坐标变换和张量

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晶体光学 lesson5张量

第二章晶体性质的数学描述研究内容张量的概念二阶张量－重点介绍－推导变换关系二阶张量示性曲面及主轴化高阶张量及其变换三阶张量四阶张量晶体宏观对称性与晶体张量的关系张量的概念标量物理中常见的一些量，如密度、温度等等很多。

特点：无方向可用一个数值完全表示矢量区别于标量的另一类物理量，既有数值又有方向，如机械力就是矢量。

矢量用黑体字母表示，如F 。

在直角坐标系中用矢量在该坐标系上的分量表示矢量。

例如电场强度矢量E 记为：123[,,]T E E E =E 123E E E ++E=i j k二阶张量张量的概念以电场强度和极化强度矢量为例：123P P P =++P i j k 123E E E ++E=i j k对于各向同性晶体中，同方向则,P E0εχ=P E123[,,]T E E E =E 123[,,]T P P P =P¾如果在各向异性晶体中情况就复杂了，电场强度和它引起的极化强度的方向一般不相同¾这时电场强度的每个分量对极化强度每个方向的分量均有影响，且影响的程度不同，这时我们就不能简单的利用前面的公式()11112130111122133()()()P P E P E P E E E E εχχχ=++=++()22122230211222233()()()P P E P E P E E E E εχχχ=++=++()33132330311322333()()()P P E P E P E E E E εχχχ=++=++张量的概念我们把上述公式表示为矩阵的形式1112131120212223233313233P E P E P E χχχεχχχχχχ⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠ 1、P 的每一个分量与电场强度的三个分量存在线性关系2、坐标系确定后为常数3、各向异性介质的电极化特性需用9各数值才能完整描述----我们接下来会详细介绍ij χ张量的概念－二阶张量111213212223313233χχχχχχχχχ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠我们称这个3×3的矩阵为二阶张量张量的概念－二阶张量推广－如果某个物理性质T ，可以表征另外两个物理量p,q 之间的关联，并具有如下关系111213112212223233313233T T T P q P T T T q P q T T T ⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠ 我们称构成二阶张量ij T 张量的概念－二阶张量张量的习惯写法：引入爱因斯坦求和法则－略去求和符号31(1,2,3)i ij j j p T q i ===∑i ij j p T q =i 为自由下标，j 为求和下标，注意顺序1、下标符号任意选定，但要有区别2、自由下标前后呼应，求和下标成对出现张量的概念－二阶张量张量的概念－二阶张量或者表示为矩阵的形式：P Tq=对于我们晶体光学范畴研究的二阶张量均有：ij ji T T =对称张量T T ′=张量的概念－二阶张量我们可以将二阶张量的下标作如下简化：11－1 22－2 33－323 32－4 13 31－5 12 21－6121112131653212223624431323354356T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⇒⇒⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠张量的概念9标量（零阶张量）9矢量（一阶张量）9二阶张量9三阶张量9四阶张量。

张量是

（张量是n维空间，有r n个分量的一种量，其中每个分量都是坐标的函数，而在坐标变换时，这些分量也依照某些规则做线性变换。

r标为该张量的秩。

第零阶（0r）张量为标=量，第一阶（1=r）张量为向量，第二阶（2r）则为矩阵。

由于变换方式的不同，张量=分成协变张量（Covariant Tensor，指标在下者），逆变张量（Contra variant Tensor，指标在上者），混合张量（指标在上和指标在下两者都有）三类。

