初三数学专题讲义-存在性问题
中考数学：存在性问题复习说课讲解
中考数学：存在性问题复习初中数学二次函数中的图形构建及存在性问题一、二次函数中有关面积的存在性问题例1（10山东潍坊）如图所示，抛物线与x 轴交于点()()1030A B -，、，两点，与y 轴交于点()03.C -，以AB 为直径作M ⊙，过抛物线上一点P 作M ⊙的切线PD ，切点为D ，并与M ⊙的切线AE 相交于点E ，连结DM 并延长交M ⊙于点N ，连结.AN AD 、 (1）求抛物线所对应的函数关系式及抛物线的顶点坐标； (2）若四边形EAMD 的面积为43，求直线PD 的函数关系式；(3）抛物线上是否存在点P ，使得四边形EAMD 的面积等于DAN △的面积？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.答案：解：（1）因为抛物线与x 轴交于点()()1030A B -，、，两点，设抛物线的函数关系式为：()()13y a x x =+-， ∵抛物线与y 轴交于点()03C -，， ∴()()30103a -=+-，∴ 1.a =所以，抛物线的函数关系式为：223y x x =--，又()214y x =--，因此，抛物线的顶点坐标为()14-，．(2）连结EM ，∵EA ED 、是M ⊙，的两条切线， ∴EA ED EA AM ED MN =⊥⊥，，，∴EAM EDM △≌△ 又四边形EAMD的面积为∴EAM S =△∴12AM AE =· 又2AM =，∴AE =因此，点E的坐标为(11E -或(21.E --，当E 点在第二象限时，切点D 在第一象限. 在直角三角形EAM中，tan 2EA EMA AM ∠=== ∴60EMA ∠=°，∴60DMB ∠=° 过切点D 作DF AB ⊥，垂足为点F ，∴1MF DF ==，因此，切点D的坐标为(2．设直线PD 的函数关系式为y kx b =+，将((12E D -、的坐标代入得2k b k b=+=-+⎪⎩解之，得k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以，直线PD的函数关系式为33y x =-+当E 点在第三象限时，切点D 在第四象限.同理可求：切点D 的坐标为()23，-，直线PD 的函数关系式为353.33y x =- 因此，直线PD 的函数关系式为35333y x =-+或353.33y x =-(3）若四边形EAMD 的面积等于DAN △的面积又22EAM DAN AMD EAMD S S S S ==△△△四边形， ∴AMD EAM S S =△△∴E D 、两点到x 轴的距离相等，∵PD 与M ⊙相切，∴点D 与点E 在x 轴同侧， ∴切线PD 与x 轴平行，此时切线PD 的函数关系式为2y =或 2.y =-当2y =时，由223y x x =--得，16x =±； 当2y =-时，由223y x x =--得，12x =±.故满足条件的点P 的位置有4个，分别是()()()123162162122P P P +-+-，、，、，、 ()4122.P --，说明：本参考答案给出了一种解题方法，其它正确方法应参考标准给出相应分数.强化训练★1、（10广东深圳）如图，抛物线y ＝ax 2＋c （a ＞0）经过梯形ABCD 的四个顶点，梯形的底AD 在x 轴上，其中A （－2,0），B （－1, －3）．(2）点M 为y 轴上任意一点，当点M 到A 、B 两点的距离之和为最小时，求此时点M 的坐标；(3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P 使S △PAD ＝4S △ABM 成立，求点P 的坐标．答案：（1）、因为点A 、B 均在抛物线上，故点A 、B 的坐标适合抛物线方程∴403a c a c +=⎧⎨+=-⎩ 解之得：14a c =⎧⎨=-⎩；故24y x =-为所求(2）如图2，连接BD ，交y 轴于点M ，则点M设BD 的解析式为y kx b =+，则有203k b k b +=⎧⎨-+=-⎩，12k b =⎧⎨=-⎩故BD 的解析式为2y x =-；令0,x =则2y =-，故(0,M -(3)、如图3，连接AM ，BC 交y 轴于点N ，由（2）知，90AMB ∠=︒易知BN=MN=1， 易求AM BM ==122ABMS=⨯=；设2(,4)P x x -， 依题意有：214422AD x -=⨯，即：2144422x ⨯-=⨯解之得：x =±，0x =，故 符合条件的P 点有三个：图2图3123((0,4)P P P --★2、．矩形OBCD 在如图所示的平面直角坐标系中，其中三个顶点分别为O (0，0)、B (0，3)、D (－2，0)，直线AB 交x 轴于点A (1，0)． (1)求直线AB 的解析式；(2)求过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式，并写出其顶点E 的坐标； (3)过点E 作x 轴的平行线EF 交AB 于点F ．将直线AB 沿轴向右平移2个单位，与x 轴交于点G ，与EF 交于点H 线上是否存在点P ，使得S △PAG ＝ 34S △PEH 不存在，请说明理由．二、二次函数中构建直角三角形与相似形的存在性问题例2 (甘肃）(12分) 如图，抛物线与x 轴交于A （－1，0）、B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，－3），设抛物线的顶点为D ． （1）求该抛物线的解析式与顶点D 的坐标；（2）以B 、C 、D 为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？（3）探究坐标轴上是否存在点P ，使得以P 、A 、C 为顶点的三角形与△BCD 相似？若存在，请指出符合条件的点P 的位置，并直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）设该抛物线的解析式为c bx ax y ++=2，由抛物线与y 轴交于点C （0，－3）,可知3-=c . 即抛物线的解析式为32-+=bx ax y ． ………………………1分把A （－1，0）、B （3，0）代入, 得30,9330.a b a b --=⎧⎨+-=⎩解得2,1-==b a .∴ 抛物线的解析式为y = x 2－2x －3． ……………………………………………3分∴ 顶点D 的坐标为()4,1-. ……………………………………………………4分说明：只要学生求对2,1-==b a ，不写“抛物线的解析式为y = x 2－2x －3”不扣分.（2）以B 、C 、D 为顶点的三角形是直角三角形. ……………………………5分理由如下：过点D 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为E 、F.在Rt △BOC 中，OB=3，OC=3，∴182=BC . …………………………6分在Rt △CDF 中，DF=1，CF=OF-OC=4-3=1，∴22=CD . …………………………7分在Rt △BDE 中，DE=4，BE=OB-OE=3-1=2，∴202=BD . …………………………8分∴ 222BD CD BC =+， 故△BCD 为直角三角形. …………………………9分（3）连接AC ，可知Rt △COA ∽ Rt △BCD ，得符合条件的点为O （0，0）． ………10分过A 作AP 1⊥AC 交y 轴正半轴于P 1，可知Rt △CAP 1 ∽ Rt △COA ∽ Rt △BCD ，求得符合条件的点为)31,0(1P ． …………………………………………11分 过C 作CP 2⊥AC 交x 轴正半轴于P 2，可知Rt △P 2CA ∽ Rt △COA ∽ Rt △BCD ，求得符合条件的点为P 2（9，0）． …………………………………………12分∴符合条件的点有三个：O （0，0），)31,0(1P ，P 2（9，0）. 三、二次函数中构建等腰三角形的存在性问题例3（10重庆潼南）如图, 已知抛物线c bx x y ++=221与y 轴相交于C ，与x 轴相交于A 、B ，点A 的坐标为（2，0），点C 的坐标为（0，-1）. (1）求抛物线的解析式；(2）点E 是线段AC 上一动点，过点E 作DE ⊥x 轴于点D ，连结DC ，当△DCE 的面积最大时，求点D 的坐标；(3）在直线BC 上是否存在一点P ，使△ACP 为等腰三角形，若存在，求点P 的坐标，若不存在，说明理由.答案：解：（1）∵二次函数c x y ++=221的图像经过点A （2，0）C(0,－1) ∴⎩⎨⎧-==++1022c c b 解得： b =－21c =－1 ∴二次函数的解析式为121212--=x x y(2）设点D 的坐标为（m ，0） (0＜m ＜2） ∴ OD =m ∴AD =2-m 由△AD E ∽△AOC 得，OCDEAO AD =∴122DEm =- ∴DE =22m-∴△CDE 的面积=21×22m -×m =242m m +-=41)1(412+--m 当m =1时，△CDE 的面积最大 ∴点D 的坐标为（1，0）(3）存在 由(1)知：二次函数的解析式为121212--=x x y 设y=0则1212102--=x x 解得：x 1=2 x 2=－1 ∴点B 的坐标为（－1，0） C （0，－1）设直线BC 的解析式为：y =kx ＋b∴ ⎩⎨⎧-==+-10b b k 解得：k =-1 b =-1∴直线BC 的解析式为: y =－x －1 在Rt △AOC 中，∠AOC=900 OA=2 OC=1 由勾股定理得：AC=5ABCED xy o题图26∵点B(－1,0) 点C （0，－1） ∴OB=OC ∠BCO=450①当以点C 为顶点且PC=AC=5时， 设P(k , －k －1) 过点P 作PH ⊥y 轴于H ∴∠HCP=∠BCO=450 CH=PH=∣k ∣ 在Rt △PCH 中k 2+k 2=()25 解得k 1=210， k 2=－210 ∴P 1（210，－1210-） P 2（－210，1210-） ②以A 为顶点，即AC=AP=5设P(k , －k －1)，过点P 作PG ⊥x 轴于G AG=∣2－k ∣ GP=∣－k －1∣ 在Rt △APG 中 AG 2＋PG 2=AP 2(2－k )2+(－k －1)2=5 解得：k 1=1,k 2=0(舍) ∴P 3(1, －2)③以P 为顶点，PC=AP 设P(k , －k －1) 过点P 作PQ ⊥y 轴于点Q PL ⊥x 轴于点L ，∴L(k ,0)∴△QPC 为等腰直角三角形， PQ=CQ=k 由勾股定理知CP=PA=2k∴AL=∣k -2∣, PL=｜－k －1｜ 在Rt △PLA 中(2k)2=(k －2)2＋(k ＋1)2 解得：k =25∴P 4(25,－27) 综上所述： 存在四个点：P 1（210，－1210-） P 2（-210，1210-） P 3(1, －2) P 4(25,－27) 三、二次函数中构建四边形的存在性问题（一）二次函数中构建梯形的存在性问题例4 (10山东临沂）如图，二次函数y = -x 2+ax +b 的图像与x 轴交于A (-21，0)、 B (2，0)两点，且与y 轴交于点C ；(1) 求该拋物线的解析式，并判断△ABC 的形状；(2) 在x 轴上方的拋物线上有一点D ，且以A 、C 、D 、B 四 点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D 点的坐标； (3) 在此拋物线上是否存在点P ，使得以A 、C 、B 、P 四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。
