必修一数学抽象函数习题精选含答案
高考中的抽象函数专题练习(含答案)
定义域为 [
3, 3
3 3
]
故②不成立，因为函数
y
log2
(
x2
2x
3)
的定义域为
x2
2x
3
0,
x
3
或 x 1所以递增区间为 (1, ) 不正确，所以③不成立.因为函数 y f (2x 1) 与函数 y f (1 2x) 的
图像关于 y 轴对称，所以④不正确.故选 A
2.答案：C
分析：由 f (0) 0, f (x) f (1 x) 1，得 f (1) 1 ， f (1) 1，又 f ( x) 1 f x ， f (1) 1 ，
其中正确的个数为 (
)
A. 0 个
B. 1个 C. 2 个 D. 3 个
2.定义在 R
上的函数
f
(x) 满足
f
(0)
0,
f
(x)
f
(1
x)
1,
f
(x) 5
1 2
f
(x) ，且当 0
x1
x2
1
时，
f
(x1)
f
(x2 ) ，则
f
( 1 ) 等于（ 2021
）
A. 1 2
B. 1 16
C. 1 32
D. 1 64
3.已知 f (x) 是定义在 R 上的函数，且 f (x 3)[1 f (x)] 1 f (x) ， f (2) 3 2 ，则 f 2021
2
值为（
）
A. 2 3 B. 2 3 C. 3 2 D. 2 3
4.已知 f (x 1) f (x 1), f (x) f (x 2) ，方程 f (x) 0 在[0,1] 内有且只有一个根 x 1 ，则 2
3.5.5 抽象函数-(必修第一册) (教师版)
抽象函数1概念我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数，题目中往往只给出函数的特殊条件或特征.2 常见抽象函数模型【题型一】求值问题【典题1】已知函数f(x)是定义在(0 ,+∞)上的函数，且对任意x ,y∈(0 ,+∞)，都有f(xy)=f(x)+f(y)，f(2)=1，求f(4) ,f(8).【解析】∵对任意x，y∈(0 ,+∞)，都有f(xy)=f(x)+f(y)，f(2)=1，∴f(4)=f(2×2)=f(2)+f(2)=2，f(8)=f(2×4)=f(2)+f(4)=3．【点拨】①对于抽象函数求值问题，可大胆取特殊值求解；②抽象函数f(xy)=f(x)+f(y)是对数函数f(x)=log a x型，由f(2)=1可知f(x)=log2x，则易得f(4)=2，f(8)=3，作选填题可取.又如f(x+y)=f(x)f(y)且f(1)=2，求f(3)；由f(x+y)= f(x)f(y)可令f(x)=a x，又因f(1)=2，得f(x)=2x，故易得f(3)=8.故要对常见抽象函数对应的函数模型比较熟悉.【典题2】对任意实数x ,y，均满足f(x+y2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0，则f(2001)=_______.【解析】令x =y =0，得f(0)=0，令x =n ,y =1，得f (n +1)=f (n )+2[f (1)]2令n =1，得f (1)=f (0)+2f [(1)]2=2f [(1)]2，∴f (1)=12，∴f (n +1)−f (n )=12， ∴f (n )=n 2，即f (2001)=20012.【点拨】 ① 常常需要赋予一些特殊值(如取x =0等)或特殊关系(如取y =x ， y =−x 等)，要观察等式方程的特点寻找目标，也要大胆下笔多些尝试找些规律；② 比如本题中所求的f(2001)中自变量的取值2001较大，往往要从周期性或者函数的解析式的方向入手.【题型二】单调性问题设函数y =f(x)是定义在R +上的函数，并且满足下面三个条件①对任意正数x ,y ，都有f(xy)=f(x)+f(y)；②当x >1时，f(x)<0；③f (3)=−1．(1)求f(1) ,f(19)的值；(2)证明f(x)在R +是减函数；(3)如果不等式f(x)+f(2−x)<2成立，求x 的取值范围．【解析】(1)令x =y =1，∴f (1)=f (1)+f (1)，∴f (1)=0，令x =y =3，∴f (9)=f (3)+f (3)=−1−1=−2，且f(9)+f(19)=f(1)=0 ,得f(19)=2．(2) (利用函数单调性的定义证明)取x 2>x 1>0，则x 2x 1>1 ∴由②得 f(x2x 1)<0 ∵f(xy)=f(x)+f(y)∴f (x 2)−f(x 1)=f(x2x 1)<0∴f(x)在R +上为减函数．(3)由条件①得f[x(2−x)]<2 , (凑项f (m )=2，再利用单调性求解)由f (19)=2得f [x (2−x )]<f (19)，又∵f(x)在R +上为减函数，∴x(2−x)>19又∵x >0，2−x >0，(注意函数定义域)解得x 的范围是(1−2√23 ,1+2√23)．【点拨】① 抽象函数的单调性常用单调性定义证明◆ 任取x 1 ,x 2∈D ，且x 1<x 2；◆ 作差f(x 1)－f(x 2)(根据题目给出的抽象函数特征来“构造”出f(x 1)－f(x 2))此步有时也会用作商法：判断f (x 1)f (x 2)与1的大小； ◆ 变形；◆ 定号(即判断差f (x 1)−f(x 2)的正负)；◆ 下结论(指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性)．② 在解不等式时，往往需要利用函数的单调性求解.③ 抽象函数f (xy )=f (x )+f (y )符合对数函数f (x )=log a x 型，由f (3)=−1可知f (x )=log 13x ，作选填题可用.【题型三】奇偶性问题定义在R 上的增函数y =f(x)对任意x ,y ∈R 都有f(x +y)=f(x)+f(y)，则(1)求f(0)；(2)证明：f(x)为奇函数；(3)若f(k ∙3x )+f(3x −9x −2)<0对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围．【解析】(1)在f(x +y)=f(x)+f(y)中，令x =y =0可得，f(0)=f(0)+f(0)，则f(0)=0，(2) (定义法证明函数奇偶性)令y =−x ，得f(0)=f(x)+f(−x)，又f(0)=0，则有0=f(x)+f(−x)，即可证得f(x)为奇函数；(3)因为f(x)在R上是增函数，又由(2)知f(x)是奇函数，f(k∙3x)<−f(3x−9x−2)=f(−3x+9x+2)，即有k∙3x<−3x+9x+2，得k<3x+23x−1，(分离参数法)又有3x+23x−1≥2√2−1(当x=log3√2时取到等号)，即3x+23x−1有最小值2√2−1，所以要使f(k∙3x)+f(3x−9x－2)<0恒成立，只要使k<2√2−1即可，故k的取值范围是(−∞ ,2√2−1)．【点拨】②判断或证明抽象函数的奇偶性，从奇偶性的定义入手，判断f(−x)与f(x) 的关系.②抽象函数f(x+y)=f(x)+f(y)是正比例函数f(x)=kx(x≠0)型，由f(x)是增函数，可知k>0，选填题可用.【题型四】周期性问题奇函数f (x)定义在R上，且对常数T>0，恒有f (x + T )= f (x)，则在区间[0 ,2T]上，方程f (x)= 0根的个数最小值为.【解析】∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，故f(0)=0，又∵f(x+T)=f(x)，即周期为T，∴f(2T)=f(T)=f(0)=0，又由f(−T2)=f(−T2+T)=f(T2)，且f(−T2)=−f(T2)∴f(T2)=0，∴f(3T2)=f(T2)=0，故在区间[0 ,2T]，方程f(x)=0根有x=0，T2，T，3T2，2T，个数最小值是5个，【点拨】抽象函数的周期性常与奇偶性，对称性放在一起，记住有关周期性和对称性的结论，做题时常画图像更容易找到思路.巩固练习1 (★★) f(x)的定义域为(0 ,+∞)，对任意正实数x ,y 都有f(xy)=f(x)+f(y) 且f(4)=2，则f(√2)= .【答案】 12【解析】取x =y =2，得f(4)=f(2)+f(2)⇔ f(2)=1；取x =y =√2，得f(2)=f(√2)+f(√2) ⇔ f(√2)=12；2(★★★)已知f(x)是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R 都有(f (x +2)−1)2=2f(x)−f 2(x)，则f(2019)= ．【答案】 1±√22【解析】根据题意，f(x)为偶函数且f(x)满足(f (x +2)−1)2=2f(x)−f 2(x)，变形可得[f (x +2)−1]2+[f 2(x)−2f(x)+1]=1，即[f (x +2)−1]2+[f (x )−1]2=1，令x =−1可得[f (−1)−1]2+[f (1)−1]2=1，即2[f (1)−1]2=1，解可得：f(1)=f(−1)=1±√22，又由f(x)满足[f (x +2)−1]2+[f (x )−1]2=1，则有[f (x +4)−1]2+[f (x +2)−1]2=1，联立可得：[f (x +4)−1]2=[f (x )−1]2，变形可得：f(x +4)=f(x)或f(x +4)+f(x)=2，若f(x +4)=f(x)，则有f(2019)=f(−1+505×4)=f(−1)=1±√22，此时有f(2019)=1±√22， 若f(x +4)+f(x)=2，即f(x +4)=2−f(x)，则有f(x +8)=2−f(x +4)=f(x)，则有f(2019)=f(3+2016)=f(3)，则f(3)=2−f(−1)=1±√22， 综合可得：f(2019)=1±√22， 故答案为：1±√22．3(★★) f(x)是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且f(2)=0，则方程f(x)=0在区间[−6 ,6]内解的个数的最小值是.【答案】13【解析】∵f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，∴f(x+3)=f(x)，且f(－x)=－f(x)，则f(0)=0，则f(3)=f(6)=f(−6)=f(0)=0，f(−3)=−f(3)=0，∵f(2)=0，∴f(5)=f(−1)=f(−4)=0，f(−5)=0，f(1)=0，f(4)=0，f(－2)=0，方程的解可能为0，3，6，－6，－3，2，5，−5，−2，－1，1，4，−4共13个，故选：D．4 (★★★)已知定义在(−∞ ,0)∪(0 ,+∞)上的函数f(x)满足①对任意x ,y∈(−∞ ,0)∪(0 ,+∞)，都有f(xy)=f(x)+f(y)；②当x>1时，f(x)>0且f(2)=1；(1)试判断函数f(x)的奇偶性；(2)判断函数f(x)在区间[−4 ,0)∪(0 ,−4]上的最大值；(3)求不等式f(3x−2)+f(x)≥4的解集．【答案】(1)偶函数(2)2(3)x≤−2或x≥8 3【解析】(1)∵f(xy)=f(x)+f(y)；令x=y=a，则f(a2)=f(a)+f(a)=2f(a)，令x=y=−a，则f(a2)=f(−a)+f(−a)=2f(−a)，即f(a)=f(−a)，故函数f(x)是偶函数，(2)任取0<x1<x2，则x2－x1>0，∵f(xy)=f(x)+f(y)；∴f(xy)－f(x)=f(y)；∴f(x2)－f(x1)=f(x2x1)∵x2x1>1，x>1时，f(x)>0，∴f(x2)－f(x1)=f(x2x1)>0，得到f(x1)<f(x2)，故函数f(x)在区间(0，－4]上的最大值为f(4)=f(2)+f(2)=2，又由函数f(x)是偶函数，∴函数f(x)在区间[－4，0)上的最大值也为2，故函数f(x)在区间[－4，0)∪(0，－4]上的最大值为2；(3)由(2)得f(4)=2，则f(16)=f(6)+f(6)=4，故不等式f(3x －2)+f(x)≥4可化为：f[(3x －2)x]≥f(16)，由(2)中结论可得：|(3x －2)x|≥16，即(3x －2)x ≥16或(3x －2)x ≤－16，解得x ≤－2或x ≥835 (★★★) 已知定义在(0 ,+∞)的函数f(x)，对任意的x 、y ∈(0 ,+∞)，都有f(xy)=f(x)+f(y)，且当0<x <1时，f(x)>0．(1)证明：当x >1时，f(x)<0；(2)判断函数f(x)的单调性并加以证明；(3)如果对任意的x 、y ∈(0 ,+∞)，f(x 2+y 2)≤f(a)+f(xy)恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】(1) 略 (2)减函数，函数单调性定义证明 (3) (0 ,2]【解析】(1)∵f(xy)=f(x)+f(y)，令x =y =1，则f(1)=f(1)+f(1)，所以f(1)=0，再令y =1x ，则f(1)=f(x)+f(1x )=0，当x >1时，0<1x <1．∵f(1x )>0．∴f(x)=－f(1x )<0(2)任取x 1，x 2∈(0，+∞)，且x 1<x 2，则f(x 2)－f(x 1)=f(x2x 1) ∵x 1<x 2，所以x 2x 1>1，则f(x2x 1)<0，f(x 2)<f(x 1)， ∴f(x)在(0，+∞)上是减函数，(3)f(x 2+y 2)≤f(a)+f(xy)恒成立，∴f(x 2+y 2)≤f(axy)恒成立，∴x 2+y 2≥axy ，∴0<a ≤x 2+y 2xy =y x +x y ≥2，当且仅当x =y 取等号，∴实数a 的取值范围(0，2]6 (★★★) 定义在R 上的单调增函数f(x)满足：对任意x ,y ∈R 都有f(x +y)=f(x)+f(y)成立(1)求f(0)的值；(2)求证：f(x)为奇函数；(3)若f(1+2x )+f(t ∙3x )>0对x ∈(−∞ ,1]恒成立，求t 的取值范围．【答案】 (1) 0 (2)略，定义证明 (3) t >−1【解析】 (1)令x =y =0，则f(0)=f(0)+f(0)，∴f(0)=0．(2)令y =－x ，则f(0)=f(x)+f(－x)，∵f(0)=0，∴f(－x)=－f(x)，∴f(x)为奇函数．(3)∵f(t •3x )>－f(1+2x )，∴f(t •3x )>f(－1－2x )，∴t •3x >－1－2x∴t >−(13)x −(23)x 恒成立，而−(13)x −(23)x 单调递增，∴−(13)x −(23)x ≤−1从而t >－1．挑战学霸已知f (x )是定义在R 上不恒为0的函数，满足对任意x ,y ∈R ，f (x +y )=f (x )+f (y )， f(xy)=f(x)f(y)．(1)求f(x)的零点；(2)判断f(x)的奇偶性和单调性，并说明理由；(3)①当x ∈Z 时，求f(x)的解析式；②当x ∈R 时，求f(x)的解析式.【解析】(1)记f(x +y)=f(x)+f(y) ①，f(xy)=f(x)f(y) ②在①中取y =0得f(0)=0.若存在x ≠0，使得f(x)=0，则对任意y ∈R ，f(y)=f(x ⋅y x )=f(x)f(y x )=0，与f(x)不恒为0矛盾．所以x ≠0时，f(x)≠0，所以函数的零点是0.(2)在①中取y =−x 得f(x)+f(−x)=f(0)=0，即f (−x )=−f(x)， 所以f(x)是奇函数．x ,y ∈R ， y >x 时，f(y)−f(x)=f(y)+f(−x)=f(y −x)=(f(√y −x))2>0， 可得f (y )>f(x)．所以函数f(x)在R 上递增．(3)①由f(xy)=f(x)f(y)中取x ,y =1得f (1)=f 2(1)．因为f(1)≠0，所以f(1)=1，对任意正整数n ，由①得f(n)=f(1)+⋯+f(1)⏟ n 个=n ×1=n ，f (−n )=−f (n )=−n ，又因为f(0)=0，所以x ∈N 时，f(x)=x ；对任意有理数m n (m ∈N ∗，n ∈N ∗)，由①， f(m)=f(n ⋅m n )=f(m n )+⋯+f(m n )=nf(m n)⏟ n 个， 所以f(m n )=f(m)n =m n，即对一切x ∈Z ,f(x)=x ． ②若存在x ∈R ，使得f(x)≠x ，不妨设f(x)>x (否则以−f(−x)代替f(x)，−x 代替x 即可)， 则存在有理数α，使得x <α<f(x)(例如可取n =[1f(x)−x ]+1，m =[nx]+1，α=m n)． x <α但f(x)>α=f(α)，与f(x)的递增性矛盾．所以x ∈R 时，f(x)=x ．。
高一抽象函数经典习题
抽象函数练习题参考答案第一组1、 若函数()21f x +的定义域为31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，则函数()2log f x 的定义域为________．【答案】1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦2、 若()()11f n f n +=+，n *∈N ，且()12f =，则()100f =________． 【答案】1023、 定义R 上的函数()()()f xy f x f y =+，且()98f =，则f =________．4、 定义在区间()1,1-上的减函数()f x 满足：()()f x f x -=-．若()()2110f a f a -+-<恒成立，则实数a 的取值范围是_________．【答案】(0,5、 已知函数()f x 是定义在()0,+∞上的增函数，对正实数,x y ，都有：()()()f xy f x f y =+成立．则不等式()2log 0f x <的解集是_________．【答案】()1,26、 已知函数()f x 是定义在(],3-∞上的减函数，已知()()222f a t f a t -+-≤对[]1,1t ∈-恒成立，则实数a 的取值范围为________．【答案】⎡⎢⎣⎦7、 已知定义在R 上的单调函数()f x ，存在0x ∈R ，使得12,x x ∀∈R ，总有()()()()0102012f x x x x f x f x f x +=++恒成立，则0x =________．【答案】1第二组8、 函数()f x 对于0x >有意义，且满足条件()21f =，()()()f xy f x f y =+，()f x 是减函数．⑴ 证明：()10f =；⑵ 若()()32f x f x +-≥成立，求x 的取值范围．【答案】⑵ []1,3-．9、 已知函数()f x 对任意实数,x y 恒有()()()f x y f x f y +=+且当0x >，()0f x <，又()12f =-．⑴ 判断()f x 的奇偶性；⑵ 求()f x 在区间[]3,3-上的最大值；⑶ 解关于x 的不等式()()()224f ax f x f ax -<+．【答案】⑴ 奇函数；⑵ 6；⑶ 当0a =时，(),1-∞；当2a =时，()(),11,-∞+∞；当0a <时，2,1a ⎛⎫⎪⎝⎭； 当02a <<时，()2,1,a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭；当2a >时，()2,1,a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭．10、 定义在R 上的函数()y f x =满足：① ()00f ≠；② 当0x >时，()1f x >；③ ,a b ∀∈R ，()()()f a b f a f b +=⋅． ⑴ 求证：()01f =；⑵ 求证：对任意的x ∈R ，恒有()0f x >； ⑶ 证明：()f x 是R 上的增函数；⑷ 若()()221f x f x x ⋅->，求x 的取值范围．【答案】⑷ ()0,3．11、 已知函数()f x 的定义域为R 满足：① 任意实数,m n 都有()()()f m n f m f n +=⋅； ② 当0x >时，()01f x <<．⑴ 证明：()01f =，且0x <时()1f x >； ⑵ 证明：()f x 在R 上单调递减； ※⑶ 设()()()(){}22,1A x y f x f y f =⋅>，()(){},21,B x y f ax y a =-+=∈R ，若AB =∅，试确定a 的取值范围．