在数学里，张量是一种几何实体，或者说广义上的“数量”。

张量概念包括标量、向量和线性算子。

张量可以用坐标系统来表达，记作标量的数组，但是它定义为“不依赖于参照系选择的”。

注意“张量”一词通常是用作张量场的简写，而张量场是对流形的每一点给定一个张量值。

张量可以用分量的多维数组来表示，我们都生活在形形色色的空间中。

数学上所说的空间就是点的集合，如果我们给这个点集赋予特定的空间结构（引入不同的确定关系）。

但世界上不存在毫无任何空间结构的“裸空间”。

如果我们赋予空间以线性结构（可加性与数乘性），则这个空间就叫做线性空间。

一、线性空间只要在点集中定义了加法和数乘两种代数运算，则称之为赋予空间以线性结构，这样的点集（空间）就叫做数域P上的线性空间。

其中用于数乘的数域P是指包含0和1的数集，并且数集对加、减、乘、除（0不作除数）运算是封闭的。

此外，实数域R上的线性空间叫做实线性空间，复数域C上的线性空间叫做复线性空间。

二、广义向量空间线性空间的元素是空间点，任一元素都可以用一组有序的数（x1，x2，…）（或曰一组空间坐标）来表示。

如果我们把空间点的一组坐标看作一种广义的向量，则线性空间又可视为广义向量的集合，称之为广义向量空间。

换句话说，线性空间的元素是广义的向量。

广义向量的维数可以有限，也可以无限。

所以线性空间的维数可以是有限的，也可以是无限的。

如果一组向量线性无关，则其中任何一个向量都无法用其余向量线性表出。

张量基础知识

张量基础知识
张量的提出：
晶体具有各向异性，从而使得晶体的物理性质在不同方向上也存在着差异。晶体的各向异性是一种很普遍的特性，特别是很多现象如热电、压电、电光、声光、非线性光学效应等物理现象都完全是因为晶体的各向异性才能表现出来。于是，人们实践中探索出了一套描述各向异性性质的数学方法，这种方法就是张量方法。
小结：所谓张量是一个物理量或几何量，他由在某参考坐
标系中一定数目的分量的集合所规定，当坐标变换时，这些分量按一定的变换法则变换。
张量是矢量概念的推广。它是一种不依赖于特定坐标系的表达物理定律的方法。张量有不同的阶和结构，这由它们所遵循的不同的变换法则来区分。标量是零阶张量；矢量是一阶张量；应力张量是二阶张量；还有三阶、四阶等高阶张量。
Aijxiyj A11x1y1A12x1y2A13x1y3 A21x2y1A22x2y2A23x2y3 A31x3y1A32x3y2A33x3y3
1 求和约定仅对字母指标有效
2 同一项内二对哑标应使用不同指标，如
aix jixj
3 i 1
i3 1aix jixj
3 哑指标可以换用不同的字母指标
J1 11E112E213E3 J2 21E122E223E3 J3 31E132E233E3
或表示成分量形式
3
Ji ijEj （i1,2,3) j1
矩阵形式
J1 111213 E1 J2 212223 E2 J3 313233 E3
此处σ不再是一个数，而是9个数构成一个方阵，称为电导率
张量，这是一个二阶张量。于是，各向异性晶体中的欧姆定
ijk l
ijk l i'i jj' k'k ll'
i' j'k'l'

§3应变的坐标变换与应变张量

§3.3 应变的坐标变换与应变张量学习思路:与应力状态分析相同，一点的应变分量在不同坐标系下的描述是不相同的，因此讨论应变状态，就必须建立坐标变换，就是坐标转动时的应变分量变换关系。

本节通过新坐标系与旧坐标系之间的位移变换关系式，根据几何方程，通过复合函数的微分，就可以得到应变分量的转轴公式。

转轴公式表明应变张量也是二阶对称张量。

根据转轴公式，一点的六个独立的应变分量一旦确定，则任意坐标系下的应变分量均可确定，即应变状态完全确定。

应变状态分析表明：坐标变换后各个应变分量均发生改变，但是作为一个整体，一点的应变状态是不会改变的。

学习要点：1. 坐标变换；2. 应变分量坐标转轴公式；3. 应变张量。

应变可以描述一点的变形，即对微分平行六面体单元棱边的伸长以及棱边之间夹角的改变做出定义。

但是这还不足以完全描述弹性体的变形，原因是应变分析仅仅讨论了棱边伸长和夹角变化，而没有考虑微分单元体位置的改变，即单元体的刚体转动。

通过分析弹性体内无限邻近两点的位置变化，则可得出刚体的转动位移与纯变形位移之间的关系。

设P点无限邻近O点，P点及其附近区域绕O作刚性转动，转过微小角度。

设转动矢量为ω，OP之间的距离矢量为，如图所示。

则引入拉普拉斯算符矢量设P点的位移矢量为U，有U =u i +u j +u k 由于位移矢量可以表示为U =ω×ρ , 所以即其中ωx, ωy, ωz为转动分量，是坐标的函数，表示了弹性体内微分单元体的刚性转动。