初中存在性问题(二)
存在性问题（二）1.y=ax2+bx+4与x轴的一个交点为A(﹣2,0)，与y轴的交点为C，对称轴是x=3,对称轴与x轴交于点B. （1）求抛物线的函数表达式；（2）经过B，C的直线l平移后与抛物线交于点M，与x轴交于点N，当以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求出点M的坐标；（3）若点D在x轴上，在抛物线上是否存在点P，使得△PBD≌△PBC？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2．l：y=ax2+bx+c（a，b，c均不为0）的顶点为M，与y轴的交点为N，我们称以N为顶点，对称轴是y轴且过点M的抛物线为抛物线l的衍生抛物线，直线MN为抛物线l的衍生直线．（1）y=x2﹣2x﹣3的衍生抛物线的解析式是,衍生直线的解析式是;（2）若一条抛物线的衍生抛物线和衍生直线分别是y=﹣2x2+1和y=﹣2x+1，求这条抛物线的解析式；（3）设（1）中的抛物线y=x2﹣2x﹣3的顶点为M,与y轴交点为N,将它的衍生直线MN先绕点N旋转到与x 轴平行，再沿y轴向上平移1个单位得直线n，P是直线n上的动点，是否存在点P，使△POM为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．3．y=ax2+bx+c经过A（3，0）、B（0，3）、C（1，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D的坐标为(-1,0),在直线AB上有一点P，使△ABO与△ADP相似，求出点P的坐标；（3）在(2)的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使△ADE的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．4．如图①,点A坐标为(1,-2),点B坐标为(3,-1),二次函数y=-x2图象为l1．（1）平移抛物线l1，使平移后的抛物线经过点A，但不过点B．①满足此条件函数解析式有个．②写出向下平移且经点A解析式．（2）平移抛物线l1，使平移后的抛物线经过A，B两点，所得的抛物线l2，如图②，求抛物线l2的函数解析式及顶点C的坐标，并求△ABC的面积．（3）在y轴上是否存在点P，使S△ABC=S△ABP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．5．对称轴为x=2的抛物线经过点A(-1,0),C(0,5)两点,与x轴另一交点为B,已知M（0，1），E(a,0),F(a+1,0),点P是第一象限内的抛物线上的动点．（1）求此抛物线的解析式；（2）当a=1时,求四边形MEFP面积的最大值，并求此时点P的坐标；（3）若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？请说明理由．6.与x 轴交于A 、D 两点,与y 轴交于点B,四边形OBCD 是矩形,点A 的坐标为（1，0），点B 的坐标为（0，4），已知点E （m ，0）是线段DO 上的动点，过点E 作PE ⊥x 轴交抛物线于点P ，交BC 于点G ，交BD 于点H ．（1）求该抛物线的解析式；（2）当点P 在直线BC 上方时，请用含m 的代数式表示PG 的长度；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P ，使得以P 、B 、G 为顶点的三角形与△DEH 相似？若存在，求出此时m 的值；若不存在，请说明理由．24y x bx c 3=-++7.直线y =-x +2与x 轴交于点B,与y 轴交于点C.二次函数图象经过点B ，C 和点A （-1，0）．（1）求B ，C 两点坐标；（2）求该二次函数的关系式；（3）若抛物线的对称轴与x 轴的交点为点D ，点E 是线段BC 上的一个动点，过点E 作x 轴的垂线与抛物线相交于点F ，当点E 运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF 的最大面积及此时E 点的坐标；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PCD 是等腰三角形？如果存在，直接写出P 点的坐标；如果不存在，请说明问题．8.如图，在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标是（4，0），并且OA =OC =4OB ，动点P 在过A ，B ，C 三点的抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在点P ，使得△ACP 是以AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）过动点P 作PE 垂直于y 轴于点E ，交直线AC 于点D ，过点D 作x 轴的垂线．垂足为F ，连接EF ，当线段EF 的长度最短时，求出点P 的坐标．129.对称轴为直线x =−的抛物线经过点A(-6，0）和点B （0，4）． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）设点E （x ，y ）是抛物线上的一个动点，且位于第三象限，四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形，求▱OEAF 的面积S 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；①当▱OEAF 的面积为24时，请判断▱OEAF 是否为菱形？②是否存在点E ，使▱OEAF 为正方形？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．72。
第13讲 中考探究之存在性问题
02
考点突破
考点一 特殊三角形存在性问题 【例 1】在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A(0，2)，动点 P 在 y＝ 3 x 的图象上运动(不与 O
3 重合)，连接 AP．过点 P 作 PQ⊥AP，交 x 轴于点 Q，连接 AQ． （1）求线段 AP 长度的取值范围； （2）试问：点 P 运动的过程中，∠QAP 是否为定值？如果是，求出该值；如果不是，请说 明理由； （3）当△OPQ 为等腰三角形时，求点 Q 的坐标．
BF
AO
BF AO
当 x＝2 时，－ 1 x2＋ 3 x＋2＝3，∴点 D 的坐标为(2，3)， 22
（3）当 BO 为边时，OB∥EF，OB＝EF，
设 E(m，－ 1 m＋2)，F(m，－ 1 x2＋ 3 x＋2)，
2
22
EF＝|(－ 1 m＋2)－(－ 1 x2＋ 3 x＋2)|＝2，解得 m1＝2，m2＝2－2 2 ，m3＝2＋2 2 ，
∴tan∠PAQ＝ PQ = PH = yp = 3 ，则∠QAP＝30°； PA AG xp 3
（3）设：OQ＝m，则 AQ2＝m2＋4＝4PQ2，
①当 OQ＝PQ 时，即 PQ＝OQ＝m，则 m2＋4＝4m2，解得：m＝± 3 ； 2
②当 PO＝OQ 时，同理可得：m＝±(4＋4 3 )；
九年级数学压轴学习讲义 点的存在性问题
(3)xy ABCPE Ox yAB C Q O(2)1.（江津市）26.如图，抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点， （1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y 轴与C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大？，若存在，求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值.若没有，请说明理由 解：(1)将A(1，0)，B(－3，0)代2y x bx c =-++中得10930b c b c -++⎧⎨--+=⎩＝∴23b c =-⎧⎨=⎩ ∴抛物线解析式为：223y x x =--+(2)存在 理由如下：由题知A 、B 两点关于抛物线的对称轴1x =-对称∴直线BC 与1x =-的交点即为Q 点， 此时△AQC 周长最小 ∵223y x x =--+，∴C 的坐标为：(0，3)直线BC 解析式为：3y x =+ Q 点坐标即为13x y x =-⎧⎨=+⎩的解 ∴12x y =-⎧⎨=⎩∴Q(－1，2)（3）答：存在。
