§8 量子力学的一般描述

§8.2 本征值问题的矩阵力学方法 在量子力学波动力学描述中采用了坐标表象，以便通过联想使初
学者容易理解。但人们发现，随着研究的问题深入，对微观现象的描
述重要的不是坐标表象，而是能量表象、角动量表象，同位旋表象。
能量、角动量以及其他微观粒子的内禀物理量具有分立值才是微观现
象的重要特征。除了能量、角动量等几个力学量算符外，描写微观粒
) H
n
= hω (n + 1) n
2
∧
a n = n n −1
∧
a+ n = n+1 n +1
n
=
1
∧
(a+)n 0
n!
∧
n′ a + n = n +1δ n′,n +1
1
∧
x
=

h 2µω
2
∧
(a+
∧
a+
)
∧
n′ a n = nδ n′,n−1
1
∧
p
=
−i
µh ω
2
∧
(a−
(8.1.9)
3. 态矢量的矩阵表示
设厄密算符
) A
：
) A
ai
= ai ai
， a j ai
= δ ij
由{ ai } 为基矢所张的空间是希尔伯特空间，简称为“Ａ 表象”，任
一态矢量在此表象中可表为：
α ∑ = ci ai (8.1.10) i
(8.2.10) (8.2.11)
可看出
) J±
λm
与
λm
一样是
) J
2
,
) J
z
的共同本征矢，相应的本征值为
λh 2, (m +1)h ，从这个意义上说，J)+ 是角动量上升算符，J)− 是角动量下
降算符。
对给定的 λ ，设 m 的上限为 j ，下限为 j′ ，于是
) J + λj = 0
(8.2.12)
) Jz
jm
= mh
jm
(8.2.16)
j
的取值：由(8.2.14)和算符
) J+
的阶梯作用性质可知，
j
值的
给定应保证
2
j
为非负整数，因为
2
j
的值代表
) J+
使本征矢从
j,− j
变到 j, j 的作用次数。于是 j 可取
j = 0, 1 ,1, 3 ,L 22
(8.2.17)
n (a)+ + a))4 n = n (a) +a)+ a)a) + a) +a)a) +a) + a) +a)a)a)+ + a)a)+ a)+ a) + a)a)+ a)a) + + a)a)a)+ a)+ ) n
= n(n − 1) + n2 + n(n +1) + n(n + 1) + (n +1) 2 + (n + 1)(n + 2)
1
等）所得到的各种可能值的概率。 量子理论最重要的是要讨论微观状态的描述及其随时间的演化。 从上述讨论可知，对于微观状态的描述应包括两个方面，即对态矢量 的描述和对力学量的描述。对于微观状态及其随时间演化的描述又可 采用不同的表述方式，或者不同的“表象”。在量子力学中，时间是 一个参数，而不是力学量。所以为区别起见，对状态的表述方式称为 表象；而对它随时间演化的表述方式称为“绘景”。 本章去掉表象，从更一般的角度，首先讨论微观粒子状态的描述 （§８．１，§８．２），以及状态的不同描述之间的变换关系（§８．３）。对 状态随时间演化的描述将在§８．４ 中讨论。量子力学中对称性和守恒 定律的关系则在§８．５ 中讨论。§８．６ 中讨论了状态的“密度矩阵” 描述方式，用密度矩阵代替态矢量对微观系统进行报述，在某些馆况 下是方便的，或许也是必要的。
在 A 表象中表为
)
∑ ∑ ai L a j a j α = λ ai α = λ ai α δ ij
j
j
即
)
∑ ( ai L a j − λδij ) a j α = 0 j
(8.1.20)
4
有非零条件是
det( L( A) − λI) = 0
称为“久期方程”。
(8.1.21)
6．举例在坐标表象的表示
(8.2.22)
利用有关的关系式就可得出
) J
x
,
) Jy
,
) Jz
,
) J
2
的矩阵元。
例：
9
§8.3 幺正变换的一般理论
１． 态矢量的变换
设：Ａ 表象基矢记为 ai ，Ｂ 表象基矢记为 bi ，利用 Ａ 表象的完 全性条件，对任意右矢 α 有
λm
= h 2 (λ − m2 ) ≥ 0 即
λ ≥ m2 (8.2.9)
利用(8.2.4),(8.2.5)和(8.2.7),(8.2.8)可得
))
)
J 2J ± λm = λh2 J ± λm
))
)
J z J ± λm = (m ±1)hJ ± λm
) J+
jm
= c+
j, m + 1 (8.2.18)
取模的平方得
c+ 2 =
))
jm
J
+ +
J
+
jm
=
)) jm J −J +
jm =
)) )
jm (J 2
−
J
2 z
− hJ z )
jm
= [ j ( j +1) − m2 − m]h2
若 c+ 的位相因子为零，则
) J + jm = ( j − m)( j + m + 1)h j, m +1
) L
表为
)
L( A) ij
=
ai
L aj
(8.1.16)
在 A 表象中(8.1.15)式为
β (A) = L( A)α ( A)
(8.1.17)
∑ β (A) i
=
L α ( A) ( A) ij j
j
(8.1.18)