设M点的坐标为（x，y，z），位移（u，v，w）。

与M点邻近的N点，坐标为（x+d x，y+d y，z+d z），位移为（u+d u，v+d v，w+d w）。

则MN两点的相对位移为（d u，d v，d w）。

因为位移为坐标的函数，所以同理可得以上位移增量公式中，前三项为产生变形的纯变形位移，后两项是某点邻近区域的材料绕该点像刚体一样转动的刚性转动位移。

刚性转动位移的物理意义为，如果弹性体中某点及邻近区域没有变形，则与某点无限邻近这一点的位移，根据刚体动力学可知，是由两部分组成。

张量

(1.3.19)
1 b3'
b 32 '
z 1 z
逆变变换系数的求法一：由（1.3.18）可得：
r x 2 y 2 , tgq y / x
满足(1.3.10)
(1.3.16)
从而逆变变换系数为：
x j bi 'j i ' x
b12'
q sin q / r x
ik' ' bi 'j b jk '
(1.3.6) (1.3.7)
上式有两个自由指标，都可以在1-3变换，所以一共有9个方程，可以求解9个未知数；一组变换系数刚好有9个数。所以知道一组可以求另一组。其实写成矩阵型式，令下标表示行，上标表示列，则上式可以写为：
b11' b12' b13' b11' b12' b13'
（1.1.2b）
参考矢量g1,g2惟一确定，与原来的那组基矢量两两夹角为锐角当j为锐角时，此夹角为

2
j
当j为锐角时，此夹角为 j

（1.1.3）
g1
1 , g1 sin j
2 1 g2 g2 sin j
（1.1.2）可以统一的表示成：
g gb gb g b
x r cosq y r sin q z z
z y
(1.3.18)
r θ x
不妨把圆柱坐标系看作老坐标系，笛卡尔坐标系看作新坐标系：即：(x1,x2,x3)=(r,q,z) (x1’,x2’,x3’)=(x,y,z) 逆变变换系数可以有（1.3.17）式求出：
x1' x b 1 cosq x r

张量初步

§
2.4
克罗内克(Kronecker)符号δij （替换符号）
★ 克罗内克符号δij δij = 1 δij = 0 ★ 对称性：δij = δji ★ 转置不变性：δij = δij ★ 替换性：δij vj = vi (i = j) (i = j)
§
2.4
克罗内克(Kronecker)符号δij （替换符号）
§
2.5
勒维{契维塔(levi{civita)符号εijk （排列符号）
★ 勒维{契维塔符号εijk （三阶反对称张量） εijk = +1 εijk = −1 εijk = 0 ★ 反对称性：εijk = −εjik (ijk = 123, 231, 312) (ijk = 213, 321, 132) (ijk = 112, 233, · · · )
逐
铁简单
T
点（（
§
2.3
二阶张量
★ 二阶张量：如张力张量、电四极矩、转动惯量、介电张量等； Tij = αil αjm Tlm ★ 二阶张量可以用一个矩阵来表示； ★ 张量的含义：Tij 分量：在j方向分量作用下的i方向的反应效果； ★ 张量的自由度：任何一个张量都可以分解为三个部分： ◆ 迹（标量）Tii 自由度为1 ◆ 无迹对称张量Tij = Tji 且Tii = 0 自由度为5
★ 克罗内克符号δij δij = 1 δij = 0 ★ 对称性：δij = δji (i = j) (i = j)
§
2.4
克罗内克(Kronecker)符号δij （替换符号）
★ 克罗内克符号δij δij = 1 δij = 0 ★ 对称性：δij = δji ★ 转置不变性：δij = δij (i = j) (i = j)