理由如下：设P 点2(23) (30)x x x x --+-<<，∵92BPC BOC BPCO BPCO S S S S ∆∆=-=-四边形四边形若BPCO S 四边形有最大值，则BPC S ∆就最大，∴BPE BPCO PEOC S S S ∆+Rt 四边形直角梯形＝11()22BE PE OE PE OC =⋅++ ＝2211(3)(23)()(233)22x x x x x x +--++---++＝233927()2228x -+++当32x =-时，BPCO S 四边形最大值＝92728+ABC∴BPC S ∆最大＝9279272828+-=当32x =-时，215234x x --+=∴点P 坐标为315( )24-，) 2.（某某市）26．（本题满分13分）如图，已知抛物线C 1：()522-+=x a y 的顶点为P ，与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），点B 的横坐标是1．（1）求P 点坐标及a 的值；（4分）（2）如图（1），抛物线C 2与抛物线C 1关于x 轴对称，将抛物线C 2向右平移，平移后的抛物线记为C 3，C 3的顶点为M ，当点P 、M 关于点B 成中心对称时，求C 3的解析式；（4分）（3）如图（2），点Q 是x 轴正半轴上一点，将抛物线C 1绕点Q 旋转180°后得到抛物线C 4．抛物线C 4的顶点为N ，与x 轴相交于E 、F 两点（点E 在点F 的左边），当以点P 、N 、F 为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q 的坐标．（5分）解：（1）由抛物线C 1：()522-+=x a y 得顶点P 的为（-2，-5）∵点B （1，0）在抛物线C 1上∴()52102-+=a 解得，a ＝59（2）连接PM ，作PH ⊥x 轴于H ，作MG ⊥x 轴于G∵点P 、M 关于点B 成中心对称∴PM 过点B ，且PB ＝MB ∴△PBH ≌△MBG ∴MG ＝PH ＝5，BG ＝BH ＝3 ∴顶点M 的坐标为（4，5）抛物线C 2由C 1关于x 轴对称得到，抛物线C 3由C 2平移得到 ∴抛物线C 3的表达式为()54952+--=x y （3）∵抛物线C 4由C 1绕点x 轴上的点Q 旋转180°得到∴顶点N 、P 关于点Q 成中心对称 由（2）得点N 的纵坐标为5设点N 坐标为（m ，5） 作PH ⊥x 轴于H ，作NG ⊥x 轴于G 作PK ⊥NG 于K ∵旋转中心Q 在x 轴上∴EF ＝AB ＝2BH ＝6∴FG ＝3，点F 坐标为（m +3，0）H 坐标为（2，0），K 坐标为（m ，-5），根据勾股定理得 PN 2＝NK 2+PK 2＝m 2+4m +104PF 2＝PH 2+HF 2＝m 2+10m +50 NF 2＝52+32＝34① 当∠PNF ＝90º时，PN 2+NF 2＝PF 2，解得m ＝443，∴Q 点坐标为（193，0）②当∠PFN ＝90º时，PF 2+NF 2＝PN 2，解得m ＝103，∴Q 点坐标为（23，0）③∵PN ＞NK ＝10＞NF ，∴∠NPF ≠90º综上所得，当Q 点坐标为（193，0）或（23，0）时，以点P 、N 、F 为顶点的三角形是直角三角形．3.（某某市）25．（14分）已知，如图1，过点()01E -，作平行于x 轴的直线l ，抛物线214y x =上的两点A B 、的横坐标分别为-1和4，直线AB 交y 轴于点F ，过点A B 、分别作直线l 的垂线，垂足分别为点C 、D ，连接CF DF 、． （1）求点A B F 、、的坐标； （2）求证：CF DF ⊥； （3）点P 是抛物线214y x =对称轴右侧图象上的一动点，过点P 作PQ PO ⊥交x 轴于点Q ，是否存在点P 使得OPQ △与CDF △相似？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（1）解:方法一，如图1，当1x =-时,14y =； 当4x =时,4y = ∴1A ⎛⎫- ⎪⎝⎭1，4()44B ，设直线AB 的解析式为y kx b =+（图1）备用图（第25题图）（图1）则1444k b k b ⎧-+=⎪⎨⎪+=⎩ 解得341k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴直线AB 的解析式为314y x =+当0x =时,1y =()01F ∴，方法二:求A B 、两点坐标同方法一,如图2,作FG BD ⊥,AH BD ⊥,垂足分别为G 、H ,交y 轴于点N ,则四边形FOMG 和四边形NOMH 均为矩形,设FO x =BGF BHA △∽△ BG FG BH AH ∴=441544x -∴=-解得1x =()0F ∴，1(2)证明：方法一：在Rt CEF △中，1,2CE EF ==22222125CF CE EF ∴=+=+=CF ∴=在Rt DEF △中，42DE EF ==，222224220DF DE EF ∴=+=+=DF ∴=由（1）得()()1141C D ---，，，5CD ∴=22525CD ∴==222CF DF CD ∴+=90CFD ∴∠=°∴CF DF ⊥方法二：由 （1）知5544AF AC ===，AF AC ∴=同理：BF BD =ACF AFC ∴∠=∠AC EF ∥ACF CFO ∴∠=∠AFC CFO ∴∠=∠同理：BFD OFD ∠=∠90CFD OFC OFD ∴∠=∠+∠=°即CF DF ⊥（3）存在.解：如图3，作PM x ⊥轴，垂足为点M 又PQ OP ⊥Rt Rt OPM OQP ∴△∽△ PM OM PQ OP ∴=PQ PMOP OM ∴= 设()2104P x x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，，则214PM x OM x ==，（图2）图3①当Rt Rt QPO CFD △∽△时，51225PQ CF OP DF ===21142xPM OMx ∴==解得2x =()121P ∴， ②当Rt Rt OPQ CFD △∽△时，2525PQ DF OP CF ===2142xPM OM x ∴==解得8x =()2816P ∴， 综上，存在点()121P ，、()2816P ，使得OPQ △与CDF △相似. 4.如图①，正方形ABCD 中，点A 、B 的坐标分别为（0，10），（8，4），点C 在第一象限．动点P 在正方形ABCD 的边上，从点A 出发沿A →B →C →D 匀速运动， 同时动点Q 以相同速度在x 轴正半轴上运动，当P 点到达D 点时，两点同时停止运动， 设运动的时间为t 秒．(1)当P 点在边AB 上运动时，点Q 的横坐标x （长度单位）关于运动时间t （秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q 开始运动时的坐标及点P 运动速度； (2)求正方形边长及顶点C 的坐标；(3)在（1）中当t 为何值时，△OPQ 的面积最大，并求此时P 点的坐标；(4)如果点P 、Q 保持原速度不变，当点P 沿A →B →C →D 匀速运动时，OP 与PQ 能否相等，若能，写出所有符合条件的t 的值；若不能，请说明理由．解：（1）Q （1，0） ······················································································· 1分 点P 运动速度每秒钟1个单位长度．（2）过点B 作BF ⊥y 轴于点F ，BE ⊥x 轴于点E ，则BF ＝8，4OF BE ==． ∴1046AF =-=．在Rt △AFB 中，228610AB =+过点C 作CG ⊥x 轴于点G ，与FB 的延长线交于点H ． ∵90,ABC AB BC ∠=︒=∴△ABF ≌△BCH ． ∴6,8BH AF CH BF ====． ∴8614,8412OG FH CG ==+==+=．A B CDF H M Py∴所求C 点的坐标为（14，12）．（3）过点P 作PM ⊥y 轴于点M ，PN ⊥x 轴于点N ，则△APM ∽△ABF ． ∴AP AM MP AB AF BF ==．1068t AM MP∴==． ∴3455AM t PM t ==，．∴3410,55PN OM t ON PM t ==-==．设△OPQ 的面积为S （平方单位）∴213473(10)(1)5251010S t t t t =⨯-+=+-（0≤t ≤10）说明:未注明自变量的取值X 围不扣分．∵310a =-<0 ∴当474710362()10t =-=⨯-时，△OPQ 的面积最大． 此时P 的坐标为（9415，5310）． （4）当53t =或29513t =时， OP 与PQ 相等．5.（某某市）25.（本小题满分14分）如图13，二次函数)0(2<++=p q px x y 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，-1），ΔABC 的面积为45。
中考数学复习课件：第2轮第38讲 存在性问题
(1)点 B 的坐标为________；
解：∵四边形 AOCB 是矩形， ∴ BC ＝ OA ＝ 2 ， OC ＝ AB ＝ 2 3 ， ∠ BCO＝ ∠BAO＝90°， ∴B(2 3，2)． 故答案为：(2 3，2)；
(2)是否存在这样的点 D，使得△DEC 是等腰三 角形？若存在，请求出 AD 的长度；若不存在，请说 明理由；
经检验，此时四边形 DGCB 为平行四边形，此 时 G 坐标为(－2，5)；
综上所述，G 点坐标存在，为(2，－3)或(4，5) 或(－2，5)；
∴OE＝ 3， ∴点 D 横坐标为－ 3， ∴点 D 坐标为(－ 3， 3＋1)， 设直线 BD 的函数解析式为 y＝kx＋b(k≠0)，
由题意可得0＝3＋3k1＋＝b－， 3k＋b， 解得k＝－ 33，
b＝ 3， 故直线 BD 的函数解析式为 y＝－ 33x＋ 3；
(3)点 P 在抛物线的对称轴上且在 x 轴下方，点 Q 在射线 BA 上．当△ABD 与△BPQ 相似时，请直 接写出所有满足条件的点 Q 的坐标．
经检验，此时四边形 DCBG 为平行四边形，此 时 G 坐标为(4，5)；
③当 DC 为对角线时，则另一对角线是 GB，由 中点坐标公式可知：
线段 DC 的中点坐标为xD＋2 xC，yD＋2 yC， 即1＋2 0，t－2 3，
线段 GB 的中点坐标为xG＋2 xB，yG＋2 yB， 即m＋2 3，m2－2m2－3＋0， 此时 DB 的中点与 GC 的中点为同一个点， 则t1－＋2230＝＝mm2＋2－32，m2－3＋0，解得mt＝＝8，－2，
第二轮 专题突破
第38讲 存在性问题
类型 等腰三角形
方法点拨：(1)画出满足条件的所有草图；(2)利 用勾股定理或相似三角形的性质求线段长度；(3)检 查答案的合理性
中考数学专题复习——存在性问题
活动二：挑战自我，超越自我
（）如图（），当、 分别移动到边、的延 长线上时，连接与， （）中的结论还成立 吗？（直接回答“是” 或“否”，不需要证 明）
活动二：挑战自我，超越自我
（）如图当、分别 在、的延长线上移 动时，连接与，（） 中的结论还成立吗？ 请你说明理由.
活动二：挑战自我，超越自我
（）如图，当、分别 在边、上移动时，连 接和交于点，由于点、 的移动，使得点也随 之运动，请你画出点 的运动路径草图.若， 试求出线段的最小值.