5. 本征值方程表示
) L
α
=λα
(8.1.19)
§8.1 态矢量和力学量的表示 1．态矢量的表示
描写微观粒子状态的态矢量或波函数Ψα 和 Ψα∗ ，采用 Dirac 记号分 别表为
α , α 称为右矢和左矢，并有 α = ( α )∗ α α = α α ∗ ≥ 0 正定条件 归一化态矢量
2
α~ = α αα
α~ α~ = 1
(8.1.1) (8.1.2)
= 6n 2 + 6n + 3 = 3(2n 2 + 2n + 1)
En(1)
=
3λ
h 2µω
2 (2n 2
+
2n
+ 1)
6
2．角动量表象
满足
))
)
[ J x , J y ] = ihJ z
))
)
[ J y , J z ] = ihJ x
))
)
[ J z , J x ] = ihJ y
8
对轨道角动量取正数，常用 l 表示；对于自旋角动量，可取正数
（玻色子）或半正数（费米子），常用 s 表示。
②角动量算符在角动量表象中的表示
右矢
) J+
jm
和
j, m + 1 表示的态相同，所以有
∧
a+)
2
例子：设体系哈密顿算符
) H
=
p) 2
+ 1 µω 2x 2
+ λx4
2µ 2
λ << hω
试计算能量的一级微扰修正。
解：能量的一级微扰修正为
En
= n +
1 2
h ω
+
E (1) n
En(1) =
n λx 4 n
=
λ
h 2µω
2
n (a)+ + a)) 4 n
称为 A 表象基矢集的“完全性条件”。令
Pi = ai ai
(8.1.14)
有
Pi α = ai ai α = ci ai
故 Pi 称为“投影算符”。
4．算符的矩阵表示
设任一力学量 Ｌ，有
β
) =Lα
(8.1.15)
在
A
表象中
§8 量子力学的一般描述 为了研究和把握微观现象，首先需要对微观系统的状态及其随时
间的演化进行描述。但是由于波粒二象性，对微观系统的这种描述就 不同于经典情况。例如对于经典粒子，人们可以通过坐标和速度或动 量等“力学量”来描写它们的状态，因为对于确定的状态它们都具有 确定的值；当状态随时间演化时，这些量都按确定的方式随时间变化。 这些力学量在经典物理学中都是可以通过实验测量的量。在量子力学 中，由于概率性，微观粒子的坐标和动量等力学量一般并不具有确定 的值，这些力学量的值之间存在各种“不确定关系”；这些力学量之 间存在各种“不对易性关系”。于是人们不再能够用满足乘法交换律 的代数量来表示力学量，而需要用“算符”（矩阵或微分算符）来表示 它们，以便能够满足不对易性关系，反映微观粒子系统的概率性或波 粒二象性的实验事实。于是在量子力学中，这些力学量不再是直接可 测量的量，而是作用于“态矢量”或“波函数”的算符。只有通过态 矢量或波函数以及力学量两者的结合，人们才能借助于统计物理学方 法算出在某个状态中测量某个物理量时所得到的各种可能值，以及出 现某种可能值朗概率，并算出平均值。在量子力学中，这种可能值及 其出现的概率以及平均值，才是人们感兴趣的，因为这些量直接与实 验上的可测量相联系。例如原子或固体的能谱与能量的“本征值”有 关，而本征值是平均值的一种重要的特例。再如，实验中可以直接测 量的散射截面、谱线强度等都是与“跃迁概率”有关的，而跃迁概率 又涉及到在末态中测量某个或某几个力学量（如动量、角动量、能量
(8.2.19)
同理有
) J − jm = ( j + m)( j − m + 1)h j, m −1
(8.2.20)
用 j′m′ 左乘上两式得
) j′m′ J + jm = ( j − m)( j + m +1)hδ δj′j m′,m+1
(8.2.21)
) j′m′ J − jm = ( j + m)( j − m + 1)hδ δj′j m′,m−1
z
的共同本征矢为
λm
，并有
) J 2 λm = λh2 λm
(8.2.6) (8.2.7)
) Jz
λm
= mh λm
(8.2.8)
下面来确定 λ, m ：
由(8.2.6)可得
) J2
)
−
J
2 z
=
1) 2( J−
2
+
) J+
2
)
Baidu Nhomakorabea
7
因而有
))
λm
(J
2
−
J
2 z
)
(8.2.1)
对易关系的算符称为角动量算符。
由
) J
2
,
) Jz
的共同本征矢所构造的表象称角动量表象或（
) J
2
,
) J
z
）
表
象。
① 角动量上升、下降算符
) J+
,
) J−
) J±
=
) Jx
±
) iJ y
(8.2.2)
) J+
=
J)−+
,
) J−
=
J)++
并有对易关系
))
)
[ J + , J − ] = 2hJ z
(8.2.3)
[
) Jz
,
) J±
]
=
) ±hJ ±
(8.2.4)
[
) J
2
,
) J±
]
=
0
(8.2.5)
一个常用关系
)) ) ) )
J±
Jm
=
J
2
−
J
2 z
±
hJ z
设
) J
2
,
) J
ci = ai α
(8.1.11)
写成矩阵形式
c1 a1 α
c
2


