参数法求轨迹方程之令狐文艳创作

参数法求轨迹方程
令狐文艳
一、教学目标
(一)知识教学点
深入理解曲线的参数方程与普通方程的区别与联系，进一步掌握参数方程与普通方程的互化方法．
(二)能力训练点
掌握运用参数求轨迹方程的方法，了解设参的基本原则和选参的一般依据，能顺利消参并讨论轨迹的纯粹性和完备性，培养多向思维的流畅性．
(三)学科渗透点
通过学习选参方法，学会透过现象挖掘本质的哲学思想方法．
二、教材分析
1．重点：运用参数求轨迹方程的方法．
2．难点：选择参数应遵循的一般依据，消参的技术与轨迹的纯粹性完备性讨论．
3．疑点：设参的基本原则．
三、活动设计
1．活动：问答、思考．
2．教具：投影仪．
四、教学过程
(一)回忆、点题和明确任务
求动点的轨迹方程，如果动点坐标x、y之间的关系比较明显，那么可以用直接法，也就是建系、列式、化简．如果动点坐标x、y之间的关系比较隐蔽，但动点在运动过程中符合某种二次曲线的定义，那么可以用定义法，也就是定型(曲线类型)、定位(曲线位置)、定量(曲线几何量)，然后直接运用二次曲线的方程写出动点的轨迹方程．如果动点坐标x、y之间的关系很隐蔽并且很难判断动点符合某种二次曲线的定义，那么就可以引进一些参数，用这些参数把x、y之间的那种隐蔽关系间接地连起来，然后消掉参数，这就是所谓的参数法求轨迹方程．
同学们常用的交轨法、换标法，实际上也是消去一些元，留下动点坐标x、y的方法，都可以叫参数法．在实践中大家已经知道，参数法求轨迹方程的步骤是：首先根据运动系统的运动规律设参，然后运用这些参数列式，再从这些式子中消参，最后讨论轨迹的纯粹性和完备性，我们称之为议参．其中，最关键的一步是设参，参设得不同，整个思维和运算过程不同，参设得不好，运算量增大，甚至根本就算不出来；最畏难一步是消参，经常遇到参消不了而越消越复杂的情况；最易错的一步就是轨迹的纯粹性完备性讨论．如何做到设参合理、列式简易、消参顺利、议参严密，大家可以从下面的例子中来思考和总结．
(二)讲例1，设参基本原则
请看屏幕(投影，读题)．
例1 矩形ABCD中，AB=2a，BC=b，a＞b，E、F分别是AB、CD的中点，平行于EC的直线l分别交线段EF、FC 于M、N两点，求直线AM与BN交点P的轨迹(图3-9)．首先需要建立坐标系，请考虑，建立直角坐标系一般应选择什么位置？
学生1答：
选择边界、中心等特殊位置．
那么，这一题如何建立坐标系？
解：以E为原点，EB为x轴建立直角坐标系．各点坐标如图(投影换片，加上坐标系与相关点坐标)．运动系统中，l主动，M、N从动，P随之运动，请思考，在这一运动系统中有几种设参方法？
学生2答：
(1)l的纵截距c，
(2)|OM|=t，
(3)|FM|=t．
…
为什么可以这样设参？
一参对一点P，一P对一参，参变化P运动，参固定P 静止，一句话：一切可以控制运动系统的量都可以设参．这就是设参的基本原则．
设|FM|=t，t∈[0，b]，P(x，y)．
学生3答：
不必要，只要找x、y、t间的最简单式子，从中能消参即可，这是列式的基本要求．
上面的消参方法，可以视x、y为常数代入消参，也可以是两式作用消参．参数t∈[0，b]范围明显，但由于没有显参数方程，所以不便通过议参来确定x、y的范围，此时可根据运动系统的运动全过程，由几何直观讨论轨迹的纯粹性和完备性．
l过F时，P合于F，l→OC时，P→B故x≥0，y＞0．影片，显示轨迹)．
(三)讲例2，选参的一般依据