小结
说说看：你有哪些收获？
.动态问题通常要设想整个运动过程，找到并记下 每一个特殊的位置；
.注意考察图形运动经过的某些特殊点，图形变化 而成的特殊形状；
A'
活动一：我自信，我能行
.如图，矩形中，点在边上，将矩形沿 直线翻折，点恰好落在边上的点处. 若，，则的长为.
A
D
E
BF
C
活动一：我自信，我能行
、如图，正方形的边长为，点在边上
且超越自我
正方形中，动点、分别从、两点 同时出发，以相同的速度在直线、 上运动.
.把整个运动过程分解成若干个小过程，逐一考察， 最后再综合考虑。
我们一直在努力， 我们会一直努力！
活动一：我自信，我能行
．如图，将周长为的△沿平移一个单 位得到△，则四边形的周长为( )
．
A
D
B
E
C
F
活动一：我自信，我能行
如图，一块含有角的直角三角形，在水平桌面上 饶点按顺时针方向旋转到’’’的位置.若的长为， 那么丁点从开始到结束经过的路径长为( )
中考数学几何模型22个精选——存在性问题
中考数学几何模型22个精选——存在性问题
1.三角形存在性问题
2.平行四边形存在性问题
目录1
一、直角三角形的存在性
1.几何法平面直角坐标系中已知条线段，构造直角三角形，用的是“两线圆':分别过已知线段的两个端点作已知线段的垂线，再以已知线段为直径作圆。
2.两点间距离公式代数法，代数法解题步：
•(1)表示出A、B、C的坐标
•(2)表示出线段AB、AC、BC的长（两点间距离公式）
•(3)分类列方程
•3)解方程
•(4)检验。
二、等腰三角形的存在
1.“两圆一线”几何法，又叫两圆一中垂。
2.两点间距离公式代数法，代数法解题步骤：
•(1)列出三边长的平方
•(2)分类列方程；
•(3)解方程；
•(4)检验。
注：若△ABC是等腰三角形，那么可以分为①AB=AC;②AB=BC;③AC=BC三种情况
练习
三、平行四边形的存在性
分析：平移法的原理是平行四边形的对应边平行且相等；对点法的原理平行四边形对角线互相平分.
常考类型：1.三定一动2.二定二动。
苏教版初三数学下册《专题讲座：存在性问题(3)》
与二次函数有关的面积的存在性问题一、重点知识和解题策略一般有已知面积或面积的关系求点的坐标，已知面积之间的关系求点的坐标，其中涉及一次函数、二次函数、一元二次方程、相似、三角形函数等知识。
解题策略是设出所求点的坐标直接表示出三角形的面积后，列方程或利用二次函数的的最值进行求解，或将面积关系转化为底或高之间的关系，然后利用相似、三角形函数等知识进行求解。
二、热身运动1、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点为A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3m）（其中m＞0）．（1）求该二次函数的解析式（系数用含m的代数式表示）；（2）如图1，当m=2时，点P为第三象限内的抛物线上的一个动点，设△APC的面积为S，试求出S与点P的横坐标x之间的函数关系式及S的最大值.2．如图2，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－2ax－3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx＋b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为5 4，求a的值．方法分析这两例都是“在三角形三个顶点‘两定一动’的条件下，探求三角形的相关面积问题”．求解的方法是过三角形的一个不定顶点作x轴的垂线，交过两定点的直线于一点，将原三角形转化为两个同底的两个三角形的和或差．这种题型一般有两种类型，即“垂线”经过三角形的内部以及在三角形的外部，但是结果是一致的，都是等于“不定顶点”与“与过两定点的直线的交点”的纵坐标差的绝对值与“两定点”的横坐标差的绝对值的积的二分之一，在能确定坐标的大小时，可去掉绝对值．上面两例都是可确定对应坐标的大小的．这个方法比较过顶点作坐标轴的平行线构造矩形等方法进行求解要简便.三、例题学习例1、如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，D为顶点，其中点B的坐标为（5，0），点D的坐标为（1，3）．（1）求该二次函数的表达式；（2）试问在该二次函数图象上是否存在点G，使得△ADG的面积是△BDG 的面积的？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．例2．如图，在平面直角坐标系中，直线l 1的解析式为y x =，直线l 2的解析式为132y x =-+，与x 轴、y 轴分别交于点A 、点B ，直线l 1与l 2交于点C ．若直线l 2上存在点P （不与B 重合），满足S △COP =S △COB ，请求出点P 的坐标。
苏教版初三数学下册《专题讲座：存在性问题》
等腰三角形的存在性问题一、重点知识和解题策略一般有直角三角形、等腰三角形、等边三角形或等腰直角三角形存在性问题。
解题策略首先明确分类，然后利用图形的性质适当转化，构造方程（组）或直接计算求出满足存在条件的量。
二、热身运动1．图1，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，过点B的直线y=kx+分别与y轴及抛物线交于点C，D．（1）求直线和抛物线的表达式；（2）动点P从点O出发，在x轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，△PDC为直角三角形？请直接写出所有满足条件的t的值；（3）如图2，将直线BD沿y轴向下平移4个单位后，与x轴，y轴分别交于E，F两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M，在直线EF上是否存在点N，使DM+MN的值最小？若存在，求出其最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．三、例题学习例1：如图，抛物线L：y=ax2+bx+c与x轴交于A、B（3，0）两点（A在B 的左侧），与y轴交于点C（0，3），已知对称轴x=1．（1）求抛物线L的解析式；（2）设点P是抛物线L上任一点，点Q在直线l：x=﹣3上，△PBQ能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由．例2．如图，已知平面直角坐标系中，直线y=12x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线y=x交于点C．已知点P是x轴上的一点，若△COP是等腰三角形，直接写点P的坐标．例3、如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线8=bxax与x轴交于A，y2-+B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为（－2，0），（6，－8）．（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标．（2）试探究抛物线上是否存在点F，使FOE∆≌FCE∆，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l交于点Q．试探究：当m为何值时，OPQ∆是等腰三角形．四、自我挑战1.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线=bxax与x轴交于A，B两点，与y轴交于+y2-8点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为（－2，0），（6，－8）．（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标．（2）试探究抛物线上是否存在点F，使∆，若存在，请直接写出点F的坐标；∆≌FCEFOE若不存在，请说明理由．（3）若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l交于点Q．试探究：当m为何值时，OPQ∆是等腰三角形．等腰三角形的存在性问题参考答案：二、热身运动1.解析：（1）把A（﹣4，0），B（1，0）代入y=ax2+2x+c，得，解得：，∴抛物线解析式为：y=，∵过点B的直线y=kx+，∴代入（1，0），得：k=﹣，∴BD解析式为y=﹣；（2）由得交点坐标为D（﹣5，4），如图1，过D作DE⊥x轴于点E，作DF⊥y轴于点F，当P1D⊥P1C时，△P1DC为直角三角形，则△DEP1∽△P1OC，∴=，即=，解得t=，当P2D⊥DC于点D时，△P2DC为直角三角形由△P2DB∽△DEB得=，即=，解得：t=；当P3C⊥DC时，△DFC∽△COP3，∴=，即=，解得：t=， ∴t 的值为、、．（3）由已知直线EF 解析式为：y=﹣x ﹣，在抛物线上取点D 的对称点D′，过点D′作D′N ⊥EF 于点N ，交抛物线对称轴于点M过点N 作NH ⊥DD′于点H ，此时，DM+MN=D′N 最小． 则△EOF ∽△NHD′ 设点N 坐标为（a ，﹣），∴=，即=，解得：a=﹣2，则N 点坐标为（﹣2，﹣2），求得直线ND′的解析式为y=x+1，当x=﹣时，y=﹣， ∴M 点坐标为（﹣，﹣），此时，DM+MN 的值最小为==2．三、自我挑战分析：前面2问略，主要分析第（3）问．如图5，作QH ⊥x 轴于点H ．QP H O B yx O B 图6 yx P Q F O B 图7y xPQ根据前面两问可求出，点B 的坐标为（8，0），直线l 的函数表达式为x y 34-=．根据直线l 的函数表达式为x y 34-=，可得34=OH QH ．设OH =3n ，则QH =4n ，OQ =5n ．所以cos ∠POQ =cos ∠OQH =54=OQ QH ． 由BO BH PO QH =，得8384n m n -=-，解得3238-=m n n ，所以OQ =5n =32340-m m． 这就把直线l 的函数表达式为x y 34-=隐含的几何条件和其它与坐标轴围成的相关三角形的性质转移到△POQ 中．这时，△POQ 中，m OP -=，OQ =32340-m m ，cos ∠POQ =54．充分利用这些条件和等腰三角形的性质即可解决问题．分三种情况讨论：①如图6，当OP =OQ 时，解方程32340-=-m m m ，得38-=m （m =0舍去）．②如图7，当QP =QO 时，根据等腰三角形的“三线合一”和cos ∠POQ =54，得21OP =54OQ ．解方程323405421-⨯=-m m m ，得332-=m （m =0舍去）．