a2
α

α ( A) = M = M
c
i


ai
α

M M
(8.1.12)
3
由(8.1.10)和(8.1.11)得
∑ ai ai = 1 i
（8.1.13）
) J − λj′ = 0
(8.2.13)
用
) J−
,
) J+
分别左乘这两式得
λ = j ( j +1)
λ = j ′( j ′ − 1)
联立解得
j′ = − j
j′ = j +1（排除）
− j≤m≤ j
(8.2.14)
于是角动量本征值方程可写为
) J 2 jm = j( j +1)h2 jm
(8.2.15)
子的大多数力学量算符都不能采用坐标表象表示，因此避开坐标表象
解本征值问题显然有重要意义。
1．一维线性谐振子的矩阵力学方法
采用线性谐振子能量表象。线性谐振子哈密顿算符
) H
=
) P2
+
1
µω 2 x2
2µ 2
定义算符
1
1
∧
a
=

µω 2h

2

∧
x
+
i µω
∧
p

=

µω 2h
正交性：
β α =0
(8.1.3)
2. 力学量算符的表示
设有
) β = Aα
β = α A)+
若
A) +
=
) A
则
) β =αA
有
)) [ A, B] ≠ 0
外积
) A= β α A)+ = α β
平均值
) A = α Aα
(8.1.4) (8.1.5) (8.1.6) (8.1.7) (8.1.8)

2

x
+
h µω
∂ ∂x

1
1
∧
a+
=

µω 2h

2

∧
x−
i µω
∧
p

=

µω 2h

2

x
−
h µω
∂ ∂x

∧
∧
[a, a+ ] = 1
5
于是
∧
H
=
) hω( N
+
1)
2
∧
∧∧
N = a+ a
∧
∧∧
∧
N n = a+ a n = n a+ n−1 = n n