张量教学大纲

张量教学大纲张量教学大纲引言：张量是数学中一个重要的概念，广泛应用于物理学、工程学、计算机科学等领域。

它是向量的推广，具有多个分量的特点。

张量教学大纲是指系统地介绍和讲解张量的基本概念、性质和应用的教学计划。

本文将从张量的定义开始，逐步展开对张量的教学内容进行探讨。

一、张量的基本概念1. 张量的定义：张量是具有多个分量的多维数组，它可以描述物体在不同方向上的变化。

2. 张量的阶数：张量的阶数表示张量的维度，一阶张量为向量，二阶张量为矩阵，三阶及以上的张量称为高阶张量。

3. 张量的分量表示：张量的分量可以用坐标系或指标表示，其中坐标系表示适用于欧几里德空间，指标表示适用于广义相对论等非欧几里德空间。

二、张量的性质1. 张量的对称性：张量可以具有对称性，即某些分量在交换位置后仍保持不变。

对称性有助于简化计算和分析。

2. 张量的变换规律：张量在不同坐标系下的表示是通过变换矩阵实现的，了解张量的变换规律对于解决实际问题非常重要。

3. 张量的运算法则：张量的加法、乘法和求导等运算法则是张量分析中的基础，熟练掌握这些法则对于深入理解张量的性质至关重要。

三、张量的应用1. 物理学中的张量：张量在物理学中有广泛的应用，如描述物体的运动、力学性质、电磁场等。

通过学习张量的应用，可以更好地理解物理学中的基本概念和定律。

2. 工程学中的张量：张量在工程学中的应用包括结构力学、流体力学、电子电路等。

通过学习张量的应用，可以提高工程师解决实际问题的能力。

3. 计算机科学中的张量：张量在计算机科学中的应用包括图像处理、机器学习、深度学习等。

通过学习张量的应用，可以拓展计算机科学的研究领域。

结论：张量教学大纲是一个系统的教学计划，旨在帮助学生全面理解张量的基本概念、性质和应用。

通过学习张量，学生可以提高数学思维能力、解决实际问题的能力，并为进一步深入学习相关学科打下坚实的基础。

张量教学大纲的制定和实施对于培养学生的创新能力和综合素质具有重要意义。

张量定义

或
L Lkek e
L
张量的转置记为
L LT Lkl Lml ek em
LT Lmnen em
Lkl ek el
第一式两边乘以第二式两边乘以于是即
Llk el ek
el
ek Lkl el
ek ,有
el Lkl ek
坐标变换
2 2 2 i j 2 0
2 2 2 2 0
0 0 1
x1 , x2 , x3 x1 x2 x3
x1 , x2 , x3 x1 , x2 , x3
xi ij x j
e3
e3
e2
x2
ei iiei
（对 i 求和，为自由指标） i
从坐标变换的角度研究标量、矢量和张量
ij 张量的性质:
1) ij 张量不是对称张量
因为 kl
ek el ，而k el ek ，所以 kl lk
ij
张量是正交张量
在坐标变换时其值保持不变，即满足
( x1 , x2 , x3 ) ( x1 , x2 , x3 )
如数学中的纯数，物理中的质量、密度、温度等。时间是否标量？
矢量（Vector）
满足以下变换关系的三个量 {ai } 定义一个矢量
设 a 为任意矢量，其在新、旧坐标系下的分量分别为
22
32
23
e3
31
33
图解（二维）：
在解析式中记：
e1 1'1e1 1'2e2 1' je j ,

张量分析

() ( ),ij xi x j
2
uk ,ij
uk xi x j
2
3.自由标定义：凡在同一项内不重复出现的指标。如
a ji xi bj
j=1
j 为自由标
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1
1
同一个方程中各项自由标必须相同
2
不能改变某一项的自由标，但所有项的自由标可以改变

Ti ' j '
i i j j Tij
' '
符合 i' j' k' l' i' i j' j k' k ijkl ,为一新张量
交换律：
A B B A
结合律：
A ( B C ) ( A B) C
2.矢量与张量的点积
T Tij ei e j
x2
' x2
e2'
e2 e ' 1
' x1

e1 x1
x1
x2
' x2
' x1
x2
' x2 e2'
e 2 e1'

' x1
x1
e1 x1
令：αi' j cos(ei' ,e j )
( i' , j 1,2 )
则：i' j α

cos(e1' , e1 ) cos(e1' , e2 ) cos sin cos(e2' , e1 ) cos(e2' , e2 ) sin cos

1第一章-场论与张量基本知识

(r), a(r)
1.1 标量、矢量、场
场的几何表示
标量场可用函数等值面（线）来表示。可直观看出函数值的大小分布，以及变化快慢
矢量场可用矢量线来表示。任一点的矢量方向可由矢量线的切线方向定出；也可以从矢量线的疏密程度估计矢量在各点的大小。
1.2 标量场的梯度
方向导数（Directional Gradient）
1. 如果一个方程式或表达式的一项中，一种下标只出现一次，则称之为自由指标，自由指标在表达式或方程的每一项中必须只出现一次。 2. 如果在一个表达式或方程的一项中，一种指标正好出现两次，则称之为哑指标，它表示从1到3求和。哑指标在其他任何项中可以刚好出现两次，也可以不出现。 3. 如果在一个表达式或方程中的一项中，一种指标出现的次数多于两次，则是错误的。
2 3
2
ij ij ij ij
i 1 j 1
3
3
1111 1212 1313 21 21 22 22 23 23 31 31 32 32 33 33
1.4 张量表示法
自由指标：定义：凡在同一项内不重复出现的指标。如
i j k x y z
是一个矢性微分算子，即在运算中具有矢量和微分的双重性质，其运算规则是：
u u u u i j k x y z
Ay Ax A A i j z k x y z
Az Ay Ax Az Ay Ax A y z i z x j x y k
2 ( ) ( ),ij xi x j
uk ,ij
2uk xi x j
1.5 坐标变换与张量定义

