几种常见的约束条件下平抛运动的处理方法

几种常见的约束条件下平抛运动的处理方法

平抛运动是生活中一种常见的曲线运动，我们常用的处理方法是把其分解成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。在实际的问题处理时，常常见到的是有约束条件下的平抛运动。对这类问题的处理我们不仅仅要学会平抛运动的一般处理方法，还要能结合实际的约束条件分析其中的物理情景。下面就几种常见的约束条件下的平抛运动实例，来简单的谈谈此类问题的处理方法。

常见的约束条件有很多，这里就处理斜面约束、挡板约束、圆周约束这三种情况做简单的方法总结。

一、斜面约束

例一、一水平抛出的小球落到一倾角为θ的斜面

上时，其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如图虚线

所示。小球在竖直方向下落的距离与在水平方向通

过的距离之比为（ ）

A 、

1tan θ B 、12tan θ

C 、tan θ

D 、2tan θ

分析：对于约束条件下的平抛运动，我们需要从约束条件中找到需要的几何关系，如位移偏角，速度偏角等等。然后通过这些已知的几何关系再进一步由平抛运动的水平竖直运动规律去求解题设的问题。那么对于例一我们需要抓住的是小球落到斜面上时，其速度方向和斜面垂直，进而分析出其落到斜面上时的速度偏角，再结合平抛运动的规律即可求解。

解：如图将速度分解在水平和竖直两方向，

设速度偏角为α位移偏角为β。由几何关系得速

度偏角为090αθ=-，所以0tan y

v v α=。题问竖直位移和水平位移的比值，即为tan y x

β=。由平抛

运动的推论任意时刻的速度偏角正切值为位移偏角正切值的两倍。所以有

H

tan 2tan αβ=，联立以上关系可得，11tan tan 22tan y x βαθ

===。故正确选项为B 。

原创练习一：如图从倾角为θ的斜面ABC 的顶端C 点，以速度0v 水平抛出

一小球，小球落在斜面上某点P 。则小球在空

中的飞行时间t 为 ？

当然斜面约束下的平抛运动还有其他的

处理方法，这里就不再赘述。

二、挡板约束

例二、在网球比赛中，运动员在离开网的距离为d =12m 处沿水平方向发球，发球高度为H =2.4m ，网高为h =0.9m 。求：

（1）若网球恰好擦网而过，求网球的初速度0v ；

（2）若按上述的初速度发球，求该网球落地点到网的距离x 。

分析：这是一个以网球运动为背景的物理情景题，转化为物理模型即是一个有竖直挡板约束下的平抛运动。由题问条件——恰好擦网而过，找出符合条件的平抛轨迹（如图）。取抛出点至网顶端的这段平抛来求解网球的初速度即可。

解：（1212

H h gt -= 0d v t = 联立两式可得022v m =（2

）落地点到网的距离 3.4x v d m == 原创练习二：如图所示，距离水平地面高

H =20m 处以不同的速度v 0水平抛出小球，在小

球的下方有一长为l =1m 的水平挡板，挡板与小

球抛出点的水平距离d =1m ，离地面的高度为

h =15m ，请问水平面上不能被小球砸中的区域

长？（不考虑小球与挡板的碰撞反弹）。

三、圆周约束 C

B H

例题三、如图，水平地面上有一个坑，其竖直截

面为半圆，ab 为沿水平方向的直径。若在a 点以初速

度v 0沿ab 方向抛出一小球，小球会击中坑壁上的c

点。已知c 点与水平直径的距离为圆半径的一般，求

圆的半径r 。 分析：既然平抛运动是在圆周的约束下发生的，那么我们就要充分的利用圆周的几何特点，去寻找几何关系，这是解决圆周约束下的平抛的关键。

解：连接oc 这条半径，过c 点做直线cd 交直径ab 于d 点由几何关系可得，在Δdoc 中∠doc =300

、12od cd r =

=、。根据平抛运动水平和竖直方向的运动规律有：

002cos30122r r v t

r gt +==

联立以上两式可解得2r =

原创练习三：

如图在半径为R =的圆周上的A 点

以速度05/v m s =水平抛出一小球，小球正好能通过圆心O ，

求小球从抛出后至运动到圆心处经多长时间t ？

总结：以上是平抛运动中常见的三种约束情况，从上面的这些实例可以看出对此类问题的处理关键是依据约束的条件去寻找相应的几何关系，再根据平抛运动的规律去求解。当然，平抛运动还有很多其他的约束条件，在这里由于篇幅有限就不再一一详细列举。

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