上面例1，设一个参数就可以了，并且消参也容易，下面的例2就不是这种情况，请看屏幕(投影，读题)．例2 点A(1，1)、B、C是抛物线y2=x上的动点，满足AB⊥AC，作矩形ABPC，求P点的轨迹方程(图3-10)．运动系统中，表面上看有B、C两个动点，实际上由于AB⊥AC，所以若B主动，则C从动，P随之运动，故实际上只有一个自由变量就可以控制整个运动系统．请思考，这题有几种设参方法？各种设参通过什么途径把参数与动点坐标连系起来？
学生4答：
(2)设点B坐标(t2，t)→kAB→kAC→C→P．
上述两种设参方法中，参数与动点P的关连都比较远，课后大家可以计算一下，实现这一关连，计算很是复杂．那么再考虑，能否再找一种设参方法，这种设参方法不局限于一个参数，但确使参数与动点P间的关连比较近？
学生5答：
解：设B(t12，t1)，C(t22，t2)→P(x，y)．
参数与P的关连很近，但参数多了一个，大家向来怕参数多，实际上，t1、t2之间本身有一个关系，F(t1，
t2)=0，而这一关系在消参的运用上或许无需显解成
t1=f(t2)，只需要将F(t1，t2)=0用一下就可以达到消参目的．而前面的两种设参方法在消参过程中，实际上就是把t1、t2的关系F(t1，t2)=0显解成t1=f(t2)，然后消参时又恢复成F(t1，t2)=0的重复计算过程．这种重复计算就是一开始所说的有时很复杂，有时根本就算不出来．是否真的如此，算算看：
∵ (t1+t2)2=t12+t22+2t1t2，
∴ (y+1)2=x+1+2[-(y+1)-2]．
即：(y+2)2=x-2．
想一想看，如果显解出t1=f(t2)再两式消t2，将会出现两个关于t2的二次方程，这就是消参计算复杂性的原因，因此在根据设参基本原则确定的所有可设的参数中，选择与动点坐标关连密切的为参数．
这就是选参的一般依据，并且选参不要求唯一，多个参之间不一定独立．例1中一个参数需二个式，例2中二个参数需三个式，所以一般来说，n个参数需列n+1个式，而消参时更要充分运用恒等式进行整体消参．
最后来讨论纯粹性和完备性．同例1不一样，显然x、y是参数的显示数，但是两个参数的函数，且两个参数有关连，并非独立，所以x、y范围难求．而用几何直观也比较困难，把两者结合起来：
示轨迹)．
由此可知，讨论轨迹的纯粹性和完备性，可以把几何直观与参数函数相结合．
(四)小结(已在教学过程中逐条总结并板书)
参数法求轨迹方程的步骤：
设参：一切可以控制运动系统的量都可以设参(基本原则)，从中选择与动点关连密切的为参数(一般依据)．设参数不要求唯一，多个参数之间不一定独立．
用参：列式要弃繁就简，n个参数需列n+1个式．
消参：视x、y为常数，代人消参，两式作用消参，整体元消参．假含参式(即虽有x、y，但并非动点坐标)不能参与消参．
议参：几何直观与参数函数相结合．
五、布置作业
1．E、F是边长为2的正方形ABCD的边AD、BC中点，长为
的轨迹(图3-11)．
解：以EF为x轴，EF中点为原点建立直角坐标系，则E(-1，0)，
即 x2-y2=1．
据M点从A到OA中点及角到O的运动过程，画图可知，轨迹为双
2．点A(1，1)，B、C是圆x2+y2=4上的动点，且AB⊥AC，求BC中点P的轨迹方程(图3-12)．
解：设B(2cosα，2sinα)、C(cosβ，2sinβ)、
P(x，y)．
∴ x2+y2=2+2(cosαcosβ+sinαsinβ)．
kAC·kAB=-1Þ4(cosαcosβ+sinαsinβ)=2(cosα+cos β)+2(sinα+sinβ)+2．
∴ x2+y2-2=2x+2y+2．
即(x-1)2+(y-1)2=2．
3．教材第121页第7、8题．
六、板书设计。