张量定义

§1 张量的定义张量：在三维笛卡儿（Descartes）坐标系中，一个含有三个与坐标相关的独立变量集合，通常可以用一个下标表示。

例如，对于位移分量u，v，w可以表示为u1,u2,u3，缩写记为u i，i=1, 2, 3。

对于坐标x,y, z可以表示为x i。

对于一个含有九个独立变量的集合，可以用两个下标来表示。

例如九个应力分量或应变分量（由于对称，实际独立的仅有六个）可以分别表示为σij和εij，其中σ11 , σ22分别表示σx, σxy（就是τxy)；ε11 , ε22分别表示εx,εxy(）等。

同样，一个含有27个独立变量的集合可以用三个下标表示；而含有81个独立变量的集合可以用四个下标表示，依次可以类推。

为了给张量一个确切的定义，首先讨论矢量定义。

在坐标系Ox1x2x3中。

矢量OP的三个分量ζ 1， ζ 2，ζ3可以缩写作ζ i，同一矢量OP在新坐标系Ox'1x'2x'3中，写作ζ '1，ζ '2，ζ '3，缩写为ζ'i。

设坐标系Ox1x2x3与Ox'1x'2x'3的夹角方向余弦如下表所示方向余弦n i'j的第一下标对应于新坐标轴，而第二下标对应于原坐标轴。

则矢量在新老坐标系中的关系为或者上式可以缩写为或者。

a2, a3)和OP(ζ1, ζ2, ζ3)，作它们的标量积，则考察矢量A(a1,显然，此标量积与坐标轴的选取无关，如果上述矢量作坐标变换，则反之，如ζ ' 为已知矢量，而a i为与坐标有关的三个标量，使一次形式在坐标变换时保持不变。

根据矢量定义，则a i 也是矢量。

推广上述的命题，可以给张量一个解析的定义。

设(ζ 1, ζ 2, ζ3)和(η 1, η 2, η3)是矢量，a ij是与坐标有关的九个量，若当坐标变换时，双一次形式保持不变，则称由两个下标i，j确定的九个量的集合a ij为二阶张量。

附录：张量解析

【erst】 4．三个矢量a，b，c的混合积(标量) ：
5．三阶行列式的展开式为：
r,s,t正排列 r,s,t逆排
列
6．利用指标符，证明恒等式：
利用δ换标作用，右端⇒左端
由e∼ δ恒等式(一对哑标），可知：
左端＝右端 ∴恒等式成立
一、求和约定、哑标
【利用哑标可把多个项缩写成一项】
爱因斯坦(A．Einstein)求和约定：如果在表达式的某项中，某指标重复地出现两次，则该项在该指标的取值范围内遍历求和。该重复指标称为哑指标，简称哑标（如j）。用哑标代替求和号∑，(A．4) 式简化成
通过哑指标可把多个项缩写成一项
二、自由标二、自由标
⑴ δij定义： ⑵ δij的性质：
❶ δij的分量集合对应于单位矩阵。例如，3D：
❷ 定义表明它对指标i和j是对称的，即
❸ δij具有换标作用（换标符号）即利用δij可以把线元长度平方的公式改写成:
利用δij定义，可以验证：＝ δ11dx1dx1+δ12dx1dx2+δ13dx1dx3 +δ21dx2dx1+δ22dx2dx2+ δ23dx2dx3
❺ 一般地说，不能由等式
(A．12) “两边消去ai来自(A．13)1
≠
如果ai特定取值时(A．12)式可成立，如可取(a1，a2，a3)=(1，0，0) ⇒ b1 ＝c1 同理，若取(a1，a2，a3)=(0，1，0) ⇒ b2 ＝c2 (a1，a2，a3)=(0，0，1) ⇒ b3 ＝c3 所以(A．13)式成立的前提是“ai任意”而不是简单地“消去ai”
练习
同理有：
二、排列（置换）符号erst
⑴符号erst三种定义：

