边ABC ，问：是否存在这样的点D ，使得以点A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形构成为菱形，若存在，请直接写出点D 所有可能的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）动点分析：在图3的基础上，过点O 作OP AB ⊥于点P ，如图4，若点F 是边OB 的中点，点M 是射线PF 上的一个动点，当OMB △为直角三角形时，求OM 的长．

3．如图1，在正方形ABCD 中，点M 、N 分别在边BC 、CD 上，AM 、AN 分别交BD 于点

P 、Q ，连接CQ 、MQ ．且CQ MQ =．

（1）求证：QAB QMC ∠=∠

（2）求证：90AQM ∠=︒

（3）如图2，连接MN ，当2BM =，3CN =，求AMN 的面积

图1 图2

4．如图，在长方形ABCD 中，8,6AB AD ==． 动点P Q 、分别从点、D A 同时出发向点C B 、运动，点P 的运动速度为每秒2个单位，点Q 的运动速度为每秒1个单位，当点P 运动到点C 时，两个点都停止运动，设运动的时间为()t s ．

（1）请用含t 的式子表示线段PC BQ 、的长，则PC ________，BQ =________．

（2）在运动过程中，若存在某时刻使得BPQ ∆是等腰三角形，求相应t 的值．

5．如图1，已知四边形ABCD 是正方形，E 是对角线BD 上的一点，连接AE ，CE ．

（1）求证：AE ＝CE ；

（2）如图2，点P 是边CD 上的一点，且PE ⊥BD 于E ，连接BP ，O 为BP 的中点，连接

EO ．若∠PBC ＝30°，求∠POE 的度数；

（3）在（2）的条件下，若OE 2，求CE 的长．

6．社团活动课上，数学兴趣小组的同学探索了这样的一个问题：

如图1，90MON ∠=，点A 为边OM 上一定点，点B 为边ON 上一动点，以AB 为一边在∠MON 的内部作正方形ABCD ，过点C 作CF OM ⊥，垂足为点F （在点O 、A 之

间），交BD 与点E ，试探究AEF ∆的周长与OA 的长度之间的等量关系该兴趣小组进行

了如下探索：

（动手操作，归纳发现）

（1）通过测量图1、2、3中线段AE 、AF 、EF 和OA 的长，他们猜想AEF ∆的周长

是OA 长的_____倍．请你完善这个猜想

（推理探索，尝试证明）

为了探索这个猜想是否成立，他们作了如下思考，请你完成后续探索过程：

（2）如图4，过点C 作CG ON ⊥，垂足为点G

则90CGB ∠=

90GCB CBG ∴∠+∠= 又四边形ABCD 正方形，

AB BC =，90ABC ∠=

则90CBG ABO ∠+∠=

GCB ABO ∴∠=∠

在CBE ∆与ABE ∆中，

（类比探究，拓展延伸）

（3）如图5，当点F 在线段OA 的延长线上时，直接写出线段AE 、EF 、AF 与OA 长度之间的等量关系为 ．

7．如图所示，四边形ABCD 是正方形， M 是AB 延长线上一点．直角三角尺的一条直

角边经过点D ，且直角顶点E 在AB 边上滑动(点E 不与点A B 、重合)，另一直角边与

CBM ∠的平分线BF 相交于点F ．

(1)求证: ADE FEM ∠=∠;

(2)如图(1)，当点E 在AB 边的中点位置时，猜想DE 与EF 的数量关系，并证明你的猜想;

(3)如图(2)，当点E 在AB 边(除两端点)上的任意位置时，猜想此时DE 与EF 有怎样的数

量关系，并证明你的猜想．

8．已知：如下图，ABC 和BCD 中，90BAC BDC ∠=∠=，E 为BC 的中点，连

接DE AE 、.若DC AE ，在DC 上取一点F ，使得DF DE =，连接EF 交AD 于O .

（1）求证：EF DA ⊥.

（2）若4,23BC AD ==，求EF 的长.

9．定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连结它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径。

（1）如图1，损矩形ABCD ，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，则该损矩形的直径是线段AC ，同时我们还发现损矩形中有公共边的两个三角形角的特点，在公共边的同侧的两个角是相等的。

如图1中：△ABC 和△ABD 有公共边AB ，在AB 同侧有∠ADB 和∠ACB ，此时∠ADB ＝

∠ACB ；再比如△ABC 和△BCD 有公共边BC ，在CB 同侧有∠BAC 和∠BDC ，此时∠BAC ＝

∠BDC 。请再找一对这样的角来 ＝

（2）如图2，△ABC 中，∠ABC ＝90°，以AC 为一边向形外作菱形ACEF ，D 为菱形ACEF

的中心，连结BD ，当BD 平分∠ABC 时，判断四边形ACEF 为何种特殊的四边形？请说明

理由。

（3）在第（2）题的条件下，若此时AB ＝3，BD ＝2，求BC 的长。