③当PO =PQ 时，根据等腰三角形的“三线合一”和cos ∠POQ =54，得21OQ =54OP ．解方程m m m 543234021-=-⨯，得37=m 或m =0．此时点P 在y 轴的正半轴上或原点，不合题意，舍去，如图8．下面再与大家分享两种解法，供大家比较． （3）解法一：分两种情况：①当OQ OP =时，OPQ ∆是等腰三角形．Θ点E 的坐标为（3，－4），54322=+=∴OE ，过点E 作直线ME //PB ，交y 轴于点M ，交x 轴于点H ，则OQOEOP OM =，5==∴OE OM ，∴点M 的坐标为（0，－5）． 设直线ME 的表达式为51-=x k y ，∴4531-=-k ，解得311=k ，∴ME 的函数表达式为531-=x y ，令y =0，得0531=-x ，解得x =15，∴点H 的坐标为（15，0）．又ΘMH//PB ，∴OH OB OM OP =，即1585=-m ，∴38-=m ．图1②当QP QO =时，OPQ ∆是等腰三角形．当x =0时，883212-=--=x x y ，∴点C 的坐标为（0，－8），∴5)48(322=-+=CE ，∴OE=CE ，∴21∠=∠，又因为QP QO =，∴31∠=∠，∴32∠=∠，∴CE//PB ．设直线CE 交x 轴于点N ，其函数表达式为82-=x k y ，∴4832-=-k ，解得342=k ，∴CE 的函数表达式为834-=x y ，令y =0，得0834=-x ，∴6=x ，∴点N 的坐标为（6，0）．ΘCN//PB ，∴ON OB OC OP =，∴688=-m ，解得332-=m ． 综上所述，当m 的值为38-或332-时，OPQ ∆是等腰三角形．解法二：当x =0时，883212-=--=x x y ，∴点C 的坐标为（0，－8），∴点E 的坐标为（3，－4），54322=+=∴OE ，5)48(322=-+=CE ，∴OE=CE ，∴21∠=∠，设抛物线的对称轴交直线PB 于点M ，交x 轴于点H ．分两种情况：①当QP QO =时，OPQ ∆是等腰三角形．∴31∠=∠，∴32∠=∠，∴CE //PB ． 又ΘHM //y 轴，∴四边形PMEC 是平行四边形，∴m CP EM --==8，∴5384)8(4=-=--=--+=+=BH m m EM HE HM ，ΘHM//y 轴，∴BHM ∆∽BOP ∆，∴BO BH OP HM =． ∴332854-=∴=---m m m ．②当OQ OP =时，OPQ ∆是等腰三角形．y EH //Θ轴，∴OPQ ∆∽EMQ ∆，∴OPEMOQ EQ =，∴EM EQ =． m m OP OE OQ OE EQ EM +=--=-=-==∴5)(5，)5(4m HM +-=∴，y EH //Θ轴，∴BHM ∆∽BOP ∆，∴BOBH OPHM =．∴38851-=∴=---m mm ．∴当m 的值为38-或332-图9图10时，OPQ 是等腰三角形．评注：将到其它的图形中的性质转移到等腰三角形中来，再结合等腰三角形的性质进行问题求解．首先挖掘目标等腰三角形外的图形的隐含条件，如本题中的两个与坐标系有关的三角形以及一次函数隐含的几何性质，然后通过转化，将其转移到等腰三角形中．解决问题时，一定要眼光开阔，不能只局限于目标三角形．特殊四边形的存在性问题一、重点知识和解题策略图11图11一般有平行四边形、矩形、菱形或正方形存在性问题。
中考数学复习考点知识讲解与练习27 二次函数-存在性问题
中考数学复习考点知识讲解与练习 专题27 二次函数-存在性问题存在性问题是判断事物是否存在的问题，其知识点较广，综合性强，解题方法较灵活，对学生解决问题能力要求高，中考题中往往出现在压轴题中，其解题的一般思路是：假设存在--推理论证--得出结论---合理就存在在，反之不存在。
存在性的问题有点、面、线段、图形的存在等等。
解题方法多以设参数--表示点坐标--表示线段长--表示面积---建立方程等方法解决问题。
1．如图，二次函数的图象交x 轴于点()()1,0,4,0A B -，交y 轴于点()0,4,C P -是直线BC 下方抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的表达式;（2）连接,PB PC ，是否存在点P ，使PBC ∆面积最大，若存在，求出点P 的坐标;若不存在，请说明理由．2．如图,二次函数 2 2y ax bx =++经过点()1,0A -和点()4,0B ,与y 轴交于点C ．()1求抛物线的解析式;()2D 为y 轴右侧抛物线上一点,是否存在点D ,使若存在23ABC ABD S S ∆∆=,请直接写出点D 的坐标;若不存在,请说明理由．3．如图，在平面直角坐标系中，己知二次函数283y ax x c =++的图像与y 轴交于点B (0，4)，与x 轴交于点A (－1，0)和点D ． (1)求二次函数的解析式； (2)求抛物线的顶点和点D 的坐标；(3)在抛物线上是否存在点P ，使得△BOP 的面积等于52？如果存在，请求出点P 的坐标？如果不存在，请说明理由．4．如图，已知二次函数2(1)y x a x a =-++-与x 轴交于A 、B 两点（点A 位于点B 的左侧），与y 轴交于点C ，已知BAC ∆的面积是6．（1）求a 的值；（2）在抛物线上是否存在一点P ，使ABP ABC S S ∆∆=．存在请求出P 坐标，若不存在请说明理由．5．如图所示，二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，线段OB 、OC 的长（OB OC <）是方程210160x x -+=的两个根，且A 点坐标为(60)-，． （1）求此二次函数的表达式；（2）若点E 是线段AB 上的一个动点（与点A 、B 不重合），过点E 作EF ∥AC 交BC 于点F ，连接CE . 设AE 的长为m ，△CEF 的面积为S ，求S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；（3）在（2）的基础上试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出S 的最大值，并求出此时点E 的坐标，判断此时△BCE 的形状；若不存在，请说明理由．6．关于x 的一元二次方程()222110k x k x --+=有两个实数根.()1求k 的取值范围；()2是否存在实数k ，使方程的实数根互为相反数？若存在，求k ；若不存在，请说明理由.6．如图，在平面直角坐标系xOy 中,二次函数22y x bx c =++的图象与x 轴交于A （-1,0）、B （3,0）两点, 顶点为C . (1) 求此二次函数解析式；(2) 点D 为点C 关于x 轴的对称点，过点A 作直线l ：33y x =+交BD 于点E ，过点B 作直线BK ∥AD 交直线l 于K 点.问：在四边形ABKD 的内部是否存在点P ，使得它到四边形ABKD 四边的距离都相等，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由； (3) 在（2）的条件下，若M 、N 分别为直线AD 和直线l 上的两个动点，连结DN 、NM 、MK ，求DN NM MK ++和的最小值.8．如图是二次函数()2y x m k =++的图象，其顶点坐标为()1,4M -．（1）直接写出m 、k 的值；（2）求二次函数的图象与x 轴的交点A ，B 的坐标；（3）在二次函数的图象上是否存在点P ，使54PAB MAB S S =△△？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，二次函数212y x bx c =++的图象交x 轴于,A D 两点，并经过B 点，已知A 点坐标是()2,0，B 点坐标是()8,6． （1）求二次函数的解析式；（2）求函数图象的顶点坐标及D 点的坐标；（3）二次函数的对称轴上是否存在一点C ，使得CBD ∆的周长最小？若C 点存在，求出C 点的坐标，若C 点不存在，请说明理由．10．如图是二次函数c bx x y ++=2的图象，其顶点坐标为M （1，－4）． （1）求出图象与x 轴的交点A ，B 的坐标； （2）在二次函数的图象上是否存在点P ，使MAB PAB S S ∆∆=45，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由；11．如图，二次函数y＝﹣14x2+bx+c的图象经过点A（4，0），B（﹣4，﹣4），且与y轴交于点C．（1）求此二次函数的解析式；（2）证明：AO平分∠BAC；（3）在二次函数对称轴上是否存在一点P使得AP＝BP？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．11．（本题满分10分）如图是二次函数的图象，其顶点坐标为M（1，-4）．（1）求出图象与轴的交点A，B的坐标；（2）（2）在二次函数的图象上是否存在点P，使，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由；13．如图，二次函数212y x bx c =-++的图象经过A(2，0)，B(0，－6)两点． （1）求这个二次函数的解析式；（2）设该二次函数的对称轴与x 轴交于点C ，连接BA ，BC ，求△ABC 的面积． （3）在x 轴上是否存在一点P ，使△ABP 为等腰三角形，若存在，求出P 的坐标，若不存在，说明理由.14．如图，二次函数2y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于c 顶点，已知(1,0)A ，(0,3)C -.（1）求此二次函数的解析式及B 点坐标.（2）在抛物线上存在一点P 使ABP ∆的面积为10，不存在说明理由，如果存在，请求出P 的坐标.（3）根据图象直接写出33x -<<时，y 的取值范围.15．如图，已知二次函数223y x x =+-的图象与x 轴相交于C D 、两点（点C 在点D 的左边），与y 轴交于点B ，点A 在二次函数的图像上，且AB ∥x 轴．问线段BC 上是否存在点P ，使△POC 为等腰三角形；如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．16．已知二次函数：2(21)2(0)y ax a x a =+++<． （1）求证：二次函数的图象与x 轴有两个交点；（2）当二次函数的图象与x 轴的两个交点的横坐标均为整数，且a 为负整数时，求a 的值及二次函数的解析式并画出二次函数的图象（不用列表，只要求用其与x 轴的两个交点A ，B （A 在B 的左侧），与y 轴的交点C 及其顶点D 这四点画出二次函数的大致图象，同时标出A ，B ，C ，D 的位置）；（3）在（2）的条件下，二次函数的图象上是否存在一点P 使75PCA ︒∠=？