【答案】⑶ ⎡⎣12、 已知函数()f x 的定义域为R ，满足：① 任意实数,m n 都有()()()12f m n f m f n +=+=； ② 102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③ 当12x >时，()0f x >． ⑴ 求()1f ； ※⑵ 求和()()()()123f f f f n ++++（n *∈N ）；⑶ 判断函数()f x 的单调性，并证明．【答案】⑴ ()112f =；⑵ 22n ；⑶ 单调递增．13、 函数()f x 的定义域为R ，并满足以下条件：① 对任意x ∈R ，有()0f x >；② 对任意,x y ∈R ，有()()yf xy f x =⎡⎤⎣⎦； ③ 113f ⎛⎫> ⎪⎝⎭．⑴ 求()0f 的值；⑵ 求证：()f x 在R 上是单调减函数；※⑶ 若0a b c >>>且2b ac =，求证：()()()2f a f c f b +>．【答案】⑴ ()01f =．14、 定义在区间()0,+∞上的函数()f x 满足：① ()f x 不恒为零；② 对任何实数,x q ，都有()()q f x qf x =． ⑴ 求证：方程()0f x =有且只有一个实根；⑵ 若1a b c >>>，且a 、b 、c 成等差数列，求证：()()()2f a f c f b ⋅<⎡⎤⎣⎦；⑶ 若()f x 单调递增，且0m n >>时，有()()22m n f m f n f +⎛⎫== ⎪⎝⎭，求证：32m <<【答案】略．15、 已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且它的图象关于直线1x =对称．⑴ 求()0f 的值；⑵ 证明：()()4f x f x +=；⑶ 若()f x x =（01x <≤），求当x ∈R 时，函数()f x 的解析式，并画出满足条件的函数()f x 至少一个周期的图象．【答案】⑴ ()00f =；⑶ ()4,414124,4143x k k x k f x x k k x k --+⎧=⎨-+-+<<+⎩≤≤，k ∈Z ．16、 设函数()f x 在(),-∞+∞上满足()()22f x f x -=+，()()77f x f x -=+，且在闭区间[]0,7上，只有()()130f f ==．⑴ 试判断函数()y f x =的奇偶性；⑵ 试求方程()0f x =在闭区间[]2013,2013-上的根的个数，并证明你的结论．【答案】⑴ 非奇非偶函数；⑵ 806个根．第三组17、 已知定义在()1,1-上的函数()f x 满足：对任意的(),1,1x y ∈-，都有()()1x y f x f y f xy ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭，⑴ 求()0f 的值；⑵ 求证：函数()f x 是奇函数；⑶ 若当()1,0x ∈-时，有()0f x >，求证：()f x 在()1,1-上是减函数； ※⑷ 写出一个满足已知条件的函数（此问不用写理由）．【答案】⑴ ()00f =；⑷()arctan f x x =-或()1log 1axf x x-=+，其中0a >且1a ≠．18、 定义在R 上的函数()f x 对任意实数,a b 都有()()()()2f a b f a b f a f b ++-=⋅成立，且()00f ≠．⑴ 求()0f 的值；⑵ 试判断()f x 的奇偶性；⑶ 若存在常数0c >使02c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，试问()f x 是否为周期函数，请说明理由．【答案】⑴ ()01f =；⑵ 偶函数；⑶ 2c ．19、 已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数，且,a b ∀∈R ，()()()f ab af b b a =+．⑴ 求()0f ，()1f 的值；⑵ 判断()f x 的奇偶性，并证明你的结论； ⑶ 若()22f =，试求12nf ⎛⎫⎪⎝⎭的值． 【答案】⑴ ()00f =，()10f =；⑵ 奇函数；⑶ 122nn n f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．20、 已知定义在R 上的函数()f x 满足：① 值域为()1,1-，且当0x >时，()10f x -<<； ② 对于定义域内任意的实数,x y ，均满足()()()()()1f m f n f m n f m f n ++=+．⑴ 试求()0f 的值；⑵ 判断并证明函数()f x 的奇偶性； ⑶ 判断并证明函数()f x 的单调性．【答案】⑴ ()00f =；⑵ 奇函数；⑶ 单调递减．21、 ()f x 的定义域关于原点对称，且满足①对()f x 定义域D 内的任意两个数1x 、2x （12x x ≠），()()()()()1212211f x f x f x x f x f x +-=-；②()1f a =-，且当0x a <<时，()0f x <． ⑴ 证明：()f x 是奇函数；⑵ 求函数()f x 在()0,4a 上的单调性．【答案】⑵ 单调递增．22、 函数()f x 的定义域为R ，且()f x 不恒等于零．对任意实数m 、n ，总有()()22n m f m f n m f n f ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅+⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立． ⑴ 求()0f 的值；⑵ 求证，对任意实数t ，均有()t f t ⋅≥0；※⑶ 若()01f y =，求所有满足条件的()f x ．【答案】⑴ ()00f =；⑵ 取2m t =，2n t =，有()()242tf t f t =0≥，∴()0t f t ⋅≥ ⑶ ()()222442222n n mm mnf m f n m f n f ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴()()()()22222mnf m f n m f n n f m =+ ()()mf n nf m =取1m =，n x =，有()0f x xy =即为所求．23、 已知函数()f x 的定义域为[)0,+∞，值域为[)0,+∞的子集，且满足下列条件：①对任意的[),0,x y ∈+∞都有()()()f xf y f y f x y ⋅=+⎡⎤⎣⎦； ②()20f =；③当02x <≤时()0f x ≠． ⑴ 求证：当2x ≥时，()0f x =； ⑵ 求()f x 的解析式．【答案】⑴ 取2y =即得；⑵ 当[),0,2x y ∈时，取()2xf y =，有()20f y f y ⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，∴()22y f y +≥，()22f y y -≤ 取2x y +=，有()20f xf x -=⎡⎤⎣⎦，∴()22xf x -≥，即()22f x x-≥ 综上，当02x <≤时()22f x x =-．于是()f x 的解析式为()2,0220,2x f x x x ⎧<⎪=-⎨⎪⎩≤≥．24、 已知函数()f x 的定义域为[]0,1，且同时满足：① 对任意[]0,1x ∈，总有()2f x ≥； ② ()13f =；③ 若10x ≥，2x ≥0且121x x +≤，则有()()()12122f x x f x f x ++-≥． ⑴ 求()0f 的值； ⑵ 求()f x 的最大值；※⑶ 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()132n n S a =--，n *∈N ． 求证：()()()121312223n n f a f a f a n -++++-⋅≤． 【答案】⑴ ()02f =；⑵ 3．25、 对于定义域为[]0,1的函数()f x ，如果同时满足以下三条：① 对任意的[]0,1x ∈，总有()0f x ≥； ② ()11f =；③ 若10x ≥，20x ≥，121x x +≤，都有()()()1212f x x f x f x ++≥成立． 则称函数()f x 为理想函数．⑴ 若函数()f x 为理想函数，求()0f 的值；⑵ 判断函数()21x g x =-（[]0,1x ∈）是否为理想函数，并予以证明；⑶ 若函数()f x 为理想函数，假定[]00,1x ∃∈，使得()[]00,1f x ∈，且()()00f f x x =，求证：()00f x x =．【答案】⑴ ()00f =；⑵ 是．26、 已知函数()f x ，()g x 在R 上有定义，满足：① ,x y ∀∈R ，()()()()()f x y f x g y g x f y -=-； ② ()10f ≠．⑴ 求证：()f x 为奇函数；⑵ 若()()12f f =，求()()11g g +-的值．【答案】⑵ ()()111g g -+=．。
抽象函数定义域习题(含答案)
抽象函数定义域副标题一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1.已知函数y=f(x+1)的定义域是[-2,3]，则函数y=f(2x-1)的定义域是（）A. [0,52] B. [-1,4] C. [-5,5] D. [-3,7] 2.已知函数y=f(x)的定义域为[−1，3]，则函数y=f(3x−2)的定义域为()A. [−5，7]B. [13，53] C. [−5，53] D. [13，7]3.已知函数y=f(2x−1)定义域是[0,1]，则f(2x+1)log2(x+1)的定义域是( )A. (−1,0)B. (−1,0]C. [−1,0)D. [−1,0]4.已知函数f(x)的定义域为(−1,1)，则函数g(x)=f(x2)+f(x−1)的定义域为（）A. (−2,0)B. (−2,2)C. (0,2)D. (−12,0)5.已知函数y=f(x)的定义域为[0,2]，则函数g(x)=f(2x)x−1的定义域为（）A. [0,4]B. [0,1)∪(1,4]C. [0,1]D. [0,1)答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查了函数的定义域及其求法，给出了函数y =f （x ）的定义域为[a ，b ]，求解y =f [g （x ）]的定义域，只要让g （x ）∈[a ，b ]，求解x 即可．根据题目给出的函数y =f （x +1）定义域，求出函数y =f （x ）的定义域，然后由2x -1在f （x ）的定义域内求解x 即可得到函数y =f （2x -1）定义域. 【解答】∵函数y =f （x +1）定义域为[-2，3]， ∴x ∈[-2，3]，则x +1∈[-1，4]， 即函数f （x ）的定义域为[-1，4]， 再由-1≤2x -1≤4，得：0≤x ≤52， ∴函数y =f （2x -1）的定义域为[0,52]． 故选A ． 2.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查函数的定义域的求解，根据复合函数定义域之间的关系是解决本题的关键．根据复合函数定义域之间的关系即可得到结论. 【解答】解：∵函数y =f(x)的定义域为[−1，3]， ∴由−1≤3x −2≤3， ∴得13≤x ≤53， ∴函数的定义域为[13，53]. 故选B .3.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查复合函数定义域的求法，要求熟练掌握复合函数定义域之间的关系．根据复合函数的定义域，先求出f （x ）的定义域即可． 【解答】解：因为函数y =f （2x -1）定义域是[0,1]， 所以-1≤2x -1≤1，所以函数f （x ）的定义域为[−1,1]， 由-1≤2x +1≤1，且{log 2(x +1)≠0x +1>0，解得-1<x <0，故选A．4.【答案】C【解析】【分析】考查抽象函数的定义域的求法，注意变量范围的转化．由原函数的定义域，解不等式组即可.【答案】解：∵原函数的定义域为（-1，1），∴{−1<x2<1−1<x−1<1，解得0＜x＜2．∴函数g（x）的定义域为（0，2）．故选C．5.【答案】D【解析】【分析】本题考查函数的定义域的求法，注意运用分式的分母不为0，定义域的含义，以及运算能力，属于基础题.【解答】解：函数f（x）的定义域为[0，2]，则函数g（x）=f(2x)x−1有意义，可得0≤2x≤2且x-1≠0，解得0≤x＜1，即定义域为[0，1），故选D.。
数学练习题抽象函数(含答案)
高考一轮专练——抽象函数1. 已知函数y = f (x )(x ∈R ，x ≠0)对任意的非零实数1x ，2x ，恒有f (1x 2x )=f (1x )+f (2x ),试判断f (x )的奇偶性。
2 已知定义在[-2，2]上的偶函数，f (x )在区间[0，2]上单调递减，若f (1-m )<f (m ),求实数m 的取值范围3. 设f(x)是R 上的奇函数，且f(x+3) =-f(x)，求f(1998)的值。
4. 设函数()f x 对任意121,[0,]2x x ∈,都有1212()()()f x x f x f x +=⋅,()2f x = 已知(1)2f =，求1()2f ,1()4f 的值.5. 已知f （x ）是定义在R 上的函数，且满足：f （x+2）[1－f （x ）]=1+f （x ），f （1）=1997，求f （2001）的值。
6. 设f （x ）是定义R 在上的函数，对任意x ，y ∈R ，有 f （x+y ）+f （x-y ）=2f （x ）f （y ）且f （0）≠0.（1）求证f （0）=1；（2）求证：y=f （x ）为偶函数.7. 已知定义在R 上的偶函数y=f(x)的一个递增区间为（2，6），试判断（4，8）是y=f(2-x)的递增区间还是递减区间？8. 设f （x ）是定义在R 上的奇函数，且对任意a ，b ，当a+b ≠0，都有ba b f a f ++)()(＞0（1）若a ＞b ，试比较f （a ）与f （b ）的大小；（2）若f （k )293()3--+⋅xxxf ＜0对x ∈[－1，1]恒成立，求实数k 的取值范围。
9.已知函数()f x 是定义在（-∞，3]上的减函数，已知22(sin )(1cos )f a x f a x -≤++对x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围。
10．已知函数(),f x 当,x y R ∈时，恒有()()()f x y f x f y +=+. （1）求证: ()f x 是奇函数;（2）若(3),(24)f a a f -=试用表示.11．已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的，都满足: ()()()f a b af b bf a ∙=+. （1）求(0),(1)f f 的值;（2）判断()f x 的奇偶性，并证明你的结论;（3）若(2)2f =,*(2)()nn f u n N n-=∈，求数列{n u }的前n 项和n s .12．已知定义域为R 的函数()f x 满足22(()))()f f x x x f x x x -+=-+. （1）若(2)3,(1);(0),();f f f a f a ==求又求（2）设有且仅有一个实数0x ，使得00()f x x =，求函数()f x 的解析表达式.13．已知函数()f x 的定义域为R ，对任意实数,m n 都有1()()()2f m n f m f n +=++，且1()02f =，当12x >时, ()f x >0.（1）求(1)f ;（2）求和(1)(2)(3)...()f f f f n ++++*()n N ∈; （3）判断函数()f x 的单调性，并证明.14．函数()f x 的定义域为R ，并满足以下条件：①对任意x R ∈,有()f x >0；②对任意,x y R ∈,有()[()]y f xy f x =；③1()13f >.（1）求(0)f 的值;（2）求证: ()f x 在R 上是单调减函数; （3）若0a b c >>>且2b ac =，求证：()()2()f a f c f b +>.15．已知函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有()()()f m n f m f n +=∙,且当0x >时,0()1f x <<.（1）证明:(0)1,0f x =<且时,f(x)>1;（2）证明: ()f x 在R 上单调递减;（3）设A=22{(,)()()(1)}x y f x f y f ∙>,B={(,)(2)1,x y f ax y a R -+=∈},若AB =Φ,试确定a 的取值范围.16．已知函数()f x 是定义在R 上的增函数,设F ()()()x f x f a x =--. （1）用函数单调性的定义证明:()F x 是R 上的增函数; （2）证明:函数y =()F x 的图象关于点(,0)2a成中心对称图形.17．已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且它的图象关于直线1x =对称. （1）求(0)f 的值；（2）证明： 函数()f x 是周期函数;（3）若()(01),f x x x =<≤求当x R ∈时，函数()f x 的解析式，并画出满足条件的函数()f x 至少一个周期的图象。
高一数学分段函数抽象函数与复合函数试题答案及解析
高一数学分段函数抽象函数与复合函数试题答案及解析1.已知函数，则的值是（）A．4B．48C．240D．1440【答案】C【解析】因为，所以，故选C.【考点】分段函数求函数值的问题.2.设函数则的值为A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知函数可得，，故D为正确答案.【考点】分段函数求值.3.已知函数则______.【答案】【解析】由题可得．【考点】分段函数的求值．4.设，则（）A．B．0C．D．【答案】C【解析】，故选C【考点】分段函数5.已知函数，则的值是．【答案】【解析】因为，而，所以．【考点】本题考查的知识点是分段函数求函数值的方法，属基础题．6.已知函数，则( )A．0B．1C．-2D．-1【答案】B【解析】分段函数求函数时，要注意自变量的取值范围.。
【考点】分段函数.7.若函数，则=()A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】复合函数求值由内向外的求解是关键,代入计算时注意不同的自变量对应的表达式,先计算，再计算,最后计算故选B【考点】分段函数的值．8.设，则【答案】【解析】由分段函数有.【考点】分段函数的定义域不同解析式不同.9.在上是减函数，则的取值范围是（）A．[B．[ ]C．( D．( ]【答案】A【解析】由于两段函数都是一次的形式，依题意减函数可以得，斜率小于零，即，另外(3-1)x+4在x=1的值不小于-x在x=1的值，即(3-1)+4a≥-,所以，综上.故选A.【考点】 1.分段函数的单调性的问题.2.处理分界点的函数值的大小.10.如图（1）四边形ABCD为直角梯形，动点P从B点出发，由B→C→D→A沿边运动，设点P运动的路程为x，ΔABP面积为f(x).若函数y=f(x)的图象如图（2），则ΔABC的面积为A．10B．16C．18D．32【答案】B【解析】观察图（2），可知，，，由平面几何的知识易求得，∴，选B.【考点】分段函数.11.已知则的值等于()．A．－2B．4C．2D．－4【答案】B【解析】本题是分段函数，求值时，要注意考察自变量的范围，，，.【考点】分段函数.12.函数满足: ,且,则【答案】【解析】本题给出的函数是一个递归式，可以按照原来函数的样子递归到1，再回推出4。
归类题库——高一函数——抽象函数单调性奇偶性及解不等式题型解答题