张量的基本概念(我觉得说的比较好,关键是通俗)

简单的说：张量概念是矢量概念和矩阵概念的推广,标量是零阶张量，矢量是一阶张量,矩阵(方阵)是二阶张量，而三阶张量则好比立体矩阵，更高阶的张量用图形无法表达。

向量是在一个线性空间中定义的量，当这个线性空间的基变换时,向量的分量也跟着变换。

而一个线性空间有一个伴随的对偶空间.张量是一个同时定义在几个线性空间的量,这几个线性空间的基可同时变换，或者只是只变换几个，此时，张量的分量也跟着变换。

我们一般见到的张量是同时定义在几个线性空间及其对偶空间里的量，在实际的符号表达中，就表现为同时有几个上指标和下指标,也即线性空间及其对偶空间。

张量其实是一种线性代数,即多重线性代数，从字面上理解，也正好是上面提到的“定义在多个线性空间的量”。

在流形中，一点的切空间正好同构于一个欧氏空间，也即，与一个欧氏空间的性质一样.而这个欧氏空间有一个伴随的对偶空间,所以可以定义张量。

要对流形上张量作微分运算，必须比较流形上相距很近两点的张量的差，这就引出了联络的概念，而联络的概念的引出，需要这两个不同的点的欧氏空间是同构的.进而发展了张量分析.现代数学是建立在代数与拓扑基础上的,很多概念如果代数水平不行，是很难理解的。

比如泛函分析、纤维从理论等.代数方面的知识，最好能掌握抽象代数的概念，进而掌握交换代数的知识。

其实,线性代数是很多现代数学概念的基础,而线性代数的核心就是空间的概念.而现在,我们国内工科学的线性代数只是讲一讲矩阵、矩阵运算、特征值、特征向量、二次形等等。

线性代数的精髓概念根本涉及不到。

这也就造成了很多同学理解现代数学中很多概念的困难.现代数学的一个非常重要的方法论就是公理化的方法。

这是希尔伯特在其《几何基础》中最先明确提出的，这本书当初得到了彭加莱的很高的评价。

公理化思想的威力我当初是在学习《实变函数论》这门课时深刻体会到的。

武熙鸿老师的《黎曼几何初步》中，则是处处渗透着公理化的思想,读来颇有味道。

应该这样说，是低阶张量被我们找到了可以比拟的物理意义,但张量本身并不需要具有几何比拟其实，张量是有很强的几何背景的，不管是低阶的，还是高阶的。

张量分析课件-1.4 坐标转换

j i i j
1.4.2
r r x x

协变与逆变转换系数 r gi i x r r x j x j gi i j i i g j x x x x j i
gi βij g j
j x βij i x
同理可证
x β j x
k i j k j i
gi g β gk βl g β β δ β β δ
j k i j l l k i j l l k k i
j l l k
gi g β gk β g β β δ β βkj δi j
18个坐标转换系数 β 和β ，独立的只有9个。
j
j i i
协变量 vi→vi' 与gi→gi' 按同一组协变转换系数 βij 进行坐标变换。
逆变量 vi→vi' 与gi→gi' 按同一组逆变转换系数 β ij 进行坐标变换。
1.4.4
度量张量分量的坐标转换关系
gij gi g j β gk β gl β β g kl
k i l j k i l j
同理可证
g
ij
β βl g
k i l j
i k
j
kl
gij β β g k l
g β β g
ij i k j l
k ll
k i
l j
x x x x i δ i j k l x x x x j
i j
i
g i β ij g j
x j g j g x
i
i
1.4.3
矢量分量的坐标转换关系
v vi g v j g