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．17．如图，二次函数2y x bx c =-++的图象经过坐标原点，与x 轴的另一个交点为A (－2，0)．（1）求二次函数的解析式（2）在抛物线上是否存在一点P ，使△AOP 的面积为3，若存在请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．18．二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象经过点A （3，0），B （2，﹣3），并且以x=1为对称轴．（1）求此函数的解析式； （2）作出二次函数的大致图象；（3）在对称轴x=1上是否存在一点P ，使△PAB 中PA=PB ？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由．19．如图，已知二次函数21:43L y x x =-+与x 轴交于AB 、两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ．（1）写出AB 、两点的坐标；（2）二次函数()22:430L y kx kx k k =-+≠，顶点为P ．①直接写出二次函数2L 与二次函数1L 有关图象的两条相同的性质；②是否存在实数k ，使ABP ∆为等边三角形？如存在，请求出k 的值；如不存在，请说明理由；③若直线8y k =与抛物线2L 交于E F 、两点，问线段EF 的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF 的长度；如果会，请说明理由．20．如图，已知二次函数y ＝x 2﹣2x +m 的图象与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，直线AC 交二次函数图象的对称轴于点D ，若点C 为AD 的中点． （1）求m 的值；（2）若二次函数图象上有一点Q ，使得tan ∠ABQ ＝3，求点Q 的坐标；（3）对于（2）中的Q 点，在二次函数图象上是否存在点P ，使得△QBP ∽△COA ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．21．如图，二次函数y ＝12x 2+bx+c 的图象交x 轴于A 、D 两点，并经过B 点，已知A 点坐标是（2，0），B 点坐标是（8，6）．（1）求二次函数的解析式；（2）求函数图象的顶点坐标及D 点的坐标；（3）二次函数的对称轴上是否存在一点C ，使得△CBD 的周长最小？若C 点存在，求出C 点的坐标；若C 点不存在，请说明理由．22．已知：如图，二次函数y=x 2+bx+c 的图象过点A （1，0）和C （0，﹣3）（1）求这个二次函数的解析式；（2）如果这个二次函数的图象与x 轴的另一个交点为B ，求线段AB 的长．（3）在这条抛物线上是否存在一点P ，使△ABP 的面积为8？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．23．已知二次函数22y x 2mx m 1=-+-.（1）当二次函数的图象经过坐标原点O （0，0）时，求二次函数的解析式；（2）如图，当m=2时，该抛物线与y 轴交于点C ，顶点为D ，求C 、D 两点的坐标；（3）在（2）的条件下，x 轴上是否存在一点P ，使得PC+PD 最短？若P 点存在，求出P点的坐标；若P 点不存在，请说明理由．24．如图，二次函数214y x bx c =-++的图象经过点()4,0A ，()4,4B --，且与y 轴交于点C ．（1）当二次函数的图象经过坐标原点O （0，0）时，求二次函数的解析式；（2）如图，当m=2时，该抛物线与y 轴交于点C ，顶点为D ，求C 、D 两点的坐标；（3）在（2）的条件下，x 轴上是否存在一点P ，使得PC+PD 最短？若P 点存在，求出P 点的坐标；若P 点不存在，请说明理由．25．如图，二次函数24y ax x c =-+的图象经过坐标原点，与x 轴交于点()4,0A -．（1）求二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在点P ，满足6AOP S =，试求出点P 的坐标．26．已知二次函数2y ax bx c =++的图象过点()2,0且与直线334y x =-+相交于B 、C 两点，点B 在x 轴上，点C 在y 轴上．()1求二次函数的解析式．()2如果(),P x y 是线段BC 上的动点，O 为坐标原点，试求POA 的面积S 与x 之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围． ()3是否存在这样的点P ，使PO AO =？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．27．已知二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）的图象过点E （2，3），对称轴为1x =，它的图象与x 轴交于两点（1x ，0），B （2x ，0），且12x x <，221210x x +=．（1）求这个二次函数的解析式；（2）在（1）中抛物线上是否存在点P ，使△POA 的面积等于△EOB 的面积？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．28．已知二次函数y ＝﹣x 2+x +m ．（1）如图，二次函数的图象过点A （3，0），与y 轴交于点B ，求直线AB 和二次函数图象的解析式；（2）在线段AB 上有一动点P （不与A ，B 两点重合），过点P 作x 轴的垂线，交抛物线于点D ，是否存在一点P 使线段PD 的长有最大值？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．29．下图是二次函数2()y x m k =++的图象，其顶点坐标为()1,4M -．()1求出图象与x 轴的交点A ，B 的坐标；()2在二次函数的图象上是否存在点P ，使54PAB MAB S S =？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由； ()3将二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线(1)y x b b =+<与此图象有两个公共点时，b 的取值范围．30．如图，二次函数y ＝(x －2)2＋m 的图象与y 轴交于点C ，点B 是点C 关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过该二次函数图象上的点A(1，0)及点B ．(1)求m 的值与一次函数的解析式；(2)抛物线上是否存在一点P ，使S △ABP ＝S △ABC ？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．31．二次函数2y ax bx c =++过()1,0A -、()3,0B 两点，与y 轴正半轴交于C ，OC OB =（1）求二次函数解析式；（2）抛物线对称轴上是否存在点D ，使得三角形ACD 为等腰三角形，若存在，直接写出D 坐标，若不存在，请说明理由．（3）在直线BC 上方的抛物线上有点P ，作PQ BC ⊥于点Q ，求PQ 最大值．32．如图，二次函数与一次函数交于顶点(4,1)A --和点(2,3)B -两点，一次函数与y 轴交于点C .（1）求二次函数1y 和一次函数2y 的解析式；（2）y 轴上存在点P 使PAB ∆的面积为9，求点P 的坐标.33．如图，已知二次函数2y x bx c =-++的图象经过点()1,0A -，()3,0B ，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点P ，使PAB ABC ∠=∠，若存在请直接写出点P 的坐标．若不存在，请说明理由．34．如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象分别经过点A(1，0)，B(0，3)，(1)求该函数的解析式；(2)在抛物线上是否存在一点P，使△APO的面积等于4?若存在，求出点P的坐标若不存在，说明理由．。
中考数学第二轮复习串讲--第四讲 存在性问题
中考数学第二轮复习串讲--第四讲 存在性问题精讲精练一、点的存在性问题例1如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC ，已知O (0，0)，A (4，0)，C (0，3)，点P 是OA 边上的动点(与点O 、A 不重合)．现将△PAB 沿PB 翻折，得到△PDB ；再在OC 边上选取适当的点E ，将△POE 沿PE 翻折，得到△PFE ，并使直线PD 、PF 重合．(1)设P (x ，0)，E (0，y )，求y 关于x 的函数关系式，并求y 的最大值；(2)如图2，若翻折后点D 落在BC 边上，求过点P 、B 、E 的抛物线的函数关系式； (3)在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点Q ，使△PEQ 是以PE 为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q 的坐标．二、四边形等其它图形存在性问题如图，矩形ABCD 中，3AD =厘米，AB a =厘米（3a >）．动点M N ，同时从B 点出发，分别沿B A →，B C →运动，速度是1厘米／秒．过M 作直线垂直于AB ，分别交AN ，CD 于P Q ，．当点N 到达终点C时，点M 也随之停止运动．设运动时间为t 秒． （1）若4a =厘米，1t =秒，则PM =______厘米；（2）若5a =厘米，求时间t ，使PNB PAD △∽△，并求出它们的相似比；（3）若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等，求a 的取值范围； （4）是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN ，梯形PQDA ，梯形PQCN 的面积都相等？若存在，求a 的值；若不存在，请说明理由．N三、线段和最短的存在性问题例1如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（-2，0），连结0A，将线段OA绕原点O顺时针旋转120。