抽象函数单调性奇偶性解不等式题型例1．函数y=f （x ）的定义域为R ，且对任意a ，b ∈R ，都有f （a +b ）=f （a ）+f （b ），且x ＞0时，f （x ）＜0恒成立．（1）证明函数y=f （x ）是R 上的单调性；（2）讨论函数y=f （x ）的奇偶性；（3）若f （x 2﹣2）+f （x ）＜0，求x 的取值范围．解析：（1）证明：设x 1＞x 2，则x 1﹣x 2＞0，而f （a +b ）=f （a ）+f （b ）∴f （x 1）﹣f （x 2）=f （（x 1﹣x 2）+x 2）﹣f （x 2）=f （x 1﹣x 2）+f （x 2）﹣f （x 2）=f （x 1﹣x 2），又当x ＞0时，f （x ）＜0恒成立，∴f （x 1）＜f （x 2），∴函数y=f （x ）是R 上的减函数；（2）由f （a +b ）=f （a ）+f （b ），得f （x ﹣x ）=f （x ）+f （﹣x ），即f （x ）+f （﹣x ）=f （0），而f （0）=0，∴f （﹣x ）=﹣f （x ），即函数y=f （x ）是奇函数．（3）（方法一）由f （x 2﹣2）+f （x ）＜0，得f （x 2﹣2）＜﹣f （x ），又y=f （x ）是奇函数，即f （x 2﹣2）＜f （﹣x ），又y=f （x ）在R 上是减函数，∴x 2﹣2＞﹣x 解得x ＞1或x ＜﹣2．（方法二））由f （x 2﹣2）+f （x ）＜0且f （0）=0，得f （x 2﹣2+x ）＜f （0），又y=f （x ）在R 上是减函数，∴x 2﹣2+x ＞0，解得x ＞1或x ＜﹣2．变式：1．已知函数y=f （x ）满足f （x +y ）=f （x ）+f （y ）对任何实数x ，y 都成立．（1）求证：f （2x ）=2f （x ）；（2）求f （0）的值；（3）求证f （x ）为奇函数．证明：（1）∵（x +y ）=f （x ）+f （y ），令y=x ，得f （x +x ）=f （x ）+f （x ），即f （2x ）=2f （x ）；（2）令y=x=0，∵f （x +y ）=f （x ）+f （y ），∴f （0+0）=f （0）+f （0），即f （0）=2f （0），∴f （0）=0．（3）证明：由已知得定义域为R ．满足若x ∈R ，则﹣x ∈R ．令y=﹣x ，∵f （x +y ）=f （x ）+f （y ），∴f （0）=f （x ）+f （﹣x ）．∵f （0）=0，∴f （x ）+f （﹣x ）=0，即f （﹣x ）=﹣f （x ）．∴f （x ）为奇函数．2．设函数()y f x =的定义域为R ，并且满足()()()f x y f x f y -=-，且(2)1f =，当0x >时，()0f x >（1）．求(0)f 的值； （2）．判断函数()f x 的奇偶性；（3）．如果()(2)2f x f x ++<，求x 的取值范围． 【解析】（1）令0x y ==，则(00)(0)(0)f f f -=-,(0)0f ∴=;(2)()()()f x y f x f y -=- (0)(0)()f x f f x ∴-=-，由（1）值(0)0f =，()()f x f x ∴=-- (0)0f =，∴函数()f x 是奇函数（3）设12,x x R ∀∈，且12x x >，则120x x ->，1212()()()f x x f x f x -=-当0x >时，()0f x >，12()0f x x ∴->，即12()()0f x f x ->，12()()f x f x ∴>∴函数()f x 是定义在R 上的增函数()()()f x y f x f y -=- ，()()()f x f y f x y ∴=+-211(2)(2)(2)(42)(4)f f f f f ∴=+=+=--= ()(2)2f x f x ++< ，()(2)(4)f x f x f ∴++<，(2)(4)()(4)f x f f x f x ∴+<-=-函数()f x 是定义在R 上的增函数，24x x ∴+<-，1x ∴<,∴不等式()(2)2f x f x ++< 的解集为{|1}x x <3．已知函数f（x）的定义域为R，对任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＜0时，f（x）＞0．（1）求证：f（x）是奇函数；（2）判断f（x）在R上的单调性，并加以证明；（3）解关于x的不等式f（x2）+3f（a）＞3f（x）+f（ax），其中常数a∈R．解：（1）∵f（x）对一切x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），令x=y=0，得：f（0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0，令y=﹣x，得f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x）=f（0）=0，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）是奇函数．（2）∵f（x）对一切x，y∈RR都有f（x+y）=f（x）+f（y），当x＜0时，f（x）＞0．令x1＞x2，则x2﹣x1＜0，且f（x2﹣x1）=f（x2）+f（﹣x1）＞0，由（1）知，f（x2）﹣f（x1）＞0，∴f（x2）＞f（x1）．∴f（x）在R上是减函数．（3）f（2x）=f（x）+f（x）=2f（x），f（3x）=f（2x+x）=f（2x）+f（x）=3f（x），则不等式f（x2）+3f（a）＞3f（x）+f（ax），等价为f（x2）+f（3a）＞f（3x）+f（ax），即f（x2+3a）＞f（3x+ax），∵f（x）在R上是减函数，∴不等式等价为x2+3a＜3x+ax，即（x﹣3）（x﹣a）＜0，当a=3时，不等式的解集为∅，当a＞3时，不等式的解集为（3，a），当a＜3时，不等式的解集为（a，3）．单调+奇偶性+带常数的不等式例2．已知f（x）的定义域为R，且满足对于任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，且f（1）=﹣3；（1）求f（0）与f（3）；（2）判断f（x）的奇偶性；（3）判断f（x）的单调性；（4）解不等式f（x2+1）+f（x）≤﹣9．【解答】解：（1）令y=0，则由条件得f（x+0）=f（x）+f（0），即f（0）=0，当x=y=1时，f（2）=f（1）+f（1）=2f（1）=2×（﹣3）=﹣6，f（3）=f（1+2）=f（1）+f（2）=﹣3﹣6=﹣9；（2）∵f（0）=0，∴令y=﹣x，得f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x）=f（0）=0，即f（﹣x）=﹣f（x），则f（x）是奇函数；（3）设x1＜x2，则设x2﹣x1＞0，此时f（x2﹣x1）＜0，即f（x2﹣x1）=f（x2）+f（﹣x1）＜0，即f（x2）﹣f（x1）＜0，则f（x2）＜f（x1），即f（x）的单调递减；（4）不等式f（x2+1）+f（x）≤﹣9等价为f（x2+1）+f（x）≤f（3），即f（x2+1+x）≤f（3），∵f（x）的单调递减，∴x2+1+x≥3，即x2+x﹣2≥0，解得x≥1或x≤﹣2，即不等式的解集为{x|x≥1或x≤﹣2}．变式：1．已知函数f（x）的定义域为R，对于任意实数a，b∈R都有f（a+b）=f（a）+f（b），且当x＞0时，f（x）＜0，f （1）=﹣2，试判断f（x）在[﹣3，3）上是否有最大值和最小值？如果有，求出最大值和最小值，若没有，说明理由．解：令a=b=0知f（0）=0，令a=x，b=﹣x，则f（x）+f（﹣x）=0，∴f（x）为奇函数．任取两个自变量x1，x2且﹣∞＜x1＜x2＜+∞，则f（x2）﹣f（x1）=f（x2﹣x1），∵x2＞x1，∴x2﹣x1＞0知f（x2﹣x1）＜0，即f（x2）﹣f（x1）＜0，故f（x2）＜f（x1），∴f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数．因此f（x）在[﹣3，3）上有最大值f（﹣3），由于x≠3，则f（3）取不到，无最小值．由于f（3）=f（2）+f（1）=f（1）+f（1）+f（1）=3f（1）=﹣6，故最大值为f（﹣3）=﹣f（3）=6．2．设函数f（x）的定义域为R，对于任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），又当x＞0时，f（x）＜0且f（2）=﹣1．试问函数f（x）在区间[﹣6，6]上是否存在最大值与最小值？若存在，求出最大值、最小值；如果没有，请说明理由．解：令x=y=0知f（0）=0，令x+y=0知f（x）+f（﹣x）=0，∴f（x）为奇函数．任取两个自变量x1，x2且﹣∞＜x1＜x2＜+∞，则f（x2）﹣f（x1）=f（x2﹣x1），∵x2＞x1，∴x2﹣x1＞0知f（x2﹣x1）＜0，即f（x2）﹣f（x1）＜0，故f（x2）＜f（x1），∴f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数．因此f（x）在[﹣6，6]上有最大值和最小值最小值为f（6）=f（4）+f（2）=f（2）+f（2）+f（2）=3f（2）=﹣3；最大值为f（﹣6）=﹣f（6）=3．3．已知函数f（x）的定义域为R，对于任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，若f（﹣1）=2．（1）求证：f（x）为奇函数；（2）求证：f（x）是R上的减函数；（3）求函数f（x）在区间[﹣2，4]上的值域．解：（1）证明：∵f （x ）的定义域为R ，令x=y=0，则f （0+0）=f （0）+f （0）=2f （0），∴f （0）=0．令y=﹣x ，则f （x ﹣x ）=f （x ）+f （﹣x ），即f （0）=f （x ）+f （﹣x ）=0．∴f （﹣x ）=﹣f （x ），故f （x ）为奇函数．（2）证明：任取x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则f （x 2）﹣f （x 1）=f （x 2）+f （﹣x 1）=f （x 2﹣x 1）．又∵x 2﹣x 1＞0，∴f （x 2﹣x 1）＜0，∴f （x 2）﹣f （x 1）＜0，即f （x 1）＞f （x 2）．故f （x ）是R 上的减函数．（3）∵f （﹣1）=2，∴f （﹣2）=f （﹣1）+f （﹣1）=4．又f （x ）为奇函数，∴f （2）=﹣f （﹣2）=﹣4，∴f （4）=f （2）+f （2）=﹣8．由（2）知f （x ）是R 上的减函数，所以当x=﹣2时，f （x ）取得最大值，最大值为f （﹣2）=4；当x=4时，f （x ）取得最小值，最小值为f （4）=﹣8．所以函数f （x ）在区间[﹣2，4]上的值域为[﹣8，4]．4．设函数f （x ）的定义域为R ，对任意实数x 、y 都有f （x +y ）=f （x ）+f （y ），当x ＞0时f （x ）＜0且f （3）=﹣4．（1）证明：函数f （x ）为奇函数；（2）证明：函数f （x ）在（﹣∞，+∞）上为减函数．（3）求f （x ）在区间[﹣9，9]上的最大值与最小值．【解答】（1）证明：令x=y=0知f （0）=0，令x +y=0知f （x ）+f （﹣x ）=0，∴f （x ）为奇函数．（2）证明：任取两个自变量x 1，x 2且﹣∞＜x 1＜x 2＜+∞，则f （x 2）﹣f （x 1）=f （x 2﹣x 1），∵x 2＞x 1，∴x 2﹣x 1＞0知f （x 2﹣x 1）＜0，即f （x 2）﹣f （x 1）＜0，故f （x 2）＜f （x 1），∴f （x ）在（﹣∞，+∞）上是减函数．（3）解：∵f （x ）在（﹣∞，+∞）上是减函数∴f （x ）在[﹣9，9]上有最大值和最小值最小值为f （9）=f （6）+f （3）=f （3）+f （3）+f （3）=3f （3）=﹣12；最大值为f （﹣9）=﹣f （9）=12．5．已知函数f （x ）对一切实数x ，y ∈R 都有f （x +y ）=f （x ）+f （y ），且当x ＞0时，f （x ）＜0，又f （3）=﹣2．（1）试判定该函数的奇偶性；（2）试判断该函数在R 上的单调性；（3）求f （x ）在[﹣12，12]上的最大值和最小值．解 （1）令x=y=0，得f （0+0）=f （0）=f （0）+f （0）=2f （0），∴f （0）=0．令y=﹣x ，得f （0）=f （x ）+f （﹣x ）=0，∴f （﹣x ）=﹣f （x ），∴f （x ）为奇函数．（2）任取x 1＜x 2，则x 2﹣x 1＞0，∴f （x 2﹣x 1）＜0，∴f （x 2）﹣f （x 1）=f （x 2）+f （﹣x 1）=f （x 2﹣x 1）＜0，即f （x 2）＜f （x 1），∴f （x ）为R 上的减函数，（3）∵f （x ）在[﹣12，12]上为减函数，∴f （12）最小，f （﹣12）最大，又f （12）=f （6）+f （6）=2f （6）=2[f （3）+f （3）]=4f （3）=﹣8，∴f （﹣12）=﹣f （12）=8，∴f （x ）在[﹣12，12]上的最大值是8，最小值是﹣86．已知函数f （x ）对任意x ，y ∈R ，总有f （x ）+f （y ）=f （x +y ），且当x ＞0时，f （x ）＜0，f （1）=﹣．（1）求证：f （x ）在R 上是减函数．（2）求函数在[﹣3，3]上的最大值和最小值．解：（1）证明：令x=y=0，则f （0）=0，令y=﹣x 则f （﹣x ）=﹣f （x ），在R 上任意取x 1，x 2，且x 1＜x 2，则△x=x 2﹣x 1＞0，△y=f （x 2）﹣f （x 1）=f （x 2）+f （﹣x 1）=f （x 2﹣x 1）∵x 2＞x 1，∴x 2﹣x 1＞0，又∵x ＞0时，f （x ）＜0，∴f （x 2﹣x 1）＜0，即f （x 2）﹣f （x 1）＜0，有定义可知函数f （x ）在R 上为单调递减函数．（2）∵f （x ）在R 上是减函数，∴f （x ）在[﹣3，3]上也是减函数．又f （3）=f （2）+f （1）=f （1）+f （1）+f （1）=3×（﹣）=﹣2， 由f （﹣x ）=﹣f （x ）可得f （﹣3）=﹣f （3）=2，故f （x ）在[﹣3，3]上最大值为2，最小值为﹣2．7． 是定义在R 上的函数，对都有，且当时，。
专题7 抽象函数的单调性和奇偶性-高一数学必修一专题复习训练含答案
专题7 抽象函数的单调性和奇偶性-高一数学必修一专题复习训练含答案一、选择题1．设()f x 是定义在(),-∞+∞上的单调递减函数，且()f x 为奇函数.若()11f =-，则不等式()121f x -≤-≤的解集为A . []1,1-B ． []0,4C ． []2,2-D ． []1,3【答案】D2．若函数()f x 的定义域为()32,1a a -+，且函数()1f x -为奇函数，则实数a 的值为（ ）A . 2B . 4C . 6D . 8【答案】C【解析】函数()f x 的定义域为()32,1a a -+，且函数()1f x -为奇函数，则函数()f x 的图象关于点()1,0对称，故有()132{3212a a a a +>--++＝，求得2a =，故选A .3．已知()f x 是偶函数，它在[)0,+∞上是减函数，若()()lg 1f x f > ，则x 的取值范围是（ ） A . 1,110⎛⎫⎪⎝⎭ B . 1,1010⎛⎫ ⎪⎝⎭ C . ()10,1,10⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭D . ()()0,110,⋃+∞ 【答案】B【解析】试题分析：偶函数()f x 在[)0,+∞上是减函数，则在(],0-∞上为增函数，由()()lg 1f x f >可知，得，故选项B 正确．考点：偶函数的单调性及其运用．【易错点睛】解答本题时考生容易错误的理解为：偶函数在整个定义域上的单调性是一致的，而列出不等式，解得，没有正确的选项可选．偶函数的图象关于y 轴对称，则其在原点两侧对称区间的单调性也是不同的，即一侧为单调增函数，则对称的另一侧为单调减函数．只有清楚了函数的单调性，才能正确的列出不等式，进而求出正确的解．4．已知函数()y f x =是R 上的偶函数，且在[)0+∞，上单调递增，则下列各式成立的是（ ）A . ()()()201f f f ->>B . ()()()102f f f >>-C . ()()()210f f f ->>D . ()()()120f f f >->【答案】A【解析】因为函数()y f x =是R 上的偶函数，所以()()22f f -= ，又因为()f x 在[)0+∞，上单调递增，所以()()()201f f f >>，故()()()201f f f ->>. 本题选择A 选项. 5．已知定义域为R 的偶函数在上是减函数，且，则不等式的解集为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】6．已知偶函数f （x ）在[0，+∞）单调递增，若f （2）=﹣2，则满足f （x ﹣1）≥﹣2的x 的取值范围是 （ ） A ． （﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） B ． （﹣∞，﹣1]∪[3，+∞） C ． [﹣1，﹣3] D ． （﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） 【答案】B 【解析】根据题意，偶函数在单调递增，且，可得，若，即有， 可得，解可得： 即的取值范围是；故选：B ．7．若偶函数()f x 在(],0-∞上单调递减, ()()3224log 3,log 5,2a f b f c f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,则满足( )A . a b c <<B . b a c <<C . c a b <<D . c b a <<【答案】B8．已知函数()f x 为定义在[]2,1b b -上的偶函数，且在[]0,1b -上单调递增，则()()1f x f ≤的解集为（ ）A . []1,2B . []3,5C . []1,1-D . 13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】由函数奇偶性的定义可知2101b b b +-=⇒=-，所以函数()f x 在[]0,2单调递增，则不等式可化为1{1102x x x ≤⇒-≤≤≤≤，应选答案C .9．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在(],0-∞上有单调性，且()()21f f -<，则下列不等式成立的是 （ ）A . ()()()123f f f -<<B . ()()()234f f f <<-C . ()()1202f f f ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭D . ()()()531f f f <-<-【答案】D【解析】根据函数为偶函数，有()()()221f f f -=<，故函数在[)0,+∞上递减，所以()()()()()()10123452f f f f f f f ⎛⎫>>>>>> ⎪⎝⎭，故选D .10.若是奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】11.定义在的函数，已知是奇函数，当时，单调递增，若且，且值（ ）．A ． 恒大于B ． 恒小于C ． 可正可负D ． 可能为【答案】A【解析】由是奇函数，所以图像关于点对称，当时，单调递增，所以当时单调递增，由，可得，，由可知，结合函数对称性可知12.已知是定义在上的奇函数，对任意的，均有.当时，，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】f（）=f（）=14，∵＜＜，二、填空题13．设f（x）是R上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，则f（–2），f（–π），f（3）的大小顺序是__________．【答案】f（–π）>f（3）>（–2）【解析】由已知是上的偶函数，所以有，，又由在上单调增，且，所以有，所以π），故答案为：.14.已知偶函数在区间上单调增加，则满足的的取值范围是__________．【答案】【解析】∵是偶函数，15.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数, 在区间(),0-∞上单调递减，且()10f =. 