第三讲、第四讲：坐标变换和张量

坐标变换B
轴张量： O X
X
Z
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坐标系的手性变化，使轴张量不满足坐标变换方法！
1.4.3 张量的分类
张量的分类
轴张量的坐标变换方法：
T
' ijkl
a aip a jqakr als Tpqrs
• 坐标变换矩阵的模值为1或-1，正负与坐标系的手性是否发生变化有关；
• 对于第一类对称操作，坐标变换矩阵模为1；
aij
为关联新旧坐标系的方向余弦
16
1.4.3 张量的分类
张量的分类 • 极张量（Polar tensors） • 轴张量（Axial tensors）
极张量：与坐标系的手性无关；
轴张量：与坐标系的手性有关；
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1.4.3 张量的分类
张量的分类 Z 极张量： P
1 0 0 0 1 0 0 0 1
aik kl a jl aik a jl kl
' ij
15
1.4.2 张量的运算
张量的坐标变换三阶、四阶张量，如介电常数、应变张量。
' ijk
d
aip a jqakr d pqr
' sijkl aip a jqakr alt d pqrt ' Tijkl aip a jq akr als Tpqrs
• 张量的外积
Tijk S pqr Cijkpqr
一个t阶张量与一个s阶张量的外积为一个（t+s）阶张量
• 张量的内积
Tijkl Sijpq Cklpq
T阶张量与s阶张量有n个相同的下标，则二者乘积为一个（t+s-2n）介张量。
ckl aijkl bij aijkl bij

张量分析初学者必看

A 张量分析
x1 x1 cos x2 sin x2 x1 sin x2 cos
x1 x1 cos x2 sin x2 x1 sin x2 cos
坐标变换式
xi ii xi xi ii xi
ii cos(xi , xi ) ii cos(xi , xi )
Aijk xi y j zk
代表27项的和式
二、自由指标
§ A-1 指标符号
A11 x1 A12 x2 A13 x3 b1 A21 x1 A22 x2 A23 x3 b2 A31 x1 A32 x2 A33 x3 b3
筒写为
Aij x j bi
j ——哑指标 i——自由指标，在每一项中只出现一次，一个公式中必须相同
A 张量分析
张量的定义——在坐标系变换时,满足如下变
换关系的量称为张量
ijkl ii jjkk llijkl
张量的阶——自由指标的数目
不变性记法
ijkl ei e j ek el
§A-3 坐标变换与张量的定义
一、加(减)法
§A-4 张量的代数运算
四、两个张量的点积
A 张量分析
两个张量点积的结果仍为张量。新张量的阶数是原两个张量的阶数之和减 2
A B ( Aijk ei e j ek ) ( Brs t er es et ) Aijk Brs t ei e j kr es et Aijk Bkst ei e j es et S
§ A-1 指标符号三、 Kronecker- 符号和置换符号 (Ricci符号) Kronecker-符号定义

第06讲应变的坐标变换与应变张量

由应力张量和应变张量，应力不变量和应变不变量之间的公式的比较可知，主应变和应变主轴的特性与主应力和应力主轴是类似的。
对于l，m，n的齐次线性方程组，其非零解的条件为其系数行列式的值为零。即
将力不变量相同，J1，J2，J3为应变不变量，分别称为第一，第二和第三应变不变量。
根据特征方程，可以求解得到三个主应变。将求解后的主应变代入公式，并注意到任意一点三个方向余弦的平方和等于1，则可解应变主轴的方向余弦。
在任何应变状态下，至少可以找到三个这样的垂直方向，在该方向仅有正应变而切应变为零。
具有该性质的方向，称为应变主轴或应变主方向，该方向的应变称为主应变。
设ij为物体内某点在已知坐标系的应变张量，求其主应变1，2，3及应变主轴方向n1,n2,n3。设MN为M点的主轴之一，其变形前的方向余弦为l，m，n，主应变为。令d表示MN的长度, 则MN相对伸长为d，如图所示。
设M点的位移为（u，v，w），则N点的位移为（u+du，v+dv，w+dw）。因为
du=在x方向的变形位移分量+刚性转动位移在x方向的分量
=ld+ 刚性转动位移在x方向的分量
根据公式
即du等于纯变形位移与刚性转动位移在x方向的分量之和。根据上述公式，可得
或者写作
同理可得
上述公式是关于l，m，n的齐次线性方程组。
根据转轴公式，一点的六个独立的应变分量一旦确定，则任意坐标系下的应变分量均可确定，即应变状态完全确定。
应变状态分析表明：坐标变换后各个应变分量均发生改变，但是作为一个整体，一点的应变状态是不会改变的。
学习要点：
1.坐标变换； 2.应变分量坐标转轴公式；3.应变张量。
应变可以描述一点的变形，即对微分平行六面体单元棱边的伸长以及棱边之间夹角的改变做出定义。但是这还不足以完全描述弹性体的变形，原因是应变分析仅仅讨论了棱边伸长和夹角变化，而没有考虑微分单元体位置的改变，即单元体的刚体转动。