，得到线段OB.（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.（注意：本题中的结果均保留根号）实战演练1、如图，在平面直角坐标系中，直线y=与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线2(0)y ax x c a=+≠经过A B C，，三点．（1）求过A B C，，三点抛物线的解析式并求出顶点F的坐标；（2）在抛物线上是否存在点P，使ABP△为直角三角形，若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由；（3）试探究在直线AC上是否存在一点M，使得MBF△的周长最小，若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．x2、如图，二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象与x 轴交于A B 、两点，与y 轴相交于点C ．连结AC BC A C 、，、两点的坐标分别为(30)A -，、(0C ，且当4x =-和2x =时二次函数的函数值y 相等．（1）求实数a b c ，，的值；（2）若点M N 、同时从B 点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA BC 、边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t 秒时，连结MN ，将BMN △沿MN 翻折，B 点恰好落在AC 边上的P 处，求t 的值及点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q ，使得以B N Q ，，为项点的三角形与ABC △相似？如果存在，请求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．中考数学第二轮复习串讲--第五讲应用题篇精讲精练一、函数型应用题例1 某化工原料经销公司购进7O00 kg 某种化工原料，购进价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于每千克30元，市场调查发现：单价定为每千克70元时，日均销售60kg ；单价每降低l 元时，均多售出2kg ．在销售过程中，每天还要支出其他费用500元(天数不足一天时。
初三数学讲义(19)存在性问题
初三数学讲义（19）存在性问题【专题精讲】这类题目解法的一般思路是：假设存在→推理论证→得出结论。
若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，导出矛盾，就做出不存在的判断。
【典例精析】例1、如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ABC =90°，AB =8，CD =6，BC = 4，AB 边上有一动点P (不与A 、B 重合)，连结DP ，作PQ ⊥DP ，使得PQ 交射线BC 于点E ，设AP =x ． ⑴若设BE =y ，求y 关于x 的函数关系式；⑶若BC 的长可以变化，在现在的条件下，是否存在点P ，使得PQ 经过点C ？若存在，求出相应的AP 的长；若不存在，请说明理由，并直接写出当BC 的长在什么范围内时，可以存在这样的点P ，使得PQ 经过点C ．例2、△ABC 中，∠A ＝∠B ＝30°，AB ＝32．把△ABC 放在平面直角坐标系中，使AB 的中点位于坐标原点O （如图），△ABC 可以绕点O 作任意角度的旋转．（1）当点B 在第一象限，纵坐标是26时，求点B 的横坐标； （2）如果抛物线y ＝ax2＋bx ＋c （a ≠0）的对称轴经过点C ，请你探究：①当a ＝45，b ＝－21，c ＝－553时，A ，B 两点是否都在这条抛物线上？并说明理由； ②设b ＝－2am ，是否存在这样的m 的值，使A ，B 两点不可能同时在这条抛物线上？若存在，直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．A B C D PQE A BCD （备用图1） ABC D （备用图2）B-1AO xC-1 1 1y【巩固演练】例3、在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，CD 是斜边AB 上的高，点E 在斜边AB 上，过点E 作直线与△ABC 的直角边相交于点F ，设AE ＝x ，△AEF 的面积为y ． （1）求线段AD 的长；（2）若EF ⊥AB ，当点E 在斜边AB 上移动时，①求y 与x 的函数关系式（写出自变量x 的取值范围） ②当x 取何值时，y 有最大值？并求其最大值；（3）若点F 在直角边AC 上（点F 与A 、C 两点均不重合），点E 在斜边AB 上移动，试问：是否存在直线EF 将△ABC 的周长和面积同时平分？若存在直线EF ，求出x 的值；若不存在直线EF ，请说明理由．例4、如图1，在平面直角坐标系中，拋物线y =ax 2 c 与x 轴正半轴交于点F （16，0）、与y 轴正半轴交于点E （0，16），边长为16的正方形ABCD 的顶点D 与原点O 重合，顶点A 与点E 重合，顶点C 与点F 重合；（1） 求拋物线的函数表达式；（2） 如图2，若正方形ABCD 在平面内运动，并且边BC 所在的直线始终与x 轴垂直，抛物线始终与边AB 交于点P 且同时与边CD 交于点Q （运动时，点P 不与A 、B 两点重合，点Q 不与C 、D 两点重合）。
初中数学存在性问题课件ppt
一．存在性问题的内涵：
❖ 所谓存在性问题是指根据题目所给的条件， 探究是否存在符合要求的结论，存在性问 题可抽象理解为“已知事项M，是否存在 具有某种性质的对象Q。”解题时要说明Q 存在，通常的方法是将对象Q构造出来；若 要说明Q不存在，可先假设Q存在，然后由 此出发进行推论，并导致矛盾，从而否定Q 的存在，此类问题的叙述通常是“是否存 在……若存在，请求出……（或证明）， 若不存在，请说明理由。
❖ 解：（1）∵四边形ABCO为矩形， ∴∠OAB=∠AOC=∠B=90°，AB=CO=8， AO=BC=10。由折叠的性质得， △BDC≌△EDC，∴∠B=∠DEC=90°， EC=BC=10，ED=BD。
❖ 由勾股定理易得EO=6。∴AE=10﹣6=4。设 AD=x，则BD=CD=8﹣x，由勾股定理，得 x2+42=（8﹣x）2，解得，x=3。∴AD=3。∵ 抛物线y=ax2+bx+c过点D（3，10），C（8， 0），
初中数学存在性问题
❖宣威市来宾镇第一中学
❖宁德毅
初中数学存在性问题
❖ 随着新课程改革的不断深入，中考数学试题 也不断推旧出新，“选拔性”和“能力性” 兼容，命题由“知识型”立意向“能力型”、 “素质型”立意转变，题型设计思路开阔、 内容丰富、立意深刻、发人深省。存在性问 题恰恰是这类试题中突出考查学生能力的典 型代表，由于这类试题大多以函数图象为载 体，来研究事物的存在性，理解起来比较抽 象，涉及面较广，技能性和综合性也很强， 解决起来有一定的难度，对知识的迁移能力， 灵活运用能力和分析问题的能力要求很高， 所以几年来一直是全国各地中考数学的压轴 题目。
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上,点N在其对称轴上，是否
存在这样的点M与N，使
九年级数学中考专题复习存在性问题课件
3
3
－(
3 6
m2－2 3
3
)＝－
3 6
m2＋
3 3
m＋ 43
3.
∵
AC＝2＋2＋2＝6，∴
S△APM＝
1 2
DM•AE＋
1 2
DM•CE＝ 1
2
DM•(AE＋CE)＝
1 2
DM•AC＝－ 3 m2＋
2
3 m＋4
3 .当S△APM
＝5
2
3 时，5
2
3＝－ 3
2
m2＋
3
m＋4
3，解得m1＝3，m2＝
－1.∵ 2≤m≤4，∴ m＝3 .
点H，∵ 四边形ACM′N′是平行四边形，∴ AC＝ M′N′，∠CAO＝
∠N′M′H.又∵ ∠AOC＝∠M′HN′＝90°，∴△CAO≌△N′M′H.∴ CO
＝N′H. ∵ 点C的坐标是(0，－52
)，∴ N′H＝
5 2
，即点N′的纵坐标
专题复习 存在性问题
考点演练
为 5 .∴
2
1 x2－2x－
专题复习 存在性问题
考点演练
考点一 与相似有关的存在性问题
例1 (2018•潍坊)如图，抛物线y＝1 x2＋bx＋c经过△ABC的三个 3
顶点，其中点A(0，1)、点B(－9，10)，AC//x轴，P是直线AC 下方抛物线上的动点．
例1图
专题复习 常见的数学思想方法
考点演练
(1) 求抛物线对应的函数解析式．
∴ 点M的坐标为(3，5 3 ).
6
专题复习 存在性问题
考点演练
② 如图③，当点M在曲线BA之间(含端点)移动时，求|m|＋|n|的 最大值及取得最大值时点M的坐标．
专题7：存在性问题
例 1.(2013²遵义)如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°, AC=4cm, BC=3cm.动点 M,N 从点 C 同时出发,均以每秒 1cm 的速度分别沿 CA,CB 向终点 A,B 移动,同时动点 P 从点 B 出发,以每秒 2cm 的速度 沿 BA 向终点 A 移动,连接 PM,PN,设移动时间为 t(单位:秒,0＜t＜ 2.5).(1)当 t 为何值时,以 A,P,M 为顶点的三角形与△ABC 相似？
(2)如图 1,过点 M 作 MN⊥AB 于点 N, 当 0≤t＜1 时, MN 2 3 ∵tan60°= = = 3 EN EN ∴EN=2,EB=3+t,NB=3+t-2=1+t, ∴MC=1+t, 1 ∴S= (MC+EB)³BC=2 3 t+4 3 ； 2 如图 2,当 1≤t＜3 时, 3 ∵MN=2 3 ,EF=OP=6,∴GH=6³ =3 3 2 MK GH MN ∴ = , EF HG ∴MK=2, ∵EB=3+t,BF=3-t,BQ= 3 BF= 3 (3-t), CQ=2 3 -BQ,= 3 t-- 3 , 7 3 3 ∴S=S 梯形 MKFE-S△QBF=- t2+3 3 t+ . 2 2
(3)不存在. 理由如下：连接 BD,∵点 O 为矩形 ABCD 的对称中心 ∴点 O 为 BD 的中点. 假设存在实数 T,使 B1 与 O 重合,此时 EF 是 OB 的垂直平分线, 垂足为 H, BD 61 易知 BD=2 61,BH= = , 4 2 易证△ EHB ∽△ BHF ∽△ BCD 61 61 39 ∴BF= ,BE= ,∴AE=10-BE= . 12 10 10 ∵点 F 的运动速度是点 E 运动速度的 3 倍, BF 但 ≠3 AE ∴不存在实数 T,使得 B1 与 O 重合.