若实数a 满足()515log log f a f a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭, 则实数a 的取值范围是____________．【答案】][10,1,55⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦【解析】因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数, 在区间(),0-∞上单调递减， 根据对称性，所以函数()f x 在区间()0,+∞上也单调递减．又易推出()()()1100f f f -===．从而根据函数()f x 的性质作出图象, 即可求得()0f x ≥的解集为][(,10,1⎤-∞-⋃⎦．()515log log f a f a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭等价于()5log 0f a ≥，故5log 1a ≤-或50log 1a ≤≤，解得105a <≤或15a ≤≤． 16.定义在区间[]2,2-上的偶函数()g x ,当0x ≥时()g x 单调递减,若()()1g m g m -<，则实数m 的取值范围是____________．【答案】1 1,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】不等式等价于：212 {221mmm m-≤-≤-≤≤->，求解关于实数m的不等式组可得实数m的取值范围是1 1,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.17．设偶函数在上为减函数，且，则不等式的解集为_________；【答案】【解析】18．已知函数是定义在区间上的偶函数，它在区间上的图像是如图所示的一条线段，则不等式的解集为__________.【答案】【解析】 由题意，函数过点，，∴，又因为是偶函数，关于轴对称，所以，即，又作出函数在上的图像，当的时候，的图像恒在的上方，当的时候，令，，即当的时候，满足，即.故答案为：. 19．定义在上的奇函数是增函数，且，则的取值范围为__________．【答案】【解析】20.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且对于任意1x ， [)20,x ∈+∞， 12x x ≠，均有()()21120f x f x x x ->-.若1132f ⎛⎫-=⎪⎝⎭， 182log 1f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，则x 的取值范围为__________． 【答案】()10,2,2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭【解析】定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且对于任意1x ， [)20,x ∈+∞， 12x x ≠，均有()()21120f x f x x x ->-， ()f x ∴ 在()0,+∞ 上递减，在(),0-∞ 上递增，12811112log ,log 2333f x f f x f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<=--<- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，因为()f x 是偶函数，所以2211log ,log 133x x ->->或2log 1x <- ，可得2x >或102x << ，故答案为()10,2,2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭.三、解答题21.已知函数()y f x =是定义在()0,+∞上的增函数，对于任意的0,0x y >>，都有()()()f xy f x f y =+，且满足()21f =.（1）求()()14f f 、的值；（2）求满足()()32f x f x +->的x 的取值范围. 【答案】（1）()10f =， ()42f =；（2）4x >. 【解析】22.定义在R 上的函数()y f x =对任意的,x y R ∈，满足条件： ()()()1f x y f x f y +=+-，且当0x >时， ()1f x >. （1）求()0f 的值；（2）证明：函数()f x 是R 上的单调增函数；（3）解关于t 的不等式()221f t t -<.【答案】(Ⅰ) ()01f =；(Ⅱ)见解析；（Ⅲ） 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【解析】23.若()f x 是定义在()0,+∞上的增函数，且对一切x ， 0y >，满足()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． （1）求()1f 的值；（2）若()61f =，解不等式()1323f x f ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭． 【答案】（1）0；（2）()3,9- 【解析】24.已知()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，且()11f =，若m ， []1,1n ∈-， 0m n +≠时，有()()0f m f n m n+>+.（1）证明()f x 在[]1,1-上是增函数； （2）解不等式1121f x f x ⎛⎫⎛⎫+< ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭； （3）若()221f x t at ≤-+对任意[]1,1x ∈-， []1,1a ∈-恒成立，求实数t 的取值范围. 【答案】（1）增函数；（2）3,12⎡⎫--⎪⎢⎣⎭；（3）0t =或2t ≥或2t ≤-． 【解析】∵()f x 在[]1,1-上是增函数∴()()max 11f x f == ∴2221120t at t at -+≥⇒-≥对任意[]1,1a ∈-恒成立． 令()22g a at t =-+，则0{00t =≥恒成立或()20{120t g t t >=-+≥或()20{120t g t t <-=+≥，∴0t =或2t ≥或2t ≤-∴实数t 的取值范围为0t =或2t ≥或2t ≤-．25.函数()f x 的定义域为{|0}D x x =≠，且满足对任意12,x x D ∈，有()()1212f x x f x x ⋅=+）（. （1）求()1f 的值；（2）判断()f x 的奇偶性并证明你的结论；（3）如果()41f =， ()12f x -<，且()f x 在()0,+∞上是增函数，求x 的取值范围. 【答案】（1）()10f =；（2）见解析：（3）()()15,11,17-⋃. 【解析】点睛：本题给出抽象函数，求特殊的函数值、讨论函数的奇偶性，并依此解关于x 的不等式．着重考查了函数的单调性、奇偶性和绝对值不等式的解法等知识，属于中档题．运用“赋值法”进行求值和化简，是解决抽象函数问题的一般方法.26.设函数()y f x =是定义在R 上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数,x y ，都有()()()f xy f x f y =+；②当1x >时， ()0f x <；③()31f =-.（1）求()1f ， 19f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）证明()f x 在()0,+∞上是减函数；（3）如果不等式()()22f x f x +-<成立，求x 的取值范围.【答案】（Ⅰ）2;（Ⅱ）见解析; （Ⅲ）(1,133-+）. 【解析】点晴：本题属于对函数单调性的证明和单调性应用的考察，若函数()f x 在区间上单调递增，则()()1212,,x x D f x f x ∈>且时，有12x x >，事实上，若12x x ≤,则()()12f x f x ≤，这与()()12f x f x >矛盾，类似地，若()f x 在区间上单调递减，则当()()1212,,x x D f x f x ∈>且时有12x x <；据此可以解不等式，由函数值的大小，根据单调性就可以得自变量的大小关系. 27.已知函数的定义域为，若对于任意的实数，都有，且时，有.（1）判断并证明函数的奇偶性； （2）判断并证明函数的单调性；（3）设，若对所有，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）奇函数，（2）单调递增函数，（3）或.【解析】（1）奇函数，证明如下：由题意知，令，得，所以；点睛：抽象函数单调性的证明绝大多数情况下都是用“定义法”去证，其步骤是：（1）取值：在给定区间上任取，且；（2）作差：将变形整理为其结果为因式乘积的形式或能够判断的符号的形式；（3）判断的符号；（4）根据定义得出结论.28．已知函数是定义在上的不恒为零的函数，对于任意非零实数满足，且当时，有.（Ⅰ）判断并证明的奇偶性；（Ⅱ）求证：函数在上为增函数，并求不等式的解集.【答案】(1)见解析;(2).【解析】分析：⑴先求出，继而，令代入得⑵构造，然后利用已知代入证明详解：（Ⅰ）是偶函数。
高一数学分段函数抽象函数与复合函数试题答案及解析
高一数学分段函数抽象函数与复合函数试题答案及解析1.对于函数的性质，①是以为周期的周期函数②的单调递增区间为，③的值域为④取最小值的的取值集合为其中说法正确的序号有_____________.【答案】①②【解析】画出函数的图像，可知，函数的周期为，单调递减区间为，函数的值域为，函数取最小值的的取值集合为【考点】1.分段函数；2.函数的图像与性质.2.设，则（）A．B．0C．D．【答案】C【解析】，故选C【考点】分段函数3.已知，若，则的值是A．1或2B．2或－1C．1或－2D．±1或±2【答案】C【解析】由已知得,当时,则,解得,故;当时,则,解得,故.综上得或,所以正确答案为C.【考点】分段函数4.设函数，则＝．【答案】5【解析】由题知【考点】分段函数的解法,已知解析式求值.5.已知函数则等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】分段函数的函数值计算要注意自变量的取值范围，，.【考点】分段函数.6.已知函数，则的值是（）A．4B．C．8D．【答案】C【解析】由函数的解析式知，所以.故选C.【考点】分段函数求值7.如果函数f(x)的定义域为，且f(x)为增函数，f(xy)=f(x)+f(y)。
（1）证明：；（2）已知f(3)=1，且f(a)>f(a-1)+2，求a的取值范围。
【答案】（1）证明如下（2）【解析】解：（1）∵∴（2）∵f(3)=1，f(a)>f(a-1)+2∴，∴∵f(x)是增函数，∴，∴，又a>0，a-1>0∴a的取值范围是。
【考点】函数的单调性点评：看一个函数在一个区间内是增函数还是减函数，只要看这个函数在这个区间内y随x的变化而怎样变化，若y随x的增大而增大，则函数是增函数；若y随x的增大而增小，则函数是减函数。
8.已知，则f(3)为（）A．2B． 3C． 4D．5【答案】A【解析】因为，所以f(3)=f(3+2)=f(5)=f(5+2)=f(7)=7－5=2，故选A。
高一抽象函数练习题
高一抽象函数练习题一、选择题1. 已知抽象函数f(x)满足f(1)=2，且对于所有x，都有f(x+2)=3f(x)，求f(3)的值。
A. 4B. 6C. 8D. 122. 设抽象函数g(x)在实数域上单调递增，若g(3)=5，且g(a)=g(3)，则a的值为：A. 3B. 5C. 8D. 无法确定3. 函数h(x)定义为h(x)=kx+b，其中k和b为常数，若h(1)=3，h(2)=5，求h(3)的值。
A. 7B. 9C. 11D. 13二、填空题4. 若抽象函数f(x)满足f(x)=2x+3，求f(-1)的值。
______5. 设抽象函数g(x)满足g(x)=x^2-4x+4，求g(2)的值。
______6. 若抽象函数h(x)满足h(x)=x^3-6x^2+11x-6，求h(2)的值。
______三、解答题7. 已知抽象函数f(x)满足f(x)=x^2-4x+7，求f(x)的最小值。
8. 设抽象函数g(x)满足g(x)=-x^2+4x，当x在[0,4]区间内时，求g(x)的最大值。
9. 函数h(x)定义为h(x)=x^3-3x^2-9x+5，求h(x)的极值点。
四、证明题10. 已知抽象函数f(x)满足f(x)=x^3-6x^2+11x+6，证明f(x)在x=2处取得极小值。
11. 设抽象函数g(x)满足g(x)=x^4-4x^3+6x^2-2x+1，证明g(x)在x=1处取得局部最大值。
五、综合题12. 已知抽象函数f(x)和g(x)分别满足f(x)=x^2-2x+3和g(x)=2x-1，求f(g(x))的表达式，并求其值域。
13. 设抽象函数h(x)和k(x)分别满足h(x)=x^3-3x^2+2x+1和k(x)=x^2-2x+2，求h(k(x))的表达式，并讨论其单调性。
14. 已知抽象函数f(x)满足f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-3|，求f(x)的值域。
六、探索题15. 已知抽象函数f(x)满足f(x)=x^2-2ax+a^2-1，探索a的取值范围使得f(x)为单调函数。
抽象函数经典综合题33例(含详细解答)
抽象函数经典综合题33例(含详细解答)-1)+g(1)f(1)=f(1){g(-1)+g(1)} ∵f(2)=f(1)≠0∴g(-1)+g(1)=13.已知函数)(x f 对任意实数y x ,恒有)()()(y f x f y x f +=+且当x ＞0，.2)1(.0)(-=<f x f 又(1)判断)(x f 的奇偶性；(2)求)(x f 在区间[－3,3]上的最大值； (3)解关于x 的不等式.4)()(2)(2+<-ax f x f ax f解（1）取,0==y x 则0)0()0(2)00(=∴=+f f f 取)()()(,x f x f x x f x y -+=--=则)()(x f x f -=-∴对任意R x ∈恒成立 ∴)(x f 为奇函数. （2）任取2121),(,x x x x <+∞-∞∈且， 则012>-x x 0)()()(1212<-=-+∴x x f x f x f),()(12x f x f --<∴ 又)(x f 为奇函数 )()(21x f x f >∴ ∴)(x f 在（－∞，+∞）上是减函数. ∴对任意]3,3[-∈x ，恒有)3()(-≤f x f 而632)1(3)1()2()12()3(-=⨯-==+=+=f f f f f 6)3()3(=-=-∴f f ∴)(x f 在[－3，3]上的最大值为6（3）∵)(x f 为奇函数，∴整理原式得 )2()()2()(2-+<-+f ax f x f ax f进一步可得)2()2(2-<-ax f x ax f而)(x f 在（－∞，+∞）上是减函数，222->-∴ax x ax.0)1)(2(>--∴x ax∴当0=a 时，)1,(-∞∈x 当2=a 时，}1|{R x x x x ∈≠∈且当0<a 时，}12|{<<∈x a x x 当20<<a 时,}12|{<>∈x ax x x 或当a>2时，}12|{><∈x a x x x 或4.已知f (x )在(－1，1)上有定义，f (21)＝－1，且满足x ，y ∈(－1，1)有f (x )＋f (y )＝f (xy y x ++1)⑴证明：f (x )在(－1，1)⑵对数列x 1＝21，x n ＋1＝212nn x x +，求f (x n );⑶求证252)(1)(1)(121++->+++n n x f x f x f n(Ⅰ)证明：令x ＝y ＝0，∴2f (0)＝f (0)，∴f (0)＝0令y ＝－x ，则f (x )＋f (－x )＝f (0)＝0 ∴f (x )＋f (－x )＝0 ∴f (－x )＝－f (x ) ∴f (x )为奇函数(Ⅱ)解：f (x 1)＝f (21)＝－1，f (x n ＋1)＝f (212nn x x +)＝f (nnn nxx xx ⋅++1)＝f (x n )＋f (x n )＝2f (x n )∴)()(1nn x f x f +＝2即{f (x n )}是以－1为首项，2为公比的等比数列∴f (x n )＝－2n －1(Ⅲ)解：)2121211()(1)(1)(11221-++++=+++n nx f x f x f 2212)212(21121111->+-=--=---=--n n n而2212)212(252-<+--=++-=++-n n n n ∴252)(1)(1)(121++->+++n n x f x f x f n5.已知函数Nx f N x x f y ∈∈=)(,),(，满足：对任意,,,2121x x N x x ≠∈都有)()()()(12212211x f x x f x x f x x f x +>+；（1）试证明：)(x f 为N 上的单调增函数； （2）n N ∀∈，且(0)1f =，求证：()1f n n ≥+；（3）若(0)1f =，对任意,m n N ∈,有1)())((+=+n f m f n f ，证明：∑=<-ni if 141)13(12. 证明：（1）由①知，对任意*,,a b a b ∈<N ，都有0))()()((>--b f a f b a ，由于0<-b a ，从而)()(b f a f <，所以函数)(x f 为*N 上的单调增函数.（2）由（1）可知n N ∀∈都有f(n+1)>f(n),则有f(n+1)≥f(n)+1 ∴f(n+1)-f(n)1≥, ∴f(n)-f(n-1)1≥∙∙∙ ∴f(2)-f(1)1≥∴f(1)-f(0)1≥由此可得f(n)-f(0)≥n ∴f(n)≥n+1命题得证 （3）（3）由任意,m n N ∈,有1)())((+=+n f m f n f得()1f m = 由f(0)=1得m=0 则f(n+1)=f(n)+1,则f(n)=n+121)311(21311)311(31313131)13(121<-=--=+∙∙∙++=-∑=nn n ni i f6.已知函数()f x 的定义域为[]0,1，且同时满足：(1)对任意[]0,1x ∈，总有()2f x ≥； (2)(1)3f =(3)若120,0x x ≥≥且121x x +≤，则有1212()()()2f x x f x f x +≥+-.(I)求(0)f 的值；(II)求()f x 的最大值；(III)设数列{}n a 的前n 项和为nS ，且满足*12(3),n nS a n N =--∈.求证：123112332()()()()2nn f a f a f a f a n -⨯++++≤+-.解：（I ）令120x x ==，由(3),则(0)2(0)2,(0)2f f f ≥-∴≤由对任意[]0,1x ∈，总有()2,(0)2f x f ≥∴= （II ）任意[]12,0,1x x ∈且12x x <，则212101,()2x x f x x <-≤∴-≥22112111()()()()2()f x f x x x f x x f x f x ∴=-+≥-+-≥max()(1)3f x f ∴== (III)*12(3)()nn S a n N =--∈1112(3)(2)n n S a n --∴=--≥1111133(2),10n nn na a n a a --∴=≥=≠∴=111112113333333()()()()()23()4n n n n n n nn f a f f f f f -∴==+≥+-≥-+ 111143333()()n n f f -∴≤+，即11433())(n nf a f a +≤+。
必修一数学抽象函数习题精选含答案
1.抽象函数的图像判断单调性
例1．如果奇函数 在区间 上是增函数且有最小值为5，那么 在区间 上是( )
A.增函数且最小值为 B.增函数且最大值为
C.减函数且最小值为 D.减函数且最大值为
分析：画出满足题意的示意图，易知选B。
2、抽象函数的图像求不等式的解集
例2、已知定义在 上的偶函数 满足 ，并且 在 上为增函数。若 ，则实数 的取值范围.