张量

i = 1,2, j = 1,2
cos θ l= − sin θ
sin θ cos θ
σ1′1′ σ1′2′ σ ρ τ ρϕ cosθ sinθ σ x τ xy cosθ − sinθ σ ′ ′ σ ′ ′ = τϕρ σϕ = − sinθ cosθ τ yx σ y sinθ cosθ 22 21
(4)哑标可以局部地成对替换。自由指标必须整体换名， (4)哑标可以局部地成对替换。自由指标必须整体换名，即把哑标可以局部地成对替换表达式中出现的同名自由指标全部改为同一个新名字，表达式中出现的同名自由指标全部改为同一个新名字，而不会影响它的含义。影响它的含义。
3．求导数的简记方法将求导符号简记为
i =1
w = ∑ f i si = f i si
i =1
3
求和所得到的结果，不再含有这一指标，这一指求和所得到的结果，不再含有这一指标，标换为其它的指标也不会影响其结果，标换为其它的指标也不会影响其结果，这一指标称为哑标。但重复次数超过两次则不再具有求和意义。哑标。但重复次数超过两次则不再具有求和意义。一项中有其它符号的指标，通常有泛指的意义，称一项中有其它符号的指标，通常有泛指的意义，自由标。为自由标。
+ e3 jk a13a2 j a3k = e11k a11a21a3k + e12k a11a22a3k + e13k a11a23a3k + ...
δi1 δi2 δi3 δi1 δ j2 δk3 eijk = δ j1 δ j2 δ j3 = δi1 δ j2 δk3 δk1 δk2 δk3 δi1 δ j2 δk3
2. 指标符号记为x 把 x, y , z 轴，记为 1, x2, x3, 矢量的三个坐标通常可各轴的基矢量记为e 简记为 xi（i=1，2，3）,各轴的基矢量记为 1,e2,e3,可简，，）各轴的基矢量记为可简记为e 在此坐标系中的矢量v的分量记为的分量记为v 记为 i, 在此坐标系中的矢量的分量记为 1, v2, v3, 可简记为v 应力分量记为可简记为σ 记为 i, 应力分量记为可简记为 ij. 3. Einstein 求和约定力 f在位移上做功在位移s上做功在位移 3 r r w = f ⋅ s = f1s1 + f 2 s2 + f 3s3 = ∑ f i si 最后一个等式在符号∑ 有两个同样的指标i。最后一个等式在符号∑ 下fi si有两个同样的指标约定凡在一项中有一对相同的指标，约定凡在一项中有一对相同的指标，就认为是对这一指标全程求和，求和符号略去不写：指标全程求和，求和符号略去不写：

张量坐标变换

张量坐标变换
张量坐标变换是数学中一个非常重要的概念。

它是指将一个张量在不同坐标系下的表示进行转换的过程。

在实际应用中，很多物理量的表示都是以张量的形式呈现的，比如重力场张量、电磁场张量等。

而且，正是由于张量具有坐标无关性，因此可以在不同坐标系下使用同一张量来描述相同的物理问题。

在物理学、数学和工程学等领域中，张量坐标变换是一个非常常见的问题。

以流体动力学为例，当我们研究液体或气体流动时，需要描述它们的速度、密度、压力等物理量。

然而，这些物理量都是位置和时间的函数，其中位置可以由不同的坐标系表示。

因此，为了描述物理量在不同坐标系下的变化，就需要运用张量坐标变换的技术。

在张量坐标变换中，有一个重要的概念叫做张量的分量。

在不同坐标系下，同一个张量的分量是不同的，但是它们之间存在一定的关系。

这种关系可以通过张量变换规律进行推导，最终得到不同坐标系下的张量分量之间的关系。

具体来说，对于一个二阶张量，它可以用一个二维矩阵来表示。

不同坐标系下的二阶张量分量可以用矩阵变换的方式互相转换。

类似地，对于高维张量，也可以运用相应的方法进行坐标变换。

总的来说，张量坐标变换是一个非常重要的数学工具，可以在物理学、数学和工程学等领域中应用。

它不仅有着重要的理论意义，也
具有实际应用的指导意义。

因此，我们需要深入学习张量坐标变换的概念和方法，以便我们更好地理解并解决实际中遇到的问题。