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初三数学讲义 存在性问题教学过程：一、教学衔接（课前环节）1、回收上次课的教案，了解家长的反馈意见；2、检查学生的作业，及时指点3、捕捉学生的思想动态和了解学生的本周学校的学习内容二、知识点解析存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类问题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，是近几年来各地中考的“热点”。
这类题目解法的一般思路是：假设存在→推理论证→得出结论。
若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，导出矛盾，就做出不存在的判断。
由于“存在性”问题的结论有两种可能，所以具有开放的特征，在假设存在性以后进行的推理或计算，对基础知识，基本技能提出了较高要求，并具备较强的探索性，正确、完整地解答这类问题，是对我们知识、能力的一次全面的考验。
一、函数中的存在性问题（相似）1.（2011枣庄10分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，把抛物线2y x =向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线2()y x h k =-+.所得抛物线与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，顶点为D.（1）写出h k 、的值；（2）判断△ACD 的形状，并说明理由；（3）在线段AC 上是否存在点M ，使△AOM∽△ABC？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由.二、函数中的存在性问题（面积）2. 如图，抛物线()20y ax bx a >=+与双曲线ky x=相交于点A ，B ．已知点B 的坐标为（－2，－2），点A 在第一象限内，且tan∠AOX＝4．过点A 作直线AC∥x 轴，交抛物线于另一点C ． （1）求双曲线和抛物线的解析式； （2）计算△ABC 的面积；（3）在抛物线上是否存在点D ，使△ABD 的面积等于△ABC 的面积．若存在，请你写出点D 的坐标；若不存在，请你说明理由．三、函数中的存在性问题（四边形）3． 如图，二次函数y = -x 2+ax +b 的图像与x 轴交于A (-21，0)、 B (2，0)两点，且与y 轴交于点C ； (1) 求该拋物线的解析式，并判断△ABC 的形状；(2) 在x 轴上方的拋物线上有一点D ，且以A 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D 点的坐标； (3) 在此拋物线上是否存在点P ，使得以A 、C 、B 、P 四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P巩固练习，及时反馈1.如图，已知抛物线经过A （﹣2，0），B （﹣3，3）及原点O ，顶点为C ． （1）求抛物线的解析式；（2）若点D 在抛物线上，点E 在抛物线的对称轴上，且A 、O 、D 、E 为顶点的四边形是平行四边形，求点D 的坐标；（3）P 是抛物线上的第一象限内的动点，过点P 作PMx 轴，垂足为M ，是否存在点P ，使得以P 、M 、A 为顶点的三角形△BOC 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．yA BC Ox2.如图，第一象限内半径为2的⊙C与y轴相切于点A，作直径AD，过点D作⊙C的切线l交x轴于点B，P为直线l上一动点，已知直线PA的解析式为：y=k x+3。
(1) 设点P的纵坐标为p，写出p随k变化的函数关系式。
(2)设⊙C与PA交于点M，与AB交于点N，则不论动点P处于直线l上（除点B以外）的什么位置时，都有△AMN∽△ABP。
请你对于点P处于图中位置时的两三角形相似给予证明；(3)是否存在使△AMN的面积等于3225的k值？若存在，请求出符合的k值；若不存在，请说明理由。
3．已知直角坐标系中有一点A（－4，3），点B在x轴上，△AOB是等腰三角形．(1）求满足条件的所有点B的坐标；(2）求过O、A、B三点且开口向下的抛物线的函数表达式（只需求出满足条件的一条即可）；(3）在（2）中求出的抛物线上存在点P，使得以O，A，B，P四点为顶点的四边形是梯形，求满足条件的所有点P的坐标及相应梯形的面积．4、在直角坐标系xoy中，已知点P是反比例函数23=y（x＞0）图象上一个动点，以P为圆心的圆始终与y轴相切，设切点为A．（1）如图1，⊙P运动到与x轴相切，设切点为K，试判断四边形OKPA的形状，并说明理由．（2）如图2，⊙P运动到与x轴相交，设交点为B，C．当四边形ABCP是菱形时：①求出点A，B，C的坐标．②在过A，B，C三点的抛物线上是否存在点M，使△MBP的面积是菱形ABCP面积的12．若存在，试求出所有满足条件的M点的坐标，若不存在，试说明理由．5．如图所示，抛物线与x 轴交于点()()1030A B -，、，两点，与y 轴交于点()03.C -，以AB 为直径作M ⊙，过抛物线上一点P 作M ⊙的切线PD ，切点为D ，并与M ⊙的切线AE 相交于点E ，连结DM 并延长交M ⊙于点N ，连结.AN AD 、 (1）求抛物线所对应的函数关系式及抛物线的顶点坐标； (2）若四边形EAMD 的面积为43，求直线PD 的函数关系式；(3）抛物线上是否存在点P ，使得四边形EAMD 的面积等于DAN △的面积？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.1、【答案】解：（1）∵由平移的性质知，2()y x h k =-+的顶点坐标为Ｄ（－１，－４），∴14h k =-=-，。
（2）由（1）得()2=14y x +-.当=0y 时，()2140x +-=． 解之，得1231x x =-=， 。
∴A(30)B 10- ，，(，).又当0x =时，()()22=140143y x +-=+-=-，∴C 点坐标为（0，－3）。
又抛物线顶点坐标D （－1，－4），作抛物线的对称轴1x =-交x 轴于点E ，DF⊥ y 轴于点F 。
易知 在Rt△AED 中，AD 2=22+42=20，在Rt△AOC 中，AC 2=32+32=18，在Rt△CFD 中，CD 2=12+12=2， ∴AC 2＋ CD 2＝AD 2。
∴△ACD 是直角三角形。
（3）存在．作OM ∥BC 交AC 于M ，Ｍ点即为所求点。
由（2）知，△AOC 为等腰直角三角形，∠BAC＝450，AC 1832==。
由△AOM∽ △ABC，得AO AMAB AC =。
即39,AM 24432== 。
过M 点作MG⊥AB 于点G ，则AG=MG=29281942164⎛⎫⎪⎝⎭==，OG=AO －AG=3－9344=。
又点M 在第三象限，所以M （－34，－94）。
2、【答案】解：（1）把点B （－2，－2）的坐标代入k y x =得，22k-=-，∴k ＝4。
∴双曲线的解析式为：4y x=。
设A 点的坐标为（m ，n ）．∵A 点在双曲线上，∴mn＝4。
又∵tan∠AOX＝4，∴m n＝4，即m ＝4n 。
∴n 2＝1，∴n＝±1。
∵A 点在第一象限，∴n＝1，m ＝4。
∴A 点的坐标为（1，4）。
把A 、B 点的坐标代入2y ax bx =+得，4422a b a b +=⎧⎨-=-⎩，解得，a ＝1，b ＝3。
∴抛物线的解析式为：23y x x =+。
（2）∵AC∥x 轴，∴点C 的纵坐标y ＝4，代入23y x x =+得方程，2340x x +-=，解得x 1＝－4，x 2＝1（舍去）。
∴C 点的坐标为（－4，4），且AC ＝5。
又∵△ABC 的高为6，∴△ABC 的面积＝12×5×6＝15。
（3）存在D 点使△ABD 的面积等于△ABC 的面积。
理由如下：过点C 作CD∥AB 交抛物线于另一点D ，此时△ABD 的面积等于△A BC 的面积（同底：AB ，等高：CD 和AB 的距离）。
∵直线AB 相应的一次函数是：22y x =+，且CD∥AB， ∴可设直线CD 解析式为2y x p =+， 把C 点的坐标（﹣4，4）代入可得，12p =。
∴直线CD 相应的一次函数是：212y x =+。
解方程组23212y x x y x ⎧=+⎨=+⎩，解得，318x y =⎧⎨=⎩。
∴点D 的坐标为（3，18）。
3、答案：[解] (1) 根据题意，将A (-21，0)，B (2，0)代入y = -x 2+ax +b 中，得⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+--02402141b a b a ，解这个方程，得a =23，b =1，∴该拋物线的解析式为y = -x 2+23x +1，当 x =0时，y =1， ∴点C 的坐标为(0，1)。
∴在△AOC 中，AC =22OC OA +=221)21(+=25。
在△BOC 中，BC =22OC OB +=2212+=5。
AB =OA +OB =21+2=25，∵AC 2+BC 2=45+5=425=AB 2，∴△ABC 是直角三角形。
(2) 点D 的坐标为(23，1)。
(3) 存在。
由(1)知，AC ⊥BC 。
若以BC 为底边，则BC //AP ，如图1所示，可求得直线BC 的解析式为y = -21x +1，直线AP 可以看作是由直线BC 平移得到的，所以设直线AP 的解析式为y = -21x b ， y A B COxP把点A (-21，0)代入直线AP 的解析式，求得b = -41，∴直线AP 的解析式为y = -21x -41。
∵点P 既在拋物线上，又在直线AP 上，∴点P 的纵坐标相等，即-x 2+23x +1= -21x -41，解得x 1=25，x 2= -21(舍去)。
当x =25时，y = -23，∴点P (25，-23)若以AC 为底边，则BP //AC ，如图2所示。
可求得直线AC 的解析式为y =2x +1。
直线BP 可以看作是由直线AC 平移得到的，所以设直线BP 的解析式为y =2x +b ，把点B (2，0)代 入直线BP 的解析式，求得b = -4，∴直线BP 的解析式为y =2x -4。
∵点P 既在拋物线 上，又在直线BP 上，∴点P 的纵坐标相等，即-x 2+23x +1=2x -4，解得x 1= -25，x 2=2(舍去)。
当x = -25时，y = -9，∴点P 的坐标为(-25，-9)。
综上所述，满足题目条件的点P 为(25，-23)或(-25，-9)。
练习1、【答案】解：（1）设抛物线的解析式为()20y ax bx c a =++≠，∵抛物线过A （﹣2，0），B （﹣3，3），O （0，0）可得 42=093=3=0a b c a b c c -+⎧⎪-+⎨⎪⎩，解得 =1=2=0a b c ⎧⎪⎨⎪⎩。
∴抛物线的解析式为22y x x =+。
（2）①当AE 为边时，∵A、O 、D 、E 为顶点的四边形是平行四边形，∴DE=AO=2，则D 在x 轴下方不可能，∴D 在x 轴上方且DE=2，则D 1（1，3），D 2（﹣3，3）。