（2）证明解：（1）令 得 ， 或 。
若 ，当 时，有 ，这与当 时， 矛盾， 。
（2）设 ，则 ，由已知得 ，因为 ， ，若 时， ，由
，
（3）由 得
得 （2）
从（1）、（2）中消去 得 ，因为
即 。
例9. 已知 是定义在 上的奇函数，且 ,若 时，有 .（1）判断函数 在 上是增函数，还是减函数，并证明你的结论；（2）解不等式：f(x+ )＜f( ).
例7．已知函数 对任意 有 ，当 时， ， ，求不等式 的解集。
解：设 且 ，则 ， ，则
，
，故 为增函数，
又
因此不等式 的解集为 。
五、综合问题求解
解题时需把握好如下三点：一是注意函数定义域的应用，二是利用函数的奇偶性去掉函数符号“ ”前的“负号”，三是利用函数单调性去掉函数符号“ ”。
例8.设函数 定义在R上，当 时， ，且对任意 ，有 ，当 时 。（1）证明 ；
解：（1）设任意x1,x2∈［－1,1］,且x1<x2.由于f(x)是定义在 上的奇函数，
∴f(x2)－f(x1)=f(x2)+f(－x1).因为x1<x2,所以x2+(－x1)≠0,
由已知有 ＞0，∵x2+(－x1)=x2－x1>0
抽象函数经典综合题33例(含详细解答)
抽象函数经典综合题33例（含详细解答）抽象函数，是指没有具体地给出解析式，只给出它的一些特征或性质的函数，抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识，是考查学生能力的较好途径。
抽象函数问题既是教学中的难点，又是近几年来高考的热点。
本资料精选抽象函数经典综合问题33例（含详细解答）1.定义在R 上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a 、b ∈R ，有f(a+b)=f(a)f(b)， （1）求证：f(0)=1；（2）求证：对任意的x ∈R ，恒有f(x)>0； （3）证明：f(x)是R 上的增函数；（4）若f(x)·f(2x-x 2)>1，求x 的取值范围。
解 （1）令a=b=0，则f(0)=[f(0)]2∵f(0)≠0 ∴f(0)=1 （2）令a=x ，b=-x 则 f(0)=f(x)f(-x) ∴)(1)(x f x f =- 由已知x>0时，f(x)>1>0，当x<0时，-x>0，f(-x)>0 ∴0)(1)(>-=x f x f 又x=0时，f(0)=1>0 ∴对任意x ∈R ，f(x)>0(3)任取x 2>x 1，则f(x 2)>0，f(x 1)>0，x 2-x 1>0 ∴1)()()()()(121212>-=-⋅=x x f x f x f x f x f ∴f(x 2)>f(x 1) ∴f(x)在R 上是增函数（4）f(x)·f(2x-x 2)=f[x+(2x-x 2)]=f(-x 2+3x)又1=f(0)， f(x)在R 上递增∴由f(3x-x 2)>f(0)得：3x-x 2>0 ∴ 0<x<3 2.已知函数()f x ,()g x 在R 上有定义，对任意的,x y R ∈有()()()()()f x y f x g y g x f y -=- 且(1)0f ≠（1）求证：()f x 为奇函数（2）若(1)(2)f f =， 求(1)(1)g g +-的值解（1）对x R ∈，令x=u-v 则有f(-x)=f(v-u)=f(v)g(u)-g(v)f(u)=f(u-v)=-[f(u)g(v)- g(u)f(v)]=-f(x)（2）f(2)=f{1-(-1)}=f(1)g(-1)-g(1)f(-1)=f(1)g(-1)+g(1)f(1)=f(1){g(-1)+g(1)} ∵f(2)=f(1)≠0∴g(-1)+g(1)=13.已知函数)(x f 对任意实数y x ,恒有)()()(y f x f y x f +=+且当x ＞0，.2)1(.0)(-=<f x f 又(1)判断)(x f 的奇偶性；(2)求)(x f 在区间[－3,3]上的最大值； (3)解关于x 的不等式.4)()(2)(2+<-ax f x f ax f解（1）取,0==y x 则0)0()0(2)00(=∴=+f f f取)()()(,x f x f x x f x y -+=--=则)()(x f x f -=-∴对任意R x ∈恒成立 ∴)(x f 为奇函数. （2）任取2121),(,x x x x <+∞-∞∈且， 则012>-x x0)()()(1212<-=-+∴x x f x f x f),()(12x f x f --<∴ 又)(x f 为奇函数 )()(21x f x f >∴ ∴)(x f 在（－∞，+∞）上是减函数. ∴对任意]3,3[-∈x ，恒有)3()(-≤f x f而632)1(3)1()2()12()3(-=⨯-==+=+=f f f f f 6)3()3(=-=-∴f f ∴)(x f 在[－3，3]上的最大值为6（3）∵)(x f 为奇函数，∴整理原式得 )2()()2()(2-+<-+f ax f x f ax f进一步可得)2()2(2-<-ax f x ax f而)(x f 在（－∞，+∞）上是减函数，222->-∴ax x ax.0)1)(2(>--∴x ax∴当0=a 时，)1,(-∞∈x当2=a 时，}1|{R x x x x ∈≠∈且当0<a 时，}12|{<<∈x ax x当20<<a 时, }12|{<>∈x a x x x 或 当a>2时，}12|{><∈x ax x x 或4.已知f (x )在(－1，1)上有定义，f (21)＝－1，且满足x ，y ∈(－1，1)有f (x )＋f (y )＝f (xyy x ++1) ⑴证明：f (x )在(－1，1)⑵对数列x 1＝21，x n ＋1＝212nn x x +，求f (x n ); ⑶求证252)(1)(1)(121++->+++n n x f x f x f n(Ⅰ)证明：令x ＝y ＝0，∴2f (0)＝f (0)，∴f (0)＝0令y ＝－x ，则f (x )＋f (－x )＝f (0)＝0 ∴f (x )＋f (－x )＝0 ∴f (－x )＝－f (x )∴f (x )为奇函数 (Ⅱ)解：f (x 1)＝f (21)＝－1，f (x n ＋1)＝f (212n n x x +)＝f (nn n n x x x x ⋅++1)＝f (x n )＋f (x n )＝2f (x n ) ∴)()(1n n x f x f +＝2即{f (x n )}是以－1为首项，2为公比的等比数列∴f (x n )＝－2n －1 (Ⅲ)解：)2121211()(1)(1)(11221-++++=+++n nx f x f x f 2212)212(21121111->+-=--=---=--n n n而2212)212(252-<+--=++-=++-n n n n ∴252)(1)(1)(121++->+++n n x f x f x f n5.已知函数N x f N x x f y ∈∈=)(,),(，满足：对任意,,,2121x x N x x ≠∈都有)()()()(12212211x f x x f x x f x x f x +>+；（1）试证明：)(x f 为N 上的单调增函数； （2）n N ∀∈，且(0)1f =，求证：()1f n n ≥+；（3）若(0)1f =，对任意,m n N ∈,有1)())((+=+n f m f n f ，证明：∑=<-ni if 141)13(12. 证明：（1）由①知，对任意*,,a b a b ∈<N ，都有0))()()((>--b f a f b a ，由于0<-b a ，从而)()(b f a f <，所以函数)(x f 为*N 上的单调增函数. （2）由（1）可知n N ∀∈都有f(n+1)>f(n),则有f(n+1)≥f(n)+1 ∴f(n+1)-f(n)1≥, ∴f(n)-f(n-1)1≥ ∙∙∙ ∴ f(2)-f(1)1≥∴f(1)-f(0)1≥由此可得f(n)-f(0)≥n ∴f(n)≥n+1命题得证（3）由任意,m n N ∈,有1)())((+=+n f m f n f 得()1f m = 由f(0)=1得m=0 则f(n+1)=f(n)+1,则f(n)=n+121)311(21311)311(31313131)13(121<-=--=+∙∙∙++=-∑=n n n ni if6.已知函数()f x 的定义域为[]0,1，且同时满足：(1)对任意[]0,1x ∈，总有()2f x ≥； (2)(1)3f =(3)若120,0x x ≥≥且121x x +≤，则有1212()()()2f x x f x f x +≥+-. (I)求(0)f 的值； (II)求()f x 的最大值；(III)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足*12(3),n n S a n N =--∈.求证：123112332()()()()2n n f a f a f a f a n -⨯++++≤+-.解：（I ）令120x x ==，由(3),则(0)2(0)2,(0)2f f f ≥-∴≤由对任意[]0,1x ∈，总有()2,(0)2f x f ≥∴= （II ）任意[]12,0,1x x ∈且12x x <，则212101,()2x x f x x <-≤∴-≥22112111()()()()2()f x f x x x f x x f x f x ∴=-+≥-+-≥max ()(1)3f x f ∴==(III)*12(3)()n n S a n N =--∈1112(3)(2)n n S a n --∴=--≥1111133(2),10n n n n a a n a a --∴=≥=≠∴= 111112113333333()()()()()23()4n n n n n n nn f a f f f f f -∴==+≥+-≥-+ 111143333()()n n f f -∴≤+，即11433())(n n f a f a +≤+。
高考数学函数专题训练《抽象函数》含答案解析
因为当 时， ，
所以 在 上单调递减
又因为 ，所以 为偶函数
因为
所以 ，即 ，故选D.
二、填空题
13.已知定义在 上的偶函数 的导函数为 ，对定义域内的任意 ，都有 成立，则使得 成立的 的取值范围为_____．
【答案】
【解析】由 是偶函数，所以当 时，由 得 ，
设 ，则 ，
即当 时，函数 为减函数，
则 且 ，则有 ，可得 ，
，故答案为0.
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为 是定义在 上的函数，对任意两个不相等的正数 ，都有 ，
故 ，∴函数 是 上的减函数，
∵ ，∴ ，∴ .故选C.
5．已知定义在 上的函数 满足 为偶函数，若 在 内单调递减，则下面结论正确的是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】 ， 的周期为6，又 为偶函数，
【答案】A
【解析】由 ，令 ， ，则
时，
当 时，令 ，则 ，即
又 当 时，
令 ，则
，即
在 上单调递减
又
令 ， ；令 ， ；令 ，
数列 是以 为周期的周期数列
， ， ， ，
在 上单调递减
， ， ，
故选 .
10．已知奇函数 是定义在 上的可导函数，其导函数为 ，当 时，有 ，则不等式 的解集为()
A． B． C． D．
，
，
, ，
又 在 内单调递减，
， ，故选A.
6．已知定义在实数集 上的函数 的图象经过点 ，且满足 ，当 时不等式 恒成立，则不等式 的解集为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ,所以函数f(x)是偶函数，
必修一数学抽象函数习题精选含答案
抽象函数单调性和奇偶性1.抽象函数的图像判断单调性例1.如果奇函数f(x)在区间［3, 7］上是增函数且有最小值为5,那么f (x)在区间［7，3］上是()A.增函数且最小值为5B.增函数且最大值为5C.减函数且最小值为 5D.减函数且最大值为5分析：画出满足题意的示意图，易知选Bo2、抽象函数的图像求不等式的解集例2、已知定义在R上的偶函数f (x)满足f(2) 0，并且f (x)在(，0)上为增函数。
若(a 1)f(a) 0 ,则实数a的取值范围二、抽象函数的单调性和奇偶性1.证明单调性例3.已知函数f(x)= ,且f(x),g(x)定义域都是R,且g(x)>0,g(x) 1g(1) =2,g(x) 是增函数.g(m)g(n) g(m n)(m,n R)求证：f(x)是R上的增函数.解:设X1>X2因为，g(x)是R上的增函数,且g(x)>0。
故g(x 1) > g(x 2) >0 o g(X1)+1 > g(x 2)+1 >0 ,2 22> 2>0g(X2)1 g(xj 1g(x2) 1 g(xj 1>0 o增函数。
2.证明奇偶性例5.已知f(x)的定义域为R,且对任意实数x,y 满足f(xy) f(x) 求证：f(x)是偶函数。
分析：在 f(xy) f (x) f(y)中，令 x y 1，得 f(1) f (1) f (1) f (1) 0 令 x y 1,得 f (1) f( 1) f( 1) f( 1) 0于是 f( x) f( 1 x) f( 1) f (x) f (x)，故 f (x)是偶函数。
三、求参数范围这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中， 关键是利用函数的奇 偶性和它在定义域内的增减性，去掉“ f ”符号，转化为代数不等式 组求解，但要特别注意函数定义域的作用。
f(x 1)- f(x 2)=皿Jg(xj 1gg) 1 g%) 122=1——2——(1-2)g(xj 1 gg) 1>0 g(xj 1可以推出: f(x 1)>f(x 2)，所以 f(x)是 R 上的上为减函数。
高中数学抽象函数及其应用练习题含答案
高中数学抽象函数及其应用练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 已知f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)=2x−4，则不等式f(x−2)>0的解集为（）A.{x|x<0或x>4}B.{x|0<x<2或x>4}C.{x|x<0或x>2}D.{x|x<−2或x>2}2. 已知函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+1)=2f(x)，且f(5)=3f(3)+2，则f(4)=( )A.16B.8C.4D.23. 给出如下三个等式：①f(a+b)=f(a)+f(b)；②f(ab)=f(a)+f(b)；③f(ab)=f(a)×f(b)．则下列函数中，不满足其中任何一个等式的函数是( )A.f(x)=x2B.f(x)=3xC.f(x)=2xD.f(x)=ln x4. 若函数f(x)为定义在R上的偶函数，且在(0, +∞)内是增函数，又f(2)＝0，则不等式xf(x−1)>0的解集为（）A.(−∞, −2)∪(0, 2)B.(−1, 1)∪(3, +∞)C.(−1, 0)∪(3, +∞)D.(−2, 0)∪(2, +∞)5. 奇函数f(x)在(−∞, 0)上单调递减，且f(1)＝0，则不等式xf(x)<0的解集是（）A.(−1, 1)B.(−∞, −1)∪(1, +∞)C.(−1, 0)∪(1+∞)D.(−∞, −1)∪(0, 1)6. 若函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(1+x)＝f(1−x)对所有x∈R恒成立，则下列函数值一定正确的是（）A.f(1)＝0B.f(2)＝1C.f(2020)＝0D.f(2021)＝17. 已知f(x)是R上的奇函数，且对x∈R，有f(x+2)＝−f(x)．当x∈(0, 1)时，f(x)＝2x−1，则f(log241)＝（）A.40B.C.D.f(1)≠0，则g(0)等于( )A.−1B.0C.1D.29. 若定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增，且f(2)=0，则不等式xf(x−2)≤0的解集为( )A.(−∞,4]B.(−∞,−4]∪[0,4]C.[−4,0]∪[4,+∞)D.[−4,4]>0的10. 若f(x)是奇函数，且在(−∞,0)上是减函数，又f(−4)=0，则f(x+2)−f(−x−2)x解集是( )A.(−4,0)∪(4,+∞)B.(−6,−2)∪(0,2)C.(−6,−2)∪(2,+∞)D.(−∞,−4)∪(0,4)11. 已知函数f(x)对任意的x∈R都有f(x+2)−f(x)=f(1)．若函数y=f(x+2)的图象关于x=−2对称，且f(0)=8，则f(99)+f(100)=( )A.0B.4C.6D.812. 奇函数f(x)的定义域为R,若f(x+2)为偶函数，且f(1)=1，则f(24)+f(25)=（）A.−2B.−1C.1D.013. 已知函数f(x)对任意的x∈R都有f(x+2)−f(x)=f(1)．若函数y=f(x+2)的图象关于x=−2对称，且f(0)=8，则f(99)+f(100)=( )A.0B.4C.5D.814. 已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2−x)=f(2+x)．当0≤x≤2时，f(x)= x2，则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+⋯+f(9)+f(10)=（）A.−5B.5C.−2D.215. 已知函数y=f(x)为定义域R上的奇函数，且在R上是单调递增函数，函数g(x)= f(x−5)+x，数列{a n}为等差数列，且公差不为0，若g(a1)+g(a2)+⋯+g(a9)= 45，则a1+a2+⋯+a9=（）A.45B.15C.10D.016. 定义在R上的偶函数f(x)满足，则f(2021)＝（）17. 已知f(x)是定义域为(−∞, +∞)的奇函数，满足f(1−x)＝f(1+x)，若f(1)＝2，则f(1)+f(2)+f(3)+...+f(2020)＝________．18. 已知f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f(x+4)＝f(x)，当2≤x≤3，f(x)＝x，则f(5.5)＝________．19. 设f(x)是定义在(0, +∞)上的单调增函数，且对定义域内任意x，y都有f(xy)=f(x)+f(y)，且f(2)=1，则使不等式f(x)+f(x−3)≤2成立的x的取值范围是________.20. 函数f(x)在[−1, 1]上为奇函数并在[0, 1]上单调递减，且f(1−a)+f(1−2a)<0，则a的取值范围为________．21. 已知f(x−)＝x2+，则f(3)＝________.22. 偶函数f(x)对任意x∈R都有f(x+2)=−f(x)，则f(2021)=________．23. 研究表明，函数g(x)=f(x+a)−b为奇函数时，函数y=f(x)的图象关于点P(a, b)成中心对称，若函数f(x)=x3−3x2的图象对称中心为P(a, b)，那么a=________；b=________．24. 已知函数f(x)的定义域为R，对任意x∈R,f(x+2)=3f(x)恒成立，且当x∈(0,2]时，f(x)=2x，则f(7)=________ .25. 已知定义在R上的单调函数f(x)满足对任意的x1，x2，都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)成立，若正实数a，b满足f(a)+f(2b−1)=0，则1a +2b的最小值为________.26. 已知函数f(x)的定义域为R，在(−∞, 0)上单调，且为奇函数．若f(−3)＝−2，f(−1)＝2，则满足−2≤f(1−x)≤2的x的取值范围是________．27. 设函数y＝f(x)的定义域为R，满足f(x+1)＝2f(x)，且当x∈(0, 1]时，f(x)＝x(x−1)．若对任意x∈(−∞, m]，都有，则m的取值范围是________．①f(x)+f(−x)=0；②f(x)=f(x +2)；③当0≤x <1时，f(x)=2x −1．则f(12)+f(1)+f(32)+f(2)+f(52)=________.29. 已知函数 f(x) 满足对任意实数m ,n ，都有 f(m +n)=f(m)+f(n)−2，设g(x)=f(x)+a x a x +1，(a >0, a ≠1) ，若g(ln 2020)=2019 ，则g(ln 12020)=________.30. 求下列函数的解析式：（1）已知f(x)是二次函数，且f(0)＝2，f(x +1)−f(x)＝x −1，求f(x)；（2）已知3f(x)+2f(−x)＝x +3，求f(x)．31. 已知f (x )是定义在R 上的函数，若对于任意的x ，y ∈R ，都有f (x +y )=f (x )+f (y )，且当x >0时，有f (x )>0．(1)求证:f (0)=0；(2)判断函数f (x )的奇偶性；(3)判断函数f (x )在R 上的单调性，并证明你的结论．32. 已知定义在R 上的函数f(x) 满足：①对任意的x ，y ∈R ，都有f(x)+f(y)＝f(x +y)②当x <0时，有f(x)<0（1）利用奇偶性的定义，判断f(x)的奇偶性；（2）利用单调性的定义判断f(x)的单调性；（3）若关于x 的不等式f(k ⋅3x )+f(3x −9x −2)>0在R 上有解，求实数k 的取值范围．33. 已知函数f(x)的定义域是(0, +∞)，且满足f(x ⋅y)＝f(x)+f(y)，当x >1时，f(x)>0．（1）求f(1)的值：（2）判断并证明f(x)的单调性．34. 已知f(x)是定义域为R的奇函数，满足f (1−x)＝f (1+x)．（1）证明：f (4+x)＝f(x)；（2）若f (1)＝2，求式子f (1)+f (2)+f (3)+...+f (50)的值．35. 已知函数f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数，且f(xy)=f(x)+f(y).(1)求f(1)的值；(2)若f(2)=1，解不等式f(x+3)<2．36. 已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，满足f(0)=2，f(x+1)−f(x)=2x−1.(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)当x∈[−1, 2]时，求函数的最大值和最小值．37. 已知f(x)是定义在(0, +∞)上的增函数，且满足f(xy)=f(x)+f(y)，f(2)=1．(1)求证：f(8)=3；(2)求不等式f(x)−f(x−2)>3的解集．38. 已知函数f(x)对任意实数x，y恒有f(x+y)=f(x)+f(y)，且f(−2)=−3.当x> 0时，f(x)>0.(1)证明：f(x)是R上的增函数．(2)求关于x的不等式f(ax2)−f(ax)<f(x2−3x)+3的解集．39. 已知函数f(x)的定义域是(0,+∞)，对定义域内的任意x1,x2都有f(x1⋅x2)=f(x1)+f(x2)，且当x>1时f(x)>0，f(2)=1．(1)求f(1)的值；(2)求证:f(x)在定义域上单调递增；40. 已知函数f(x)的定义域D=(−∞, 0)∪(0, +∞)，且对于任意x1，x2∈D，恒有f(x1x2)=f(x1)+f(x2)，且当x>1时，f(x)<0．（1）求f(1)与f(−1)的值．判断f(x)在(0, +∞)上的单调性（不证明）；（2）试证明y=f(x)在x∈(−∞, 0)∪(0, +∞)上的奇偶性；（3）若f(2m−1)>f(m)+3m2−4m+1，求实数m的取值范围．参考答案与试题解析高中数学抽象函数及其应用练习题含答案一、选择题（本题共计 16 小题，每题 3 分，共计48分）1.【答案】B【考点】函数奇偶性的性质与判断抽象函数及其应用奇偶性与单调性的综合【解析】根据题意，由函数的解析式分析可得当0<x<2时，f(x)<0，当x>2时，f(x)>0，结合函数的奇偶性可得当−2<x<0时，f(x)>0，当x<−2时，f(x)<0，综合可得f(x)>0的解集，对于f(x−2)>0，则有−2<x−2<0或x−2>2，解可得x的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，当x>0时，f(x)=2x−4，则f(x)在区间(0, +∞)上为增函数，且f(2)=0，则当0<x<2时，f(x)<0，当x>2时，f(x)>0.又由f(x)为奇函数，当−2<x<0时，f(x)>0，当x<−2时，f(x)<0，则f(x)>0的解集为{x|−2<x<0或x>2}.不等式f(x−2)>0，则有−2<x−2<0或x−2>2，解得：0<x<2或x>4，即不等式f(x−2)>0的解集为{x|0<x<2或x>4}.故选B.2.【答案】C【考点】抽象函数及其应用【解析】根据关系式得到f(4)=2f(3)且f(5)=2f(4)，进而求得结论．【解答】解：∵函数y=f(x)满足f(x+1)=2f(x)，∴f(4)=2f(3)且f(5)=2f(4).又∵f(5)=3f(3)+2，∴2f(4)=3×1f(4)+2，2∴f(4)=4.故选C.3.【答案】C抽象函数及其应用【解析】本题可以用排除法来解答，根据f(ab)＝f(a)⋅f(b)，可排除A；根据f(a+b)＝f(a)+ f(b)，可排除B；f(ab)＝f(a)+f(b)可排除D，对C进行证明后，即可得到答案．【解答】解：A中，若f(x)=x2，f(ab)=(ab)2，f(a)⋅f(b)=a2⋅b2，f(ab)=f(a)⋅f(b)，故③成立.B中，若f(x)=3x，f(a+b)=3(a+b)，f(a)+f(b)=3a+3b，f(a+b)=f(a)+f(b)，故①成立.D中，若f(x)=ln x，f(ab)=ln ab=ln a+ln b=f(a)+f(b)，故②成立．C中，若f(x)＝2x，f(a+b)=2a+b，f(a)+f(b)=2a+2b，f(a+b)=f(a)+f(b)不一定成立，故①不成立；f(ab)=2ab，f(a)+f(b)=2a+2b，f(ab)=2a⋅2b，f(ab)=f(a)+f(b)不一定成立，故②不成立；f(ab)=f(a)⋅f(b)不一定成立，故③不成立.故选C.4.【答案】C【考点】抽象函数及其应用奇偶性与单调性的综合【解析】根据题意，由函数的奇偶性和单调性分析满足f(x)>0与f(x)<0的区间，而xf(x−1)>0⇒或，解可得x的取值范围，即可得答案．【解答】根据题意，函数f(x)在(0, +∞)内是增函数且f(2)＝0，则在区间(0, 2)上，f(x)<0，在区间(2, +∞)上，f(x)>0，又由f(x)为偶函数，则在区间(−2, 0)上，f(x)<0，在区间(−∞, −2)上，f(x)>0，xf(x−1)>0⇒或，则有−1<x<0或x>3，即不等式的解集为(−1, 0)∪(3, +∞)，5.【答案】B【考点】奇偶性与单调性的综合抽象函数及其应用根据题意，由函数f(x)的奇偶性与单调性作出其草图，又由xf(x)<0⇒{x<0f(x)>0或{x>0f(x)<0，分析可得答案．【解答】根据题意，奇函数f(x)在(−∞, 0)上单调递减，则f(x)在(0, +∞)上也递减，又由f(1)＝0，则f(−1)＝0，其大致图象如图：xf(x)<0⇒{x<0f(x)>0或{x>0f(x)<0，则有x<−1或x>1，即不等式的解集为(−∞, −1)∪(1, +∞)，故选：B．6.【答案】C【考点】抽象函数及其应用函数奇偶性的性质与判断【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】C【考点】抽象函数及其应用函数奇偶性的性质与判断【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【考点】函数的求值抽象函数及其应用【解析】分别令m=0，n=0和m=1，n=0，结合题中条件即可得解. 【解答】解：由题意得，令m=0，n=0，则f(0−0)=f(0)g(0)−f(0)g(0)，即f(0)=0，令m=1，n=0，f(1−0)=f(1)g(0)−f(0)g(1)，即f(1)=f(1)g(0)，∴g(0)=1.故选C.9.【答案】A【考点】抽象函数及其应用奇偶性与单调性的综合不等式恒成立问题【解析】无【解答】解：因为定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增，且f(2)=0，所以f(x)在(−∞,0]上单调递减，且f(−2)=0，所以当x∈(−2,2)时，f(x)<0，当x∈(−∞,−2)∪(2,+∞)时，f(x)>0，所以由xf(x−2)≤0，可得{x<0,x−2≤−2或x−2≥2,或{x>0,−2≤x−2≤2,或x=0，解得x≤4．故选A．10.【答案】B【考点】奇偶性与单调性的综合抽象函数及其应用【解析】此题暂无解析【解答】所以f (−4)=−f (4)=0，即f (4)=0.因为函数f (x )在(−∞,0)上是减函数，所以函数f (x )在(0,+∞)上是减函数，作出函数f (x )的大致图象如图所示，所以对于f (x+2)−f (−x−2)x >0， 等价于f(x+2)−f[−(x+2)]x >0， 即2f (x+2)x >0，则{x <0,f (x +2)<0或{x >0,f (x +2)>0,即{x <0,−4<x +2<0或{x >0,0<x +2<4,解得−6<x <−2或0<x <2，综上，f (x+2)−f (−x−2)x >0的解集是(−6,−2)∪(0,2)．故选B ．11.【答案】D【考点】函数的周期性函数的求值抽象函数及其应用【解析】由函数y =f (x +2)关于直线x =−2对称，得到函数f (x )为偶函数，再由题设条件，得到f (x )的最小正周期为2，即可求解．【解答】解：由函数y =f (x +2)的图象关于直线x =−2对称，所以y =f (x )的图象关于直线x =0对称，即f (x )为偶函数.因为f (x −2)−f (x )=f (1)，所以f (−1+2)−f (−1)=f (1) ，f (1)=0，可得f (x +2)=f (x )，那么f (x )的最小正周期为2，所以f (100)=f (0)=8 ，f (99)=f (1)=0 ，则f (99)+f (100)=8.故选D .12.【答案】C【考点】抽象函数及其应用函数奇偶性的性质【解析】根据题意，由奇函数的性质可得f(−x)=−f(x)且f(0)=0，又由3f(x+2)为偶函数，则f(−x)=f(4+x)，分析可得f(x+4)=−f(x)，则有f(x+8)=−f(x+4)=f(x)，即函数是周期为8的周期函数，据此可得f(24)=0，f(25)=f(1)=1，相加即可得答案．【解答】解：根据题意，f(x)为奇函数，则f(−x)=−f(x)且f(0)=0，又由f(x+2)为偶函数，则f(x+2)=f(−x+2)，即f(x+2)=−f(x−2)，则f(−x)=f(4+x)，分析可得：f(x+4)=−f(x)，则有f(x+8)=−f(x+4)=f(x)，即函数是周期为8的周期函数，f(24)=f(0)=0，f(25)=f(1)=1，则f(24)+f(25)=1．故选C．13.【答案】D【考点】抽象函数及其应用【解析】本题主要考查利用函数的奇偶性及周期性，求抽象函数的值，同时考查函数的图象的平移变换，属于中档题．【解答】解：因为y=f(x+2)的图象关于直线x=−2对称，所以y=f(x)的图象关于直线x=0对称，即f(x)为偶函数．因为f(x+2)−f(x)=f(1)，所以f(−1+2)−f(−1)=f(1).又f(−1)=f(1)，所以f(1)=0，可得f(x+2)=f(x)，所以f(x)的最小正周期为2，所以f(99)=f(1)=0，f(100)=f(0)=8，所以f(99)+f(100)=8．故选D．14.【答案】B【考点】函数奇偶性的性质抽象函数及其应用函数的求值【解析】【解答】解：因为f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2−x)=f(2+x)，所以f(2−x)=−f(x−2)=f(2+x)．又因为当0≤x≤2时，f(x)=x2，所以f(1)=1，f(2)=4，f(3)=f(1)=1，f(4)=f(0)=0，f(5)=f(−1)=−f(1)=−1，f(6)=f(−2)=−f(2)=−4，f(7)=f(−3)=−f(3)=−1，f(8)=f(−4)=−f(4)=0，f(9)=f(−5)=−f(5)=1，f(10)=f(−6)=−f(6)=4.故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+⋯+f(9)+f(10)=5．故选B．15.【答案】A【考点】抽象函数及其应用等差数列的性质函数奇偶性的性质函数单调性的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：因为函数y=f(x)为定义域R上的奇函数，所以f(−x)=−f(x)，f(x)的图象关于点(0,0)对称，所以y=f(x−5)的图象关于点(5,0)对称，由等差中项的性质和对称性可知：a1−5+a9−5=a5−5，2故f(a1−5)+f(a9−5)=0,由此f(a2−5)+f(a8−5)=f(a3−5)+f(a7−5)=f(a4−5)+f(a6−5)=2f(a5−5)=0，由题意，g(x)=f(x−5)+x，若g(a1)+g(a2)+⋯+g(a9)=45，则f(a1−5)+a1+f(a2−5)+a2+⋯+f(a9−5)+a9=45，即f(a1−5)+f(a2−5)+⋯+f(a9−5)+(a1+a2+⋯+a9)=45，则a1+a2+⋯+a9=45.故选A.16.【答案】D【考点】函数奇偶性的性质与判断抽象函数及其应用函数的求值求函数的值【解析】根据题意，利用特殊值分析可得f(1)＝，解可得f(1)的值，结合函数的奇偶性可得＝，则有f(x+2)＝f(2−x)，变形可得f(x+4)＝f(x)，即可得函数的周期性，则有f(2021)＝f(1+2020)＝f(1)，即可得答案．【解答】根据题意，偶函数f(x)满足，则f(x)≥0，若x＝−1，则f(1)＝＝，解可得f(1)＝4或−3，又由f(x)≥0，则f(x)＝4，f(x)为偶函数，则＝，则有f(x+2)＝f(2−x)，变形可得f(x+ 4)＝f(x)，则函数f(x)是周期为4的周期函数，则f(2021)＝f(1+2020)＝f(1)＝4，故选：D．二、填空题（本题共计 13 小题，每题 3 分，共计39分）17.【答案】【考点】抽象函数及其应用【解析】根据题意，由函数的对称性分析可得f(x)为周期为4的函数，分析可得f(1)+f(2)+f(3)+f(4)的值，结合函数的周期性分析可得答案．【解答】又由f(1−x)＝f(1+x)即有f(x+2)＝f(−x)，则f(x+2)＝−f(x)，进而得到f(x+4)＝−f(x+2)＝f(x)，f(x)为周期为4的函数，若f(1)＝2，可得f(3)＝f(−1)＝−f(1)＝−2，f(2)＝f(0)＝0，f(4)＝f(0)＝0，则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)＝2+0−2+0＝0，则f(1)+f(2)+f(3)+...+f(2020)＝505×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]＝0(1)故答案为：018.【答案】2.5【考点】抽象函数及其应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答19.【答案】3<x≤4【考点】抽象函数及其应用函数单调性的性质【解析】利用赋值法先求出f(4)=2，结合函数的单调性进行转化求解即可．【解答】解：∵f(xy)=f(x)+f(y)，f(2)=1，∴f(4)=f(2×2)=f(2)+f(2)=1+1=2，则不等式f(x)+f(x−3)≤2等价为f[x(x−3)]≤f(4).∵f(x)是定义在(0, +∞)上的单调递增函数，∴{x>0,x−3>0, x(x−3)≤4,即{x>0, x>3,x2−3x−4≤0,则{x>0, x>3,−1≤x≤4,解得3<x≤4，故答案为：3<x≤4.20.【答案】[0,2 3 )【考点】抽象函数及其应用奇偶性与单调性的综合【解析】根据题意，由函数的奇偶性与单调性分析可得f(x)在区间[−1, 1]上为减函数，进而可得原不等式等价于{1−a2a−1−1≤1−a≤1−1≤2a−1≤1，解可得a的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，f(x)为奇函数且在[0, 1]上单调递减，则f(x)在区间[−1, 0]上也是减函数，故f(x)在区间[−1, 1]上为减函数，则f(1−a)+f(1−2a)<0⇒f(1−a)<−f(1−2a)⇒f(1−a)<f(2a−1)⇒{1−a>2a−1,−1≤1−a≤1,−1≤2a−1≤1,可得：0≤a<23，即a的取值范围为[0, 23).故答案为：[0,23).21.【答案】11【考点】抽象函数及其应用函数的求值求函数的值【解析】利用配方法，即可求得函数解析式，再代入自变量求解即可．I加加加加x−1x)=(x−1x)2+2，f(3)=32+2=1【解答】此题暂无解答22.【答案】【考点】抽象函数及其应用函数的周期性函数奇偶性的性质【解析】先求出函数的周期为4，再根据f(2021)=f(1)，求得结果．【解答】解：由f(x)是偶函数得，f(x)=f(−x)，又f(x+2)=−f(x)，可得f(x+4)=f(x)，故函数的周期为4，f(−1+2)=−f(−1)，即f(1)=−f(1)，所以f(1)=0，则f(2021)=f(1)=0．故答案为：0．23.【答案】1,−2【考点】抽象函数及其应用函数奇偶性的性质【解析】设f(x)＝x3−3x2的对称中心为点P(a, b)，则g(x)＝f(x+a)−b为奇函数，由函数奇偶性的性质可得f(−x+a)+f(x+a)＝2b，即[(−x+a)3−3(−x+a)2]+[(x+ a)3−3(x+a)2−b]＝2b，变形可得(6a−6)x2+2a3−6a2−2b＝0，则有{6a−6=02a3−6a2−2b=0，解可得a、b的值，即可得答案．【解答】解：设g(x)=f(x+a)−b=(x+a)3−3(x+a)2−b，则g(x)为奇函数，依题可知，g(−x)=f(−x+a)−b且g(−x)=−g(x)，则f(−x+a)−b=b−f(x+a)，即f(−x+a)+f(x+a)=2b，则有[(−x+a)3−3(−x+a)2]+[(x+a)3−3(x+a)2]=2b，即(6a−6)x2+2a3−6a2−2b=0，则有{6a−6=0,2a3−6a2−2b=0,解可得：a=1，b=−2.故答案为：1；−2.24.【答案】54【考点】抽象函数及其应用函数的求值函数的周期性【解析】本题考查函数的性质，考查运算求解能力．【解答】解：∵ f(x+2)=3f(x)，∴ f(7)=3f(5)=32f(3)=33f(1)=54．故答案为：54．25.【答案】9【考点】基本不等式在最值问题中的应用抽象函数及其应用奇偶性与单调性的综合【解析】首先判定函数是奇函数，由所给的等式可得f(x)=f(1−2b)，再由f(x)单调递增可得a=1−2b，从而得到a+2b=1，再利用基本不等式得出结论．【解答】解：不妨令x1=0，x2=0，则有f(0+0)=f(0)+f(0)，解得f(0)=0，当x1=x，x2=−x时，有f(0)=f(x)+f(−x)=0，则函数f(x)是奇函数.∵单调奇函数满足对任意实数a，b满足f(a)+f(2b−1)=0，∴f(a)=f(1−2b)，∴a+2b=1，∴1a +2b=(1a+2b)(a+2b)=5+2ba+2ab≥5+2√2ba ⋅2ab=9，当且仅当2ba =2ab，a+2b=1，即a=b=13时，等号成立.∴1a +2b的最小值为9.故答案为：9.26.【答案】[−2, 0]∪[2, 4]∪{1}【考点】奇偶性与单调性的综合抽象函数及其应用【解析】根据函数的奇偶性和单调性大小将不等式进行转化求解即可．【解答】因为函数f(x)为奇函数，f(−3)＝−2，f(−1)＝2，f(0)＝0所以f(3)＝2，f(1)＝−2，f(x)在(−∞, 0)、(0, +∞)上单调递增，则−2≤f(1−x)≤2⇔1≤1−x≤3或1−x＝0或−3≤1−x≤−1，所以−2≤x≤0或x＝1或2≤x≤4．故答案为：[−2, 0]∪[2, 4]∪{1}．27.【答案】(−∞，）【考点】抽象函数及其应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答28.【答案】√2−1【考点】函数的周期性抽象函数及其应用函数奇偶性的性质【解析】由①②可知，f(x)是周期为2的奇函数，再利用③，将所求关系式中的f(32)、f(2)、f(52)转化为能求值的即可． 【解答】解：∵ f(x)+f(−x)=0，即f(−x)=−f(x)，∴ f(x)为奇函数.又f(x)=f(x +2)，∴ f(x)是周期为2的函数，∴ f(−1)=f(−1+2)=f(1).又f(−1)=−f(1)，∴ f(1)=0.又当0≤x <1时，f(x)=2x −1，f(32)=f(32−2)=f(−12)=−f(12)； 同理可得，f(2)=f(0)=20−1=0；f(52)=f(12)，∴ f(12)+f(1)+f(32)+f(2)+f(52) =f(12)+0−f(12)+0+f(12) =f(12)=√2−1.故答案为：√2−1．29.【答案】−2014【考点】抽象函数及其应用对数的运算性质函数奇偶性的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：∵ 函数f(x)满足对任意实数m,n ，都有f(m +n)=f(m)+f(n)−2， 令m =n =0，则f(0)=2f(0)−2，解得：f(0)=2，令m =x ，n =−x ，则f(0)=f(x)+f(−x)−2，即f(x)+f(−x)=4，∵ g(x)=f(x)+a x a x +1(a >0，a ≠1)，∴g(−x)=f(−x)+a−xa−x+1=f(−x)+1a x+1，故g(x)+g(−x)=f(x)+f(−x)+1=5，∴g(ln2020)+g(ln12020)=2019+g(ln12020)=5，即g(ln12020)=−2014.故答案为：−2014.三、解答题（本题共计 11 小题，每题 10 分，共计110分）30.【答案】（1）f(x)=12x2−32x+2（2）f(x)=x−35【考点】函数解析式的求解及常用方法二次函数的性质抽象函数及其应用【解析】（1）设二次函数为f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，将f(0)=2与f(x+1)−f(x)=x−1代入化简，可求得a,b,c的值．（2）将一代入原方程得到一个新的方程，和原方程组成方程组，解方程组来求得f(x)的值．【解答】（1）设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)由f(0)=2，得kc=2．由f(x+1)−f(x)=x−1得恒等式:2ex+a+b=x−1，得b=12b=−32故所求函数的解析式为f(x)=12x2−32x+2（2）由3f(x)+2tf−x)=x+3，①x用−x代换得3f(−x)+2f(x)=−x+3，②解①⑦得f(x)=x+3531.【答案】(1)证明：由f(x+y)=f(x)+f(y)，令x=y=0，则f(0)=2f(0)，∴f(0)=0．(2)解：由f(x+y)=f(x)+f(y)，令y=−x，则f(0)=f(x)+f(−x)=0，即f(−x)=−f(x)，∴f(x)是奇函数．(3)f(x)在R上是增函数．证明：在R上任取x1，x2，并且x1>x2，∴f(x1−x2)=f(x1)−f(x2)，∵x1>x2，即x1−x2>0，且当x>0时，f(x)>0，∴f(x1−x2)=f(x1)−f(x2)>0，∴f(x1)>f(x2)，∴f(x)在R上是增函数．【考点】抽象函数及其应用函数单调性的判断与证明【解析】此题暂无解析【解答】(1)证明：由f(x+y)=f(x)+f(y)，令x=y=0，则f(0)=2f(0)，∴f(0)=0．(2)解：由f(x+y)=f(x)+f(y)，令y=−x，则f(0)=f(x)+f(−x)=0，即f(−x)=−f(x)，∴f(x)是奇函数．(3)f(x)在R上是增函数．证明：在R上任取x1，x2，并且x1>x2，∴f(x1−x2)=f(x1)−f(x2)，∵x1>x2，即x1−x2>0，且当x>0时，f(x)>0，∴f(x1−x2)=f(x1)−f(x2)>0，∴f(x1)>f(x2)，∴f(x)在R上是增函数．32.【答案】∵对任意的x，y∈R，都有f(x)+f(y)＝f(x+y)，∴令x＝y＝0，得到：f(0)+f(0)＝f(0)，f(0)＝0，再令y−x得到：f(x)+f(−x)＝f(0)，f(−x)＝−f(x)．∴定义在R上的函数f(x)是奇函数；在R上任取两个自变量的值x1，x2，且x1>x2，f(x2)−f(x1)＝f[x1+(x2−x1)]−f(x1)＝f(x1)+f(x2−x1)−f(x1)＝f(x2−x1)．∵x1>x2，∴x2−x1<0，∵当x<0时，有f(x)<0，∴f(x2)−f(x1)<0，∴f(x1)>f(x2)．∴函数f(x)在R上单调递增；由（1）（2）知：奇函数f(x)在R上单调递增，∴关于x的不等式f(k⋅3x)+f(3x−9x−2)>0可以转化为：f(k⋅3x)>−f(3x−9x−2)，∴f(k⋅3x)>−f(3x−9x−2)，∴f(k⋅3x)>f(−3x+9x+2)，∴k⋅3x>−3x+9x+2，∴k>3x+23x−1．∵3x+23x −1≥2√3x×23x−1=2√2−1，当且仅当3x=23x ，x=12log32时取等号．∴关于x的不等式f(k⋅3x)+f(3x−9x−2)>0在R上有解时，k>2√2−1．∴实数k的取值范围是：(2√2−1, +∞)．【考点】奇偶性与单调性的综合抽象函数及其应用【解析】本题（1）利用奇偶性的定义，结合条件f(x)+f(y)＝f(x+y)，用赋值法，得到f(−x)与−f(x)的关系，判断出f(x)的奇偶性；（2）利用函数单调必的定义，证明出f(x)的单调性；（3）利用函数的奇偶性和单调性，将关于x的不等式f(k⋅3x)+f(3x−9x−2)>0转化为3x的不等式，通过变量分离，求出最值，得到k的取值范围，得到本题结论．【解答】∵对任意的x，y∈R，都有f(x)+f(y)＝f(x+y)，∴令x＝y＝0，得到：f(0)+f(0)＝f(0)，f(0)＝0，再令y−x得到：f(x)+f(−x)＝f(0)，f(−x)＝−f(x)．∴定义在R上的函数f(x)是奇函数；在R上任取两个自变量的值x1，x2，且x1>x2，f(x2)−f(x1)＝f[x1+(x2−x1)]−f(x1)＝f(x1)+f(x2−x1)−f(x1)＝f(x2−x1)．∵x1>x2，∴x2−x1<0，∵当x<0时，有f(x)<0，∴f(x2)−f(x1)<0，∴f(x1)>f(x2)．∴函数f(x)在R上单调递增；由（1）（2）知：奇函数f(x)在R上单调递增，∴关于x的不等式f(k⋅3x)+f(3x−9x−2)>0可以转化为：f(k⋅3x)>−f(3x−9x−2)，∴f(k⋅3x)>−f(3x−9x−2)，∴f(k⋅3x)>f(−3x+9x+2)，∴k⋅3x>−3x+9x+2，∴k>3x+23x−1．∵3x+23x −1≥2√3x×23x−1=2√2−1，当且仅当3x=23x ，x=12log32时取等号．∴关于x的不等式f(k⋅3x)+f(3x−9x−2)>0在R上有解时，k>2√2−1．∴实数k的取值范围是：(2√2−1, +∞)．33.【答案】令x＝y＝1，则f(1)＝f(1)+f(1)，解得f(1)＝0．f(x)在(0, +∞)上的是增函数，设x1，x2∈(0, +∞)，且x1>x2，则x1x2>1，∴f(x1x2)>0，∴f(x1)−f(x2)=f(x2⋅x1x2)−f(x2)=f(x1x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴f(x)在(0, +∞)上的是增函数．【考点】抽象函数及其应用【解析】（1）利用赋值法，令x＝y＝1，进行求解即可．（2）利用抽象函数关系，结合函数单调性的定义进行证明即可．【解答】令x＝y＝1，则f(1)＝f(1)+f(1)，解得f(1)＝0．f(x)在(0, +∞)上的是增函数，设x1，x2∈(0, +∞)，且x1>x2，则x1x2>1，∴f(x1x2)>0，∴f(x1)−f(x2)=f(x2⋅x1x2)−f(x2)=f(x1x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴f(x)在(0, +∞)上的是增函数．34.【答案】证明：根据题意，f(x)是定义域为R的奇函数，则f(−x)＝−f(x)，又由f(x)满足f(1+x)＝f(1−x)，则f(−x)＝f(2+x)，则有f(x+2)＝−f(x)，变形可得：f(x+4)＝f(x)，即可得证明；由（1）的结论，f(x+4)＝f(x)，又由f(x)是定义域为R的奇函数，则f(0)＝0，则f(2)＝−f(0)＝0，f(3)＝−f(1)＝−2，f(4)＝f(0)＝0，则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)＝2+0+(−2)+0＝0，则有f(1)+f(2)+f(3)+...+f(50)＝[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]×12+f(49)+f(50)＝f(1)+f(2)＝2．【考点】抽象函数及其应用【解析】（1）根据题意，由函数的奇偶性以及f(1+x)＝f(1−x)分析可得f(x+2)＝−f(x)，进而变形可得答案；（2）由（1）的结论分析可得f(2)、f(3)、f(4)的值，结合函数的周期性分析可得答案．【解答】证明：根据题意，f(x)是定义域为R的奇函数，则f(−x)＝−f(x)，又由f(x)满足f(1+x)＝f(1−x)，则f(−x)＝f(2+x)，则有f(x+2)＝−f(x)，变形可得：f(x+4)＝f(x)，即可得证明；由（1）的结论，f(x+4)＝f(x)，又由f(x)是定义域为R的奇函数，则f(0)＝0，则f(2)＝−f(0)＝0，f(3)＝−f(1)＝−2，f(4)＝f(0)＝0，则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)＝2+0+(−2)+0＝0，则有f(1)+f(2)+f(3)+...+f(50)＝[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]×12+f(49)+f(50)＝f(1)+f(2)＝2．35.【答案】解：(1)令x=y=1，则f(1)=f(1)+f(1)，解得f(1)=0.(2)令x=y=2，则f(4)=f(2)+f(2)，又f(2)=1，所以f(4)=2，f(x+3)<2，即f(x+3)<f(4)，又函数f(x)在区间(0,+∞)上为增函数，所以{x+3>0，x+3<4，解得−3<x<1，所以不等式f(x+3)<2的解集为(−3,1).【考点】抽象函数及其应用其他不等式的解法函数单调性的性质【解析】(1)直接取x=y=1，即可解出.(2)利用函数单调性的性质，构造不等式组，解出即可. 【解答】解：(1)令x=y=1，则f(1)=f(1)+f(1)，解得f(1)=0.(2)令x=y=2，则f(4)=f(2)+f(2)，又f(2)=1，所以f(4)=2，f(x+3)<2，即f(x+3)<f(4)，又函数f(x)在区间(0,+∞)上为增函数，所以{x+3>0，x+3<4，解得−3<x<1，所以不等式f(x+3)<2的解集为(−3,1).36.【答案】解：(1)由f(0)=2，得c=2，又f(x+1)−f(x)=2x−1，得2ax+a+b=2x−1，故{2a=2，a+b=−1，解得：a=1，b=−2，所以f(x)=x2−2x+2．(2)f(x)=x2−2x+2=(x−1)2+1，图象对称轴为x=1，且开口向上，所以，f(x)单调递增区间为(1, +∞)，单调递减区间为(−∞, 1)．(3)f(x)=x2−2x+2=(x−1)2+1，对称轴为x=1∈[−1, 2]，故f min(x)=f(1)=1，又f(−1)=5，f(2)=2，所以f max(x)=f(−1)=5．【考点】抽象函数及其应用函数的最值及其几何意义函数单调性的判断与证明函数解析式的求解及常用方法【解析】（1）利用已知条件列出方程组，即可求函数f(x)的解析式；（2）利用二次函数的对称轴，看看方向即可求函数f(x)的单调区间；（3）利用函数的对称轴与x∈[−1, 2]，直接求解函数的最大值和最小值．【解答】解：(1)由f(0)=2，得c=2，又f(x+1)−f(x)=2x−1，得2ax+a+b=2x−1，故{2a=2，a+b=−1，解得：a=1，b=−2，所以f(x)=x2−2x+2．(2)f(x)=x2−2x+2=(x−1)2+1，图象对称轴为x=1，且开口向上，所以，f(x)单调递增区间为(1, +∞)，单调递减区间为(−∞, 1)．(3)f(x)=x2−2x+2=(x−1)2+1，对称轴为x=1∈[−1, 2]，故f min(x)=f(1)=1，又f(−1)=5，f(2)=2，所以f max(x)=f(−1)=5．37.【答案】(1)证明：由题意可得f(8)=f(4×2)=f(4)+f(2)=f(2×2)+f(2)=3f(2)=3；(2)解：原不等式可化为f(x)>f(x−2)+3=f(x−2)+f(8)=f(8x−16)∵f(x)是定义在(0, +∞)上的增函数∴{8x−16>0，x>8x−16，解得：2<x<167.【考点】抽象函数及其应用其他不等式的解法函数单调性的性质【解析】（1）由已知利用赋值法及已知f(2)=1可求证明f(8)（2）原不等式可化为f(x)>f(8x−16)，结合f(x)是定义在(0, +∞)上的增函数可求【解答】(1)证明：由题意可得f(8)=f(4×2)=f(4)+f(2)=f(2×2)+f(2)=3f(2)=3；(2)解：原不等式可化为f(x)>f(x−2)+3=f(x−2)+f(8)=f(8x−16)∵f(x)是定义在(0, +∞)上的增函数∴{8x−16>0，x>8x−16，解得：2<x<167.38.【答案】(1)证明：设x>y，则x−y>0. 因为当x>0时，f(x)>0，所以f(x−y)>0.因为f(x+y)=f(x)+f(y)，所以f(x)=f(x−y+y)=f(x−y)+f(y)．因为f(x−y)>0，所以f(x)>f(y)，故f(x)是R上的增函数．(2)解：f(ax2)−f(ax)<f(x2−3x)+3等价于f(ax2)+f(−2)<f(x2−3x)+f(ax)，即f(ax2−2)<f(x2−3x+ax).因为f(x)是R上的增函数，所以ax2−2<x2−3x+ax，即(a−1)x2−(a−3)x−2<0.当a=1时，原不等式转化为2x−2<0，解得x<1.当a>1时，不等式(a−1)x2−(a−3)x−2<0可转化为[(a−1)x+2](x−1)<0，解得−2a−1<x<1．当a<1时，不等式(a−1)x2−(a−3)x−2<0可转化为[(a−1)x+2](x−1)<0，①当−2a−1>1，即−1<a<1时，原不等式的解集是{x|x<1或x>−2a−1}；②当−2a−1=1，即a=−1时，原不等式的解集是{x|x≠1}；③当−2a−1<1，即a<−1时，原不等式的解集是{x|x<−2a−1或x>1}．综上，当a<−1时，原不等式的解集是{x|x<−2a−1或x>1}；当a=−1时，原不等式的解集是{x|x≠1}；当−1<a<1时，原不等式的解集是{x|x<1或x>−2a−1；当a=1时，原不等式的解集是{x|x<1}；当a>1时，原不等式的解集是{x|−2a−1<x<1}．【考点】函数单调性的判断与证明抽象函数及其应用函数单调性的性质函数的单调性及单调区间【解析】【解答】(1)证明：设x>y，则x−y>0.因为当x>0时，f(x)>0，所以f(x−y)>0.因为f(x+y)=f(x)+f(y)，所以f(x)=f(x−y+y)=f(x−y)+f(y)．因为f(x−y)>0，所以f(x)>f(y)，故f(x)是R上的增函数．(2)解：f(ax2)−f(ax)<f(x2−3x)+3等价于f(ax2)+f(−2)<f(x2−3x)+f(ax)，即f(ax2−2)<f(x2−3x+ax).因为f(x)是R上的增函数，所以ax2−2<x2−3x+ax，即(a−1)x2−(a−3)x−2<0.当a=1时，原不等式转化为2x−2<0，解得x<1.当a>1时，不等式(a−1)x2−(a−3)x−2<0可转化为[(a−1)x+2](x−1)<0，解得−2a−1<x<1．当a<1时，不等式(a−1)x2−(a−3)x−2<0可转化为[(a−1)x+2](x−1)<0，①当−2a−1>1，即−1<a<1时，原不等式的解集是{x|x<1或x>−2a−1}；②当−2a−1=1，即a=−1时，原不等式的解集是{x|x≠1}；③当−2a−1<1，即a<−1时，原不等式的解集是{x|x<−2a−1或x>1}．综上，当a<−1时，原不等式的解集是{x|x<−2a−1或x>1}；当a=−1时，原不等式的解集是{x|x≠1}；当−1<a<1时，原不等式的解集是{x|x<1或x>−2a−1；当a=1时，原不等式的解集是{x|x<1}；当a>1时，原不等式的解集是{x|−2a−1<x<1}．39.【答案】(1)解：∵f(x)对(0,+∞)内的任意x1,x2都有f(x1⋅x2)=f(x1)+f(x2)，令x1=x2=1，∴有f(1×1)=f(1)+f(1)，解得f(1)=0．(2)证明：设x2>x1>0，则f(x2)−f(x1)=f(x1⋅x2x1)−f(x1)=f(x1)+f(x2x1)−f(x1)=f(x2x1)．∵x2>x1>0，∴x2x1>1，∴f(x2x1)>0，即f(x2)−f(x1)>0，∴f(x2)>f(x1)，∴f(x)在定义域上单调递增．(3)解：∵f(2)=1，f(4)=f(2)+f(2)=2，又∵函数f(x)在(0,+∞)上是增函数，f(2x2−1)<2，∴2x2−1<4，解得−√102<x<√102；且2x2−1>0，解得x<−√22或x>√22，∴√22<x<√102或−√102<x<−√22．即不等式的解集为{x|−√102<x<−√22或√22<x<√102}．【考点】抽象函数及其应用函数单调性的判断与证明【解析】此题暂无解析【解答】(1)解：∵f(x)对(0,+∞)内的任意x1,x2都有f(x1⋅x2)=f(x1)+f(x2)，令x1=x2=1，∴有f(1×1)=f(1)+f(1)，解得f(1)=0．(2)证明：设x2>x1>0，则f(x2)−f(x1)=f(x1⋅x2x1)−f(x1)=f(x1)+f(x2x1)−f(x1)=f(x2x1)．∵x2>x1>0，∴x2x1>1，∴f(x2x1)>0，即f(x2)−f(x1)>0，∴f(x2)>f(x1)，∴f(x)在定义域上单调递增．(3)解：∵f(2)=1，f(4)=f(2)+f(2)=2，又∵函数f(x)在(0,+∞)上是增函数，f(2x2−1)<2，∴2x2−1<4，解得−√102<x<√102；且2x2−1>0，解得x<−√22或x>√22，∴√22<x<√102或−√102<x<−√22．即不等式的解集为{x|−√102<x<−√22或√22<x<√102}．40.【答案】令x1=x2=1，代入f(x1⋅x2)=f(x1)+f(x2)，可得f(1)=0，令x1=x2=−1，则有f[(−1)×(−1)]=f(−1)+f(−1)=f(1)=0，解得f(−1)=0．函数f(x)在(0, +∞)上是减函数．证明：令x1=x，x2=−1，则有f(−x)=f(x)+f(−1)=f(x)，即f(−x)=f(x)，所以函数f(x)是偶函数．设g(x)=f(x)−x2，则偶函数g(x)在(0, +∞)上是减函数，所以f(2m−1)>f(m)+3m2−4m+1⇔f(2m−1)−(4m2−4m+1)>f(m)−m2⇔g(2m−1)>g(m)⇔g(|2m−1|)>g(|m|)⇔0≠|2m−1|<|m|⇔0≠(2m−1)2<m2⇔13<m<1且m≠12，所以m的取值范围是(13, 12)∪(12, 1)．【考点】函数单调性的性质与判断函数奇偶性的性质与判断抽象函数及其应用【解析】（1）令x1=x2=1，代入f(x1⋅x2)=f(x1)+f(x2)可得f(1)=0，再令x1=x2=−1，代入题中的条件可得f(−1)=0；（2）令x1=x，x2=−1，并且结合（1）中的结论可得答案；（3）设g(x)=f(x)−x2，判断g(x)的奇偶性和单调性，由题意得到关于m的不等式，解不等式得到m的取值范围．【解答】令x1=x2=1，代入f(x1⋅x2)=f(x1)+f(x2)，可得f(1)=0，令x1=x2=−1，则有f[(−1)×(−1)]=f(−1)+f(−1)=f(1)=0，解得f(−1)=0．函数f(x)在(0, +∞)上是减函数．证明：令x1=x，x2=−1，则有f(−x)=f(x)+f(−1)=f(x)，即f(−x)=f(x)，所以函数f(x)是偶函数．设g(x)=f(x)−x2，则偶函数g(x)在(0, +∞)上是减函数，所以f(2m−1)>f(m)+3m2−4m+1⇔f(2m−1)−(4m2−4m+1)>f(m)−m2⇔g(2m−1)>g(m)⇔g(|2m−1|)>g(|m|)⇔0≠|2m−1|<|m|⇔0≠(2m−1)2<m2⇔13<m<1且m≠12，所以m的取值范围是(13, 12)∪(12, 1)．。
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抽象函数单调性和奇偶性1. 抽象函数的图像判断单调性例1．如果奇函数f x ()在区间[]37，上是增函数且有最小值为5，那么f x ()在区间[]--73，上是( )A. 增函数且最小值为-5B. 增函数且最大值为-5C. 减函数且最小值为-5D. 减函数且最大值为-5 分析：画出满足题意的示意图，易知选B 。
2、抽象函数的图像求不等式的解集例2、已知定义在R 上的偶函数f (x)满足f (2)0=，并且f (x)在(,0)-∞上为增函数。
若(1)(a)0a f ->，则实数a 的取值范围 .二、抽象函数的单调性和奇偶性 1.证明单调性 例3．已知函数f(x)=1)(1)(+-x g x g ,且f(x),g(x)定义域都是R,且g(x)>0, g(1) =2,g(x) 是增函数. (m)(n)(m n)(m,n )g g g R =+∈ . 求证： f(x)是R 上的增函数.解:设x 1>x 2因为，g(x)是R 上的增函数, 且g(x)>0。
故g(x 1) > g(x 2) >0。
g(x 1)+1 > g(x 2)+1 >0，⇒1)(22+x g >1)(21+x g >0⇒1)(22+x g -1)(21+x g >0。
f(x 1)- f(x 2)=1)(1)(11+-x g x g - 1)(1)(22+-x g x g =1-1)(21+x g -(1-1)(22+x g )=1)(22+x g -1)(21+x g >0。
可以推出：f(x 1) >f(x 2)，所以f(x)是R 上的增函数。
例4．已知f x ()对一切x y ，，满足f f x y f x f y ()()()()00≠+=⋅，，且当x <0时，f x ()>1，求证：（1）x >0时，01<<f x ()；（2）f x ()在R 上为减函数。
证明： 对一切x y R ，∈有f x y f x f y ()()()+=⋅。
且f ()00≠，令x y ==0，得f ()01=， 现设x >0，则-<x 0，f x ()->1，而f f x f x ()()()01=⋅-= ∴-=>f x f x ()()11 ∴<<01f x ()，设x x R 12，∈且x x 12<， 则0121<-<f x x ()，f x f x x x ()[()]2211=-+=-⋅<f x x f x f x ()()()2111 ∴>f x f x ()()12，即f x ()为减函数。
2.证明奇偶性例5．已知f x ()的定义域为R ，且对任意实数x ，y 满足f xy f x f y ()()()=+，求证：f x ()是偶函数。
分析：在f xy f x f y ()()()=+中，令x y ==1，得f f f f ()()()()11110=+⇒= 令x y ==-1，得f f f f ()()()()11110=-+-⇒-=于是f x f x f f x f x ()()()()()-=-⋅=-+=11，故f x ()是偶函数。
三、求参数范围这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“f ”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。
例6．已知f x ()是定义在（-11，）上的偶函数，且在（0，1）上为增函数，满足f a f a ()()---<2402，试确定a 的取值范围。
解： f x ()是偶函数，且在（0，1）上是增函数， ∴f x ()在()-10，上是减函数，由-<-<-<-<⎧⎨⎩1211412a a 得35<<a 。
（1）当a =2时，f a f a f ()()()-=-=2402，不等式不成立。
（2）当32<<a 时，2342041021)4()4()2(2222<<⎪⎩⎪⎨⎧->-<-<-<-<-⇔-=-<-a a a a a a f a f a f 解之得，（3）当25<<a 时， f a f a ()()-<-242=-⇔<-<<-<-<-⎧⎨⎪⎩⎪<<f a a a a a a ()22240210412425解之得，，综上所述，所求a 的取值范围是()()3225，， 四、不等式这类不等式一般需要将常数表示为函数在某点处的函数值，再通过函数的单调性去掉函数符号“f ”，转化为代数不等式求解。
例7．已知函数f x ()对任意x y R ，∈有f x f y f x y ()()()+=++2，当x >0时，f x ()>2，f ()35=，求不等式f a a ()2223--<的解集。
解：设x x R 12、∈且x x 12<， 则x x 210->， ∴->f x x ()212，则f x x ()2120-->，2211()[()]f x f x x x ∴=-+2111()()2()f x x f x f x =-+-> 21()()f x f x ∴>， 故f x ()为增函数， 又f f f f f ()()()()()3212123145=+=+-=-=2(1)3(22)3(1)f f a a f ∴=∴--<=，2221a a --<即13a ∴-<< 因此不等式f a a ()2223--<的解集为{}a a |-<<13。
五、综合问题求解解题时需把握好如下三点：一是注意函数定义域的应用，二是利用函数的奇偶性去掉函数符号“f ”前的“负号”，三是利用函数单调性去掉函数符号“f ”。
例8.设函数y f x =()定义在R 上，当x >0时，f x ()>1，且对任意m n ，，有f m n f m f n ()()()+=⋅，当m n ≠时f m f n ()()≠。
（1）证明f ()01=； （2）证明：f x ()在R 上是增函数；（3）设{}A x y f x f y f =⋅<()|()()()，221，B x y f ax by c a b c R a =++=∈≠{()|()}，，，，，10，若A B =∅，求a b c，，满足的条件。
解：（1）令m n ==0得f f f ()()()000=⋅， ∴=f ()00或f ()01=。
若f ()00=，当m ≠0时，有f m f m f ()()()+=⋅00，这与当m n ≠时，f m f n ()()≠矛盾， ∴=f ()01。
（2）设x x 12<，则x x 210->，由已知得f x x ()211->，因为x 10≥，f x ()11>，若x 10<时，->->x f x 1101，()，由f f x f x ()()()011=⋅- 111()0()f x f x ∴=>-，22111()()()()f x f x x f x f x =-⋅>()f x R ∴在上为增函数。
（3）由f x f y f ()()()221⋅<得x y 2211+<()f ax by c ()++=1得ax by c ++=0（2）从（1）、（2）中消去y 得()a b x acx c b 2222220+++-<，因为A B =∅ ∴=-+-<∆()()()24022222ac a b c b 即a b c 222+<。
例9. 已知(x)f 是定义在[1,1]-上的奇函数，且(1)1f =,若,[1,1]a b ∈-时，有()()0f a f b a b+>+.（1）判断函数(x)f 在[1,1]-上是增函数，还是减函数，并证明你的结论；（2）解不等式：f (x +21)＜f (11-x ).解：（1）设任意x 1,x 2∈［－1,1］,且x 1<x 2.由于f (x )是定义在[1,1]-上的奇函数，∴f (x 2)－f (x 1)=f (x 2)+f (－x 1). 因为x 1<x 2,所以x 2+(－x 1)≠0, 由已知有)()()(1212x x x f x f -+-+＞0，∵x 2+(－x 1)=x 2－x 1>0∴f (x 2)+f (－x 1)>0,即f (x 2)>f (x 1),所以函数f (x )在［－1，1］上是增函数.（2）由不等式f (x +21)＜f (11-x )得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧->+≤-≤-≤+≤-112111111211x x x x ,解得－1<x <0,即为所求.例10、已知设函数y f x =()定义在0x ≠的一切实数，对定义域的任意12,x x 都有1212()()()f x x f x f x ⋅=+，且当x 1>时(x)0f >，f (2)1=， （1） 求证：(x)(x)f f -=；（2）(x)f 在(0,)+∞上是增函数。
（3）解不等式22(x (3a 4)x 2a 8a 4)2f -++++<。